#хакнем_математика 👈 рубрика, содержащая интересный, познавательный контент по математике как для школьников, так и для взрослых 🥳
УНИВЕРСАЛЬНЫЕ СПОСОБЫ (ПРИЁМЫ) ИЗВЛЕЧЕНИЯ КВАДРАТНОГО КОРНЯ
ЧАСТЬ II (часть I по ссылке)
Здравствуйте, уважаемые читатели канала Хакнем Школа!
Прежде чем перейти к рассмотрению универсальных способов (приёмов) извлечения квадратного корня из любого неотрицательного рационального числа, к слову сказать, весьма трудоёмких, необходимо разобраться со следующей теоремой, утверждение которой будет нами широко использоваться.
ТЕОРЕМА. Если a > b >0 , то √ a >√ b .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Из (1) и (2) следует (√ a – √ b )×(√ a + √ b ) > 0 . (3)
Из неравенств a >0 и b >0 по определению квадратного корня имеем √ a >0 и √ b >0 , но тогда √ a + √ b > 0 . (4)
Произведение двух множителей положительно тогда и только тогда, когда либо оба множителя больше 0, либо оба множителя меньше 0.
Из (1) и (4) следует, что √ a – √ b > 0 ó √ a > √ b , что и требовалось доказать.
Приступим к рассмотрению приёмов непосредственного извлечения квадратного корня из натуральных чисел. Прежде всего обратимся к хорошо нам известному приёму разложения натурального числа на множители, который основан на признаках делимости, которые можно при необходимости повторить по статье «Признаки делимости чисел: где мы их применяем в жизни», автор #ирина_чудневцева .
СПОСОБ I
ЗАДАЧА 1. Вычислить √91728.
РЕШЕНИЕ. Под знаком радикала стоит пятизначное число, которого нет в четырёхзначных таблицах квадратов, и нельзя использовать калькулятор. В этом случае нам поможет разложение этого числа на простые множители. Получим:
Поскольку квадратный корень произведения равен произведению квадратных корней сомножителей, то
Если под знаком корня стоит десятичная дробь, то её следует представить в виде произведения целого числа, убрав запятую, и десятичной дроби с числителем, равным единице, и числом знаков после запятой, равным числу знаков после запятой в заданной дроби, при этом число этих знаков должно быть чётным, например:
√917,28=√(91728×0,01)=√91728 × √0,01=84√13 × 0,1=8,4√13.
Прежде чем перейти к следующему способу непосредственного вычисления квадратного корня необходимо рассмотреть следующую лемму:
ЛЕММА (об опорных квадратах).
Пусть нам известен квадрат одного из двух последовательных натуральных чисел m и n , таких, что n = m +1 или, что то же, m = n – 1 .
В этом случае становятся верными два тождества:
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Отдельный интерес представляет случай использования этих тождеств, когда n и т дроби, отличающиеся друг от друга на единицу самого младшего разряда, например:
Следующий способ, опирающийся на метод подбора каждой цифры результата путём последовательных приближений с использованием средних арифметических значений, позволяет извлекать квадратный корень с наперёд заданной точностью.
СПОСОБ II
При решении предыдущей задачи осталась одна неясность: чему же равен √13 ? Попытаемся ответить на этот вопрос. Восьмиклассники уже знают, что значения квадратных корней из чисел, не являющихся точными квадратами, относятся к так называемым иррациональным числам , которые могут быть представлены в виде бесконечных непериодических десятичных дробей . Поэтому в различного рода расчётах их представляют округлёнными до конкретного разряда числами.
ЗАДАЧА 2. Найти значение √13 с точностью до сотых.
РЕШЕНИЕ. Рассмотренная в начале статьи теорема позволяет опереться на следующее неравенство:
Среднее арифметическое чисел 0 и 1, между которыми может находится значение цифры, стоящей в разряде десятых искомого значения корня квадратного, равно числу 5 , и это число является первым кандидатом на то, чтобы соответствующая ему цифра была проверена соответствующей подстановкой. Однако можно заметить, что число 13 находится дальше от числа 9 нежели от числа 16 . Поэтому проверку можно начать с цифры 6, и заодно покажем интересный способ вычисления квадратов таких чисел с помощью так называемых опорных квадратов.
Подбор цифры в разряд сотых начнём с квадрата числа 3,61:
С целью получения наименьшей погрешности необходимо найти цифру для разряда тысячных для последующего округления…
Выберем цифру 5 из середины интервала (0, 9) :
Для разряда тысячных необходимо ещё проверить цифру 6 :
СПОСОБ III
Этот способ, значительно облегчающий подбор цифр-кандидатов, является удачной формализацией второго способа.
ЗАДАЧА III. Найти значение √13 с точностью до сотых.
РЕШЕНИЕ. Поскольку квадрат однозначного числа равен однозначному или двузначному числу, то натуральное число надо разбить на грани по две цифры в каждой, начиная с разряда единиц а десятичную дробь — от запятой, причём последнюю грань при необходимости следует дополнить цифрой 0 .
Предварительный результат будет содержать три цифры после запятой — значит, десятичная часть числа, из которого будем извлекать квадратный корень будет содержать три грани:
13,00 | 00 | 00.
Ищем наибольшее число, квадрат которого не превосходит числа 13, стоящего в первой грани. Этим числом будет 3. Записываем его в ответ — это будет первая цифра результата. Поскольку следующая грань находится после запятой, то ставим запятую в ответ.
Возводим число 3 в квадрат и результат вычитаем из первой грани.
К найденной разности приписываем справа вторую грань и получаем число 400 . Слева от этого числа ставим вертикальную чёрточку на две строчки и слева от неё записываем удвоенную цифру полученного результата (цифру 6 ), оставляя между этой цифрой и вертикальной чертой место для ещё одной цифры, обозначенной литерой а .
Эту цифру подбираем таким образом, чтобы произведение двузначного числа 6а на это число 6а× a было наибольшим, но не больше числа 400 справа от вертикальной черты. Таким числом будет число 6 .
Вычтем (столбиком) произведение 66×6=396 из числа 400 и запишем разность под горизонтальной чертой, проставив слева от неё вертикальную черту на две строчки. Слева от этой черты запишем сумму 66+6=72, оставив место для ещё одной цифры между полученной суммой и вертикальной чертой.
Повторяем действия описанные в предыдущих двух абзацах пока не получим цифры в разряде тысячных результата. В итоге мы получим следующую запись:
Осталось провести округление: √13 = 3,603…≈3,61.
Попробуйте самостоятельно найти √2374,6129 и сверить свои действия с приведённым образцом.
Помните, что дорогу осилит идущий! Желаю успехов и не только в учёбе!
Продолжение следует…
Не забудьте подписаться на канал Хакнем Школа и хэштег #хакнем_математика
Автор: #себихов_александр 71 год, много лет проработал конструктором-технологом микроэлектронных приборов и узлов в одном из НИИ г. Саратова, затем преподавателем математики и физики.
Читайте наш канал в телеграм – по этой ссылке
Другие статьи автора:
Загрузить PDF
Загрузить PDF
Извлечь квадратный корень довольно легко, если под знаком корня стоит целое число (полный квадрат). В противном случае квадратный корень (из любого числа) можно извлечь вручную, то есть без калькулятора. Чтобы пользоваться описанным методом, нужно знать основные математические операции: умножение, сложение и деление.
-
1
Извлеките квадратный корень из полного квадрата при помощи умножения. Квадратный корень из исходного числа – это число, которое при умножении на себя дает исходное число. То есть нужно найти такое число, чтобы при его умножении на себя получить данное в задаче число.
- Например, квадратный корень из 1 равен 1, потому что 1 умножить на 1 равно 1 (1×1 = 1). Квадратный корень из 4 равен 2, потому что 2 умножить на 2 равно 4 (2х2 = 4). Представьте дуб. Дуб вырастает из желудя. Таким образом, дуб намного больше желудя, но связан с ним, потому что именно желудь пускает первые корни. В приведенном выше примере 4 – это дерево, а 2 – желудь.
- Таким образом, квадратный корень из 9 равен 3 (3х3 = 9), из 16 равен 4 (4х4 = 16), из 25 равен 5 (5х5 = 25), из 36 равен 6 (6х6 = 36), из 49 равен 7 (7х7 = 49), из 64 равен 8 (8х8 = 64), из 81 равен 9 (9х9 = 81), из 100 равен 10 (10х10 = 100).[1]
-
2
Чтобы извлечь квадратный корень из целого числа, воспользуйтесь делением в столбик. Для этого разделите целое число (делимое) на некоторое число (делитель) так, чтобы результат (частное) совпал с делителем.
- Например: 16 делить на 4 равно 4; 4 делить на 2 равно 2 и так далее. Таким образом, 4 – это квадратный корень из 16, а 2 – квадратный корень из 4.
- Корнями из полных квадратов являются целые числа, а не обыкновенные и десятичные дроби.
-
3
Правильно обозначайте квадратный корень. В научной и учебной литературе квадратный корень обозначается специальным символом, который называется радикалом и имеет вид галочки с верхней горизонтальной линией: √N.[2]
- где N – это подкоренное выражение, то есть число, из которого нужно извлечь корень. Такое число записывается под знаком корня.[3]
- Таким образом, если нужно извлечь квадратный корень из 9, то 9 записывается под знаком корня (радикала), затем пишется знак равенства, а потом 3. Это означает, что квадратный корень из 9 равен 3.
Реклама
- где N – это подкоренное выражение, то есть число, из которого нужно извлечь корень. Такое число записывается под знаком корня.[3]
-
1
Воспользуйтесь методом проб и ошибок. Сложнее извлечь корень из числа, которое не является полным квадратом, но это возможно.
- Например, извлеките квадратный корень из 20. Вспомните, что 16 – это полный квадрат, корень из которого равен 4 (4X4 = 16). Число 25 так же является полным квадратом, корень из которого равен 5 (5х5 = 25), поэтому корень из 20 должен быть равен числу, которое находится между 4 и 5.
- В качестве квадратного корня из 20 попробуйте рассмотреть число 4,5. Это число возведите в квадрат, то есть умножьте его на себя: 4,5х4,5. Если результат больше или меньше 20, попробуйте рассмотреть другое число, например, 4,6 или 4,4. Делайте так до тех пор, пока результат не приблизится к 20.[4]
- 4,5х4,5 = 20,25, поэтому рассмотрите меньшее число, например, 4,4: 4,4х4,4 = 19,36. Таким образом, квадратный корень из 20 равен числу, которое находится между 4,4 и 4,5. Рассмотрите 4,445: 4,445х4,445 = 19,758. Это уже довольно близко к 20. Продолжайте в том же духе и в конце концов вы придете к: 4,475х4,475 = 20,03 ≈ 20.
-
2
Воспользуйтесь процессом усреднения. Он также начинается с поиска двух полных квадратов, между которыми находится данное число.[5]
- Затем разделите данное число на квадратный корень из одного из чисел. Потом найдите среднее арифметическое данного числа и результата деления (в данном случае среднее арифметическое – это сумма двух чисел, деленная на два). Затем данное число разделите на среднее арифметическое. Наконец, найдите среднее арифметическое последнего результата и первого среднего арифметического.
- Сложно? Не очень, если рассмотреть пример. Дано число 10. Оно находится между двумя полными квадратами 9 (3х3 = 9) и 16 (4х4 = 16). Квадратные корни из этих чисел равны 3 и 4. Итак, разделите 10 на первое число: 10/3 = 3,33. Теперь найдите среднее арифметическое 3 и 3,33: (3+3,33)/2 = 3,1667. Теперь 10 разделите на среднее арифметическое: 10/3,1667 = 3,1579. Теперь найдите среднее арифметическое 3,1579 и 3,1667: (3,1579+3,1667)/2 = 3,1623.
- Проверьте ответ, умножив его на себя. 3,1623х3,1623 = 10,001 ≈ 10.
Реклама
-
1
Возведите в квадрат отрицательное число при помощи одного и того же процесса. Помните, что при перемножении двух отрицательных чисел получается положительное число. Таким образом, при возведении в квадрат отрицательного числа получится положительное число.
- Например, -5х-5 = 25. Также 5х5 = 25. Таким образом, квадратный корень из 25 равен -5 и 5. То есть в результате извлечения квадратного корня получаются два числа.
- Например, 3×3 = 9 и -3x-3 = 9, поэтому квадратный корень из 9 равен 3 и -3 (записывается как ±3). Положительный результат называется арифметическим значением корня, и на данном этапе можно рассматривать только это значение.[6]
[7]
-
2
Воспользуйтесь калькулятором. Отлично, если вы умеете извлекать корни вручную, но существует множество онлайн-калькуляторов, при помощи которых можно извлечь корень из любого числа.
- В обыкновенном калькуляторе тоже есть клавиша со значком радикала.
- В случае онлайн-калькулятора просто введите число, из которого нужно извлечь квадратный корень, и нажмите соответствующую кнопку. Компьютер вычислит квадратный корень из этого числа.[8]
Реклама
Советы
- Обязательно запомните следующие полные квадраты:
- 02 = 0, 12 = 1, 32 = 9, 42 = 16, 52 = 25, 62 = 36, 72 = 49, 82 = 64, 92 = 81, 102 = 100
- Также рекомендуется запомнить такие полные квадраты: 112 = 121, 122 = 144, 132 169, 142 = 196, 152 = 225, 162 = 256, 172 = 289
- А эти полные квадраты запомнить совсем легко: 102 = 100, 202 = 400, 302 = 900, 402 = 1600, 502 = 2500
Реклама
Об этой статье
Эту страницу просматривали 243 722 раза.
Была ли эта статья полезной?
При решении различных задач из курса математики и физики ученики и студенты часто сталкиваются с необходимостью извлечения корней второй, третьей или n-ой степени. Конечно, в век информационных технологий не составит труда решить такую задачу при помощи калькулятора. Однако возникают ситуации, когда воспользоваться электронным помощником невозможно.
К примеру, на многие экзамены запрещено приносить электронику. Кроме того, калькулятора может не оказаться под рукой. В таких случаях полезно знать хотя бы некоторые методы вычисления радикалов вручную.
Содержание:
- Извлечение квадратного корня при помощи таблицы квадратов
- Разложение на простые множители
- Метод Герона
- Вычисление корня делением в столбик
- Поразрядное вычисление значения квадратного корня
- Видео
Извлечение квадратного корня при помощи таблицы квадратов
Один из простейших способов вычисления корней заключается в использовании специальной таблицы. Что же она собой представляет и как ей правильно воспользоваться?
При помощи таблицы можно найти квадрат любого числа от 10 до 99. При этом в строках таблицы находятся значения десятков, в столбах — значения единиц. Ячейка на пересечении строки и столбца содержит в себе квадрат двузначного числа. Для того чтобы вычислить квадрат 63, нужно найти строку со значением 6 и столбец со значением 3. На пересечении обнаружим ячейку с числом 3969.
Поскольку извлечение корня — это операция, обратная возведению в квадрат, для выполнения этого действия необходимо поступить наоборот: вначале найти ячейку с числом, радикал которого нужно посчитать, затем по значениям столбика и строки определить ответ. В качестве примера рассмотрим вычисление квадратного корня 169.
Находим ячейку с этим числом в таблице, по горизонтали определяем десятки — 1, по вертикали находим единицы — 3. Ответ: √169 = 13.
Аналогично можно вычислять корни кубической и n-ой степени, используя соответствующие таблицы.
Преимуществом способа является его простота и отсутствие дополнительных вычислений. Недостатки же очевидны: метод можно использовать только для ограниченного диапазона чисел (число, для которого находится корень, должно быть в промежутке от 100 до 9801). Кроме того, он не подойдёт, если заданного числа нет в таблице.
Разложение на простые множители
Если таблица квадратов отсутствует под рукой или с её помощью оказалось невозможно найти корень, можно попробовать разложить число, находящееся под корнем, на простые множители. Простые множители — это такие, которые могут нацело (без остатка) делиться только на себя или на единицу. Примерами могут быть 2, 3, 5, 7, 11, 13 и т. д.
Рассмотрим вычисление корня на примере √576. Разложим его на простые множители. Получим следующий результат: √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3². При помощи основного свойства корней √a² = a избавимся от корней и квадратов, после чего подсчитаем ответ: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 = 24.
Что же делать, если у какого-либо из множителей нет своей пары? Для примера рассмотрим вычисление √54. После разложения на множители получаем результат в следующем виде: √54 = √(2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3) = √3² ∙ √(2 ∙ 3) = 3√6. Неизвлекаемую часть можно оставить под корнем. Для большинства задач по геометрии и алгебре такой ответ будет засчитан в качестве окончательного. Но если есть необходимость вычислить приближённые значения, можно использовать методы, которые будут рассмотрены далее.
Метод Герона
Как поступить, когда необходимо хотя бы приблизительно знать, чему равен извлечённый корень (если невозможно получить целое значение)? Быстрый и довольно точный результат даёт применение метода Герона. Его суть заключается в использовании приближённой формулы:
√R = √a + (R — a) / 2√a,
где R — число, корень которого нужно вычислить, a — ближайшее число, значение корня которого известно.
Рассмотрим, как работает метод на практике, и оценим, насколько он точен. Рассчитаем, чему равен √111. Ближайшее к 111 число, корень которого известен — 121. Таким образом, R = 111, a = 121. Подставим значения в формулу:
√111 = √121 + (111 — 121) / 2 ∙ √121 = 11 — 10 / 22 ≈ 10,55.
Теперь проверим точность метода:
10,55² = 111,3025.
Погрешность метода составила приблизительно 0,3. Если точность метода нужно повысить, можно повторить описанные ранее действия:
√111 = √111,3025 + (111 — 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 — 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.
Проверим точность расчёта:
10,536² = 111,0073.
После повторного применения формулы погрешность стала совсем незначительной.
Вычисление корня делением в столбик
Этот способ нахождения значения квадратного корня является чуть более сложным, чем предыдущие. Однако он является наиболее точным среди остальных методов вычисления без калькулятора.
Допустим, что необходимо найти квадратный корень с точностью до 4 знаков после запятой. Разберём алгоритм вычислений на примере произвольного числа 1308,1912.
- Разделим лист бумаги на 2 части вертикальной чертой, а затем проведём от неё ещё одну черту справа, немного ниже верхнего края. Запишем число в левой части, разделив его на группы по 2 цифры, двигаясь в правую и левую сторону от запятой. Самая первая цифра слева может быть без пары. Если же знака не хватает в правой части числа, то следует дописать 0. В нашем случае получится 13 08,19 12.
- Подберём самое большое число, квадрат которого будет меньше или равен первой группе цифр. В нашем случае это 3. Запишем его справа сверху; 3 — первая цифра результата. Справа снизу укажем 3×3 = 9; это понадобится для последующих расчётов. Из 13 в столбик вычтем 9, получим остаток 4.
- Припишем следующую пару чисел к остатку 4; получим 408.
- Число, находящееся сверху справа, умножим на 2 и запишем справа снизу, добавив к нему _ x _ =. Получим 6_ x _ =.
- Вместо прочерков нужно подставить одно и то же число, меньшее или равное 408. Получим 66×6 = 396. Напишем 6 справа сверху, т. к. это вторая цифра результата. Отнимем 396 от 408, получим 12.
- Повторим шаги 3—6. Поскольку снесённые вниз цифры находятся в дробной части числа, необходимо поставить десятичную запятую справа сверху после 6. Запишем удвоенный результат с прочерками: 72_ x _ =. Подходящей цифрой будет 1: 721×1 = 721. Запишем её в ответ. Выполним вычитание 1219 — 721 = 498.
- Выполним приведённую в предыдущем пункте последовательность действий ещё три раза, чтобы получить необходимое количество знаков после запятой. Если не хватает знаков для дальнейших вычислений, у текущего слева числа нужно дописать два нуля.
В результате мы получим ответ: √1308,1912 ≈ 36,1689. Если проверить действие при помощи калькулятора, можно убедиться, что все знаки были определены верно.
Поразрядное вычисление значения квадратного корня
Метод обладает высокой точностью. Кроме того, он достаточно понятен и для него не требуется запоминать формулы или сложный алгоритм действий, поскольку суть способа заключается в подборе верного результата.
Извлечём корень из числа 781. Рассмотрим подробно последовательность действий.
- Выясним, какой разряд значения квадратного корня будет являться старшим. Для этого возведём в квадрат 0, 10, 100, 1000 и т. д. и выясним, между какими из них находится подкоренное число. Мы получим, что 10² < 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
- Подберём значение десятков. Для этого будем по очереди возводить в степень 10, 20, …, 90, пока не получим число, превышающее 781. Для нашего случая получим 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900. Значение результата n будет находиться в пределах 20 < n <30.
- Аналогично предыдущему шагу подбирается значение разряда единиц. Поочерёдно возведём в квадрат 21,22, …, 29: 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 28² = 784. Получаем, что 27 < n < 28.
- Каждый последующий разряд (десятые, сотые и т. д. ) вычисляется так же, как было показано выше. Расчёты проводятся до тех пор, пока не будет достигнута необходимая точность.
Видео
Из видео вы узнаете, как извлекать квадратные корни без использования калькулятора.
1. есть алгоритм вычисления “уголком”, не знаю, как сейчас, раньше в школе проходили, 8-й класс, не сложнее деления уголком.
2. есть древний сверхбыстрый алгоритм (в самом деле – метод Ньютона, он же – касательных).
Хотим извлечь корень из А, обозначим точный корень как r.
Возьмем какое-то начальное приближение r0. Вообще-то можно взять какое попало положительное число, но быстрее будет, если мы возьмем r0 больше, чем r, но не намного больше.
Например, если надо извлечь из А=123456, можно взять 400 – знаков вдвое меньше, первая цифра 4 в начале – что-то около корня из 12. Если лень – можно взять просто r0=A.
А теперь посмотрим на число A/r0: если у нас r0 < r, то A/r0 > r, и наоборот, если у нас r0 > r, то A/r0 < r.
Значит неизвестный нам точный корень r лежит где-то между r0 и A/r0. Давайте возьмем в качестве нового приближения середину этого отрезка, то есть r1=(r0 + A/r0) / 2. Потом так же получим следующее приближение итд.
Такой метод удваивает число точных знаков на каждом шаге, так что долго считать не придется.
Например:
400.00000000000000
354.32000000000000
351.37539850982200
351.36306031259300
351.36306009596400
351.36306009596400
– все сошлось на 15 знаков точности
Сообщения без ответов | Активные темы
| Автор | Сообщение | ||
|---|---|---|---|
|
Заголовок сообщения: Как найти иррациональные числа без калькулятора?
|
|||
|
как найти иррациональные числа без калькулятора например чему равняется корень из 2 (определение первые пять чисел)
|
||
| Вернуться к началу |
|
||
 |
Добавлено: 06 мар 2012, 12:28 
|
dr Watson |
Заголовок сообщения: Re: как найти
|
|
andrei писал(а): [math]eapprox 2,7,1828,1828[/math] 1828-год рождения Л.Н.толстого [math]eapprox 2,7,1828,1828, 45, 90, 45[/math] – добавим еще углы равнобедренного прямоугольного треугольника.
|
|
| Вернуться к началу |
|
|
| Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
|---|---|---|---|---|
|
Найти в порядке возрастания три числа без калькулятора
в форуме Алгебра |
Avgust |
15 |
400 |
19 дек 2021, 22:06 |
|
Иррациональные числа
в форуме Алгебра |
Billyl9898 |
3 |
178 |
27 янв 2022, 12:29 |
|
Иррациональные числа
в форуме Алгебра |
Lana67 |
2 |
354 |
29 янв 2017, 14:33 |
|
Рациональные и иррациональные числа
в форуме Алгебра |
Lana67 |
3 |
459 |
26 янв 2017, 13:23 |
|
Рациональные и иррациональные числа
в форуме Алгебра |
nikitosintheweb |
4 |
402 |
18 дек 2013, 16:15 |
|
Иррациональные числа в системах координат
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
rburns |
1 |
194 |
07 сен 2017, 13:32 |
|
Псевдо – иррациональные числа в различных системах счисления
в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика |
vasnas |
4 |
475 |
12 мар 2015, 18:23 |
|
Вычислить с помощью инженерного калькулятора
в форуме Информатика и Компьютерные науки |
stiflerusa |
3 |
415 |
13 окт 2018, 22:35 |
|
Вычислить значение выражения без калькулятора
в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад |
sheff |
4 |
1136 |
22 окт 2013, 10:28 |
|
доработать код калькулятора выражений python
в форуме Информатика и Компьютерные науки |
top234 |
0 |
146 |
06 ноя 2020, 14:21 |
Кто сейчас на конференции |
|
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 6 |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |
