Как найти корень окр

Пример:

а) реши уравнение

sinx=cos2x

б) Найди все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

2π;7π2

a) Уравнение прежде всего иррациональное, поэтому решается возведением обеих частей в квадрат. С учётом области определения получаем:

sinx=cos2x;sinx≥0,cos2x≥0.

Стоит заметить, что рассматривать оба неравенства в системе нам не нужно, так как мы будем решать уравнение. Поэтому можно оставить только одно — более простое неравенство:

sinx=cos2x;(1)sinx≥0.

Решим уравнение системы ((1)). Прежде всего избавимся от двойного угла в уравнении:

sinx=cos2x;sinx−cos2x=0;sinx−(cos2x−sin2x)=0;sinx−(1−sin2x−sin2x)=0;sinx−(1−2sin2x)=0;2sin2x+sinx−1=0;sinx=−1,sinx=12.

(sin x= -1) исключаем, так как это значение не входит в область определения, а решения второго уравнения обозначим на тригонометрической окружности.

Рис. (1). Решения уравнения на единичной окружности

Эти решения можно записать в виде:

x=π6+2πn,n∈ℤ,x=5π6+2πm,m∈ℤ.

б) Рассмотрим три способа отбора корней, попадающих в отрезок

2π;7π2

(1) способ:

вернёмся к единичной окружности. Отметим на ней дугу, соответствующую указанному промежутку, подпишем начало и конец, отметим точки окружности, представляющие серии решений и принадлежащие дуге, укажем их значения, принадлежащие промежутку.

2π+π6=13π6,2π+5π6=17π6.

Рис. (2). Отбор корней с помощью единичной окружности

Обрати внимание!

Нельзя отмечать и подписывать посторонние точки на окружности!

(2) способ:

указанный отрезок соответствует неравенству

2π≤x≤7π2

. Подставим в него полученные корни:

2π≤π6+2πn≤7π2,n∈ℤ:π;2≤16+2n≤72,n∈ℤ−16;2−16≤2n≤72−16,n∈ℤ;116≤2n≤206,n∈ℤ:2;1112≤n≤2012,n∈ℤ;1112≤n≤1812,n∈ℤ;n=1;π6+2π⋅1=13π6

2π≤5π6+2πm≤7π2,m∈ℤ:π;2≤56+2m≤72,m∈ℤ−56;2−56≤2m≤72−56,m∈ℤ;76≤2m≤166,m∈ℤ:2;712≤m≤1612,m∈ℤ;712≤m≤1412,m∈ℤ;m=1;5π6+2π⋅1=17π6

Обрати внимание!

Обязательно выдели целые части дробей для оценки значений (n) и (m)!

(3) способ:

разместим корни уравнения на числовой прямой. Сначала отметим корни, подставив вместо (n) и (m) (0), а потом добавим к каждому корню периоды. На числовой прямой должен быть выделен заданный отрезок, обозначены его концы, отмечены все последовательные значения серий корней, начиная с точек, расположенных левее промежутка, и заканчивая точками, расположенными правее промежутка.

Рис. (3). Отбор корней с помощью координатной прямой

Нам останется только выбрать корни, которые попали в нужный нам отрезок.

Ответ: а)

π6+2πn,n∈ℤ;5π6+2πm,m∈ℤ

; б)

13π6,17π6.

Рекомендуем при решении тригонометрических уравнений использовать несколько разных способов отбора. Это поможет тебе убедиться в правильности отбора корней и выработать навык выбора наиболее удобного способа.

Источники:

Рис. 1. Решения уравнения на единичной окружности. © ЯКласс.

Рис. 2. Отбор корней с помощью единичной окружности. © ЯКласс.

Рис. 3. Отбор корней с помощью координатной прямой. © ЯКласс.

Источник

Загрузить PDF

До появления калькуляторов студенты и преподаватели вычисляли квадратные корни вручную. Существует несколько способов вычисления квадратного корня числа вручную. Некоторые из них предлагают только приблизительное решение, другие дают точный ответ.

1
Разложите подкоренное число на множители, которые являются квадратными числами. В зависимости от подкоренного числа, вы получите приблизительный или точный ответ. Квадратные числа – числа, из которых можно извлечь целый квадратный корень. Множители – числа, которые при перемножении дают исходное число.^[1] Например, множителями числа 8 являются 2 и 4, так как 2 х 4 = 8, числа 25, 36, 49 являются квадратными числами, так как √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Квадратные множители – это множители, которые являются квадратными числами. Сначала попытайтесь разложить подкоренное число на квадратные множители.
- Например, вычислите квадратный корень из 400 (вручную). Сначала попытайтесь разложить 400 на квадратные множители. 400 кратно 100, то есть делится на 25 – это квадратное число. Разделив 400 на 25, вы получите 16. Число 16 также является квадратным числом. Таким образом, 400 можно разложить на квадратные множители 25 и 16, то есть 25 х 16 = 400.
- Записать это можно следующим образом: √400 = √(25 х 16).
2
Квадратные корень из произведения некоторых членов равен произведению квадратных корней из каждого члена, то есть √(а х b) = √a x √b.^[2] Воспользуйтесь этим правилом и извлеките квадратный корень из каждого квадратного множителя и перемножьте полученные результаты, чтобы найти ответ.
- В нашем примере извлеките корень из 25 и из 16.
  - √(25 х 16)
  - √25 х √16
  - 5 х 4 = 20
3
Если подкоренное число не раскладывается на два квадратных множителя (а так происходит в большинстве случаев), вы не сможете найти точный ответ в виде целого числа. Но вы можете упростить задачу, разложив подкоренное число на квадратный множитель и обыкновенный множитель (число, из которого целый квадратный корень извлечь нельзя). Затем вы извлечете квадратный корень из квадратного множителя и будете извлекать корень из обыкновенного множителя.
- Например, вычислите квадратный корень из числа 147. Число 147 нельзя разложить на два квадратных множителя, но его можно разложить на следующие множители: 49 и 3. Решите задачу следующим образом:
  - √147
  - = √(49 х 3)
  - = √49 х √3
  - = 7√3
4
Если нужно, оцените значение корня. Теперь можно оценить значение корня (найти приблизительное значение), сравнив его со значениями корней квадратных чисел, находящихся ближе всего (с обеих сторон на числовой прямой) к подкоренному числу. Вы получите значение корня в виде десятичной дроби, которую необходимо умножить на число, стоящее за знаком корня.
- Вернемся к нашему примеру. Подкоренное число 3. Ближайшими к нему квадратными числами будут числа 1 (√1 = 1) и 4 (√4 = 2). Таким образом, значение √3 расположено между 1 и 2. Та как значение √3, вероятно, ближе к 2, чем к 1, то наша оценка: √3 = 1,7. Умножаем это значение на число у знака корня: 7 х 1,7 = 11,9. Если вы сделаете расчеты на калькуляторе, то получите 12,13, что довольно близко к нашему ответу.
  - Этот метод также работает с большими числами. Например, рассмотрим √35. Подкоренное число 35. Ближайшими к нему квадратными числами будут числа 25 (√25 = 5) и 36 (√36 = 6). Таким образом, значение √35 расположено между 5 и 6. Так как значение √35 намного ближе к 6, чем к 5 (потому что 35 всего на 1 меньше 36), то можно заявить, что √35 немного меньше 6. Проверка на калькуляторе дает нам ответ 5,92 – мы были правы.
5
Еще один способ – разложите подкоренное число на простые множители. Простые множители – числа, которые делятся только на 1 и самих себя. Запишите простые множители в ряд и найдите пары одинаковых множителей. Такие множители можно вынести за знак корня.
- Например, вычислите квадратный корень из 45. Раскладываем подкоренное число на простые множители: 45 = 9 х 5, а 9 = 3 х 3. Таким образом, √45 = √(3 х 3 х 5). 3 можно вынести за знак корня: √45 = 3√5. Теперь можно оценить √5.
- Рассмотрим другой пример: √88.
  - √88
  - = √(2 х 44)
  - = √ (2 х 4 х 11)
  - = √ (2 х 2 х 2 х 11). Вы получили три множителя 2; возьмите пару из них и вынесите за знак корня.
  - = 2√(2 х 11) = 2√2 х √11. Теперь можно оценить √2 и √11 и найти приблизительный ответ.
Реклама

При помощи деления в столбик

1
Этот метод включает процесс, аналогичный делению в столбик, и дает точный ответ. Сначала проведите вертикальную линию, делящую лист на две половины, а затем справа и немного ниже верхнего края листа к вертикальной линии пририсуйте горизонтальную линию. Теперь разделите подкоренное число на пары чисел, начиная с дробной части после запятой. Так, число 79520789182,47897 записывается как “7 95 20 78 91 82, 47 89 70”.
- Для примера вычислим квадратный корень числа 780,14. Нарисуйте две линии (как показано на рисунке) и слева сверху напишите данное число в виде “7 80, 14”. Это нормально, что первая слева цифра является непарной цифрой. Ответ (корень из данного числа) будете записывать справа сверху.
2
Для первой слева пары чисел (или одного числа) найдите наибольшее целое число n, квадрат которого меньше или равен рассматриваемой паре чисел (или одного числа). Другими словами, найдите квадратное число, которое расположено ближе всего к первой слева паре чисел (или одному числу), но меньше ее, и извлеките квадратный корень из этого квадратного числа; вы получите число n. Напишите найденное n сверху справа, а квадрат n запишите снизу справа.
- В нашем случае, первым слева числом будет число 7. Далее, 4 < 7, то есть 2² < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа – это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.
3
Вычтите квадрат числа n, которое вы только что нашли, из первой слева пары чисел (или одного числа). Результат вычисления запишите под вычитаемым (квадратом числа n).
- В нашем примере вычтите 4 из 7 и получите 3.
4
Снесите вторую пару чисел и запишите ее около значения, полученного в предыдущем шаге. Затем удвойте число сверху справа и запишите полученный результат снизу справа с добавлением “_×_=”.
- В нашем примере второй парой чисел является “80”. Запишите “80” после 3. Затем, удвоенное число сверху справа дает 4. Запишите “4_×_=” снизу справа.
5
Заполните прочерки справа. Найдите такое наибольшее число на место прочерков справа (вместо прочерков нужно подставить одно и тоже число), чтобы результат умножения был меньше или равен текущему числу слева.
- В нашем случае, если вместо прочерков поставить число 8, то 48 х 8 = 384, что больше 380. Поэтому 8 – слишком большое число, а вот 7 подойдет. Напишите 7 вместо прочерков и получите: 47 х 7 = 329. Запишите 7 сверху справа – это вторая цифра в искомом квадратном корне числа 780,14.
6
Вычтите полученное число из текущего числа слева. Запишите результат из предыдущего шага под текущим числом слева, найдите разницу и запишите ее под вычитаемым.
- В нашем примере, вычтите 329 из 380, что равно 51.
7
Повторите шаг 4. Если сносимой парой чисел является дробная часть исходного числа, то поставьте разделитель (запятую) целой и дробной частей в искомом квадратном корне сверху справа. Слева снесите вниз следующую пару чисел. Удвойте число сверху справа и запишите полученный результат снизу справа с добавлением “_×_=”.
- В нашем примере следующей сносимой парой чисел будет дробная часть числа 780.14, поэтому поставьте разделитель целой и дробной частей в искомом квадратном корне сверху справа. Снесите 14 и запишите снизу слева. Удвоенным числом сверху справа (27) будет 54, поэтому напишите “54_×_=” снизу справа.
8
Повторите шаги 5 и 6. Найдите такое наибольшее число на место прочерков справа (вместо прочерков нужно подставить одно и тоже число), чтобы результат умножения был меньше или равен текущему числу слева.
- В нашем примере 549 х 9 = 4941, что меньше текущего числа слева (5114). Напишите 9 сверху справа и вычтите результат умножения из текущего числа слева: 5114 – 4941 = 173.
9

Если для квадратного корня вам необходимо найти больше знаков после запятой, напишите пару нулей у текущего числа слева и повторяйте шаги 4, 5 и 6. Повторяйте шаги, до тех пор пока не получите нужную вам точность ответа (число знаков после запятой).

Реклама

Понимание процесса

1

Для усвоения данного метода представьте число, квадратный корень которого необходимо найти, как площадь квадрата S. В этом случае вы будете искать длину стороны L такого квадрата. Вычисляем такое значение L, при котором L² = S.
2

Задайте букву для каждой цифры в ответе. Обозначим через A первую цифру в значении L (искомый квадратный корень). B будет второй цифрой, C – третьей и так далее.
3

Задайте букву для каждой пары первых цифр. Обозначим через S_a первую пару цифр в значении S, через S_b – вторую пару цифр и так далее.
4

Уясните связь данного метода с делением в столбик. Как и в операции деления, где каждый раз нас интересует только одна следующая цифра делимого числа, при вычислении квадратного корня мы последовательно работаем с парой цифр (для получения одной следующей цифры в значении квадратного корня).
5
Рассмотрим первую пару цифр Sa числа S (Sa = 7 в нашем примере) и найдем ее квадратный корень. В этом случае первой цифрой A искомого значения квадратного корня будет такая цифра, квадрат которой меньше или равен S_a (то есть ищем такое A, при котором выполняется неравенство A² ≤ Sa < (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.
- Допустим, что нужно разделить 88962 на 7; здесь первый шаг будет аналогичным: рассматриваем первую цифру делимого числа 88962 (8) и подбираем такое наибольшее число, которое при умножении на 7 дает значение меньшее или равное 8. То есть ищем такое число d, при котором верно неравенство: 7×d ≤ 8 < 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.
6
Мысленно представьте квадрат, площадь которого вам нужно вычислить. Вы ищите L, то есть длину стороны квадрата, площадь которого равна S. A, B, C – цифры в числе L. Записать можно иначе: 10А + B = L (для двузначного числа) или 100А + 10В + С = L (для трехзначного числа) и так далее.
- Пусть (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². Запомните, что 10A+B – это такое число, у которого цифра B означает единицы, а цифра A – десятки. Например, если A=1 и B=2, то 10A+B равно числу 12.(10A+B)² – это площадь всего квадрата, 100A² – площадь большого внутреннего квадрата, B² – площадь малого внутреннего квадрата, 10A×B – площадь каждого из двух прямоугольников. Сложив площади описанных фигур, вы найдете площадь исходного квадрата.
7

Вычтите A² из S_a. Для учета множителя 100 снесите одну пару цифр (S_b) из S: вам нужно, чтобы “SaSb” было равным общей площади квадрата, и из нее вычтите 100A² (площадь большого квадрата). В результате получите число N1, стоящее слева в шаге 4 (N = 380 в нашем примере). N1 = 2×10A×B + B² (площадь двух прямоугольников плюс площадь малого квадрата).
8

Выражение N1 = 2×10A×B + B² можно записать как N1 = (2×10A + B) × B. В нашем примере вам известно значение N1 (=380) и A(=2) и необходимо вычислить B. Скорее всего, B не является целым числом, поэтому необходимо найти наибольшее целое B, удовлетворяющее условию: (2×10A + B) × B ≤ N1. При этом B+1 будет слишком большим, поэтому N1 < (2×10A + (B+1)) × (B+1).
9

Решите уравнение. Для решения умножьте A на 2, переведите результат в десятки (что эквивалентно умножению на 10), поместите B в положение единиц, и умножьте это число на B. Это число (2×10A + B) × B и это выражение абсолютно идентичны записи “N_×_=” (где N=2×A) сверху справа в шаге 4. А в шаге 5 вы находите наибольшее целое B, которое ставится на место прочерков и соответствует неравенству: (2×10A + B) × B ≤ N1.
10

Вычтите площадь (2×10A + B) × B из общей площади (слева в шаге 6). Так вы получите площадь S-(10A+B)², которая еще не учитывалась (и которая поможет вычислить следующие цифры).
11

Для вычисления следующей цифры C повторите процесс. Слева снесите следующую пару цифр (Sc) из S для получения N2 и найдите наибольшее C, удовлетворяющее условию (2×10×(10A+B)+C) × C ≤ N2 (что эквивалентно двукратному написанию числа из пары цифр “A B” с соответствующим “_×_=”, и нахождению наибольшего числа, которое можно подставить вместо прочерков).

Реклама

Советы

Перемещение десятичного разделителя при увеличении числа на 2 цифры (множитель 100), перемещает десятичный разделить на одну цифру в значении квадратного корня этого числа (множитель 10).
В нашем примере, 1,73 может считаться остатком: 780,14 = 27,9² + 1,73.
Данный метод верен для любых чисел.
Записывайте процесс вычисления в том виде, который вам наиболее удобен. Например, некоторые записывают результат над исходным числом.
Альтернативный метод с использованием непрерывных дробей включает формулу: √z = √(x^2+y) = x + y/(2x + y/(2x + y/(2x + …))). Например, для вычисления квадратного корня из 780,14, целым числом, квадрат которого близок к 780,14 будет число 28, поэтому z=780,14, x=28, y=-3,86. Подставляя эти значения в уравнение и решая его в упрощении до х+у/(2x), уже в младших членах получаем результат 78207/2800 или около 27,931(1), а в следующих членах 4374188/156607 или около 27,930986(5). Решение каждого последующего члена добавляет около 3 цифр к дробной доли по сравнению с предыдущем членом.

Предупреждения

Не забудьте разделить число на пары, начиная с дробной части числа. Например, разделяя 79520789182,47897 как “79 52 07 89 18 2,4 78 97″, вы получите бессмысленное число.

Источники

Об этой статье

Эту страницу просматривали 926 223 раза.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Важно!

Иррациональностью в знаменателе (нижней части дроби) называют
наличие корней в знаменателе.

Что такое иррациональность в знаменателе дроби

Рассмотрим на примерах ниже, в каких дробях в знаменателе есть иррациональность, а в каких её нет.

в знаменателе нет корней, значит иррациональности
нет;
в знаменателе есть
корень
«√6» —
иррациональность в знаменателе есть.
в знаменателе есть корни

«√7»
и

«√3»

— иррациональность есть.
в знаменателе есть
корень
«√c − 3»
— иррациональность в знаменателе есть.

Запомните!

Избавиться от иррациональности в знаменателе означает убрать все корни
из знаменателя.

Возникает логичный вопрос, как это можно сделать?

Чаще всего встречаются два вида примеров. Рассмотрим решение обоих видов.

Как избавиться от иррациональности, когда в знаменателе только один корень

На помощь приходит основное свойство дроби.
Вспомним, что оно позволяет умножить и разделить дробь на одно
и то же число, чтобы в конечном итоге дробь не изменилась.

Запомните!

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе с одним корнем, нужно умножить и числитель,
и знаменатель на корень из знаменателя.

По традиции разберемся на практике.

Разбор примера

Исключить иррациональность из знаменателя:

Зададим себе вопрос, на что нужно умножить
«√5»
в
знаменателе, чтобы избавиться от корня.

Ответ: на «√5».
В самом деле, если квадратный корень умножить сам на себя получится число под корнем. Проверим.

√5 ·
√5 =

√5 · 5 =
√5² =
5

Используем основное свойство дроби, умножим и числитель, и знаменатель на
«√5», чтобы избавиться от корня в знаменателе.

Как избавиться от иррациональности, когда в знаменателе несколько корней

Разберемся по традиции на примере.

Разбор примера

Исключить иррациональность из знаменателя:

На что нужно умножить знаменатель
«2 − √3»,

чтобы убрать из него корень?

Теперь недостаточно умножить знаменатель на

«√3»,
ведь в таком
случае все равно остается квадратный корень.

(2 − √3) ·

√3 =

2√3 −

√3 · √3

2√3 − 3

Мы видим, что корень никуда не исчез. Нужно искать другие варианты решения.

Вспомним формулу сокращенного умножения
«Разность квадратов».

a² − b² = (a + b)(a − b)

Формула разности квадратов также работает в обратную сторону.

(a + b)(a − b) = a² − b²

Представим,
что «2 − √3» —
это часть формулы.

(a + b)(a − b) = a² − b²

(? + ?)(2 − √3) = ?² − ?²

Логично предположить, что в формуле «a» — это
«2», «b» —
«√3».
Подставим вместо знаков «?» числа.

(a + b)(a − b) = a² − b²

(2 + √3)(2 − √3) =
2² − √3² =
4 − 3 = 1

То есть, чтобы избавиться от иррациональности в дроби
требуется умножить знаменатель
«2 − √3»

на

«2 + √3»

и через формулу «Разность квадратов» убрать квадратные корни.

Не забываем, что по основному свойству дроби мы обязаны также умножить числитель на
«2 + √3».

1 · (2 + √3)

(2 − √3)
· (2 + √3)

= 2 + √3

Примеры освобождения от иррациональности в знаменателе

Разбор примера

Исключить иррациональность из знаменателя:

Рассмотрим пример, когда в знаменателе несколько корней.

Используем формулу сокращенного умножения «Разность квадратов».

a² − b² = (a + b)(a − b)
(a + b)(a − b) = a² − b²

Умножим и числитель, и знаменатель на
«(√5 − √7)»,
чтобы использовать формулу сокращённого умножения в знаменателе и избавиться от корней.

(√5 − √7)(√5 − √7)

(√5 + √7)(√5 − √7)

= …

Используем в числителе (наверху в дроби) формулу
«Квадрат разности».

(√5 − √7)(√5 − √7)

(√5 + √7)(√5 − √7)

(√5)² − 2 · √5 · √7 + (√7)²

√5² − √7²

=

=

−

= …

Вынесем общий множитель в числителе и
сократим дробь.

(√5 − √7)(√5 − √7)

(√5 + √7)(√5 − √7)

(√5)² − 2 · √5 · √7 + (√7)²

√5² − √7²

−

(6 − √35)
= −6 + √35

Разбор примера

Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

Используем формулу сокращенного умножения «Разность квадратов».

a² − b² = (a + b)(a − b)
(a + b)(a − b) = a² − b²

Умножим и числитель, и знаменатель на
«(√a + √b)»,
чтобы использовать формулу «Разность квадратов» в знаменателе и освободиться от корней.

1 · (√a + √b)

(√a − √b) · (√a + √b)

Ваши комментарии

Важно!

Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи

«ВКонтакте».

Оставить комментарий:

Источник

Факт 1.
(bullet) Возьмем некоторое неотрицательное число (a) (то есть (ageqslant 0)). Тогда (арифметическим) квадратным корнем из числа (a) называется такое неотрицательное число (b), при возведении которого в квадрат мы получим число (a): [sqrt a=bquad text{то же самое, что }quad a=b^2] Из определения следует, что (ageqslant 0, bgeqslant 0). Эти ограничения являются важным условием существования квадратного корня и их следует запомнить!
Вспомним, что любое число при возведении в квадрат дает неотрицательный результат. То есть (100^2=10000geqslant 0) и ((-100)^2=10000geqslant 0).
(bullet) Чему равен (sqrt{25})? Мы знаем, что (5^2=25) и ((-5)^2=25). Так как по определению мы должны найти неотрицательное число, то (-5) не подходит, следовательно, (sqrt{25}=5) (так как (25=5^2)).
Нахождение значения (sqrt a) называется извлечением квадратного корня из числа (a), а число (a) называется подкоренным выражением.
(bullet) Исходя из определения, выражения (sqrt{-25}), (sqrt{-4}) и т.п. не имеют смысла.

Факт 2.
Для быстрых вычислений полезно будет выучить таблицу квадратов натуральных чисел от (1) до (20): [begin{array}{|ll|}
hline
1^2=1 & quad11^2=121 \
2^2=4 & quad12^2=144\
3^2=9 & quad13^2=169\
4^2=16 & quad14^2=196\
5^2=25 & quad15^2=225\
6^2=36 & quad16^2=256\
7^2=49 & quad17^2=289\
8^2=64 & quad18^2=324\
9^2=81 & quad19^2=361\
10^2=100& quad20^2=400\
hline end{array}]

Факт 3.
Какие действия можно выполнять с квадратными корнями?
(bullet) Сумма или разность квадратных корней НЕ РАВНА квадратному корню из суммы или разности, то есть [sqrt apmsqrt bne sqrt{apm b}] Таким образом, если вам нужно вычислить, например, (sqrt{25}+sqrt{49}), то первоначально вы должны найти значения (sqrt{25}) и (sqrt{49}), а затем их сложить. Следовательно, [sqrt{25}+sqrt{49}=5+7=12] Если значения (sqrt a) или (sqrt b) при сложении (sqrt
a+sqrt b) найти не удается, то такое выражение дальше не преобразуется и остается таким, как есть. Например, в сумме (sqrt
2+ sqrt {49}) мы можем найти (sqrt{49}) – это (7), а вот (sqrt
2) никак преобразовать нельзя, поэтому (sqrt 2+sqrt{49}=sqrt
2+7). Дальше это выражение, к сожалению, упростить никак нельзя

(bullet) Произведение/частное квадратных корней равно квадратному корню из произведения/частного, то есть [sqrt acdot sqrt b=sqrt{ab}quad text{и}quad
sqrt a:sqrt b=sqrt{a:b}] (при условии, что обе части равенств имеют смысл)
Пример: (sqrt{32}cdot sqrt 2=sqrt{32cdot
2}=sqrt{64}=8);

(sqrt{768}:sqrt3=sqrt{768:3}=sqrt{256}=16);

(sqrt{(-25)cdot (-64)}=sqrt{25cdot 64}=sqrt{25}cdot sqrt{64}=
5cdot 8=40).

(bullet) Пользуясь этими свойствами, удобно находить квадратные корни из больших чисел путем разложения их на множители.
Рассмотрим пример. Найдем (sqrt{44100}). Так как (44100:100=441), то (44100=100cdot 441). По признаку делимости число (441) делится на (9) (так как сумма его цифр равна 9 и делится на 9), следовательно, (441:9=49), то есть (441=9cdot 49).
Таким образом, мы получили: [sqrt{44100}=sqrt{9cdot 49cdot 100}=
sqrt9cdot sqrt{49}cdot sqrt{100}=3cdot 7cdot 10=210] Рассмотрим еще один пример: [sqrt{dfrac{32cdot 294}{27}}=
sqrt{dfrac{16cdot 2cdot 3cdot 49cdot 2}{9cdot 3}}= sqrt{
dfrac{16cdot4cdot49}{9}}=dfrac{sqrt{16}cdot sqrt4 cdot
sqrt{49}}{sqrt9}=dfrac{4cdot 2cdot 7}3=dfrac{56}3]
(bullet) Покажем, как вносить числа под знак квадратного корня на примере выражения (5sqrt2) (сокращенная запись от выражения (5cdot
sqrt2)). Так как (5=sqrt{25}), то [5sqrt2=sqrt{25}cdot sqrt2=sqrt{25cdot 2}=sqrt{50}] Заметим также, что, например,
1) (sqrt2+3sqrt2=4sqrt2),
2) (5sqrt3-sqrt3=4sqrt3)
3) (sqrt a+sqrt a=2sqrt a).

Почему так? Объясним на примере 1). Как вы уже поняли, как-то преобразовать число (sqrt2) мы не можем. Представим, что (sqrt2) – это некоторое число (a). Соответственно, выражение (sqrt2+3sqrt2) есть не что иное, как (a+3a) (одно число (a) плюс еще три таких же числа (a)). А мы знаем, что это равно четырем таким числам (a), то есть (4sqrt2).

Факт 4.
(bullet) Часто говорят “нельзя извлечь корень”, когда не удается избавиться от знака (sqrt {} ) корня (радикала) при нахождении значения какого-то числа. Например, извлечь корень из числа (16) можно, потому что (16=4^2), поэтому (sqrt{16}=4). А вот извлечь корень из числа (3), то есть найти (sqrt3), нельзя, потому что нет такого числа, которое в квадрате даст (3).
Такие числа (или выражения с такими числами) являются иррациональными. Например, числа (sqrt3, 1+sqrt2, sqrt{15}) и т.п. являются иррациональными.
Также иррациональными являются числа (pi) (число “пи”, приблизительно равное (3,14)), (e) (это число называют числом Эйлера, приблизительно оно равно (2,7)) и т.д.
(bullet) Обращаем ваше внимание на то, что любое число будет либо рациональным, либо иррациональным. А вместе все рациональные и все иррациональные числа образуют множество, называющееся множеством действительных (вещественных) чисел. Обозначается это множество буквой (mathbb{R}).
Значит, все числа, которые на данный момент мы знаем, называются вещественными числами.

Факт 5.
(bullet) Модуль вещественного числа (a) – это неотрицательное число (|a|), равное расстоянию от точки (a) до (0) на вещественной прямой. Например, (|3|) и (|-3|) равны 3, так как расстояния от точек (3) и (-3) до (0) одинаковы и равны (3).
(bullet) Если (a) – неотрицательное число, то (|a|=a).
Пример: (|5|=5); (qquad |sqrt2|=sqrt2).

(bullet) Если (a) – отрицательное число, то (|a|=-a).
Пример: (|-5|=-(-5)=5); (qquad |-sqrt3|=-(-sqrt3)=sqrt3).
Говорят, что у отрицательных чисел модуль “съедает” минус, а положительные числа, а также число (0), модуль оставляет без изменений.
НО такое правило годится только для чисел. Если у вас под знаком модуля находится неизвестная (x) (или какая-то другая неизвестная), например, (|x|), про которую мы не знаем, положительная она, равна нулю или отрицательная, то избавиться от модуля мы не можем. В этом случае это выражение таким и остается: (|x|).

(bullet) Имеют место следующие формулы: [{large{sqrt{a^2}=|a|}}] [{large{(sqrt{a})^2=a}},
text{ при условии } ageqslant 0] Очень часто допускается такая ошибка: говорят, что (sqrt{a^2}) и ((sqrt a)^2) – одно и то же. Это верно только в том случае, когда (a) – положительное число или ноль. А вот если (a) – отрицательное число, то это неверно. Достаточно рассмотреть такой пример. Возьмем вместо (a) число (-1). Тогда (sqrt{(-1)^2}=sqrt{1}=1), а вот выражение ((sqrt {-1})^2) вообще не существует (ведь нельзя под знак корня помещать отрицательные числа!).
Поэтому обращаем ваше внимание на то, что (sqrt{a^2}) не равен ((sqrt a)^2)!

Пример: 1) (sqrt{left(-sqrt2right)^2}=|-sqrt2|=sqrt2), т.к. (-sqrt2<0);

(phantom{00000}) 2) ((sqrt{2})^2=2).

(bullet) Так как (sqrt{a^2}=|a|), то [sqrt{a^{2n}}=|a^n|] (выражение (2n) обозначает четное число)
То есть при извлечении корня из числа, находящегося в какой-то степени, эта степень уменьшается в два раза.
Пример:
1) (sqrt{4^6}=|4^3|=4^3=64)
2) (sqrt{(-25)^2}=|-25|=25) (заметим, что если модуль не поставить, то получится, что корень из числа равен (-25); но мы помним, что по определению корня такого быть не может: у нас всегда при извлечении корня должно получаться положительное число или ноль)
3) (sqrt{x^{16}}=|x^8|=x^8) (так как любое число в четной степени неотрицательно)

Факт 6.
Как сравнить два квадратных корня?
(bullet) Для квадратных корней верно: если (sqrt a<sqrt b), то (a<b); если (sqrt a=sqrt b), то (a=b).
Пример:
1) сравним (sqrt{50}) и (6sqrt2). Для начала преобразуем второе выражение в (sqrt{36}cdot sqrt2=sqrt{36cdot 2}=sqrt{72}). Таким образом, так как (50<72), то и (sqrt{50}<sqrt{72}). Следовательно, (sqrt{50}<6sqrt2).
2) Между какими целыми числами находится (sqrt{50})?
Так как (sqrt{49}=7), (sqrt{64}=8), а (49<50<64), то (7<sqrt{50}<8), то есть число (sqrt{50}) находится между числами (7) и (8).
3) Сравним (sqrt 2-1) и (0,5). Предположим, что (sqrt2-1>0,5): [begin{aligned}
&sqrt 2-1>0,5 big| +1quad text{(прибавим единицу к обеим
частям)}\[1ex]
&sqrt2>0,5+1 big| ^2 quadtext{(возведем обе части в
квадрат)}\[1ex]
&2>1,5^2\
&2>2,25 end{aligned}] Видим, что мы получили неверное неравенство. Следовательно, наше предположение было неверным и (sqrt 2-1<0,5).
Заметим, что прибавление некоторого числа к обеим частям неравенства не влияет на его знак. Умножение/деление обеих частей неравенства на положительное число также не влияет на его знак, а умножение/деление на отрицательное число меняет знак неравенства на противоположный!
Возводить обе части уравнения/неравенства в квадрат можно ТОЛЬКО ТОГДА, когда обе части неотрицательные. Например, в неравенстве из предыдущего примера возводить обе части в квадрат можно, в неравенстве (-3<sqrt2) нельзя (убедитесь в этом сами)!

(bullet) Следует запомнить, что [begin{aligned}
&sqrt 2approx 1,4\[1ex]
&sqrt 3approx 1,7 end{aligned}] Знание приблизительного значения данных чисел поможет вам при сравнении чисел!

(bullet) Для того, чтобы извлечь корень (если он извлекается) из какого-то большого числа, которого нет в таблице квадратов, нужно сначала определить, между какими “сотнями” оно находится, затем – между какими “десятками”, а потом уже определить последнюю цифру этого числа. Покажем, как это работает, на примере.
Возьмем (sqrt{28224}). Мы знаем, что (100^2=10,000), (200^2=40,000) и т.д. Заметим, что (28224) находится между (10,000) и (40,000). Следовательно, (sqrt{28224}) находится между (100) и (200).
Теперь определим, между какими “десятками” находится наше число (то есть, например, между (120) и (130)). Также из таблицы квадратов знаем, что (11^2=121), (12^2=144) и т.д., тогда (110^2=12100), (120^2=14400), (130^2=16900), (140^2=19600), (150^2=22500), (160^2=25600), (170^2=28900). Таким образом, мы видим, что (28224) находится между (160^2) и (170^2). Следовательно, число (sqrt{28224}) находится между (160) и (170).
Попробуем определить последнюю цифру. Давайте вспомним, какие однозначные числа при возведении в квадрат дают на конце (4)? Это (2^2) и (8^2). Следовательно, (sqrt{28224}) будет заканчиваться либо на 2, либо на 8. Проверим это. Найдем (162^2) и (168^2):
(162^2=162cdot 162=26224)
(168^2=168cdot 168=28224).
Следовательно, (sqrt{28224}=168). Вуаля!

Источник

График функции

Куби́ческий ко́рень из a, обозначающийся как или как a^1/3 — это число куб которого равен Другими словами, это решение уравнения $x^{3}=a$ (обычно подразумеваются вещественные решения).

Вещественный корень[править | править код]

Кубический корень — нечётная функция. В отличие от квадратного корня, кубический корень может быть извлечён и из отрицательных чисел (так, чтобы получился действительный результат):

Комплексный корень[править | править код]

Кубический корень из ненулевого комплексного числа имеет ровно три значения (частный случай свойства корня n-ой степени):

${displaystyle {sqrt[{3}]{c}}={sqrt[{3}]{left|cright|}}left(cos {frac {varphi +2kpi }{3}}+isin {frac {varphi +2kpi }{3}}right),quad k=0,1,2,dots quad varphi =arg {c}.}$

Здесь под понимается арифметический корень из положительного числа

В частности

${sqrt[ {3}]{1}}={begin{cases}1\cos {{frac {2pi }{3}}}+isin {{frac {2pi }{3}}}=-{frac {1}{2}}+i{frac {{sqrt {3}}}{2}}\cos {{frac {2pi }{3}}}-isin {{frac {2pi }{3}}}=-{frac {1}{2}}-i{frac {{sqrt {3}}}{2}}end{cases}}$

${sqrt[ {3}]{-1}}={begin{cases}-1\cos {{frac {pi }{3}}}+isin {{frac {pi }{3}}}={frac {1}{2}}+i{frac {{sqrt {3}}}{2}}\cos {{frac {pi }{3}}}-isin {{frac {pi }{3}}}={frac {1}{2}}-i{frac {{sqrt {3}}}{2}}end{cases}}$

Два комплексных значения кубического корня получаются из вещественных по формуле:

${sqrt[ {3}]{x}}_{{2,3}}={sqrt[ {3}]{x}}left(-{frac {1}{2}}pm i{frac {{sqrt {3}}}{2}}right).$

Эти значения необходимо знать для решения кубических уравнений по формуле Кардано.

Показательная форма[править | править код]

Главное значение корня из комплексного числа можно определить так:

$x^{{1/3}}=exp({tfrac 13}ln {x})$

Где ln — главное значение натурального логарифма.

Если представить как

то формула кубического такова:

${sqrt[ {3}]{x}}={sqrt[ {3}]{r}}exp({tfrac 13}itheta ).$

Это геометрически означает, что в полярных координатах мы берем кубический корень с модулем и делим полярный угол исходного аргумента на три. Значит, если комплексное, то будет обозначать не , а будет

Интересные факты[править | править код]

Кубический корень не может быть извлечён с помощью циркуля и линейки. Именно поэтому неразрешимы сводимые к извлечению кубического корня классические задачи: удвоение куба, трисекция угла, а также построение правильного семиугольника.

При постоянной плотности вещества размеры двух подобных тел относятся друг к другу как кубические корни их масс. Так, если один арбуз весит вдвое больше, чем другой, то его диаметр (а также окружность) будет всего лишь чуть больше, чем на четверть (на 26 %) больше, чем у первого; и на глаз будет казаться, что разница в весе не столь существенна. Поэтому при отсутствии весов (продажа на глазок) обычно более выгодно покупать бо́льший плод.

Способы вычисления[править | править код]

Столбиком[править | править код]

Перед началом необходимо разделить число на тройки (целую часть — справа налево, дробную — слева направо).
Когда Вы достигли десятичной запятой, в конце результата необходимо поставить десятичную запятую.

Алгоритм таков:

Найдите число, куб которого меньше первой группы цифр, но при её увеличении на 1 она становится больше. Выпишите найденное число справа от данного числа. Под ним запишите число 3.
Запишите куб найденного числа под первой группой цифр и произведите вычитание. Результат после вычитания запишите под вычитаемым. Далее снесите следующую группу цифр.
Далее найденный промежуточный ответ заменим буквой . Вычислите по формуле $300times a^{2}times x+30times atimes x^{2}+x^{3}$ такое число , что его результат меньше нижнего числа, но при увеличении на 1 становится больше. Запишите найденное справа от ответа. Если достигнута необходимая точность, прекратите вычисления.
Запишите под нижним числом результат вычисления по формуле $300times a^{2}times x+30times atimes x^{2}+x^{3}$ и произведите вычитание. Перейдите к пункту 3.

См. также[править | править код]

Корень (математика)
Квадратный корень

Литература[править | править код]

Корн Г., Корн Т. 1.3-3. Представление суммы, произведения и частного. Степени и корни // Справочник по математике. — 4-е издание. — М.: Наука, 1978. — С. 32—33.

Источник

При помощи деления в столбик

Понимание процесса

Советы

Предупреждения

Похожие статьи

Источники

Об этой статье

Была ли эта статья полезной?

Что такое иррациональность в знаменателе дроби

Как избавиться от иррациональности, когда в знаменателе только один корень

Разбор примера

Как избавиться от иррациональности, когда в знаменателе несколько корней

Разбор примера

Примеры освобождения от иррациональности в знаменателе

Разбор примера

Разбор примера

Ваши комментарии

Вещественный корень[править | править код]

Комплексный корень[править | править код]

Показательная форма[править | править код]

Интересные факты[править | править код]

Способы вычисления[править | править код]

Столбиком[править | править код]

См. также[править | править код]

Литература[править | править код]

Добавить комментарий Отменить ответ

При помощи деления в столбик

Понимание процесса

Советы

Предупреждения

Похожие статьи

Источники

Об этой статье

Была ли эта статья полезной?

Что такое иррациональность в знаменателе дроби

Как избавиться от иррациональности, когда в знаменателе только один корень

Разбор примера

Как избавиться от иррациональности, когда в знаменателе несколько корней

Разбор примера

Примеры освобождения от иррациональности в знаменателе

Разбор примера

Разбор примера

Ваши комментарии

Вещественный корень[править | править код]

Комплексный корень[править | править код]

Показательная форма[править | править код]

Интересные факты[править | править код]

Способы вычисления[править | править код]

Столбиком[править | править код]

См. также[править | править код]

Литература[править | править код]

Вам также может понравиться

Как найти хорошего адвоката в сша

Как найти золото в китае

Как найти косинус по теореме косинусов теорема

Добавить комментарий Отменить ответ