Отбор корней с помощью тригонометрического круга
В заданиях, где требуется отобрать корни тригонометрического уравнения, принадлежащие определенному числовому промежутку, можно использовать тригокруг. Этот метод отбора корней является наиболее распространенным. Его плюсы заключаются в том, что это визуальный метод, т. е. отбор корней происходит наглядно, но у этого есть и свои недостатки – углов бесконечное множество, из которых только 360° можно визуализировать на тригокруге, поэтому может возникнуть путаница с количеством оборотов по нему.
«ОБОРОТЫ» ПО ТРИГОКРУГУ И СООТВЕТВЕТСТВУЮЩИЕ ИМ УГЛЫ:
АЛГОРИТМ ОТБОРА КОРНЕЙ С ПОМОЩЬЮ ТРИГОКРУГА
-
Отмечаем получившийся угол на тригокруге. Это будет серия ответов – бесконечное количество углов, визуально находящееся на тригокруге в одной точке.
-
Отмечаем нужную дугу, т. е. обозначаем указанный промежуток, в котором нужно отобрать корни.
-
Определяем корни, попадающие в эту дугу.
-
Находим искомые углы учитывая обороты – прибавляем соответствующее количество периодов к отмеченному на окружности углу.
Пример:
Даны корни уравнения:
(x_{1} = frac{pi}{3} + 2pi n, nmathbb{in Z})
(x_{2} = frac{2pi}{3} + 2pi n, nmathbb{in Z})
Найдите корни, принадлежащие отрезку (leftlbrack – pi, frac{3pi}{2} rightrbrack).
-
Каждый из этих корней включает в себя бесконечное количество углов. Отметим эти серии ответов на тригокруге:
-
При этом мы знаем, что нужные корни должны находиться на промежутке (leftlbrack – pi, frac{3pi}{2} rightrbrack). Этот промежуток занимает больше, чем один оборот. Обозначим его так:
-
Так как промежуток занимает больше одного круга, каждая серия ответов так или иначе попадет в этот него.
-
Теперь определим, на каком обороте серии ответов попадут именно в этот промежуток. Если мы будем идти по тригокругу от (- pi) до (frac{3pi}{2}), то попадем в точки с сериями ответов по одному разу – в первом обороте после нуля. Тогда получим следующие углы:
Запишем ответ.
Ответ: (frac{pi}{3});( frac{2pi}{3}).
Важно! Чтобы решение было обоснованным, очень важно отметить всё на круге: и точки, и углы, и промежуток.
Довольно часто в ОГЭ по математике в седьмом номере появляются корни. Сегодня разберем самый оптимальный способ решения таких заданий. Формулировка задания следующая.
На координатной прямой отмечено 4 точки (A, B, C, D) и 3 цифры (8, 9, 10). Нам нужно понять, какой точке будет соответствовать корень из 77.
Проще всего будет перевести значения, которые у нас отмечены на прямой в числа с корнями. 8-ка под корнем будет как 64, 9-ка станет 81, а 10 превратится в 100.
Теперь мы можем сопоставлять эти значения под корнем, корню из 77. Корень из 77 будет точно больше корня из 64 и меньше корня из 81. Значит искомая нами точка будет либо А, либо В.
Далее нужно понять, к какой отметке корень из 77 приближен больше. К корню из 64 или к корню из 81.
|81-77|=4
|64-77|=13
Меньшее расстояние получилось с отметкой корень из 81, значит наша точка находится под буквой В.
Теперь смотрим на варианты ответов и понимаем, что правильный будет находиться под номером 2.
Читай другие статьи с разборами задания номер 7 ОГЭ по математике 2021.
Задание с координатной прямой с неравенствами №7 ОГЭ по математике
Как можно проще решить задание №7 по ОГЭ по математике с дробями
Что же за фигура получится? Какой четырехугольник? Ване то было хорошо. Он знал все скорости и время. А мы то не знаем скорости.
Тогда пусть скорость Вани пешком будет – х км/ч, Тогда скорость бега Вани будет – 2•x км/ч
А скорость лошадки мчащейся во весь опор будет – y км/ч
Расстояние направо от камня будет = (1ч)•(x км/ч) = х км
Расстояние налево от камня будет = (0,5ч)•(2x км/ч) = х км
Расстояние вперед от камня будет = (4ч)•(x км/ч) = 4х км
Расстояние назад от камня будет = (2ч)•(y км/ч) = 2y км
Нарисуем эту фигуру
Это не обязательно будет ромб. Ромбом эта фигура будет, если y=2x (если лошадка во весь опор скачет так же как бегает Ваня).
А в общем случае эта фигура называется ромбоид, но это нам особо не пригодится.
Видно, что эта фигура состоит из двух равнобедренных треугольников у которых основания равны (х+х)=2х, а высота одного 4х, а высота другого 2y
Соответсвенно площадь 1 треугольника S₁ = (a•h₁)/2 = 2x•4x/2 = 4x²
Площадь 2 треугольника S₂ = (a•h₂)/2 = 2x•2y/2 = 2•x•y
Площадь четырехугольника S = S₁ + S₂ = 4x² + 2xy, при этом S = n²
Откуда получаем, что n² = 4x² + 2xy. Используя основную теорему арифметики, понимаем, что n должно делится на 2 и на х, тогда y тоже должно делится на 2 и на х.
Представим тогда “y” в виде y = 2x•k (k ∈ N). Получается:
n² = 4x² + 4x²•k
n² = (2x)²•(1+k)
Откуда х (скорость Ивана) тоже должна быть целым числом и
(1+k) должно быть квадратом числа. Откуда k = {0;3;8;15;24;35;…(m²-1)}
Ну а теперь немножко погадаем. Лошадка скачет во весь опор. Максимальная скорость лошадей от 50 км/ч до 60 км/ч. Но с такой скоростью лошади скачут короткие расстояния. Тут же лошади предстояло скакать 2ч – это приблизительно от 25 км/ч до 45 км/ч
Скорость пешего человека (Вани) от 2,5 км/ч до 7 км/ч (в среднем ≈ 5 км/ч). Подходят х = {3;4;5;6;7}. Возьмем крайние значения
То есть x = 3 км/ч; y = 2x•k = 2•3•k = 6k и
x = 7 км/ч; y = 2x•k = 2•7•k = 14k
и что бы скорость лошади была в обозначенных пределах подходит только k=3 (от 18 км/ч до 42 км/ч)
Откуда получаем n² = 4x²•4 = 16х² и n = 4x
Если брать среднее х=5 км/ч, то n = 20
Но в принципе скорость пешего Ивана может быть 3 км/ч и 4 км/ч и 5 км/ч и 6 км/ч и 7 км/ч, тогда n = {12;16;20;24;28}
Ответ: целое число равное квадратному корню из площади фигуры четырехугольника может быть числом из набора {12; 16; 20; 24; 28}. Наиболее вероятные варианты 16 или 20
Дополнительно: Фигура ромбом быть не может. Как рассмотрено выше ромбом фигура будет, если скорость лошади = скорости бега Ивана. То есть расстояние назад тоже будет 4х
Но тогда площадь ромба S = d₁•d₂/2 = 2x•8x/2 = 8x². но тогда n = √S = √(8x²) = 2x•√2 – не является целым числом!
Загрузить PDF
Загрузить PDF
До появления калькуляторов студенты и преподаватели вычисляли квадратные корни вручную. Существует несколько способов вычисления квадратного корня числа вручную. Некоторые из них предлагают только приблизительное решение, другие дают точный ответ.
-
1
Разложите подкоренное число на множители, которые являются квадратными числами. В зависимости от подкоренного числа, вы получите приблизительный или точный ответ. Квадратные числа – числа, из которых можно извлечь целый квадратный корень. Множители – числа, которые при перемножении дают исходное число.[1]
Например, множителями числа 8 являются 2 и 4, так как 2 х 4 = 8, числа 25, 36, 49 являются квадратными числами, так как √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Квадратные множители – это множители, которые являются квадратными числами. Сначала попытайтесь разложить подкоренное число на квадратные множители.- Например, вычислите квадратный корень из 400 (вручную). Сначала попытайтесь разложить 400 на квадратные множители. 400 кратно 100, то есть делится на 25 – это квадратное число. Разделив 400 на 25, вы получите 16. Число 16 также является квадратным числом. Таким образом, 400 можно разложить на квадратные множители 25 и 16, то есть 25 х 16 = 400.
- Записать это можно следующим образом: √400 = √(25 х 16).
-
2
Квадратные корень из произведения некоторых членов равен произведению квадратных корней из каждого члена, то есть √(а х b) = √a x √b.[2]
Воспользуйтесь этим правилом и извлеките квадратный корень из каждого квадратного множителя и перемножьте полученные результаты, чтобы найти ответ.- В нашем примере извлеките корень из 25 и из 16.
- √(25 х 16)
- √25 х √16
- 5 х 4 = 20
- В нашем примере извлеките корень из 25 и из 16.
-
3
Если подкоренное число не раскладывается на два квадратных множителя (а так происходит в большинстве случаев), вы не сможете найти точный ответ в виде целого числа. Но вы можете упростить задачу, разложив подкоренное число на квадратный множитель и обыкновенный множитель (число, из которого целый квадратный корень извлечь нельзя). Затем вы извлечете квадратный корень из квадратного множителя и будете извлекать корень из обыкновенного множителя.
- Например, вычислите квадратный корень из числа 147. Число 147 нельзя разложить на два квадратных множителя, но его можно разложить на следующие множители: 49 и 3. Решите задачу следующим образом:
- √147
- = √(49 х 3)
- = √49 х √3
- = 7√3
- Например, вычислите квадратный корень из числа 147. Число 147 нельзя разложить на два квадратных множителя, но его можно разложить на следующие множители: 49 и 3. Решите задачу следующим образом:
-
4
Если нужно, оцените значение корня. Теперь можно оценить значение корня (найти приблизительное значение), сравнив его со значениями корней квадратных чисел, находящихся ближе всего (с обеих сторон на числовой прямой) к подкоренному числу. Вы получите значение корня в виде десятичной дроби, которую необходимо умножить на число, стоящее за знаком корня.
- Вернемся к нашему примеру. Подкоренное число 3. Ближайшими к нему квадратными числами будут числа 1 (√1 = 1) и 4 (√4 = 2). Таким образом, значение √3 расположено между 1 и 2. Та как значение √3, вероятно, ближе к 2, чем к 1, то наша оценка: √3 = 1,7. Умножаем это значение на число у знака корня: 7 х 1,7 = 11,9. Если вы сделаете расчеты на калькуляторе, то получите 12,13, что довольно близко к нашему ответу.
- Этот метод также работает с большими числами. Например, рассмотрим √35. Подкоренное число 35. Ближайшими к нему квадратными числами будут числа 25 (√25 = 5) и 36 (√36 = 6). Таким образом, значение √35 расположено между 5 и 6. Так как значение √35 намного ближе к 6, чем к 5 (потому что 35 всего на 1 меньше 36), то можно заявить, что √35 немного меньше 6. Проверка на калькуляторе дает нам ответ 5,92 – мы были правы.
- Вернемся к нашему примеру. Подкоренное число 3. Ближайшими к нему квадратными числами будут числа 1 (√1 = 1) и 4 (√4 = 2). Таким образом, значение √3 расположено между 1 и 2. Та как значение √3, вероятно, ближе к 2, чем к 1, то наша оценка: √3 = 1,7. Умножаем это значение на число у знака корня: 7 х 1,7 = 11,9. Если вы сделаете расчеты на калькуляторе, то получите 12,13, что довольно близко к нашему ответу.
-
5
Еще один способ – разложите подкоренное число на простые множители. Простые множители – числа, которые делятся только на 1 и самих себя. Запишите простые множители в ряд и найдите пары одинаковых множителей. Такие множители можно вынести за знак корня.
- Например, вычислите квадратный корень из 45. Раскладываем подкоренное число на простые множители: 45 = 9 х 5, а 9 = 3 х 3. Таким образом, √45 = √(3 х 3 х 5). 3 можно вынести за знак корня: √45 = 3√5. Теперь можно оценить √5.
- Рассмотрим другой пример: √88.
- √88
- = √(2 х 44)
- = √ (2 х 4 х 11)
- = √ (2 х 2 х 2 х 11). Вы получили три множителя 2; возьмите пару из них и вынесите за знак корня.
- = 2√(2 х 11) = 2√2 х √11. Теперь можно оценить √2 и √11 и найти приблизительный ответ.
Реклама
При помощи деления в столбик
-
1
Этот метод включает процесс, аналогичный делению в столбик, и дает точный ответ. Сначала проведите вертикальную линию, делящую лист на две половины, а затем справа и немного ниже верхнего края листа к вертикальной линии пририсуйте горизонтальную линию. Теперь разделите подкоренное число на пары чисел, начиная с дробной части после запятой. Так, число 79520789182,47897 записывается как “7 95 20 78 91 82, 47 89 70”.
- Для примера вычислим квадратный корень числа 780,14. Нарисуйте две линии (как показано на рисунке) и слева сверху напишите данное число в виде “7 80, 14”. Это нормально, что первая слева цифра является непарной цифрой. Ответ (корень из данного числа) будете записывать справа сверху.
-
2
Для первой слева пары чисел (или одного числа) найдите наибольшее целое число n, квадрат которого меньше или равен рассматриваемой паре чисел (или одного числа). Другими словами, найдите квадратное число, которое расположено ближе всего к первой слева паре чисел (или одному числу), но меньше ее, и извлеките квадратный корень из этого квадратного числа; вы получите число n. Напишите найденное n сверху справа, а квадрат n запишите снизу справа.
- В нашем случае, первым слева числом будет число 7. Далее, 4 < 7, то есть 22 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа – это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.
-
3
Вычтите квадрат числа n, которое вы только что нашли, из первой слева пары чисел (или одного числа). Результат вычисления запишите под вычитаемым (квадратом числа n).
- В нашем примере вычтите 4 из 7 и получите 3.
-
4
Снесите вторую пару чисел и запишите ее около значения, полученного в предыдущем шаге. Затем удвойте число сверху справа и запишите полученный результат снизу справа с добавлением “_×_=”.
- В нашем примере второй парой чисел является “80”. Запишите “80” после 3. Затем, удвоенное число сверху справа дает 4. Запишите “4_×_=” снизу справа.
-
5
Заполните прочерки справа. Найдите такое наибольшее число на место прочерков справа (вместо прочерков нужно подставить одно и тоже число), чтобы результат умножения был меньше или равен текущему числу слева.
- В нашем случае, если вместо прочерков поставить число 8, то 48 х 8 = 384, что больше 380. Поэтому 8 – слишком большое число, а вот 7 подойдет. Напишите 7 вместо прочерков и получите: 47 х 7 = 329. Запишите 7 сверху справа – это вторая цифра в искомом квадратном корне числа 780,14.
-
6
Вычтите полученное число из текущего числа слева. Запишите результат из предыдущего шага под текущим числом слева, найдите разницу и запишите ее под вычитаемым.
- В нашем примере, вычтите 329 из 380, что равно 51.
-
7
Повторите шаг 4. Если сносимой парой чисел является дробная часть исходного числа, то поставьте разделитель (запятую) целой и дробной частей в искомом квадратном корне сверху справа. Слева снесите вниз следующую пару чисел. Удвойте число сверху справа и запишите полученный результат снизу справа с добавлением “_×_=”.
- В нашем примере следующей сносимой парой чисел будет дробная часть числа 780.14, поэтому поставьте разделитель целой и дробной частей в искомом квадратном корне сверху справа. Снесите 14 и запишите снизу слева. Удвоенным числом сверху справа (27) будет 54, поэтому напишите “54_×_=” снизу справа.
-
8
Повторите шаги 5 и 6. Найдите такое наибольшее число на место прочерков справа (вместо прочерков нужно подставить одно и тоже число), чтобы результат умножения был меньше или равен текущему числу слева.
- В нашем примере 549 х 9 = 4941, что меньше текущего числа слева (5114). Напишите 9 сверху справа и вычтите результат умножения из текущего числа слева: 5114 – 4941 = 173.
-
9
Если для квадратного корня вам необходимо найти больше знаков после запятой, напишите пару нулей у текущего числа слева и повторяйте шаги 4, 5 и 6. Повторяйте шаги, до тех пор пока не получите нужную вам точность ответа (число знаков после запятой).
Реклама
Понимание процесса
-
1
Для усвоения данного метода представьте число, квадратный корень которого необходимо найти, как площадь квадрата S. В этом случае вы будете искать длину стороны L такого квадрата. Вычисляем такое значение L, при котором L² = S.
-
2
Задайте букву для каждой цифры в ответе. Обозначим через A первую цифру в значении L (искомый квадратный корень). B будет второй цифрой, C – третьей и так далее.
-
3
Задайте букву для каждой пары первых цифр. Обозначим через Sa первую пару цифр в значении S, через Sb – вторую пару цифр и так далее.
-
4
Уясните связь данного метода с делением в столбик. Как и в операции деления, где каждый раз нас интересует только одна следующая цифра делимого числа, при вычислении квадратного корня мы последовательно работаем с парой цифр (для получения одной следующей цифры в значении квадратного корня).
-
5
Рассмотрим первую пару цифр Sa числа S (Sa = 7 в нашем примере) и найдем ее квадратный корень. В этом случае первой цифрой A искомого значения квадратного корня будет такая цифра, квадрат которой меньше или равен Sa (то есть ищем такое A, при котором выполняется неравенство A² ≤ Sa < (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.
- Допустим, что нужно разделить 88962 на 7; здесь первый шаг будет аналогичным: рассматриваем первую цифру делимого числа 88962 (8) и подбираем такое наибольшее число, которое при умножении на 7 дает значение меньшее или равное 8. То есть ищем такое число d, при котором верно неравенство: 7×d ≤ 8 < 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.
-
6
Мысленно представьте квадрат, площадь которого вам нужно вычислить. Вы ищите L, то есть длину стороны квадрата, площадь которого равна S. A, B, C – цифры в числе L. Записать можно иначе: 10А + B = L (для двузначного числа) или 100А + 10В + С = L (для трехзначного числа) и так далее.
- Пусть (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². Запомните, что 10A+B – это такое число, у которого цифра B означает единицы, а цифра A – десятки. Например, если A=1 и B=2, то 10A+B равно числу 12.(10A+B)² – это площадь всего квадрата, 100A² – площадь большого внутреннего квадрата, B² – площадь малого внутреннего квадрата, 10A×B – площадь каждого из двух прямоугольников. Сложив площади описанных фигур, вы найдете площадь исходного квадрата.
-
7
Вычтите A² из Sa. Для учета множителя 100 снесите одну пару цифр (Sb) из S: вам нужно, чтобы “SaSb” было равным общей площади квадрата, и из нее вычтите 100A² (площадь большого квадрата). В результате получите число N1, стоящее слева в шаге 4 (N = 380 в нашем примере). N1 = 2×10A×B + B² (площадь двух прямоугольников плюс площадь малого квадрата).
-
8
Выражение N1 = 2×10A×B + B² можно записать как N1 = (2×10A + B) × B. В нашем примере вам известно значение N1 (=380) и A(=2) и необходимо вычислить B. Скорее всего, B не является целым числом, поэтому необходимо найти наибольшее целое B, удовлетворяющее условию: (2×10A + B) × B ≤ N1. При этом B+1 будет слишком большим, поэтому N1 < (2×10A + (B+1)) × (B+1).
-
9
Решите уравнение. Для решения умножьте A на 2, переведите результат в десятки (что эквивалентно умножению на 10), поместите B в положение единиц, и умножьте это число на B. Это число (2×10A + B) × B и это выражение абсолютно идентичны записи “N_×_=” (где N=2×A) сверху справа в шаге 4. А в шаге 5 вы находите наибольшее целое B, которое ставится на место прочерков и соответствует неравенству: (2×10A + B) × B ≤ N1.
-
10
Вычтите площадь (2×10A + B) × B из общей площади (слева в шаге 6). Так вы получите площадь S-(10A+B)², которая еще не учитывалась (и которая поможет вычислить следующие цифры).
-
11
Для вычисления следующей цифры C повторите процесс. Слева снесите следующую пару цифр (Sc) из S для получения N2 и найдите наибольшее C, удовлетворяющее условию (2×10×(10A+B)+C) × C ≤ N2 (что эквивалентно двукратному написанию числа из пары цифр “A B” с соответствующим “_×_=”, и нахождению наибольшего числа, которое можно подставить вместо прочерков).
Реклама
Советы
- Перемещение десятичного разделителя при увеличении числа на 2 цифры (множитель 100), перемещает десятичный разделить на одну цифру в значении квадратного корня этого числа (множитель 10).
- В нашем примере, 1,73 может считаться остатком: 780,14 = 27,9² + 1,73.
- Данный метод верен для любых чисел.
- Записывайте процесс вычисления в том виде, который вам наиболее удобен. Например, некоторые записывают результат над исходным числом.
- Альтернативный метод с использованием непрерывных дробей включает формулу: √z = √(x^2+y) = x + y/(2x + y/(2x + y/(2x + …))). Например, для вычисления квадратного корня из 780,14, целым числом, квадрат которого близок к 780,14 будет число 28, поэтому z=780,14, x=28, y=-3,86. Подставляя эти значения в уравнение и решая его в упрощении до х+у/(2x), уже в младших членах получаем результат 78207/2800 или около 27,931(1), а в следующих членах 4374188/156607 или около 27,930986(5). Решение каждого последующего члена добавляет около 3 цифр к дробной доли по сравнению с предыдущем членом.
Реклама
Предупреждения
- Не забудьте разделить число на пары, начиная с дробной части числа. Например, разделяя 79520789182,47897 как “79 52 07 89 18 2,4 78 97″, вы получите бессмысленное число.
Реклама
Похожие статьи
Источники
Об этой статье
Эту страницу просматривали 925 121 раз.
Была ли эта статья полезной?
Вам понадобится:
- Лист бумаги
- Ручка
- Умение проводить элементарные арифметические операции
#1
Решение многих задач сводится к составлению и решению уравнений или систем уравнений. Очень часто нужно найти не все корни, а только те, которые удовлетворяют определённым условиям. Это условие может накладываться графиком функции или частью графика – отрезком. Также не все корни уравнения могут удовлетворять условию задачи или иметь физический смысл. Поэтому важно знать как найти корни принадлежащие отрезку.
#2
Следует решить систему уравнений: уравнение данное + уравнение отрезка, накладывающего ограничения на решения. Отрезок можно задать уравнением, так же как и прямую. Единственное различие состоит в том, что следует задать начало и конец отрезка. Сделать это можно как по оси абсцисс, так и по оси ординат. Доказать что корни именно те, что мы искали не сложнее чем как доказать что отрезки параллельны.
#3
Необходимо подставить корни в оба уравнения. При правильном решении должно получиться верное числовое равенство. Рассмотрим простенький пример. Корень уравнения x+y = xy принадлежит середине отрезка y=0,5x+1, область значений которого равна [1;3]. Найти этот корень и выполнить проверку. Можно начать решать в лоб эту сложную систему, но зная как найти ординату середины отрезка, упростим решение данной задачи.
#4
Если минимальное значение отрезка равно 1, а максимальное 3, то ордината его середины будет равна среднему арифметическому 1 и 3, то есть 2. Теперь подставим полученное значение в уравнение (вместо у подставим 2) : x+2 = 2x. Приведём подобные слагаемые: x=2. Ответ: (2;2) . Проверка: 2+2=2*2; 4=4, первому уравнению корень удовлетворяет. 2=0,5*2+1; 2=2. Условия отрезка также выполнены. Как видно, решение этой задачи поможет как разделить отрезок пополам, так и найти числовое решение.
#5
Рассмотрим следующий пример. Найти все решения уравнения sin(x) = 0 на отрезке y=0 в промежутке [-4 4]. Решение данной задачи будет в корне отличаться от решения предыдущей. Ведь в первом уравнении не фигурирует переменная y, а во втором не фигурирует переменная x. Найдём корни первого уравнения, самые близкие к нулю: 0, -Pi, Pi, -2Pi, 2Pi и так далее. Как известно Pi примерно = 3.5, то есть в наш промежуток входят корни 0, -Pi, Pi.
#6
Зная как построить отрезок равный данному, мы можем упрощать данные системы уравнений, значительно облегчать поиск корней. При решении тригонометрических систем, любой период можно расширить или сузить до 2Pi – периода. Например, sin(4,5*Pi) = ? . Но можно отбрасывать по 2Pi из данного отрезка, построить равный ему на этом промежутке. 4,5*Pi-734*Pi = 0,5*Pi = Pi/4. А это уже всем известное табличное значение, равное корню из 1/2.
