Как найти корень сложения

В статье мы поговорим о таких действиях с квадратными корнями, как сложение и вычитание.

Свойство 1. 

Корень, взятый от умножения двух корней равен произведению корней от указанных множителей, если они больше нуля:

√(a*b) = √a*√b, где a и b – неотрицательные числа.

Свойство может быть распространено на большее число множителей, т. е. √(a*b*…*d) = √a*√b* …*√d. При этом, если число отрицательных множителей чётное, то их произведение всё равно даст положительное число, а значит свойство останется справедливым.

Свойство 2. 

Корень отношения из отношения членов выражения равен отношению корней:

√(a/b) = √a/√b, где a – неотрицательное, не равное нулю число, число и b – неотрицательные число.

Свойство 3.  

√a²ⁿ= aⁿ, где a – неотрицательное, натуральное, не равное нулю число.

Общие правила сложения и вычитания корней

Вся сложность заключается в упрощении подкоренного выражения. Когда приступаешь к этому, не известно получится ли его упростить. Окончательно решить вопрос можно лишь попробовав подобное сделать.

Сложение и вычитание квадратных корней, простейшие случаи

Пример 1. Сложить √4 + √64. Казалось бы числа под знаком корня разные, и складываться не должны, но √4 = 2, а √64 = 8. Получаем 2√1 + 8√1 или 2 + 8. Результат равен 10. Ответ: √4 + √64 = 10. Это один из примеров того, как складывать разные корни. К сожалению, так легко получается далеко не всегда.

---

Пример 2. Сложить 7√3 + 5√3. Выносим √4 за скобки, получаем (7+5) √3 или 12√3.

Ответ: 7√3 + 5√3 = 12√3.

---

Пример 3. Вычесть √64 — √4.

Т. к. √64 = 8, а √4 = 2, получаем √64 — √4 = 8 – 2 = 6.

Ответ: √64 — √4 = 6.

---

Пример 4. Вычесть 7√3 — 5√3.

Выносим √3 за скобки, получаем (7-5) √3 = 2√3.

Ответ: 7√3 — 5√3 = 2√3.

---

Пример 5. Сложить √45 + 4√5.

Число √45 можно представить в виде √(9*5). Как известно √9 = 3, выносим это число из-под знака корня. Получаем 3√5. Нам нужно будет выполнить сложение 3√5 + 4√5. Подкоренное выражение одинаковое, поэтому действие допустимо. Выносим √5 за скобки и получаем (3+4)√5 = 7√5.

Ответ: √45 + 4√5 = 7√5.

---

Пример.6. Вычислить выражение 6√40 — 3√10 + √5.

Упрощаем число 6√40. Разлагаем √40 на множители: 6√(4*10). Выносим 4 из-под корня: 6*2√10. Перемножаем 6 и 2, в результате имеем 12√10.

Выражение 6√40 — 3√10 + √5 записываем в виде 12√10 — 3√10 + √5. У первых двух членов общее подкоренное число √10, выносим его за скобки и получаем (12-3)√10 + √5 = 9√10 +√5. Больше упрощать некуда.

Ответ: 6√40 — 3√10 + √5 = 9√10 +√5.

Вычитание и сложение квадратных корней с помощью сокращения знаменателя

Это часто бывает нужно, когда требуется избавиться от иррациональности в знаменателе. Нам дано выражение N/(√X +√Y). Умножаем обе части дроби (числитель и знаменатель) на √X -√Y. Вспомните формулу сокращённого умножения. (a+b)*(a-b) = a² – b². Применительно к нашему случаю это будет (√X +√Y)*(√X -√Y) = X-Y.

Пример 7. Вычислить 4 / (√3 + √5). Умножаем всё на (√3 — √5). В результате получаем

4 * (√3 — √5) / ((√3 + √5) * (√3 — √5)) =

= 4 * (√3 — √5) / (3-5) = 4 * (√3 — √5) / (-2) =

=2 * (√5 — √3).

Далее задача посложнее.

---

Пример 8. Нужно вычислить выражение 12 / (√2 + √3 + √5). Поступить можно только одним образом – умножить обе части дроби на (√2 + √3 — √5). Обратите внимание, последний знак в выражении минус, а не плюс, как в исходном. В результате мы имеем:

12*(√2 + √3 — √5)/[(√2 + √3 + √5)* (√2 + √3 — √5)].

После последовательного перемножения всех чисел получаем  12 * (√2 + √3 — √5) / (2 * √6). Упрощаем выражение далее и в итоге получаем: 2 * √3 + 3 * √2 — √30.

Ответ: 12 / (√2 + √3 + √5) = 2 * √3 + 3 * √2 — √30.

Теперь вы знаете, как складывать квадратные корни при действиях с дробями.

Приближённое вычисление квадратного корня

Приближённое сложение и вычитание корней проводится следующим образом:

Сначала на калькуляторе вычисляем точное значение каждого из корней, округляем их до требуемой степени точности, после чего проводим сложение приближённых чисел.

Иногда это является единственным доступным способом решить задачу, а иногда используется в качестве проверки результата, полученного иным путём.

Пример 9. Сложить √7 + √5.  Сложение этих квадратных корней проводим, используя калькулятор точное значение √7 = 2,645751, и точное значение √5 = 2,236067.

Округляем полученные числа и складываем их 2,65 + 2,24 = 4,89.

Важно. Выражения √(X+Y) = √X +√Y и√(X-Y) = √X — √Y абсолютно не верны. Чтобы убедиться в этом, давайте посчитаем сколько будет √(9+16) = √25 = 5.

Если складывать, числа как отдельные корни, то, √9 +√16 = 3 + 4 = 7.

Посмотрите, сколько будет, если √(16-9) = √7 ≈ 2,65, При вычитании чисел, как отдельных корней √16 — √9 = 4 – 3 = 1.

Дополнительные примеры

Приведём ряд дополнительных примеров по сложению и вычитанию корней.

Пример 10. Вычислить √9 + √4 — 3√2. Из 9 и 4 квадратные корни вычисляются очень легко. √9 = 3, √4 = 2. В результате имеем 3 + 2 — 3√2 = 5 — 3√2. Это выражение дальше уже никак нельзя сделать проще, т. е. окончательным будет результат 5 — 3√2.

Ответ: √9 + √4 — 3√2 = 5 — 3√2.

---

Пример 11. Вычислить (√2)/4 + (√2)/2. Сначала находим наименьший знаменатель указанных дробей. Не сложно понять, что он равен 4. Чтобы привести к наименьшему знаменателю вторую дробь, умножаем её на 2/2 и получаем (2√2)/4. Теперь нам остаётся сложить лишь числители, знаменатель остаётся прежним. В итоге получаем (√2)/4 + (2√2)/4 = (3√2)/4.

Ответ: (√2)/4 + (√2)/2 = (3√2)/4.

---

Пример 12. Посчитать выражение (√X+√Y)/ (√X-√Y). Умножаем указанное выражение на дробь (√X+√Y)/(√X+√Y), В результате будем иметь

[(√X+√Y)*(√X+√Y)]/[(√X-√Y)*(√X+√Y)] = (√X+√Y)²/(X-Y).

Далее нужно раскрыть скобки. Тогда мы получим [X + 2√(X*Y) + Y]/(X – Y).

Ответ: (√X+√Y)/(√X-√Y) = [X + 2√(X*Y) + Y]/(X – Y). Проще исходного полученное выражение назвать сложно. Скорее это наглядный пример того, что упрощение возможно далека не всегда. Его попытка имеет смысл лишь для того, чтобы в последнем убедить себя окончательно.

---

Пример 13. Вычислить выражение (√2 +√3)*(√2-√3)³/(2-2√6+3). Раскладываем второй множитель числителя на два множителя

 (√2-√3)³ = (√2-√3)²*(√2-√3). После этого будем иметь выражение [(√2-√3)²*(√2-√3)*(√2 +√3)]/(2-2√6+3), но ведь (√2-√3)² = 2 -2√6+3 и оно совпадает со знаменателем дроби, а значит может быть сокращено. Мы имеем (√2-√3)*(√2 +√3), по известной формуле  (a+b)*(a-b) = a² – b² в результате мы получаем (√2-√3)*(√2 +√3) = 2 – 3 = -1.

Казалось бы, очень сложное выражение получилось равным (-1). Результат абсолютно точен. Вычисляя выражение через приближённые значения корней, мы пришли бы к тому же самому результату, то в его точности сомнения тогда могли бы остаться. Сейчас же их совершенно нет. Надеемся, что статья была для вас понятной и полезной.

Правила сложения квадратных корней

Сложение и вычитание корней — один из наиболее распространенных «камней преткновения» для тех, кто проходит курс математики (алгебры) в средней школе. Однако научиться правильно складывать и вычитать их очень важно, потому что примеры на сумму или разность корней входят в программу базового Единого Государственного Экзамена по дисциплине «математика».

Что такое корень

Проще всего объяснить это на примере квадратного корня. В математике имеется устоявшийся термин «возвести в квадрат». «Возвести в квадрат» означает однократно умножить конкретное число само на себя. Например, если возвести в квадрат 2, получится 4. Если возвести в квадрат 7, получится 49. Квадрат числа 9 равен 81. Таким образом, квадратный корень из 4 — это 2, из 49 — это 7, а из 81 — это 9.

Как правило, обучение этой теме в математике начинается именно с квадратных корней. Для того, чтобы сходу определять его, учащийся средней школы должен наизусть знать таблицу умножения. Тем, кто нетвердо знает эту таблицу, приходится пользоваться подсказками. Обычно процесс извлечения корневого квадрата из числа приводится в виде таблицы на обложках многих школьных тетрадей по математике.

Корни бывают следующих типов:

И так далее. В качестве степени может выступать любое число.

Правила сложения

Для того чтобы успешно решить типовой пример, необходимо иметь в виду, что не все корневые числа можно складывать друг с другом. Чтобы их можно было сложить, их необходимо привести к единому образцу. Если это невозможно, значит, задача не имеет решения. Такие задачи тоже часто встречаются в учебниках математики в качестве своеобразной ловушки для учащихся.

Не разрешается сложение в заданиях, когда подкоренные выражения отличаются друг от друга. Это можно проиллюстрировать на наглядном примере:

Если корни имеют одинаковую степень, но разные числовые выражения, он выносится за скобки, а в скобки вносится сумма двух подкоренных выражений. Таким образом, он извлекается уже из этой суммы.

Алгоритм сложения

Для того чтобы правильно решить простейшую задачу, необходимо:

Что такое подобные корни

Чтобы правильно решить пример на сложение, необходимо, в первую очередь, подумать о том, как можно его упростить. Для этого нужно обладать базовыми знаниями о том, что такое подобие.

Подобными принято считать корни, у которых один и тот же показатель, а также одно и то же числовое выражение.

Умение определять подобные помогает быстро решать однотипные примеры на сложение, приводя их в упрощенный вид. Чтобы упростить типовой пример на сложение, необходимо:

После этого упрощенный пример обычно легко поддается решению.

Для того, чтобы правильно решить любой пример на сложение, необходимо четко представлять себе основные правила сложения, а также знать о том, что такое корень и каким он бывает.

Иногда такие задачи с первого взгляда выглядят очень сложно, но обычно они легко решаются путем группировки подобных. Самое главное — практика, и тогда ученик начнет «щелкать задачи, как орешки». Сложение корней — один из самых важных разделов математики, поэтому учителя должны отводить достаточно времени на его изучение.

Видео

Разобраться в уровнениях с квадратными корнями вам поможет это видео.

Источник

Корень и его свойства

Тема в математике «Корень и его свойства» нередко вызывает затруднения у школьников, особенно при решении примеров. В данной статье описаны основные свойства корней, а также правила сложения, вычитания, умножения и деления. Наглядные примеры помогаю понять, как решать задания с корнями.

Определение «Корень»

Корень второй степени (квадратный корень) из числа a — это число, которое становится равным a, если число a возвести во вторую степень (в квадрат).
Например, √ 64 = 8 (√ 64 равно числу 8).

Формула: √ a 2 = a

Число, стоящее под знаком корня, называется подкоренным числом. Если под знаком корня стоит целое выражение, то его называют подкоренным выражением.
Свойство квадратного корня: для действительных чисел не существует квадратный корень из отрицательного числа, так как возведение числа в квадрат будет всегда неотрицательным числом.

Извлечение корней: примеры

Найти корень из числа можно одним из следующих способов:

Приведение корней с разными показателями

Для того, чтобы упростить выражение с корнями, которое содержит корни разных степеней, необходимо привести все корни к одной степени.

Например, есть квадратный корень (второй степени √ 2 ) и кубический корень (третьей степени 3 √ 3 ).
Во-первых, необходимо найти наименьшее общее кратное (НОК) для степеней. В нашем примере НОК=6 (2х3).
Во-вторых, применим свойство a = n √ a n : √ 2 = 2 √ 2 = 6 √ 2 3 = 6 √ 8 ; 3 √ 3 = 6 √ 3 2 = 6 √ 9
Получилось два корня одинаковой степени, с которыми можно совершать различные математические действия.

Корень: сложение и вычитание корней

Основное правила сложения и вычитания квадратных корней: сложение и вычитание квадратного корня возможны только при условии одинакового подкоренного выражения.

Примеры:
2√ 3 + 3√ 3 = 5√ 3
2√ 3 + 2√ 4 – не выполняется.

Алгоритм действия:
1. Упростить подкоренное выражение путем разложения на простые множители.
2. Затем нужно извлечь корень из квадратного числа и записать полученное значение перед знаком корня.
3. После процесса упрощения необходимо подчеркнуть корни с одинаковыми подкоренными выражениями — только их можно складывать и вычитать.
4. У корней с одинаковыми подкоренными выражениями необходимо сложить или вычесть множители, которые стоят перед знаком корня. Подкоренное выражение остается без изменений. Нельзя складывать или вычитать подкоренные числа!

Корень: умножение

Умножение корней без множителей

Произведение корней из чисел равно корню из произведения этих чисел.
√ a*b =√ a *√ b
Важно: между собой можно умножать только одинаковые степени корней, то есть можно умножить один квадратный корень на другой, но нельзя умножить квадратный корень на корень кубической степени.
Примеры:
√ 2 х √ 3 = √ 6
√ 6 х √ 3 = √ 18 = √ 3х3х2 = 3√ 2

Умножение корней с множителями

При умножении корней с множителями нужно отдельно перемножить множители и подкорневые выражения (числа). Подкорневые числа можно перемножать между собой только в том случае, если они имеют одинаковые степени (см. умножение корней без множителей). В случае отсутствия множителя, он равен единице.
Примеры:
3√ 2 х √ 5 = (3х1) √ (2*5) = 3√ 10
4√ 2 х 3√ 3 = (3х4) √ (2х3) = 12√ 6

Корень: деление

Основной правило деления — подкоренные выражения делятся на подкоренные выражения, а множители на множители.
√ a:b =√ a :√ b
В процессе деления квадратных корней дроби упрощаются.

Деление корней без множителей

Частное корней из чисел равно корню из частного этих чисел.
Важно: между собой можно делить только одинаковые степени корней, то есть можно делить один квадратный корень на другой, но нельзя делить квадратный корень на корень кубической степени.
Пример. √ 21 :√ 3 =√ 21:3 =√ 7

Деление квадратных корней с множителями

Примеры для практики

Чтобы попрактиковаться решать примеры на вычисление квадратный корней, можно скачать программу «Корни квадратные«

Источник

Вычисление квадратного корня из числа: как вычислить вручную

При решении различных задач из курса математики и физики ученики и студенты часто сталкиваются с необходимостью извлечения корней второй, третьей или n-ой степени. Конечно, в век информационных технологий не составит труда решить такую задачу при помощи калькулятора. Однако возникают ситуации, когда воспользоваться электронным помощником невозможно.

К примеру, на многие экзамены запрещено приносить электронику. Кроме того, калькулятора может не оказаться под рукой. В таких случаях полезно знать хотя бы некоторые методы вычисления радикалов вручную.

Извлечение квадратного корня при помощи таблицы квадратов

Один из простейших способов вычисления корней заключается в использовании специальной таблицы. Что же она собой представляет и как ей правильно воспользоваться?

При помощи таблицы можно найти квадрат любого числа от 10 до 99. При этом в строках таблицы находятся значения десятков, в столбах — значения единиц. Ячейка на пересечении строки и столбца содержит в себе квадрат двузначного числа. Для того чтобы вычислить квадрат 63, нужно найти строку со значением 6 и столбец со значением 3. На пересечении обнаружим ячейку с числом 3969.

Поскольку извлечение корня — это операция, обратная возведению в квадрат, для выполнения этого действия необходимо поступить наоборот: вначале найти ячейку с числом, радикал которого нужно посчитать, затем по значениям столбика и строки определить ответ. В качестве примера рассмотрим вычисление квадратного корня 169.

Находим ячейку с этим числом в таблице, по горизонтали определяем десятки — 1, по вертикали находим единицы — 3. Ответ: √169 = 13.

Аналогично можно вычислять корни кубической и n-ой степени, используя соответствующие таблицы.

Преимуществом способа является его простота и отсутствие дополнительных вычислений. Недостатки же очевидны: метод можно использовать только для ограниченного диапазона чисел (число, для которого находится корень, должно быть в промежутке от 100 до 9801). Кроме того, он не подойдёт, если заданного числа нет в таблице.

Разложение на простые множители

Если таблица квадратов отсутствует под рукой или с её помощью оказалось невозможно найти корень, можно попробовать разложить число, находящееся под корнем, на простые множители. Простые множители — это такие, которые могут нацело (без остатка) делиться только на себя или на единицу. Примерами могут быть 2, 3, 5, 7, 11, 13 и т. д.

Рассмотрим вычисление корня на примере √576. Разложим его на простые множители. Получим следующий результат: √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3². При помощи основного свойства корней √a² = a избавимся от корней и квадратов, после чего подсчитаем ответ: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 = 24.

Что же делать, если у какого-либо из множителей нет своей пары? Для примера рассмотрим вычисление √54. После разложения на множители получаем результат в следующем виде: √54 = √(2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3) = √3² ∙ √(2 ∙ 3) = 3√6. Неизвлекаемую часть можно оставить под корнем. Для большинства задач по геометрии и алгебре такой ответ будет засчитан в качестве окончательного. Но если есть необходимость вычислить приближённые значения, можно использовать методы, которые будут рассмотрены далее.

Метод Герона

Как поступить, когда необходимо хотя бы приблизительно знать, чему равен извлечённый корень (если невозможно получить целое значение)? Быстрый и довольно точный результат даёт применение метода Герона. Его суть заключается в использовании приближённой формулы:

где R — число, корень которого нужно вычислить, a — ближайшее число, значение корня которого известно.

Рассмотрим, как работает метод на практике, и оценим, насколько он точен. Рассчитаем, чему равен √111. Ближайшее к 111 число, корень которого известен — 121. Таким образом, R = 111, a = 121. Подставим значения в формулу:

√111 = √121 + (111 — 121) / 2 ∙ √121 = 11 — 10 / 22 ≈ 10,55.

Теперь проверим точность метода:

Погрешность метода составила приблизительно 0,3. Если точность метода нужно повысить, можно повторить описанные ранее действия:

√111 = √111,3025 + (111 — 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 — 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.

Проверим точность расчёта:

После повторного применения формулы погрешность стала совсем незначительной.

Вычисление корня делением в столбик

Этот способ нахождения значения квадратного корня является чуть более сложным, чем предыдущие. Однако он является наиболее точным среди остальных методов вычисления без калькулятора.

Допустим, что необходимо найти квадратный корень с точностью до 4 знаков после запятой. Разберём алгоритм вычислений на примере произвольного числа 1308,1912.

В результате мы получим ответ: √1308,1912 ≈ 36,1689. Если проверить действие при помощи калькулятора, можно убедиться, что все знаки были определены верно.

Поразрядное вычисление значения квадратного корня

Метод обладает высокой точностью. Кроме того, он достаточно понятен и для него не требуется запоминать формулы или сложный алгоритм действий, поскольку суть способа заключается в подборе верного результата.

Извлечём корень из числа 781. Рассмотрим подробно последовательность действий.

Источник

Свойства арифметического квадратного корня

0. Кратная вводная

Перед любыми манипуляциями с корнями полезно вспомнить свойства степеней с натуральным показателем. Я группирую эти свойства в три блока.

1. Умножаем и делим степени с одинаковым основанием — меняется только показатель:

2. Умножаем и делим степени с одинаковым показателем — меняется основание:

3. Чётные степени «сжигают» минусы, нечётные — нет:

Мы будем использовать эти свойства на всю катушку в третьей части урока. А пока начнём с более простых вещей.

1. Корни из точных степеней

При работе с корнями многие ученики допускают одну и ту же ошибку. Они пытаются подменить чёткие правила алгебры интуитивными размышлениями. И на первый взгляд всё выглядит хорошо. Взгляните на примеры:

Во всех трёх случаях мы видим, что под корнем стоят точные квадраты. Их можно переписать так:

Может показаться, что для упрощения выражения достаточно убрать степень и знак корня. На практике это не так:

Из третьей строки видно, что просто убрать степень и корень с отрицательного основания нельзя, ведь корень не может быть отрицательным! Вторая строка объясняет нам, что именно происходит: квадрат делает число под корнем положительным, а дальше мы извлекаем этот самый корень и вновь получаем положительное число. В итоге строки 1 и 2 ведут к извлечению корня из одного и того же числа — 64.

1.1. Корень из точного квадрата

А вывод такой: корень из квадрата не меняет положительные числа, а отрицательные меняет на противоположные. Это в точности совпадает с определением модуля:

Для удобства дальнейших размышлений предлагаю взять на вооружение вот такое определение модуля:

Это определение чрезвычайно полезно для решения сложных задач с параметрами. Об этом как-нибудь в следующий раз. А пока давайте потренируемся:

Опыт моих учеников: поначалу довольно непривычно выписывать эти множители (1, 0 и −1), но затем человек привыкает и пишет всё на автомате. А затем и вовсе перестаёт писать — всё происходит в его голове, но навык добавления множителей остаётся (и очень пригодится, когда мы считаем коэффициенты многочленов).

Задание. Найдите значение выражения:

Отдельное внимания заслуживают двойные корни, вложенные друг в друга:

Для них замена корня модулем тоже работает, но возникает вопрос: как корректно раскрыть модуль? Придётся сравнивать корни:

Откуда такое смелое утверждение во второй строке? Существует два способа доказать неравенство в красных скобках:

Сравнение корней — отдельная серьёзная тема. Ей посвящён целый урок. Поэтому давайте просто решим второе задание:

Задание. Вычислите значение выражения:

1.2. Корень из чётной степени

Идём дальше. Вновь запишем нашу волшебную формулу:

Капитан очевидность как бы намекает: эта формула верна не только для квадратов, но и для всех чётных степеней:

Другими словами, корень из любой чётной степени понижает эту степень ровно в два раза, но взамен навешивает на неё модуль! Рассмотрим примеры:

Обратите внимание на последнюю строку: изначально под корнем стоит довольно громоздкое число. Вычислять его напролом — возводить в квадрат, а затем извлекать корень — безумие. Но формула понижения степени редуцирует задачу до устной — отличная экономия времени на экзамене.:)

Задание 2. Найдите значение выражения:

Вывод: если видите корень из степени, то смело понижайте степень вдвое, убирайте корень, но взамен ставьте модуль. Всегда. Обязательно. Ок? Переходим ко второй части урока.

2. Корни из произведения и частного

Перед тем как давать какие-либо новый формулы, напомню важный факт. Корень из суммы не равен сумме корней:

Иначе мы бы получили вот такие бредовые выкладки:

Вроде бы, капитаноочевидно, но многие даже в старших классах допускают такие ошибки.

А теперь разберём ещё два свойства корней.

2.1. Умножение и деление корней

Корни можно умножать и делить. Правила просты:

Задание 3. Найдите значение выражения:

Как видите, с помощью формул мы разбиваем сложный корень на несколько простых.

Мы знаем, то все формулы работают как слева-направо, так и справа-налево, поэтому корни можно «склеивать». При этом новый корень может легко вычисляться, хотя исходные части — не вычисляются вообще. Например:

Попробуйте повторить этот трюк:

Задание 4. Найдите значение выражения:

2.2. Проблемы с областью определения

Но есть одна тонкость. Взгляните, например, на формулу произведения корней:

Напомню: знак радикала обозначает арифметический квадратный корень, который извлекается только из неотрицательных чисел и сам является числом неотрицательным.

С левой стороны от знака равенства стоит один корень, а справа — целых два. Поэтому области определения левой и правой части этого равенства различны:

В чём конкретно состоит различие?

В первой строке мы видим произведение, поэтому неравенство (1) верно всякий раз, когда знаки множителей совпадают. В частности, оба множителя могут быть отрицательными, но их произведение всё равно будет положительным.

Вторая строка — система из двух неравенств, и здесь отрицательные числа нас уже не устроят. Вывод:

Красным я выделил ситуацию, которая допустима для корня из произведения, но становится недопустимой для произведения корней.

Поскольку любое равенство определено лишь тогда, когда определена и левая, и правая его части, дополним исходные правила специальными требованиями:

И вот в таком виде их уже можно использовать — везде и всегда!

Может показаться, что эти ограничения несущественны. Или искусственны. Чуть выше мы никак их не учитывали и всё прекрасно посчитали. Поэтому вопрос: когда ограничения области определения становятся существенным?

Ответ: когда под корнями стоят не конкретные числа, а переменные. К примеру, пусть даны числа:

Очевидно, что произведение двух отрицательных чисел будет положительным. И хотя корень из произведения будет определён, извлекать корни из отдельных множителей нельзя:

Значит, нужно сделать так, чтобы множители под корнем стали положительными. И тут нам на помощь приходит старое доброе число −1:

Добавление минусов к каждому из двух множителей нисколько не повлияло на произведение, но привело к возникновению двух новых множителей, каждый из которых уже точно положителен:

Помните об этом преобразовании, когда сталкиваетесь с произведением отрицательных выражений под знаком корня. Источником такой отрицательности могут быть условия задачи, либо следствия из области определения (такое часто встречается в логарифмических уравнениях и неравенствах, которые изучаются в 10—11 классах).

Ну а мы немного потренируемся и пойдём к третьей части урока — работе с переменными.

Задание 5. Найдите значение выражения:

Переходим к самому весёлому.:)

3. Работа с переменными

Если не считать определения, то мы знаем о корнях две вещи. Во-первых, корни понижают степени, но добавляют модули:

Во-вторых, корни можно умножать и делить. Но не всегда:

До сих пор мы тренировались лишь на конкретных числах. И многие могут удивляться: зачем все эти рассуждения про модули и ограничения?

Сейчас мы заменим числа буквами — и задача резко усложнится. Или не усложнится — если вы внимательно изучите то, что написано дальше.:)

3.1. Раскрытие модуля через свойства степеней

Начнём с простого. Мы уже знаем, как избавляться от точной степени:

Попробуем применить эту формулу к двум различным выражениям:

В первой строке мы без труда раскрыли модуль, поскольку знаем, что число под модулем отрицательно. Затем посчитали — получили ответ.

Но как раскрыть модуль во второй строке? Ведь правила раскрытия будут меняться в зависимости от того, какое значение принимает переменная. И если никаких дополнительных ограничений на переменную нет, то модуль так и останется нераскрытым. Взгляните:

Замените выражение тождественно равным, не содержащим знака корня:

Из приведённых примеров видно:

Почему? Чётные степени в строках (2) и (4) при любом значении переменной будут положительным числом или нулём. Поэтому модуль однозначно раскрывается со знаком «плюс».

Нечётная степень в строках (1) и (3) таким свойством не обладает: она может оказаться как положительным числом, так и отрицательным. Поэтому модуль раскрыть нельзя.

Задание. Замените выражение тождественно равным, не содержащим знака корня:

Чётные степени всегда неотрицательны, нечётные степени могут принимать любой знак:

Тем не менее, модуль нечётной степени тоже можно раскрыть. Если в задаче есть дополнительные условия.

3.2. Учёт дополнительных ограничений

Зачастую в самом условии задачи содержатся ограничения на переменную, которые помогают однозначно раскрыть модуль. Пример:

Работаем по тем правилам, которые изучали выше:

Обратите внимание: в строке (2) чётные степени под корнем дают три неотрицательных числа, поэтому корень можно разбить на три изолированных множителя — область определения при этом не поменяется; затем в строке (3) мы видим чётную степень под модулем и раскрываем его.

Ещё раз запишем результат и дополним его исходными условиями:

В первом случае выражение под модулем положительно или ноль, поэтому модуль однозначно раскрывается со знаком «плюс». Во втором — отрицательно или ноль, поэтому модуль раскрывается со знаком «минус»:

Возможно, у вас возникает вопрос: почему мы пишем множитель 1 или −1, но не рассматриваем отдельно множитель 0? В этом фишка модуля:

Таким образом, в нуле модуль можно раскрывать любым удобным способом.

Задание. Упростите выражение:

Это были весьма примитивные выражения, сводящиеся к раскрытию модуля. На них мы отработали важный новый навык. Теперь воспользуемся этим навыком для решения более интересных задач.

3.3. Упрощение выражений

Последний и самый интересный раздел этого урока.

Откуда берутся дополнительные ограничения на переменные? Существует ровно два источника таких ограничений:

Начнём с первого пункта — ограничений, явно указанных в условии задачи. Примеры:

С первым выражением всё просто:

Со вторым уже интереснее. Заметим, что в первом числителе стоит формула сокращённого умножения, а дробь под корнем гарантированно имеет неотрицательный числитель и знаменатель:

Вспомним исходные ограничения:

Как видите, нам удалось избавиться не только от модулей, но и от дробей.:)

Материал, представленный дальше, относится скорее к следующему уроку — «Внесение и вынесение множителей из-под знака корня». Его изучение прямо сейчас не является обязательным, но может оказаться весьма полезным для сильных учеников.

Наконец, разберёмся с неявными ограничениями. Ещё раз запишем самую первую формулу:

Пусть известно, что подмодульное выражение неотрицательно. Тогда модуль можно убрать:

С отрицательными величинами тоже можно провернуть такой трюк:

Но любое равенство работает как слева-направо, так и справа-налево. Следовательно, если нам известен знак переменной, мы можем внести её под знак корня:

Это замечание позволит упрощать выражения, которые неподготовленному ученику покажутся неприступными.

Остаётся лишь один вопрос: где взять знак переменной? Ответ: ограничения на переменную часто скрыты в области определения. Например:

В первой строке мы видим корень, поэтому выпишем область определения. Это даст нам ограничения на переменную и поможет внести её под знак корня:

То же самое со вторым выражением:

В итоге мы получили выражение, тождественно равное нулю. Однако помните: это равенство сохраняется только для отрицательных значений переменной! Для положительных значений исходное выражение вообще не определено.

Операция, которую мы только что провернули, как раз и называется внесением переменной под знак радикала.

В заключение хотел бы рассмотреть типичную ситуацию для сложных алгебраических задач, когда под корнем стоят, на первый взгляд, противоположные числа.

Заметим, что самый первый корень накладывает жёсткие ограничения на переменную:

Под остальными корнями стоят неотрицательные выражения, поэтому дальше всё просто:

Наличие неявного ограничения позволило нам раскрыть модуль даже у нечётной степени. Обратите внимание на этот переход:

Как мы помним из краткой вводной, минусы можно выносить (и вносить) из основания нечётной степени. Это можно сделать как после раскрытия модуля, так и в самом начале — прямо под корнем:

Красным я отметил одинаковые выражения, стоящие под корнем и в основании степени. Именно такая форма записи (а не игра с минусами) является предпочтительной, например, в логарифмических уравнениях и неравенствах.

Но это тема совсем другого урока. А на сегодня хватит.:)

Источник

Какие трудности ждут тех, кто взялся выполнять сложение корней?

Тема про квадратные корни является обязательной в школьной программе курса математики. Без них не обойтись при решении квадратных уравнений. А позже появляется необходимость не только извлекать корни, но и выполнять с ними другие действия. Среди них достаточно сложные: возведение в степень, умножение и деление. Но есть и достаточно простые: вычитание и сложение корней. Кстати, они только на первый взгляд кажутся такими. Выполнить их без ошибок не всегда оказывается просто для того, кто только начинает с ними знакомиться.

Что такое математический корень?

Это действие возникло в противовес возведению в степень. Математика предполагает наличие двух противоположных операций. На сложение существует вычитание. Умножению противостоит деление. Обратное действие степени — это извлечение соответствующего корня.

Если в степени стоит двойка, то и корень будет квадратным. Он является самым распространенным в школьной математике. У него даже нет указания, что он квадратный, то есть возле него не приписывается цифра 2. Математическая запись этого оператора (радикала) представлена на рисунке.

Из описанного действия плавно вытекает его определение. Чтобы извлечь квадратный корень из некоторого числа, нужно выяснить, какое даст при умножении на себя подкоренное выражение. Это число и будет квадратным корнем. Если записать это математически, то получится следующее: х*х=х 2 =у, значит √у=х.

Какие действия с ними можно выполнять?

По своей сути корень — это дробная степень, у которой в числителе стоит единица. А знаменатель может быть любым. Например, у квадратного корня он равен двум. Поэтому все действия, которые можно выполнить со степенями, будут справедливы и для корней.

И требования к этим действиям у них одинаковые. Если умножение, деление и возведение в степень не встречают затруднений у учеников, то сложение корней, как и их вычитание, иногда приводит в замешательство. А все потому что хочется выполнить эти операции без оглядки на знак корня. И здесь начинаются ошибки.

По каким правилам выполняется их сложение и вычитание?

Сначала нужно запомнить два категорических «нельзя»:

• нельзя выполнять сложение и вычитание корней, как у простых чисел, то есть невозможно записать подкоренные выражения суммы под один знак и выполнять с ними математические операции;
• нельзя складывать и вычитать корни с разными показателями, например квадратный и кубический.

Наглядный пример первого запрета: √6 + √10 ≠ √16, но √(6 + 10) = √16.

Во втором случае лучше ограничиться упрощением самих корней. А в ответе оставить их сумму.

Теперь к правилам

1. Найти и сгруппировать подобные корни. То есть те, у которых не только стоят одинаковые числа под радикалом, но и они сами с одним показателем.
2. Выполнить сложение корней, объединенных в одну группу первым действием. Оно легко осуществимо, потому что нужно только сложить значения, которые стоят перед радикалами.
3. Извлечь корни в тех слагаемых, в которых подкоренное выражение образует целый квадрат. Другими словами, не оставлять ничего под знаком радикала.
4. Упростить подкоренные выражения. Для этого нужно разложить их на простые множители и посмотреть, не дадут ли они квадрата какого-либо числа. Понятно, что это справедливо, если речь идет о квадратном корне. Когда показатель степени три или четыре, то и простые множители должны давать куб или четвертую степень числа.
5. Вынести из-под знака радикала множитель, который дает целую степень.
6. Посмотреть, не появилось ли опять подобных слагаемых. Если да, то снова выполнить второе действие.

В ситуации, когда задача не требует точного значения корня, его можно вычислить на калькуляторе. Бесконечную десятичную дробь, которая высветится в его окошке, округлить. Чаще всего это делают до сотых. А потом выполнять все операции для десятичных дробей.

Рекомендация: после разложения на простые множители нужно сделать проверку. То есть умножить их друг на друга и проверить, получается ли исходное значение.

Это вся информация о том, как выполняется сложение корней. Примеры, расположенные ниже, проиллюстрируют вышесказанное.

Первое задание

Вычислить значение выражений:

а) √2 + 3√32 + ½ √128 – 6√18;

б) √75 – √147 + √48 – 1/5 √300;

в) √275 – 10√11 + 2√99 + √396.

а) Если следовать приведенному выше алгоритму, то видно, что для первых двух действий в этом примере ничего нет. Зато можно упростить некоторые подкоренные выражения.

Например, 32 разложить на два множителя 2 и 16; 18 будет равно произведению 9 и 2; 128 — это 2 на 64. Учитывая это, выражение будет записано так:

√2 + 3√(2 * 16) + ½ √(2 * 64) – 6 √(2 * 9).

Теперь нужно вынести из-под знака радикала те множители, которые дают квадрат числа. Это 16=4 2 , 9=3 2 , 64=8 2 . Выражение примет вид:

√2 + 3 * 4√2 + ½ * 8 √2 – 6 * 3√2.

Нужно немного упростить запись. Для этого производится умножение коэффициентов перед знаками корня:

√2 + 12√2 + 4 √2 – 12√2.

В этом выражении все слагаемые оказались подобными. Поэтому их нужно просто сложить. В ответе получится: 5√2.

б) Подобно предыдущему примеру, сложение корней начинается с их упрощения. Подкоренные выражения 75, 147, 48 и 300 будут представлены такими парами: 5 и 25, 3 и 49, 3 и 16, 3 и 100. В каждой из них имеется число, которое можно вынести из-под знака корня:

5√5 – 7√3 + 4√3 – 1/5 * 10√3.

После упрощения получается ответ: 5√5 – 5√3. Его можно оставить в таком виде, но лучше вынести общий множитель 5 за скобку: 5 (√5 – √3).

в) И снова разложение на множители: 275 = 11 * 25, 99 = 11 * 9, 396 = 11 * 36. После вынесения множителей из-под знака корня имеем:

5√11 – 10√11 + 2 * 3√11 + 6√11. После приведения подобных слагаемых получим результат: 7√11.

Пример с дробными выражениями

√(45/4) – √20 – 5√(1/18) – 1/6 √245 + √(49/2).

На множители нужно будет разложить такие числа: 45 = 5 * 9, 20 = 4 * 5, 18 = 2 * 9, 245 = 5 * 49. Аналогично уже рассмотренным, нужно вынести множители из-под знака корня и упростить выражение:

3/2 √5 – 2√5 – 5/ 3 √(½) – 7/6 √5 + 7 √(½) = (3/2 – 2 – 7/6) √5 – (5/3 – 7) √(½) = – 5/3 √5 + 16/3 √(½).

Это выражение требует того, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе. Для этого нужно умножить на √2/√2 второе слагаемое:

– 5/3 √5 + 16/3 √(½) * √2/√2 = – 5/3 √5 + 8/3 √2.

Для полноты действий нужно выделить целую часть у множителей перед корнями. У первого она равна 1, у второго — 2.

Действие с корнями: сложение и вычитание

Извлечение квадрантного корня из числа не единственная операция, которую можно производить с этим математическим явлением. Так же как и обычные числа, квадратные корни складывают и вычитают.

Правила сложения и вычитания квадратных корней

Такие действия, как сложение и вычитание квадратного корня, возможны только при условии одинакового подкоренного выражения.

Можно сложить или вычесть выражения 2 3 и 6 3 , но не 5 6 и 9 4 . Если есть возможность упростить выражение и привести его к корням с одинаковым подкоренным числом, то упрощайте, а потом складывайте или вычитайте.

Действия с корнями: основы

6 50 – 2 8 + 5 12

1. Упростить подкоренное выражение. Для этого необходимо разложить подкоренное выражение на 2 множителя, один из которых, — квадратное число (число, из которого извлекается целый квадратный корень, например, 25 или 9).
2. Затем нужно извлечь корень из квадратного числа и записать полученное значение перед знаком корня. Обращаем ваше внимание, что второй множитель заносится под знак корня.
3. После процесса упрощения необходимо подчеркнуть корни с одинаковыми подкоренными выражениями — только их можно складывать и вычитать.
4. У корней с одинаковыми подкоренными выражениями необходимо сложить или вычесть множители, которые стоят перед знаком корня. Подкоренное выражение остается без изменений. Нельзя складывать или вычитать подкоренные числа!

Если у вас пример с большим количеством одинаковых подкоренных выражений, то подчеркивайте такие выражения одинарными, двойными и тройными линиями, чтобы облегчить процесс вычисления.

Давайте попробуем решить данный пример:

6 50 = 6 ( 25 × 2 ) = ( 6 × 5 ) 2 = 30 2 . Для начала необходимо разложить 50 на 2 множителя 25 и 2, затем извлечь корень из 25, который равен 5, а 5 вынести из-под корня. После этого нужно умножить 5 на 6 (множитель у корня) и получить 30 2 .

2 8 = 2 ( 4 × 2 ) = ( 2 × 2 ) 2 = 4 2 . Сперва необходимо разложить 8 на 2 множителя: 4 и 2. Затем из 4 извлечь корень, который равен 2, а 2 вынести из-под корня. После этого нужно умножить 2 на 2 (множитель у корня) и получить 4 2 .

5 12 = 5 ( 4 × 3 ) = ( 5 × 2 ) 3 = 10 3 . Сперва необходимо разложить 12 на 2 множителя: 4 и 3. Затем извлечь из 4 корень, который равен 2, и вынести его из-под корня. После этого нужно умножить 2 на 5 (множитель у корня) и получить 10 3 .

Результат упрощения: 30 2 – 4 2 + 10 3

30 2 – 4 2 + 10 3 = ( 30 – 4 ) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

В итоге мы увидели, сколько одинаковых подкоренных выражений содержится в данном примере. А сейчас попрактикуемся на других примерах.

• Упрощаем ( 45 ) . Раскладываем 45 на множители: ( 45 ) = ( 9 × 5 ) ;
• Выносим 3 из-под корня ( 9 = 3 ) : 45 = 3 5 ;
• Складываем множители у корней: 3 5 + 4 5 = 7 5 .

• Упрощаем 6 40 . Раскладываем 40 на множители: 6 40 = 6 ( 4 × 10 ) ;
• Выносим 2 из-под корня ( 4 = 2 ) : 6 40 = 6 ( 4 × 10 ) = ( 6 × 2 ) 10 ;
• Перемножаем множители, которые стоят перед корнем: 12 10 ;
• Записываем выражение в упрощенном виде: 12 10 – 3 10 + 5 ;
• Поскольку у первых двух членов одинаковые подкоренные числа, мы можем их вычесть: ( 12 – 3 ) 10 = 9 10 + 5 .

Как мы видим, упростить подкоренные числа не представляется возможным, поэтому ищем в примере члены с одинаковыми подкоренными числами, проводим математические действия (складываем, вычитаем и т.д.) и записываем результат:

( 9 – 4 ) 5 – 2 3 = 5 5 – 2 3 .

Советы:

• Перед тем, как складывать или вычитать, необходимо обязательно упростить (если это возможно) подкоренные выражения.
• Складывать и вычитать корни с разными подкоренными выражениями строго воспрещается.
• Не следует суммировать или вычитать целое число или корень: 3 + ( 2 x ) 1 / 2 .
• При выполнении действий с дробями, необходимо найти число, которое делится нацело на каждый знаменатель, потом привести дроби к общему знаменателю, затем сложить числители, а знаменатели оставить без изменений.

Правила сложения квадратных корней

Сложение и вычитание корней — один из наиболее распространенных «камней преткновения» для тех, кто проходит курс математики (алгебры) в средней школе. Однако научиться правильно складывать и вычитать их очень важно, потому что примеры на сумму или разность корней входят в программу базового Единого Государственного Экзамена по дисциплине «математика».

Для того чтобы освоить решение таких примеров, необходимо две вещи — разобраться в правилах, а также наработать практику. Решив один-два десятка типовых примеров, школьник доведет этот навык до автоматизма, и тогда ему уже будет нечего бояться на ЕГЭ. Начинать освоение арифметических действий рекомендуется со сложения, потому что складывать их немного проще, чем вычитывать .

Что такое корень

Проще всего объяснить это на примере квадратного корня. В математике имеется устоявшийся термин «возвести в квадрат». «Возвести в квадрат» означает однократно умножить конкретное число само на себя. Например, если возвести в квадрат 2, получится 4. Если возвести в квадрат 7, получится 49. Квадрат числа 9 равен 81. Таким образом, квадратный корень из 4 — это 2, из 49 — это 7, а из 81 — это 9.

Как правило, обучение этой теме в математике начинается именно с квадратных корней. Для того, чтобы сходу определять его, учащийся средней школы должен наизусть знать таблицу умножения. Тем, кто нетвердо знает эту таблицу, приходится пользоваться подсказками. Обычно процесс извлечения корневого квадрата из числа приводится в виде таблицы на обложках многих школьных тетрадей по математике.

Корни бывают следующих типов:

• квадратные;
• кубические (или так называемые третьей степени);
• четвертой степени;
• пятой степени.

И так далее. В качестве степени может выступать любое число.

Правила сложения

Для того чтобы успешно решить типовой пример, необходимо иметь в виду, что не все корневые числа можно складывать друг с другом. Чтобы их можно было сложить, их необходимо привести к единому образцу. Если это невозможно, значит, задача не имеет решения. Такие задачи тоже часто встречаются в учебниках математики в качестве своеобразной ловушки для учащихся.

Не разрешается сложение в заданиях, когда подкоренные выражения отличаются друг от друга. Это можно проиллюстрировать на наглядном примере:

• перед учеником стоит задача: сложить квадратный корень из 4 и из 9;
• неопытный ученик, не знающий правила, обычно пишет: «корень из 4 + корень из 9=корень из 13».
• доказать, что этот способ решения неправильный, очень просто. Для этого нужно найти квадратный корень из 13 и проверить, верно ли решен пример;
• с помощью микрокалькулятора можно определить, что он составляет примерно 3,6. Теперь осталось проверить решение;
• корень из 4=2, а из 9=3;
• Сумма чисел «два» и «три» равняется пяти. Таким образом, данный алгоритм решения можно считать неверным.

Если корни имеют одинаковую степень, но разные числовые выражения, он выносится за скобки, а в скобки вносится сумма двух подкоренных выражений. Таким образом, он извлекается уже из этой суммы.

Алгоритм сложения

Для того чтобы правильно решить простейшую задачу, необходимо:

1. Определить, что именно требуют сложения.
2. Разобраться, можно ли складывать значения друг с другом, руководствуясь существующими в математике правилами.
3. Если они не подлежат сложению, нужно трансформировать их таким образом, чтобы их можно было складывать.
4. Осуществив все необходимые преобразования, необходимо выполнить сложение и записать готовый ответ. Производить сложение можно в уме или с помощью микрокалькулятора, в зависимости от сложности примера.

Что такое подобные корни

Чтобы правильно решить пример на сложение, необходимо, в первую очередь, подумать о том, как можно его упростить. Для этого нужно обладать базовыми знаниями о том, что такое подобие.

Подобными принято считать корни, у которых один и тот же показатель, а также одно и то же числовое выражение.

Умение определять подобные помогает быстро решать однотипные примеры на сложение, приводя их в упрощенный вид. Чтобы упростить типовой пример на сложение, необходимо:

1. Найти подобные и выделить их в одну группу (или в несколько групп).
2. Заново написать имеющийся пример таким образом, чтобы корни, которые имеют один и тот же показатель, шли четко друг за другом (это и называется «сгруппировать»).
3. Далее следует еще раз написать выражение заново, на этот раз таким образом, чтобы подобные (у которых один и тот же показатель и одна и та же подкоренная цифра) тоже шли друг за другом.

После этого упрощенный пример обычно легко поддается решению.

Для того, чтобы правильно решить любой пример на сложение, необходимо четко представлять себе основные правила сложения, а также знать о том, что такое корень и каким он бывает.

Иногда такие задачи с первого взгляда выглядят очень сложно, но обычно они легко решаются путем группировки подобных. Самое главное — практика, и тогда ученик начнет «щелкать задачи, как орешки». Сложение корней — один из самых важных разделов математики, поэтому учителя должны отводить достаточно времени на его изучение.

Видео

Разобраться в уровнениях с квадратными корнями вам поможет это видео.

[spoiler title=”источники:”]

http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/korni/slozhenie-i-vychitanie-kornej/

http://liveposts.ru/articles/education-articles/matematika/pravila-slozheniya-kvadratnyh-kornej

[/spoiler]

Тема в математике «Корень и его свойства» нередко вызывает затруднения у школьников, особенно при решении примеров. В данной статье описаны основные свойства корней, а также правила сложения, вычитания, умножения и деления. Наглядные примеры помогаю понять, как решать задания с корнями.

Определение «Корень»

 Корень второй степени (квадратный корень) из числа a — это число, которое становится равным a, если число a возвести во вторую степень (в квадрат).
Например, √64 = 8 (√64 равно числу 8).

Формула: √a² = a

Число, стоящее под знаком корня, называется подкоренным числом. Если под знаком корня стоит целое выражение, то его называют подкоренным выражением.
Свойство квадратного корня: для действительных чисел не существует квадратный корень из отрицательного числа, так как возведение числа в квадрат будет всегда неотрицательным числом.

Извлечение корней: примеры

Извлечь корень — значит найти значение корня (то есть найти число, при возведении которого в степень, получается подкоренное значение).
Например, извлечь корень из 64 – значит найти √64.

Найти корень из числа можно одним из следующих способов:

• Использование таблицы квадратов, таблицы кубов и т.д. В данном случае нужно просто найти нужное число в таблице и посмотреть, какому значению оно соответствует.

• Разложение подкоренного выражения (числа) на простые множители.
  Порядок нахождения корня в этом случае будет следующим:
  1. Разложение подкоренного значения на простые множители,
  2. Объединение одинаковых множителей и их представление в виде степени с необходимым показателем.
  Например, √144 = √2х2х2х2х3х3 = √(2х2)х(2х2)х(3х3) = √2²х2²х3² = √12² = 12
  3. В случае, если невозможно найти корень из числа, то можно упростить подкоренное выражение (число). В этом случае применяется следующее правило: корень из произведения чисел равен произведению корней этих чисел.
  Например, √72 = √2х2х2х3х3 = √(2х2)х2х(3х3) = √2²х2х3² = √6²х2 = 6√2
• Когда невозможно получить два одинаковых числа под знаком корня, это значит, что упростить такой корень нельзя.
  Например, √130=√13х5х2 – упростить нельзя.

• Извлечение корня из дроби. В этом случае применяются следующие правила:
  1. дробное число должно быть записано в виде обыкновенной дроби;
  2. корень из дроби равен частному от деления корня числителя на корень знаменателя.
  Например, √3,24 = √324/100 = √81/25 = √81 / √25 = 9/5 = 1,8.
• Извлечение нечетной степени из отрицательных чисел. Чтобы извлечь корень нечетной степени из отрицательного числа необходимо извлечь его из положительного числа и поставить перед ним знак минус.
  Например, чтобы найти корень третьей степени из (-125), нужно найти корень третьей степени из 125 (будет 5) и подставить знак минуса (будет -5).

Приведение корней с разными показателями

Для того, чтобы упростить выражение с корнями, которое содержит корни разных степеней, необходимо привести все корни к одной степени.

Для этого воспользуемся следующим свойством дроби: a = ⁿ√aⁿ.

Например, есть квадратный корень (второй степени √2 ) и кубический корень (третьей степени ³√3).
Во-первых, необходимо найти наименьшее общее кратное (НОК) для степеней. В нашем примере НОК=6 (2х3).
Во-вторых, применим свойство a = ⁿ√aⁿ: √2 = ²√2 = ⁶√2³ = ⁶√8; ³√3 = ⁶√3² = ⁶√9
Получилось два корня одинаковой степени, с которыми можно совершать различные математические действия.

Корень: сложение и вычитание корней

Основное правила сложения и вычитания квадратных корней: сложение и вычитание квадратного корня возможны только при условии одинакового подкоренного выражения. 

Примеры:
2√3 + 3√3 = 5√3
2√3 + 2√4 – не выполняется.

При этом, нужно рассмотреть возможность упростить выражения.
Пример: 2√3 + 3√12 = 2√3 + 3√2х2х3 = 2√3 + 3√ 2²х3 = 2√3 + 6√3 = 8√3.

Алгоритм действия:
1. Упростить подкоренное выражение путем разложения на простые множители.
2. Затем нужно извлечь корень из квадратного числа и записать полученное значение перед знаком корня. 
3. После процесса упрощения необходимо подчеркнуть корни с одинаковыми подкоренными выражениями — только их можно складывать и вычитать.
4. У корней с одинаковыми подкоренными выражениями необходимо сложить или вычесть множители, которые стоят перед знаком корня. Подкоренное выражение остается без изменений. Нельзя складывать или вычитать подкоренные числа!

Корень: умножение

Умножение корней без множителей

Произведение корней из чисел равно корню из произведения этих чисел.
√a*b=√a*√b
Важно: между собой можно умножать только одинаковые степени корней, то есть можно умножить один квадратный корень на другой, но нельзя умножить квадратный корень на корень кубической степени.
Примеры:
√2 х √3 = √6
√6 х √3 = √18 = √3х3х2 = 3√2

Умножение корней с множителями

При умножении корней с множителями нужно отдельно перемножить множители и подкорневые выражения (числа). Подкорневые числа можно перемножать между собой только в том случае, если они имеют одинаковые степени (см. умножение корней без множителей). В случае отсутствия множителя, он равен единице.
Примеры:
3√2 х √5 = (3х1) √(2*5) = 3√10
4√2 х 3√3 = (3х4) √(2х3) = 12√6

Корень: деление

Основной правило деления —  подкоренные выражения делятся на подкоренные выражения, а множители на множители.
√a:b=√a:√b
В процессе деления квадратных корней дроби упрощаются.

Деление корней без множителей

Частное корней из чисел равно корню из частного этих чисел.
Важно: между собой можно делить только одинаковые степени корней, то есть можно делить один квадратный корень на другой, но нельзя делить квадратный корень на корень кубической степени.
Пример. √21:√3=√21:3=√7

Деление квадратных корней с множителями

При делении корней с множителями нужно отдельно разделить множители и подкорневые выражения (числа). Подкорневые числа можно делить между собой только в том случае, если они имеют одинаковые степени. В случае отсутствия множителя, он равен единице.
Пример. 12√32 : 6√16 = (12:6) √(32:16) = 2√2.

Примеры для практики