Как найти корень сложного числа

06
Фев 2014

Категория: Справочные материалы

Извлечение корня из большого числа

2014-02-06
2021-06-25

Автор: egeMax |

комментария 4

В предисловии к своему первому изданию “В
царстве смекалки” (1908 год) Е. И. Игнатьев пишет:
“… умственную самодеятельность,
сообразительность и “смекалку” нельзя ни
“вдолбить”, ни “вложить” ни в чью голову.
Результаты надёжны лишь тогда, когда введение в
область математических знаний совершается в
лёгкой и приятной форме, на предметах и примерах
обыденной и повседневной обстановки,
подобранных с надлежащим остроумием и
занимательностью”.

В предисловии к изданию 1911 г “Роль памяти в
математике” Е.И. Игнатьев пишет “… в математике
следует помнить не формулы, а процесс мышления”.

Для извлечения квадратного корня существуют
таблицы квадратов для двухзначных чисел, можно
разложить число на простые множители и извлечь
квадратный корень из произведения. Таблицы
квадратов бывает недостаточно, извлечение корня
разложением на множители – трудоёмкая задача,
которая тоже не всегда приводит к желаемому
результату. Попробуйте извлечь квадратный
корень из числа 209764? Разложение на простые
множители дает произведение 2*2*52441. Методом проб и
ошибок, подбором – это, конечно, можно сделать,
если быть уверенным в том, что это целое число.
Способ, который я хочу предложить, позволяет
извлечь квадратный корень в любом случае.

Когда-то в институте (Пермский государственный
педагогический институт) нас познакомили с этим
способом, о котором сейчас хочу рассказать.
Никогда не задумывалась, есть ли у этого способа
доказательство, поэтому сейчас пришлось
некоторые доказательства выводить самой.

Основой этого способа, является состав числа =.

=&, т.е. &²=596334.

1. Разбиваем число (5963364) на пары справа налево
(5`96`33`64)

2. Извлекаем квадратный корень из первой слева
группы ( – число 2). Так мы
получаем первую цифру числа &.

3. Находим квадрат первой цифры (2²=4).

4. Находим разность первой группы и квадрата
первой цифры (5-4=1).

5.Сносим следующие две цифры (получили число 196).

6. Удваиваем первую, найденную нами цифру,
записываем слева за чертой (2*2=4).

7.Теперь необходимо найти вторую цифру числа
&: удвоенная первая цифра, найденная нами,
становится цифрой десятков числа, при умножении
которого на число единиц, необходимо получить
число меньшее 196 (это цифра 4, 44*4=176). 4 – вторая цифра
числа &.

8. Находим разность (196-176=20).

9. Сносим следующую группу (получаем число 2033).

10. Удваиваем число 24, получаем 48.

11.48 десятков в числе, при умножении которого на
число единиц, мы должны получить число меньшее 2033
(484*4=1936). Найденная нами цифра единиц (4) и есть
третья цифра числа &.

Далее процесс повторяется.

Доказательство приведено мной для случаев:

1. Извлечение квадратного корня из трехзначного
числа;

2. Извлечение квадратного корня из
четырехзначного числа.

Приближенные методы извлечения квадратного
корня (без использования калькулятора) [2].

1.Древние вавилоняне пользовались следующим
способом нахождения приближенного значения
квадратного корня их числа х. Число х они
представляли в виде суммы а²+b, где а²
ближайший к числу х точный квадрат
натурального числа а (а²?х), и пользовались
формулой . (1)

Извлечем с помощью формулы (1) корень
квадратный, например из числа 28:

Результат извлечения корня из 28 с помощью МК
5,2915026.

Как видим способ вавилонян дает хорошее
приближение к точному значению корня.

2. Исаак Ньютон разработал метод извлечения
квадратного корня, который восходил еще к Герону
Александрийскому (около 100 г. н.э.). Метод этот
(известный как метод Ньютона) заключается в
следующем.

Пусть а₁ — первое приближение числа (в качестве а₁
можно брать значения квадратного корня из
натурального числа — точного квадрата, не
превосходящего х) .

Следующее, более точное приближение а₂ числа
найдется
по формуле .

Третье, еще более точное приближение и т.д.

(n+1)-е приближение найдется по формуле .

Нахождение приближенного значения числа методом
Ньютона дает следующие результаты: а₁=5; а₂=
5,3; а₃=5,2915.

–
итерационная формула Ньютона для нахождения
квадратного корня из числа х (n=2,3,4,…, а_n – n-е
приближение .

Указанный мною способ позволяет извлекать
квадратный корень из большого числа с любой
точностью, правда с существенным недостатком:
громоздкость вычислений.

Литература:

1. Пичугин Л.Ф. За страницами учебника алгебры.
   Книга для учащихся 7-9 классов средней школы. – М.:
   Просвещение, 1990.
2. Ткачева М.В. Домашняя математика. Книга для
   учащихся 8 класса общеобразовательных учебных
   заведений. – М.: Просвещение 1994.

Необходимо произвести сложные расчеты, а электронного вычислительного устройства под рукой не оказалось? Воспользуйтесь онлайн программой — калькулятором корней. Она поможет:

• найти квадратные или кубические корни из заданных чисел;
• выполнить математическое действие с дробными степенями.

Число знаков после запятой:

√

Как вычислять квадратный корень вручную —методом подбора находить подходящие значения. Рассмотрим, как это делать.

Что такое квадратный корень

Корень n степени натурального числа a — число, n степень которого равна a (подкоренное число). Обозначается корень символом √. Его называют радикалом.

Каждое математическое действие имеет противодействие: сложение→вычитание, умножение→деление, возведение в степень→извлечение корня.

Квадратным корнем из числа a будет число, квадрат которого равен a. Из этого следует ответ на вопрос, как вычислить корень из числа? Нужно подобрать число, которое во второй степени будет равно значению под корнем.

Обычно 2 не пишут над знаком корня. Поскольку это самая маленькая степень, а соответственно если нет числа, то подразумевается показатель 2. Решаем: чтобы вычислить корень квадратный из 16, нужно найти число, при возведении которого во вторую степень получиться 16.

Проводим расчеты вручную

Вычисления методом разложения на простые множители выполняется двумя способами, в зависимости от того, какое подкоренное число:

1.Целое, которое можно разложить на квадратные множители и получить точный ответ.

Квадратные числа — числа, из которых можно извлечь корень без остатка. А множители — числа, которые при перемножении дают исходное число.

Например:

25, 36, 49 — квадратные числа, поскольку:

Получается, что квадратные множители — множители, которые являются квадратными числами.

Возьмем 784 и извлечем из него корень.

Раскладываем число на квадратные множители. Число 784 кратно 4, значит первый квадратный множитель — 4 x 4 = 16. Делим 784 на 16 получаем 49 — это тоже квадратное число 7 x 7 = 16.
Применим правило Извлекаем корень из каждого квадратного множителя, умножаем результаты и получаем ответ.	Ответ.

2.Неделимое. Его нельзя разложить на квадратные множители.

Такие примеры встречаются чаще, чем с целыми числами. Их решение не будет точным, другими словами целым. Оно будет дробным и приблизительным. Упростить задачу поможет разложение подкоренного числа на квадратный множитель и число, из которого извлечь квадратный корень нельзя.

Раскладываем число 252 на квадратный и обычный множитель.
Оцениваем значение корня. Для этого подбираем два квадратных числа, которые стоят впереди и сзади подкоренного числа в цифровой линейки.	Подкоренное число — 7. Значит ближайшее большее квадратное число будет 8, а меньшее 4. Значит между 2 и 4.
Оцениваем значение	Вероятнее √7 ближе к 2. Подбираем таким образом, чтобы при умножении этого числа на само себя получилось 7. 2,7 x 2,7 = 7,2. Не подходит, так как 7,2>7, берем меньшее 2,6 x 2,6 = 6,76. Оставляем, ведь 6,76~7.
Вычисляем корень

Как вычислить корень из сложного числа? Тоже методом оценивая значения корня.

При делении в столбик получается максимально точный ответ при извлечении корня.

Возьмите лист бумаги и расчертите его так, чтобы вертикальная линия находилась посередине, а горизонтальная была с ее правой стороны и ниже начала.
Разбейте подкоренное число на пары чисел. Десятичные дроби делят так: — целую часть справа налево; — число после запятой слева направо.	Пример: 3459842,825694 → 3 45 98 42, 82 56 94 795,28 → 7 95, 28 Допускается, что вначале остается непарное число.
Для первого числа (или пары) подбираем наибольшее число n. Его квадрат должен быть меньше или равен значению первого числа (пары чисел). Извлеките из этого числа корень — √n. Запишите полученный результат сверху справа, а квадрат этого числа — снизу справа. У нас первая 7. Ближайшее квадратное число — 4. Оно меньше 7, а 4 =
Вычтите найденный квадрат числа n из первого числа (пары). Результат запишите под 7. А верхнее число справа удвойте и запишите справа выражение 4_х_=_. Примечание: числа должны быть одинаковыми.
Подбираем число для выражения с прочерками. Для этого найдите такое число, чтобы полученное произведение не было больше или равнялось текущему числу слева. В нашем случае это 8.
Запишите найденное число в верхнем правом углу. Это второе число из искомого корня. Снесите следующую пару чисел и запишите возле полученной разницы слева.
Вычтите полученное справа произведение из числа слева. Удваиваем число, которое расположено справа вверху и записываем выражение с прочерками.
Сносим к получившейся разнице еще пару чисел. Если это числа дробной части, то есть расположены за запятой, то и в верхнем правом углу возле последней цифры искомого квадратного корня ставим запятую. Заполняем прочерки в выражении справа, подбирая число так, чтобы полученное произведение было меньше или равно разницы выражения слева.
Если необходимо большее количества знаков после запятой, то дописывайте возле текущей цифры слева и повторяйте действия: вычитание слева, удваиваем число в верхнем правом углу, записываем выражение  прочерками, подбираем множители для него и так далее.

Как думаете сколько времени вы потратите на такие расчеты? Сложно, долго, запутанно. Тогда почему бы не упростить себе задачу? Воспользуйтесь нашей программой, которая поможет произвести быстрые и точные расчеты.

Алгоритм действий

1. Введите желаемое количество знаков после запятой.

2. Укажите степень корня (если он больше 2).

3. Введите число, из которого планируете извлечь корень.

4. Нажмите кнопку «Решить».

Вычисление самых сложных математических действий с онлайн калькулятором станет простым! Экономьте время и проводите расчеты с CALCON.RU.

Это умение очень пригодится на ЕГЭ и ОГЭ, потому как калькулятором пользоваться нельзя, подбором, умножая в столбик, получается долго и муторно, а в восьмой раз в туалет уже никто не выпустит.

Так что смотрим и запоминаем, чтобы потом научить своих детей, которым наверняка не рассказывали это в школе, но это сильно сэкономит время на экзаменах.

Этот способ подойдет для тех чисел, из которых корень извлекается целым числом. Именно поэтому этот способ очень удобен как раз для ОГЭ и ЕГЭ, потому как там не дают корни, из которых корень не извлекается (часть С не в счет).

Покажу на примерах. Кому удобнее смотреть видео, смотрите.

Допустим нам надо извлечь корень из числа 54756. Дальше листаем галерею, смотрим подписи к фотографиям и запоминаем алгоритм.

Второй пример. Извлечем корень из числа 259081. Попробуйте сами. На втором слайде будет решение.

На первый взгляд схема весьма непростая, но стоит один-два раза попробовать извлечь корни таким образом самостоятельно и вы будете щелкать такие задачи, как семечки. Попробуйте извлечь корень из 112225; 210681 и 998001.

С числами поменьше, всё ещё проще, даже писать ничего не придется. Можно в уме вычислять. Вот, например, как извлечь корень из 3136? Понятно, что грани две, поэтому в ответе двухзначное число. Первая цифра в ответе — это 5, потому что 5²=25, а 6²=36>31. Так как 3136 заканчивается на 6, а при возведении в квадрат шестерку могут давать только 4 или 6, ответом будет либо 54, либо 56. Как выбрать? Давайте вспомним чему равен 55². Если не помните, то это легко посчитать (подробно читайте тут), надо в конце записать 25, а в начале 5•6=30 Итого 55²=3025. 3025<3136, а так как корень должен извлекаться нацело, значит ответ 56.

Аналогично извлекаем корень из 4624. 6²=36, а 7²=49, поэтому первая цифра ответа — 6. При возведении в квадрат четверку на конце дают только 2 и 8, то есть ответ 62 или 68. Чтобы выбрать, мы должны сравнить подкоренное число с 65². 6•7=42, дописываем в конце 25 и получаем 65²=4225. 4225<4624 следовательно √4624=68.

Ну и последний корень попробуйте снова извлечь самостоятельно. Чему равен √2116? Проверьте себя по картинке ниже.

И не забываем о том, что у меня появился канал на Ютубе. Заходите в гости и подписывайтесь.

Ещё интересно: Два простых способа быстрого сложения и вычитания в уме

Простой и очень быстрый способ возведения в квадрат чисел, оканчивающихся на 5. Будешь считать быстрее калькулятора

90% европейских выпускников не смогли решить задачу, которую решили российские восьмиклассники