Дано сравнение xp0 = 1 (mod p), где p0 и p – константы, большие простые числа.
Необходимо найти хотя бы одно решение (кроме единицы), при p0 размером 160 бит и p размером 1024 бит.
Пытался подбирать случайные значения x – слишком долго.
Есть какая-нибудь формула, которая поможет быстро найти хотя бы одно решение?
Добавлено через 6 минут
Если кому интересно или если будет полезно, я пытаюсь реализовать схему Шнорра, в которой используется составной открытый ключ (p, q, g, y). |p| = 1024, |q| = 160. Нужно подобрать такое g != 1, что gq = 1 (mod p).
Добавлено через 11 часов 20 минут
Нашел ответ.
Нужно выбрать случайное h из (1; p – 1). Тогда с достаточно большой вероятностью g = h(p-1)/q mod p будет подходить под условие gq = 1 (mod p).
Например, нам необходимо сравнить две дроби: ( 1,6) и ( 1frac{6}{13}).
Давай разберем каждый вариант
Вариант 1. Сравнение дробей с помощью приведения к общему знаменателю
Запишем ( 1,6) в виде обыкновенной дроби:
( 1,6=1frac{6}{10}=1frac{3}{5}) — (как ты видишь, я также сократила на ( 2) числитель и знаменатель).
Теперь нам необходимо сравнить дроби:
( 1frac{3}{5}) и ( 1frac{6}{13})
Сейчас мы можем продолжить сравнивать также двумя способами. Мы можем:
Способ 1. Числитель больше знаменателя
Просто приведите все к общему знаменателю, представив обе дроби как неправильные (числитель больше знаменателя):
( frac{8}{5}vee frac{19}{13})
( frac{8cdot 13}{5cdot 13}vee frac{19cdot 5}{13cdot 5})
( frac{104}{65}vee frac{95}{65})
Какое число больше? Правильно, то, у которого числитель больше, то есть первое.
( 1,6>1frac{6}{13})
Способ 2. Отбросьте единицу
«Отбросьте» ( 1) (считай, что мы из каждой дроби вычли единицу, и соотношение дробей друг с другом, соответственно, не изменилось) и будем сравнивать дроби:
( frac{3}{5}vee frac{6}{13})
Приводим их также к общему знаменателю:
( frac{3cdot 13}{13cdot 5}vee frac{6cdot 5}{13cdot 5})
Заметь, в принципе мы можем не считать знаменатель. Мы итак видим, что он одинаков и нам необходимо сравнивать числитель. Тогда зачем мы будем тратить время на подсчет знаменателя?
( frac{39}{13cdot 5}vee frac{30}{13cdot 5})
Мы получили абсолютно точно такой же результат, как и в предыдущем случае – первое число больше, чем второе:
( 1,6>1frac{6}{13})
Проверим также, правомерно ли мы вычли единицу? Посчитаем разницу в числителе при первом расчете и втором:
1) ( 104-95=9)
2) ( 39-30=9)
Итак, мы рассмотрели, как сравнивать дроби, приводя их к общему знаменателю. Перейдем к другому методу – сравнение дробей приводя их к общему… числителю.
Вариант 2. Сравнение дробей с помощью приведения к общему числителю
Да, да. Это не опечатка. В школе редко кому рассказывают этот метод, но очень часто он весьма удобен. Чтобы ты быстро понял его суть, задам тебе только один вопрос – «в каких случаях значение дроби наибольшее?»
Конечно, ты скажешь «когда числитель максимально большой, а знаменатель максимально маленький».
Например, ты же точно скажешь, что ( frac{8}{13}<frac{12}{13}) Верно?
А если нам надо сравнить такие дроби: ( frac{6}{13}vee frac{6}{28})?
Думаю, ты тоже сразу верно поставишь знак, ведь в первом случае ( 6) делят на ( 13) частей, а во втором на целых ( 28), значит, во втором случае кусочки получаются совсем маленькие, и соответственно: ( frac{6}{13}>frac{6}{28}).
Как ты видишь, знаменатели здесь разные, а вот числители одинаковы. Однако, для того, чтобы сравнить эти две дроби, тебе не обязательно искать общий знаменатель. Хотя… найди его и посмотри, вдруг знак сравнения все же неправильный?
( frac{6cdot 28}{13cdot 28}>frac{6cdot 13}{28cdot 13})
( frac{168}{364}>frac{78}{364})
А знак-то тот же.
Вернемся к нашему изначальному заданию – сравнить ( 1frac{3}{5})и ( 1frac{6}{13}). Будем сравнивать ( frac{3}{5}) и ( frac{6}{13}).
Приведем данные дроби не к общему знаменателю, а к общему числителю.
Для этого просто числитель и знаменатель первой дроби умножим на ( 2). Получим:
( frac{6}{10}) и ( frac{6}{13}).
Какая дробь больше? Правильно, первая.
Вариант 3. Сравнение дробей с помощью вычитания
Как сравнивать дроби с помощью вычитания? Да очень просто.
Мы из одной дроби вычитаем другую. Если результат получается положительным, то первая дробь (уменьшаемое) больше второй (вычитаемое), а если отрицательным, то наоборот.
В нашем случае попробуем из второй вычесть первую дробь: ( 1frac{6}{13}-1,6).
Как ты уже понял, мы так же переводим ( 1,6) в обыкновенную дробь и получаем тот же результат — ( 1frac{3}{5}) .
Наше выражение приобретает вид:
( 1frac{6}{13}-1frac{3}{5})
Далее нам все равно придется прибегнуть к приведению к общему знаменателю.
Вопрос как: первым способом, преобразуя дроби в неправильные, или вторым, как бы «убирая» единицу? Кстати, это действие имеет вполне математическое обоснование. Смотри:
( left( 1+frac{6}{13} right)-left( 1+frac{3}{5} right)=1+frac{6}{13}-1-frac{3}{5}=frac{6}{13}-frac{3}{5})
Мне больше нравится второй вариант, так как перемножение в числителе при приведении к общему знаменателю становится в разы проще.
Приводим к общему знаменателю:
( frac{6}{13}-frac{3}{5}=frac{6cdot 5}{13cdot 5}-frac{3cdot 13}{5cdot 13}=frac{30}{13cdot 5}-frac{39}{5cdot 13}=-frac{9}{5cdot 13})
Здесь главное не запутаться, какое число и откуда мы отнимали. Внимательно посмотреть ход решения и случайно не перепутать знаки. Мы отнимали от второго числа первое и получили отрицательный ответ, значит?..
Правильно, первое число больше второго.
( 1,6>1frac{6}{13})
Вариант 5. Сравнение дробей с помощью деления
Да, да. И так тоже можно.
Логика проста: когда мы делим большее число на меньшее, в ответе у нас получается число, больше единицы, а если мы делим меньшее число на большее, то ответ приходится на промежуток от ( 0) до ( 1).
Чтобы запомнить это правило, возьми для сравнения любые два простых числа, например, ( 6) и ( 4). Ты же знаешь, что ( 6) больше ( 4)?
Теперь разделим ( 6) на ( 4). Наш ответ — ( 1,5). Соответственно, теория верна.
Если мы разделим ( displaystyle 4) на ( 6), что мы получим ( 0,left( 6 right)) – меньше единицы, что в свою очередь подтверждает, что ( displaystyle 4) на самом деле меньше ( 6).
Попробуем применить это правило на обыкновенных дробях. Сравним:
( frac{6}{8}vee frac{10}{12})
Разделим первую дробь на вторую:
( frac{6}{8}:frac{10}{12}=frac{6}{8}cdot frac{12}{10})
Сократим на ( 2) и на ( 4).
( frac{6}{8}cdot frac{12}{10}=frac{3}{2}cdot frac{3}{5}=frac{9}{10})
Полученный результат меньше ( 1), значит делимое меньше делителя, то есть:
( frac{6}{8}<frac{10}{12})
Мы разобрали все возможные варианты сравнения дробей. Как мы и говорили их пять.
Сравнение степеней
Теперь представим, что нам необходимо сравнить не просто числа, а выражения, где существует степень (читай раздел про степени).
Cравни: ( {{2}^{4}}vee {{2}^{6}}).
Конечно, ты без труда поставишь знак:
( {{2}^{4}}<{{2}^{6}}), ведь если мы заменим степень умножением, мы получим:
( 2cdot 2cdot 2cdot 2<2cdot 2cdot 2cdot 2cdot 2cdot 2)
Из этого маленького и примитивного примера вытекает правило:
Если основание сравниваемых степеней одинаково, то больше та степень, у которой больше показатель степени.
Попробуй теперь сравнить следующее: ( {{5}^{4}}vee {{6}^{4}}). Ты так же без труда поставишь знак:
( {{5}^{4}}<{{6}^{4}}), потому что, если мы заменим возведение степень на умножение…
В общем, ты все понял, и это совсем несложно.
Сложности возникают только тогда, когда при сравнении у степеней разные и основания, и показатели.
В этом случае необходимо попробовать привести к общему основанию. Например:
( {{2}^{2}}vee {{4}^{3}})
Разумеется, ты знаешь, что ( 4) это ( {{2}^{2}}), соответственно, выражение приобретает вид:
Раскроем скобки и сравним то, что получится:
( {{2}^{2}}vee {{2}^{6}}) — легко?
( {{2}^{2}}<{{2}^{6}})
Сравнение чисел с корнем
Для начала вспомним, что такое корни? Вот эту ( sqrt[n]{a}=b) запись помнишь?
( sqrt[n]{a}=b {{b}^{n}}=a)
Корнем ( n-ой) степени из действительного числа ( a) называется такое число ( b), для которого выполняется равенство ( {{b}^{n}}=a).
Корни нечетной степени существуют для отрицательных и положительных чисел, а корни четной степени — только для положительных.
Значением корня часто является бесконечная десятичная дробь, что затрудняет его точное вычисление, поэтому важно уметь сравнивать корни.
Если ты подзабыл, что это такое и с чем его едят – почитай про корни здесь. Если все помнишь – давай учиться поэтапно сравнивать корни.
Допустим, нам необходимо сравнить:
( sqrt[3]{4}vee sqrt[3]{6})
Чтобы сравнить эти два корня, не нужно делать никаких вычислений, просто проанализируй само понятие «корень».
Понял, о чем я говорю?
Да вот об этом: ( sqrt[3]{4}vee sqrt[3]{6})иначе можно записать как третья степень какого-то числа, равна подкоренному выражению.
( {{x}^{3}}=4)
( {{y}^{3}}=6)
А что больше? ( y) или ( x)? Это ты, конечно, сравнишь без всякого труда. Чем большее число мы возводим в степень, тем больше будет значение.
Итак. Выведем правило.
Если показатели степени корней одинаковы (в нашем случае это ( 3)), то необходимо сравнивать подкоренные выражения (( 4) и ( 6)) — чем больше подкоренное число, тем больше значение корня при равных показателях.
Сложно запомнить? Тогда просто держи в голове пример ( sqrt{16}) и ( sqrt{4}). Что больше?
( sqrt{16}=4)
( sqrt{4}=2)
( 4) больше ( 2).
Показатели степени корней одинаковы, так как корень квадратный. Подкоренное выражение одного числа (( 16)) больше другого (( 4)), значит, правило действительно верное.
А что, если подкоренные выражения одинаковые, а вот степени корней разные? Например: ( sqrt[4]{6}vee sqrt[3]{6}).
Тоже вполне понятно, что при извлечении корня большей степени получится меньшее число. Возьмем для примера:
( sqrt[3]{12}vee sqrt[6]{12})
Обозначим значение первого корня как ( a), а второго — как ( b), то:
( {{a}^{3}}=12)
( {{b}^{6}}=12)
Ты без труда видишь, что в данных уравнениях ( a) должно быть больше ( b), следовательно:
( sqrt[3]{12}>sqrt[6]{12}).
Если подкоренные выражения одинаковы (в нашем случае ( 12)), а показатели степени корней различны (в нашем случае это ( 3) и ( 6)), то необходимо сравнивать показатели степени (( 3) и ( 6)) — чем больше показатель, тем меньше данное выражение.
Как избавляться от логарифмов
Как избавляться от логарифмов, подробно описано в теме «Логарифмические неравенства». Основные правила такие:
({log _a}x vee b{rm{ }} Leftrightarrow {rm{ }}left[ {begin{array}{*{20}{l}}{x vee {a^b};{rm{при}};a > 1}\{x wedge {a^b};{rm{при}};0 < a < 1}end{array}} right. ) или ( {log _a}x vee {log _a}y{rm{ }} Leftrightarrow {rm{ }}left[ {begin{array}{*{20}{l}}{x vee y;{rm{при}};a > 1}\{x wedge y;{rm{при}};0 < a < 1}end{array}} right. )
Также можем добавить правило про логарифмы с разными основаниями и одинаковым аргументом:
( displaystyle begin{array}{l}a>b>1 Leftrightarrow {{log }_{a}}x<{{log }_{b}}x\1>a>b>0 Leftrightarrow {{log }_{a}}x>{{log }_{b}}xend{array})
Объяснить его можно так: чем больше основание, тем в меньшую степень его придется возвести, чтобы получить один и тот же ( x). Если же основание меньше ( 1), то все наоборот, так как соответствующая функция монотонно убывающая.
Пример.
Сравните числа: ( {{log }_{3}}5) и ( {{log }_{8}}26).
Решение:
Согласно вышеописанным правилам:
( displaystyle left. begin{array}{l}{{log }_{8}}26>{{log }_{8}}25\{{log }_{8}}25>{{log }_{9}}25={{log }_{3}}5text{ }end{array} right|Rightarrow text{ }{{log }_{8}}26>{{log }_{3}}5)
А теперь формула для продвинутых.
Правило сравнения логарифмов можно записать и короче:
( displaystyle {{log }_{a}}x-{{log }_{a}}yvee 0text{ }Leftrightarrow text{ }left( a-1 right)left( x-y right)vee 0)
Пример:
Что больше: ( displaystyle log _{0,3}^{2}sqrt{5}) или ( displaystyle log _{0,3}^{2}0,45)?
Решение:
( displaystyle begin{array}{l}log _{0,3}^{2}sqrt{5}vee log _{0,3}^{2}0,45text{ }Leftrightarrow text{ }log _{0,3}^{2}sqrt{5}-log _{0,3}^{2}0,45vee 0text{ }Leftrightarrow \left( {{log }_{0,3}}sqrt{5}-{{log }_{0,3}}0,45 right)left( {{log }_{0,3}}sqrt{5}+{{log }_{0,3}}0,45 right)vee 0text{ }Leftrightarrow \left( {{log }_{0,3}}sqrt{5}-{{log }_{0,3}}0,45 right)left( {{log }_{0,3}}sqrt{5}-{{log }_{0,3}}{{0,45}^{-1}} right)vee 0text{ }Leftrightarrow text{ }\underbrace{underbrace{left( 0,3-1 right)}_{<0}underbrace{left( sqrt{5}-0,45 right)}_{>0}underbrace{left( 0,3-1 right)}_{<0}}_{>0}left( sqrt{5}-frac{20}{9} right)vee 0text{ }Leftrightarrow \left( sqrt{5}-frac{20}{9} right)vee 0text{ }Leftrightarrow text{ }sqrt{5}vee frac{20}{9}text{ }Leftrightarrow text{ }5vee frac{400}{81}text{ }Leftrightarrow text{ }frac{400}{80}overset{>}{mathop{vee }},frac{400}{81}text{ }Rightarrow \Rightarrow text{ }underline{underline{log _{0,3}^{2}sqrt{5}>log _{0,3}^{2}0,45}}end{array})
Пример:
Сравните, какое из чисел больше: ( displaystyle log _{6}^{2}13text{ }vee text{ }2,25).
Решение:
( displaystyle begin{array}{l}log _{6}^{2}14vee 2,25text{ }Leftrightarrow text{ }log _{6}^{2}14-{{1,5}^{2}}vee 0text{ }Leftrightarrow text{ }\Leftrightarrow left( {{log }_{6}}14-{{log }_{6}}{{6}^{1,5}} right)underbrace{left( {{log }_{6}}14+{{log }_{6}}{{6}^{1,5}} right)}_{>0}vee 0text{ }Leftrightarrow \left( 6-1 right)left( 14-{{6}^{frac{3}{2}}} right)vee 0text{ }Leftrightarrow text{ }14vee sqrt{{{6}^{3}}}text{ }Leftrightarrow text{ }194overset{<}{mathop{vee }},216text{ }Rightarrow \Rightarrow text{ }underline{underline{log _{6}^{2}14<2,25}}end{array})
Сравнение тригонометрических выражений
Что такое синус, косинус, тангенс, котангенс? Для чего нужна единичная тригонометрическая окружность и как на ней найти значение тригонометрических функций?
Если ты не знаешь ответы на эти вопросы, очень рекомендую тебе прочитать теорию по этой теме. А если знаешь, то сравнить тригонометрические выражения между собой для тебя не составляет труда!
Немного освежим память.
Нарисуем единичную тригонометрическую окружность и вписанный в нее треугольник. Справился?
Теперь отметь, по какой стороне у нас откладывается косинус, а по какой синус, используя стороны треугольника. (ты, конечно помнишь, что синус, это отношение противолежащей стороны к гипотенузе, а косинус прилежащей?). Нарисовал? Отлично!
Последний штрих – проставь, где у нас будет ( 0{}^circ ) , где ( 90{}^circ )и так далее. Проставил? Фух)
Сравниваем, что получилось у меня и у тебя.
Фух! А теперь приступаем к сравнению!
Допустим, нам необходимо сравнить ( sin 30{}^circ ) и ( sin 60{}^circ ).
Нарисуй эти углы, используя подсказки в рамочках (где у нас отмечено ( sin 0{}^circ ), где ( sin 90{}^circ )), откладывая точки на единичной окружности.
Справился? Вот что у меня получилось.
Теперь опустим перпендикуляр из точек, отмеченных нами на окружности на ось… Какую? Какая ось у нас показывает значение синусов? Правильно, ( Oy).
Вот что у тебя должно получиться:
Глядя на этот рисунок, что больше: ( sin 30{}^circ ) или ( sin 60{}^circ )?
Конечно, ( sin 60{}^circ ), ведь точка ( F) находится выше точки ( E).
( sin 30{}^circ <sin 60{}^circ )
Аналогичным образом мы сравниваем значение косинусов. Только перпендикуляр мы опускаем на ось… Верно, ( Ox).
Соответственно, смотрим, какая точка находится правее (ну или выше, как в случае с синусами), то значение и больше.
Наверное, ты уже догадываешься, как сравнивать тангенсы, верно? Все, что нужно, знать что такое тангенс.
Так что такое тангенс? Правильно, отношение синуса к косинусу.
Чтобы сравнить тангенсы мы так же рисуем угол, как и в предыдущем случае. Допустим, нам необходимо сравнить:
( tg 30{}^circ vee tg 60{}^circ )
Нарисовал? Теперь так же отмечаем значения синуса на координатной оси ( Oy). Отметил?
А теперь укажи значения косинуса на координатной прямой ( Ox). Получилось? Давай сравним:
Как ты думаешь, что будет дальше?
Распишем по отрезкам, что такое ( tg {{30}^{{}^circ }}) и ( tg {{30}^{{}^circ }})
( tg {{30}^{{}^circ }}=frac{AE}{AG})
( tg {{60}^{{}^circ }}=frac{AF}{AH})
А теперь проанализируй написанное. ( tg {{60}^{{}^circ }}) — мы большой отрезок делим на маленький. В ответе будет значение, которое точно больше единицы. Верно?
А при ( tg {{30}^{{}^circ }}) мы маленький делим на большой. В ответе будет число, которое точно меньше единицы.
Так значение какого тригонометрического выражения больше?
Правильно:
( tg {{30}^{{}^circ }} < tg {{60}^{{}^circ }})
Как ты теперь понимаешь, сравнение котангенсов – то же самое, только наоборот: мы смотрим, как относятся друг к другу отрезки, определяющие косинус и синус.
Разбор по составу слова «сравнение»
сравнение
| сравн | корень |
| ени | суффикс |
| е | окончание |
Делаем Карту слов лучше вместе
Привет! Меня зовут Лампобот, я компьютерная программа, которая помогает делать
Карту слов. Я отлично
умею считать, но пока плохо понимаю, как устроен ваш мир. Помоги мне разобраться!
Спасибо! Я стал чуточку лучше понимать мир эмоций.
Вопрос: сатрап — это что-то нейтральное, положительное или отрицательное?
Ассоциации к слову «сравнение»
Синонимы к слову «сравнение»
Предложения со словом «сравнение»
- К сожалению, Eurotunnel не смог предоставить данные, позволяющие провести подобное сравнение для пригородных поездов.
- Невольно на ум приходит сравнение той эпохи с нынешним временем, когда видишь хаос и неразбериху в экономике и в умах подрастающего поколения.
- Также, что, на мой взгляд, является наиболее интересной функцией, именно на icostats можно провести сравнение двух и более токенов.
- (все предложения)
Цитаты из русской классики со словом «сравнение»
- О, как невинно, как неинтересно и незначительно отношение к христианству Чернышевского и Писарева, Бюхнера и Молешотта по сравнению с отрицанием Розанова.
- События его времени кажутся маленькими по сравнению с современными.
- Вы, однако ж, остроумно… и прекрасное сравнение привели.
- (все
цитаты из русской классики)
Сочетаемость слова «сравнение»
- подобное сравнение
подходящее сравнение
удачное сравнение - в сравнении с жизнью
в сравнении с вечностью
в сравнении с миром - результаты сравнения
метод сравнения
возможность сравнения - сравнение показывает
сравнение хромает
сравнение понравилось - познаваться в сравнении
провести сравнение
не выдерживать сравнения - (полная таблица сочетаемости)
Каким бывает «сравнение»
Значение слова «сравнение»
-
СРАВНЕ́НИЕ, -я, ср. 1. Действие по знач. глаг. сравнить. Сравнение славянских языков с германскими. (Малый академический словарь, МАС)
Все значения слова СРАВНЕНИЕ
Афоризмы русских писателей со словом «сравнение»
- Сравнение употребляется или чтобы, сравнивая художественную вещь с лучшей, показать, как хороша описываемая вещь с обыкновенной, чтобы дать о ней ясное понятие.
- Нет ничего святее и бескорыстнее любви матери; всякая привязанность, всякая любовь, всякая страсть или слаба, или своекорыстна в сравнении с нею.
- Метод науки… — анализ; метод искусства — синтез. Наука путем сравнений, сопоставлений, соотношений пытается разложить явления мира на их составные элементы. Искусство путем аналогий жаждет связать элементы мира в некоторые целые. Наука, следовательно, дает те элементы, из которых творит художник, и искусство начинается там, где наука останавливается.
- (все афоризмы русских писателей)
Отправить комментарий
Дополнительно
Как сравнить число и сумму корней уравнения
Алгоритм решения задач по алгебре на тему «Сравнение арифметических корней»
АЛГОРИТМ
«Срaвнение арифмeтичeских корнeй»
- Запишите каждую часть равенства или неравенства в виде корней a = √a 2 , а > 0.
- Сравните числа, стоящие под знаком корня:
если а >b > 0, то √a > √b;
если 0
ПРИМЕР 1 . Сравните числа: 
Решение.
ПРИМЕР 2 . (Сравнение суммы корней) Какое из чисел больше — (√5 + √6) или (2 + √7)?
Решение.
Ответ: первое число больше.
ПРИМЕР 3 . (Сравнение разности корней) Сравните числа: 
Ответ: первое число меньше.
ПРИМЕР 4 . При каких значениях а равенство 
будет верным?
Решение.
Ответ: равенство будет верным при а = 19.
Вы смотрели алгоритм решения задач по алгебре на тему «Сравнение корней».
Теорема Виета для квадратного уравнения
О чем эта статья:
Основные понятия
Квадратное уравнение — это ax 2 + bx + c = 0, где a — первый коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.
Существует три вида квадратных уравнений:
- не имеют корней;
- имеют один корень;
- имеют два различных корня.
Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение, нужно обратить внимание на дискриминант. Формула для его поиска записывается так: D = b 2 − 4ac. Его свойства:
- если D 0, есть два различных корня.
В случае, когда второй коэффициент четный, можно воспользоваться формулой нахождения дискриминанта , где .
В математике теоремой принято называть утверждение, у которого ранее было сформулировано доказательство.
Формула Виета
Если в школьной геометрии чаще всего используется теорема Пифагора, то в школьной алгебре ведущую роль занимают формулы Виета. Теорема звучит так:
Рассмотрим квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен 1: . Такие уравнения называют приведенными квадратными уравнениями. Сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равняется свободному члену.
Если дано x 2 + bx + c = 0, где x₁ и x₂ являются корнями, то справедливы два равенства:
Знак системы, который принято обозначать фигурной скобкой, означает, что значения x₁ и x₂ удовлетворяют обоим равенствам.
Рассмотрим теорему Виета на примере: x 2 + 4x + 3 = 0.
Пока неизвестно, какие корни имеет данное уравнение. Но в соответствии с теоремой можно записать, что сумма этих корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком. Он равен четырем, значит будем использовать минус четыре:
Произведение корней по теореме соответствует свободному члену. В данном случае свободным членом является число три. Значит:
Необходимо проверить равна ли сумма корней −4, а произведение 3. Для этого найдем корни уравнения x 2 + 4x + 3 = 0. Воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента:
2 + 4x + 3 = 0″ height=”215″ src=”https://lh5.googleusercontent.com/E_X403ETh_88EANRWdQN03KRT8yxP2HO4HoCrxj__c8G0DqmNJ1KDRqtLH5Z1p7DtHm-rNMDB2tEs41D7RHpEV5mojDTMMRPuIkcW33jVNDoOe0ylzXdHATLSGzW4NakMkH2zkLE” width=”393″>
Получилось, что корнями уравнения являются числа −1 и −3. Их сумма равняется второму коэффициенту с противоположным знаком, а значит решение верное.
2 + 4x + 3 = 0″ height=”52″ src=”https://lh5.googleusercontent.com/VzGPXO9B0ZYrr9v0DpJfXwuzeZtjYnDxE_ma76PUC8o7jVWwa8kZjTJhq2Lof0TiJXAp_ny3yRwI_OyRzeucv9xUZ63yoozGPP4xd4OxvElVT7Pt-d6xL5w17e_mQNs5qZJQiwfG” width=”125″>
Произведение корней −1 и −3 по теореме Виета должно равняться свободному члену, то есть числу 3. Это условие также выполняется:
2 + 4x + 3 = 0″ height=”52″ src=”https://lh4.googleusercontent.com/Cq-LCFmY3YGNSan1VF3l3CqIeojoJYAvGAiTBWnzyoZu_xJFrF5NfQ3xCe59apJklw6uYbmQ4lAkBTeC-TJmEGicN3rgGtsezhuqdNiOWjZT39NziOB5uOmQr3cr9-5fNnepdZDo” width=”112″>
Результат проделанных вычислений в том, что мы убедились в справедливости выражения:
Обучение на курсах по математике помогает быстрее разобраться в новых темах и подтянуть оценки в школе.
Доказательство теоремы Виета
Дано квадратное уравнение x 2 + bx + c = 0. Если его дискриминант больше нуля, то оно имеет два корня, сумма которых равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:
Докажем, что следующие равенства верны
- x₁ + x₂ = −b,
- x₁ * x₂ = c.
Чтобы найти сумму корней x₁ и x₂ подставим вместо них то, что соответствует им из правой части формул корней. Напомним, что в данном квадратном уравнении x 2 + bx + c = 0 старший коэффициент равен единице. Значит после подстановки знаменатель будет равен 2.
-
Объединим числитель и знаменатель в правой части.
Раскроем скобки и приведем подобные члены:
Сократим дробь полученную дробь на 2, остается −b:
Мы доказали: x₁ + x₂ = −b.
Далее произведем аналогичные действия, чтобы доказать о равенстве x₁ * x₂ свободному члену c.
-
Подставим вместо x₁ и x₂ соответствующие части из формул корней квадратного уравнения:
Перемножаем числители и знаменатели между собой:
Очевидно, в числителе содержится произведение суммы и разности двух выражений. Поэтому воспользуемся тождеством (a + b) * (a − b) = a 2 − b 2 . Получаем:
Далее произведем трансформации в числителе:
Нам известно, что D = b2 − 4ac. Подставим это выражение вместо D.
Далее раскроем скобки и приведем подобные члены:
Сократим:
Мы доказали: x₁ * x₂ = c.
Значит сумма корней приведённого квадратного уравнения x 2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком (x₁ + x₂ = −b), а произведение корней равно свободному члену (x₁ * x₂= c). Теорема доказана.
Обратная теорема Виета
Когда дана сумма и произведение корней квадратного уравнения, принято начинать подбор подходящих корней. Теорема, обратная теореме Виета, при таких условиях может быть главным помощником. Она формулируется так:
Обратная теорема Виета
Если числа x₁ и x₂ таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x 2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену, то эти числа являются корнями x 2 + bx + c = 0.
Обратные теоремы зачастую сформулированы так, что их утверждением является заключение первой теоремы. Так, при доказательстве теоремы Виета стало понятно, что сумма x₁ и x₂ равна −b, а их произведение равно c. В обратной теореме это является утверждением.
Докажем теорему, обратную теореме Виета
Корни x₁ и x₂ обозначим как m и n. Тогда утверждение будет звучать следующим образом: если сумма чисел m и n равна второму коэффициенту x 2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену, то числа m и n являются корнями x 2 + bx + c = 0.
Зафиксируем, что сумма m и n равна −b, а произведение равно c.
Чтобы доказать, что числа m и n являются корнями уравнения, нужно поочередно подставить буквы m и n вместо x, затем выполнить возможные тождественные преобразования. Если в результате преобразований левая часть станет равна нулю, то это будет означать, что числа m и n являются корнями x 2 + bx + c = 0.
-
Выразим b из равенства m + n = −b. Это можно сделать, умножив обе части на −1:
Подставим m в уравнение вместо x, выражение −m − n подставим вместо b, а выражение mn — вместо c:
При x = m получается верное равенство. Значит число m является искомым корнем.
- Аналогично докажем, что число n является корнем уравнения. Подставим вместо x букву n, а вместо c подставим m * n, поскольку c = m * n.
При x = n получается верное равенство. Значит число n является искомым корнем.
Мы доказали: числа m и n являются корнями уравнения x 2 + bx + c = 0.
Примеры
Для закрепления знаний рассмотрим примеры решения уравнений по теореме, обратной теореме Виета.
Дано: x 2 − 6x + 8 = 0.
Для начала запишем сумму и произведение корней уравнения. Сумма будет равна 6, так как второй коэффициент равен −6. А произведение корней равно 8.
2 − 6x + 8 = 0″ height=”59″ src=”https://lh6.googleusercontent.com/tFokx3SM93Hwlr7ZM9BqX1xiHKv_2dUIB9MoNa8RAwSTmQKXdCcqcFXxTZmxNGw7bOVek-RzRXqBkoCqnYMiqIYVwKhfnHeU-7mA03feEqJTlyKB7e-OsTTKgPaOlddfiaTGszcv” width=”99″>
Имея эти два равенства можно подобрать подходящие корни, которые будут удовлетворять как равенству обоим равенствам системы.
Подбор корней удобнее выполнять с помощью их произведения. Число 8 можно получить путем перемножения чисел 4 и 2 либо 1 и 8. Но значения x₁ и x₂ надо подбирать так, чтобы они удовлетворяли и второму равенству тоже.
Можно сделать вывод, что значения 1 и 8 не подходят, так как они не удовлетворяют равенству x₁ + x₂ = 6. Значения 4 и 2 подходят обоим равенствам:
Значит числа 4 и 2 являются корнями уравнения x 2 − 6x + 8 = 0.
2 − 6x + 8 = 0″ height=”57″ src=”https://lh3.googleusercontent.com/rohB7Bvd-elMhTxEUuOhKqLJjqLAvo9VlJxZvOnMeDAHARfKT-SYOWb1WXTTWEN2h0oKbLl6wH7lc0IWL_vH3Si2AJGAGXVn8TPFDT_J1Wu2WeoQ-WP1qgXjCnZ99tWUkK2BOvF2″ width=”64″>
Неприведенное квадратное уравнение
Теорема Виета выполняется только тогда, когда квадратное уравнение является приведённым, то есть его первый коэффициент равен единице:
ax 2 + bx + c = 0, где а = 1.
Если квадратное уравнение не является приведенным, но задание связано с применением теоремы, нужно обе части разделить на коэффициент, который располагается перед x 2 .
- Получилось следующее приведенное уравнение:
-
Получается, второй коэффициент при x равен, свободный член —. Значит сумма и произведение корней будут иметь вид:
Рассмотрим пример неприведенного уравнения: 4x 2 + 5x + 1 = 0. Разделим обе его части на коэффициент перед x 2 , то есть на 4.
Квадратный корень. Действия с квадратными корнями. Модуль. Сравнение квадратных корней
Готовиться с нами – ЛЕГКО!
Эффективное решение существует!
Вы ищете теорию и формулы для ЕГЭ по математике ? Образовательный проект «Школково» предлагает вам заглянуть в раздел «Теоретическая справка». Здесь представлено пособие по подготовке к ЕГЭ по математике, которое фактически является авторским. Оно разработано в соответствии с программой школьного курса и включает такие разделы, как арифметика, алгебра, начала анализа и геометрия (планиметрия и стереометрия). Каждое теоретическое положение, содержащееся в пособии по подготовке к ЕГЭ по математике, сопровождается методически подобранными задачами с подробными разъяснениями.
Таким образом, вы не только приобретете определенные знания. Полный справочник для ЕГЭ по математике поможет вам научиться логически и нестандартно мыслить , выполнять самые разнообразные задачи и грамотно объяснять свои решения. А это уже половина успеха при сдаче единого государственного экзамена.
После того, как вы нашли необходимые формулы и теорию для ЕГЭ по математике, рекомендуем вам перейти в раздел «Каталоги» и закрепить полученные знания на практике. Для этого достаточно выбрать задачу по данной теме и решить ее. Кроме того, справочные материалы по математике для ЕГЭ пригодятся вам и для других естественнонаучных дисциплин, таких как физика, химия и т. д.
Факт 1.
(bullet) Возьмем некоторое неотрицательное число (a) (то есть (ageqslant 0) ). Тогда (арифметическим) квадратным корнем из числа (a) называется такое неотрицательное число (b) , при возведении которого в квадрат мы получим число (a) : [sqrt a=bquad text<то же самое, что >quad a=b^2] Из определения следует, что (ageqslant 0, bgeqslant 0) . Эти ограничения являются важным условием существования квадратного корня и их следует запомнить!
Вспомним, что любое число при возведении в квадрат дает неотрицательный результат. То есть (100^2=10000geqslant 0) и ((-100)^2=10000geqslant 0) .
(bullet) Чему равен (sqrt<25>) ? Мы знаем, что (5^2=25) и ((-5)^2=25) . Так как по определению мы должны найти неотрицательное число, то (-5) не подходит, следовательно, (sqrt<25>=5) (так как (25=5^2) ).
Нахождение значения (sqrt a) называется извлечением квадратного корня из числа (a) , а число (a) называется подкоренным выражением.
(bullet) Исходя из определения, выражения (sqrt<-25>) , (sqrt<-4>) и т.п. не имеют смысла.
Факт 2.
Для быстрых вычислений полезно будет выучить таблицу квадратов натуральных чисел от (1) до (20) : [begin <|ll|>hline 1^2=1 & quad11^2=121 \ 2^2=4 & quad12^2=144\ 3^2=9 & quad13^2=169\ 4^2=16 & quad14^2=196\ 5^2=25 & quad15^2=225\ 6^2=36 & quad16^2=256\ 7^2=49 & quad17^2=289\ 8^2=64 & quad18^2=324\ 9^2=81 & quad19^2=361\ 10^2=100& quad20^2=400\ hline end]
Факт 3.
Какие действия можно выполнять с квадратными корнями?
(bullet) Сумма или разность квадратных корней НЕ РАВНА квадратному корню из суммы или разности, то есть [sqrt apmsqrt bne sqrt] Таким образом, если вам нужно вычислить, например, (sqrt<25>+sqrt<49>) , то первоначально вы должны найти значения (sqrt<25>) и (sqrt<49>) , а затем их сложить. Следовательно, [sqrt<25>+sqrt<49>=5+7=12] Если значения (sqrt a) или (sqrt b) при сложении (sqrt a+sqrt b) найти не удается, то такое выражение дальше не преобразуется и остается таким, как есть. Например, в сумме (sqrt 2+ sqrt <49>) мы можем найти (sqrt<49>) – это (7) , а вот (sqrt 2) никак преобразовать нельзя, поэтому (sqrt 2+sqrt<49>=sqrt 2+7) . Дальше это выражение, к сожалению, упростить никак нельзя (bullet) Произведение/частное квадратных корней равно квадратному корню из произведения/частного, то есть [sqrt acdot sqrt b=sqrtquad text<и>quad sqrt a:sqrt b=sqrt] (при условии, что обе части равенств имеют смысл)
Пример: (sqrt<32>cdot sqrt 2=sqrt<32cdot 2>=sqrt<64>=8) ; (sqrt<768>:sqrt3=sqrt<768:3>=sqrt<256>=16) ; (sqrt<(-25)cdot (-64)>=sqrt<25cdot 64>=sqrt<25>cdot sqrt<64>= 5cdot 8=40) . (bullet) Пользуясь этими свойствами, удобно находить квадратные корни из больших чисел путем разложения их на множители.
Рассмотрим пример. Найдем (sqrt<44100>) . Так как (44100:100=441) , то (44100=100cdot 441) . По признаку делимости число (441) делится на (9) (так как сумма его цифр равна 9 и делится на 9), следовательно, (441:9=49) , то есть (441=9cdot 49) .
Таким образом, мы получили: [sqrt<44100>=sqrt<9cdot 49cdot 100>= sqrt9cdot sqrt<49>cdot sqrt<100>=3cdot 7cdot 10=210] Рассмотрим еще один пример: [sqrt<dfrac<32cdot 294><27>>= sqrt<dfrac<16cdot 2cdot 3cdot 49cdot 2><9cdot 3>>= sqrt< dfrac<16cdot4cdot49><9>>=dfrac<sqrt<16>cdot sqrt4 cdot sqrt<49>><sqrt9>=dfrac<4cdot 2cdot 7>3=dfrac<56>3]
(bullet) Покажем, как вносить числа под знак квадратного корня на примере выражения (5sqrt2) (сокращенная запись от выражения (5cdot sqrt2) ). Так как (5=sqrt<25>) , то [5sqrt2=sqrt<25>cdot sqrt2=sqrt<25cdot 2>=sqrt<50>] Заметим также, что, например,
1) (sqrt2+3sqrt2=4sqrt2) ,
2) (5sqrt3-sqrt3=4sqrt3)
3) (sqrt a+sqrt a=2sqrt a) .
Почему так? Объясним на примере 1). Как вы уже поняли, как-то преобразовать число (sqrt2) мы не можем. Представим, что (sqrt2) – это некоторое число (a) . Соответственно, выражение (sqrt2+3sqrt2) есть не что иное, как (a+3a) (одно число (a) плюс еще три таких же числа (a) ). А мы знаем, что это равно четырем таким числам (a) , то есть (4sqrt2) .
Факт 4.
(bullet) Часто говорят “нельзя извлечь корень”, когда не удается избавиться от знака (sqrt <> ) корня (радикала) при нахождении значения какого-то числа. Например, извлечь корень из числа (16) можно, потому что (16=4^2) , поэтому (sqrt<16>=4) . А вот извлечь корень из числа (3) , то есть найти (sqrt3) , нельзя, потому что нет такого числа, которое в квадрате даст (3) .
Такие числа (или выражения с такими числами) являются иррациональными. Например, числа (sqrt3, 1+sqrt2, sqrt<15>) и т.п. являются иррациональными.
Также иррациональными являются числа (pi) (число “пи”, приблизительно равное (3,14) ), (e) (это число называют числом Эйлера, приблизительно оно равно (2,7) ) и т.д.
(bullet) Обращаем ваше внимание на то, что любое число будет либо рациональным, либо иррациональным. А вместе все рациональные и все иррациональные числа образуют множество, называющееся множеством действительных (вещественных) чисел. Обозначается это множество буквой (mathbb) .
Значит, все числа, которые на данный момент мы знаем, называются вещественными числами.
Факт 5.
(bullet) Модуль вещественного числа (a) – это неотрицательное число (|a|) , равное расстоянию от точки (a) до (0) на вещественной прямой. Например, (|3|) и (|-3|) равны 3, так как расстояния от точек (3) и (-3) до (0) одинаковы и равны (3) .
(bullet) Если (a) – неотрицательное число, то (|a|=a) .
Пример: (|5|=5) ; (qquad |sqrt2|=sqrt2) . (bullet) Если (a) – отрицательное число, то (|a|=-a) .
Пример: (|-5|=-(-5)=5) ; (qquad |-sqrt3|=-(-sqrt3)=sqrt3) .
Говорят, что у отрицательных чисел модуль “съедает” минус, а положительные числа, а также число (0) , модуль оставляет без изменений.
НО такое правило годится только для чисел. Если у вас под знаком модуля находится неизвестная (x) (или какая-то другая неизвестная), например, (|x|) , про которую мы не знаем, положительная она, равна нулю или отрицательная, то избавиться от модуля мы не можем. В этом случае это выражение таким и остается: (|x|) . (bullet) Имеют место следующие формулы: [<large<sqrt=|a|>>] [<large<(sqrt)^2=a>>, text < при условии >ageqslant 0] Очень часто допускается такая ошибка: говорят, что (sqrt) и ((sqrt a)^2) – одно и то же. Это верно только в том случае, когда (a) – положительное число или ноль. А вот если (a) – отрицательное число, то это неверно. Достаточно рассмотреть такой пример. Возьмем вместо (a) число (-1) . Тогда (sqrt<(-1)^2>=sqrt<1>=1) , а вот выражение ((sqrt <-1>)^2) вообще не существует (ведь нельзя под знак корня помещать отрицательные числа!).
Поэтому обращаем ваше внимание на то, что (sqrt) не равен ((sqrt a)^2) ! Пример: 1) (sqrt<left(-sqrt2right)^2>=|-sqrt2|=sqrt2) , т.к. (-sqrt2 ;
(phantom<00000>) 2) ((sqrt<2>)^2=2) . (bullet) Так как (sqrt=|a|) , то [sqrt>=|a^n|] (выражение (2n) обозначает четное число)
То есть при извлечении корня из числа, находящегося в какой-то степени, эта степень уменьшается в два раза.
Пример:
1) (sqrt<4^6>=|4^3|=4^3=64)
2) (sqrt<(-25)^2>=|-25|=25) (заметим, что если модуль не поставить, то получится, что корень из числа равен (-25) ; но мы помним, что по определению корня такого быть не может: у нас всегда при извлечении корня должно получаться положительное число или ноль)
3) (sqrt>=|x^8|=x^8) (так как любое число в четной степени неотрицательно)
Факт 6.
Как сравнить два квадратных корня?
(bullet) Для квадратных корней верно: если (sqrt a , то (a ; если (sqrt a=sqrt b) , то (a=b) .
Пример:
1) сравним (sqrt<50>) и (6sqrt2) . Для начала преобразуем второе выражение в (sqrt<36>cdot sqrt2=sqrt<36cdot 2>=sqrt<72>) . Таким образом, так как (50 , то и (sqrt <50>. Следовательно, (sqrt <50>.
2) Между какими целыми числами находится (sqrt<50>) ?
Так как (sqrt<49>=7) , (sqrt<64>=8) , а (49 , то (7 , то есть число (sqrt<50>) находится между числами (7) и (8) .
3) Сравним (sqrt 2-1) и (0,5) . Предположим, что (sqrt2-1>0,5) : [begin &sqrt 2-1>0,5 big| +1quad text<(прибавим единицу к обеим частям)>\[1ex] &sqrt2>0,5+1 big| ^2 quadtext<(возведем обе части в квадрат)>\[1ex] &2>1,5^2\ &2>2,25 end] Видим, что мы получили неверное неравенство. Следовательно, наше предположение было неверным и (sqrt 2-1 .
Заметим, что прибавление некоторого числа к обеим частям неравенства не влияет на его знак. Умножение/деление обеих частей неравенства на положительное число также не влияет на его знак, а умножение/деление на отрицательное число меняет знак неравенства на противоположный!
Возводить обе части уравнения/неравенства в квадрат можно ТОЛЬКО ТОГДА, когда обе части неотрицательные. Например, в неравенстве из предыдущего примера возводить обе части в квадрат можно, в неравенстве (-3 нельзя (убедитесь в этом сами)! (bullet) Следует запомнить, что [begin &sqrt 2approx 1,4\[1ex] &sqrt 3approx 1,7 end] Знание приблизительного значения данных чисел поможет вам при сравнении чисел! (bullet) Для того, чтобы извлечь корень (если он извлекается) из какого-то большого числа, которого нет в таблице квадратов, нужно сначала определить, между какими “сотнями” оно находится, затем – между какими “десятками”, а потом уже определить последнюю цифру этого числа. Покажем, как это работает, на примере.
Возьмем (sqrt<28224>) . Мы знаем, что (100^2=10,000) , (200^2=40,000) и т.д. Заметим, что (28224) находится между (10,000) и (40,000) . Следовательно, (sqrt<28224>) находится между (100) и (200) .
Теперь определим, между какими “десятками” находится наше число (то есть, например, между (120) и (130) ). Также из таблицы квадратов знаем, что (11^2=121) , (12^2=144) и т.д., тогда (110^2=12100) , (120^2=14400) , (130^2=16900) , (140^2=19600) , (150^2=22500) , (160^2=25600) , (170^2=28900) . Таким образом, мы видим, что (28224) находится между (160^2) и (170^2) . Следовательно, число (sqrt<28224>) находится между (160) и (170) .
Попробуем определить последнюю цифру. Давайте вспомним, какие однозначные числа при возведении в квадрат дают на конце (4) ? Это (2^2) и (8^2) . Следовательно, (sqrt<28224>) будет заканчиваться либо на 2, либо на 8. Проверим это. Найдем (162^2) и (168^2) :
(162^2=162cdot 162=26224)
(168^2=168cdot 168=28224) .
Следовательно, (sqrt<28224>=168) . Вуаля!
Для того чтобы достойно решить ЕГЭ по математике, прежде всего необходимо изучить теоретический материал, который знакомит с многочисленными теоремами, формулами, алгоритмами и т. д. На первый взгляд может показаться, что это довольно просто. Однако найти источник, в котором теория для ЕГЭ по математике изложена легко и понятно для учащихся с любым уровнем подготовки, – на деле задача довольно сложная. Школьные учебники невозможно всегда держать под рукой. А найти основные формулы для ЕГЭ по математике бывает непросто даже в Интернете.
Почему так важно изучать теорию по математике не только для тех, кто сдает ЕГЭ?
- Потому что это расширяет кругозор . Изучение теоретического материала по математике полезно для всех, кто желает получить ответы на широкий круг вопросов, связанных с познанием окружающего мира. Все в природе упорядоченно и имеет четкую логику. Именно это и отражается в науке, через которую возможно понять мир.
- Потому что это развивает интеллект . Изучая справочные материалы для ЕГЭ по математике, а также решая разнообразные задачи, человек учится логически мыслить и рассуждать, грамотно и четко формулировать мысли. У него вырабатывается способность анализировать, обобщать, делать выводы.
Предлагаем вам лично оценить все преимущества нашего подхода к систематизации и изложению учебных материалов.
[spoiler title=”источники:”]
http://skysmart.ru/articles/mathematic/teorema-vieta-formula
http://shkolkovo.net/theory/kvadratnyj_koren_dejstviya_s_kvadratnymi_kornyami_modul_sravnenie_kvadratnyh_kornej
[/spoiler]
Сравнению — разбор слова по составу (морфемный разбор)
сравне́нию
сравн – корень,
ени – суффикс,
ю – окончание,
сравнени – основа.
Оцените разбор: 👍 0 👎 0
Смотрите также фонетический разбор «сравнению» (буквы, звуки, ударение).
Значение слова сравнению.
Морфемный разбор — это то же самое, что и разбор слова по составу — выделение частей, из которых состоит слово. Является разбором под цифрой 2.
С тем же началом: сравнение, сравнении, сравнений, сравнения, сравнениями, сравненный
С таким же окончанием: уравнению
Случайные слова
буксирный
трамвай
поздний
Искали другие
сосновый – разбор слова по составу
морфемный разбор слова помчался
Морфемный разбор: А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я.
Предложить свой разбор
Наверх ↑
Разбор слова по составу | Словарь синонимов | Словарь ассоциаций | Фонетический разбор слова онлайн | Антонимы | Толковый словарь | Составить слово из заданных букв
Поделиться
- Поиск занял 0.013 сек. Вспомните, как часто вы ищете разбор слова по составу, приставку, корень, суффикс слова? Добавьте sinonim.org в закладки, чтобы быстро искать морфемные, фонетические разборы с помощью нашей мощной системы поиска, а также синонимы, антонимы, ассоциации и предложения.
