В предисловии к своему первому изданию “В
царстве смекалки” (1908 год) Е. И. Игнатьев пишет:
“… умственную самодеятельность,
сообразительность и “смекалку” нельзя ни
“вдолбить”, ни “вложить” ни в чью голову.
Результаты надёжны лишь тогда, когда введение в
область математических знаний совершается в
лёгкой и приятной форме, на предметах и примерах
обыденной и повседневной обстановки,
подобранных с надлежащим остроумием и
занимательностью”.
В предисловии к изданию 1911 г “Роль памяти в
математике” Е.И. Игнатьев пишет “… в математике
следует помнить не формулы, а процесс мышления”.
Для извлечения квадратного корня существуют
таблицы квадратов для двухзначных чисел, можно
разложить число на простые множители и извлечь
квадратный корень из произведения. Таблицы
квадратов бывает недостаточно, извлечение корня
разложением на множители – трудоёмкая задача,
которая тоже не всегда приводит к желаемому
результату. Попробуйте извлечь квадратный
корень из числа 209764? Разложение на простые
множители дает произведение 2*2*52441. Методом проб и
ошибок, подбором – это, конечно, можно сделать,
если быть уверенным в том, что это целое число.
Способ, который я хочу предложить, позволяет
извлечь квадратный корень в любом случае.
Когда-то в институте (Пермский государственный
педагогический институт) нас познакомили с этим
способом, о котором сейчас хочу рассказать.
Никогда не задумывалась, есть ли у этого способа
доказательство, поэтому сейчас пришлось
некоторые доказательства выводить самой.
Основой этого способа, является состав числа 
=
.
=&, т.е. &2=596334.
1. Разбиваем число (5963364) на пары справа налево
(5`96`33`64)
2. Извлекаем квадратный корень из первой слева
группы (
– число 2). Так мы
получаем первую цифру числа &.
3. Находим квадрат первой цифры (22=4).
4. Находим разность первой группы и квадрата
первой цифры (5-4=1).
5.Сносим следующие две цифры (получили число 196).
6. Удваиваем первую, найденную нами цифру,
записываем слева за чертой (2*2=4).
7.Теперь необходимо найти вторую цифру числа
&: удвоенная первая цифра, найденная нами,
становится цифрой десятков числа, при умножении
которого на число единиц, необходимо получить
число меньшее 196 (это цифра 4, 44*4=176). 4 – вторая цифра
числа &.
8. Находим разность (196-176=20).
9. Сносим следующую группу (получаем число 2033).
10. Удваиваем число 24, получаем 48.
11.48 десятков в числе, при умножении которого на
число единиц, мы должны получить число меньшее 2033
(484*4=1936). Найденная нами цифра единиц (4) и есть
третья цифра числа &.
Далее процесс повторяется.
Доказательство приведено мной для случаев:
1. Извлечение квадратного корня из трехзначного
числа;
2. Извлечение квадратного корня из
четырехзначного числа.
Приближенные методы извлечения квадратного
корня (без использования калькулятора) [2].
1.Древние вавилоняне пользовались следующим
способом нахождения приближенного значения
квадратного корня их числа х. Число х они
представляли в виде суммы а2+b, где а2
ближайший к числу х точный квадрат
натурального числа а (а2?х), и пользовались
формулой 
. (1)
Извлечем с помощью формулы (1) корень
квадратный, например из числа 28:
Результат извлечения корня из 28 с помощью МК
5,2915026.
Как видим способ вавилонян дает хорошее
приближение к точному значению корня.
2. Исаак Ньютон разработал метод извлечения
квадратного корня, который восходил еще к Герону
Александрийскому (около 100 г. н.э.). Метод этот
(известный как метод Ньютона) заключается в
следующем.
Пусть а1 — первое приближение числа 
(в качестве а1
можно брать значения квадратного корня из
натурального числа — точного квадрата, не
превосходящего х) .
Следующее, более точное приближение а2 числа
найдется
по формуле 
.
Третье, еще более точное приближение 
и т.д.
(n+1)-е приближение найдется по формуле 
.
Нахождение приближенного значения числа 
методом
Ньютона дает следующие результаты: а1=5; а2=
5,3; а3=5,2915.
–
итерационная формула Ньютона для нахождения
квадратного корня из числа х (n=2,3,4,…, аn – n-е
приближение .
Указанный мною способ позволяет извлекать
квадратный корень из большого числа с любой
точностью, правда с существенным недостатком:
громоздкость вычислений.
Литература:
- Пичугин Л.Ф. За страницами учебника алгебры.
Книга для учащихся 7-9 классов средней школы. – М.:
Просвещение, 1990. - Ткачева М.В. Домашняя математика. Книга для
учащихся 8 класса общеобразовательных учебных
заведений. – М.: Просвещение 1994.
Я могу найти корень любого четырехзначного числа, если оно является квадратом целого двузначного числа. Например 9801, 1089 и тд.
На это мне нужно несколько секунд и этот метод доступен любому.
Видео с демонстрацией метода, где я считаю корни без калькулятора в уме.
Внимательные могут заметить по ходу моих рассуждений в чем заключается лайфхак. Если вам интересно в чем заключается подход, посмотрите разбор метода нахождения корня в уме:
Видео с разбором метода вычисления корней четырехзначных чисел.
Как это работает?
Остались вопросы? Пишите в комментариях! Подписывайтесь на ютуб канал!
Главная › Вычислительные фишки
Как извлечь квадратный корень из четырехзначного числа в уме.
Автор: Ирина Гайкова
Комментариев нет
1322
Telegram
VK
OK
Сегодня рассмотрим весьма интересный способ, с помощью которого можно извлекать квадратный корень из четырехзначных чисел буквально устно, просто в уме.
Ученикам 11 класса этот навык очень пригодится на экзамене по математике.
Интересная статья? Поделитесь ею пожалуйста с другими:
Хотите обучаться математике индивидуально?
Запишитесь на консультацию.
Мы храним ваши данные в тайне
Похожие записи:
-
Как вычислить сумму последовательных натуральных чисел
-
Как перемножать двузначные числа в уме
-
Некоторые приемы вычисления, позволяющие делать это просто
Оставьте свой комментарий:
- на Блоге
- в Вконтакте
- в Фейсбук
Еще смайлы
Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *
Комментарий
Имя *
Email *
Вебсайт
Получать новые комментарии по электронной почте. Вы можете подписаться без комментирования.
Нажимая на кнопку “Отправить комментарий”, я соглашаюсь с политикой обработки персональных данных
Извлечение корней квадратных из
многозначных чисел.
Извлечение
квадратных корней – это полезное умение, необходимое при решении многих
математических задач, например, таких как решения квадратных уравнений.
Извлечение
квадратного корня из чисел от 1 до 100 не вызывает никаких трудностей, т.к. эти
умения базируются на знании таблицы умножения.
Чему
равен корень квадратный из следующих десяти чисел, тоже знает большинство
учащихся.
А вот
чему равен квадратный корень из чисел 1156, 3721 или 15876?
Чтобы
ответить на этот вопрос, мы берём в руки калькулятор. Но… Если ученик сдаёт
ЦТ или ЕГЭ, где калькулятором пользоваться нельзя. Что делать?
Существует
три способа извлечения квадратного корня без использования калькулятора.
I. Метод
подбора с помощью границ.
Этот
метод достаточно прост. Его удобно применять, если извлечь корень требуется из
трёхзначного или четырёхзначного числа.
1) 
1
шаг. Найдём ограничения (границы).
Т.к. 
, а 
, значит, искомое число 
лежит между 
и 
.
2
шаг. Подбор.
Т.к.
подкоренное число 
оканчивается на 
, то число может оканчиваться на 
(
или на
.
Значит,
равен либо 
, либо 
.
Умножая
столбиком, найдём, что 
и 
Итак, 
.
2) 
1
шаг. Найдём ограничения (границы).
Т.к. , а 
, значит, искомое число лежит между и 
.
2
шаг. Подбор.
Т.к.
подкоренное число 
оканчивается на 
, то число может оканчиваться на 
(
или на 
.
Значит,
равен либо 
, либо 
.
Умножая
столбиком, найдём, что 
и 
Итак, 
.
Но
этот метод становится неудобным при извлечении квадратного корня из таких чисел
как 
или 
.
II. Метод «квадрат
двучлена».
Суть
метода состоит в том, что подкоренное число нужно представить как квадрат суммы
двух других чисел.
1) 
Представим
число 
как сумму чисел 
, 
(
и 
Итак, 
2) 
Итак, 
III. Метод
«последовательный алгоритм».
С этим
методом я познакомилась, когда ещё сама была школьницей. Его показала наша
учительница по математике Мария Афанасьевна. С тех пор сама пользуюсь им и обязательно
показываю его своим ученикам.
Вначале
этот способ извлечения квадратного корня кажется сложным. Но когда ученики
овладеют данным алгоритмом, то будут с удовольствием им пользоваться.
Рассмотрим
метод на примерах.
1) 
1
шаг. Разобьём подкоренное число на группы (по 2
цифры)
начиная справа 
.
2
шаг. Извлекаем корень из числа первой группы
(слева). Это
первая цифра искомого ответа.
3
шаг. Выполним вычитание: от числа первой группы
вычесть
квадрат первой цифры искомого ответа. Дописываем
число второй группы и справа проводим вертикальную
черту.
4
шаг. За вертикальной чертой запишите удвоенное
число,
стоящее после знака «=» в предыдущем шаге.
Затем поставьте звёздочки, как показано в примере.
5
шаг. На место 
надо подобрать такое
однозначное число,
чтобы произведение числа на было близко к 
с
недостатком. Вместо можно взять 
или 
.
. Итак, равна 
Найденную запишем как вторую цифру
искомого ответа.
Теперь
шаги 3 – 5 повторяются.
Итак, 
2) 
Решение:
Ответ: 
Просмотрем
ещё
один пример, а затем попробуйте сами выполнить задания самостоятельной работы.
3)
0
Самостоятельная
работа.
Вычислить:
06
Фев 2014
Категория: Справочные материалы
Извлечение корня из большого числа
2014-02-06
2021-06-25
А у вас есть зависимость от калькулятора? Или вы считаете, что кроме как с калькулятором или при помощи таблицы квадратов очень сложно вычислить, например, 
.
Случается, школьники привязаны к калькулятору и даже 
на 
умножают, нажимая на заветные кнопочки. Говорят, ну я все равно знаю как посчитать, а сейчас сэкономлю время… Вот будет экзамен… тогда и напрягусь…
Так дело в том, что на экзамене и так будет предостаточно «напряжных моментов»… Как говорится, вода камень точит. Вот и на экзамене мелочи, если их много, способны подкосить…
Давайте минимизируем количество возможных неприятностей.
Извлекаем квадратный корень из большого числа
Мы будем говорить сейчас только о случае, когда результат извлечения корня квадратного – целое число.
Случай 1 + показать
Случай 2 + показать
Смотрите также «Отдельные случаи вычисления дискриминанта»
Автор: egeMax |
комментария 4
