Математика
6 класс
Урок №50
Уравнения.Часть 2
Перечень рассматриваемых вопросов:
– уравнения;
– корни уравнений.
Тезаурус
Уравнение – равенство содержащее букву, значение которой надо найти.
Решить уравнение – значит найти все его корни.
Корнем уравнения называют такое число, при подстановке которого в уравнение вместо неизвестного, получается верное числовое равенство.
Список литературы
Обязательная литература:
1. Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017, стр. 258.
Дополнительная литература:
1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты.5-6 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина – М.: Просвещение, 2009, стр. 142.
2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин – М.: Просвещение, 2014, стр. 95.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Как решаются уравнения? Чем уравнение отличается от буквенного выражения? На эти и другие вопросы, связанные с уравнениями, мы сегодня и будем отвечать.
Дадим определение уравнению. Уравнением называют равенство, содержащее букву, значение которой надо найти.
Например, 2х – 5=17.
Решить уравнение – значит найти все его корни.
В нашем случае x=11.
Корнем уравнения называют такое число, при подстановке которого в уравнение вместо неизвестного, получается верное числовое равенство.
Подставим в уравнение корень
2 ∙ 11 – 5 = 17,
17 = 17.
Получается, что левая и правая части равны семнадцати.
При решении уравнений можно использовать следующие приёмы:
– переносить числа из одной части уравнения в другую, меняя их знак на противоположный.
– делить или умножать обе части уравнения на одно и тоже число отличное от нуля.
Решим уравнение:
2х + 7 = – 3х – 8.
Равенство не изменится, если к обеим частям уравнения прибавить по числу три икс:
2х + 3х + 7 = – 8.
Перенесём число 7 из левой части в правую часть уравнения с противоположным знаком:
2х + 3х = – 8 – 7.
Применим распределительный закон для правой части:
(2 + 3)х = – 8 – 7.
Упростим левую и правую части уравнения:
5х = – 15.
Равенство не изменится, если обе части уравнения разделить на 5:
x = – 15 : 5.
Корень уравнения:
х = – 3.
Ответ: х = – 3.
Проверка:
2х + 7 = – 3х – 8,
х = – 3,
2 ∙ (– 3) + 7 = – 3 ∙ (– 3) – 8,
– 6 + 7 = 9 – 8,
1 = 1.
Значит, корень уравнения найден верно.
Решим уравнение:
1/2 x+3=-8.
Перенесём число 3 в правую часть уравнения с противоположным знаком:
Где используются уравнения?
Ответ на этот вопрос достаточно прост. Уравнения используются практически везде. В школе мы решаем с помощью уравнений текстовые задачи. В окружающем нас мире все природные и жизненные процессы протекают по определённым закономерностям, большинство из которых можно описать с помощью уравнений. Например, если нужно определить во сколько должен выехать автомобиль, чтобы прибыть вовремя из пункта А в пункт В, необходимо использовать уравнения движения. Для точного расчёта затрат и прибыли на предприятиях используют экономические уравнения. В медицине для обработки данных ультразвуковых исследований организма тоже используются уравнения.
Итак, уравнения – это универсальный инструмент для решения самых разных прикладных задач.
Разбор заданий тренировочного модуля
Тип 1.Найдите корни уравнения.
2х – х – 5= – 18
Решение.
Перенесём – 5 в правую часть уравнения с противоположным знаком:
2х – х= – 18 + 5.
Вычислим отдельно левую и правую части уравнения.
x= – 13.
Это и есть корень уравнения.
Ответ: х= – 13.
Тип 2. Будет ли являться корнем данного уравнения число 7?
x+6= 17 – 2х
Решение.
Чтобы выполнить данное задание нужно подставить число 7 вместо неизвестного х и проверить, будут лиравны правая и левая части уравнения. Если будут равны, то число является корнем уравнения, если правая и левая части уравнения не равны, то число не является корнем уравнения.
Получаем
7+6=17 – 2 • 7
13= 17 – 14
13 ≠ 3
Видно, что при подстановке в уравнение числа 7 верное равенство не получилось. Следовательно, число 7не является корнем уравнения.
Вспомним немного об уравнениях, с которыми встречались в начальных классах и в (5) классе.
Известно, что
уравнение — это выражение, в котором есть знак «равно» и латинская буква, которая обозначает переменную и значение которой надо найти.
Корень уравнения — это число, которое можно подставить вместо буквы и при вычислении получить равенство.
Решить уравнение — это отыскать все такие значения, корни уравнения, или доказать, что корней у уравнения нет.
Пример:
Для определения неизвестного уменьшаемого надо к разности прибавить вычитаемое:
3x=6+12;3x=18.
Для определения неизвестного множителя надо произведение разделить на известный множитель:
(x=18:3);
Пример:
Можно рассуждать и иначе, решая уравнение.
Здесь мы имеем равенство двух выражений, значит, их разность равна нулю:
((2x-12) – (6-x)=0).
Раскроем скобки и упростим выражение в левой части уравнения:
(2x-12-6+x=0);
(3x-18=0);
(3x=18);
Можно заметить, что
для решения уравнения надо последовательно выполнить следующие действия:
1) слагаемые, содержащие переменную, перенести в левую часть уравнения,
а числа — в его правую часть, не забывая при переносе менять знаки на противоположные;
2) привести подобные слагаемые в левой и правой частях уравнения;
3) разделить число в правой части уравнения на коэффициент при переменной.
В рассмотренных примерах
уравнения приводились к виду (ax=b), где
a≠0
.
Уравнение, которое можно привести к такому виду с помощью переноса слагаемых и приведения подобных слагаемых, называют линейным уравнением с одним неизвестным.
Корень уравнения
4.3
Средняя оценка: 4.3
Всего получено оценок: 163.
4.3
Средняя оценка: 4.3
Всего получено оценок: 163.
Тема уравнения сопровождает учеников на протяжении всей школьной программа. Немного странно, что большая часть учащихся 6 класса математики забывают, что же такое корень и решают уравнения, не понимая своих действий. Чтобы не допускать этой ошибки поговорим обо всех особенностях корней уравнения
Неизвестное
Чтобы говорить об уравнениях, нужно вспомнить, что такое неизвестное. Под неизвестным понимается буквенное выражение, которое в общем случае может принимать абсолютно любое значение.
Неизвестные могут перемножаться с числом или друг с другом. Таким образом, получается классический одночлен. Например, выражение 3 а*в является одночленом.
Если одночлены складываются, вычитаются или делятся друг на друга, получается многочлен. Многочлен, приравненный к какому-то числу, называется тождеством.
После того, как многочлен приравняли к какому-то числу, превратив его в тождество, появляются некоторые ограничения. Этих ограничений может быть недостаточно для того, чтобы точно определить значения неизвестных, но они есть.
Функция
Именно такие ограничения и называются функцией. Функцией зовется зависимость одной неизвестной от другой или других неизвестных. Например, в выражении:
х+у=12 – от выбранного значения х зависит значение у и наоборот.
В классическом виде функция имеет вид у(х)=в . В качестве независимого параметра принимается число х, в качестве зависимого – у. Это значит, что число х принимается равным любому числу, а у высчитывается в соответствии с этим равенством. Если х уже задан, то у нельзя принимать любым числом, из-за строгого ограничения функции у числа у появляется единственно определенное значение.
Число у зовется функцией, а число х аргументом. При этом у функции может быть множество аргументов, но у аргумента может быть только одна функция. Например, в функции у=x+z+n – 3 аргумента. Такие функции не используются в школьной программе, но нельзя забывать, что они существуют.
Функции часто изображаются в виде графиков. На плоскости можно отобразить зависимость функции лишь от одного аргумента. Но в пространстве можно отобразить изменение функции в зависимости от двух аргументов.
Существую типовые функции, поведение которых на графике изучено. Каждая из таких функций имеет свое название. Например:
- Линейная функция
- Квадратичная функция
- Степенная функция
- Логарифмическая функция и так далее
Большую часть типовых функций ученики изучают в математике старших классов.
Корень уравнения
Важно понять, что любое уравнение это частный случай функции. Уравнение это точка или точки пересечения двух функций. Задачей любого уравнения является нахождение координат точки пересечения этих функций. Так как график функции может быть не только прямой линией, то количество корней уравнения может быть разным. Если количество корней определено, то их называют простыми корнями уравнения.
Корнем уравнения называют значение х, при котором тождество выполняется. То есть это значение, при котором не нарушается равенство правой и левой сторон. Приведем пример:
х+10=5 – это уравнение, как и любое другое, представляет собой равенство двух функций:
у=х+10
у=5
Точку пересечения можно найти при х = -5. Корень только один, так как оба графика будут являться прямыми линиями, а прямые пересекаются только в одной точке.
В любом степенном уравнении количество корней равняется старшей степени многочлена. Корни могут быть одинаковыми. Линейное уравнение является частным случаем степенного, со старшей степенью равной 1. По этой же причине, в линейных уравнениях всегда один корень.
Что мы узнали?
Мы подробно разобрали определение корня уравнения. Рассмотрели обозначения неизвестных и узнали, что такое функция.
Тест по теме
Доска почёта
Чтобы попасть сюда – пройдите тест.
Пока никого нет. Будьте первым!
Оценка статьи
4.3
Средняя оценка: 4.3
Всего получено оценок: 163.
А какая ваша оценка?
