Как найти корень уравнения log4

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить логарифмическое уравнение.
Программа для решения логарифмического уравнения не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное
решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения ответа.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и
экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре.
А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее
сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным
решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень
образования в области решаемых задач повышается.

Вы можете посмотреть теорию о логарифмической функции и логарифмах и
некоторые методы решения логарифмических уравнений.

Примеры подробного решения >>

Задача 1. Найти положительный корень уравнения x⁴ = 81
По определению арифметического корня имеем ( x = sqrt[4]{81} = 3 )

Задача 2. Решить уравнение 3^x = 81
Запишем данное уравнение так: 3^x = 3⁴, откуда x = 4

В задаче 1 неизвестным является основание степени, а в задаче 2 — показатель степени. Способ решения задачи 2 состоял в том,
что левую и правую части уравнения удалось представить в виде степени с одним и тем же основанием 3.
Но уже, например, уравнение 3^x = 80 таким способом решить не удаётся. Однако это уравнение имеет корень.
Чтобы уметь решать такие уравнения, вводится понятие логарифма числа.
Уравнение a^x = b, где a > 0, ( a neq 1 ), b > 0, имеет единственный корень. Этот корень называют
логарифмом числа b no основанию a и обозначают log_ab
Например, корнем уравнения 3^x = 81 является число 4, т.е. log₃81 = 4.

Определение. Логарифмом положительного числа b по основанию a, где a > 0, ( a neq 1 ), называется показатель степени,
в которую надо возвести число a, чтобы получить b

Например:

log₂8 = 3, так как 2³ = 8

( log_3 frac{1}{9} = -2 ), так как ( 3^{-2} = frac{1}{9} )

log₇7 = 1, так как 7¹ = 7

Определение логарифма можно записать так:

$$ a^{log_a b} = b $$

Это равенство справедливо при b > 0, b > 0, ( a neq 1 ). Его обычно называют основным логарифмическим тождеством.

Действие нахождения логарифма числа называют логарифмированием.
Действие нахождения числа по его логарифму называют потенцированием.

Вычислить log₆₄128
Обозначим log₆₄128 = х. По определению логарифма 64^x = 128. Так как 64 = 2⁶, 128 = 2⁷,
то 2 ^6x = 2⁷, откуда 6x = 7, х = 7/6.
Ответ log₆₄128 = 7/6

Вычислить ( 3^{-2log_3 5} )
Используя свойства степени и основное логарифмическое тождество, находим

$$ 3^{-2log_3 5} = left( 3^{log_3 5} right)^{-2} = 5^{-2} = frac{1}{25}$$

Решить уравнение log₃(1-x) = 2
По определению логарифма 3² = 1 – x, откуда x = -8

При выполнении преобразований выражений, содержащих логарифмы, при вычислениях и при решении уравнений часто используются
различные свойства логарифмов. Рассмотрим основные из них.

2) ( log_a frac{b}{c} = log_a b – log_a c )

3) log_ab^r = r log_ab

Для логарифмов чисел составлены специальные таблицы (таблицы логарифмов). Логарифмы вычисляют также с помощью микрокалькулятора.
И в том и в другом случае находятся только десятичные или натуральные логарифмы.

Определение. Десятичным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию 10 и пишут
lg b вместо log₁₀b

Определение. Натуральным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию e, где e — иррациональное число,
приближённо равное 2,7. При этом пишут ln b вместо log_eb

Иррациональное число e играет важную роль в математике и её приложениях. Число e можно представить как сумму:
$$ e = 1 + frac{1}{1} + frac{1}{1 cdot 2} + frac{1}{1 cdot 2 cdot 3} + dots + frac{1}{1 cdot 2 cdot 3 cdot dots cdot n} + dots $$

или

$$ e = sum_{n=0}^{infty} frac{1}{n!} $$

$$ e approx 2,7182818284 $$

Оказывается, что достаточно знать значения только десятичных или только натуральных логарифмов чисел, чтобы находить логарифмы
чисел по любому основанию.
Для этого используется формула замены основания логарифма:

$$ log_a b = frac{log_c b}{log_c a} $$

где b > 0, a > 0, ( a neq 1 ), c > 0, ( c neq 1 )

Следствия из формулы замены основания логарифма.
При c = 10 и c = e получаются формулы перехода к десятичным и натуральным логарифмам:
$$ log_a b = frac{lg b}{lg a} , ;; log_a b = frac{ln b}{ln a} $$

В математике и её приложениях часто встречается логарифмическая функция
y = log_ax
где а — заданное число, a > 0, ( a neq 1 )

Ось Oy является вертикальной асимптотой графика функции y = log_ax

Отметим, что график любой логарифмической функции y = log_ax проходит через точку (1; 0).
При решении уравнений часто используется следующая теорема:

Теорема. Если log_ax₁ = log_ax₂ где a > 0, ( a neq 1 ),
x₁ > 0, x₂ > 0, то x₁ = x₂

Логарифмическая функция y = log_ax и показательная функция y = a^x, где a > 0, ( a neq 1 ), взаимно обратны.

Решить уравнение log₂(x+1) + log₂(x+3) = 3
Предположим, что х — такое число, при котором равенство является верным, т.е. х — корень уравнения. Тогда по свойству логарифма
верно равенство
log₂((x+1)(x+3)) = 3
Из этого равенства по определению логарифма получаем
(x+1)(x+3) = 8

х² + 4х + 3 = 8, т.е. х² + 4x – 5 = 0, откуда x₁ = 1, х₂ = -5
Так как квадратное уравнение является следствием исходного уравнения, то необходима проверка.
Проверим, являются ли числа 1 и -5 корнями исходного уравнения.
Подставляя в левую часть исходного уравнения х = 1, получаем
log₂(1+1) + log₂(1+3) = log₂2 + log₂4 = 1 + 2 = 3, т.е. х = 1 — корень уравнения.
При х = -5 числа х + 1 и х + 3 отрицательны, и поэтому левая часть уравнения не имеет смысла, т.е. х = -5 не является корнем этого
уравнения.
Ответ x = 1

Решить уравнение lg(2x² – 4x + 12) = lg x + lg(x+3)
По свойству логарифмов
lg(2x² – 4x + 12) = lg(x² + 3x)
откуда
2x² – 4x + 12 = x² + 3x
x² – 7x + 12 = 0
x₁ = 3, х₂ = 4
Проверка показывает, что оба значения х являются корнями исходного уравнения.
Ответ x₁ = 3, х₂ = 4

Решить уравнение log₄(2x – 1) • log₄x = 2 log₄(2x – 1)
Преобразуем данное уравнение:
log₄(2x – 1) • log₄x – 2 log₄(2x – 1) = 0
log₄(2х – 1) • (log₄ x – 2) = 0
Приравнивая каждый из множителей левой части уравнения к нулю, получаем:
1) log₄ (2х – 1) = 0, откуда 2х – 1 = 1, х₁ = 1
2) log₄ х – 2 = 0, откуда log₄ = 2, х₂ = 16
Проверка показывает, что оба значения х являются корнями исходного уравнения.
Ответ x₁ = 1, х₂ = 16