было в ЕГЭ
в условии
в решении
в тексте к заданию
в атрибутах
Категория
Атрибут
Всего: 623 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
Найдите корень уравнения 
Найдите корень уравнения 
Найдите корень уравнения 
Найдите корень уравнения 
Найдите корень уравнения 
Найдите корень уравнения 
Найдите корень уравнения 
Найдите корень уравнения 
Найдите корень уравнения 
Найдите корень уравнения 
Найдите корень уравнения 
Найдите корень уравнения 
Найдите корень уравнения 
Найдите корень уравнения 
Найдите корень уравнения 
Найдите корень уравнения 
Найдите корень уравнения 
Найдите корень уравнения 
Найдите корень уравнения 
Найдите корень уравнения 
Всего: 623 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Всем привет! Сегодня я решил рассказать Вам про решение уравнение из ЕГЭ по базовой математике. Мы разберём с Вами в этой статье все возможные виды уравнений на ЕГЭ по математике, и убедимся на примере, что уравнения из ЕГЭ — не проблема, а халявный балл!
Автор статьи: Артемий Ульянов
Дата выпуска: 07.05.2022
Уравнения со степенями
1-е уравнение.
Начать решение наших уравнений я решил с уравнений, в которых приходится работать со степенями. Рассмотрим следующее уравнение, и попробуем его решить.
На самом деле, уравнение довольно лёгкое. Стоит лишь вспомнить, какая степень «5-ки» может дать нам дробь «1/125». Ну конечно же, это степень «-3». Разложим на степень правую часть нашего уравнения, и получим следующий результат:
Как мы видим, уравнение стало выглядеть значительно проще. Многие из Вас подумают, что стоит перебросить правую часть выражения за знак «равно» со знаком «минус», но тогда нам станет неудобно работать с уравнением. Но вот если приглядеться, то мы можем заметить, что в правой и левой части у каждого члена уравнения одно и то же основание — «5». В таких случаях, мы можем хитро избавиться от наших оснований, и записать уравнение вот в таком виде:
Всё! Теперь нам стало сразу легче решать уравнение, и мы быстро нашли наш единственный корень x = -10. Давайте попробуем решить ещё пару таких уравнений.
2-е уравнение.
Рассмотрим следующее уравнение, и попробуем найти все его возможные корни:
Здесь ситуация уже чуть-чуть легче. Можно заметить, что число 81 — это «3» в «4-й степени». Тогда, мы разложим на степень правую часть нашего уравнения, и получим следующее:
Всё! Как мы видим, ситуация та же. У каждого члена уравнения одинаковое основание, поэтому мы можем от них избавиться, и сразу найти корни нашего уравнения.
И вот таким, простым способом, мы смогли с Вами решить первые два уравнения. Но вот не каждый сейчас понимает, почему когда одинаковые основания у каждого члена нашего уравнения, то мы можем просто от них избавиться? Давайте попробуем разобраться, составив небольшую схему таких уравнений.
Прологарифмируем обе части нашего уравнения, взяв за основание логарифма «a». Тогда, мы получим следующее уравнение:
Теперь в обеих частях нашего уравнения, вынесем по формуле степени «b» и «c» за знак логарифма, и получим следующее выражение:
А теперь, зная из основной формулы логарифмов, что логарифм «a» по основанию «a» равен «1», упростим наше выражение:
Всё! Теперь мы с Вами доказали, что в уравнениях такого типа можно безболезненно избавляться от оснований, просто прологарифмировав обе части уравнения.
Логарифмические уравнения
1-е уравнение
Раз уж мы с Вами заговорили про логарифмы, давайте попробуем решить различные типы логарифмических уравнений. Рассмотрим следующее уравнение:
Это — один из самых простых видов таких уравнений. Для решения такого уравнения, следует просто избавиться от логарифма по формуле, и таким образом мы без труда сможем найти все корни уравнения. Давайте же этим и займёмся!
Всё! Это было не так уж и сложно, мы с Вами легко справились с таким уравнением. Давайте рассмотрим пример чуть сложнее.
2-е уравнение
Рассмотрим более сложный тип логарифмический уравнений:
Данное уравнение можно решить единственным способом. Для этого, мы разложим логарифм левой части уравнения, и получим следующее выражение:
В левой части уравнения мы можем наблюдать произведение степеней. Воспользуемся этой формулой в обратную сторону, и получим следующее уравнение:
Всё, теперь мы смогли с вами упростить уравнение до вот такого вида. Далее, я предлагаю воспользоваться одной из формулой логарифмов и поменять значение нашего логарифма в левой части уравнения:
И теперь, мы спокойно можем избавиться от нашего логарифма в показатели степени левой части уравнения, ведь «25» — это «5» во «2-й степени». Тогда, мы получим следующее уравнение:
Всё! Уравнение решено, и у нас получился корень x = -4. Согласитесь, это было не так уж и сложно. А теперь давайте рассмотрим с вами самый тяжёлый случай логарифмических уравнений.
3-е уравнение
Напоследок я решил разобрать одно из самых сложных уравнений, до решения которого не так уж и легко догадаться. Рассмотрим следующее уравнение:
Да, это уравнение выглядит уже сложнее, чем два предыдущих… А всё из-за разных оснований логарифмов… Попробуем воспользоваться формулой перехода от одного основания к другому в правой части уравнения в обратную сторону, тогда мы получим следующее выражение:
Теперь мы имеем дело с одинаковыми основаниями, и нам не составит особого труда решить это уравнение. Для начала, умножим обе части уравнения на знаменатель дроби в правой части уравнения и перенесём со знаком «минус» логарифм в правой части уравнения, тогда мы получим следующее выражение:
А теперь попробуем вынести общий множитель за скобки, тогда мы получаем следующее уравнение:
Всё, теперь мы максимально упростили наше уравнение. Из курса «7-го» класса мы с Вами знаем, что произведение множителей равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Случай с правой скобкой нет смысла затрагивать, так как там нет неизвестных, а вот случай с левой скобкой — вполне. Тогда, мы можем смело записать наше уравнение в следующем виде:
И теперь, у нас с Вами получилось максимально упростить наше выражение и мы вернулись к самому первому виду логарифмических уравнений, обсуждаемый нами ранее. Решим же его!
Всё! Мы нашли единственный корень нашего уравнения, x = -2. Это было не так уж и сложно, как мы с Вами думали.
Квадратные уравнения
1-е уравнение
Зачастую, в ЕГЭ по базовой математике вы можете встретить задание, где необходимо решить квадратное уравнение, поэтому это ещё один из самых важных типов уравнений, которые стоит научиться решать. Рассмотрим следующее уравнение:
Опытные ученические взгляды уже смогли разглядеть в этом уравнении формулу «разности квадратов». Давайте же раскроем эту формулу! Получаем следующее произведение скобок, равное нулю:
Произведение множителей равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Наш множитель «5» точно не может быть равен нулю, а вот множитель «(2x + 5)» вполне может стать отличным множителем, равным нулю. Запишем наше видоизменённое уравнение:
Всё! Мы нашли с Вами наш единственный корень уравнения, x = —2.5. Это было не так уж и сложно.
2-е уравнение
Грех не рассмотреть самый стандартный вид квадратных уравнений. Запишем следующее уравнение и попытаемся его решить:
Решать такое уравнение можно по-разному, мы же воспользуемся дискриминантом, делённым на «4». Давайте же найдём корни нашего уравнения!
Всё! Мы с вами нашли все корни этого уравнения — [-3; 9]. Это было проще простого.
Уравнения с квадратным корнем
1-е уравнение
Последний тип уравнений, который мы сегодня с вами рассмотрим, так это типа уравнений с квадратным корнем. Запишем следующее уравнение:
Выглядит всё не так уж и страшно. Умножим обе части нашего уравнение на произведение наших знаменателей, чтобы полностью избавиться от них. Получаем следующее уравнение:
Всё, мы упростили наше уравнение до самого обыкновенного вида уравнений с квадратным корнем. Для того, чтобы найти наш «x» — достаточно просто возвести обе части уравнения в квадрат. Так мы и сделаем!
И теперь, мы с Вами получили наш единственный корень уравнения, x = 49. Это было элементарней элементарного.
2-е уравнение
Рассмотрим ещё один вид таких уравнений. Запишем следующее уравнение:
Здесь все ещё проще. Возведём обе части нашего уравнения в квадрат, и получим следующее:
Всё, мы сразу с Вами нашли единственный корень нашего уравнения, x = 3. И эта задача тоже не вызвала у нас никаких трудностей, как и все предыдущие. Вот мы с Вами и доказали, что уравнения из ЕГЭ по базовой математике — не такая уж и страшная вещь.
Итог занятия
Сегодня мы с Вами разобрали все основные типы уравнений, которые могут Вам встретиться на ЕГЭ по базовой математике, и мы убедились на личном опыте, что решать такие задания элементарно, если знать:
— Формулы сокращённого умножения
— Формулы по работе с логарифмами
— Формулы для нахождения корней квадратного уравнения
— Основные свойства степеней
А на этом у меня всё, спасибо Всем за сегодняшний урок, следите за нашими новостями в Telegram и на платформе Яндекс Дзен, пока-пока!
В (12) задании ЕГЭ предлагается решить уравнение и выбрать корни, принадлежащие заданному промежутку. За это задание можно получить (2) балла.
Пример:
a) реши уравнение
(x2+4x−2)(43x+1+82x−1−11)=0.
б) Найди все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
[−0,5; 0,5]
.
Алгоритм выполнения задания
1. Определи вид уравнения, выбери метод решения.
2. Реши уравнение, используя соответствующие виду уравнения свойства и правила. Все найденные корни должны принадлежать области определения уравнения.
3. Выбери корни уравнения, принадлежащие указанному промежутку. Обоснуй выбор корней.
4. Запиши все шаги решения на чистовик разборчиво и кратко.
5. Запиши ответ по обоим пунктам.
Если ход решения верный и обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах, то решение оценивается в (2) балла. Если верна последовательность всех шагов решения, но допущена описка или вычислительная ошибка, и в результате получены неверные ответы, можно получить (1) балл.
Как решить задание из примера
1.
(x2+4x−2)(43x+1+82x−1−11)=0.
Уравнение является распадающимся,
x∈ℝ
. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
x2+4x−2=0,(1)43x+1+82x−1−11=0.(2)
Нам нужны формулы степеней:
amn=amn;am+n=aman.
2. Решим каждое уравнение отдельно. Уравнение ((1)) является квадратным. Найдём его корни через дискриминант:
x1=−2−6;x2=−2+6.
Уравнение ((2)) является показательным. Приведём степени к одинаковому основанию:
22(3x+1)+23(2x−1)−11=0;
26x+2+26x−3−11=0.
Преобразуем степени, чтобы показатели тоже были равными:
Итак, уравнение имеет три корня
−2−6
,
−2+6
и
12−log236
.
3. Отберём корни уравнения, принадлежащие отрезку
[−0,5; 0,5]
.
4<6<9;2<6<3;−5<−2−6<−4.
Корень
−2−6
не принадлежит отрезку
[−0,5; 0,5]
.
5,76<6<6,25;2,4<6<2,5;0,4<−2+6<0,5.
Корень
−2+6
принадлежит отрезку
[−0,5; 0,5]
.
log22<log23<log24;1<log23<2;−2<−log23<−1;−13<−log236<−16;−0,5<16<12−log236<13<0,5.
Корень
12−log236
принадлежит отрезку
[−0,5; 0,5]
.
4. Перепишем шаги решения в чистовик.
5. Запишем ответ.
Ответ: а)
−2−6
;
−2+6
;
12−log236
; б)
−2+6
;
12−log236
.
Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называется уравнением. Выражение, стоящее слева от знака равенства, называется левой частью уравнения, а выражение, стоящее справа, – правой частью уравнения.
Линейные уравнения
Линейным называется такое уравнение, в котором неизвестное $x$ находится в числителе уравнения и без показателей. Например: $2х – 5 = 3$
Линейные уравнения сводятся к виду $ax = b$, которое получается при помощи раскрытия скобок, приведения подобных слагаемых, переноса слагаемых из одной части уравнения в другую, а также умножения или деления обеих частей уравнения на число, отличное от нуля.
$5 (5 + 3х) – 10х = 8$
Раскроем скобки.
$25 + 15х – 10х = 8$
Перенесем неизвестные слагаемые в левую часть уравнения, а известные в правую. При переносе из одной части в другую, у слагаемого меняется знак на противоположный.
$15х – 10х = 8 – 25$
Приведем подобные слагаемые.
$5х = -17$ – это конечный результат преобразований.
После преобразований к виду $ax = b$, где, a=0, корень уравнения находим по формуле $х = {b}/{a}$
$х=-{17}/{5}$
$х = – 3,4$
Ответ: $- 3,4$
Квадратные уравнения
Квадратное уравнение — уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a, b, c$ — некоторые числа a$≠0$, $x$ — неизвестное. Перед тем как решать уравнение, необходимо раскрыть скобки и собрать все слагаемые в левой части уравнения.
Числа $a, b, c$ называются коэффициентами квадратного уравнения.
- $a$ – старший коэффициент;
- $b$ – средний коэффициент;
- $c$ – свободный член.
Если в квадратном уравнении коэффициенты $b$ и $c$ не равны нулю, то уравнение называется полным квадратным уравнением. Например, уравнение $2x^2 – 8x + 3 = 0$. Если один из коэффициентов $b$ или $c$ равен нулю или оба коэффициента равны нулю, то квадратное уравнение называется неполным. Например, $5x^2 – 2x = 0$.
Решение неполных квадратных уравнений
Неполное квадратное уравнение имеет вид $ax^2 + bx = 0$, если $a$≠0$; $c$=0$. В левой части этого уравнения есть общий множитель $x$.
1. Вынесем общий множитель $x$ за скобки.
Мы получим $x (ax + b) = 0$. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому получаем $x = 0$ или $ax + b =0$. Таким образом, данное уравнение эквивалентно двум уравнениям:
$x = 0; ax + b = 0$
2. Решаем получившиеся уравнения каждое отдельно.
Мы получим $x = 0$ и $x={-b}/{a}$. Следовательно, данное квадратное уравнение имеет два корня $x = 0$ и $x={-b}/{a}$
$4х^2 – 5х = 0$
Вынесем х как общий множитель за скобки:
$х (4х – 5) = 0$
Приравняем каждый множитель к нулю и найдем корни уравнения.
$x = 0$ или $4х – 5 = 0$
$х_1 = 0 х_2 = 1,25$
Ответ: $х_1 = 0; х_2 = 1,25$
Неполное квадратное уравнение вида $ax^2 + c = 0, a≠0, b=0$
Для решения данного неполного квадратного уравнения выразим $x^2$.
$ax^2 + c = 0$
$ax^2 = – c$
$x_2 = {-c}/{a}$
При решении последнего уравнения возможны два случая:
если ${-c}/{a}>0$, то получаем два корня: $x = ±v{{-c}/{a}}$
если ${-c}/{a}<0$, то уравнение во множестве действительных числе не имеет решений.
$x^2 – 16 = 0$
$x^2 = 16$
$x = ±4$
Ответ: $х_1 = 4, х_2 = – 4$
Решение полного квадратного уравнения
Решение с помощью дискриминанта
Дискриминантом квадратного уравнения D называется выражение
$b^2 — 4ac$.
При решении уравнения с помощью дискриминанта возможны три случая:
1. $D > 0$. Тогда корни уравнения равны:
$x_{1,2}={-b±√D}/{2a}$
2. $D = 0$. В данном случае решение даёт два двукратных корня:
$x_{1}=x_{2}={-b}/{2a}$
3. $D < 0$. В этом случае уравнение не имеет корней.
$3х^2 – 11 = -8х$
Соберем все слагаемые в левую часть уравнения и расставим в порядке убывания степеней
$3х^2 + 8х – 11 = 0$
$a = 3 ,b = 8, c = – 11$
$D = b^2- 4ac = 82- 4 · 3 · (-11) = 196 = 142$
$x_{1}={-b+√D}/{2a}={-8+14}/{6}=1$
$x_{2}={-b-√D}/{2a}={-8-14}/{6}=-3{2}/{3}$
Ответ: $x_1=1, x_2=-3{2}/{3}$
Устные способы
Если сумма коэффициентов равна нулю $(а + b + c = 0)$, то $х_1= 1, х_2={с}/{а}$
$4х^2+ 3х – 7 = 0$
$4 + 3 – 7 = 0$, следовательно $х_1= 1, х_2=-{7}/{4}$
Ответ: $х_1= 1, х_2 = -{7}/{4}$
Если старший коэффициент в сумме со свободным равен среднему коэффициенту $(a + c = b)$, то $х_1= – 1, х_2=-{с}/{а}$
$5х^2+ 7х + 2 = 0$
$5 + 2 = 7$, следовательно, $х_1= -1, х_2 =-{2}/{5}$
Ответ: $х_1= -1, х_2 = -{2}/{5}$
Кубические уравнения
Для решения простых кубических уравнений необходимо обе части представить в виде основания в третьей степени. Далее извлечь кубический корень и получить простое линейное уравнение.
$(x – 3)^3 = 27$
Представим обе части как основания в третьей степени
$(x – 3)^3 = $33
Извлечем кубический корень из обеих частей
$х – 3 = 3$
Соберем известные слагаемые в правой части
$x = 6$
Ответ: $х = 6$
Дробно рациональные уравнения
Рациональное уравнение, в котором левая или правая части являются дробными выражениями, называется дробным.
Чтобы решить дробное уравнение, необходимо:
- найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
- умножить обе части уравнения на общий знаменатель;
- решить получившееся целое уравнение;
- исключить из его корней те, которые обращают в ноль общий знаменатель.
$4x + 1 – {3}/{x} = 0$
1. находим значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)
$x≠0$
2. находим общий знаменатель дробей и умножаем на него обе части уравнения
$4x + 1 – {3}/{x}= 0¦· x$
$4x · x + 1 · x – {3·x}/{x} = 0$
3. решаем полученное уравнение
$4x^2 + x – 3 = 0$
Решим вторым устным способом, т.к. $а + с = b$
Тогда $х_1 = – 1, х_2 = {3}/{4}$
4. исключаем те корни, при которых общий знаменатель равен нулю В первом пункте получилось, что при $x = 0$ уравнение не имеет смысл, среди корней уравнения нуля нет, значит, оба корня нам подходят.
Ответ: $х_1 = – 1, х_2 = {3}/{4}$
При решении уравнения с двумя дробями можно использовать основное свойство пропорции.
Основное свойство пропорции: Если ${a}/{b} = {c}/{d}$, то $a · d = b · c$
${3х-5}/{-2}={1}/{х}$
Находим значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)
$x≠0$
Воспользуемся основным свойством пропорции
$х (3х – 5) = -2$
Раскроем скобки и соберем все слагаемые в левой части уравнения
$3х^2- 5х + 2 = 0$
Решим данное квадратное уравнение первым устным способом, т.к.
$a + b + c = 0$
$x_1 = 1, x_2 = {2}/{3}$
В первом пункте получилось, что при $x = 0$ уравнение не имеет смысл, среди корней уравнения нуля нет, значит, оба корня нам подходят.
Ответ: $x_1 = 1, x_2 = {2}/{3}$
Рациональное уравнение – это уравнение вида $f(x)=g(x)$, где $f(x)$ и $g(x)$ – рациональные выражения.
Рациональные выражения – это целые и дробные выражения, соединённые между собой знаками арифметических действий: деления, умножения, сложения или вычитания, возведения в целую степень и знаками последовательности этих выражений.
Например,
${2}/{x}+5x=7$ – рациональное уравнение
$3x+√x=7$ – иррациональное уравнение (содержит корень)
Если хотя бы в одной части рационального уравнения содержится дробь, то уравнение называется дробно рациональным.
Чтобы решить дробно рациональное уравнение, необходимо:
- Найти значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ);
- Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
- Умножить обе части уравнения на общий знаменатель;
- Решить получившееся целое уравнение;
- Исключить из его корней те, которые обращают в ноль общий знаменатель.
Решить уравнение: $4x+1-{3}/{x}=0$
Решение:
1. находим значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)
$x ≠ 0$
2. находим общий знаменатель дробей и умножаем на него обе части уравнения
$4x+1-{3}/{x}=0|·x$
$4x·x+1·x-{3·x}/{x}=0$
3. решаем полученное уравнение
$4x^2+x-3=0$
Решим вторым устным способом, т.к. $а+с=b$
Тогда, $x_1=-1, x_2=-{3}/{4}$
4. исключаем те корни, при которых общий знаменатель равен нулю
В первом пункте получилось, что при $x = 0$ уравнение не имеет смысл, среди корней уравнения нуля нет, значит, оба корня нам подходят.
Ответ: $x_1=-1, x_2=-{3}/{4}$
При решении уравнения с двумя дробями, можно использовать основное свойство пропорции.
Основное свойство пропорции: Если ${a}/{b}={c}/{d}$ – пропорция, то $a·d=b·c$
Решить уравнение ${3x-5}/{-2}={1}/{x}$
Решение:
Находим значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)
$x≠0$
Воспользуемся основным свойством пропорции
$х(3х-5)=-2$
Раскроем скобки и соберем все слагаемые в левой стороне
$3х^2-5х+2=0$
Решим данное квадратное уравнение первым устным способом, т.к. $a+b+c=0$
$x_1=1, x_2={2}/{3}$
В первом пункте получилось, что при x = 0 уравнение не имеет смысл, среди корней уравнения нуля нет, значит, оба корня нам подходят.
Ответ: $x_1=1, x_2={2}/{3}$
Уравнения, содержащие неизвестную под знаком корня, называются иррациональными.
Чтобы решить иррациональное уравнение, необходимо:
- Преобразовать заданное иррациональное уравнение к виду: $√{f(x)}=g(x)$ или $√{f(x)}=√{g(x)}$
- Обе части уравнение возвести в квадрат: $√{f(x)}^2=(g(x))^2$ или $√{f(x)}^2=√{g(x)}^2$
- Решить полученное рациональное уравнение.
- Сделать проверку корней, так как возведение в четную степень может привести к появлению посторонних корней. (Проверку можно сделать при помощи подстановки найденных корней в исходное уравнение.)
Решите уравнение $√{4х-3}=х$. Если уравнение имеет более одного корня, укажите наименьший из них.
Решение:
Обе части уравнение возведем в квадрат:
$√{4х-3}^2=х^2$
Получаем квадратное уравнение:
$4х-3=х^2$
Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:
${-х}^2+4х-3=0$
Решим данное квадратное уравнение устным способом, так как
$a+b+c=0$
$-1+4-3=0$, следовательно $х_1 = 1; х_2={с}/{а}={-3}/{-1}=3$
Проведем проверку корней, подставив их вместо икса в исходное уравнение
$√{4·1-3}=1$
$1=1$, получили в результате проверки верное равенство, следовательно $х_1=1$ подходит.
$√{4·(3)-3}=3$
$√9=3$
$3=3$, получили в результате проверки верное равенство, следовательно корень $х_2=3$ подходит
$х_1=1$ наименьший корень.
Ответ: $1$
Так как в иррациональных уравнениях иногда необходимо возводить в квадрат не только число, но и целое выражение, необходимо вспомнить формулы сокращенного умножения:
- Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого на второе число плюс квадрат второго числа. $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
- Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа. $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
Решить уравнение: $х-6=√{8-х}$
Возведем обе части уравнения в квадрат
$(х-6)^2=8-х$
В левой части уравнения при возведении в квадрат получаем формулу сокращенного умножения квадрат разности. В правой части уравнения квадрат и корень компенсируют друг друга и в результате остается только подкоренное выражение
$х^2-2·6·х+6^2=8-х$
$х^2-12х+36=8-х$
Получили квадратное уравнение. Все слагаемые переносим в левую часть уравнения. При переносе слагаемых через знак равно их знаки меняются на противоположные.
$х^2-12х+36-8+х=0$
Приводим подобные слагаемые:
$х^2-11х+28=0$
Найдем корни уравнения через дискриминант:
$D=b^2-4ac=121-4·28=121-112=9=3^2$
$x_{1,2}={-b±√D}/{2a}={11±3}/{2}$
$x_1=7; x_2=4$
Проведем проверку корней, подставив их вместо икса в исходное уравнение
$x_1=7$
$7-6=√{8-7}$
$1=1$, получили верное равенство, следовательно, корень нам подходит.
$x_2=4$
$4-6=√{8-4}$
$-2=2$, получили неверное равенство, следовательно, данный корень посторонний.
Ответ: $7$
Показательными называют такие уравнения, в которых неизвестное содержится в показателе степени.
$a^x=b$
При решении показательных уравнений используются свойства степеней, вспомним некоторые из них:
1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели складываются.
$a^n⋅a^m=a^{n+m}$
2. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели вычитаются
$a^n:a^m=a^{n-m}$
3. При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели перемножаются
$(a^n)^m=a^{n·m}$
4. При возведении в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель
$(a·b)^n=a^n·b^n$
5. При возведении в степень дроби в эту степень возводиться числитель и знаменатель
$({a}/{b})^n={a^n}/{b^n}$
6. При возведении любого основания в нулевой показатель степени результат равен единице
$a^0=1$
7. Основание в любом отрицательном показателе степени можно представить в виде основания в таком же положительном показателе степени, изменив положение основания относительно черты дроби
$a^{-n}={1}/{a^n}$
${a^{-n}}/{b^{-k}}={b^k}/{a^n}$
8. Радикал (корень) можно представить в виде степени с дробным показателем
$√^n{a^k}=a^{{k}/{n}}$
Показательные уравнения часто сводятся к решению уравнения $a^x=a^m$, где, $а >0, a≠1, x$ – неизвестное. Для решения таких уравнений воспользуемся свойством степеней: степени с одинаковым основанием $(а >0, a≠1)$ равны только тогда, когда равны их показатели.
Решить уравнение $25·5^х=1$
Решение:
В левой части уравнения необходимо сделать одну степень с основанием $5$ и в правой части уравнения представить число $1$ в виде степени с основанием $5$
$5^2·5^х=5^0$
При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели складываются
$5^{2+х}=5^0$
Далее проговариваем: степени с одинаковым основанием $(а >0, a≠1)$ равны только тогда, когда равны их показатели
$2+х=0$
$х=-2$
Ответ: $-2$
Решить уравнение $2^{3х+2}-2^{3х-2}=30$
Решение:
Чтобы решить данное уравнение, вынесем степень с наименьшим показателем как общий множитель
$2^{3x+2}-2^{3x-2}=30$
$2^{3x-2}({2^{3x+2}}/{2^{3x-2}}-{2^{3x-2}}/{2^{3x-2}})=30$
$2^{3x-2}(2^{3x+2-(3x-2)}-1)=30$
$2^{3x-2}(2^4-1)=30$
$2^{3x-2}·15=30$
Разделим обе части уравнения на $15$
$2^{3х-2}=2$
$2^{3х-2}=2^1$
$3х-2=1$
$3х=3$
$х=1$
Ответ: $1$
Сегодня мы будем тренировать навык решения задания 5 ЕГЭ – найдите корень уравнения. Будем искать корень уравнения. Рассмотрим примеры решения такого рода заданий. Но для начала, давайте вспомним – что значит – найти корень уравнения?
Это значит найти такое, зашифрованное под х число, которое мы подставим вместо x и наше уравнение будет верным равенством.
Например, 3x=9 – это уравнение, а 3.3=9 – это уже верное равенство. То есть в данном случае, мы вместо x подставили число 3 – получили верное выражение или равенство, это означает, что мы решили уравнение, то есть нашли данное число x=3, которое превращает уравнение в верное равенство.
Вот этим мы и займемся – будем находить корень уравнения.
Задание 1 – найдите корень уравнения 21-4x=32
Это показательное уравнение. Оно решается следующим образом – нужно чтобы и слева, и справа от знака “равно” была степень с одинаковым основанием.
Слева у нас основание степени 2, а справа – степени нет вовсе. Но мы знаем, что 32 – это 2 в пятой степени. То есть, 32=25
Таким образом, наше уравнение будет выглядеть так: 21-4х=25
Слева и справа у нас основания степени одинаковы, значит, чтобы у нас было равенство, должны быть равны и показатели степени:
1-4х=5
Получаем обыкновенное уравнение. Решаем обычным способом – все неизвестные оставляем слева, а известные переносим вправо, получим:
-4х=5-1
-4х=4
х=-1.
Делаем проверку: 21-4(-1)=32
25=32
32=32
Мы нашли корень уравнение. Ответ: х=-1.
Самостоятельно найдите корень уравнения в следующих заданиях:
а) 25-х=64
б) 21-3х=128
Задание 2 – найдите корень уравнения 25-x = 1/16
Уравнение решаем аналогично – путем приведения левой и правой частей уравнения к одному основанию степени. В нашем случае – к основанию степени 2.
Используем следующее свойство степени:
По этому свойству мы получим для правой части нашего уравнения:
Тогда наше уравнение запишется в виде:
Если равны основания степени, значит, равны и показатели степени:
5-х=-4
-х=-4-5
х=9
Ответ: х=9.
Сделаем проверку – подставим найденное значение х в исходное уравнение – если мы получим верное равенство, значит, мы решили уравнение правильно.
25-9=1/16
2-4=1/16
1/16=1/16
Мы нашли корень уравнения правильно.
Задание 3 – найдите корень уравнения 
Заметим, что справа у нас стоит 1/8, а 1/8 – это
Тогда наше уравнение запишется в виде:
Если основания степени равны, значит, равны и показатели степени, получим простое уравнение:
3х-12=3
3х=15
х=5
Ответ: х=5. Проверку сделайте самостоятельно.
Задание 4 – найдите корень уравнения log3(15-х)=log32
Это уравнение решается также как и показательное. Нам нужно, чтобы основания логарифмов слева и справа от знака “равно” были одинаковыми. Сейчас они одинаковы, значит, приравниваем те выражения, которые стоят под знаком логарифмов:
15-х=2
-х=2-15
-х=-13
х=13
Ответ: х=13
Задание 5 – найдите корень уравнения log3(3-x)=3
Число 3 – это log327. Чтобы было понятно внизу нижним индексом под знаком логарифма стоит число которое возводится в степень, в нашем случае 3, под знаком логарифма стоит число, которое получилось при возведении в степень – это 27, а сам логарифм – это показатель степени, в которую нужно возвести 3, чтобы получить 27.
Смотрите на картинке:
Таким образом, любое число можно записать в виде логарифма. В данном случае очень удобно записать число 3 в виде логарифма с основанием 3. Получим:
log3(3-x)=log327
Основания логарифмов равны, значит, равны и числа, стоящие под знаком логарифма:
3-х=27
Получим,
-х=27-3
-х=24
х=-24
Сделаем проверку:
log3(3-(-24))=log327
log3(3+24)= log327
log327=log327
3=3
Ответ: x=-24.
Задание 6. Найдите корень уравнения log(x+3)=log2(3x-15).
log2(x+3)=log2(3x-15)
Решение:
x+3=3x-15
x-3x=-3-15
-2x=-18
x=9
Проверка: log2(9+3)=log2(27-15)
log212=log212
Ответ: x=9.
Задание 7. Найдите корень уравнения log2(14-2x)=2log23
log2(14-2x)=2log23
log2(14-2x)=log232
14-2x=32
14-2x=9
-2x=9-14
-2x=-5
x=2,5
Проверка: log2(14-5)=2log23
log29=2log23
log232=2log23
2log23=2log23
Ответ: x=2,5
Подготовьтесь к ЕГЭ и к ОГЭ -посмотрите предыдущие темы Найдите значение выражения и Как решать неравенства .
