Как найти корень выражения 5 класс

Содержание:

Квадратные корни

Уравнение х2 = 9 имеет два решения: 3 и -3. Говорят, что 3 и -3 — квадратные корни из числа 9.

Квадратным корнем из числа а называют число, I квадрат которого равен а.

Примеры:

Квадратными корнями из числа:

  • а) 1600 являются 40 и – 40, поскольку 402 = 1600 и (-40)2 = 1600;
  • б) 0,49 являются 0,7 и 0,7, поскольку 0,72 = 0,49 и (-0,7)2 = 0,49.

Среди известных вам чисел нет такого, квадрат которого был бы равен отрицательному числу, поэтому квадратного корня из отрицательного числа не существует.

Квадратный корень из числа 0 равен нулю. Квадратный корень из положительного числа имеет два значения: одно из них положительное, другое — противоположное ему отрицательное число.

Неотрицательное значение квадратного корня называют арифметическим значением этого корня.

Арифметическое значение квадратного корня из числа a обозначают символом Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Примечание. Символом Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения обозначают только арифметическое значение квадратного корня из числа а, хотя читается оно короче: «квадратный корень из числа а».

Вычисление арифметического значения квадратного корня называют извлечением квадратного корня.

Из небольших чисел, являющихся точными квадратами чисел, извлекать квадратные корни желательно устно.

а 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144
Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Квадратные корни из больших натуральных чисел можно находить, пользуясь таблицей квадратов.

Например, Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения, Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения.

С помощью калькулятора можно извлекать квадратные корни с большей точностью. Например, чтобы извлечь квадратный корень из 1000, набираем это число, затем нажимаем клавишу Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения. На экране высвечивается число 31,622776.

Следовательно, Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения.

Если таким способом найти значение Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения , то на некоторых калькуляторах высвечиваются два числа: 5,9160797 и -2. Число -2 здесь показывает порядок искомого значения, записанного в стандартном виде. Следовательно,

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения.

Хотите знать ещё больше?

Извлекать квадратные корни из натуральных чисел вавилонские учёные умели ещё 4 тыс. лет тому назад Они составили таблицу квадратов многих натуральных чисел и, пользуясь ею, находили квадратные корни. Если число m не было точным квадратом натурального числа, то они искали ближайшее приближённое значение а квадратного корня из m, представляли число m в виде m = а2 + b и применяли правило, которое сейчас можно записать в виде формулы Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Например, если m = 108, то Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения.

Проверка. 10,42 = 108,16.

Это правило извлечения квадратных корней было известно и учёным Древней Греции.

Известны и другие алгоритмы извлечения квадратных корней, но теперь это удобнее делать с помощью калькулятора.

Квадратный корень из произведения, дроби, степени

Арифметический корень из а — неотрицательное значение квадратного корня из неотрицательного числа а. Поэтому для любого неотрицательного числа а выполняется тождество Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения .

Примеры:

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Верны и такие тождества:

  1. Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения — для неотрицательных значений а и b;
  2. Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения — для неотрицательного а и положительного b;
  3. Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения– для неотрицательного а и натурального к.

Докажем эти тождества:

1. Если а и b — произвольные неотрицательные числа, то числа Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решениятакже неотрицательные. Кроме того, Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения — неотрицательное число, квадрат которого равен ab, то есть Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

2. Если Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения, то числа Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения неотрицательные, a Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения — положительное. Кроме того,

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения неотрицательное число, квадрат которого равен Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения , то есть Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

3. Если число а — неотрицательное, a k — натуральное, то числа Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения — неотрицательные. Кроме того,Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения. Следовательно, Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения— неотрицательный квадратный корень из Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения, то есть

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Доказанные три теоремы кратко можно сформулировать так.

  1. Корень из произведения двух неотрицательных чисел равен произведению корней из этих чисел (теорема о корне из произведения).
  2. Корень из дроби, числитель которой неотрицательный, а знаменатель положительный, равен корню из числителя, делённому на корень из знаменателя (теорема о корне из дроби).
  3. Корень из степени a , в котором числа а — неотрицательное и k — натуральное, равен ст (теорема о корне из степени)

Примечание. Здесь под «корнем» понимают только квадратный арифметический корень.

Теорему о корне из произведения можно распространить на три множителя и более. Действительно, если числа а, b и с — неотрицательные, то Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Если в доказанных тождествах поменять местами их левые и правые части, то получим:

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Эти тождества показывают, как можно умножать и делить корни. Например,

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Из теоремы о корне из степени следует, что Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения, если Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения. Если а < 0, то равенство Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения – а неверное, поскольку число Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения неотрицательное и не может быть равным отрицательному числу а.

Равенство Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения верное при каждом значении а, поскольку число Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения — неотрицательное и его квадрат равен а2.

Примеры: Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Хотите знать ещё больше?

В сформулированных выше теоремах представлены только простейшие случаи преобразования арифметических значений квадратных корней: если все числа под корнями положительные или неотрицательные Но бывают и такие выражения, в которых под знаком корня — произведение либо частное двух отрицательных чисел. В этом случае можно использовать определения квадратного корня, арифметического значения квадратного корня и т. д.

Например, Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения.

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Из теоремы 3 несложно получить такое следствие.

Если натуральное число Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения — чётное, то для любых значений а выполняется тождество Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Ведь обе части этого равенства — числа неотрицательные, их квадраты – равны.

Выполним вместе!

Пример:

Найдите значение выражения: а) Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения ; б) Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения; в) Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения ; г) Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения.

Решение:

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

О т в е т. а) 35; б) 1,2; в) 6; г) Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Преобразование выражений с корнями

Выражения с квадратными корнями можно складывать, вычитать, умножать, возводить в степень и делить (на делитель, отличный от нуля).

Примеры:

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Рассмотрим и другие преобразования выражений с корнями.

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Подобное преобразование называют вынесением множителя за знак корня. В последнем примере за знак корня вынесен множитель 10.

Преобразование, обратное вынесению множителя за знак корня, называют внесением множителя под знак корня. Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

В атом примере под знак корня вносим множитель 0,3. Рассмотренные преобразования осуществляются на основании теоремы о корне из произведения.

Если знак корня находится в знаменателе дроби, то такую дробь можно заменить тождественной, знаменатель которой не имеет корней. Достаточно умножить члены дроби на соответствующее выражение. Например, Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Такие преобразования называют освобождением дроби от иррациональности в знаменателе.

Эти преобразования можно выполнять также с выражениями, содержащими переменные. Например,

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Примечание. При вынесении переменной за знак корня необходимо помнить, что равенство Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения верно только при неотрицательных значениях а и с. Если Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения, то Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения. При любых действительных значениях а и неотрицательных с верно тождество: Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения.

Пример:

Вынесите множитель за знак корня: a) Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

а) Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения б) Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Ответ. a) Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения; б) Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения.

При внесении переменной под знак корня следует помнить, что под корень можно вносить лишь положительные числа.

Пример:

Внесите множитель под знак корня: а) Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения; б) Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

а) Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения ; б) Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения О т в е т. a) Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения ; б) Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Используя словосочетание «выражения с корнями», в этой главе мы будем говорить только о «выражениях с арифметическими квадратными корнями». Но в математике выражения с корнями имеют более широкий смысл поскольку корни бывают не только квадратные, но и кубические четвёртой, пятой …. n-й степеней. Корни из числа а таких степеней обозначают символами:

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Выражения, содержащие любые из таких корней, называют выражениями с корнями, или иррациональными выражениями. Выражения с арифметическими квадратными корнями – это только часть иррациональных выражений (рис 45) .

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Рис. 45 Раньше знаки корней Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения…, Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения называли радикалами, поэтому в некоторых публикациях иррациональные выражения до сих пор называют выражениями с радикалами.

Выполним вместе!

Пример:

Упростите выражение: а) Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения; б) Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения; в)Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения.

Решение:

a) Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения . б) Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения;

в) Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения. О т в е т. a) Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения ; б)16; в) 9.

Пример:

Разложите на множители выражение: a) Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения ; б) Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения ; в) Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения.

Решение:

а) Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения; б) Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения; в) если а — число положительное, то Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения . Поэтому

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Ответ, a) Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения; б) Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения; в) Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения.

Пример:

Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

а) Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения; б) Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения;

Решение:

а) Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения ; б) Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. а)Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения ; б) Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения.

ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Квадратные корни из чисел вавилонские математики умели вычислять ещё 4 тыс. лет тому назад. Находили даже приближённые значения квадратных корней, пользуясь правилом, которое теперь можно записать (при небольших значениях с) в виде приближённого равенства:

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения В XIII в. европейские математики предложили сокращённое обозначение корня. Вместо нынешнего Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения писали R12 (от латинского Radix — корень). Позднее вместо R стали писать знак V, например V7, V(a + b). Затем над многочленом за корнем добавили черту: Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения. Р. Декарт (1596 -1650) соединил знак корня с чертой, после чего запись приобрела современный вид: Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения . Действительные числа входили в математику непросто. Учёные античного мира не предполагали, что кроме целых и дробных могут быть и другие числа. Хотя Пифагор (VI в. до и. э.) и его ученики доказали: если длина стороны квадрата равна 1, то длину его диагонали нельзя выразить ни одним рациональным числом. Таким образом, они выяснили, что существуют отрезки, длины которых не выражаются рациональными числами, но при этом иррациональных чисел не ввели. Математики Индии и Среднего Востока пользовались иррациональными числами, но считали их ненастоящими, неправильными, «глухими». И только когда Р. Декарт предложил каждой точке координатной прямой поставить в соответствие число, иррациональные числа объединили с рациональными во множество действительных чисел. Строгая теория действительных чисел появилась лишь в XIX в. В 8 классе изучают не все действительные числа. Кроме квадратных существуют корни третьей, четвёртой и высших степеней, например Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения, Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения, Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения . С такими действительными числами вы ознакомитесь в старших классах.

ОСНОВНОЕ В ГЛАВЕ

Квадратным корнем из числа а называют число, квадрат которого равен а. Например, число 16 имеет два квадратных корня: 4 и -4. Неотрицательное значение квадратного корня из числа а называют арифметическим значением корня я обозначают символом Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения . Свойства квадратных корней. Если а > 0 и b > 0, то

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Для любого действительного Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения. Значения многих квадратных корней — числа не рациональные, а иррациональные. Числа целые и дробные, положительные, отрицательные и нуль вместе составляют множество рациональных чисел. Каждое рациональное число можно записать в виде дроби Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения , где Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения — число целое, а n— натуральное. Любое рациональное число можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби. А любая бесконечная периодическая десятичная дробь изображает некоторое рациональное число. Примеры: Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения = 0,6666…, Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения=1,181818…. Числа, которые можно представить в виде бесконечных непериодических десятичных дробей, называют иррациональными. Примеры иррациональных чисел: Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения = 1,4142136…, Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения = 3,1415927… . Иррациональные числа вместе с рациональными образуют множество действительных чисел. Множества натуральных, целых, рациональных и действительных чисел обозначают соответственно буквами N, Z, Q, R (см. рис. 41). Действительные числа можно складывать, вычитать, умножать, возводить в степень и делить (на числа, отличные от нуля). Для сложения и умножения произвольных действительных чисел верны переместительный, сочетательный и распределительный законы: а + b = b + а, ab=ba, a + (b + c) = (a + b) + c, a . (bc) = (ab) . c, (a + b) с = ас +bс.

Квадратные корни. Арифметический квадратный корень

Рассмотрим квадрат, площадь которого равна 49 квадратным единицам. Пусть длина его стороны составляет Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения единиц. Тогда уравнение Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения можно рассматривать как математическую модель задачи о нахождении стороны квадрата, площадь которого равна 49 квадратным единицам.

Корнями этого уравнения являются числа 7 и —7. Говорят, что числа 7 и —7 являются квадратными корнями из числа 49.

Определение: Квадратным корнем из числа Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения называют число, квадрат которого равен Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Приведем несколько примеров.

Квадратными корнями из числа 9 являются числа 3 и —3. Действительно, Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Квадратными корнями из числа Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения являются числа Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Действительно, Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Квадратным корнем из числа 0 является только число 0. Действительно, существует лишь одно число, квадрат которого равен нулю, — это число 0.

Поскольку не существует числа, квадрат которого равен отрицательному числу, то квадратного корня из отрицательного числа не существует.

Положительный корень уравнения Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения число 7, является ответом в задаче о нахождении стороны квадрата, площадь которого равна 49 квадратным единицам. Это число называют арифметическим квадратным корнем из числа 49.

Определение: Арифметическим квадратным корнем из числа Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения называют неотрицательное число, квадрат которого равен Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения.

Арифметический квадратный корень из числа Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения обозначают Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Знак Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решенияназывают знаком квадратного корня или радикалом (от лат. radix — корень).

Запись Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения читают: «квадратный корень из Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения», опуская при чтении слово «арифметический».

Выражение, стоящее под радикалом, называют подкоренным выражением. Например, в записи Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения двучлен Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения является подкоренным выражением. Из определения арифметического квадратного корня следует, что подкоренное выражение может принимать только неотрицательные значения.

Действие нахождения арифметического квадратного корня из числа называют извлечением квадратного корня.

Рассмотрим несколько примеров:

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения так как Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения так как Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения так как Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Вообще, равенство Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения выполняется при условии, что Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Этот вывод можно представить в другой форме: для любого неотрицательного числа Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения справедливо, что Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения а Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Например, Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Подчеркнем, что к понятию квадратного корня мы пришли, решая уравнение вида Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения где Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Корни этого уравнения — числа, каждое из которых является квадратным корнем из числа Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Поиск корней уравнения Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения проиллюстрируем, решив графически уравнение Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

В одной системе координат построим графики функций Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения (рис. 17). Точки пересечения этих графиков имеют абсциссы 2 и —2, которые и являются корнями данного уравнения.

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Уравнение Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения при Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения не имеет корней, что подтверждается графически: графики функций Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения при Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения общих точек не имеют (рис. 18).

При Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения уравнение Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения имеет единственный корень Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения что также подтверждается графически: графики функций Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения имеют только одну общую точку (рис. 18).

Графический метод также позволяет сделать следующий вывод: если Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения то уравнение Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения имеет два корня. Действительно, парабола Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения и прямая Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения где Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения имеют две общие точки (рис. 18). При этом корнями уравнения Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения являются числа Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Действительно, Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Например, уравнение Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения имеет два корня: Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Найдите значение выражения Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Применив правило возведения произведения в степень и тождество Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения получим:

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Решите уравнение: Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

1) Имеем: Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Тогда Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Ответ: 36.

2) Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Ответ: 7.

Пример:

Решите уравнение Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения или Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения или Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Ответ: 1; 9. ▲

Пример:

Решите уравнение Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения или Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения или Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения или Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Ответ: Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

При каких значениях Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения имеет смысл выражение: Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

1) Выражение Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения имеет смысл, если подкоренное выражение Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения принимает неотрицательные значения. Подкоренное выражение является произведением двух множителей, один из которых — отрицательное число. Следовательно, это произведение будет принимать неотрицательные значения, если другой множитель Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения будет принимать неположительные значения.

Ответ: при Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

2) Данное выражение имеет смысл, если выполняются два условия: имеет смысл выражение Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения и знаменатель Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения отличен от нуля. Следовательно, должны одновременно выполняться два условия: Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Отсюда Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Ответ: при Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Решите уравнение: Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

1) Левая часть данного уравнения имеет смысл, если подкоренные выражения Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения одновременно принимают неотрицательные значения. Из того, что первое подкоренное выражение должно быть неотрицательным, получаем: Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения тогда Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Однако если Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения то второе подкоренное выражение, Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения принимает только отрицательные значения. Следовательно, левая часть данного уравнения не имеет смысла.

Ответ: корней нет.

2) Левая часть данного уравнения является суммой двух слагаемых, каждое из которых может принимать только неотрицательные значения. Тогда их сумма будет равна нулю, если каждое из слагаемых равно нулю. Следовательно, одновременно должны выполняться два условия: Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Это означает, что надо найти общие корни полученных уравнений, то есть решить систему уравнений

Имеем, Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Решением последней системы, а значит, и исходного уравнения, является число 2.

Ответ: 2.

3) Используя условие равенства произведения нулю, получаем:

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения или Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения или Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Однако при Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения выражение Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения не имеет смысла. Следовательно, данное уравнение имеет единственный корень — число 2.

Ответ: 2.

Свойства арифметического квадратного корня

Легко проверить, что Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Может показаться, что при любом значении а выполняется равенство Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Однако это не так. Например, равенство Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения является ошибочным, поскольку Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения На самом деле Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Также можно убедиться, что, например,

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Вообще, справедлива следующая теорема.

Теорема: Для любого действительного числа а выполняется равенство

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство: Для того чтобы доказать равенство Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения надо показать, что Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Имеем: Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения при любом Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Также из определения модуля следует, что Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Следующая теорема обобщает доказанный факт.

Теорема: (арифметический квадратный корень из степени). Для любого действительного числа Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения и любого натурального числа Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения выполняется равенство

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 15.1. Проведите это доказательство самостоятельно.

Теорема: (арифметический квадратный корень из произведения). Для любых действительных чисел Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения таких, что Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения выполняется равенство

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство: Имеем: Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Тогда Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Кроме того, Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, выражение Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения принимает только неотрицательные значения, и его квадрат равен Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Эту теорему можно обобщить для произведения трех и более множителей. Например, если Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения то

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Теорема: (арифметический квадратный корень из дроби). Для любых действительных чисел Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения таких, что Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения выполняется равенство

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 15.3. Проведите это доказательство самостоятельно.

Понятно, что из двух квадратов с площадями Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения (рис. 27) большую сторону имеет тот, у которого площадь больше, то есть если Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения то Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Это очевидное соображение иллюстрирует такое свойство арифметического квадратного корня: для любых неотрицательных чисел Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения таких, что Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения выполняется неравенство Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Найдите значение выражения: Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Найдите значение выражения: Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

1) Заменив произведение корней корнем из произведения, получим:

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

2) Заменив частное корней корнем из частного (дроби), получим:

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Упростите выражение: Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения если Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения если Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

1) По теореме об арифметическом квадратном корне из степени имеем:

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

2) Имеем: Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Поскольку по условию Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения то Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Тогда

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

3) Имеем: Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решенияПоскольку по условию Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения то Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Поскольку Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения то Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Следовательно,

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

4) Имеем: Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Поскольку Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения то Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Найдите значение выражения: Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

1) Преобразовав подкоренное выражение по формуле разности квадратов, получаем:

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Постройте график функции Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Поскольку Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения то Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Если Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения то Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Если Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения то Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

График функции изображен на рисунке 28.

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Тождественные преобразования выражений, содержащих квадратные корни

Пользуясь теоремой об арифметическом квадратном корне из произведения, преобразуем выражение Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Имеем: Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Выражение Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения мы представили в виде произведения рационального числа 4 и иррационального числа Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Такое преобразование называют вынесением множителя из-под знака корня. В данном случае был вынесен из-под знака корня множитель 4. Рассмотрим выполненное преобразование в обратном порядке:

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Такое преобразование называют внесением множителя под знак корня. В данном случае был внесен под знак корня множитель 4.

Пример:

Вынесите множитель из-под знака корня: Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения если Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

1) Представим число, стоящее под знаком корня, в виде произведения двух чисел, одно из которых является квадратом рационального числа:

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

2) Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

3) Поскольку подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то из условия следует, что Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Тогда

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

4) Из условия следует, что Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Тогда

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

5) Из условия следует, что Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Поскольку подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то получаем, что Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Тогда

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Внесите множитель под знак корня: Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

2) Если Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения то Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения если Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения то Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решенияКвадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

3) Из условия следует, что Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Тогда Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

4) Из условия следует, что Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Тогда Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Упростите выражение:

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

1) Имеем:

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

2) Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

3) Применяя формулы сокращенного умножения (квадрат двучлена и произведение разности и суммы двух выражений), получим:

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Разложите на множители выражение: Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения если Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

1) Представив данное выражение в виде разности квадратов, получим:

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

2) Поскольку по условию Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения то Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

3) Применим формулу квадрата разности:

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

4) Имеем: Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

5) Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

6) Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Сократите дробь: Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

если Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

1) Разложив числитель данной дроби на множители, получаем:

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

2) Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

3) Поскольку по условию Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения то числитель и знаменатель данной дроби можно разложить на множители и полученную дробь сократить:

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби означает преобразовать дробь так, чтобы ее знаменатель не содержал квадратного корня.

Пример:

Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби: Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

1) Умножив числитель и знаменатель данной дроби на Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения получаем:

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

2) Умножив числитель и знаменатель данной дроби на выражение Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решенияполучаем:

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Докажите тождество

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Упростите выражение Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Представив подкоренное выражение в виде квадрата суммы, получаем:

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Растут ли в огороде радикалы?

В Древней Греции действие извлечения корня отождествляли с поиском стороны квадрата по его площади, а сам квадратный корень называли «стороной».

В Древней Индии слово «мула» означало «начало», «основание», «корень дерева». Это же слово стали употреблять и по отношению к стороне квадрата, возможно, исходя из такой ассоциации: из стороны квадрата, как из корня, вырастает сам квадрат. Вероятно, поэтому в латинском языке понятия «сторона» и «корень» выражаются одним и тем же словом — radix. От этого слова произошел термин «радикал».

Слово radix можно также перевести как «редис», то есть корнеплод — часть растения — видоизмененный корень, который может являться съедобным.

В XIII-XV вв. европейские математики, сокращая слово radix, обозначали квадратный корень знаками Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Например, запись Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения имела следующий вид: Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения.

В XVI в. стали использовать знак Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Происхождение этого символа, по-видимому, связано с рукописным начертанием латинской буквы Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

В XVII в. выдающийся французский математик Рене Декарт, соединив знак Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения с горизонтальной черточкой, получил символ Рене Декарт Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения который мы и используем сегодня. (1596-1650)

Множество и его элементы. Подмножество

Мы часто говорим: стадо баранов, букет цветов, коллекция марок, косяк рыб, стая птиц, рой пчел, собрание картин, набор ручек, компания друзей.

Если в этих парах перемешать первые слова, то может получиться смешно: букет баранов, косяк картин, стадо друзей. В то же время такие словосочетания, как коллекция рыб, коллекция птиц, коллекция картин, коллекция ручек и т. д., вполне приемлемы. Дело в том, что слово «коллекция» достаточно универсальное. Однако в математике есть термин, которым можно заменить любое из первых слов в данных парах. Это слово множество.

Приведем еще несколько примеров множеств:

Отдельным важнейшим множествам присвоены общепринятые названия и обозначения:

Как правило, множества обозначают прописными буквами латинского алфавита: Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения и т. д.

Объекты, составляющие данное множество, называют элементами этого множества. Обычно элементы обозначают строчными буквами латинского алфавита: Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения и т. д.

Если Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения — элемент множества Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения то пишут: Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения (читают: «Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решенияпринадлежит множеству Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения»). Если Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения не является элементом множества Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения, то пишут: Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения (читают: «Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения не принадлежит множеству Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения»).

Если множество Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения состоит из трех элементов Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения то пишут: Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Если Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения — множество натуральных делителей числа 6, то пишут: Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Множество делителей числа 6, являющихся составными числами, имеет следующий вид: {6}. Это пример одноэлементного множества.

Задавать множество с помощью фигурных скобок, в которых указан список его элементов, удобно в тех случаях, когда множество состоит из небольшого количества элементов.

Определение: Два множества Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения называют равными, если они состоят из одних и тех же элементов, то есть каждый элемент множества Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения принадлежит множеству Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения и, наоборот, каждый элемент множества В принадлежит множеству Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения.

Если множества Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения равны, то пишут: Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Из определения следует, что множество однозначно определяется своими элементами. Если множество записано с помощью фигурных скобок, то порядок, в котором выписаны его элементы, не имеет значения. Так, для множества, состоящего из трех элементов Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения существует шесть вариантов его записи:

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Поскольку из определения равных множеств следует, что, например, Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения то в дальнейшем будем рассматривать множества, состоящие из разных элементов. Так, множество букв слова «космодром» имеет вид {к, о, с, м, д, р}.

Заметим, что Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Действительно, множество Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения состоит из одного элемента и; множество Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения состоит из одного элемента — множества Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения.

Чаще всего множество задают одним из следующих двух способов.

Первый способ состоит в том, что множество задают указанием (перечислением) всех его элементов. Мы уже использовали этот способ, записывая множество с помощью фигурных скобок, в которых указывали список его элементов. Ясно, что не всякое множество можно задать таким способом. Например, множество четных чисел так задать невозможно.

Второй способ состоит в том, что указывают характеристическое свойство элементов множества, то есть свойство, которым обладают все элементы данного множества и только они. Например, свойство «натуральное число при делении на 2 дает в остатке 1» задает множество нечетных чисел.

Если задавать множество характеристическим свойством его элементов, то может оказаться, что ни один объект этим свойством не обладает.

Обратимся к примерам.

Приведенные примеры указывают на то, что удобно к совокупности множеств отнести еще одно особенное множество, не содержащее ни одного элемента. Его называют пустым множеством и обозначают символом Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Заметим, что множество Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения не является пустым. Оно содержит один элемент — пустое множество.

Рассмотрим множество цифр десятичной системы счисления: Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Выделим из множества его элементы, являющиеся четными цифрами. Получим множество Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решенияКвадратные корни - определение и вычисление с примерами решения все элементы которого являются элементами множества Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Определение: Множество Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения называют подмножеством множества Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения если каждый элемент множества Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения является элементом множества Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Это записывают так: Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения или Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения (читают: «множество Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения является подмножеством множества Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения» или «множество Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения содержит множество Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения»).

Рассмотрим примеры:

Для иллюстрации соотношений между множествами пользуются схемами, которые называют диаграммами Эйлера.

На рисунке 20 изображены множество Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения (больший круг) и множество Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения (меньший круг, содержащийся в большем). Эта схема означает, что Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения (или Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения).

Из определений подмножества и равенства множеств следует, что если Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения то Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Если в множестве Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения нет элемента, не принадлежащего множеству А, то множество Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения является подмножеством множества Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения. В силу этих соображений пустое множество считают подмножеством любого множества. Действительно, пустое множество не содержит ни одного элемента, следовательно, в нем нет элемента, который не принадлежит данному множеству Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения. Поэтому для любого множества Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения справедливо утверждение: Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Любое множество Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения является подмножеством самого себя, то есть Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

  • Заказать решение задач по высшей математике

Пример:

Выпишите все подмножества множества Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Имеем: Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Числовые множества

Натуральные числа — это первые числа, которыми начали пользоваться люди. С ними вы ознакомились в детстве, когда учились считать предметы. Все натуральные числа образуют множество натуральных чисел, которое обозначают буквой Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Практические потребности людей привели к возникновению дробных чисел. Позже появилась необходимость рассматривать величины, для характеристики которых положительных чисел оказалось недостаточно. Так возникли отрицательные числа.

Все натуральные числа, противоположные им числа и число нуль образуют множество целых чисел, которое обозначают буквой Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Например, Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел, то есть Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Целые и дробные (как положительные, так и отрицательные) числа образуют множество рациональных чисел, которое обозначают буквой Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Например, Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Понятно, что Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Схема, изображенная на рисунке 21, показывает, как соотносятся множества Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Каждое рациональное число можно представить в виде отношения Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения где Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения — целое число, а Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения — натуральное. Например,

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решенияКвадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

С возможностью такого представления связано название «рациональное число»: одним из значений латинского слова ratio является «отношение».

В 6 классе вы узнали, что каждое рациональное число можно представить в виде конечной десятичной дроби или в виде бесконечной периодической десятичной дроби. Для дроби Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения такое представление можно получить, выполнив деление числа Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения на число Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения уголком.

Например, Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Число Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения записано в виде конечной десятичной дроби, а число Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения в виде бесконечной периодической десятичной дроби. В записи 0,454545… цифры 4 и 5 периодически повторяются. Повторяющуюся группу цифр называют периодом дроби и записывают в круглых скобках. В данном случае период дроби составляет 45, а дробь Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения записывают так: Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Заметим, что любую конечную десятичную дробь и любое целое число можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби. Например,

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, каждое рациональное число можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби.

Справедливо и такое утверждение: каждая бесконечная периодическая десятичная дробь является записью некоторого рационального числа.

В 9 классе вы научитесь записывать бесконечную периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной дроби.

Сумма и произведение двух натуральных чисел являются натуральными числами. Однако разность натуральных чисел не всегда обладает таким свойством. Например, Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Сумма, разность, произведение двух целых чисел являются целыми числами. Однако частное целых чисел не всегда обладает таким свойством. Например, Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Сумма, разность, произведение и частное (кроме деления на нуль) двух рациональных чисел являются рациональными числами.

Итак, действие вычитания натуральных чисел может вывести результат за пределы множества Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решениядействие деления целых чисел — за пределы множества Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения однако выполнение любого из четырех арифметических действий с рациональными числами не выводит результат за пределы множества Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Вы ознакомились с новым действием — извлечением квадратного корня. Возникает естественный вопрос: всегда ли квадратный корень из неотрицательного рационального числа является рациональным числом? Иными словами, может ли действие извлечения квадратного корня из рационального числа вывести результат за пределы множества Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Рассмотрим уравнение Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Поскольку Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения то это уравнение имеет два корня: Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения (рис. 22). Однако не существует рационального числа, квадрат которого равен 2 (доказательство этого факта вы можете найти в рубрике «Когда сделаны уроки» в рассказе «Открытие иррациональности»), то есть числа Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения не являются рациональными. Эти числа — примеры иррациональных чисел (приставка «ир» означает отрицание).

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, действие извлечения корня из рационального числа может вывести результат за пределы множества Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Ни одно иррациональное число не может быть представлено в виде дроби Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения где Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения а следовательно, и в виде бесконечной периодической десятичной дроби.

Иррациональные числа могут быть представлены в виде бесконечных непериодических десятичных дробей.

Например, с помощью специальной компьютерной программы можно установить, что

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Числа Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения — это не первые иррациональные числа, с которыми вы встречаетесь. Число Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения равное отношению длины окружности к диаметру, также является иррациональным:

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Иррациональные числа возникают не только в результате извлечения квадратных корней. Их можно конструировать, строя бесконечные непериодические десятичные дроби.

Например, число Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения (после запятой записаны последовательно степени числа 10) является иррациональным. Действительно, если предположить, что у рассматриваемой десятичной дроби есть период, состоящий из Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения цифр, то с некоторого места этот период будет полностью состоять из нулей. Иными словами, начиная с этого места в записи не должна встретиться ни одна единица, что противоречит конструкции числа.

Вместе множества иррациональных и рациональных чисел образуют множество действительных чисел. Его обозначают буквой Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения (первой буквой латинского слова realis — «реальный», «существующий в действительности»).

Теперь «цепочку» Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения можно продолжить: Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Связь между числовыми множествами, рассмотренными в этом пункте, иллюстрирует схема, изображенная на рисунке 23.

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Длину любого отрезка можно выразить действительным числом. Eh-от факт позволяет установить связь между множеством Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения и множеством точек координатной прямой. Точке Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения началу отсчета, поставим в соответствие число 0. Каждой точке Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения координатной прямой, отличной от точки Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения поставим в соответствие единственное число, равное длине отрезка Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения если точка А расположена справа от точки Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения и число, противоположное длине отрезка Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения если точка Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения расположена слева от точки Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения. Также понятно, что каждое действительное число является соответствующим единственной точке координатной прямой.

Над действительными числами можно выполнять четыре арифметических действия: сложение, вычитание, умножение, деление (кроме деления на ноль), в результате будем получать действительное число. Эти действия обладают известными вам свойствами:

  • Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Переместительное свойство сложения
  • Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Переместительное свойство умножения
  • Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Сочетательное свойство сложения
  • Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Сочетательное свойство умножения
  • Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Распределительное свойство умножения относительно сложения

Действительные числа можно сравнивать, используя правила сравнения десятичных дробей, то есть сравнивая цифры в соответствующих разрядах. Например, Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Любое положительное действительное число больше нуля и любого отрицательного действительного числа. Любое отрицательное действительное число меньше нуля. Из двух отрицательных действительных чисел больше то, у которого модуль меньше.

Если отметить на координатной прямой два действительных числа, то меньшее из них будет расположено слева от большего.

Находя длину окружности и площадь круга, вы пользовались приближенным значением числа Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения (например, Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения). Аналогично при решении практических задач, где нужно выполнить действия с действительными числами, при необходимости эти числа заменяют их приближенными значениями. Например, для числа Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения можно воспользоваться такими приближенными равенствами: Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения или Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Первое из них называют приближенным значением числа Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения по недостатку с точностью до 0,001, второе — приближенным значением числа Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения по избытку с точностью до 0,001. Более подробно о приближенных значениях вы узнаете в 9 классе.

В заключение подчеркнем, что из любого неотрицательного действительного числа можно извлечь квадратный корень и в результате этого действия получить действительное число. Следовательно, действие извлечения квадратного корня из неотрицательного действительного числа не выводит результат за пределы множества Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Открытие иррациональности

Решая графически уравнение Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения мы установили, что длина каждого из отрезков Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения равна Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения (рис. 24). Покажем, что число Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения иррациональное. Предположим, что число Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения рациональное. Тогда его можно

представить в виде несократимой дроби Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения где Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения — натуральные числа. Имеем:

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Тогда Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Из последнего равенства следует, что число Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения четное. А это значит, что четным является и число Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Тогда Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения где Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения — некоторое натуральное число. Имеем: Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Отсюда следует, что число Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения а следовательно, и число Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения четные.

Таким образом, числитель и знаменатель дроби Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения — четные числа. Следовательно, эта дробь является сократимой. Получили противоречие.

Приведенный пример показывает, что существуют отрезки (в нашем случае это отрезки Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения на рисунке 24), длины которых нельзя выразить рациональными числами, то есть для измерения отрезков рациональных чисел недостаточно.

Этот факт был открыт в школе великого древнегреческого ученого Пифагора.

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Сначала пифагорейцы считали, что для любых отрезков Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения всегда можно найти такой отрезок Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения который в каждом из них укладывается целое число раз. Отсюда следовало, что отношение длин любых двух отрезков выражается отношением целых чисел, то есть рациональным числом.

Например, на рисунке 25 имеем: Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

и Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения. Отрезок Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения называют общей мерой отрезков Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Если для отрезков существует общая мера, то их называют соизмеримыми. Например, отрезки Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения (рис. 25) являются соизмеримыми.

Итак, древнегреческие ученые считали, что любые два отрезка соизмеримы. А из этого следовало, что длину любого отрезка можно выразить рациональным числом.

Действительно, пусть некоторый отрезок Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения выбран в качестве единичного. Тогда для отрезка Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения и любого другого отрезка Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения существует отрезок длиной Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения являющийся их общей мерой. Получаем: Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения где Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения и — некоторые натуральные числа. Отсюда Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Поскольку Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения то Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Однако сами же пифагорейцы сделали выдающееся открытие. Они доказали, что диагональ и сторона квадрата несоизмеримы, то есть если сторону квадрата принять за единицу, то длину диагонали квадрата выразить рациональным числом нельзя.

Для доказательства рассмотрим произвольный квадрат Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения и примем его сторону за единицу длины. Тогда его площадь равна Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения На диагонали Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения построим квадрат Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения (рис. 26). Понятно, что площадь квадрата Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения в 2 раза больше площади квадрата Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения. Отсюда Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения, то есть Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решенияСледовательно, длина диагонали Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения не может быть выражена рациональным числом.

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Это открытие изменило один из фундаментальных постулатов древнегреческих ученых, заключавшийся в том, что отношение любых двух величин выражается отношением целых чисел.

Существует легенда о том, что пифагорейцы держали открытие иррациональных чисел в строжайшей тайне, а человека, разгласившего этот факт, покарали боги: он погиб при кораблекрушении.

ГЛАВНОЕ В ПАРАГРАФЕ 2

Свойства функции Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Область определения: Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Область значений: множество неотрицательных чисел.

График: парабола.

Нуль функции: Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Свойство графика: если точка Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения принадлежит графику функции, то точка Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения также принадлежит графику.

Квадратный корень

Квадратным корнем из числа Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения называют число, квадрат которого равен Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Арифметический квадратный корень

Арифметическим квадратным корнем из числа Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения называют неотрицательное число, квадрат которого равен Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Равные множества

Два множества Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения называют равными, если они состоят из одних и тех же элементов, то есть каждый элемент множества Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения принадлежит множеству Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения и, наоборот, каждый элемент множества Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения принадлежит множеству Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения.

Подмножество

Множество Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения называют подмножеством множества Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения, если каждый элемент множества Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения является элементом множества Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения.

Обозначения числовых множеств

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения — множество натуральных чисел;

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения — множество целых чисел;

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения — множество рациональных чисел;

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения — множество действительных чисел.

Связь между числовыми множествами

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Свойства арифметического квадратного корня

Для любого действительного числа Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения выполняется равенство

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Для любого действительного числа Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения и любого натурального числа Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения выполняется равенство Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Для любых действительных чисел Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения таких, что Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения выполняется равенство Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Для любых действительных чисел Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения таких, что Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

выполняется равенство Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Для любых неотрицательных чисел Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения таких, что Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения выполняется неравенство Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Свойства функции Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Область определения: множество неотрицательных чисел.

Область значений: множество неотрицательных чисел.

График: ветвь параболы.

Нуль функции: Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

———

Квадратные корни

Функция y=x2 её график и свойства

Функция Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения её график и свойства

Пример №223

Пусть сторона квадрата равна Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения см. Тогда его площадь (в Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения можно найти но формуле Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения В этой формуле каждому положительному значению переменной Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения соответствует единственное значение переменной Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Если обозначить независимую переменную через Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения а зависимую – через Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения то получим функцию, которую задают формулой Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения В этой формуле переменная Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения может принимать любые значения (положительные, отрицательные, значение нуль).

Составим таблицу значений функции Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения для нескольких значений аргумента: Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Отметим на координатной плоскости точки Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения координаты которых записаны в таблице (рис. 8). Если на этой плоскости отметить больше точек, координаты которых удовлетворяют формуле Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения а потом соединить их плавной линией, то получим график функции Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения (рис. 9). График этой функции называют параболой, точку (0; 0) – вершиной параболы. Вершина делит параболу на две части, каждую из которых называют ветвью параболы.

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Сформулируем некоторые свойства функции Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

1. Область определения функции состоит из всех чисел.

2. Область значений функции состоит из всех неотрицательных чисел, то есть Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Действительно, так как Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения для любого Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения то Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

3. Графиком функции является парабола с вершиной в точке Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения ветви которой направлены вверх. Все точки параболы, за исключением вершины, лежат выше оси абсцисс.

4. Противоположным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции.

Действительно, это следует из того, что Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения при любом значении Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Пример №224

Решите графически уравнение Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

График функции Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения – парабола, а функции Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения – прямая, проходящая через точки (0; 3) и (2; -1).Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Построим эти графики в одной системе координат ( рис.10). Они пересекутся в двух точках с абсциссами Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Убедимся, что числа 1 и -3 являются корнями уравнения:

1) для Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

2) для Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, 3 и -1 – корни уравнения Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. -3; 1.

Пример №225

Между какими последовательными целыми числами лежит корень уравнения Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Решим уравнение графически, построив графики функций Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения в одной системе координат. Так как Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения для любого Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения то в данном уравнении и Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Откуда Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Поэтому рассмотрим графики функций только для Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Это ветвь гиперболы и ветвь параболы, лежащие в первой координатной четверти (рис. 11).

Графики пересекаются в одной точке, абсцисса которой является корнем уравнения и заключена между числами 1 и 2.

Таким образом, корень уравнения Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения лежит между числами 1 и 2.

Ответ. Между числами 1 и 2. Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Арифметический квадратный корень

Если известна сторона квадрата, можно легко найти его площадь. Но часто приходится решать и обратную задачу: по известной площади квадрата находить его сторону.

Пример №226

Площадь квадрата равна Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Чему равна длина его стороны?

Решение:

Пусть длина стороны квадрата равна Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения см, тогда его площадь будет Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Имеем уравнение: Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения корнями которого являются числа 4 и -4. Действительно, Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Длина не может выражаться отрицательным числом, поэтому условию задачи удовлетворяет только один из корней уравнения – число 4. Следовательно, длина стороны квадрата равна 4 см.

Корни уравнения Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения то есть числа, квадраты которых равны 16, называют квадратными корнями из числа 16.

Квадратным корнем из числа Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения называют число, квадрат которого равен Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения.

Например, квадратными корнями из числа 100 являются числа 10 и -10, потому что Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Квадратным корнем из числа 0 является число 0, потому что Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Квадратного корня из числа -16 мы не найдем, ведь среди известных нам чисел не существует числа, квадрат которого равнялся бы -16.

Число 4, являющееся неотрицательным корнем уравнения . Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения называют арифметическим квадратным корнем из числа 16.

Арифметическим квадратным корнем из числа а называют неотрицательное число, квадрат которого равен Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Арифметический квадратный корень из числа Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения обозначают Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения знак арифметического квадратного корня, или радикал). Выражение, стоящее под знаком корня, называют подкоренным выражением. Запись Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения читают следующим образом: квадратный корень из Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения (слово арифметический при чтении принято опускать, поскольку в школе рассматривают только арифметические корни).

Пример №227

1) Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения так как Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

2) Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения так как Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Вообще равенство Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения является верным, если выполняются два условия: Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Так как Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения для всех значений переменной Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Выражение Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения не имеет смысла, если Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Например, не имеют смысла выражения Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Действие нахождения значения арифметического квадратного корня называют извлечением квадратного корня. Из небольших чисел квадратный корень желательно извлекать устно. Извлекать квадратный корень из больших чисел поможет таблица квадратов двузначных натуральных чисел на форзаце или калькулятор.

Пример №228

Найдите значение корня Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

По таблице квадратов двузначных натуральных чисел имеем: Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Поэтому Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Пример №229

Вычислите Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Сначала нужно найти значение выражения Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения а потом извлечь из него корень:

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. 35.

Рассмотрим уравнение Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения где Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения – некоторое число. Если Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения то по определению квадратного корня следует, что Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Если же Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения то уравнение не имеет решений, так как по определению число Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения – неотрицательное.

Систематизируем данные о решениях уравнения Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения в виде схемы:

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Пример №230

Решите уравнение:

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. 1) 49; 2) решений нет; 3) 13.

Множество. Подмножество. Числовые множества. Рациональные числа. Иррациональные числа. Действительные числа

Понятие множества является одним из основных понятий математики. Под множеством будем понимать совокупность объектов, имеющих общую природу (или объединенных по общему признаку), сами объекты при этом будем называть элементами множества.

Как правило, множества обозначают большими латинскими буквами. Если, например, множество Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения состоит из чисел 1, 2, 3, а множество Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения – из знаков Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения то это записывают так: Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Числа 1, 2, 3 – элементы множества Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения а знаки Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения – элементы множества Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Тот факт, что число 1 принадлежит множеству Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения записывают с помощью уже известного нам символа Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения а именно: Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Тот факт, что число 1 не принадлежит множеству Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения записывают так: Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Множества, количество элементов которых можно выразить натуральным числом, называют конечными.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называют пустым множеством. Его обозначают символом Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Так, например, пустым множеством является множество корней уравнения Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Множества, количество элементов которых нельзя выразить натуральным числом и которые не являются пустыми, называют бесконечными.

Если каждый элемент множества Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения является элементом множества Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения то говорят, что множество Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения является подмножеством множества Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Записывают это следующим образом: Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Схематическая иллюстрация этого факта представлена на рисунке 12.

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Пример №231

Пусть Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Тогда множество Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения является подмножеством множества Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения то есть Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Множество Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения не является подмножеством множества Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения так как множество Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения содержит элемент – число 5, которое не является элементом множества Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Считают, что пустое множество является подмножеством любого множества, то есть Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Целые числа и дробные числа образуют множество рациональных чисел.

Множество натуральных чисел обозначают буквой Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения множество целых чисел – буквой Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения множество рациональных чисел -буквой Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Они являются бесконечными множествами.

Можно утверждать, что Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Любое рациональное число можно представить в виде Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения где Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения – целое число, Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения – натуральное число.

Например Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Рациональное число можно также представить и в виде десятичной дроби. Для этого достаточно числитель дроби разделить на ее знаменатель. Например,

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

В последнем случае мы получили бесконечную десятичную периодическую дробь. Дроби Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения также можно представить в виде бесконечных десятичных периодических дробей, дописав справа в десятичной части бесконечное много нулей:

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Таким образом, каждое рациональное число можно представить в виде бесконечной десятичной периодической дроби.

Справедливо и обратное утверждение:

Каждая бесконечная периодическая десятичная дробь является записью некоторого рационального числа.

Например,

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

В правильности этих равенств легко убедиться, выполнив соответствующее деление.

Но в математике существуют числа, которые нельзя записать в виде Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения где Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения – целое число, а Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения – натуральное.

Числа, которые нельзя записать в виде Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения где Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения – целое число, a Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения — натуральное, называют иррациональными числами.

Префикс «иp» означает отрицание, иррациональные значит не рациональные.

Например, иррациональными являются числа Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Приближенные значения таких чисел можно находить с определенной точностью (то есть округленными до определенного разряда) с помощью микрокалькулятора или компьютера:

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Каждое иррациональное число можно представить в виде бесконечной десятичной непериодической дроби.

Рациональные числа вместе с иррациональными числами образуют множество действительных чисел.

Множество действительных чисел обозначают буквой Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Так как каждое натуральное число является целым числом, то множество Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения является подмножеством множества Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Аналогично, множество Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения является подмножеством множества Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения а множество Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения подмножеством множества Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения (рис. 13).

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Действительные числа, записанные в виде бесконечных десятичных непериодических дробей, можно сравнивать по тем же правилам, что и конечные десятичные дроби. Например,

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

В задачах с практическим содержанием действительные числа (для выполнения арифметических действий) заменяют на их приближенные значения, округленные до определенного разряда.

Пример №232

Вычислите Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения с точностью до тысячных.

Решение:

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Заметим, что при сложении, вычитании, умножении, делении и возведении в степень действительных чисел справедливы те же свойства и ограничения, что и при действиях с рациональными числами.

Понятие числа появилось очень давно.

А еще раньше Оно является одним из самых общих понятий математики. Потребность в измерениях и подсчетах обусловила появление положительных рациональных чисел. Именно тогда возникли и использовались натуральные числа и дробные числа, которые рассматривались как отношение натуральных чисел.

Следующим этапом развития понятия числа является введение в практику отрицательных чисел. В Древнем Китае эти числа появились во II в. до н. э. Там умели складывать и вычитать отрицательные числа. Отрицательные числа толковали как долг, а положительные – как имущество. В Индии в VII в. эти числа воспринимали так же, но еще и умели их умножать и делить.

Уже древние вавилоняне около 4 тыс. лет назад знали ответ на вопрос: «Какова должна быть длина стороны квадрата, чтобы его площадь равнялась Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Ими были составлены таблицы квадратов чисел и квадратных корней. Вавилоняне использовали и метод нахождения приближенного значения квадратного корня из числа Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения не являющегося квадратом натурального числа. Суть метода заключалась в том, что число Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения записывали в виде Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения было достаточно малым в сравнении с Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения и применяли формулу

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Например, с помощью этого метода:

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Проверим точность результата: Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Такой метод вычисления приближенного значения квадратного корня использовался и в Древней Греции. Его детально описал Герон Александрийский (I в. н. э.).

В эпоху Возрождения (XV – нач. XVII в.) европейские математики обозначали корень латинским словом Radix (корень), потом – сокращенно – буквой Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Так появился термин «радикал», которым называют знак корня. Впоследствии для обозначения корня стали использовать точку, а потом ромбик. Спустя некоторое время – уже знак Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения и горизонтальную черточку над подкоренным выражением. Затем знак Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения и черточка были объединены, и современные математики стали использовать знак квадратного корня в привычном нам виде: Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Тождество (√a)2=a, a⩾0 уравнение Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения x2=a

Тождество Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения уравнение Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Напомним, что для любых значений Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения равенство Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения является верным, если выполняются два условия: Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решенияКвадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Подставив в последнее равенство вместо Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения его запись в виде Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения получим тождество Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Для любого Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения справедливо тождество

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Пример №233

Вычислите:

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Ответ: Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Рассмотрим уравнение Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения где Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения – некоторое число.

Так как квадрат числа не может быть отрицательным, то при Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения уравнение Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения не имеет решений, что можно записать следующим образом: Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Если Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения то единственным корнем уравнения Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения является число 0.

Если Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения то корни уравнения Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения – числа Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Действительно, Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Для того чтобы убедиться, что уравнение Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения при Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения других корней не имеет, обратимся к графическому методу решения уравнения. Построим графики функций Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения (рис. 14). Эти графики пересекутся дважды: в точках с абсциссами Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Систематизируем данные о решениях уравнения Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения в виде схемы:

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Пример №234

Решите уравнение:

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

2) уравнение корней не имеет, то есть Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Эти корни являются иррациональными числами;

4) Имеем:

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Таким образом, получим два корня: Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Свойства арифметического квадратного корня

Сравним значения выражений Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решенияКвадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Имеем: Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения то есть корень из произведения двух чисел равен произведению их корней. Это свойство справедливо для произведения любых двух неотрицательных чисел.

Теорема (о корне из произведения). Корень из произведения двух неотрицательных чисел равен произведению корней из этих чисел, то есть при Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство: Так как Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения то выражения Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения имеют смысл, причем Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Поэтому Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Кроме того, Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Имеем: Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Тогда по определению арифметического квадратного корня: Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Доказанная теорема распространяется и на случай, когда множителей под знаком корня три и больше.

Следствие. Корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей.

Доказательство: Докажем это следствие, например, для трех чисел Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Имеем: Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Пример №235

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Замечание 1. Очевидно, что выражение Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения имеет смысл при условии Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения то есть когда переменные Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения – одного знака, а значит и тогда, когда переменные Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения одновременно отрицательны. В таком случае тождество, рассмотренное выше, принимает вид Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения где Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решенияи Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Учитывая оба случая, можно записать, что

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Если в равенстве Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения поменять местами левую и правую части, получим тождество:

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Произведение корней из неотрицательных чисел равно корню из произведения этих чисел.

Пример №236

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Рассмотрим квадратный корень из дроби.

Теорема (о корне из дроби). Корень из дроби, числитель которой неотрицателен, а знаменатель -положителен, равен корню из числителя, деленному на корень из знаменателя, то есть при Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство: Так как Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения то выражения Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения имеют смысл и Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Поэтому Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Кроме того,

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Имеем: Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Тогда по определению квадратного корня: Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Пример №237

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Замечание 2. По аналогии с замечанием 1, тождество, только что рассмотренное нами, можно записать и так:

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Если в равенстве Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения поменять местами левую и правую части, получим тождество:

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Частное, числитель которого является корнем из неотрицательного числа, а знаменатель — корнем из положительного числа, равно корню из частного этих чисел.

Пример №238

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Рассмотрим, как извлечь квадратный корень из квадрата.

Теорема (о корне из квадрата). Для любого значения справедливо равенство

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство: Так как Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения для любого Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения то по определению квадратного корня: Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Пример №239

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Рассмотрим квадратный корень из степени.

Теорема (о корне из степени). Для любого значения Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения и натурального числа Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения справедливо равенство

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство: Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения По теореме о корне из квадрата имеем Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Следовательно, Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Пример №240

Вычислите: Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Пример №241

Упростите выражение: Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Так как Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения для любого Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения то Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Следовательно, Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Так как Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения поэтому Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Следовательно, если Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Тождественные преобразования выражений, содержащих квадратные корни

Рассмотрим тождественные преобразования выражений, содержащих квадратные корни.

Вынесение множителя из-под знака корня

Воспользуемся теоремой о корне из произведения для преобразования выражения Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Говорят, что множитель вынесли из-под знака корня. В данном случае из-под знака корня вынесли множитель 2.

Пример №242

Вынесите множитель из-под знака корня в выражении Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Выражение Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения имеет смысл при Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения поскольку Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения если Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решенияПредставим выражение Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения в виде произведения Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения в котором Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения является степенью с четным показателем. Тогда

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Так как Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Поэтому Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Внесение множителя под знак корня

Рассмотрим тождественное преобразование, обратное к предыдущему. Воспользуемся правилом умножения корней:

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Говорят, что множитель внесли под знак корня. В данном случае под знак корня внесли множитель 2.

Отметим, что под знак корня можно вносить только положительный множитель.

Пример №243

Внести множитель под знак корня:

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

2) Множитель Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения может принимать любые значения (быть положительным, нулем или отрицательным). Поэтому рассмотрим два случая:

– если Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

– если Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень выражений, содержащих квадратные корни

Используя свойства умножения и деления корней, можно выполнять арифметические действия с выражениями, содержащими квадратные корни.

Пример №244

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Используя тождество Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения можно возводить в степень выражения, содержащие квадратные корни.

Пример №245

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Рассмотрим примеры, где квадратные корни можно складывать.

Пример №246

Упростите выражение Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Слагаемые содержат общий множитель Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Вынесем его за скобки и выполним действие в скобках: Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Обычно решение записывают короче: Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Заметим, что выражения Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения в данном примере называют подобными радикалами (по аналогии с подобными слагаемыми), мы их сложили по правилу приведения подобных слагаемых.

Пример №247

Упростите выражение Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

В каждом из слагаемых можно вынести множитель из-под знака корня, в результате получим подобные радикалы и приведем их: Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решенияКвадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Пример №248

Упростите выражение:

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Применим формулы сокращенного умножения.

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Сокращение дробей

Пример №249

Сократите дробь: Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

1) Учитывая, что Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения числитель дроби представим в виде разности квадратов, получим:

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

2) Учитывая, что Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения в числителе и знаменателе вынесем за скобки общий множитель, получим:

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Избавление от иррациональности в знаменателе дроби

Пример №250

Преобразуйте дробь Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения так, чтобы она не содержала корня в знаменателе.

Решение:

Учитывая, что Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения достаточно числитель и знаменатель дроби умножить на Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

В таких случаях говорят, что избавились от иррациональности в знаменателе дроби.

Пример №251

Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Умножим числитель и знаменатель дроби на Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения чтобы в знаменателе получить формулу сокращенного умножения разности двух выражений на их сумму:

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Заметим, что выражение Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения называют сопряженным выражению Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решенияВообще-то, если в формулах сокращенного умножения в результате умножения скобок, содержащих радикалы, получается рациональное выражение, то выражения в скобках называют взаимно сопряженными. Так, Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решениявзаимно сопряженные выражения.

Взаимно сопряженными также являются выраженияКвадратные корни - определение и вычисление с примерами решения и им подобные.

Функция y= √x её график и свойства

Функция Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения её график и свойства

Пример №252

Пусть Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения – площадь квадрата, а см – длина его стороны. Так как Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения то зависимость длины стороны Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения квадрата от его площади Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения можно задать формулой

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Рассмотрим функцию Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения Очевидно, что переменная Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения принимает только неотрицательные значения, то есть Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Составим таблицу значений функции Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения для нескольких значений аргумента: Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Отметим эти точки на координатной плоскости (рис. 15). Если бы мы отметили на этой плоскости больше точек, координаты которых удовлетворяют уравнению Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения а потом соединили их плавной линией, то получили бы график функции Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения (рис. 16).

Графиком этой функции является ветвь параболы. Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решенияКвадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Обобщим свойства функции Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

1. Областью определения функции является множество всех неотрицательных чисел: Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

2. Областью значений функции является множество всех неотрицательных чисел: Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

3. График функции – ветвь параболы, выходящая из точки Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения все другие точки графика лежат в первой координатной четверти.

Большему значению аргумента соответствует большее значение функции

Последнее свойство дает возможность сравнивать значения выражении, содержащих корни.

Пример №253

Сравните числа:

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

1) Так как Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения поэтому Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения значит, Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

3) Внесем множитель в обоих выражениях под знак корня:

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Так как Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения поэтому Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Пример №254

Решите графически уравнение Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Поскольку мы пока не умеем строить график функции Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решенияразделим обе части уравнения на число 5. Получим уравнение: Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Построим графики функций Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения в одной системе координат (рис. 17). Они пересекаются в точке с абсциссой 4. Проверкой убеждаемся, что число 4 – корень уравнения. Действительно, Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. 4. Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Пример №255

Постройте график функции

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. График изображен на рисунке 18.

Квадратные корни - определение и вычисление с примерами решения

  • Квадратные уравнения
  • Неравенства
  • Числовые последовательности
  • Предел числовой последовательности
  • Формулы сокращенного умножения
  • Разложение многочленов на множители
  • Системы линейных уравнений с двумя переменными
  • Рациональные выражения

В уроке «Степень числа»
мы проходили, что возвести в квадрат число означает умножить число на само себя.
Кратко запись числа в квадрате выглядит следующим образом:

3 · 3 = 32 = 9

Но как быть, если нам нужно получить обратный результат?
Например, узнать, какое число при возведении в квадрат дало бы число «9»?

Запомните!
!

Нахождение исходного числа, которое в квадрате дало бы требуемое, называется
извлечением квадратного корня.

Извлечение квадратного корня — это действие, обратное возведению в квадрат.

У квадратного корня есть специальный знак.
Исходя из вычислений выше, нетрудно догадаться, что число, которое в квадрате дает «9»,
это число «3». Запись извлечения квадратного корня из числа «9» выглядит так:

9 = 3

Читаем запись: «Арифметический квадратный корень из девяти». Можно опустить слово «арифметический».
Словосочетания «арифметический квадратный корень» и «квадратный корень» полностью равнозначны.

Число под знаком корня называют подкоренным выражением.

знак квадратного корня и подкоренное выражение

Подкоренное выражение может быть представлено не только одним числом.
Всё, что находится под знаком корня, называют подкоренным выражением. Оно может сожержать как числа, так и буквы.

подкоренное выражение из чисел
подкоренное выражение из букв


Запомните!
!

Извлекать квадратный корень можно только из положительного числа.


  • −9
    = … нельзя извлекать квадратный корень из отрицательного числа;

  • 64 = 8

  • −1,44

    = … нельзя извлекать квадратный корень из отрицательного числа;


  • 256 = 16

Квадратный корень из нуля

Запомните!
!

Квадратный корень из нуля равен нулю.

0 = 0

Квадратный корень из единицы

Запомните!
!

Квадратный корень из единицы равен единице.

1 = 1

Как найти квадратный корень из числа

Квадратные корни из целых чисел, чьи квадраты известны, вычислить довольно просто.
Для этого достаточно выучить таблицу квадратов.

Чаще всего в задачах школьного курса математики требуется найти квадратный корень из квадратов чисел от
1 до 20.

Решение примеров с квадратными корнями

Разбор примера

Вычислить арифметический квадратный корень из числа.

  • 81 = 9
  • 64 = 8
  • 100 = 10

Как найти квадратный корень из десятичной дроби

Важно!
Галка

При нахождении квадратного корня из десятичной дроби нужно выполнить следующие действия:

  1. забыть про запятую в исходной десятичной дроби и представить её в виде целого числа;
  2. вычислить для целого числа квадратный корень;
  3. полученное целое число заменить на десятичную дробь (поставить запятую исходя из
    правила умножения десятичных дробей).

Более подробно разберем на примере ниже.

Разбор примера

Вычислить квадратный корень из десятичной дроби «0,16».

0,16 =

По первому пункту правила забудем про запятую в десятичной дроби и представим ее в виде целого числа «16».

Нетрудно вспомнить, какое число в квадрате дает «16». Это число
«4».

16 = 4

0,16 = …

Вспомним правило умножения десятичных дробей.
Количество знаков после запятой в результате умножения десятичных дробей равняется сумме количества знаков после запятой каждой
дроби.

Т.е., например, при умножении «0,15» на
«0,3» в полученном произведении будет десятичная дробь с тремя знаками после запятой.

0,15 · 0,3 = 0,045

Значит, при вычислении квадратного корня
0,16

нам нужно найти десятичную дробь, у которой был бы только один знак после запятой.

Мы исходим из того, что в результате умножения десятичной дроби на саму себя в результате должно было получиться
два знака после запятой, как у десятичной дроби «0,16».

Получается, что ответ — десятичная дробь «0,4».

0,16 = 0,4

Убедимся, что квадрат десятичной дроби
«0,42» дает
«0,16».

Умножим в столбик «0,4» на

«0,4».

умножение 0,4 на 0,4 в столбик


Рассмотрим другой пример вычисления квадратного корня из десятичной дроби. Вычислить:

1,44 =

Представим вместо десятичной дроби «1,44» целое число
«144». Какое число в квадрате даст «144»?
Ответ — число «12».

122 = 144

144 = 12

1,44 = …

Так как в десятичной дроби «1,44» — два знака после запятой, значит в десятичной дроби,
которая дала в квадрате «1,44» должен быть один знак после запятой.

1,44 = 1,2

Убедимся, что «1,22» дает в квадрате «1,44».

1,22 = 1,2 · 1,2 = 1,44

Квадратные корни из чисел

2,
3,
5,
6,

и т.п.

Не из всех чисел удается легко извлечь квадратный корень. Например, совершенно неочевидно, чему равен


2

или

3

и т.п.

В самом деле, какое число в квадрате даст «2»? Или число «3»?
Такое число не будет целым. Более того, оно представляет из себя
непериодическую десятичную дробь
и входит в
множество иррациональных чисел.

Что делать, когда в ответе остаются подобные квадратные корни? Как, например, в примере ниже:


15 − 2 · 4 =
15 − 8 =
7

Нет такого целого числа, которое бы дало в квадрате число «7».
Поэтому, перед завершением задачи внимательно читайте её условие.

Если в задаче дополнительно ничего не сказано об обязательном вычислении всех квадратных корней, тогда ответ можно
оставить с корнем.


15 − 2 · 4 =
15 − 8 =
7

Если в задании сказано, что необходимо вычислить все квадратные корни с помощью микрокалькулятора,
то после вычисления квадратного корня на калькуляторе
округлите результат до необходимого количества знаков.

Текст задания в таком случае может быть написан следующим образом:

«Вычислить. Квадратные корни найти с помощью калькулятора и округлить с точностью до
«0,001».

15 − 2 · 4 =
15 − 8 =
7 ≈ 2,646


Ваши комментарии

Важно!
Галка

Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи

«ВКонтакте».

Пришелец пожимает плечами

Оставить комментарий:

14 июля 2016 в 18:32

Temur Uldashev
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 2

(^-^)
Temur Uldashev
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 2

Всем доброго времени суток! Прошу помочь с примером который я не могу решить, по теме «Квадратные корни. Задачи на вычесление» пример выглядит так:
??28-16?3 ( то есть выражение 28-16?3  еще под двумя корнями, не только 28, а все выражение!)

0
Спасибоthanks
Ответить

15 июля 2016 в 0:04
Ответ для Temur Uldashev

Евгений Фёдоров
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 60

(^-^)
Евгений Фёдоров
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 60


?(28 ? 16?3)  = 4 ? 2?3.
Скобки не знешь?

0
Спасибоthanks
Ответить

15 июля 2016 в 6:53
Ответ для Temur Uldashev

Temur Uldashev
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 2

(^-^)
Temur Uldashev
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 2


Затупил. Но и вы не правильно подсказали. Я уже решил ответ ?3-1

0
Спасибоthanks
Ответить

16 июля 2016 в 22:58
Ответ для Temur Uldashev

Евгений Фёдоров
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 60

(^-^)
Евгений Фёдоров
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 60


Чушь не пори.
Спасибо скажи, что тебе подсказали.

0
Спасибоthanks
Ответить

21 июля 2016 в 13:24
Ответ для Temur Uldashev

Евгений Фёдоров
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 60

(^-^)
Евгений Фёдоров
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 60


Что не верно у меня, митрофанушка?

0
Спасибоthanks
Ответить

23 ноября 2015 в 15:15

Ксюша Новикова
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

(^-^)
Ксюша Новикова
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

0
Спасибоthanks
Ответить

16 сентября 2016 в 14:23
Ответ для Ксюша Новикова

Евгений Колосов
(^-^)
Профиль
Благодарили: 12

Сообщений: 197

(^-^)
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12

Сообщений: 197


1,38 · ?361 = 1,38 · 19 = 26,22

0
Спасибоthanks
Ответить

16 сентября 2015 в 16:11

Макс Простов
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 4

(^-^)
Макс Простов
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 4

Расположите в порядке возрастания Корни:3V16,  7V19, 8V13 срочно))))) 

0
Спасибоthanks
Ответить

9 сентября 2016 в 9:41
Ответ для Макс Простов

Евгений Колосов
(^-^)
Профиль
Благодарили: 12

Сообщений: 197

(^-^)
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12

Сообщений: 197


?16 = 4
?19 ? 4,35
?13 ? 3,61

3 · 4 = 12
7 · 4,35 = 30,45
8 · 3,61 = 28,88

Ответ: 3?16, 8?13, 7?19

0
Спасибоthanks
Ответить


Мерзляк 5 класс — § 10. Уравнение

Вопросы к параграфу

1. Какое число называют корнем (решением) уравнения? — Корнем (решением) уравнения называют число, которое при подстановке вместо буквы обращает уравнение в верное числовое равенство.

2. Что значит решить уравнение? — Это значит найти все его корни или убедиться, что их вообще нет.

3. Как найти неизвестное слагаемое? — Надо из суммы вычесть известное слагаемое.

4. Как найти неизвестное уменьшаемое? — Надо к разности прибавить вычитаемое.

5. Как найти неизвестное вычитаемое? — Надо из вычитаемого вычесть разность.

Решаем устно

1. Найдите значение выражения 53 + х:

1. если х = 29, то 53 + х = 53 + 29 = 82

2. если х = 61, то 53 + х = 53 + 61 = 114

2. Найдите значение выражения 12y:

1. если: у = 7, то 12y = 12 • 7 = 84

2. если: у = 20, то 12y = 12 • 20 = 240

3. Найдите по формуле пути s = 50t расстояние (в метрах), которое проходит Петя:

1) за 4 мин: s = 50t = 50 • 4 = 200 метров

2) за 10 мин: s = 50t = 50 • 10 = 500 метров

Что означает числовой множитель в этой формуле? Числовой множитель 50 обозначает скорость движения Пети (м/мин).

4. Число а на 10 больше, чем число b. В виде каких из следующих равенств это можно записать:

  1. а + b = 10 — нельзя записать
  2. а — b = 10 — можно записать
  3. b — а = 10 — нельзя записать
  4. а — 10 = b — можно записать
  5. b + 10 = а — можно записать

Ответ: можно записать в виде равенств: а — b = 10; а — 10 = b; b + 10 = а.

5. Найдите все натуральные значения а, при которых выражение 20 : а принимает натуральные значения.

  • если а = 1, то 20 : 1 = 20 — натуральное число
  • если а = 2, то 20 : 2 = 10 — натуральное число
  • если а = 4, то 20 : 4 = 5 — натуральное число
  • если а = 5, то 20 : 5 = 4 — натуральное число
  • если а = 10, то 20 : 10 = 2 — натуральное число
  • если а = 20, то 20 : 20 = 1 — натуральное число

Ответ: при а = 1, 2, 4, 5 , 10 или 20.

6. На одну чашу весов поставили несколько гирь по 2 кг, а на другую — по 3 кг, после чего весы пришли в равновесие. Сколько поставили гирь каждого вида, если всего их поставили 10?

На одну чашу весов надо поставить 6 гирь по 2 кг, а на другую — 4 гири по 3 кг.

Для решения использовано 10 гирь.

Упражнения

267. Какое из чисел 3, 12, 14 является корнем уравнения:

1) х + 16 = 28

  • если х = 3, то 3 + 16 = 19. Так как 19 ≠ 28, то число 3 не является корнем уравнения;
  • если х = 12, то 12 + 16 = 28. Так как 28 = 28, то число 12 является корнем уравнения;
  • если х = 14, то 14 + 16 = 30. Так как 30 ≠ 28, то число 14 не является корнем уравнения.

Ответ: корнем уравнения является число 12.

2) 4х — 5 = 7

  • если х = 3, то 4 • 3 — 5 = 12 — 5 = 7. Так как 7 = 7, то число 3 является корнем уравнения;
  • если х = 12, то 4 • 12 — 5 = 48 — 5 = 43. Так как 43 ≠ 7, то число 12 не является корнем уравнения;
  • если х = 14, то 4 • 14 — 5 = 56 — 5 = 51. Так как 51 ≠ 7, то число 14 не является корнем уравнения.

Ответ: корнем уравнения является число 3.

268. Какое из чисел 3, 12, 14 является корнем уравнения:

1) 234 — y = 220

  • если y = 3, то 234 — 3 = 231. Так как 231 ≠ 220, то число 3 не является корнем уравнения;
  • если y = 12, то 234 — 12 = 222. Так как 222 ≠ 220, то число 12 не является корнем уравнения;
  • если y = 14, то 234 — 14 = 220. Так как 220 = 220, то число 14 является корнем уравнения.

Ответ: корнем уравнения является число 14.

2) 72 : b + 13 = 19

Ответ: корнем уравнения является число 12.

269. Решите уравнение:

270. Решите уравнение:

271. Решите уравнение:

272. Решите уравнение:

273. Решите с помощью уравнения задачу.

1) Оксана задумала число. Если к этому числу прибавить 43 и полученную сумму вычесть из числа 96, то получим число 25. Какое число задумала Оксана?

Пусть задуманное Оксаной число равно x. Тогда можно составить уравнение:

96 — (х + 43) = 25
х + 43 = 96 — 25
х + 43 = 71
х = 71 — 43
х = 28

Ответ: Оксана задумала число 28.

2) У Буратино было 74 сольдо. После того как он купил себе учебники для школы, папа Карло дал ему 25 сольдо. Тогда у Буратино стало 68 сольдо. Сколько сольдо потратил Буратино на учебники?

Пусть Буратино потратил на учебники х сольдо. Тогда можно составить уравнение:

(74 — х) + 25 = 68
74 — х = 68 — 25
74 — х = 43
х = 74 — 43
х = 31

Ответ: Буратино потратил на учебники х сольдо.

274. Решите с помощью уравнения задачу.

Ваня задумал число. Если к этому числу прибавить 27 и из полученной суммы вычесть 14, то получим число 36. Какое число задумал Ваня?

Пусть задуманное Ваней число равно х. Тогда можно составить уравнение:

(х + 27) — 14 = 36
х + 27 = 36 + 14
х + 27 = 50
х = 50 — 27
х = 23

Ответ: Ваня задумал число 23.

275. Какое число надо подставить вместо а, чтобы корнем уравнения:

1) (x + а) — 7 = 42 было число 22

Подставим вместо х число 22 — корень уравнения, затем найдём неизвестное а:

(22 + а) — 7 = 42
22 + а = 42 + 7
22 + а = 49
а = 49 — 22
а = 27

Ответ: вместо а надо подставить число 27.

2) (а — x) + 4 = 15 было число 3

Подставим вместо х число 3 — корень уравнения, затем найдём неизвестное а:

(а — 3) + 4 = 15
а — 3 = 15 — 4
а — 3 = 11
а = 11 + 3
а = 14

Ответ: вместо а надо подставить число 14.

276. Какое число надо подставить вместо а, чтобы корнем уравнения:

1) (х — 7) + а = 23 было число 9

Подставим вместо х число 9 — корень уравнения, затем найдём неизвестное а:

(9 — 7) + а = 23
2 + а = 23
а = 23 — 2
а = 21

Ответ: вместо а надо подставить число 21.

2) (11 + х) + 101 = а было число 5

Подставим вместо х число 5 — корень уравнения, затем найдём неизвестное а:

(11 + 5) + 101 = а
16 + 101 = а
117 = а
а = 117

Ответ: вместо а надо подставить число 117.

Упражнения для повторения

277. Лиза была в школе с 8 ч 15 мин до 15 ч 20 мин. Вечером она пошла на тренировку. Там она провела на 5 ч 40 мин меньше времени, чем в школе. Сколько времени Лиза была на тренировке?

1) 15 ч 20 мин — 8 ч 15 мин = 7 ч 5 мин — Лиза провела в школе.

2) 7 ч 5 мин — 5 ч 40 мин = 6 ч 65 мин — 5 ч 40 мин = 1ч 25 мин — Лиа провела на тренировке.

Ответ: 1 ч 25 мин.

278. Начертите отрезок длиной 12 см. Над одним концом отрезка напишите число 0, а над другим — 480. Поделите отрезок на шесть равных частей. Отметьте на полученной шкале числа 40, 100, 280, 360, 420.

279. Можно ли, имея 900 р., купить 3 кг бананов по 65 р. за 1 кг, 2 кг мандаринов по 130 р. за 1 кг и 4 кг апельсинов по 95 р. за 1 кг?

Посчитаем общую стоимость предполагаемой покупки:

1) 65 • 3 = 195 (рублей) — потребуется на покупку бананов.

2) 130 • 2 = 260 (рублей) — потребуется на покупку мандаринов.

3) 95 • 4 = 380 (рублей) — потребуется на покупку апельсинов.

4) 195 + 260 + 380 = 835 (рублей) — будет стоить весь набор продуктов.

Сравним предполагаемую стоимость покупки с имеющейся суммой денег:

Значит купить все эти продукты на 900 рублей можно.

Задача от мудрой совы

280. В трёх ящичках лежат шары: в первом ящичке — два белых, во втором — два чёрных, в третьем — белый и чёрный. На ящички наклеены этикетки ББ, ЧЧ и БЧ так, что содержимое каждого из них не соответствует этикетке. Как, вынув один шар, узнать, что в каком ящичке лежит?

Этикетки на ящиках не соответствуют их содержимому. Значит в ящике БЧ не может лежать два разноцветных шарика. Там будет либо 2 белых шарика, либо два чёрных шарика. Вытащим один шар из ящика с этикеткой БЧ:

  • если вытащен белый шар, то значит в ящике:
    • БЧ — 2 белых шара;
    • ББ — 2 чёрных шара;
    • ЧЧ — 1 белый и 1 чёрный шар.
  • если вытащен чёрный шар, то значит в ящике:
    • БЧ — 2 чёрных шара;
    • ББ — 1 белый и 1 чёрный шар;
    • ЧЧ — 2 белых шара.

Ответ: надо вытащить шар из ящика с надписью БЧ.

Урок 17 Бесплатно Уравнение

Часто приходится описывать реальную ситуацию, процесс, явление с помощью математического языка.

Математический язык- универсальный язык, с помощью него можно однозначно и кратко описать многие закономерности, процессы, задачи и т.д.

Связать реальную жизнь и математическое описание любой ситуации нам позволяет математическая модель.

Описывая реальность с помощью математического языка, люди создают математические модели, превращающие слова в формулы, неравенства, равенства, уравнения и т.п.

Математическая модель дает возможность решать огромное количество практических (природных, технических, научных, экономических, социальных и других) задач.

Математические модели делят на:

  • Словесные.
  • Графические (схемы, графики, чертежи, рисунки и т.д.).
  • Аналитические (алгебраические: числовые равенства, неравенства, уравнения, формулы и т.д.).

На данном уроке подробно рассмотрим одну из аналитических математических моделей- уравнение.

Выясним, что такое уравнение и что называют корнем уравнения.

Рассмотрим простейшие виды уравнений.

Разберем способы и приемы решения уравнений с одним неизвестным.

Рассмотрим алгоритм и примеры решения задач с помощью уравнений.

Уравнения

Часто при решении задач приходится составлять равенства.

Два выражения (числовые или буквенные), соединенные знаком равно «=», образуют равенство.

В математике различают два вида равенств: тождества и уравнения.

Тождества- это числовые равенства, а также равенства, которые выполняются при всех допустимых значениях переменных, входящих в него.

Уравнение- это равенство, содержащее неизвестные числа, обозначенные буквами, значение которых можно определить.

Неизвестное число, входящее в уравнение, называют неизвестным членом уравнения (или просто «неизвестным»).

Чаще всего в математике неизвестные величины обозначают маленькими буквами латинского алфавита x, y, z.

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Долгое время в математических выкладках не использовали буквенные обозначения и записывали выражения и уравнения словами.

В 1591 году французский ученый философ Франсуа Виет ввел буквенные обозначения. Он предложил использовать гласные буквы латинского алфавита для названия величин, а согласные для неизвестных.

Позже другой французский ученый, философ Рене Декарт предложил иную систему обозначений, связанную с латинскими буквами (которую используют по сегодняшний день).

Для неизвестных было предложено использовать последние буквы латинского алфавита (х, у, z), а для известных величин первые буквы латинского алфавита (а, b, c)

Пример 1:

4 + х = 18 является уравнением с неизвестной х.

12у – 5 = 19 является уравнением с неизвестной у.

(2 + z) – (3 – 1) = 2 является уравнением с неизвестной z.

Все три записи являются равенствами, в каждом из них есть неизвестное число, обозначенное буквой.

Пример 2:

4х – 18 не является уравнением, так как не является равенством.

24 – 5 = 19 не является уравнением, так как не содержит неизвестную.

у + 2 > 12 не является уравнением, так как не является равенством.

Решить уравнение- это значит найти неизвестное число, при котором из уравнения получается верное равенство.

Уравнение считается решенным, если все его решения найдены или доказано, что уравнение решения не имеет.

Значение неизвестного, обращающее уравнение в верное равенство, называют корнем уравнения.

Следовательно, если в уравнение вместо неизвестной подставить ее численное значение и получится верное числовое равенство, то это значение неизвестной будет решением этого уравнения.

Дано уравнение 12 – х + 3 = 10.

1) Пусть х равно 6, получаем

12 – 6 + 3 = 10

9 ≠ 10 (девять не равно десяти)

При подстановке вместо неизвестного число 6, получаем неверное числовое равенство 9 10, т.е. число 6 не является корнем уравнения.

2) Пусть х равно 5, получаем

12 – 5 + 3 = 10

10 = 10

При подстановке вместо неизвестного число 5, получаем верное числовое равенство 10 = 10, т.е. число 5 является корнем уравнения.

Уравнение может иметь разное количество корней: существуют уравнения, имеющие один единственный корень, уравнения, имеющие два, три корня.

Встречаются уравнения, вообще не имеющие верного решения, и даже такие уравнения, решением которых являются бесконечное множество решений.

7 – х = 4 уравнение имеет один корень, х = 3, любое другое значение х будет давать неверное равенство.

х = х – 15 уравнение не имеет решения, так как любое значение неизвестного х будет данное равенство обращать в неверное, не существует таких чисел, которые были бы меньше самого себя.

0 y = 0 уравнение имеет бесконечное множество верных решений, так как при умножении любого числа на 0, получается 0.

Уравнение, содержащее одну неизвестную, называют уравнением с одной неизвестной.

Уравнения с большим количеством неизвестным называют соответственно уравнением с двумя, тремя и т.д. неизвестными.

Такие уравнения и их решение будете рассматривать в старших классах.

Например, 26 – 2х = 23 – х– это уравнение с одной неизвестной х.

53 – х = 19у– это уравнение с двумя неизвестными х и у.

Любое уравнение имеет левую и правую часть.

Выражение, стоящее слева от знака равно, называют левой частью уравнения, а выражение, которое стоит справа, правой частью уравнения.

Каждый компонент, из которых состоит уравнение, называют членами этого уравнения.

Обычно все члены уравнения, содержащие неизвестное, следует группировать в левой части уравнения, а известные – в правой.

Чаще всего уравнение записывают в левой части страницы, справа делают письменные вычисления (вычислительные операции).

При решении уравнения каждое новое равенство записывается с новой строки (т.е. решение оформляется в виде столбика равенств).

Таким образом, знак равенства при решении уравнения используют только один раз в каждой строке.

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Уравнение и его корни: определения, примеры

После того, как мы изучили понятие равенств, а именно один из их видов – числовые равенства, можно перейти к еще одному важному виду – уравнениям. В рамках данного материала мы объясним, что такое уравнение и его корень, сформулируем основные определения и приведем различные примеры уравнений и нахождения их корней.

Понятие уравнения

Обычно понятие уравнения изучается в самом начале школьного курса алгебры. Тогда оно определяется так:

Уравнением называется равенство с неизвестным числом, которое нужно найти.

Принято обозначать неизвестные маленькими латинскими буквами, например, t , r , m др., но чаще всего используются x , y , z . Иными словами, уравнение определяет форма его записи, то есть равенство будет уравнением только тогда, когда будет приведен к определенному виду – в нем должна быть буква, значение которое надо найти.

Приведем несколько примеров простейших уравнений. Это могут быть равенства вида x = 5 , y = 6 и т.д., а также те, что включают в себя арифметические действия, к примеру, x + 7 = 38 , z − 4 = 2 , 8 · t = 4 , 6 : x = 3 .

После того, как изучено понятие скобок, появляется понятие уравнений со скобками. К ним относятся 7 · ( x − 1 ) = 19 , x + 6 · ( x + 6 · ( x − 8 ) ) = 3 и др. Буква, которую надо найти, может встречаться не один раз, а несколько, как, например, в уравнении x + 2 + 4 · x − 2 − x = 10 . Также неизвестные могут быть расположены не только слева, но и справа или в обеих частях одновременно, например, x · ( 8 + 1 ) − 7 = 8 , 3 − 3 = z + 3 или 8 · x − 9 = 2 · ( x + 17 ) .

Далее, после того, как ученики знакомятся с понятием целых, действительных, рациональных, натуральных чисел, а также логарифмами, корнями и степенями, появляются новые уравнения, включающие в себя все эти объекты. Примерам таких выражений мы посвятили отдельную статью.

В программе за 7 класс впервые возникает понятие переменных. Это такие буквы, которые могут принимать разные значения (подробнее см. в статье о числовых, буквенных выражениях и выражениях с переменными). Основываясь на этом понятии, мы можем дать новое определение уравнению:

Уравнение – это равенство, включающее в себя переменную, значение которой нужно вычислить.

То есть, к примеру, выражение x + 3 = 6 · x + 7 – это уравнение с переменной x , а 3 · y − 1 + y = 0 – уравнение с переменной y .

В одном уравнении может быть не одна переменная, а две и более. Их называют соответственно уравнениями с двумя, тремя переменными и др. Запишем определение:

Уравнениями с двумя (тремя, четырьмя и более) переменными называют уравнения, которые включают в себя соответствующее количество неизвестных.

К примеру, равенство вида 3 , 7 · x + 0 , 6 = 1 является уравнением с одной переменной x , а x − z = 5 – уравнением с двумя переменными x и z . Примером уравнения с тремя переменными может быть выражение x 2 + ( y − 6 ) 2 + ( z + 0 , 6 ) 2 = 26 .

Корень уравнения

Когда мы говорим об уравнении, сразу возникает необходимость определиться с понятием его корня. Попробуем объяснить, что оно означает.

Нам дано некое уравнение, включающее в себя одну переменную. Если мы подставим вместо неизвестной буквы число, то уравнение станет числовым равенством – верным или неверным. Так, если в уравнении a + 1 = 5 мы заменим букву числом 2 , то равенство станет неверным, а если 4 , то получится верное равенство 4 + 1 = 5 .

Нас больше интересуют именно те значения, с которыми переменная обратится в верное равенство. Они и называются корнями или решениями. Запишем определение.

Корнем уравнения называют такое значение переменной, которое обращает данное уравнение в верное равенство.

Корень также можно назвать решением, или наоборот – оба эти понятия означают одно и то же.

Возьмем пример для пояснения этого определения. Выше мы приводили уравнение a + 1 = 5 . Согласно определению, корнем в данном случае будет 4 , потому что при подстановке вместо буквы оно дает верное числовое равенство, а двойка не будет решением, поскольку ей отвечает неверное равенство 2 + 1 = 5 .

Сколько корней может иметь одно уравнение? Любое ли уравнение имеет корень? Ответим на эти вопросы.

Уравнения, не имеющие ни одного корня, тоже существуют. Примером может быть 0 · x = 5 . Мы можем подставить в него бесконечно много разных чисел, но ни одно из них не превратит его в верное равенство, поскольку умножение на 0 всегда дает 0 .

Также бывают уравнения, имеющие несколько корней. У них может быть как конечное, так и бесконечно большое количество корней.

Так, в уравнении x − 2 = 4 есть только один корень – шесть, в x 2 = 9 два корня ­­– три и минус три, в x · ( x − 1 ) · ( x − 2 ) = 0 три корня – нуль, один и два, в уравнении x=x корней бесконечно много.

Теперь поясним, как правильно записывать корни уравнения. Если их нет, то мы так и пишем: «уравнение корней не имеет». Можно также в этом случае указать знак пустого множества ∅ . Если корни есть, то пишем их через запятую или указываем как элементы множества, заключив в фигурные скобки. Так, если у какого-либо уравнения есть три корня – 2 , 1 и 5 , то пишем – 2 , 1 , 5 или < – 2 , 1 , 5 >.

Допускается запись корней в виде простейших равенств. Так, если неизвестная в уравнении обозначена буквой y , а корнями являются 2 и 7 , то мы пишем y = 2 и y = 7 . Иногда к буквам добавляются нижние индексы, например, x 1 = 3 , x 2 = 5 . Таким образом мы указываем на номера корней. Если решений у уравнения бесконечно много, то мы записываем ответ как числовой промежуток или используем общепринятые обозначения: множество натуральных чисел обозначается N , целых ­– Z , действительных – R . Скажем, если нам надо записать, что решением уравнения будет любое целое число, то мы пишем, что x ∈ Z , а если любое действительное от единицы до девяти, то y ∈ 1 , 9 .

Когда у уравнения два, три корня или больше, то, как правило, говорят не о корнях, а о решениях уравнения. Сформулируем определение решения уравнения с несколькими переменными.

Решение уравнения с двумя, тремя и более переменными – это два, три и более значения переменных, которые обращают данное уравнение в верное числовое равенство.

Поясним определение на примерах.

Допустим, у нас есть выражение x + y = 7 , которое представляет из себя уравнение с двумя переменными. Подставим вместо первой единицу, а вместо второй двойку. У нас получится неверное равенство, значит, эта пара значений не будет решением данного уравнения. Если же мы возьмем пару 3 и 4 , то равенство станет верным, значит, мы нашли решение.

Такие уравнения тоже могут не иметь корней или иметь бесконечное их количество. Если нам надо записать два, три, четыре и более значений, то мы пишем их через запятую в круглых скобках. То есть в примере выше ответ будет выглядеть как ( 3 , 4 ) .

На практике чаще всего приходится иметь дело с уравнениями, содержащими одну переменную. Алгоритм их решения мы подробно рассмотрим в статье, посвященной решению уравнений.

[spoiler title=”источники:”]

http://ladle.ru/education/matematika/5class/uravnenie

http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/systems/uravnenie-i-ego-korni/

[/spoiler]

Поиск значений выражений — основное математическое действие. Им сопровождается каждый пример, задача. Поэтому чтобы вам было проще работать с различными математическими выражениями, подробно разберем способы и правила их решения в данной статье. Правила представлены в порядке увеличения сложности: от простейших выражений до выражений с функциями. Для лучшего понимания каждый пункт сопровождается подробным пояснением и расписанными примерами.

Поиск значения числовых выражений

Числовые выражения представляют собой математические задачи, состоящие, преимущественно, из чисел. Они подразделяются на несколько групп в зависимости от своей сложности: простейшие, со скобками, корнями, дробями и т.д. Каждый тип выражений подразумевает свои правила нахождения значения, порядок действий. Рассмотрим каждый случай подробнее.

Простейшие числовые выражения. К простейшим числовым выражениям относятся примеры, состоящие из двух элементов:

  • Числа (целые, дробные и т.д.);
  • Знаки: «+», «—», «•» и «÷».

Чтобы найти значение выражения в данном случае, необходимо выполнить все арифметические действия (которые подразумевают конкретные знаки). В случае отсутствия скобок решение примера производится слева направо. Первыми выполняются действия деления и умножения. Вторыми — сложение и вычитание.

Пример 1. Решение числового выражения

Задача. Решить:

20 — 2 • 10 ÷ 5 — 4 = ?

Решение. Чтобы решить выражение, нам необходимо выполнить все арифметические действия в соответствии с установленными правилами. Поиск значения начинается с решения деления и умножения. В первую очередь находим произведение цифр 2 и 10 (если рассматривать с левой стороны, данное действие является первым по значимости). Получаем 20. Теперь это число делим на 5. Итог — 4. Когда известно значение основных действий, можем подставить его в наш пример:

20 — 4 — 4 = ?

Упрощенный пример также решаем слева направо: 20 — 4 = 16. Второе действие: 16 — 4 = 12. Ответ 12.

Решение без пояснений. 20 — 2 • 10 ÷ 5 — 4 = 20 — (2 • 10 ÷ 5) — 4 = 20 — 4 — 4 = 12.

Ответ. 12

Пример 2. Решение числового выражения

Задача. Решить:

0,2 — 5 • (— 4) + 1/2 • 5 • 4 = ?

Решение. Начинаем решение с умножения и деления. Умножая 5 на (— 4) получаем (— 20), т.к. производное сохраняет знак множителя. Далее умножаем 1/2 на 5. Для этого преобразуем дробь: 1/2 = 5/10 = 0,5. 0,5 умножаем на 5. Ответ — 2,5. Далее умножаем полученное число на 4. 2,5 • 4 = 10. Получаем следующее выражение:

0,2 — (— 20) + 10

Теперь нам остается решить сложение и вычитание. В первую очередь раскрываем скобку и получаем:

0,2 + 20 + 10 = 30,2

Решение без пояснений. 0,2 — 5 • (— 4) + 1/2 • 5 • 4 = 0,2 — (— 20) + 10 = 0,2 + 20 + 10 = 30,2

Ответ. 30,2

Находим значение выражения со скобками

Скобки определяют порядок действий при решении примера. Выражения, находящиеся внутри скобок «()» имеют первостепенную значимость, независимо от того, какое математическое действие в них выполняется.

Пример 3. Значение числового выражения со скобками

Задача. Решить:

5 + (7 — 2 • 3) • (6 — 4) ÷ 2 = ?

Решение. Начинаем нахождение значения выражения с решения скобок. Порядок действий определяется слева направо. При этом не забываем, что после раскрытия скобок в первую очередь решаем умножение и деление и лишь потом — вычитание и сложение:

  • 7 — 2 • 3 = 7 — 6 = 1
  • 6 — 4 = 2

Когда скобки решены, подставляем полученные значения в наш пример:

5 + 1 • 2 ÷ 2

Снова решаем все по порядку, не забывая о том, что деление и умножение выполняется в первую очередь:

  • 1 • 2 = 2
  • 2 ÷ 2 = 1

Упрощенное выражение выглядит следующим образом:

5 + 1 = 6

Решение без пояснений. 5 + (7 — 2 • 3) • (6 — 4) ÷ 2 = 5 + (7 — 6) • 2 ÷ 2 = 5+ 1 • 2 ÷ 2 = 5 + 1 = 6

Ответ. 6

Значение числового выражения со скобками

Задача. Решить:

4 + (3 + 1 + 4 • (2+3)) = ?

Решение. Подобные примеры решаются поэтапно. Помним, что поиск выражения со скобками начинается с решения скобок. Поэтому в первую очередь решаем:

3 + 1 + 4 • (2+3)

В уже упрощенном примере снова встречаются скобки. Их будем решать в первую очередь:

2 + 3 = 5

Теперь можем подставить определенное значение в общую скобку:

3 + 1 + 4 • 5

Начинаем решение с умножения и далее слева направо:

  • 4 • 5 = 20
  • 3 + 1 = 4
  • 4 + 20 = 24

Далее подставляем полученный ответ вместо большой скобки и получаем:

4 + 24 = 28

Решение без пояснений. 4 + (3 + 1 + 4 • (2+3)) = 4 + (3 + 1 + 4 • 5) = 4 + (3 + 1 + 20) = 4 + 24 = 28

Ответ. 28

Важно: Чтобы правильно определить значение числового выражения с множественными скобками, необходимо выполнять все действия постепенно. Скобки читаются слева направо. Приоритет в решении внутри скобок остается за делением и умножением.

Поиск значения выражения с корнями

Часто алгебраические задания основываются на нахождении значений из-под корня. И если определить √4 несложно (напомним, это будет 2), то с примерами, которые полностью расположены под корнем, возникает ряд вопросов. На самом деле в таких заданиях нет ничего сложного. В данном случае порядок действий следующий:

  • Решаем все выражение, которое находится под корнем (не забываем о правильной последовательности: сперва скобки, деление и умножение, а лишь потом — сложение и вычитание);
  • Извлекаем корень из числа, которое получили в результате решения обычного примера.

Если же и под корнем имеется корень (например: √ 4 + 8 — √4), то начинаем решение примера с его извлечения (в нашем примере это будет: √ 4 + 8 — 2). Если подкоренные числа возведены во вторую степень, то их квадратный корень будет равняться модулю подкоренного выражения.

Значение числового выражения с корнями

Задача. Решить:

√ 2² • 2² • 3² = ?

Решение. Все действия под корнем одинаковы — умножение. Это дает нам право разделить выражение на множители. Получаем:

√2² • √2² • √3² = ?

Т.к. под квадратным корнем у нас числа, возведенные во вторую степень, получаем:

2 • 2 • 3 = 12

Решение без пояснений. √ 2² • 2² • 3² = √2² • √2² • √3² = 2 • 2 • 3 = 12

Ответ. 12

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Находим значение числовых выражений со степенями

Следующий математический знак, который имеет приоритет в процессе решения, — степени. Они представляют собой результат многократного умножения числа на себя. Само число является основанием степени. А количество операций умножения — ее показателем. Причем выражен он может быть не только целым числом, но и дробью, полноценным числовым выражением.

Начинается решение выражения со степенями с вычисления самих степеней. Если они представляют собой полноценное выражение (например: [3^{3 cdot 4-10}]), то его необходимо решить в нашем примере это будет: [3^{12-10}=3^{2}=9].

Задача. Решите:

[ 3^{1 / 3} cdot 7^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3}=? ]

Решение. Чтобы решить это выражение со степенями, воспользуемся равенством:

[(a cdot b)^{r}=a^{r} cdot b^{r}]

Рассматривая пример слева направо, видим, что у первых двух множителей одинаковые степени. Это позволяет нам упростить выражение:

[ (3 cdot 7)^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3}=21^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3} ]

Зная, что при умножении степени с одинаковыми показателями складываются, получаем следующее выражение:

[ 21^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3}=21^{1 / 3+2 / 3}=21^{1}=21 ]

Решение без пояснений: [3^{1 / 3} cdot 7^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3}=(3 cdot 7)^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3}=21^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3}=21^{1 / 3+2 / 3}=21^{1}=21]

Ответ. 21

Интересно: Этот же пример можно решить и другим способом, преобразовав число 21 в степени ⅔ в два множителя. В данном случае решение будет выглядеть следующим образом:

[3^{1 / 3} cdot 7^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3}=3^{1 / 3} cdot 7^{1 / 3} cdot(3 cdot 7)^{2 / 3}=3^{1 / 3} cdot 7^{1 / 3} cdot 3^{2 / 3} cdot 7^{2 / 3}=3^{1 / 3+2 / 3} cdot 7^{1 / 3+2 / 3}=3^{1}+7^{1}=21]

Ответ. 21

Задача. Решить:

[ 2^{-2 sqrt{5}} cdot 4^{sqrt{5}-1}+left((sqrt{3})^{1 / 3}right)^{6} ]

Решение. В данном случает получить точные числовые значения показателей степеней не удастся. Поэтому искать значение выражения с дробями в виде степени будем снова через упрощение:

Пример решения задач 1

Ответ. 3,25

Выражения с дробями

Поиск значения выражения дробей начинается с их приведения к общему виду. В большинстве случаев проще представить все значения в виде обыкновенной дроби с числителем и знаменателем. После преобразования всех чисел необходимо привести все дроби к общему знаменателю.

Важно: Прежде чем найти выражение дробей, необходимо провести вычисления в их знаменателе и числителе отдельно. В данном случае действуют стандартные правила решения.

Когда дроби приведены к единому знаменателю можно переходить к решению. Вычисление значений верхней строки (числителя) и нижней (знаменателя) производятся параллельно.

Задача. Решить:

[ 6 frac{2}{13}+4 frac{1}{13}=? ]

Решение. Действуя по главному правилу, прежде чем найти значение числового выражения, преобразуем всего его части в простую дробь. Получаем:

[ frac{6 cdot 13+2}{13}+frac{4 cdot 13+1}{13} ]

Теперь выполняем вычисления в знаменателе и числителе и находим ответ:

[ frac{6 cdot 13+2}{13}+frac{4 cdot 13+1}{13}=frac{80}{13}+frac{53}{13}=frac{133}{13}=10 frac{3}{13} ]

Ответ. [10 frac{3}{13}]

Примеры(2):

Пример решения задач 2

Задача. Решить:

[ frac{2}{sqrt{5}-1}-frac{2 sqrt{5}-7}{4}-3=? ]

Решение. В данном примере мы не можем извлечь корень из пятерки. Но мы можем воспользоваться формулой разложения корней:

[ frac{2}{sqrt{5}-1}=frac{2(sqrt{5}+1)}{(sqrt{5}-1)(sqrt{5}+1)}=frac{2(sqrt{5}+1)}{5-1}=frac{2 sqrt{5}+2}{4} ]

Теперь можем придать нашему первоначальному выражению следующий вид:

[ frac{2 sqrt{5}+2}{4} frac{2 sqrt{5}-7}{4}-3=frac{2 sqrt{5}+2-2 sqrt{5}+7}{4}-3=frac{9}{4} 3=-frac{3}{4} ]

Ответ. [-frac{3}{4}].

Выражения с логарифмами

Как и степени, логарифмы (log), имеющиеся в выражении, вычисляются (если это возможно) в первую очередь. К примеру, зная, что [log _{2} 4=2] мы можем сразу упростить выражение  [log _{2} 4+5 cdot 6] до простого и понятного 2 + 5*6 = 32.

Со степенями логарифмы объединяет и порядок выполнения действий. Прежде чем искать значение выражения логарифмов, необходимо вычислить его основание (если оно представлено математическим выражением).

В случаях, когда полное вычисление логарифма невозможно, производится упрощение примера.

Задача. Решить:

[log _{27} 81+log _{27} 9=?]

Решение. Чтобы найти логарифм выражения, воспользуемся свойствами логарифмов и представим значение логарифмов со степенями:

Пример решения задач 3