Как найти корни когда дискриминант равен нулю

Если дискриминант равен ноль, то уравнение имеет два одинаковых корня, котрые находятся так же как и при положительном дискриминанте.

Но можно левую часть уравнения разложить на множители.

Х^2 + 4х+ 4=0;

(Х +2)(Х +2)=0

Х +2=0 и Х +2=0 , значит оба корня х=-2.

При нулевом дискриминанте корень квадратного уравнения можно находить двумя способами.

1) По формуле x=-b/2a.

2) Разложением левой части уравнения на множители при помощи формулы сокращённого умножения. Множители приравниваются к нулю, решается линейное уравнение, находится корень.

Пример 1. (Х^2 – икс во второй степени) Х^2 – 6х+ 9=0; Дискриминант равен ноль. Применить формулу x=-b/2a и можно получить: х=-(-6)/2*1=3. Корень уравнения равен 3.

Пример 2. По формуле сокращённого умножения левая часть принимает вид (х-3)(х-з) (Я заменила (х-3) во второй степени разложением на два множителя). Приравнять левую часть к нулю (х-3)(х-з)=0; каждый множитель приравнять к нулю х-3=0 или х-3=0. В первом и втором случае получится одно и то же число 3.

Ответ 3.

система выбрала этот ответ лучшим

Эл Лепсоид
[139K]

4 года назад

Не знаю, как сейчас учат в школе, но в наше время считалось, что при нахождении корней квадратного уравнения для начала рекомендовалось найти дискриминант этого уравнения и по его значению сразу определить, имеет ли уравнение корни, а если имеет, то сколько их – один или два. Сам дискриминант вычисляется по всем известной формуле (как, кстати, и корни уравнения):

Если дискриминант получался отрицательным, то считается, что корней уравнение не имеет. Если положительный – можно найти два корня (см. картинку). А вот в случае, когда дискриминант равен нулю, оба корня (Х1 и Х2) становятся равны друг другу, т.к. X = Х1 = Х2 = (-b)/(2a).

88SkyWalker88
[428K]

4 года назад

Дискриминант может быть больше или меньше нуля или равняться нулю.

Как видно из информации, представленной ниже, если дискриминант будет больше нуля, то уравнение будет иметь два корня.

Если дискриминант равен нулю, то уравнение будет иметь один корень.

Если дискриминант меньше нуля, то уравнение корней не имеет.

Найти корень (если дискриминант равен нулю) можно по формуле, представленной в пункте 2.

Galina7v7
[120K]

7 лет назад

Рассматривая квадратное уравнение:

x^2 + px + q =0,

решение : x1= -p /2 + V(D),

а x2= -p /2 – V(D),

где D дискриминант ,а V (D)-корень из дискриминанта.Значит ,если дискриминант D =0,то и корень из дискриминанта V(D)=0 ,тогда получим равные корни :

` х1=х2=-p/2.

Для уравнения в общем виде:

ax^2+bx+c=0,

x1=x2=-b/2a.

FantomeRU
[13.3K]

5 лет назад

Корни квадратного уравнения типа ax²+bx+c=0 (где a,b и c – коэффициенты) находятся в зависимости от результата дискриминанта. Если дискриминант получается равен нулю, то квадратное уравнение имеет только один корень и он вычисляется по следующей формуле: X=-b/2a.

helpau
[3.4K]

3 года назад

Всё проще, чем даже с положительным дискриминантом. x=-(B(+/-)0)/(2A)=-B/(2A). В этом случае принято говорить, что существуют 2 одинаковых корня, а парабола пересекает ось X только в одной точке(кстати,x=-B/(2A)-центр параболы для любых значений C).

Просто, по формуле корней. Квадратный корень нуля равен нулю. Вот и подставляете в формулу нуль вместо дискриминанта.

Если дискриминант равен нулю, то у квадратного уравнения есть один корень, или говоря по другому, два корня равны между собой.

Kuzmich291192
[7K]

9 лет назад

Пусть дано квадратное уравнение вида ax^2+bx+c=0, при чём a не равно 0.

Если дискриминант данного уравнения равен нулю, то уравнение имеет один корень, который равен:

x=-b/2a.

moreljuba
[62.5K]

6 лет назад

Если дискриминант равняется нулю в уравнении, то его корень можно найти вот по этой формуле:

В случае равенства дискриминанта нулю в конкретном уравнении вы сможете рассчитать всего один единственный корень.

dmitr20
[15.3K]

3 года назад

В том случае, если дискриминант равен нулю, то должен получиться всего один корень.

Корень дискриминанта при этом можно найти, используя следующую формулу:

Формулу лучше запомнить, пригодится на экзаменах.

Знаете ответ?

Источник

Надеюсь, изучив данную статью, вы научитесь находить корни полного квадратного уравнения.

С помощью дискриминанта решаются только полные квадратные уравнения, для решения неполных квадратных уравнений используют другие методы, которые вы найдете в статье “Решение неполных квадратных уравнений”.

Какие же квадратные уравнения называются полными? Это уравнения вида ах² + b x + c = 0, где коэффициенты a, b и с не равны нулю. Итак, чтобы решить полное квадратное уравнение, надо вычислить дискриминант D.

D = b² – 4ас .

В зависимости от того какое значение имеет дискриминант, мы и запишем ответ.

Если дискриминант отрицательное число (D < 0),то корней нет.

Если же дискриминант равен нулю, то х = (-b)/2a. Когда дискриминант положительное число (D > 0),

тогда х₁ = (-b – √D)/2a , и х₂ = (-b + √D)/2a .

Например. Решить уравнение х² – 4х + 4= 0.

D = 4² – 4 · 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Ответ: 2.

Решить уравнение 2х² + х + 3 = 0.

D = 1² – 4 · 2 · 3 = – 23

Ответ: корней нет.

Решить уравнение 2х² + 5х – 7 = 0.

D = 5² – 4 · 2 · (–7) = 81

х₁ = (-5 – √81)/(2·2)= (-5 – 9)/4= – 3,5

х₂ = (-5 + √81)/(2·2) = (-5 + 9)/4=1

Ответ: – 3,5 ; 1.

Итак представим решение полных квадратных уравнений схемой на рисунке1.

По этим формулам можно решать любое полное квадратное уравнение. Нужно только внимательно следить за тем, чтобы уравнение было записано многочленом стандартного вида

ах² + bx + c, иначе можно допустить ошибку. Например, в записи уравнения х + 3 + 2х² = 0, ошибочно можно решить, что

а = 1, b = 3 и с = 2. Тогда

D = 3² – 4 · 1 · 2 = 1 и тогда уравнение имеет два корня. А это неверно. (Смотри решение примера 2 выше).

Поэтому, если уравнение записано не многочленом стандартного вида, вначале полное квадратное уравнение надо записать многочленом стандартного вида (на первом месте должен стоять одночлен с наибольшим показателем степени, то есть ах², затем с меньшим – bx, а затем свободный член с.

При решении приведенного квадратного уравнения и квадратного уравнения с четным коэффициентом при втором слагаемом можно использовать и другие формулы. Давайте познакомимся и с этими формулами. Если в полном квадратном уравнении при втором слагаемом коэффициент будет четным (b = 2k), то можно решать уравнение по формулам приведенным на схеме рисунка 2.

Полное квадратное уравнение называется приведенным, если коэффициент при х² равен единице и уравнение примет вид х² + px + q = 0. Такое уравнение может быть дано для решения, либо получается делением всех коэффициентов уравнение на коэффициент а, стоящий при х².

На рисунке 3 приведена схема решения приведенных квадратных уравнений. Рассмотрим на примере применение рассмотренных в данной статье формул.

Пример. Решить уравнение

3х² + 6х – 6 = 0.

Давайте решим это уравнение применяя формулы приведенные на схеме рисунка 1.

D = 6² – 4 · 3 · (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 · 3) = 6√3

х₁ = (-6 – 6√3 )/(2 · 3) = (6 ( -1- √(3)))/6 = –1 – √3

х₂ = (-6 + 6√3 )/(2 · 3) = (6 ( -1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Ответ: –1 – √3; –1 + √3

Можно заметить, что коэффициент при х в этом уравнении четное число, то есть b = 6 или b = 2k , откуда k = 3. Тогда попробуем решить уравнение по формулам , приведенным на схеме рисунка D₁= 3² – 3 · (– 6) = 9 + 18 = 27

√(D₁) = √27 = √(9 · 3) = 3√3

х₁= (-3 – 3√3)/3 = (3 (-1 – √(3)))/3 = – 1 – √3

х₂ = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Ответ: –1 – √3; –1 + √3. Заметив, что все коэффициенты в этом квадратном уравнении делятся на 3 и выполнив деление, получим приведенное квадратное уравнение x² + 2х – 2 = 0 Решим это уравнение, используя формулы для приведенного квадратного уравнения рисунок 3.

D₂ = 2² – 4 · (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D₂) = √12 = √(4 · 3) = 2√3

х₁= (-2 – 2√3)/2 = (2 (-1 – √(3)))/2 = – 1 – √3

х₂= (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Ответ: –1 – √3; –1 + √3.

Как видим, при решении этого уравнения по различным формулам мы получили один и тот же ответ. Поэтому хорошо усвоив формулы приведенные на схеме рисунка 1 , вы всегда сможете решить любое полное квадратное уравнение.

Источник

Как решить квадратное уравнение

Квадратное уравнение – алгебраическое уравнение, общего вида.

Где – неизвестное.

a,b,c – коэффициенты, где a ne 0 .

Для решения квадратного уравнения общего вида, необходимо найти корни $x_{1,2}$ .

Дискриминант

Для того чтобы найти дискриминант, воспользуемся формулой .

D > 0

При условии, что дискриминант больше нуля, корня 2, вычисляются они по формуле:

$x_{1,2}=frac{-b pm sqrt{D}}{2a}$

D = 0

Если дискриминант равен нулю, корень один, вычисляется по формуле:

$x_1=x_2=- frac{b}{2a}$

D < 0

Если дискриминант меньше нуля, делается вывод, что корней нет.

Пример 1

Например у нас следующие параметры:

a = 4;

b = 9;

c = 2.

Уравнение выглядит следующим образом:

Дискриминант больше нуля

Находим дискриминант по формуле:

– дискриминант больше нуля, ищем по первому варианту.

Находим x1

$x_1 = frac{-b + sqrt{D}}{2a} = frac{-9 + sqrt{49}}{2 times 4} = -0.25$

Находим x2

$x_2 = frac{-b — sqrt{D}}{2a} = frac{-9 — sqrt{49}}{2 times 4} = -2$

Пример 2

Уравнение со следующими параметрами:

a = 3;

b = 6;

c = 3.

Уравнение выглядит следующим образом:

Дискриминант равен 0

Находим по формуле:

– дискриминант равен нулю, ищем по второму варианту.

Находим X

$x_1 = x_2 = — frac{b}{2a} = — frac{6}{2 times 3} = -1$

Дискриминант меньше нуля

Если дискриминант меньше нуля, то искомые корни являются комплексными.

нет оценок

Категории

НаукаМатематикаАлгебра

Решение квадратных уравнений

6 июля 2011

Квадратные уравнения изучают в 8 классе, поэтому ничего сложного здесь нет. Умение решать их совершенно необходимо.

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0.

Прежде, чем изучать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:

Не имеют корней;
Имеют ровно один корень;
Имеют два различных корня.

В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого существует замечательная вещь — дискриминант.

Дискриминант

Пусть дано квадратное уравнение ax² + bx + c = 0. Тогда дискриминант — это просто число D = b² − 4ac.

Эту формулу надо знать наизусть. Откуда она берется — сейчас неважно. Важно другое: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. А именно:

Если D < 0, корней нет;
Если D = 0, есть ровно один корень;
Если D > 0, корней будет два.

Обратите внимание: дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки, как почему-то многие считают. Взгляните на примеры — и сами все поймете:

Задача. Сколько корней имеют квадратные уравнения:

x² − 8x + 12 = 0;

5x² + 3x + 7 = 0;

x² − 6x + 9 = 0.

Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8)² − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16

Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня. Аналогично разбираем второе уравнение:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3² − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.

Дискриминант отрицательный, корней нет. Осталось последнее уравнение:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6)² − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.

Дискриминант равен нулю — корень будет один.

Обратите внимание, что для каждого уравнения были выписаны коэффициенты. Да, это долго, да, это нудно — зато вы не перепутаете коэффициенты и не допустите глупых ошибок. Выбирайте сами: скорость или качество.

Кстати, если «набить руку», через некоторое время уже не потребуется выписывать все коэффициенты. Такие операции вы будете выполнять в голове. Большинство людей начинают делать так где-то после 50-70 решенных уравнений — в общем, не так и много.

Корни квадратного уравнения

Теперь перейдем, собственно, к решению. Если дискриминант D > 0, корни можно найти по формулам:

Основная формула корней квадратного уравнения

Когда D = 0, можно использовать любую из этих формул — получится одно и то же число, которое и будет ответом. Наконец, если D < 0, корней нет — ничего считать не надо.

Задача. Решить квадратные уравнения:

x² − 2x − 3 = 0;

15 − 2x − x² = 0;

x² + 12x + 36 = 0.

Первое уравнение:
x² − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2)² − 4 · 1 · (−3) = 16.

D > 0 ⇒ уравнение имеет два корня. Найдем их:

Второе уравнение:
15 − 2x − x² = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2)² − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ уравнение снова имеет два корня. Найдем их

[begin{align} & {{x}_{1}}=frac{2+sqrt{64}}{2cdot left( -1 right)}=-5; \ & {{x}_{2}}=frac{2-sqrt{64}}{2cdot left( -1 right)}=3. \ end{align}]

Наконец, третье уравнение:
x² + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12² − 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0 ⇒ уравнение имеет один корень. Можно использовать любую формулу. Например, первую:

[x=frac{-12+sqrt{0}}{2cdot 1}=-6]

Как видно из примеров, все очень просто. Если знать формулы и уметь считать, проблем не будет. Чаще всего ошибки возникают при подстановке в формулу отрицательных коэффициентов. Здесь опять же поможет прием, описанный выше: смотрите на формулу буквально, расписывайте каждый шаг — и очень скоро избавитесь от ошибок.

Неполные квадратные уравнения

Бывает, что квадратное уравнение несколько отличается от того, что дано в определении. Например:

x² + 9x = 0;
x² − 16 = 0.

Несложно заметить, что в этих уравнениях отсутствует одно из слагаемых. Такие квадратные уравнения решаются даже легче, чем стандартные: в них даже не потребуется считать дискриминант. Итак, введем новое понятие:

Уравнение ax² + bx + c = 0 называется неполным квадратным уравнением, если b = 0 или c = 0, т.е. коэффициент при переменной x или свободный элемент равен нулю.

Разумеется, возможен совсем тяжелый случай, когда оба этих коэффициента равны нулю: b = c = 0. В этом случае уравнение принимает вид ax² = 0. Очевидно, такое уравнение имеет единственный корень: x = 0.

Рассмотрим остальные случаи. Пусть b = 0, тогда получим неполное квадратное уравнение вида ax² + c = 0. Немного преобразуем его:

Решение неполного квадратного уравнения

Поскольку арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа, последнее равенство имеет смысл исключительно при (−c/a) ≥ 0. Вывод:

Если в неполном квадратном уравнении вида ax² + c = 0 выполнено неравенство (−c/a) ≥ 0, корней будет два. Формула дана выше;
Если же (−c/a) < 0, корней нет.

Как видите, дискриминант не потребовался — в неполных квадратных уравнениях вообще нет сложных вычислений. На самом деле даже необязательно помнить неравенство (−c/a) ≥ 0. Достаточно выразить величину x² и посмотреть, что стоит с другой стороны от знака равенства. Если там положительное число — корней будет два. Если отрицательное — корней не будет вообще.

Теперь разберемся с уравнениями вида ax² + bx = 0, в которых свободный элемент равен нулю. Тут все просто: корней всегда будет два. Достаточно разложить многочлен на множители:

Вынесение общего множителя за скобку

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находятся корни. В заключение разберем несколько таких уравнений:

Задача. Решить квадратные уравнения:

x² − 7x = 0;

5x² + 30 = 0;

4x² − 9 = 0.

x² − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x₁ = 0; x₂ = −(−7)/1 = 7.

5x² + 30 = 0 ⇒ 5x² = −30 ⇒ x² = −6. Корней нет, т.к. квадрат не может быть равен отрицательному числу.

4x² − 9 = 0 ⇒ 4x² = 9 ⇒ x² = 9/4 ⇒ x₁ = 3/2 = 1,5; x₂ = −1,5.

Смотрите также:

Теорема Виета
Следствия из теоремы Виета
Тест на тему «Значащая часть числа»
Метод коэффициентов, часть 1
Однородные тригонометрические уравнения: общая схема решения
Задача B4: строительные бригады

Источник

Похоже, вы используете блокировщик рекламы. Наш сайт существует и развивается
только за счет дохода от рекламы.

Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.

на главную

Дискриминант
квадратного уравнения

Поддержать сайт

Мы уже разобрали,
как решать квадратные уравнения.
Теперь давайте более подробно рассмотрим, что называют
дискриминантом квадратного уравнения.

Вернемся к нашей формуле для нахожденя корней квадратного уравнения.

Запомните!

Выражение «b² − 4ac», которое находится под корнем,
принято называть дискриминантом и обозначать буквой «D».

По-другому, через дискриминант формулу нахождения корней квадратного уравнения можно записать так:

x_1;2 = , где «D = b² − 4ac»

По одной из версий термин «Дискриминант» произошел от латинского discriminantis, что означает «отличающий» или «различающий».

В зависимости от знака «D» (дискриминанта)
квадратное уравнение может иметь два, один или ни одного корня. Рассмотрим все три случая.

I случай
D > 0
(дискриминант больше нуля)

2x² + 5x −7 = 0

D = b² − 4ac
D = 5² − 4 · 2 · (−7)
D = 25 + 56
D = 81
D > 0

x_1;2 =

x₁ =	x₂ =
x₁ =	x₂ =
x₁ = 1	x₂ = −3
x₁ = 1	x₂ = −3

Ответ: x₁ = 1;
x₂ = −3

Вывод: когда «D > 0» в квадратном уравнении два корня.

II случай
D = 0
(дискриминант равен нулю)

16x² − 8x + 1 = 0

D = b² − 4ac
D = (−8)² − 4 · 16 · 1
D = 64 − 64

D = 0

x_1;2 =

x =

Ответ: x =

Вывод: когда «D = 0» в квадратном уравнении один корень.

III случай
D < 0
(дискриминант меньше нуля)

9x² − 6x + 2 = 0

D = b² − 4ac
D = (−6)² − 4 · 9 · 2
D = 36 − 72
D = −36
D < 0

x_1;2 =

x_1;2 =

Ответ: нет действительных корней

Вывод: когда «D < 0» в квадратном уравнении нет корней.

Ваши комментарии

Важно!

Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи

«ВКонтакте».

Оставить комментарий:

Источник

x^2 + px + q =0,

решение : x1= -p /2 + V(D),

а x2= -p /2 – V(D),

` х1=х2=-p/2.

ax^2+bx+c=0,

x1=x2=-b/2a.

Как решить квадратное уравнение