Как найти корни квадратичной функции - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Эта статья — о числовой функции одной переменной. О функции второй степени с несколькими переменными см. Квадратичная форма; о геометрическом месте точек см. Парабола.

График функции ${displaystyle f(x)=x^{2}-x-2}$

Квадратичная функция — целая рациональная функция второй степени вида ${displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$ , где a neq 0 и . Уравнение квадратичной функции содержит квадратный трёхчлен. Графиком квадратичной функции является парабола. Многие свойства графика квадратичной функции так или иначе связаны с вершиной параболы, которая во многом определяет положение и внешний вид графика.

Обзор основных свойств[править | править код]

Многие свойства квадратичной функции ${displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$ зависят от значения коэффициента . В следующей таблице приводится обзор основных свойств квадратичной функции^[1]. Их доказательство рассматривается в статье в соответствующих разделах.

Свойство
Область определения функции
Множество значений функции	${displaystyle E(f)=left[-{frac {b^{2}-4ac}{4a}};+infty right)}$	${displaystyle E(f)=left(-infty ;-{frac {b^{2}-4ac}{4a}}right]}$
Чётность функции	Чётная функция при ; ни чётная, ни нечётная при
Периодичность функции	Непериодическая функция
Непрерывность функции	Всюду непрерывная функция, точек разрыва нет
Нули функции	${displaystyle x_{1,2}={frac {-bpm {sqrt {D}}}{2a}}}$ , если ${displaystyle D=b^{2}-4acgeq 0}$ нет действительных нулей, если ${displaystyle D=b^{2}-4ac<0}$
Предел функции при	при	при
Дифференцируемость функции	Всюду многократно дифференцируема:
Точки экстремума (абсолютный экстремум)	${displaystyle x_{min}={frac {-b}{2a}}}$ (минимум)	${displaystyle x_{max}={frac {-b}{2a}}}$ (максимум)
Интервалы строгой монотонности	убывает на ${displaystyle left(-infty ;-{frac {b}{2a}}right]}$ возрастает на ${displaystyle left[-{frac {b}{2a}};+infty right)}$	возрастает на ${displaystyle left(-infty ;-{frac {b}{2a}}right]}$ убывает на ${displaystyle left[-{frac {b}{2a}};+infty right)}$
Выпуклость функции	Всюду выпуклая вниз функция	Всюду выпуклая вверх функция
Точки перегиба	Точки перегиба отсутствуют
Ограниченность функции	Ограничена снизу	Ограничена сверху
Наибольшее значение функции	Отсутствует (неограничена сверху)	${displaystyle y_{max}=-{frac {b^{2}-4ac}{4a}}}$
Наименьшее значение функции	${displaystyle y_{min}=-{frac {b^{2}-4ac}{4a}}}$	Отсутствует (неограничена снизу)
Положительные значения функции	${displaystyle (-infty ;x_{1})cup (x_{2};+infty )}$	${displaystyle (x_{1};x_{2})}$
Отрицательные значения функции	${displaystyle (x_{1};x_{2})}$	${displaystyle (-infty ;x_{1})cup (x_{2};+infty )}$

Влияние коэффициентов на трансформацию графика[править | править код]

Стандартная запись уравнения квадратичной функции[править | править код]

Влияние коэффициентов , и на параболу

Действительные числа , и в общей записи квадратичной функции называются её коэффициентами. При этом коэффициент принято называть старшим, а коэффициент — свободным. Изменение каждого из коэффициентов приводит к определённым трансформациям параболы.

По значению коэффициента можно судить о том, в какую сторону направлены её ветви (вверх или вниз) и оценить степень её растяжения или сжатия относительно оси ординат:

Если , то ветви параболы направлены вверх, то есть её вершина расположена снизу.
Если , то ветви параболы направлены вниз, то есть её вершина расположена сверху.
Если , то парабола сжата по оси ординат, то есть кажется более широкой и плоской.
Если , то парабола растянута по оси ординат, то есть кажется более узкой и крутой.

Влияние значения коэффициента наиболее просто позволяет проиллюстрировать квадратичная функция вида ${displaystyle f(x)=ax^{2}}$ , то есть в случае b=0 и c=0 . В случае a=0 квадратичная функция превращается в линейную.

Изменение коэффициента повлечёт за собой сдвиг параболы как относительно оси абсцисс, так и относительно оси ординат. При увеличении значения на 1 произойдёт сдвиг параболы на влево и одновременно на вниз. При уменьшении на 1 произойдёт сдвиг параболы на вправо и одновременно на вверх. Такие трансформации объясняются тем, что коэффициент характеризует угловой коэффициент касательной к параболе в точке пересечения с осью ординат (то есть при x=0 ).

Коэффициент характеризует параллельный перенос параболы относительно оси ординат (то есть вверх или вниз). При увеличении значения этого коэффициента на 1, парабола переместится на 1 вверх. Соответственно, если уменьшить коэффициент на 1, то и парабола сместится на 1 вниз. Так как коэффициент также влияет на положение вершины параболы, то по одному лишь значению коэффициента нельзя судить о том, расположена ли вершина выше оси абсцисс или ниже неё.

Запись квадратичной функции через координаты вершины параболы[править | править код]

Любая квадратичная функция ${displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$ может быть получена с помощью растяжения/сжатия и параллельного переноса простейшей квадратичной функции $f(x)=x^{2}$ . Так, график функции вида ${displaystyle f(x)=a(x-x_{0})^{2}+y_{0}}$ получается путём сжатия (при a<0 ) или растяжения (при a>0 ) графика функции $f(x)=x^{2}$ в раз с последующем его параллельным переносом на $x_{0}$ единиц вправо и y_0 единиц вверх (если эти значения являются отрицательными числами тогда, соответственно, влево и вниз). Очевидно, что при проделанной трансформации вершина параболы функции $f(x)=x^{2}$ переместится из точки (0;0) в точку $(x_{0};y_{0})$ . Этот факт даёт ещё один способ вычисления координат вершины параболы произвольной квадратичной функции путём приведения её уравнения к виду ${displaystyle f(x)=a(x-x_{0})^{2}+y_{0}}$ , позволяющему сразу увидеть координаты вершины параболы — $(x_{0};y_{0})$ .

Влияние коэффициентов в записи вида ${displaystyle f(x)=a(x-x_{0})^{2}+y_{0}}$ на параболу

Преобразовать произвольную квадратичную функцию вида ${displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$ к форме ${displaystyle f(x)=a(x-x_{0})^{2}+y_{0}}$ позволяет метод выделения полного квадрата, использующий формулы сокращённого умножения биномов:

${displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$

${displaystyle =acdot left(x^{2}+{frac {b}{a}}cdot xright)+c}$

${displaystyle =acdot left(x^{2}+{frac {b}{a}}cdot x+{frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{frac {b^{2}}{4a^{2}}}right)+c}$

${displaystyle =acdot left(x^{2}+2cdot xcdot {frac {b}{2a}}+{frac {b^{2}}{4a^{2}}}right)-{frac {b^{2}}{4a}}+c}$

${displaystyle =acdot left(x+{frac {b}{2a}}right)^{2}+{frac {-b^{2}}{4a}}+{frac {4ac}{4a}}}$

${displaystyle =acdot left(x-{frac {-b}{2a}}right)^{2}+{frac {-b^{2}+4ac}{4a}}}$

${displaystyle =acdot left(x-x_{0}right)^{2}+y_{0}}$

, где ${displaystyle x_{0}={frac {-b}{2a}}}$

и ${displaystyle y_{0}={frac {-b^{2}+4ac}{4a}}}$

Сравнивая значения для $x_{0}$ и y_0 , вычисленные дифференциальным методом (см. соответствующий раздел статьи), можно также убедиться, что они являются координатами вершины параболы. В конкретных случаях вовсе не требуется запоминать приведённые громоздкие формулы, удобней всякий раз выполнять преобразования многочлена к желаему виду непосредственно. На конкретном примере этот метод выглядит так:

${displaystyle f(x)=2x^{2}+8x+5=2cdot left(x^{2}+4cdot xright)+5}$

${displaystyle =2cdot left(x^{2}+4cdot x+4-4right)+5}$

${displaystyle =2cdot left(left(x+2right)^{2}-4right)+5}$

${displaystyle =2cdot left(x+2right)^{2}-8+5}$

${displaystyle =2cdot left(x+2right)^{2}-3Rightarrow S(-2;-3)}$

Недостатком данного метода является его громоздкость, особенно в случае, когда в результате вынесения за скобки приходится работать с дробями. Также он требует определённого навыка в обращении с формулами сокращённого умножения.

Однако, рассмотренное выше доказательство в общем виде приводит к более простому способу вычисления координат вершины параболы с помощью формул ${displaystyle x_{0}={frac {-b}{2a}}}$ и ${displaystyle y_{0}=f(x_{0})}$ . Например, для той же функции ${displaystyle f(x)=2x^{2}+8x+5}$ имеем:

${displaystyle x_{0}={frac {-b}{2a}}={frac {-8}{2cdot 2}}=-2}$

${displaystyle y_{0}=f(-2)=2cdot (-2)^{2}+8cdot (-2)+5=-3Rightarrow S(-2;-3)}$

Таким образом, ${displaystyle f(x)=2x^{2}+8x+5=2cdot left(x+2right)^{2}-3}$ .

Нули функции[править | править код]

Число нулей квадратичной функции[править | править код]

Число действительных нулей квадратичной функции в случае a>0

Квадратичная функция является целой рациональной функцией второй степени, поэтому она может иметь не более двух нулей в действительной области. В случае расширения на комплексную область можно говорить о том, что квадратичная функция в любом случае имеет ровно два комплексных нуля, которые могут быть строго действительными числами или содержать мнимую единицу.

Определить число нулей квадратичной функции без решения соответствующего квадратного уравнения можно с помощью вычисления дискриминанта. При этом имеются различные вариации его вычисления: обычный (применим всегда), сокращённый (удобен в случае чётного коэффициента ) и приведённый (применим только для приведённого многочлена). При этом числовые значения в каждом случае будут отличаться, однако знак дискриминанта будет совпадать независимо от вариации.

Полный дискриминант	Сокращённый дискриминант	Приведённый дискриминант
${displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$	${displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$	${displaystyle f(x)=x^{2}+px+q}$
${displaystyle D=b^{2}-4ac}$	${displaystyle D=left({frac {b}{2}}right)^{2}-ac}$	${displaystyle D=left({frac {p}{2}}right)^{2}-q}$

Независимо от вычисления дискриминанта будут справедливы следующие утверждения:

Например, для функции ${displaystyle f(x)=2x^{2}+8x+5}$ с использованием стандартной формулы для дискриминанта получаем:

${displaystyle D=b^{2}-4ac=8^{2}-4cdot 2cdot 5=64-40=24>0}$

Это означает, что данная функция имеет два действительных нуля, то есть её парабола пересекает ось абсцисс в двух точках.

Методы вычисления нулей квадратичной функции[править | править код]

Нахождение нулей квадратичной функции сводится к решению квадратного уравнения ${displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ , где a neq 0 . Конкретный метод, наиболее подходящий для конкретной квадратичной функции, во многом зависит от его коэффициентов. Во всех специальных случаях кроме специальных формул и методов всегда применима также и универсальная формула. Во всех перечисленных формулах, содержащих квадратный корень, следует учитывать, что если подкоренное выражение является отрицательным числом, то квадратичная функция не имеет нулей в действительной области, а обладает двумя комплексными нулями.

В наиболее общем случае применяется универсальная формула:

${displaystyle x_{1,2}={frac {-bpm {sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$

${displaystyle x_{1,2}=-{frac {p}{2}}pm {sqrt {left({frac {p}{2}}right)^{2}-q}}}$

Получить приведённую форму из общей можно, поделив исходное уравнение ${displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$

на

. При этом, очевидно,

${displaystyle x_{1,2}=pm {sqrt {frac {-c}{a}}}}$

${displaystyle x_{1}=0}$

${displaystyle x_{2}={frac {-b}{a}}}$

Чётность и симметрия квадратичной функции[править | править код]

Симметрия относительно оси ординат[править | править код]

График функции $f(x)=x^{2}$ ( b=0 и c=0 ) симметричен относительно оси ординат

Квадратичная функция ${displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$ является целой рациональной функцией второй степени, поэтому для неё справедливы все соответствующие свойства целой рациональной функции. В частности, она является чётной только тогда, когда в записи её многочлена присутствуют лишь чётные показатели степени, и нечётной — если она содержит только нечётные показатели. Из этого следует, что никакая квадратичная функция не может быть нечётной ввиду того, что на неё изначально накладывается условие aneq 0 , а следовательно она всегда будет содержать чётный показатель 2.

Кроме того, очевидно, что квадратичная функция является чётной только при отсутствии показателя 1, что означает b=0 . Этот факт легко доказывается и непосредственно. Так, очевидно, что функция ${displaystyle f(x)=ax^{2}+c}$ является чётной, так как справедливо:

${displaystyle f(-x)=acdot (-x)^{2}+c=ax^{2}+c=f(x)}$

, то есть

Таким образом, квадратичная функция является симметричной относительно оси ординат только тогда, когда b=0 . Конкретные значения коэффициентов и на этот факт абсолютно не влияют. В частности, может быть также равно нулю, то есть отсутствовать в записи формулы. В этом случае вершина параболы будет совпадать с началом системы координат.

Во всех других случаях квадратичная функция не будет ни чётной, ни нечётной, то есть является функцией общего вида. Это также легко можно показать с помощью определения чётности функции:

${displaystyle f(-x)=acdot (-x)^{2}+bcdot (-x)+c=ax^{2}-bx+cneq f(x)}$

, то есть

${displaystyle f(-x)=acdot (-x)^{2}+bcdot (-x)+c=ax^{2}-bx+c=-(-ax^{2}+bx-c)neq -f(x)}$

, то есть

Осевая симметрия в общем случае[править | править код]

Осью симметрии любой параболы является прямая, проходящая через её вершину параллельно оси ординат

В то же время график любой квадратичной функции обладает осевой симметрией. Как известно, если для некоторой функции f(x) для некоторого числа ${displaystyle x_{0}in mathbb {R} }$ справедливо равенство ${displaystyle f(x_{0}+x)=f(x_{0}-x)}$ , то график этой функции f(x) обладает осевой симметрией по отношению к прямой x = x_0 . В отношении квадратичной функции таким числом $x_{0}$ является абсцисса вершины её параболы. Таким образом, график любой квадратичной функции симметричен по отношению к оси, параллельной оси ординат и проходящей через вершину параболы, а осью симметрии функции ${displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$ является прямая .

Доказательство этого факта также не является сложным:

${displaystyle f(x_{0}+x)=f(x+x_{0})=fleft(x-{frac {b}{2a}}right)=aleft(x-{frac {b}{2a}}right)^{2}+bleft(x-{frac {b}{2a}}right)+c}$

${displaystyle =aleft(x^{2}-2cdot xcdot {frac {b}{2a}}+{frac {b^{2}}{4a^{2}}}right)+bleft(x-{frac {b}{2a}}right)+c}$

${displaystyle =ax^{2}-bx+{frac {b^{2}}{4a}}+bx-{frac {b^{2}}{2a}}+c=ax^{2}-{frac {b^{2}}{4a}}+c=ax^{2}+{frac {4ac-b^{2}}{4a}}}$

К аналогичному результату приводит и преобразование:

${displaystyle f(x_{0}-x)=f(-x+x_{0})=fleft(-x-{frac {b}{2a}}right)=dotsb =ax^{2}+{frac {4ac-b^{2}}{4a}}}$

Таким образом, ${displaystyle fleft({frac {-b}{2a}}+xright)=fleft({frac {-b}{2a}}-xright)}$ , поэтому график функции симметричен относительно прямой ${displaystyle x={frac {-b}{2a}}}$ .

Вычисление вершины параболы с помощью нулей функции[править | править код]

Нули функции расположены симметрично к оси, проходящей через вершину параболы параллельно оси ординат

Так как ось симметрии параболы всегда проходит через её вершину, то, очевидно, что нули квадратичной функции также всегда симметричны относительно абсциссы вершины параболы. Этот факт позволяет легко вычислить координаты вершины параболы с помощью известных нулей функции. В поле действительных чисел этот способ действует только тогда, когда парабола пересекает ось абсцисс или касается её, то есть имеет нули из действительной области.

В случае, когда квадратичная функция имеет лишь один нуль (кратности 2), то он, очевидно, сам и является вершиной параболы. Если же парабола имеет нули $x_{1}$ и $x_{2}$ , то абсцисса $x_{0}$ её вершины легко вычисляется как среднее арифметическое нулей функции. Ордината вершины вычисляется путём подстановки её абсциссы в исходное уравнение функции:

${displaystyle x_{0}={frac {x_{1}+x_{2}}{2}}}$

${displaystyle y_{0}=f(x_{0})}$

Особенно удобным этот способ будет в случае, когда квадратичная функция заданна в её факторизированном виде. Так, например, парабола функции будет иметь вершину со следующими координатами:

${displaystyle x_{0}={frac {1+(-3)}{2}}=-1}$

${displaystyle y_{0}=f(-1)=2(-1-1)(-1+3)=-8}$

При этом даже не требуется преобразовывать уравнение функции к общему виду.

Исследование методами дифференциального и интегрального анализа[править | править код]

Производная и первообразная[править | править код]

Квадратичная функция (красный график), её производная (синий) и первообразная (чёрный)

Угловой коэффициент касательной параболы в точке x=0 равен коэффициенту в записи уравнения квадратичной функции; в данном случае b=1

Как и любая целая рациональная функция квадратичная функция ${displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$ дифференцируема во всей своей области определения. Её производная легко находится с помощью элементарных правил дифференцирования: . Таким образом, видим, что производной квадратичной функции является линейная функция, которая либо строго монотонно возрастает (если a>0 ), либо строго монотонно убывает (если a<0 ) на всей области определения. При этом также нетрудно заметить, что , что означает, что коэффициент в уравнении исходной функции равен угловому коэффициенту параболы в начале координат.

Квадратичная функция как и любая целая рациональная функция также и интегрируема во всей своей области определения. Её первообразная, очевидно, является кубической функцией:

${displaystyle F(x)=int (ax^{2}+bx+c)dx={frac {a}{3}}x^{3}+{frac {b}{2}}x^{2}+cx+d}$

, где

Монотонность и точки экстремума[править | править код]

Очевидно, что вершина параболы является её наивысшей или наинизшей точкой, то есть абсолютным экстремумом квадратичной функции (минимумом при a>0 и максимумом при a<0 ). Поэтому абсцисса вершины параболы разбивает область определения функции на два монотонных интервала, на одном из которых функция возрастает, а на другом — убывает. Воспользовавшись методами дифференциального исчисления, с помощью этого факта можно легко вывести простую формулу для вычисления координат вершины параболы, заданной общим уравнением ${displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$ , через его коэффициенты.

Согласно необходимому и достаточному условию для существования экстремума, получаем: . При этом f'(x)=0 , если . Функция является константной функцией, при этом при a>0 и при a<0 . Таким образом, необходимый и достаточный критерий существования экстремума выполняется в точке ${displaystyle x_{0}=-b/2a}$ . Следовательно, имеем координаты вершины:

${displaystyle x_{0}={frac {-b}{2a}}}$

${displaystyle y_{0}=f(x_{0})=aleft({frac {-b}{2a}}right)^{2}+bleft({frac {-b}{2a}}right)+c={frac {4ac-b^{2}}{4a}}}$

Вершина параболы разбивает область определения квадратичной функции на два монотонных интервала: ${displaystyle left(-infty ;{frac {-b}{2a}}right)}$ и ${displaystyle left({frac {-b}{2a}};+infty right)}$ . При a>0 функция на первом из них является строго монотонно убывающей, а на втором — строго монотонно возрастающей. В случае a<0 — в точности наоборот.

При этом можно вовсе не запоминать данные формулы, а просто каждый раз пользоваться критериями существования экстремума для каждой конкретной квадратичной функции. Или же рекомендуется запоминать только формулу ${displaystyle x_{0}=-b/2a}$ для вычисления абсциссы вершины параболы. Её ордината легко вычисляется в результате подстановки вычисленной абсциссы в конкретное уравнение функции.

Например, для функции ${displaystyle f(x)=2x^{2}+8x+5}$ получаем:

${displaystyle x_{0}={frac {-b}{2a}}={frac {-8}{2cdot 2}}=-2}$

${displaystyle y_{0}=f(-2)=2cdot (-2)^{2}+8cdot (-2)+5=-3Rightarrow S(-2;-3)}$

Таким образом, вершина параболы данной функции имеет координаты . При этом функция строго монотонно убывает на интервале и строго монотонно возрастает на интервале

Выпуклость и точки перегиба[править | править код]

Так как вторая производная квадратичной функции ${displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$ является константной линейной функцией , то она не имеет точек перегиба, так как её значение постоянно, а соответственно достаточный критерий не будет выполняться ни для какой её точки. Более того, очевидно, что при a>0 исходная квадратичная функция будет всюду выпуклой вниз (ввиду того, что её вторая производная всюду положительна), а при a<0 — всюду выпуклой вверх (её вторая производная будет всюду отрицательной).

Обратимость квадратичной функции[править | править код]

Функция $f(x)=x^{2}$ и обратная ей ${displaystyle f^{-1}(x)={sqrt {x}}}$ на интервале

Так как квадратичная функция не является строго монотонной функцией, то она является необратимой. Так как любую непрерывную функцию, однако, можно обратить на её интервалах строгой монотонности, то для любой квадратичной функции существуют две обратные функции, соответствующие двум её интервалам монотонности. Обратными для квадратичной функции на каждом из её интервалов монотонности являются функции арифметического квадратного корня^[2].

Так, функция арифметического квадратного корня ${displaystyle f^{-1}(x)={sqrt {x}}}$ является обратной к квадратной функции $f(x)=x^{2}$ на интервале . Соответственно, функция ${displaystyle f^{-1}(x)=-{sqrt {x}}}$ является обратной к функции $f(x)=x^{2}$ на интервале . Графики функций f(x) и ${displaystyle f^{-1}(x)}$ будут симметричными друг другу относительно прямой y=x .

Функция ${displaystyle f(x)=2x^{2}+8x+5}$ и обратная к ней на интервале функция ${displaystyle f^{-1}(x)={sqrt {frac {x+3}{2}}}-2}$

Для нахождения обратных функций для произвольной квадратичной функции ${displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$ удобнее представить её в форме ${displaystyle f(x)=a(x-x_{0})^{2}+y_{0}}$ , где $(x_{0};y_{0})$ — вершина её параболы. Далее воспользуемся известным методом для нахождения обратных функций — поменяем местами переменные и и снова выразим через :

${displaystyle y=a(x-x_{0})^{2}+y_{0}}$

${displaystyle x=a(y-x_{0})^{2}+y_{0}}$

${displaystyle x-y_{0}=a(y-x_{0})^{2}}$

${displaystyle {frac {x-y_{0}}{a}}=(y-x_{0})^{2}}$

${displaystyle pm {sqrt {frac {x-y_{0}}{a}}}=y-x_{0}}$

${displaystyle pm {sqrt {frac {x-y_{0}}{a}}}+x_{0}=y}$

Таким образом, обратной к f(x) на интервале ${displaystyle [x_{0};+infty )}$ является функция ${displaystyle f^{-1}(x)={sqrt {frac {x-y_{0}}{a}}}+x_{0}}$ .

На интервале ${displaystyle (-infty ;x_{0}]}$ обратной к f(x) является функция ${displaystyle f^{-1}(x)=-{sqrt {frac {x-y_{0}}{a}}}+x_{0}}$ .

Например, для функции ${displaystyle f(x)=2x^{2}+8x+5=2cdot left(x+2right)^{2}-3}$ с вершиной получаем:

${displaystyle f^{-1}(x)={sqrt {frac {x+3}{2}}}-2}$

на интервале

${displaystyle f^{-1}(x)=-{sqrt {frac {x+3}{2}}}-2}$

на интервале

Примеры появления на практике[править | править код]

Зависимость высоты свободно падающего тела от времени.
Зависимость площади круга от её линейных размеров (например, радиуса).
Зависимость расстояния от времени при равноускоренном движении.
Зависимость напора от расхода (напорная характеристика центробежного насоса).

Обобщение[править | править код]

Обобщение на случай многих переменных служат поверхности второго порядка, в общем виде такое уравнение можно записать, как:

$f({vec {x}})={vec {x}}^{T}A{vec {x}}+{vec {b}}cdot {vec {x}}+c$

Здесь: — матрица квадратичной формы, — постоянный вектор, — константа.
Свойства функции, так же как и в одномерном случае, определяются главным коэффициентом — матрицей .

См. также[править | править код]

Аффинно-квадратичная функция

Примечания[править | править код]

↑ Квадратичная функция // Большая школьная энциклопедия. — М. : «Русское энциклопедическое товарищество», 2004. — С. 118—119.
↑ Rolf Baumann. Quadratwutzelfunktion // Algebra: Potenzfunktionen, Exponential- und Logarithmusgleichungen, Stochastik : [нем.]. — München : Mentor, 1999. — Т. 9. — С. 17—19. — 167 с. — ISBN 3-580-63631-6.

Литература[править | править код]

Сканави М.И. График квадратного трёхчлена // Элементарная математика. — 2-е изд., перераб. и доп. — М., 1974. — С. 130—133. — 592 с.
Каплан И.А. Тридцать третье практическое занятие (экстремум квадратичной функции) // Практические занятия по высшей математике. — 3-е изд. — Харьков, 1974. — С. 449—451.

Источник

Квадратичная функция

Adrien1018

Квадратичные функции

Квадратичная функция – это многочлен второй степени. Это означает, что он имеет вид ax ^ 2 + bx + c. Здесь a, b и c могут быть любым числом. Когда вы рисуете квадратичную функцию, вы получаете параболу, как вы можете видеть на картинке выше. Когда a отрицательно, эта парабола будет перевернута.

Что такое корни?

Корни функции – это точки, в которых значение функции равно нулю. Они соответствуют точкам, в которых график пересекает ось x. Поэтому, когда вы хотите найти корни функции, вы должны установить функцию равной нулю. Для простой линейной функции это очень просто. Например:

е (х) = х +3

Тогда корень x = -3, так как -3 + 3 = 0. Линейные функции имеют только один корень. Квадратичные функции могут иметь ноль, один или два корня. Вот простой пример:

е (х) = х ^ 2 – 1

Устанавливая x ^ 2-1 = 0, мы видим, что x ^ 2 = 1. Это верно как для x = 1, так и для x = -1.

Примером квадратичной функции только с одним корнем является функция x ^ 2. Он равен нулю только тогда, когда x равен нулю. Также может случиться так, что здесь нет корней. Так обстоит дело, например, с функцией x ^ 2 + 3. Затем, чтобы найти корень, мы должны иметь x, для которого x ^ 2 = -3. Это невозможно, если вы не используете комплексные числа. В большинстве практических ситуаций использование комплексных чисел имеет смысл, поэтому мы говорим, что решения нет.

Строго говоря, любая квадратичная функция имеет два корня, но вам может потребоваться использовать комплексные числа, чтобы найти их все. В этой статье мы не будем заострять внимание на комплексных числах, поскольку для большинства практических целей они бесполезны. Однако есть некоторые области, где они могут очень пригодиться. Если вы хотите узнать больше о комплексных числах, прочтите мою статью о них.

Математика: как использовать комплексные числа и комплексную плоскость

Способы найти корни квадратичной функции

Факторизация

Чаще всего люди учатся определять корни квадратичной функции путем факторизации. Для многих квадратичных функций это самый простой способ, но также может быть очень трудно понять, что делать. У нас есть квадратичная функция ax ^ 2 + bx + c, но, поскольку мы собираемся установить ее равной нулю, мы можем разделить все члены на a, если a не равно нулю. Тогда у нас есть уравнение вида:

х ^ 2 + пикс + д = 0.

Теперь мы пытаемся найти такие факторы s и t, что:

(xs) (xt) = x ^ 2 + px + q

Если нам это удастся, мы знаем, что x ^ 2 + px + q = 0 истинно тогда и только тогда, когда (xs) (xt) = 0 истинно. (xs) (xt) = 0 означает, что либо (xs) = 0, либо (xt) = 0. Это означает, что x = s и x = t являются решениями, а значит, и корнями.

Если (xs) (xt) = x ^ 2 + px + q, то выполняется s * t = q и – s – t = p.

Числовой пример

х ^ 2 + 8x + 15

Затем мы должны найти такие s и t, что s * t = 15 и – s – t = 8. Итак, если мы выберем s = -3 и t = -5, мы получим:

х ^ 2 + 8х + 15 = (х + 3) (х + 5) = 0.

Следовательно, x = -3 или x = -5. Давайте проверим эти значения: (-3) ^ 2 + 8 * -3 +15 = 9-24 + 15 = 0 и (-5) ^ 2 + 8 * -5 +15 = 25-40 + 15 = 0. Итак действительно, это корни.

Однако найти такую факторизацию может быть очень сложно. Например:

х ^ 2 -6x + 7

Тогда корни 3 – sqrt 2 и 3 + sqrt 2. Их не так просто найти.

Формула ABC

Другой способ найти корни квадратичной функции. Это простой метод, которым может воспользоваться каждый. Это просто формула, которую вы можете заполнить, которая дает вам корни. Формула для квадратичной функции ax ^ 2 + bx + c выглядит следующим образом:

(-b + sqrt (b ^ 2 -4ac)) / 2a и (-b – sqrt (b ^ 2 -4ac)) / 2a

Эта формула дает оба корня. Когда существует только один корень, обе формулы дадут одинаковый ответ. Если корней не существует, то b ^ 2 -4ac будет меньше нуля. Следовательно, квадратного корня не существует, и нет ответа на формулу. Число b ^ 2 -4ac называется дискриминантом.

Числовой пример

Давайте попробуем формулу на той же функции, которую мы использовали в примере факторизации:

х ^ 2 + 8x + 15

Тогда a = 1, b = 8 и c = 15. Следовательно:

(-b + sqrt (b ^ 2 -4ac)) / 2a = (-8 + sqrt (64-4 * 1 * 15)) / 2 * 1 = (-8 + sqrt (4)) / 2 = -6 / 2 = -3

(-b – sqrt (b ^ 2 -4ac)) / 2a = (-8-sqrt (64-4 * 1 * 15)) / 2 * 1 = (-8-sqrt (4)) / 2 = -10 / 2 = -5

Действительно, формула дает одни и те же корни.

Квадратичная функция

Завершение площади

Формула ABC составляется методом заполнения квадрата. Идея завершения квадрата заключается в следующем. У нас есть ax ^ 2 + bx + c. Мы предполагаем, что a = 1. Если это не так, мы могли бы разделить на a и получить новые значения для b и c. Другая часть уравнения равна нулю, поэтому, если мы разделим ее на a, она останется нулевой. Затем делаем следующее:

х ^ 2 + Ьх + с = (х + Ь / 2) ^ 2 – (Ь ^ 2/4) + с = 0.

Тогда (x + b / 2) ^ 2 = (b ^ 2/4) – c.

Следовательно, x + b / 2 = sqrt ((b ^ 2/4) – c) или x + b / 2 = – sqrt ((b ^ 2/4) – c).

Это означает, что x = b / 2 + sqrt ((b ^ 2/4) – c) или x = b / 2 – sqrt ((b ^ 2/4) – c).

Это равно ABC-формуле для a = 1. Однако это легче вычислить.

Числовой пример

Снова берем x ^ 2 + 8x + 15. Тогда:

х ^ 2 + 8х + 15 = (х + 4) ^ 2-16 + 15 = (х + 4) ^ 2-1 = 0.

Тогда x = -4 + sqrt 1 = -3 или x = -4 – sqrt 1 = -5.

Действительно, это дает то же решение, что и другие методы.

Резюме

Мы рассмотрели три различных метода нахождения корней квадратичной функции вида ax ^ 2 + bx + c. Первый – это факторизация, когда мы пытаемся записать функцию как (xs) (xt). Тогда мы знаем, что решениями являются s и t. Второй метод, который мы видели, – это формула ABC. Здесь вам просто нужно заполнить a, b и c, чтобы получить решения. Наконец, мы завершили метод квадратов, в котором мы пытаемся записать функцию как (xp) ^ 2 + q.

Квадратичные неравенства

Поиск корней квадратичной функции может возникнуть во многих ситуациях. Один из примеров – решение квадратичных неравенств. Здесь вы должны найти корни квадратичной функции, чтобы определить границы пространства решений. Если вы хотите узнать, как именно решить квадратичные неравенства, я предлагаю прочитать мою статью по этой теме.

Математика: как решить квадратичное неравенство

Функции высшей степени

Определение корней функции степени выше двух – более сложная задача. Для функций третьей степени – функций вида ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d – есть формула, аналогичная формуле ABC. Эта формула довольно длинная и не так проста в использовании. Для функций четвертой степени и выше доказано, что такой формулы не существует.

Это означает, что найти корни функции третьей степени возможно, но не так просто вручную. Для функций четвертой степени и выше это становится очень сложно, и поэтому лучше выполнять это с помощью компьютера.

Источник

В этой статье мы поговорим о том, что такое квадратичная функция, научимся строить ее график и определять вид графика в зависимости от знака дискриминанта и знака старшего коэффициента.
Итак.

Функция вида , где называется квадратичной функцией.

В уравнении квадратичной функции:

a – старший коэффициент

b – второй коэффициент

с – свободный член.

Графиком квадратичной функции является квадратичная парабола, которая для функции y=x^2 имеет вид:

Обратите внимание на точки, обозначенные зелеными кружками – это, так называемые “базовые точки”. Чтобы найти координаты этих точек для функции y=x^2 , составим таблицу:

Внимание! Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент a=1 , то график квадратичной функции имеет ровно такую же форму, как график функции y=x^2 при любых значениях остальных коэффициентов.

График функции y=-x^2 имеет вид:

Для нахождения координат базовых точек составим таблицу:

Обратите внимание, что график функции y=-x^2 симметричен графику функции y=x^2 относительно оси ОХ.

Итак, мы заметили:

Если старший коэффициент a>0, то ветви параболы напрaвлены вверх.

Если старший коэффициент a<0, то ветви параболы напрaвлены вниз.

Второй параметр для построения графика функции – значения х, в которых функция равна нулю, или нули функции. На графике нули функции f(x) – это точки пересечения графика функции y=f(x) с осью ОХ.

Поскольку ордината (у) любой точки, лежащей на оси ОХ равна нулю, чтобы найти координаты точек пересечения графика функции с осью ОХ, нужно решить уравнение .

В случае квадратичной функции нужно решить квадратное уравнение .

Теперь внимание!

В процессе решения квадратного уравнения мы находим дискриминант: , который определяет число корней квадратного уравнения.

И здесь возможны три случая:

1. Если D<0 ,то уравнение не имеет решений, и, следовательно, квадратичная парабола не имеет точек пересечения с осью ОХ. Если a>0 ,то график функции выглядит как-то так:

2. Если D=0 ,то уравнение имеет одно решение, и, следовательно, квадратичная парабола имеет одну точку пересечения с осью ОХ. Если a>0 ,то график функции выглядит примерно так:

3. Если D>0 ,то уравнение имеет два решения, и, следовательно, квадратичная парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ:

$x_1={-b+sqrt{D}}/{2a}$ , $x_2={-b-sqrt{D}}/{2a}$

Если a>0 ,то график функции выглядит примерно так:

Следовательно, зная направление ветвей параболы и знак дискриминанта, мы уже можем в общих чертах определить, как выглядит график нашей функции.

Следующий важный параметр графика квадратичной функции – координаты вершины параболы:

$x_0=-{b/{2a}}$

$y_0=-{D/{4a}}=y(x_0)$

Прямая, проходящая через вершину параболы параллельно оси OY является осью симметрии параболы.

И еще один параметр, полезный при построении графика функции – точка пересечения параболы с осью OY.

Поскольку абсцисса любой точки, лежащей на оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы с осью OY, нужно в уравнение параболы вместо х подставить ноль: y(0)=c .

То есть точка пересечения параболы с осью OY имеет координаты (0;c).

Итак, основные параметры графика квадратичной функции показаны на рисунке:

Рассмотрим несколько способов построения квадратичной параболы. В зависимости от того, каким образом задана квадратичная функция, можно выбрать наиболее удобный.

1. Функция задана формулой .

Рассмотрим общий алгоритм построения графика квадратичной параболы на примере построения графика функции

1. Направление ветвей параболы.

Так как a=2>0 ,ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем дискриминант квадратного трехчлена

Дискриминант квадратного трехчлена больше нуля, поэтому парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ.

Для того, чтобы найти их координаты, решим уравнение:

$x_1={-3+7}/4=1$ , $x_1={-3-7}/4=-2,5$

3. Координаты вершины параболы:

$x_0=-{b/{2a}}=-3/4 =-0,75$

$y_0=-{D/{4a}}=-49/8=-6,125$

4. Точка пересечения параболы с осью OY: (0;-5),и ей симметричная относительно оси симметрии параболы.

Нанесем эти точки на координатную плоскость, и соединим их плавной кривой:

Этот способ можно несколько упростить.

1. Найдем координаты вершины параболы.

2. Найдем координаты точек, стоящих справа и слева от вершины.

Воспользуемся результатами построения графика функции

Кррдинаты вершины параболы

$x_0=-{b/{2a}}=-3/4 =-0,75$

$y_0=-{D/{4a}}=-49/8=-6,125$

Ближайшие к вершине точки, расположенные слева от вершины имеют абсциссы соответственно -1;-2;-3

Ближайшие к вершине точки, расположенные справа имеют абсциссы соответственно 0;1;2

Подставим значения х в уравнение функции, найдем ординаты этих точек и занесем их в таблицу:

Нанесем эти точки на координатную плоскость и соединим плавной линией:

2. Уравнение квадратичной функции имеет вид – в этом уравнении x_0;y_0 – координаты вершины параболы

или в уравнении квадратичной функции a=1 , и второй коэффициент – четное число.

Построим для примера график функции .

Вспомним линейные преобразования графиков функций. Чтобы построить график функции , нужно

сначала построить график функции ,
затем одинаты всех точек графика умножить на 2,
затем сдвинуть его вдоль оси ОХ на 1 единицу вправо,
а затем вдоль оси OY на 4 единицы вверх:

Теперь рассмотрим построение графика функции . В уравнении этой функции a=1 , и второй коэффициент – четное число.

Выделим в уравнении функции полный квадрат:

Следовательно, координаты вершины параболы: . Старший коэффициент равен 1, поэтому построим по шаблону параболу с вершиной в точке (-2;1):

3. Уравнение квадратичной функции имеет вид y=(x+a)(x+b)

Построим для примера график функции y=(x-2)(x+1)

1. Вид уравнения функции позволяет легко найти нули функции – точки пересечения графика функции с осью ОХ:

(х-2)(х+1)=0, отсюда

2. Координаты вершины параболы: $x_0={x_1+x_2}/2={2-1}/2=1/2$

$y_0=y(-1)=({1/2}-2)({1/2}+1)=-9/4=-2,25$

3. Точка пересечения с осью OY: с=ab=(-2)(1)=-2 и ей симметричная.

Нанесем эти точки на координатную плоскость и построим график:

График квадратичной функции.

Перед вами график квадратичной функции вида .

Кликните по чертежу.
Подвигайте движки.
Исследуйте зависимость
– ширины графика функции от значения коэффициента ,
– сдвига графика функции вдоль оси от значения ,

– сдвига графика функции вдоль оси от значения
– направления ветвей параболы от знака коэффициента
– координат вершины параболы от значений и :

Скачать таблицу квадратичная функция

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Источник

Квадратное уравнение – это математическое уравнение, которое в общем виде выглядит так:

ax² + bx + c = 0

Это многочлен второго порядка с 3 коэффициентами:

a – старший (первый) коэф., не должен быть равен 0;
b – средний (второй) коэф.;
c – свободный элемент.

Решением квадратного уравнения является нахождение двух чисел (его корней) – x₁ и x₂.

Формула для вычисления корней
Решений квадратных уравнений
- Пример 1
- Пример 2
- Пример 3
График квадратичной функции

Формула для вычисления корней

Для нахождения корней квадратного уравнения используется формула:

Выражение внутри квадратного корня называется дискриминантом и обозначается буквой D (или Δ):

D = b² – 4ac

Таким образом, формула для вычисления корней может быть представлена разными способами:

1. Если D > 0, у уравнения есть 2 корня:

2. Если D = 0, уравнение имеет всего один корень:

3. Если D < 0, вещественных корней нет, но есть комплексные:

Решений квадратных уравнений

Пример 1

3x² + 5x + 2 = 0

Решение:

a = 3, b = 5, c = 2

x₁ = (-5 + 1) / 6 = -4/6 = -2/3
x₂ = (-5 – 1) / 6 = -6/6 = -1

Пример 2

3x² – 6x + 3 = 0

Решение:

a = 3, b = -6, c = 3

x₁ = x₂ = 1

Пример 3

x² + 2x + 5 = 0

Решение:

a = 1, b = 2, c = 5

В данном случае нет вещественных корней, а решением являются комплексные числа:

x₁ = -1 + 2i

x₂ = -1 – 2i

График квадратичной функции

Графиком квадратичной функции является парабола.

f(x) = ax² + bx + c

Корни квадратного уравнения – это точки пересечения параболы с осью абцисс (X).
Если корень один – парабола касается оси в одной точке, не пересекая ее.
При отсутствии вещественных корней (наличии комплексных), график с осю X не соприкасается.

Источник

In mathematics, a quadratic polynomial is a polynomial of degree two in one or more variables. A quadratic function is the polynomial function defined by a quadratic polynomial. Before 20th century, the distinction was unclear between a polynomial and its associated polynomial function; so “quadratic polynomial” and “quadratic function” were almost synonymous. This is still the case in many elementary courses, where both terms are often abbreviated as “quadratic”.

A quadratic polynomial with two real roots (crossings of the x axis) and hence no complex roots. Some other quadratic polynomials have their minimum above the x axis, in which case there are no real roots and two complex roots.

For example, a univariate (single-variable) quadratic function has the form^[1]

${displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c,quad aneq 0,}$

where x is its variable. The graph of a univariate quadratic function is a parabola, a curve that has an axis of symmetry parallel to the y-axis.

If a quadratic function is equated with zero, then the result is a quadratic equation. The solutions of a quadratic equation are the zeros of the corresponding quadratic function.

The bivariate case in terms of variables x and y has the form

${displaystyle f(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+f,}$

with at least one of a, b, c not equal to zero. The zeros of this quadratic function is, in general (that is, if a certain expression of the coefficients is not equal to zero), a conic section (a circle or other ellipse, a parabola, or a hyperbola).

A quadratic function in three variables x, y, and z contains exclusively terms x², y², z², xy, xz, yz, x, y, z, and a constant:

$f(x,y,z)=ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+dxy+exz+fyz+gx+hy+iz+j,$

where at least one of the coefficients a, b, c, d, e, f of the second-degree terms is not zero.

A quadratic function can have an arbitrarily large number of variables. The set of its zero form a quadric, which is a surface in the case of three variables and a hypersurface in general case.

Etymology[edit]

The adjective quadratic comes from the Latin word quadrātum (“square”). A term raised to the second power like x² is called a square in algebra because it is the area of a square with side x.

Terminology[edit]

Coefficients[edit]

The coefficients of a quadric function are often taken to be real or complex numbers, but they may be taken in any ring, in which case the domain and the codomain are this ring (see polynomial evaluation).

Degree[edit]

When using the term “quadratic polynomial”, authors sometimes mean “having degree exactly 2”, and sometimes “having degree at most 2”. If the degree is less than 2, this may be called a “degenerate case”. Usually the context will establish which of the two is meant.

Sometimes the word “order” is used with the meaning of “degree”, e.g. a second-order polynomial. However, where the “degree of a polynomial” refers to the largest degree of a non-zero term of the polynomial, more typically “order” refers to the lowest degree of a non-zero term of a power series.

Variables[edit]

A quadratic polynomial may involve a single variable x (the univariate case), or multiple variables such as x, y, and z (the multivariate case).

The one-variable case[edit]

Any single-variable quadratic polynomial may be written as

${displaystyle ax^{2}+bx+c,}$

where x is the variable, and a, b, and c represent the coefficients. Such polynomials often arise in a quadratic equation ${displaystyle ax^{2}+bx+c=0.}$ The solutions to this equation are called the roots and can be expressed in terms of the coefficients as the quadratic formula. Each quadratic polynomial has an associated quadratic function, whose graph is a parabola.

Bivariate and multivariate cases[edit]

Any quadratic polynomial with two variables may be written as

${displaystyle ax^{2}+by^{2}+cxy+dx+ey+f,}$

where x and y are the variables and a, b, c, d, e, f are the coefficients, and one of a, b and c is nonzero. Such polynomials are fundamental to the study of conic sections, as the implicit equation of a conic section is obtained by equating to zero a quadratic polynomial, and the zeros of a quadratic function form a (possibly degenerate) conic section.

Similarly, quadratic polynomials with three or more variables correspond to quadric surfaces or hypersurfaces.

Quadratic polynomials that have only terms of degree two are called quadratic forms.

Forms of a univariate quadratic function[edit]

A univariate quadratic function can be expressed in three formats:^[2]

The coefficient a is the same value in all three forms. To convert the standard form to factored form, one needs only the quadratic formula to determine the two roots r₁ and r₂. To convert the standard form to vertex form, one needs a process called completing the square. To convert the factored form (or vertex form) to standard form, one needs to multiply, expand and/or distribute the factors.

Graph of the univariate function[edit]

${displaystyle f(x)=ax^{2}|_{a={0.1,0.3,1,3}}}$

${displaystyle f(x)=x^{2}+bx|_{b={1,2,3,4}}}$

${displaystyle f(x)=x^{2}+bx|_{b={-1,-2,-3,-4}}}$

Regardless of the format, the graph of a univariate quadratic function $f(x)=ax^{2}+bx+c$ is a parabola (as shown at the right). Equivalently, this is the graph of the bivariate quadratic equation ${displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$ .

If a > 0, the parabola opens upwards.
If a < 0, the parabola opens downwards.

The coefficient a controls the degree of curvature of the graph; a larger magnitude of a gives the graph a more closed (sharply curved) appearance.

The coefficients b and a together control the location of the axis of symmetry of the parabola (also the x-coordinate of the vertex and the h parameter in the vertex form) which is at

$x=-{frac {b}{2a}}.$

The coefficient c controls the height of the parabola; more specifically, it is the height of the parabola where it intercepts the y-axis.

Vertex[edit]

The vertex of a parabola is the place where it turns; hence, it is also called the turning point. If the quadratic function is in vertex form, the vertex is (h, k). Using the method of completing the square, one can turn the standard form

${displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$

into

${displaystyle {begin{aligned}f(x)&=ax^{2}+bx+c\&=a(x-h)^{2}+k\&=aleft(x-{frac {-b}{2a}}right)^{2}+left(c-{frac {b^{2}}{4a}}right),\end{aligned}}}$

so the vertex, (h, k), of the parabola in standard form is

${displaystyle left(-{frac {b}{2a}},c-{frac {b^{2}}{4a}}right).}$

^{[citation needed]}

If the quadratic function is in factored form

${displaystyle f(x)=a(x-r_{1})(x-r_{2})}$

the average of the two roots, i.e.,

${displaystyle {frac {r_{1}+r_{2}}{2}}}$

is the x-coordinate of the vertex, and hence the vertex (h, k) is

${displaystyle left({frac {r_{1}+r_{2}}{2}},fleft({frac {r_{1}+r_{2}}{2}}right)right).}$

The vertex is also the maximum point if a < 0, or the minimum point if a > 0.

The vertical line

$x=h=-{frac {b}{2a}}$

that passes through the vertex is also the axis of symmetry of the parabola.

Maximum and minimum points[edit]

Using calculus, the vertex point, being a maximum or minimum of the function, can be obtained by finding the roots of the derivative:

${displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+cquad Rightarrow quad f'(x)=2ax+b}$

x is a root of f ‘(x) if f ‘(x) = 0
resulting in

$x=-{frac {b}{2a}}$

with the corresponding function value

${displaystyle f(x)=aleft(-{frac {b}{2a}}right)^{2}+bleft(-{frac {b}{2a}}right)+c=c-{frac {b^{2}}{4a}},}$

so again the vertex point coordinates, (h, k), can be expressed as

${displaystyle left(-{frac {b}{2a}},c-{frac {b^{2}}{4a}}right).}$

Roots of the univariate function[edit]

Graph of y = ax² + bx + c, where a and the discriminant b² − 4ac are positive, with

Roots and y-intercept in red
Vertex and axis of symmetry in blue
Focus and directrix in pink

Visualisation of the complex roots of y = ax² + bx + c: the parabola is rotated 180° about its vertex (orange). Its x-intercepts are rotated 90° around their mid-point, and the Cartesian plane is interpreted as the complex plane (green).^[3]

Exact roots[edit]

The roots (or zeros), r₁ and r₂, of the univariate quadratic function

${displaystyle {begin{aligned}f(x)&=ax^{2}+bx+c\&=a(x-r_{1})(x-r_{2}),\end{aligned}}}$

are the values of x for which f(x) = 0.

When the coefficients a, b, and c, are real or complex, the roots are

${displaystyle r_{1}={frac {-b-{sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},}$

${displaystyle r_{2}={frac {-b+{sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}$

Upper bound on the magnitude of the roots[edit]

The modulus of the roots of a quadratic $ax^{2}+bx+c$ can be no greater than ${displaystyle {frac {max(|a|,|b|,|c|)}{|a|}}times phi ,}$ where phi is the golden ratio ${frac {1+{sqrt {5}}}{2}}.$ ^[4]^{[importance?]}

The square root of a univariate quadratic function[edit]

The square root of a univariate quadratic function gives rise to one of the four conic sections, almost always either to an ellipse or to a hyperbola.

If a>0, then the equation $y=pm {sqrt {ax^{2}+bx+c}}$ describes a hyperbola, as can be seen by squaring both sides. The directions of the axes of the hyperbola are determined by the ordinate of the minimum point of the corresponding parabola ${displaystyle y_{p}=ax^{2}+bx+c.}$ If the ordinate is negative, then the hyperbola’s major axis (through its vertices) is horizontal, while if the ordinate is positive then the hyperbola’s major axis is vertical.

If then the equation $y=pm {sqrt {ax^{2}+bx+c}}$ describes either a circle or other ellipse or nothing at all. If the ordinate of the maximum point of the corresponding parabola
${displaystyle y_{p}=ax^{2}+bx+c}$ is positive, then its square root describes an ellipse, but if the ordinate is negative then it describes an empty locus of points.

Iteration[edit]

To iterate a function $f(x)=ax^{2}+bx+c$ , one applies the function repeatedly, using the output from one iteration as the input to the next.

One cannot always deduce the analytic form of $f^{(n)}(x)$ , which means the n^th iteration of f(x) . (The superscript can be extended to negative numbers, referring to the iteration of the inverse of f(x) if the inverse exists.) But there are some analytically tractable cases.

For example, for the iterative equation

$f(x)=a(x-c)^{2}+c$

one has

${displaystyle f(x)=a(x-c)^{2}+c=h^{(-1)}(g(h(x))),}$

where

${displaystyle g(x)=ax^{2}}$

and

So by induction,

${displaystyle f^{(n)}(x)=h^{(-1)}(g^{(n)}(h(x)))}$

can be obtained, where $g^{{(n)}}(x)$ can be easily computed as

${displaystyle g^{(n)}(x)=a^{2^{n}-1}x^{2^{n}}.}$

Finally, we have

${displaystyle f^{(n)}(x)=a^{2^{n}-1}(x-c)^{2^{n}}+c}$

as the solution.

See Topological conjugacy for more detail about the relationship between f and g. And see Complex quadratic polynomial for the chaotic behavior in the general iteration.

The logistic map

$x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n}),quad 0leq x_{0}<1$

with parameter 2<r<4 can be solved in certain cases, one of which is chaotic and one of which is not. In the chaotic case r=4 the solution is

$x_{n}=sin ^{2}(2^{n}theta pi )$

where the initial condition parameter theta is given by $theta ={tfrac {1}{pi }}sin ^{-1}(x_{0}^{1/2})$ . For rational theta , after a finite number of iterations $x_{n}$ maps into a periodic sequence. But almost all theta are irrational, and, for irrational theta , $x_{n}$ never repeats itself – it is non-periodic and exhibits sensitive dependence on initial conditions, so it is said to be chaotic.

The solution of the logistic map when r=2 is

$x_{n}={frac {1}{2}}-{frac {1}{2}}(1-2x_{0})^{2^{n}}$

for $x_{0}in [0,1)$ . Since $(1-2x_{0})in (-1,1)$ for any value of $x_{0}$ other than the unstable fixed point 0, the term $(1-2x_{0})^{2^{n}}$ goes to 0 as n goes to infinity, so $x_{n}$ goes to the stable fixed point ${tfrac {1}{2}}.$

Bivariate (two variable) quadratic function[edit]

A bivariate quadratic function is a second-degree polynomial of the form

${displaystyle f(x,y)=Ax^{2}+By^{2}+Cx+Dy+Exy+F,}$

where A, B, C, D, and E are fixed coefficients and F is the constant term.
Such a function describes a quadratic surface. Setting f(x,y) equal to zero describes the intersection of the surface with the plane which is a locus of points equivalent to a conic section.

Minimum/maximum[edit]

If ${displaystyle 4AB-E^{2}<0,}$ the function has no maximum or minimum; its graph forms a hyperbolic paraboloid.

If ${displaystyle 4AB-E^{2}>0,}$ the function has a minimum if both A > 0 and B > 0, and a maximum if both A < 0 and B < 0; its graph forms an elliptic paraboloid. In this case the minimum or maximum occurs at ${displaystyle (x_{m},y_{m}),}$ where:

$x_{m}=-{frac {2BC-DE}{4AB-E^{2}}},$

$y_{m}=-{frac {2AD-CE}{4AB-E^{2}}}.$

If ${displaystyle 4AB-E^{2}=0}$ and the function has no maximum or minimum; its graph forms a parabolic cylinder.

If ${displaystyle 4AB-E^{2}=0}$ and the function achieves the maximum/minimum at a line—a minimum if A>0 and a maximum if A<0; its graph forms a parabolic cylinder.

References[edit]

^ “Quadratic Equation from Wolfram MathWorld”. Retrieved January 6, 2013.
^ Hughes-Hallett, Deborah; Connally, Eric; McCallum, William G. (2007), College Algebra, John Wiley & Sons Inc., p. 205, ISBN 9780471271758
^ “Complex Roots Made Visible – Math Fun Facts”. Retrieved 1 October 2016.
^ Lord, Nick, “Golden bounds for the roots of quadratic equations”, Mathematical Gazette 91, November 2007, 549.

Algebra 1, Glencoe, ISBN 0-07-825083-8
Algebra 2, Saxon, ISBN 0-939798-62-X

External links[edit]

Weisstein, Eric W. “Quadratic”. MathWorld.

Источник

Обзор основных свойств[править | править код]

Влияние коэффициентов на трансформацию графика[править | править код]

Стандартная запись уравнения квадратичной функции[править | править код]

Запись квадратичной функции через координаты вершины параболы[править | править код]

Нули функции[править | править код]

Число нулей квадратичной функции[править | править код]

Методы вычисления нулей квадратичной функции[править | править код]

Чётность и симметрия квадратичной функции[править | править код]

Симметрия относительно оси ординат[править | править код]

Осевая симметрия в общем случае[править | править код]

Вычисление вершины параболы с помощью нулей функции[править | править код]

Исследование методами дифференциального и интегрального анализа[править | править код]

Производная и первообразная[править | править код]

Монотонность и точки экстремума[править | править код]

Выпуклость и точки перегиба[править | править код]

Обратимость квадратичной функции[править | править код]

Примеры появления на практике[править | править код]

Обобщение[править | править код]

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Квадратичные функции

Что такое корни?

Способы найти корни квадратичной функции

Факторизация

Формула ABC

Завершение площади

Резюме

Квадратичные неравенства

Функции высшей степени

График квадратичной функции.

Формула для вычисления корней

Решений квадратных уравнений

Пример 1

Пример 2

Пример 3

График квадратичной функции

Etymology[edit]

Terminology[edit]

Coefficients[edit]

Degree[edit]

Variables[edit]

The one-variable case[edit]

Bivariate and multivariate cases[edit]

Forms of a univariate quadratic function[edit]

Graph of the univariate function[edit]

Vertex[edit]

Maximum and minimum points[edit]

Roots of the univariate function[edit]

Exact roots[edit]

Upper bound on the magnitude of the roots[edit]

The square root of a univariate quadratic function[edit]

Iteration[edit]

Bivariate (two variable) quadratic function[edit]

Minimum/maximum[edit]

See also[edit]

References[edit]

External links[edit]

Вам также может понравиться

Как найти корень числа в php

Как найти мощность электрочайника

Как найти пароль от интернета на роутере

Добавить комментарий Отменить ответ