Как найти корни квадратного двучлена

        Умение проделывать такую процедуру крайне необходимо во многих темах математики, связанных с квадратным трёхчленом ax²+bx+c. Самые распространённые:

        1) Рисование парабол y=ax²+bx+c;

        2) Решение многих заданий на квадратный трёхчлен (квадратные уравнения и неравенства, задачи с параметрами и т.д.);

        3) Работа с интегралами от некоторых функций, содержащих квадратный трёхчлен, а также работа с кривыми второго порядка (для студентов).

        Полезная штука, короче! Претендуете на пятёрку? Тогда осваиваем!)

Что значит выделить полный квадрат двучлена в квадратном трёхчлене?

        Это задание означает, что исходный квадратный трёхчлен c помощью тождественных преобразований выражений надо преобразовать вот к такому виду:

        Число a что слева, что справа — одно и то же. Коэффициент при квадрате икса. Потому и обозначен одной буквой. Умножается справа на квадрат скобок. В самих скобках сидит тот самый двучлен, о котором и идёт речь в этой теме. Сумма чистого икса и какого-то числа m. Да, прошу обратить внимание, именно чистого икса! Это важно.

        А вот буковки m и n справа — некоторые новые числа. Какие уж получатся в результате наших преобразований. Они могут получиться положительными, отрицательными, целыми, дробными — всякими! В примерах ниже сами увидите. Эти числа зависят от коэффициентов a, b и c. Для них есть свои специальные общие формулы. Достаточно громоздкие, с дробями. Поэтому давать их прямо здесь и сейчас я не буду. Зачем вашим светлым головам лишний мусор? Да и неинтересно это. Поработаем творчески.)

Что необходимо знать и понимать?

        Прежде всего, необходимо знать назубок формулы сокращённого умножения. Хотя бы две из них — квадрат суммы и квадрат разности.

        Вот эти:

        Без этой парочки формул — никуда. Не только в этом уроке, а почти во всей остальной математике вообще. Намёк понятен?)

        Но одних лишь механически заученных формул здесь недостаточно. Нужно ещё грамотно уметь применять эти формулы. Причём не столько напрямую, слева направо, сколько наоборот, справа налево. Т.е. по исходному квадратному трёхчлену уметь расшифровывать квадрат суммы/разности. Это значит, вы должны легко, на автомате, узнавать равенства типа:

        x²+4x+4 = (x+2)²

        x²-10x+25 = (x-5)²

        x²+x+0,25 = (x+0,5)²

        и так далее…

        Без этого полезного навыка — тоже никак… Так что если с этими простыми вещами проблемы, то закрывайте эту страницу. Рановато вам сюда.) Сначала сходите по ссылочке выше. Она — для вас!

        Ах, вы давно в теме? Отлично! Тогда читаем дальше.)

        Итак:

Как выделить полный квадрат двучлена в квадратном трёхчлене?

        Начнём, разумеется, с простого.

Уровень 1. Коэффициент при x² равен 1

        Это самая простая ситуация, требующая минимум дополнительных преобразований.

        Например, дан квадратный трёхчлен:

        х²+4х+6

        Внешне выражение очень похоже на квадрат суммы. Мы знаем, что в квадрате суммы сидят чистые квадраты первого и второго выражений (a² и b²), а также удвоенное произведение 2ab этих самых выражений.

        Ну, квадрат первого выражения у нас уже присутствует в чистом виде. Это х². Собственно, именно в этом и заключается простота примеров этого уровня. Нужно получить квадрат второго выражения b². Т.е. найти b. И зацепкой будет служить выражение с иксом в первой степени, т.е. 4х. Ведь 4х можно представить в виде удвоенного произведения икса на двойку. Вот так:

        4x = 2́·х·2

        Значит, если 2ab=2·x·2 и a=x, то b=2. Можно записать:

        х²+4х+6 = х²+2́·х·2+2²….

        Так нам хочется. Но! Математике хочется, чтобы от наших действий суть исходного выражения не изменилась. Так уж она устроена. Мы прибавили к удвоенному произведению 2², тем самым изменив исходное выражение.  Значит, чтобы математику не обидеть, это самое 2² надо тут же и отнять. Вот так:

        …= х²+2́·х·2+2²–2²….

        Почти всё. Остаётся лишь добавить 6, в соответствии с исходным трёхчленом. Шестёрка-то никуда не делась! Пишем:

        = х²+2́·х·2+2²– 2²+6 = …

        Теперь первые три слагаемых дают чистый (или — полный) квадрат двучлена x+2. Или (x+2)². Чего мы и добиваемся.) Я даже не поленюсь и скобочки поставлю:

        … = (х²+2́·х·2+2²) – 2²+6 =…

        Скобки сути выражения не меняют, зато чётко подсказывают, что, как и почему. Осталось свернуть эти три слагаемых в полный квадрат по формуле, сосчитать в числах оставшийся хвостик  -2²+6  (это будет 2) и записать:

        х²+4х+6 = (x+2)²+2

        Всё. Мы выделили квадрат скобок (x+2)² из исходного квадратного трёхчлена х²+4х+6. Превратили его в сумму полного квадрата двучлена (x+2)²  и некоторого постоянного числа (двойки). А теперь я запишу всю цепочку наших преобразований в компактном виде. Для наглядности.

        

        И все дела.) Вот и вся суть процедуры выделения полного квадрата.

        Кстати, чему здесь равны числа m и n? Да. Каждое из них равно по двойке: m=2, n=2. Так уж получилось в ходе выделения.

        Другой пример:

        Выделить полный квадрат двучлена:

        х²-6х+8

        И опять первый взгляд — на слагаемое с иксом. Превращаем 6х в удвоенное произведение икса и тройки. Перед удвоенным — минус. Значит, выделяем квадрат разности. Прибавляем (для получения полного квадрата) и тут же вычитаем (для компенсации) тройку в квадрате, т.е. 9. Ну и про восьмёрку не забываем. Получим:

        

        Здесь m=-3 и n=-1. Оба отрицательные.

        Улавливаете принцип? Тогда настал черёд освоить и общий алгоритм. Всё то же самое, но через буквы. Итак, перед нами квадратный трёхчлен x²+bx+c (a=1). Что мы делаем:

        1. Смотрим на слагаемое с иксом в первой степени (bx) и превращаем его в удвоенное произведение икса на b/2:

        2. К удвоенному произведению прибавляем и тут же отнимаем квадрат числа b/2. Прибавляем — для дополнения до полного квадрата. Отнимаем — для компенсации. В самом конце прибавляем свободный член с.

        3. Первые три слагаемых сворачиваем в квадрат суммы/разности по соответствующей формуле. Оставшееся снаружи выражение аккуратно считаем в числах.

        Ясненько? Первые два примера были совсем простые, с целыми числами. Для знакомства. Хуже, когда в процессе преобразований вылезают дроби. Главное здесь — не бояться! А чтобы не бояться, всяко надо знать действия с дробями, да…) Но здесь же пятёрочный уровень, не так ли? Усложняем задачу.

        Допустим задан такой трёхчлен:

        х²+х+1

        Как в этом трёхчлене организовать квадрат суммы? Не вопрос! Точно так же. Работаем по пунктам.

        1. Смотрим на слагаемое с иксом в первой степени (bx) и превращаем его в удвоенное произведение икса на b/2.

        Наше слагаемое с иксом есть просто икс. И… что? Как нам одинокий икс превратить в удвоенное произведение? Да очень просто! Прямо по инструкции. Вот так:

        

        Число b в исходном трёхчлене — единичка. Стало быть, b/2 получается дробным. Одна вторая. 1/2. Ну и ладно. Не маленькие уже.)

        2. К удвоенному произведению прибавляем и тут же отнимаем квадрат числа b/2. Прибавляем — для дополнения до полного квадрата. Отнимаем — для компенсации. В самом конце прибавляем свободный член с.

        Продолжаем:

        

        3. Первые три слагаемых сворачиваем в квадрат суммы/разности по соответствующей формуле. Оставшееся снаружи выражение аккуратно считаем в числах.

        Первые три слагаемых отделяем скобками. Можно и не отделять, конечно. Делается это чисто для удобства и наглядности наших преобразований. Теперь хорошо видно, что в скобках сидит полный квадрат суммы (x+1/2)². А всё оставшееся за пределами квадрата суммы (если посчитать) даёт +3/4. Финишная прямая:

        

        Ответ:

        

        Здесь m=1/2, а n=3/4. Дробные числа. Бывает. Такой уж трёхчлен попался…

        Такая вот технология. Разобрались? Можно двигать на следующий уровень?)

Уровень 2. Коэффициент при x² не равен 1 — как быть?

        Это более общий случай по сравнению со случаем а=1. Объём вычислений, разумеется, возрастает. Это огорчает, да… Зато общий ход решения в целом остаётся прежним. Просто к нему добавляется всего один новый шаг. Это радует.)

        Пока рассмотрим безобидный случай, безо всяких дробей и прочих подводных камней. Например:

        2x²-4x+6

        В серединке стоит минус. Значит, будем подгонять под квадрат разности. Но коэффициент при квадрате икса — двойка. А проще работать с единичкой. C чистым иксом. Что делать? А вынесем-ка эту двойку за скобки! Чтоб не мешала. Имеем право! Получим:

        2(x²-2x+3)

        Вот так. Теперь трёхчлен в скобках — уже с чистым иксом в квадрате! Как того требует алгоритм уровня 1. И теперь уже можно работать с этим новым трёхчленом по старой отработанной схеме. Вот и действуем. Выпишем-ка его отдельно да преобразуем:

        x²-2x+3 = x²-2·x·1+1² -1²+3 = (x²-2·x·1+1²) -1²+3 = (x-1)²+2

        Полдела сделано. Осталось вставить полученное выражение внутрь скобок, да раскрыть их обратно. Получится:

        2(x²-2x+3) = 2((x-1)²+2) = 2(x-1)²+4

        Готово!

        Ответ:

        2x²-4x+6 = 2(x-1)²+4

        Фиксируем в голове:

        Если коэффициент при квадрате икса не равен единице, то выносим этот коэффициент за скобки. С оставшимся внутри скобок трёхчленом работаем по привычному алгоритму для a=1. Выделив в нём полный квадрат, вставляем результат на место, а внешние скобки раскрываем обратно.

        А если коэффициенты b и с не делятся нацело на а? Это — самый общий и одновременно самый скверный случай. Тогда только дроби, да… Ничего не поделать. Например:

        3x²+2x-5

        Всё аналогично, отправляем тройку за скобки, получаем:

        

        К сожалению, ни двойка, ни пятёрка нацело на тройку не делятся, поэтому коэффициенты нового (приведённого) трёхчлена — дробные. Ну и ничего страшного. Работаем прямо с дробями: две трети икс превращаем в удвоенное произведение икса на одну треть, прибавляем квадрат одной трети (т.е. 1/9), отнимаем его, отнимаем 5/3…

        

        В общем, вы поняли!

        Дорешайте, чего уж там. Должно в итоге получиться:

        

        И ещё одни грабли. Многие ученики лихо расправляются с положительными целыми и даже дробными коэффициентами, но зависают на отрицательных. Например:

        –x²+2x-3

        Что делать с минусом перед x²? В формуле квадрата суммы/разности всяко плюс нужен… Не вопрос! Всё то же самое. Выносим этот самый минус за скобки. Т.е. минус единицу. Вот так:

        –x²+2x-3 = -(x²-2x+3) = (-1)·(x²-2x+3)

        И все дела. А с трёхчленом в скобках – опять по накатанной колее.

        x²-2x+3 = (x²-2x+1) -1+3 = (x-1)²+2

        Итого, с учётом минуса:

        –x²+2x-3 = -((x-1)²+2) = -(x-1)²-2

        Вот и всё. Что? Не знаете, как выносить минус за скобки? Ну, это вопрос к элементарной алгебре седьмого класса, не к квадратным трёхчленам…

        Запоминаем: работа с отрицательным коэффициентом а ничем по своей сути не отличается от работы с положительным. Выносим отрицательное а за скобки, а дальше – по всем правилам.

Зачем нужно уметь выделять полный квадрат?

Полезная вещь первая – рисуем параболы быстро и без ошибок!

        Например, такое задание:

        Построить график функции: y=-x²+2x+3

        Что делать будем? По точкам строить? Можно, конечно. Маленькими шажочками по длинной дороге. Довольно тупо и неинтересно…

        Прежде всего, напоминаю, что при построении любой параболы мы всегда предъявляем ей стандартный набор вопросов. Их два. А именно:

        1) Куда направлены ветви параболы?

        2) В какой точке находится вершина?

        С направлением ветвей всё ясно прямо из исходного выражения. Ветви будут направлены вниз, ибо коэффициент перед x² — отрицательный. Минус один. Минус перед квадратом икса всегда переворачивает параболу.

        А вот с расположением вершины всё не так очевидно. Есть, конечно, общая формула вычисления её абсциссы через коэффициенты a и b.

        Вот эта:

        

        Но далеко не каждый помнит эту формулку, ох не каждый… А 50% тех, кто всё-таки помнит, спотыкаются на ровном месте и косячат в банальной арифметике (обычно при подсчёте игрека). Обидно, правда?)

        Сейчас вы научитесь искать координаты вершины любой параболы в уме за одну минуту! И икс и игрек. Одним махом и безо всяких формул. Как? С помощью выделения полного квадрата!

        Итак, выделим полный квадрат в нашем выражении. Получим:

        y=-x²+2x+3 = -(x-1)²+4

        Кто хорошо прошарен в общих сведениях о функциях и хорошо освоил тему “преобразования графиков функций”, тот без труда сообразит, что наша искомая парабола получается из обычной параболы y=x² c помощью трёх преобразований. Это:

        1) Смена направления ветвей.

        Об этом говорит знак “минус” перед квадратом скобок (а=-1). Было y=x², стало y=–x².

        Преобразование: f(x) -> –f(x).

        2) Параллельный перенос параболы у=-x² по иксу на 1 единицу ВПРАВО.

        Так получается промежуточный график y=-(x–1)².

        Преобразование: –f(x) -> –f(x+m) (m=-1).

        Почему смещение вправо, а не влево, хотя в скобках – минус? Такова теория преобразований графиков. Это отдельная тема.

        Ну и наконец,

        3) Параллельный перенос параболы y=-(x-1)² по игреку на 4 единицы ВВЕРХ.

        Так получается окончательная парабола y= -(x-1)²+4.

        Преобразование: –f(x+m) -> –f(x+m)+n (n=+4)

        А теперь смотрим на нашу цепочку преобразований и соображаем: куда смещается вершина параболы y=х²? Была в точке (0; 0), после первого преобразования вершина никуда не сместилась (парабола просто перевернулась), после второго — съехала по иксу на +1, а после третьего —  по игреку на +4. Итого вершина попала в точку (1; 4). Вот и весь секрет!

        Картинка будет следующей:

        Собственно, именно по этой причине я с такой настойчивостью заострял ваше внимание на числах m и n, получающихся в процессе выделения полного квадрата. Не догадались, зачем? Да. Дело в том, что точка с координатами (-m; n) — это всегда вершина параболы y=a(x+m)²+n. Просто смотрим на числа в преобразованном трёхчлене и в уме даём верный ответ, где находится вершина. Удобно, правда?)

        Рисование парабол — это первая полезная вещь. Переходим ко второй.

Полезная вещь вторая — решение квадратных уравнений и неравенств.

        Да-да! Выделение полного квадрата во многих случаях оказывается гораздо быстрее и эффективнее традиционных приёмов решения подобных заданий. Сомневаетесь? Пожалуйста! Вот вам задание:

        Решить неравенство:

        x²+4x+5 > 0

        Узнали? Да! Это классическое квадратное неравенство. Все такие неравенства решаются по стандартному алгоритму. Для этого нам надо:

        1) Сделать из неравенства уравнение стандартного вида и решить его, найти корни.

        2) Нарисовать ось Х и отметить точками корни уравнения.

        3) Схематично изобразить параболу по исходному выражению.

        4) Определить области +/- на рисунке. Выбрать нужные области по исходному неравенству и записать ответ.

        Собственно, весь этот процесс и напрягает, да…) И, более того, не всегда спасает от ошибок в нестандартных ситуациях типа этого примера. Попробуем сначала по шаблону?

        Итак, выполняем пункт первый. Делаем из неравенства уравнение:

        x²+4x+5 = 0

        Стандартное квадратное уравнение, без фокусов. Решаем! Считаем дискриминант:

        D = b²-4ac = 4² – 4∙1∙5 = -4

        Вот-те раз! А дискриминант-то отрицательный! Нет корней у уравнения! И на оси рисовать нечего… Что делать?

        Вот тут некоторые могут сделать вывод, что исходное неравенство тоже не имеет решений. Это фатальное заблуждение, да… Зато с помощью выделения полного квадрата верный ответ к этому неравенству можно дать за полминуты! Сомневаетесь? Что ж, можете засекать время.

        Итак, выделяем полный квадрат в нашем выражении. Получаем:

        x²+4x+5 = (x+2)²+1

        Исходное неравенство стало выглядеть вот так:

        (x+2)²+1 > 0

        А теперь, ничего далее не решая и не преобразовывая, просто включаем элементарную логику и соображаем: если к квадрату какого-то выражения (величине заведомо неотрицательной!) прибавить ещё единичку, то какое число мы в итоге получим? Да! Строго положительное!

        А теперь смотрим на неравенство:

        (x+2)²+1 > 0

        Переводим запись с математического языка на русский: при каких икс строго положительное выражение будет строго больше нуля? Не догадались? Да! При любых!

        Вот вам и ответ: х — любое число.

        А сейчас вернёмся к алгоритму. Всё-таки понимание сути и простое механическое заучивание — вещи разные.)

        Суть алгоритма в том, что мы из левой части стандартного неравенства делаем параболу, и смотрим, где она выше оси Х, а где ниже. Т.е. где положительные значения левой части, где отрицательные.

        Если мы сделаем из нашей левой части параболу:

        y = x²+4x+5

        и нарисуем её график, то увидим, что вся парабола целиком проходит выше оси Х.  Картинка будет выглядеть вот так:

        Парабола кривовата, да… На то она и схематичная. Но при этом всё что нам надо, на картинке видно. Нет у параболы точек пересечения с осью Х, нет нулевых значений игрека. И отрицательных значений, естественно, тоже нет. Что и показано штриховкой всей оси Х целиком. Кстати, ось Y и координаты вершины я здесь изобразил не зря. Сравните координаты вершины параболы (-2; 1) и наше преобразованное выражение!

        y = x²+4x+5 = (x+2)²+1

        И как вам? Да! В нашем случае m=2 и n=1. Стало быть, вершина параболы имеет координаты: (-m; n) = (-2; 1). Всё логично.)

        Ещё задание:

        Решить уравнение:

        x²+4x+3 = 0

        Простецкое квадратное уравнение. Можно решать по старинке, через дискриминант. Можно через теорему Виета. Как угодно. Математика не возражает.)

        Получим корни: x₁=-3 x₂=-1

        А если ни тот, ни другой способы того… не помним? Что ж, двойка вам светит, по-хорошему, но… Так уж и быть, спасу! Покажу, как можно решать некоторые квадратные уравнения только лишь методами седьмого класса. Снова выделяем полный квадрат!)

        x²+4x+3 = (x+2)²-1

        А теперь расписываем полученное выражение как… разность квадратов! Да-да, есть такая формула сокращённого умножения в седьмом классе:

        a²-b² = (a-b)(a+b)

        В роли а выступают скобки (x+2), а в роли b — единичка. Получаем:

        (x+2)²-1 = (x+2)²-1² = ((x+2)-1)((x+2)+1) = (x+1)(x+3)

        Вставляем это разложение в уравнение вместо квадратного трёхчлена:

        (x+1)(x+3)=0

        Осталось сообразить, что произведение множителей равно нулю тогда и только тогда, когда какой-нибудь из них равен нулю. Вот и приравниваем (в уме!) к нулю каждую скобку.

        Получим: x₁=-3 x₂=-1

        Вот и всё. Те же самые два корня. Такой вот искусный приёмчик. В дополнение к дискриминанту.)

        К слову, о дискриминанте и об общей формуле корней квадратного уравнения:

        

        В уроке по квадратным уравнениям мною был опущен вывод этой громоздкой формулы. За ненадобностью. Зато здесь ему самое место.) Не хотите ли узнать, как получается эта формула? Откуда вообще берётся выражение для дискриминанта и почему именно b²-4ac, а не как-то иначе? Всё-таки полное понимание сути происходящего куда полезнее бездумной писанины всяких буковок и символов, правда?)

Полезная вещь третья — вывод формулы корней квадратного уравнения.

        Ну что, поехали! Берём квадратный трёхчлен в общем виде ax²+bx+c и… начинаем выделять полный квадрат! Да, прямо через буквы! Была арифметика, стала — алгебра.) Сначала, как обычно, выносим букву a за скобки, а все остальные коэффициенты делим на a:

        

        Вот так. Это вполне законное преобразование: а не равно нулю, и делить на неё можно. А со скобками снова работаем по обычному алгоритму: из слагаемого с иксом делаем удвоенное произведение, прибавляем/отнимаем квадрат второго числа…

        

        Всё то же самое, но с буквами.) Попробуйте доделать сами! Полезно!)

        После всех преобразований у вас должно получиться вот что:

        

        И зачем нам из безобидного трёхчлена сооружать такие нагромождения — спросите вы? Ничего, сейчас интересно будет! А теперь, знамо дело, приравниваем эту штуку к нулю:

        

        Решаем как обычное уравнение, работаем по всем правилам, только с буквами. Делаем элементарные тождественные преобразования уравнений:

        1) Большую дробь переносим вправо. При переносе плюс меняем на минус. Чтобы не рисовать минус перед самой дробью, я просто поменяю все знаки в числителе. Слева в числителе было 4ac-b², а после переноса станет -(4ac-b²), т.е. b²-4ac. Что-то знакомое, не находите? Да! Дискриминант, он самый…) Будет вот так:

        

        2) Очищаем квадрат скобок от коэффициента. Делим обе части на “а“. Слева, перед скобками, буква а исчезает, а справа уходит в знаменатель большой дроби, превращая его в 4a².

        Получается вот такое равенство:

        

        У вас не так вышло? Тогда тема “Как выразить переменную из формулы?” — для вас. Срочно туда!

        Следующим шагом извлекаем корень. Нас же икс интересует, верно? А икс под квадратом сидит… Извлекаем по правилам извлечения корней, разумеется. После извлечения получится вот это:

        

        Слева квадрат суммы исчезает и остаётся просто сама эта сумма. Что и требуется.) А вот справа появляется плюс/минус. Ибо наша здоровенная дробь, несмотря на её устрашающий вид, это просто какое-то число. Дробное число. Зависящее от коэффициентов a, b, c. При этом корень из числителя этой дроби красиво не извлекается, там разность двух выражений. А вот корень из знаменателя 4a² вполне себе извлекается! Получится просто 2a.

        “Хитрый” вопрос на засыпку: имел ли я право, извлекая корень из выражения 4a², давать ответ просто 2а? Ведь правило извлечения корня из квадрата обязывает ставить знак модуля, т.е. 2|a| !

        Подумайте, почему знак модуля я всё-таки опустил. Очень полезно. Подсказка: ответ кроется в знаке плюс/минус перед дробью.)

        Остались сущие пустяки. Обеспечиваем слева чистый икс. Для этого маленькую дробь переносим вправо. Со сменой знака, ясен перец. Напоминаю, что знак в дроби можно менять где угодно и как угодно. Хотим перед дробью поменяем, хотим в знаменателе, хотим в числителе. Я поменяю знак в числителе. Было +b, стало –b. Надеюсь, возражений нет?) После переноса станет так:

        

        Складываем две дроби с одинаковыми знаменателями и получаем (наконец-то!):

        

        Ну? Что тут сказать? Вау!)

Полезная вещь четвёртая — студентам на заметку!

        А теперь плавненько переместимся из школы в ВУЗ. Вы не поверите, но выделение полного квадрата в высшей математике тоже нужно!

        Например, такое задание:

        Найти неопределённый интеграл:

        

        С чего начинать? Прямое применение таблицы интегралов не катит. Только выделение полного квадрата и спасает, да…)

        Кто не умеет выделять полный квадрат, тот навсегда зависнет на этом несложном примере. А кто умеет, тот выделяет и получает:

        x²+4x+8 = (x+2)²+4

        И теперь интеграл (для знающих) берётся одной левой!

        

        Здорово, правда? И это не только интегралы! Я уж молчу про аналитическую геометрию, с её кривыми второго порядка — эллипсом, гиперболой, параболой и окружностью.

        Например:

        Определить тип кривой, заданной уравнением:

        x²+y²-6x-8y+16 = 0

        Без умения выделять полный квадрат задание не решить, да… А ведь пример проще некуда! Для тех, кто в теме, разумеется.

        Группируем в кучки члены с иксом и с игреком и выделяем полные квадраты по каждой переменной. Получится:

        (x²-6x) + (y²-8y) = -16

        (x²-6x+9)-9 + (y²-8y+16)-16 = -16

        (x-3)² + (y-4)² = 9

        (x-3)² + (y-4)² = 3²

        Ну и как? Узнали, что за зверь?) Ну, конечно! Окружность радиуса тройка с центром в точке (3; 4).

        И все дела.) Полезная штука — выделение полного квадрата!)

Содержание:

Квадратные уравнения

В предыдущих классах вы уже научились составлять и решать уравнения, но лишь простейшие, к которым сводятся относительно несложные задачи. Для решения более сложных задач используют квадратные уравнения. Изучив эту тему, вы сможете решать прикладные задачи из разных отраслей знаний.

В этой главе вы узнаете, что такое:

• неполные квадратные уравнения;
• формула корней квадратного уравнения;
• теорема Виета;
• разложение квадратного трёхчлена на множители.

Неполные квадратные уравнения

Пример:

Одно из двух чисел больше другого на 6, а их произведение равно 112. Найдите эти числа.

Решение:

Обозначим меньшее искомое число буквой х. Тогда большее число равно х + 6. Их произведение — 112. Следовательно,

х(х + 6) = 112, или х² + 6х- 112 = 0.

Это уравнение второй степени с одной переменной. Такие уравнения называют также квадратными.

Квадратным называют уравнение вида ах² + bх + c = 0, где х — переменная, а, b, с — данные числа, причём

Числа а, b, с — коэффициенты квадратного уравнения: а — первый коэффициент, b — второй, с — свободный член.

По определению, первый коэффициент квадратного уравнения не может быть равен нулю. Если хотя бы один коэффициент (b или с) равен нулю, то квадратное уравнение называют неполным.

Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов:

1) ах² = 0; 2) ах² + bх = 0; 3) ах² + с = 0.

1. Уравнение вида ах² = О равносильно уравнению х² = 0, и поэтому всегда имеет только один корень х = О.

2. Уравнение вида ах² + bх = 0 равносильно уравнению х(ах + b) = 0 и всегда имеет два корня: х₁ = 0, х₂ =

Пример:

Решите уравнение 5х² + 4х = 0.

Решение:

Вынесем переменную х за скобки: х(5х + 4) = 0. Следовательно, х = О, или 5х + 4 = 0,отсюда х = -0,8. О т в е т. х₁ = 0, х₂ = -0,8.

3. Квадратное уравнение вида ах² + с = О равносильно уравнению х² = . Если > 0 , то оно имеет два решения: если <0 — ни одного решения.

Пример:

Решите уравнение 4х² -3 = 0.

Решение:

Преобразуем данное уравнение: 4х^₂ = 3, , х — число, квадрат которого равен , то есть квадратный корень из числа . Таких корней два: и . Ответ. . Если знаки коэффициентов а и с разные, то число положительное, и уравнение имеет два корня. Если знаки коэффициентов а и с одинаковы, то число — отрицательное. Следовательно, уравнение ах² + с = 0 не имеет корней.

Хотите знать ещё больше?

Некоторые квадратные уравнения (полные) можно решать приведением их к неполным квадратным уравнениям. Например, по формуле квадрата двучлена, уравнение х² – 2х + 1 = 0 можно представить в виде (х – 1)² = 0 и решить так: (х-1)² равно нулю лишь в том случае, если х – 1 = 0, то есть х = 1.

Таким способом можно решить любое квадратное уравнение, выразив его левую часть в виде квадрата двучлена.

Например, .

Выполним вместе!

Пример:

Решите квадратное уравнение: а) Зх² – 6х = 0; б) 2у² -72 = 0.

Решение:

а) Зх² – 6х = 0; Зх(х – 2) = 0; х₁ = 0; х-2 = 0; х₂ = 2.

б) 2у² -72 = 0; 2(у² 36)-0; у²– 36 – 0; y₁ = 6; y₂ = -6. Ответ. a) x₁ = 0, х₂ = 2; б)у₁=6, у₂ =-6.

Пример:

Решите уравнение

Решение:

, , , отсюда х₁ = -20, х₂ = 20.

При этих значениях х знаменатель не равен нулю. Следовательно, х₁ = – 20, х₂ = 20 — корни уравнения. О т в е т. х₁ = – 20, х₂ = 20 .

Формула корней квадратного уравнения

Решим уравнение х² + 6х-112=0, которое мы составили по условию задачи.

Решение:

Если к выражению х² + 6х прибавить 9, то получим квадрат двучлена х + 3. Поэтому данное уравнение равносильно уравнению х² + 6х + 9-9-112=0, или (х + 3)² = 121. Следовательно, х + 3 = 11, отсюда х = 8; или х + 3 = -11, отсюда х = -14. Ответ. х₁ = 8, х₂ = -14.

Такой способ решения квадратного уравнения называют способом выделения квадрата двучлена.

Решим этим способом уравнение 5х² – 2х – 3 = 0.

Чтобы первый его член стал квадратом одночлена с целым коэффициентом, умножим обе части данного уравнения на 5: 25х² -10х – 15=0, 25х²-2 ^. 5х + 1 – 1 – 15 = 0, (5х- 1)² = 16.

Следовательно, 5х – 1 = 4, отсюда 5х = 5, х = 1; или 5х – 1 = – 4, отсюда 5х = – 3, х = – 0,6. От в е т. х₁ = 1, х₂ = -0,6.

Решим таким способом уравнение ах² + bх + с = 0.

Умножим обе части уравнения на 4а (помним, что ):

4а²х² + 4ах^.b + 4ас = 0,

(2ах)² + 2 ^. 2ах ^. b + b² – b² + 4ас = 0,

(2ах + b)² = b² – 4ас.

Выражение b² — 4ас называют дискриминантом (от латинскогоdiscriminans — различающий) данного квадратного уравнения и обозначают буквой D.

Если D < 0, то данное уравнение не имеет корней: не существует такого значения х, при котором значение выражения (2ах + b)² было бы отрицательным.

Если D = 0, то 2ах + и = 0, отсюда х = – единственный корень. Если D > 0, то данное квадратное уравнение равносильно уравнению , отсюда

или

В этом случае уравнение имеет два корня, они отличаются только знаками перед . Кратко их записывают так: , где .

Это формула корней квадратного уравнения ах² + bх + с = 0. Пользуясь ею, можно решить любое квадратное уравнение.

Пример:

Решите уравнение: а) Зх² – 5х + 2 = 0; б) х² + 6х + 9 = 0; в) 5х² – х + 1 = 0.

Решение:

a) D = 25 – 24 = 1, D > 0,

;

б) D = 36-36 = 0,

;

в) D =1 – 20 = -19, D < 0. Уравнение корней не имеет.

Ответ. а)х₁ = 1, х₂= ; б) х = -3: в) уравнение корней не имеет. Формулу корней квадратного уравнения применяют при решении многих уравнений, которые-сводятся к квадратным.

Пример:

Решите уравнение: а) 4х⁴ – 9х² +5=0; б) (Зх² – x – 3)(3х² – х + 5) = 9.

Решение:

Такие уравнения удобно решать путём введения вспомогательной переменной.

a) 4x⁴ – 9x² + 5 = 0. Пусть x² — t, тогда x⁴ = t², получим уравнение относительно переменной t: 4x² – 9x²+ 5 = 0, D = (-9)² – 4 ^.4 ^.5 = 81 – 80 = 1, D > 0,

/

Вернёмся к переменной x: l) x² = l, x_l=-l, x₂=l;

2)

Уравнение вида ax⁴ + bx² + c=0 называют биквадратным. б) (Зх² – х – 3)(3х² – х + 5) = 9. Пусть 3х² – х = t, тогда относительно переменной t получим уравнение: (t – 3)(t + 5) = 9, t² + 2t – 15 = 9, t² + 2t – 24 = 0, D= 4^. 4 (-24) = 4 + 96 – 100, D > 0,

.

1)3х²-х=-6,Зх²-х + 6-0, D = (-1)²-4^. 3^. 6=-71, D<0, следовательно, это уравнение корней не имеет. 2 ) Зх² – х = 4, Зх² – х – 4 – О, х₁ = -1, х₂ = . Ответ. а) х₁ = -1, х₂ = 1, х_³ = , х₄ = ; б) x₁ = -1, x₂ = .

Хотите знать ещё больше?

Формулу корней уравнения ах² + bх + с = 0 можно записать и в таком виде:

.

Если второй коэффициент уравнения — чётное число, то есть уравнение имеет вид ах² + 2kx + с = 0, то

.

Если первый коэффициент квадратного уравнения равен 1, то такое уравнение называют приведённым. Приведённое квадрат ное уравнение имеет вид х² + рх + q = 0, Формула его корней:

.

Выведите эти формулы из основной формулы корней квадратного уравнения.

Выполним вместе!

Пример:

Приведите уравнение (х – 4)(2х + 1) = Зх(х – 1) к квадратному и найдите его корни.

Решение:

(х- 4)(2х 4-1) = Зх(х-1). Раскроем скобки и сведём подобные слагаемые: 2х² – 8х + х – 4 = 3х² – 3х,

Зх² – 2х² – 3х + 8х – х + 4 = 0, х² +4х +4 = 0.

Решим полученное уравнение, принимая во внимание, что в его левой части — квадрат двучлена: х² + 2 ^. х ^. 2 + 2² = (х +2)². Следовательно, (х +2)² — 0, отсюда х + 2 = 0, х = -2.

Ответ. х = -2.

Пример:

Решите дробное рациональное уравнение:

Решение:

Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю, х² – 5х + 6 = 0:

D=25-4^.6=1, , х₁ =2, х₂ =3. Данное уравнение эти значения не удовлетворяют, поскольку при х = 2 знаменатель первой дроби равен 0, а при х = 3 знаменатель второй дроби равен 0. Ответ. Уравнение корней не имеет.

Теорема Виета

Квадратное уравнение называют приведённым, если первый его коэффициент равен единице. В таблице — примеры трёх приведённых квадратных уравнений, их корни, а также суммы и произведения корней:

Сравните сумму корней каждого приведённого квадратного уравнения с его вторым коэффициентом, а произведение корней — со свободным членом.

Теорема Виета: Если приведённое квадратное уравнение имеет два корня, то их сумма равна второму коэффициенту уравнения, взятому с противоположным знаком, а произведение — свободному члену.

Доказательство. Если уравнение х² + рх + q = 0 имеет корни х₁ и х₂, то их можно найти по формулам:

где D = р² – 4q — дискриминант уравнения.

Сложим и перемножим эти корни:

Итак, x₁ + х₂ =— р, x₁ ^. х₂ = q, что и требовалось доказать. Примечание. Если р² – 4q = 0, то уравнение х²+ рх + q = 0 имеет один корень .

Формулы (*) в этом случае дают и Поэтому часто считают, что данное уравнение имеет два равных корня. Теорема Виета верна и для этого случая, поскольку

Каждое квадратное уравнение вида равносильно приведённому квадратному уравнению Если такое уравнение имеет корни х₁ и х₂,то

Теорема (обратная теореме Виета). Если сумма m и n произведение чисел тип равны соответственно — р и q, то m и n тип — корни уравнения х² + рх + q =0.

Доказательство. Пусть m + n =-р и m ^. n =q. При данных условиях уравнение х² + рх 4 q = 0 равно сильно уравнению х² – (m + n)х + m n = 0.

Подставим в это уравнение вместо переменной х числа m и n:

m² – (m +n)m + mn = m² – m² – nm + mn= 0,

n² – (m +n)n+ mn = n² – mn – n² +mn = 0.

Итак, m и n — корни данного уравнения, что и требовалось доказать. Из теоремы Виета следует: если р и q – целые числа, то целые решения уравнения х² + рх + q= 0 — это делители числа q. Пользуясь обратной теоремой, можно проверить, является та или другая пара чисел корнями приведённого квадратного уравнения. Это даёт возможность устно решать такие уравнения.

Пример:

Решите уравнение х² + 12х + 11 = 0.

Решение:

Если уравнение имеет целые корни, то их произведение равно 11. Это могут быть числа 1 и 11 либо – 1 и -11. Второй коэффициент уравнения положительный, поэтому корни отрицательные. Ответ. х₁ = -1, х₂ = -11.

Хотите знать ещё?

Теорема Виета верна не толоко для приведённого квадратного уравнения, но и для уравнений высших степеней Например, если уравнение третьей степени х³+4ах² +bх + с = 0 имеет корни х₁, х₂ и х₃, то

x₁+x₂+x₃=-a

x₁x₂+x₁x₃₊x₂x₃=b

x₁x₂x₃ = – c.

Если такое уравнение с целыми коэффициентами имеет целые решения, то они являются делителями свободного члена.

Выполним вместе!

Пример:

Найдите сумму и произведение корней уравнения:

а) х² + х-6 = 0; б)х2 + 2х + 3 = 0.

Решение:

а) D=1 +24 >0. Корни существуют, поэтому x₁ + х₂ = -1; x₁ ^. х₂ = -6;

б) D= 4-12<0. Корней не существует. Ответ. а)х1 + х2 = -1,х1 -х2 = -6; б) корней не существует.

Пример:

При каких значениях m произведение корней уравнения х² + 8х + m – 7 = 0 равно 3?

Решение:

m-7 = 3, m = 10. Ответ. m = 10.

Пример:

Не решая уравнение х² – 4х + 1 = 0, найдите сумму квадратов его корней.

Решение:

D = 16 – 4 > 0. Корни существуют. x₁ + х₂ = 4; х₁ ^.х₂ = 1;

(x₁ + x₂)² = 16; x²₁+2x₁x₂+x²₂ =16;

х¹₂ +2^. 1+x²₂ =16; x²₁ +x²₂ =16-2, х²₁ +х²₂ =14.

Ответ. x²₁+x²₂=14.

Квадратный трёхчлен

Квадратным трёхчленом называют многочлен вида ах² + bх+ с, где х — не ременная, a, b, c — данные числа, причём .

Переменную квадратного трёхчлена можно обозначить любой буквой. Примеры квадратных трёхчленов:

Если квадратный трёхчлен приравнять к нулю, то получим квадратное уравнение. Его корни и дискриминант называют соответственно корнями и дискриминантом данного квадратного трёхчлена. Например, дискриминант и корни квадратного трёхчлена 5х² — 7х – 6 равны соответственно 169, 2 и , поскольку это дискриминант и корни уравне ния 5х² – 7х – 6 = 0.

Из теоремы Виета следует правило разложения квадратных трёхчленов на множители.

Если m и n — корни уравнения x²+ рх + q = 0, то х² + рх + q = (х-m)(х – n).

Поскольку х² + рх + q = х² – (m -n)х 4+mn = х² – mх – nх 4- mn = (y- m )(х – n).

Пример:

Разложите на множители трёхчлен: х²+4х- 21.

Решение:

а) Корни уравнения х²+4х- 21=0 равны 3 и -7. Поэтому

х²+ 4х – 21 =(х- 3)(х +7).

Ответ.(х- 3)(х +7).

Верна и такая теорема.

Если корни квадратного трёхчлена ах² + bх + с равны m и n, то его можно разложить на множители:

ах² +bх + с = а(х — m)(х — n).

Доказательство:

. Следовательно, корни m и n трёхчлена ах²+bx+c также являются корнями уравнения . По теореме Виета,

Поэтому

Например, если нужно разложить на множители трёхчлен Зх²+5х-2, то решаем уравнение Зх²+5х-2-0. Его дискриминант D = 25+24= 49, поэтому

Следовательно,

Ответ можно записать и так;

Зх²+ 5х 2 = (Зх 1 )(х+ 2).

Разложение квадратных трёхчленов на множители применяется при сокращении дробей, приведении их к общему знаменателю и т. д. Например, чтобы сократить дробь сначала следует разложить ее числитель и знаменатель на множители. Поскольку

Каждый квадратный трёхчлен ах² + bх + c можно представить в виде а(х-k)²+ р, где k и р некоторые числа. Такое преобразование называют выделением квадрата двучлена. Как выполнить подобное преобразование, покажем на примере. Чтобы выделить из квадратного трёхчлена 2х² – 12х + 25 квадрат двучлена, сначала вынесем за скобки множитель 2:

Одночлен 6х представим в виде произведения 2 ^. Зх, прибавим к нему 9 и отнимем 9:

В результате имеем: 2х² – 12х + 25 = 2 (х – 3)² + 7.

Выделение квадрата двучлена даёт возможность решать задачи на нахождение наибольшего или наименьшего значения квадратного трёхчлена. Например, чтобы найти, при каком значении х значение выражения 2х² -12х + 25 наименьшее, выделим из него квадрат двучлена:

2х²– 12x+25 =2(х-3)² + 7.

Второе слагаемое полученной суммы — число 7, а первое имеет наименьшее значение, если равно 0, то есть х=3. Следовательно, трёхчлен 2х²– 12x+25 имеет наименьшее значение 7. если х = 3.

Хотите знать ещё больше?

Если квадратный трёхчлен имеет дробные корни, го при разложении его на линейные множители желательно первый коэффициент этого трёхчлена “внести в скобки” Например:

Выполним вместе!

Пример:

Найдите значение функции при х = 2008.

Решение:

Числитель формулы разложим на множители:

Если х = 2008, то у = 2008 – 1 = 2007. О т в е т. у = 2007.

Решение задач составлением квадратных уравнений

С помощью квадратных уравнений можно упростить решение многих задач.

Пример:

Найдите два числа, произведение и среднее арифметическое которых равны соответственно 108 и 10,5.

Решение:

Если среднее арифметическое двух чисел равно 10,5, то их сумма в 2 раза больше, то есть 21. Пусть одно из искомых чисел х, тогда другое равно 21-х.

Имеем уравнение:

х(21 – х) = 108, или х² – 21х + 108 = 0.

Решим это уравнение: D = 21² – 4^. 108 = 9,

Если х = 9, то 21 – х = 12; если х = 12, то 21 – х = 9.

Ответ. 9 и 12.

Пример:

Собственная скорость моторной лодки — 18 км/ч. Расстояние 12 км по течению реки она проходит на 9 мин быстрее, чем против течения. Найдите скорость течения реки.

Решение:

9 мин = 0,15 ч. Если скорость течения реки равна х км/ч, то скорость лодки по течению составляет (18 + х) км/ч, а против течения — (18 – х) км/ч. Расстояние 12 км по течению она проходит за ч, а против течения — за ч. Имеем уравнение:

или

отсюда 4(18 + х) – 4(18 – х) – 0,05(18 – х)(18 + х) = 0,

х² + 160х – 324 = 0, D = 160² + 4^.324 = 26 896.

Задачу удовлетворяет только положительный корень. Ответ. 2 км/ч.

Пример:

На плоскости n точек расположены таким образом, что никакие три из них не лежат на одной прямей. Если любую из этих точек соединить отрезком со всеми другими, то получим 351 отрезок. Найдите число n.

Решение:

Из одной точки выходит n – 1 отрезков, из всех n данных точек — n(n – 1) отрезков. При этом каждый отрезок повторяется дважды, поскольку имеет два конца. Следовательно, всего отрезков

Имеем уравнение:

Решим это уравнение: D = 1 + 4 ^.702 = 2809, отсюда n₁= 27, n₂ = -26. Отрицательный корень задачу не удовлетворяет.

Ответ. n = 27

Хотите знать ещё больше?

В задачах кроме числовых данных иногда бывают и параметры. В этом случае решение желательно дополнить соответствующими исследованиями — указать, какие значения могут принимать параметры. Например, решим такую задачу.

Пример:

Найдите стороны равнобедренного треугольника, если известно, что две его неравные высоты равны а и b.

Решение:

Обозначим стороны треугольника буквами: АС = АВ = х, СВ = у (рис. 62).

Рис. 62

Воспользуемся теоремой Пифагора и формулой для вычисления площади треугольника и составим систему

Вычислим из второго уравнения с, подставим его в первое и получим:

Тогда .

Следовательно,

Исследование. В полученных значениях x и у под знаком корня имеем разность 4а² – b², которая должна быть положительной, что возможно только при b < 2а.

Следовательно, данное решение задачи верно не при любых положительных а и b, а лишь при b < 2а.

Далее. Мы рассмотрели случай, когда на основание y и опущена высота а. Но для этих же значений а и b возможен иной вариант (рис. 63). Имеем:

отсюда

В этом случае а < 2b. Ответ. Если a < 2b < 4а, то задача имеет два решения:

Если , тo задача имеет одно решение

Если , тo задача имеет также одно решение

Выполним вместе!

Пример:

Найдите три последовательных целых числа, сумма квадратов которых равна 509.

Решение:

Пусть искомые числа: х -1, х, х + 1. Тогда имеем уравнение: (х – 1)² + х² + (х + 1)² =509. Решим его.

Раскроем скобки и сведём подобные слагаемые: х² -2х + 1+ х²+ х²+2х+1- 509=0,.

3х²-507=0, отсюда х² =169, х₁= 13, х₂=- 13

= 0, отсюда х2 – 169, х, 13, х . = 13. Следовательно, два других числа: 12, 14 или -12, 14. Ответ. 12, 13, 14 или 12. -13, II.

Следовательно, два других числа: 12,14 или -12, -14.

Ответ. 12,13,14 или -12, 13, 14.

ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Квадратные уравнения простейших видов вавилонские математики умели решать ещё 4 тыс. лет тому назад. Со временем их решали также в Китае и Греции. Особое внимание квадратным уравнениям уделил Мухаммед аль-Хо-резми (IX в.). Он показал, как решать (при положительных а и b) уравнения видов х² + ах = b, х² + а = bх, ах + b = х², не используя каких-либо выражений, даже числа записывал словами. Например, уравнение х² + 21 = 10х учил решать так: «Раздели пополам корни, получится пять, и умножь это на равное ему — будет двадцать пять, и отними от этого двадцать один, то останется четыре, добудь из этого корень, будет два, и отними это от половины корней, то есть от пяти, — останется три; это и будет корень, который ты ищешь». Отрицательных корней тогда не вычисляли. Индийские учёные в решении этого вопроса пошли дальше. Они находили также отрицательные корни квадратных уравнений. Например, Бхаскара (1114 -1178), решая уравнение х² – 45х = 250, находит два корня: 50 и 5. И только после этого делает замечание: «Второе значение в данном случае не следует брать, люди ведь не воспринимают отрицательных абстрактных чисел». Алгебраические задачи на составление уравнений индийские учёные записывали в стихотворной форме и рассматривали их как особый вид искусства. Они объясняли: «Как солнце затмевает звёзды своим светом, так и человек учёный способен затмить славу других на народных собраниях, предлагая алгебраические задачи и, тем более, решая их». Формулы корней квадратного уравнения вывел Франсуа Виет (1540—1603). Теорему, впоследствии названную его именем, учёный сформулировал так: «Если (В + В) А -А² равно BD, то А равно В и равно В». Отрицательных корней он не рассматривал. Современные способы решения квадратных уравнений появились благодаря научным трудам Рене Декарта (1596— 1650) и Исаака Ньютона (1643—1727).

ОСНОВНОЕ В ГЛАВЕ

Уравнение — это равенство, которое содержит неизвестные числа, обозначенные буквами. Числа, удовлетворяющие уравнению, — его решения (или корни). Решить уравнение означает найти все его решения либо показать, что их не существует. Два уравнения называют равносильными, если каждое из них имеет те же решения, что и другое. Уравнения, не имеющие решений, также считают равносильными друг другу. Квадратным называют уравнения вида ах² + bх + с = 0, где х — переменная, а, b, с — данные числа, причём . Выражение D = b² – 4ас — его дискриминант. Если , то данное уравнение имеет два корня: Если D — 0, то эти корни равны. Если D < 0, то такое квадратное уравнение не имеет действительных корней. Если необходимо, например, решить квадратное уравнение 2х² + 9х – 5 = 0, то находим его дискриминант: D = 9² – 4^.2 ^.(-5) =121. Поэтому корни уравнения:

Квадратное уравнение называют неполным, если хотя бы один его коэффициент, кроме первого, равен нулю. Уравнение: ах² = 0 имеет единственный корень: х = 0;

ax² = 0 имеет единственный корень: х = 0; ах² +bх = 0 имеет два корня: х₁ = 0, х₂=; ах² + с = 0 имеет два корня: , если с : а < 0, и ни одного, если с • а > 0.

Квадратное уравнение называют приведенным, если его первый коэффициент равен единице. Если уравнение х² + рх + q = 0 имеет два корня, то

Теорема Виета Если приведённое квадратное уравнение х² +рх + q = 0 имеет два корня, то их сумма равна р, а произведение — q.

Квадратные уравнения

• Изучив материал этого параграфа, вы научитесь решать уравнения вида
• Ознакомитесь с теоремой Виета для квадратного уравнения.
• Овладеете приемами решения уравнений, сводящихся к квадратным.

Вы умеете решать линейные уравнения, то есть уравнения вида , где — переменная, и — некоторые числа.

Если то уравнение называют уравнением первой степени.

Например, каждое из линейных уравнений

является уравнением первой степени. А вот линейные уравнения не являются уравнениями первой степени.

Числа и называют коэффициентами уравнения первой степени .

То, что множество уравнений первой степени является подмножеством множества линейных уравнений, иллюстрирует схема на рисунке 34.

Вы также умеете решать некоторые уравнения, содержащие переменную во второй степени. Например, готовясь к изучению новой темы, вы решили уравнения (упражнение 589). Каждое из этих уравнений имеет вид

Определение: Квадратным уравнением называют уравнение вида где — переменная, — некоторые числа, причем

Числа и называют коэффициентами квадратного уравнения. Число называют первым или старшим коэффициентом, число — вторым коэффициентом, число — свободным членом.

Например, квадратное уравнение имеет следующие коэффициенты:

Квадратное уравнение, первый коэффициент которого равен 1, называют приведенным.

Например, — это приведенные квадратные уравнения.

Поскольку в квадратном уравнении старший коэффициент не равен нулю, то неприведенное квадратное уравнение всегда можно преобразовать в приведенное, равносильное данному. Разделив обе части уравнения на число получим приведенное квадратное уравнение

Если в квадратном уравнении хотя бы один из коэффициентов или равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.

Существует три вида неполных квадратных уравнений.

1. При имеем:
2. При и имеем:
3. При и имеем:

Решим неполные квадратные уравнения каждого вида.

1. Поскольку то уравнение имеет единственный корень
2. Уравнение представим в виде Это уравнение имеет два корня и один из которых равен нулю, а другой является корнем уравнения первой степени Отсюда и
3. Уравнение представим в виде Поскольку то возможны два случая: или Очевидно, что в первом случае уравнение корней не имеет. Во втором случае уравнение имеет два корня: и

Обобщим полученные результаты:

Пример:

Решите уравнение

Решение:

При имеем: Отсюда

или Но корень не удовлетворяет условию

При имеем: Отсюда Последнее уравнение не имеет корней.

Ответ: 2.

Формула корней квадратного уравнения

Зная коэффициенты и уравнения первой степени можно найти его корень по формуле

Выведем формулу, позволяющую по коэффициентам и квадратного уравнения находить его корни.

Имеем:

(1)

Поскольку то, умножив обе части этого уравнения на 4а, получим уравнение, равносильное данному:

Выделим в левой части этого уравнения квадрат двучлена:

(2)

Существование корней уравнения (2) и их количество зависят от знака значения выражения Это значение называют дискриминантом квадратного уравнения и обозначают буквой то есть Термин «дискриминант» происходит от латинского слова discriminare, что означает «различать», «разделять».

Теперь уравнение (2) можно записать так:

(3)

Возможны три случая:

1. Если то уравнение (3), а следовательно, и уравнение (1) корней не имеет. Действительно, при любом значении выражение принимает только неотрицательные значения.

Вывод: если то квадратное уравнение корней не имеет.

2. Если то уравнение (3) принимает вид

Отсюда

Вывод: если то квадратное уравнение имеет один корень

3. Если то уравнение (3) можно записать в виде

Отсюда или Тогда или

Вывод: если то квадратное уравнение имеет два корня и

Применяют также краткую форму записи:

Эту запись называют формулой корней квадратного уравнения

Полученную формулу можно применять и в случае, когда Имеем:

При решении квадратных уравнений удобно руководствоваться следующим алгоритмом:

• найти дискриминант квадратного уравнения;
• если то в ответе записать, что корней нет;
• если то воспользоваться формулой корней квадратного уравнения.

Если второй коэффициент квадратного уравнения представить в виде то можно пользоваться другой формулой, которая во многих случаях облегчает вычисления.

Рассмотрим квадратное уравнение Найдем его дискриминант: Обозначим выражение через

Если то по формуле корней квадратного уравнения получаем:

то есть

где

Пример:

Решите уравнение:

Решение:

1) Для данного уравнения

Дискриминант уравнения

Следовательно,

Ответ:

2) Имеем:

Следовательно, данное уравнение имеет один корень:

Заметим, что данное уравнение можно решить другим способом. Умножив обе части уравнения на —2, получаем:

Отсюда

Ответ: 2.

3)

Уравнение имеет два корня:

Ответ можно записать одним из двух способов:

или

4) Следовательно, уравнение не имеет корней.

Ответ: корней нет.

5) Представим данное уравнение в виде и применим формулу корней для уравнения вида

Ответ:

Пример:

Решите уравнение:

Решение:

1) Имеем:

При получаем уравнение которое имеет

корни —8 и 2, однако корень —8 не удовлетворяет условию

При получаем уравнение которое имеет корни —2 и 8, однако корень 8 не удовлетворяет условию

Ответ: —2; 2.

2) Поскольку при то искомые корни должны удовлетворять двум условиям одновременно: и В таком случае говорят, что данное уравнение равносильно системе

Уравнение имеет корни —2 и 12, но корень —2 не удовлетворяет условию

Ответ: 12.

3) Данное уравнение равносильно системе Отсюда

Ответ:

Пример:

При каком значении имеет единственный корень уравнение:

Решение:

1) Данное уравнение является квадратным. Оно имеет единственный корень, если его дискриминант равен нулю. Имеем:

Ответ: или

2) При получаем линейное уравнение имеющее один корень.

При данное уравнение является квадратным. Оно имеет единственный корень, если его дискриминант равен нулю:

Имеем: отсюда или

Ответ: или или

Несколько поколений учителей математики приобретали педагогический опыт, а их учащиеся углубляли свои знания, пользуясь чудесной книгой «Квадратные уравнения» блестящего украинского педагога и математика Николая Андреевича Чайковского. Н. А. Чайковский оставил значительное научное и педагогическое наследие. Его труды известны далеко за пределами Украины.

Теорема Виета

Готовясь к изучению этого пункта, вы выполнили упражнения 677, 678. Возможно, эти упражнения подсказали вам, каким образом сумма и произведение корней квадратного уравнения связаны с его коэффициентами.

Теорема: (теорема Виета). Если и — корни квадратного уравнения то

Доказательство: Условием теоремы предусмотрено, что данное квадратное уравнение имеет корни. Поэтому его дискриминант не может быть отрицательным.

Пусть Применив формулу корней квадратного уравнения, запишем:

Имеем:

Пусть В этом случае считают, что Имеем:

Следствие. Если и — корни приведенного квадратного уравнения то

Иными словами, сумма корней приведенного квадратного уривнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Теорема: (обратная теореме Виета). Если числа и таковы, что и то эти числа являются корнями квадратного уравнения

Доказательство: Рассмотрим квадратное уравнение Преобразуем его в приведенное:

Французский математик, по профессии юрист. В 1591 г. ввел буквенные обозначения не только для неизвестных величин, но и для коэффициентов уравнений, благодаря чему стало возможным выражать свойства уравнений и их корни общими формулами. Среди своих открытий сам Виет особенно высоко ценил установление зависимости между корнями и коэффициентами уравнений.

Согласно условию теоремы это уравнение можно записать так: (*)

Подставим в левую часть этого уравнения вместо сначала число а затем число Получим:

Таким образом, числа и являются корнями уравнения (*), а следовательно, и корнями квадратного уравнения

Следствие. Если числа и таковы, что и то эти числа являются корнями приведенного квадратного уравнения

Это следствие позволяет решать некоторые квадратные уравнения устно, не используя формулу корней квадратного уравнения.

Пример:

Найдите сумму и произведение корней уравнения

Решение:

Выясним, имеет ли данное уравнение корни. Имеем: Следовательно, уравнение имеет два корня и

Тогда по теореме Виета

Пример:

Найдите коэффициенты и уравнения если его корнями являются числа —7 и 4.

Решение:

По теореме Виета

Пример:

Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, корни которого равны: 1) 4 и ; 2) и .

Решение:

1) Пусть и

Тогда По теореме, обратной теореме Виета, числа и являются корнями уравнения Умножив обе части этого уравнения на 7, получаем квадратное уравнение с целыми коэффициентами:

2) Пусть и

Тогда

Следовательно, и являются корнями уравнения Отсюда искомым является уравнение

Пример:

Известно, что и — корни уравнения

Не решая уравнения, найдите значение выражения

Решение:

По теореме Виета

Тогда имеем:

Ответ:

Пример:

Число 4 является корнем уравнения Найдите второй корень уравнения и значение

Решение:

Пусть и — корни данного уравнения, причем По теореме Виета Тогда Имеем:

Ответ:

Пример:

Составьте квадратное уравнение, корни которого на 4 больше соответствующих корней уравнения

Решение:

Пусть и — корни данного уравнения, и — корни искомого уравнения.

По условию

По теореме Виета

Тогда имеем:

Следовательно, по теореме, обратной теореме Виета, искомым является уравнение

Ответ:

Квадратный трехчлен

Определение: Квадратным трехчленом называют многочлен вида где — переменная, и — некоторые числа, причем

Приведем примеры многочленов, являющихся квадратными трехчленами:

Заметим, что левая часть квадратного уравнения является квадратным трехчленом.

Определение: Корнем квадратного трехчлена называют значение переменной, при котором значение квадратного трехчлена равно нулю.

Например, число 2 является корнем квадратного трехчлена

Чтобы найти корни квадратного трехчлена надо решить соответствующее квадратное уравнение

Значение выражения называют дискриминантом квадратного трехчлена

Если то квадратный трехчлен корней не имеет. Если то квадратный трехчлен имеет один корень, если — то два корня.

Рассмотрим квадратный трехчлен Разложим его на множители методом группировки (подобное упражнение, 724, вы выполняли при подготовке к изучению этого пункта).

Имеем:

О таком тождественном преобразовании говорят, что квадратный трехчлен разложили на линейные множители и

Связь между корнями квадратного трехчлена и линейными множителями, на которые он раскладывается, устанавливает следующая теорема.

Теорема: Если дискриминант квадратного трехчлена положительный, то данный трехчлен можно разложить на линейные множители:

где и — корни квадратного трехчлена.

Доказательство: Поскольку числа и являются корнями квадратного уравнения то по теореме Виета

Тогда

Замечание. Если дискриминант квадратного трехчлена равен нулю, то считают, что квадратный трехчлен имеет два равных корня, то есть В этом случае разложение квадратного трехчлена на линейные множители имеет следующий вид:

Теорема:. Если дискриминант квадратного трехчлена отрицательный, то данный трехчлен нельзя разложить на линейные множители.

Доказательство: Предположим, что квадратный трехчлен можно разложить на линейные множители. Тогда существуют такие числа и при которых выполняется равенство Отсюда получаем, что тип — корни данного квадратного трехчлена. Следовательно, его дискриминант неотрицательный, что противоречит условию.

Пример:

Разложите на множители квадратный трехчлен:

Решение:

1) Найдем корни данного трехчлена:

Следовательно,

2) Решим уравнение Имеем:

Следовательно,

3) Решим уравнение Имеем:

Тогда

Пример:

Сократите дробь

Решение:

Разложим на множители квадратный трехчлен, являющийся числителем данной дроби. Решив уравнение получаем:

Теперь можно записать:

Тогда получаем:

Ответ:

Пример:

При каком значении разложение на множители трехчлена содержит множитель

Решение:

Поскольку разложение данного трехчлена на множители должно содержать множитель то один из корней этого трехчлена равен —5. Тогда имеем:

Ответ:

Решение уравнений, приводимых к квадратным уравнениям

Пример:

Решите уравнение

Решение.

Пусть Тогда Подставив в исходное уравнение вместо и соответственно и , получим квадратное уравнение с переменной

Решая это уравнение, находим:

Поскольку то решение исходного уравнения сводится к решению двух уравнений:

Отсюда

Ответ можно записать двумя способами: или

Определение: Уравнение вида где — переменная, и — некоторые числа, причем называют биквадратным уравнением.

Заменой биквадратное уравнение сводится к квадратному уравнению Такой способ решения уравнений называют методом замены переменной.

Метод замены переменной можно использовать не только при решении биквадратных уравнений.

Пример:

Решите уравнение

Решение:

Выполним замену Тогда исходное уравнение сводится к квадратному уравнению

Отсюда

Теперь надо решить следующие два уравнения:

и Первое из них корней не имеет. Из второго уравнения получаем:

или

Отсюда

Ответ: 0; 1.

Пример:

Решите уравнение

Решение:

Пусть Тогда Получаем:

Отсюда

Получаем два уравнения:

Поскольку то эти уравнения корней не имеют, а следовательно, и исходное уравнение корней не имеет.

Ответ: корней нет.

Пример:

Решите уравнение

Решение:

Данное уравнение равносильно системе

Отсюда

Ответ: —3.

Пример:

Решите уравнение

Решение:

Имеем:

Следовательно, данное уравнение равносильно системе

Отсюда

Ответ: 7.

Решение уравнений методом замены переменной

В п. 22 вы ознакомились с решением уравнений методом замены переменной. Рассмотрим еще несколько примеров, иллюстрирующих эффективность этого метода.

Пример:

Решите уравнение

Решение:

Пусть Тогда Получаем уравнение Это уравнение равносильно системе

Отсюда

Теперь решение исходного уравнения сводится к решению двух уравнений

Решите эти уравнения самостоятельно.

Ответ: —3; —1; 2; 6.

Пример:

Решите уравнение

Решение:

Преобразуем это уравнение:

Пусть Тогда

Отсюда

Следовательно, или

Решив эти два квадратных уравнения, получаем ответ.

Ответ:

Пример:

Решите уравнение

Решение:

С помощью проверки легко убедиться, что число 0 не является корнем данного уравнения. Тогда, разделив обе части данного уравнения на перейдем к равносильному уравнению:

Отсюда

Произведем замену: Тогда Получаем уравнение откуда

С учетом замены получаем два уравнения:

Решите эти уравнения самостоятельно.

Ответ:

Пример:

Решите уравнение

Решение:

Пусть Тогда

Отсюда

Такая замена позволяет переписать исходное уравнение следующим образом:

Отсюда

Следовательно, или

Решите эти уравнения самостоятельно.

Ответ:

Пример:

Решите уравнение

Решение:

С помощью проверки можно убедиться, что число 0 не является корнем данного уравнения. Следовательно, можно разделить обе части уравнения на Получим уравнение, равносильное исходному:

Замена приводит к квадратному уравнению

Завершите решение самостоятельно.

Ответ:

Может возникнуть вопрос: почему при решении примеров 1—5 мы не пытались упростить уравнения с помощью тождественных преобразований?

Дело в том, что после тождественных преобразований нам пришлось бы решать уравнение вида (вы можете убедиться в этом самостоятельно). При такое уравнение называют уравнением четвертой степени, при и — уравнением третьей степени. Частным случаем этого уравнения, когда и является биквадратное уравнение. Его вы решать умеете.

В общем случае для решения уравнений третьей и четвертой степеней необходимо знать формулы нахождения их корней. С историей открытия этих формул вы можете ознакомиться в следующем рассказе.

Секретное оружие Сципиона дель Ферро

Вы легко решите каждое из следующих уравнений третьей степени:

Все они являются частными случаями уравнения вида

где — переменная, и — некоторые числа, причем Вывести формулу его корней — задача сложная. Недаром появление этой формулы считают выдающимся математическим открытием XVI века.

Первым изобрел способ решения уравнения вида где и — положительные числа, итальянский математик Сципион дель Ферро (1465-1526). Найденную формулу он хранил в секрете. Это было обусловлено тем, что карьера ученого того времени во многом зависела от его выступлений в публичных математических турнирах. Поэтому было выгодно хранить открытия в тайне, рассчитывая использовать их в математических соревнованиях как секретное оружие.

После смерти дель Ферро его ученик Фиоре, владея секретной формулой, вызвал на математический поединок талантливого математика-самоучку Никколо Тарталья. За несколько дней до турнира Тарталья сам вывел формулу корней уравнения третьей степени. Диспут, на котором Тарталья одержал убедительную победу, состоялся 20 февраля 1535 года.

Впервые секретная формула была опубликована в книге известного итальянского ученого Джероламо Кардан о «Великое искусство». В этой работе также описан метод решения уравнения четвертой степени, открытый Людовико Феррари (1522—1565).

В XVTI-XVIII вв. усилия многих ведущих математиков были сосредоточены на поиске формулы для решения уравнений пятой степени. Получению результата способствовали работы итальянского математика Паоло Руффини (1765-1822) и норвежского математика Нильса Хенрика Абеля. Сам результат оказался абсолютно неожиданным: было доказано, что не существует формулы, с помощью которой можно выразить корни любого уравнения пятой и более высоких степеней через коэффициенты уравнения, используя лишь четыре арифметических действия и действие извлечения корня.

Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций

В п. 7 вы уже ознакомились с задачами, в которых рациональные уравнения служили математическими моделями реальных ситуаций. Теперь, когда вы научились решать квадратные уравнения, можно существенно расширить круг рассматриваемых задач.

Пример:

Из пункта выехал велосипедист, а через 45 мин после этого в том же направлении выехал грузовик, догнавший велосипедиста на расстоянии 15 км от пункта . Найдите скорость велосипедиста и скорость грузовика, если скорость грузовика на 18 км/ч больше скорости велосипедиста.

Решение:

Пусть скорость велосипедиста равна км/ч, тогда скорость грузовика составляет км/ч. Велосипедист проезжает 15 км за ч, а грузовик — за ч. Разность показывает, на сколько часов грузовик проезжает 15 км быстрее, чем велосипедист. Поскольку грузовик проехал 15 км на 45 мин,

то есть на ч, быстрее, чем велосипедист, то получаем уравнение

Решим это уравнение:

Решив квадратное уравнение системы, получим или

Корень —30 не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, скорость велосипедиста равна 12 км/ч, а скорость грузовика составляет: 12 + 18 = 30 (км/ч).

Ответ: 12 км/ч, 30 км/ч.

Пример:

Одна бригада работала на ремонте дороги 7 ч, после чего к ней присоединилась вторая бригада. Через 2 ч их совместной работы ремонт был завершен. За сколько часов может отремонтировать дорогу каждая бригада, работая самостоятельно, если первой для этого требуется на 4 ч больше, чем второй?

Решение:

Пусть первая бригада может самостоятельно отремонтировать дорогу за ч, тогда второй для этого нужно ч. За 1 ч первая бригада ремонтирует часть дороги, а вторая часть дороги. Первая бригада работала 9 ч и отремонтировала дороги, а вторая бригада работала 2 ч и отремонтировала соответственно дороги. Поскольку в результате была отремонтирована вся дорога, то можно составить уравнение

Полученное уравнение имеет два корня: и (убедитесь в этом самостоятельно). Второй корень не удовлетворяет условию задачи, поскольку тогда вторая бригада могла бы отремонтировать дорогу за 3 — 4 = —1 (ч), что не имеет смысла.

Следовательно, первая бригада может отремонтировать дорогу за 12 ч, а вторая — за 8 ч.

Ответ: 12 ч, 8 ч.

Пример:

Водный раствор соли содержал 120 г воды. После того как в раствор добавили 10 г соли, его концентрация увеличилась на 5 %. Сколько граммов соли содержал раствор первоначально?

Решение:

Пусть исходный раствор содержал г соли. Тогда его масса была равна г, а концентрация соли составляла

После того как к раствору добавили 10 г соли, ее масса

в растворе составила г, а масса раствора г. Теперь концентрация соли составляет что на 5 %, то есть на больше, чем Отсюда можно записать:

Полученное уравнение имеет два корня: и (убедитесь в этом самостоятельно), из которых второй корень не удовлетворяет условию задачи.

Следовательно, раствор содержал первоначально 30 г соли.

Ответ: 30 г.

ГЛАВНОЕ В ПАРАГРАФЕ 3

Уравнение первой степени

Уравнение вида где — переменная, и — некоторые числа, причем называют уравнением первой степени.

Квадратное уравнение

Уравнение вида где — переменная, и — некоторые числа, причем называют квадратным уравнением.

Приведенное квадратное уравнение

Квадратное уравнение, первый коэффициент которого равен 1, называют приведенным.

Неполное квадратное уравнение

Если в квадратном уравнении хотя бы один из коэффициентов или равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.

Решение неполного квадратного уравнения

Дискриминант квадратного уравнения

Для уравнения вида где его дискриминант — это значение выражения

Решение квадратного уравнения

Если то квадратное уравнение корней не имеет.

Если то квадратное уравнение имеет один корень

Если то квадратное уравнение имеет два корня и :

Теорема Виета:

Если и — корни квадратного уравнения

то

Теорема, обратная теореме Виета

Если числа и таковы, что и то эти числа являются корнями квадратного уравнения

Квадратный трехчлен

Многочлен вида где — переменная, и — некоторые числа, причем называют квадратным трехчленом.

Разложение квадратного трехчлена на множители

Если дискриминант квадратного трехчлена положительный, то данный трехчлен можно разложить на линейные множители: — корни квадратного трехчлена.

Биквадратное уравнение

Уравнение вида где — переменная, и — некоторые числа, причем называют биквадратным уравнением.

—–

Квадратные уравнения

В этом разделе вы научитесь:

• решать квадратные уравнения различными способами;
• применять квадратные уравнения для решения задач;
• по каким формулам находят площади треугольников и четырёхугольников;
• применять формулы площадей при решении задач;
• находить площадь сложных фигур, разделяя их на простые геометрические фигуры.

Квадратные уравнения широко применяются в строительстве, финансах и дизайне.

На практике также, широко применяются формулы для вычисления площадей.

Это интересно!

Великий учёный Востока аль – Хорезми в своём труде «Китаб мухтасаб ал-джабр и ва-л-мукабала», что в переводе означает «Книга о восполнении и противопоставлении» показал различные способы решения квадратных уравнений. Одним из них является метод подбора. Хорезми выбирал число и подставлял его в уравнение вместо неизвестного. После чего, становилось понятно, является ли данное число корнем уравнения.

Например,

Квадратные уравнения

Уравнение вида при называется квадратным уравнением. Здесь – постоянные, – неизвестная. – первый коэффициент, – второй коэффициент, – свободный член.

Например, в уравнении

Если квадратное уравнение с обеих сторон разделить на , то получим уравнение Здесь, обозначив можно записать

Уравнение вида называется приведённым квадратным уравнением. Например, разделив уравнение на 2, получим равносильное ему приведённое квадратное уравнение

Неполные квадратные уравнения

Если в квадратном уравнении хотя бы один из коэффициентов или равен нулю, то такое уравнение называется неполным квадратным уравнением.

Уравнения, являются неполными квадратными уравнениями.

1) Решение уравнений вида Разделив обе части уравнения на число получим уравнение Его корнями является

Пример 1. Разделим обе части уравнения

2) Решение уравнений вида Для решения таких уравнений применяют вынесение общего множителя за скобку: Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, т.е. или Отсюда следует, что уравнение имеет два корня, один из которых всегда равен

Пример 2. Для решения уравнении надо левую часть уравнения разложить на множители:

3) Решение уравнений вида

Запишем уравнение в виде

Если имеют одинаковые знаки, то действительных корней нет (почему?). Если имеют разные знаки, то уравнение имеет два корня

Пример 3. Решим уравнение

Решение квадратного уравнения методом разложения на множители

Решение уравнения методом разложения на множители

Для разложения левой части уравнения на множители надо найти два числа тип (если это возможно), чтобы их произведение было равно а сумма . Если являются целыми числами, то и – также целые числа. В этом случае, если то заданной уравнение можно записать в виде :

Пример 1. В уравнении Так как и положительные числа, то надо найти два положительных числа, чтобы их произведение было равно 8, а сумма – равна 6. Это числа 2 и 4. Зная, что то уравнение можно записать в виде Отсюда находим

Пример 2. Так как в уравнении отрицательное число, а положительное, то надо найти два отрицательных числа, чтобы их произведение было равно 18, а сумма была равна -9. Зная, что то уравнение можно записать так Отсюда находим

Пример 3.

Корни уравнения

Пример 4.

Корни уравнения

Решение уравнения вида методом разложения на множители

Для разложения левой части уравнения на множители, надо найти два числа, чтобы их произведение было равно а сумма Тогда за-данное уравнение можно решить записав его в виде

Пример 1. Запишем уравнение в виде

Числа и такие , что

Тогда

Пример 2. Решим уравнение В нём тогда а значит оба числа и отрицательные. Найдём два целых отрицательных, числа, произведение которых равно 40, а сумма равна -13. Это числа -5 и -8.

Пример 3. В трёхчлене Составим список целых отрицательных множителей числа 16. Как видно целых чисел, которые удовлетворяют условию не существует. Это говорит о том, что данный трёхчлен невозможно разложить на множители.

Метод выделения полного квадрата

Для выделения полного квадрата из двухчленах его надо дополнить членом

Это правило одинаково как для положительных, так и для отрицательных Пример 1. Запишем уравнение в виде С обеих сторон дополним данное уравнение

Пример 2. Для решения уравнения методом выделения полного квадрата, сначала запишем его в виде Для того, чтобы выражение слева соответствовало модели площади квадрата, не хватает всего одной единичной алгебраической карты. Значит, с каждой стороны следует добавить 1. Тогда выражение слева можно представить в виде квадрата двухчлена так

Решение квадратного уравнения графическим методом

Графический метод

Запишем уравнение в виде Тогда решением уравнения будут абсциссы точек пересечения параболы и прямой При этом прямая может пересекаться с параболой (тогда уравнение имеет два различных корня), может касаться параболы (в этом случае уравнение удовлетворяется при единственном значении неизвестного) или может вообще не иметь общих точек с параболой (тогда уравнение не имеет действительных-корней).

Пример:

Графики пересекаются в двух точках. Абсциссы точек пересечения равны — 3 и 1. При проверке убеждаемся, что обе точки являются корнями уравнения.

Пример:

Для построения прямой составим таблицу

Абсцисса точки касания прямой и параболы равна 1. Уравнение удовлетворяется при единственном значении неизвестного:

Пример:

Графики не имеют точек пересечения. Это говорит о том, что данное уравнение не имеет действительных корней.

Обе части квадратного уравнения можно преобразовать в приведённое квадратное уравнение, разделив его на которое затем удобно решить по способу, представленному выше. Обычно графическим способом находятся приближенные значения корней.

Калькулятор для построения графиков

Используя онлайн калькуляторы для построения графиков можно построить различные графики. На рисунке представлены графики функций построенные при помощи графического калькулятора www.meta-calculator.com/online.

Решить квадратное уравнение также можно при помощи графического калькулятора, построив в одной системе координат параболу и прямую

На рисунке корни уравнение записанного в виде найдены графически при помощи графического калькулятора www.my.hrw.com/malh06_07/nsmedia/tools/Graph_Calcula-tor/graphCa lc.html

Формула для нахождения корней квадратного уравнения

Мы уже научились находить корни квадратного уравнения методом разложения на множители и методом выделения полного квадрата. Для нахождения корней любого квадратного уравнения методом выделения полного квадрата можно записать обобщённую формулу.

При эта формула является формулой корней квадратного уравнения

Если в формуле для нахождения корней квадратного уравнения принять то ее можно записать как

Наличие корней квадратного уравнения зависит от знака называется дискриминантом (определителем) квадратного уравнения.

1) Если то уравнение не имеет действительных корней.

2) Если то уравнение имеет два равных корня.

3) Если то уравнение имеет два различных корня:

Пример:

В уравнении Тогда а это значит, что уравнение имеет два различных действительных корня.

В уравнении дискриминант находится по формуле для приведённого квадратного уравнения При для корней приведённого квадратного уравнения, верны следующие формулы

Если второй коэффициент квадратного уравнения является четным числом (т.е. ), то уравнение можно записать в виде Тогда Обозначим тогда

Пример:

Решим уравнение

Теорема Виета

Решим приведённое квадратное уравнение: По формуле нахождения корней приведённого квадратного уравнения имеем т.е.

Внимание! Если сложить найденные корни, то получим число противоположное коэффициенту при На самом деле, из уравнения с другой стороны Если умножить полученные корни, получим число равное свободному члену уравнения: 3 • 4 = 12. Это свойство верно для любого приведённого квадратного уравнения.

Теорема: В приведённом квадратном уравнении сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение, равно свободному члену

Доказательство: Известно, что корни приведённого квадратного уравнения Отсюда получим:

Таким образом, для уравнения Если обе части любого квадратного уравнения разделить на , то получим равносильное приведённое квадратное уравнение Тогда к нему можно будет применить теорему Виета. Сумма корней равна а произведение равно Теорема Виета остаётся в силе, если (когда квадратное уравнение имеет два равных корня).

Найдём корни квадратного уравнения методом подбора. По теореме Виета

Таким образом корнями уравнения являются числа 4 и 5.

Теорема, обратная теореме Виета

Обратная теорема. Если сумма чисел равна а произведение равно то эти числа являются корнями уравнения

Эту теорему можно записать так: любые числа являются корнями уравнения

Доказательство. На самом деле, если принять, что то получим: т.е. число действительно удовлетворяет уравнению. Таким же образом можно показать, что число также является корнем уравнения.

Пример:

Составим квадратное уравнение, если известно, что числа и являются его корнями. Так как то уравнение будет выглядеть как

Решение задач при помощи квадратных уравнений

Задача. Один из катетов прямоугольного треугольника на 2 см больше другого и на 2 см меньше гипотенузы. Найдите периметр треугольника.

1 этап – составление уравнения

Обозначим длину одного из катетов через тогда длина другого катета будет а гипотенуза будет равна

2 этап – решение уравнения. Согласно теореме Пифагора получим уравнение

3 этап – решение уравнения. Преобразуем уравнение Отсюда

4 этап – анализ результата.

Решению задачи соответствует корень т.к. длины сторон выражаются положительными числами. Тогда длина другого катета будет а длина гипотенузы Периметр: Ответ: периметр треугольника равен 24 см.

• Заказать решение задач по высшей математике

Квадратные уравнения

Квадратные уравнения. Неполные квадратные уравнения

В математике, физике, экономике, практической деятельности человека встречаются задачи, математическими моделями которых являются уравнения, содержащие переменную во второй степени.

Пример №256

Длина земельного участка на 15 м больше ширины, а площадь равна Найдите ширину участка.

Решение:

Пусть м- ширина участка, тогда ее длина – м. По условию задачи площадь участка равна Тогда Получаем уравнение:

Такое уравнение называют квадратным.

Квадратным уравнением называют уравнение вида где —переменная, — некоторые числа, причем

Например, уравнения также являются квадратными.

Числа называют коэффициентами квадратного уравнения, число – первым коэффициентом, число – вторым коэффициентом, число – свободным членом.

В уравнении коэффициенты следующие: В уравнении следующие: а в уравнении следующие:

Квадратное уравнение, первый коэффициент которого равен 1, называют приведенным. Уравнение – приведенное, а уравнение – не является приведенным.

Если в квадратном уравнении хотя бы один из коэффициентов или равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.

Например, неполным квадратным уравнением, в котором является уравнение в котором -уравнение в котором – уравнение

Таким образом, неполные квадратные уравнения бывают трех видов:

Рассмотрим решение каждого из них.

1.Уравнение вида

Так как имеем уравнение корнем которого является число 0.

Следовательно, уравнение имеет единственный корень:

2.Уравнение вида

Имеем то есть Так как Если то уравнение имеет два корня:

Если то уравнение корней не имеет.

Пример №257

Решите уравнение:

Решение:

Ответ. 2) корней нет.

3. Уравнение вида

Разложим левую часть уравнения на множители и решим полученное уравнение где

Значит, уравнение имеет два корня:

Пример №258

Решите уравнение

Решение:

Имеем:

Таким образом,

Ответ.

Систематизируем данные о решениях неполного квадратного уравнения в виде схемы:

Формула корней квадратного уравнения

Рассмотрим полное квадратное уравнение где и найдем его решения в общем виде.

Умножим левую и правую части уравнения на (так как

Далее прибавим к обеим частям уравнения

Так как получим:

Выражение называют дискриминантом квадратного уравнения

Слово дискриминант происходит от латинского различающий. Дискриминант обозначают буквой

Учитывая, что запишем уравнение в виде:

и продолжим его решать.

Рассмотрим все возможные случаи в зависимости от значения

(при делении на учли, что

Следовательно, если то уравнение имеет два различных корня:

Коротко это можно записать так:

Получили формулу корней квадратного уравнения.

2) Тогда имеем уравнение

откуда

Таким образом, если то уравнение имеет один корень: Этот корень можно было бы найти и по формуле корней квадратного уравнения, учитывая, что Поэтому можно считать, что уравнение при имеет два одинаковых корня, каждый из которых равен

3) В этом случае уравнение не имеет корней, так как не существует такого значения при котором значение выражения было бы отрицательным.

Систематизируем данные о решениях квадратного уравнения с помощью схемы:

Пример №259

Решите уравнение:

Решение:

Ответ:

Пример №260

Решите уравнение

Решение:

Умножим левую и правую части уравнения на чтобы его коэффициенты стали целыми числами, получим уравнение:

тогда

Так как то

Ответ.

Неполные квадратные уравнения и некоторые виды полных квадратных уравнений (например, вида вавилонские математики умели решать еще 4 тыс. лет назад. В более поздние времена некоторые квадратные уравнения в Древней Греции и Индии математики решали геометрически. Приемы решения некоторых квадратных уравнений без применения геометрии изложил древнегреческий математик Диофант (III в.).

Много внимания квадратным уравнениям уделял арабский математик Мухаммед ал-Хорезми (IX в.). Он нашел, как решить уравнения вида (для положительных и получить их положительные корни.

Формулы, связывающие между собой корни квадратного уравнения и его коэффициенты, были найдены французским математиком Франсуа Виетом в 1591 году. Он пришел к следующему выводу (в современных обозначениях): «Корнями уравнения являются числа

После публикации трудов нидерландского математика А. Жирара (1595-1632), а также француза Р. Декарта (1596-1650) и англичанина И. Ньютона (1643-1727) формула корней квадратного уравнения приобрела современный вид.

Теорема Виета

Рассмотрим несколько приведенных квадратных уравнений, имеющих два различных корня. Внесем в таблицу следующие данные о них: само уравнение, его корни сумму его корней произведение его корней

Обратим внимание, что сумма корней каждого из уравнений таблицы равна второму коэффициенту уравнения, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Это свойство выполняется для любого приведенного квадратного уравнения, имеющего корни.

Приведенное квадратное уравнение в общем виде обычно записывают так:

Теорема Виета. Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней – свободному члену.

Доказательство: Пусть – корни приведенного квадратного уравнения дискриминант которого Если то уравнение имеет два корня:

Если то уравнение имеет два одинаковых корня:

Найдем сумму и произведение корней:

Следовательно, Теорема доказана.

Эту теорему называют теоремой Виета – в честь выдающегося французского математика Франсуа Виета, который открыл это свойство. Его можно сформулировать следующим образом:

Если и — корни приведенного квадратного уравнения

Два последних равенства, показывающих связь между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения, называют формулами Виста.

Используя теорему Виета, можно записать соответствующие формулы и для корней любого неприведенного квадратного уравнения

Так как разделим обе части уравнения на Получим приведенное квадратное уравнение:

Тогда по теореме Виета:

Если — корни неприведенного квадратного уравнения то

Пример №261

Не решая уравнения найдите сумму и произведение его корней.

Решение:

Найдем дискриминант уравнения, чтобы убедиться, что корни существуют: Очевидно, что следовательно, уравнение имеет два корня

По теореме Виета:

Ответ.

Если в уравнении коэффициент является целым числом, то из равенства следует, что целыми корнями этого уравнения могут быть только делители числа

Пример №262

Найдите подбором корни уравнения

Решение:

Пусть – корни данного уравнения. Тогда Если – целые числа, то они являются делителями числа -4. Ищем среди этих делителей два таких, сумма которых равна -3. Нетрудно догадаться, что это числа 1 и -4. Таким образом,

Ответ. 1; -4.

Пример №263

Один из корней уравнения равен 3. Найдите коэффициент и второй корень уравнения.

Решение:

Пусть – один из корней уравнения – второй его корень. По теореме Виета: Учитывая, что имеем:

Ответ.

Пример №264

Пусть – корни уравнения Не решая уравнения, найдите значение выражения:

Решение:

По теореме Виета:

Тогда: 1)

Ответ.

Справедливо и утверждение, обратное теореме Виета.

Теорема (обратная теореме Виета). Если числа и таковы, что то эти числа являются корнями уравнения

Доказательство: По условию Поэтому уравнение можно записать так:

Проверим, является ли число корнем этого уравнения, для чего подставим в левую часть уравнения вместо переменной число Получим:

Следовательно, – корень этого уравнения.

Аналогично подставим в левую часть уравнения вместо переменной число Получим:

то есть – также корень этого уравнения.

Таким образом, корни уравнения что и требовалось доказать.

Пример №265

Составьте приведенное квадратное уравнение, корнями которого являются числа -5 и 2.

Решение:

Искомое квадратное уравнение имеет вид По теореме, обратной теореме Виета:

Таким образом, – искомое уравнение.

Ответ,

Квадратное уравнение как математическая модель текстовых и прикладных задач

В 7 классе мы уже знакомились с задачами, которые можно решить с помощью линейных уравнений или систем линейных уравнений. Для решения прикладной задачи сначала создают ее математическую модель, то есть записывают зависимость между известными и неизвестными величинами с помощью математических понятий, отношений, формул, уравнений и т. п. Математической моделью многих задач в математике, физике, технике, практической деятельности человека может быть не только линейное уравнение или система линейных уравнений, но и квадратное уравнение.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример №266

Разность кубов двух натуральных чисел равна 279. Найдите эти числа, если одно из них на 3 больше другого.

Решение:

Пусть меньшее из этих чисел равно тогда большее равно По условию задачи имеем уравнение:

Упростим левую часть уравнения.

Получим: откуда По условию задачи Поэтому условию удовлетворяет только число 4. Следовательно, первое искомое число 4, а второе

Ответ. 4; 7.

Пример №267

В кинотеатре количество мест в ряду на 6 больше количества рядов. Сколько рядов в кинотеатре, если мест в нем 432?

Решение:

Пусть в кинотеатре рядов, тогда мест в каждом ряду Всего мест в зале

Имеем уравнение:

Перепишем уравнение в виде откуда

По смыслу задачи значение должно быть положительным. Этому условию удовлетворяет только Следовательно, в кинотеатре 18 рядов.

Ответ. 18 рядов.

Пример №268

У выпуклого многоугольника 54 диагонали. Найдите, сколько у него вершин.

Решение:

Пусть у многоугольника вершин. Из каждой его вершины выходит диагонали. Тогда из всех его вершин выходит диагонали. Но при этом каждую из его диагоналей посчитали дважды. Следовательно, всего диагоналей будет

Получим уравнение: то есть откуда Отрицательный корень уравнения не может быть решением задачи.

Ответ. 12.

Пример №269

Тело подбросили вертикально вверх со скоростью Высота (в м), на которой через с будет тело, вычисляется по формуле В какой момент времени тело окажется на высоте 15 м?

Решение:

По условию: , следовательно, после упрощения имеем уравнение: решив которое, найдем корни:

Оба корня являются решением задачи, так как на высоте 15 м тело окажется дважды: сначала при движении вверх (это произойдет через 1 с), а во второй раз – при падении (это произойдет через 3 с).

Ответ. 1 с, 3 с.

Пример №270

В 9 часов утра из базового лагеря в восточном направлении отправилась группа туристов со скоростью Через час из того же лагеря со скоростью отправилась другая группа туристов, но в северном направлении. В котором часу расстояние между группами туристов будет 17 км?

Решение:

За первый час первая группа туристов преодолеет 5 км: (рис. 19). Дальше будут двигаться обе группы.

Пусть расстояние в 17 км между группами будет через часов после начала движения второй группы. Тогда за это время первая группа преодолеет км, а вторая – км, Всего первая группа преодолеет расстояние

Из по теореме Пифагора тогда имеем уравнение: откуда

Учитывая, что получим

Следовательно, расстояние 17 км между группами туристов будет в 12 часов.

Ответ. В 12 часов.

В результате хозяйственной деятельности человека возникли прикладные задачи, решением которых люди занимаются уже на протяжении нескольких тысячелетий. Самые древние из известных нам письменных памятников, содержащих правила нахождения площадей и объемов, были составлены в Египте и Вавилоне приблизительно 4 тыс. лет назад. Около 2,5 тыс. лет назад греки переняли геометрические знания египтян и вавилонян и стали развивать теоретическую (чистую) математику.

Также в древние времена математики использовали математические модели, в частности и для геометрических построений (метод подобия фигур).

Современное понятие математической модели в качестве описания некоторого реального процесса языком математики стали использовать в середине XX в. в связи с развитием кибернетики – науки об общих законах получения, хранения, передачи и обработки информации. А раздел современной математики, изучающий математическое моделирование реальных процессов, даже выделили в отдельную науку – прикладную математику.

Существенный вклад в развитие прикладной математики был сделан нашими выдающимися земляками – математиками М.П. Кравчуком и М.В. Остроградским.

Развитие кибернетики связывают с именем академика Виктора Михайловича Глушкова – выдающегося математика, доктора физико-математических наук, профессора. В 1953 г. он возглавил лабораторию вычислительной техники Института математики, стал ее мозговым и энергетическим центром. На базе этой лаборатории в 1957 г. был создан Вычислительный центр, а в 1962 г. -Институт кибернетики который и возглавил В.М. Глушков. Лаборатория известна тем, что в 1951 г. в ней создали первую в Евразии Малую электронную счетную машину, а уже в Вычислительном центре завершили работу по созданию первой большой электронно-вычислительной машины. Сегодня Институт кибернетики носит имя В.М. Глушкова и является, в частности, разработчиком прикладных информационных технологий для решения неотложных практических задач, возникающих при моделировании экономических процессов, проектировании объектов теплоэнергетики, решении проблем экологии и защиты окружающей среды.

Квадратный трехчлен. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители

Выражения являются многочленами второй степени с одной переменной стандартного вида. Такие многочлены называют квадратными трехчленами.

Квадратным трехчленом называют многочлен вида переменная, – числа, причем

Например, выражение является квадратным трехчленом, у которого

Пример №271

Рассмотрим квадратный трехчлен Если то его значение равно нулю. Действительно, В таком случае число -1 называют корнем этого квадратного трехчлена.

Корнем квадратного трехчлена называют значение переменной, при котором значение трехчлена обращается в нуль.

Чтобы найти корни квадратного трехчлена нужно решить уравнение

Пример №272

Найдите корни квадратного трехчлена

Решение:

Решим уравнение Получим: Следовательно, корни квадратного трехчлена

Ответ.

Квадратный трехчлен, как и квадратное уравнение, может иметь два различных корня, один корень (то есть два равных корня) или не иметь корней. Это зависит от знака дискриминанта квадратного уравнения который также называют и дискриминантом квадратного трехчлена

Если то квадратный трехчлен имеет два различных корня, если то квадратный трехчлен имеет один корень (то есть два равных корня), если то квадратный трехчлен не имеет корней.

Если корни квадратного трехчлена известны, то его можно разложить на линейные множители, то есть на множители, являющиеся многочленами первой степени.

Теорема (о разложении квадратного трехчлена на множители). Если корни квадратного трехчлена то справедливо равенство

Доказательство: Если – корни квадратного уравнения (по теореме Виета).

Для доказательства теоремы раскроем скобки в правой части равенства:

Таким образом, что и требовалость доказать.

Если же квадратный трехчлен не имеет корней, то на линейные множители его разложить нельзя.

Пример №273

Разложите на множители квадратный трехчлен:

Решение:

1) Корни трехчлена – числа -1 и 2,5. Поэтому Это можно записать иначе, умножив первый в разложении множитель -2 на двучлен Получим:

2) Квадратное уравнение не имеет корней. Поэтому квадратный трехчлен на множители не разлагается.

3) Квадратное уравнение имеет два одинаковых корня Поэтому

Нетрудно заметить, что если квадратный трехчлен имеет два равных корня, то он представляет собой квадрат двучлена или произведение некоторого числа на квадрат двучлена.

Пример №274

Сократите дробь

Решение:

Числа 1 и -0,5 – корни квадратного трехчлена Поэтому Имеем:

Ответ.

При решении некоторых задач, связанных с квадратным трехчленом бывает удобно представить его в виде – некоторые числа. Такое преобразование называют выделением квадрата двучлена из квадратного трехчлена.

Пример №275

Выделите из трехчлена квадрат двучлена.

Решение:

Вынесем за скобки множитель 2:

Воспользовавшись формулой квадрата суммы двух чисел преобразуем выражение в скобках, считая, что Тогда откуда определяем, что число 4 является вторым слагаемым квадрата суммы, то есть поэтому добавим и вычтем

Ответ.

Пример №276

Дан квадратный трехчлен При каком значении он принимает наибольшее значение? Найдите это значение.

Решение:

Выделим из трехчлена квадрат двучлена:

Выражение при любом значении принимает не положительное значение, то есть причем это выражение равно нулю только при Поэтому при значение данного в условии трехчлена равно 16 и является для него наибольшим.

Таким образом, квадратный трехчлен принимает наибольшее значение, равное 16, при

Ответ. 16 при

Решение уравнений, сводящихся к квадратным

Дробные рациональные уравнения

Решение дробных рациональных уравнений часто сводится к решению квадратных уравнений. Вспомним один из методов решения дробного рационального уравнения

Пример №277

Решите уравнение

Решение:

Чтобы найти область допустимых значений переменной и общий знаменатель, разложим на множители знаменатели дробей в уравнении:

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель дробей – выражение учитывая ОДЗ: Получим:

откуда

Ответ. 3.

Метод разложения многочлена на множители

Некоторые уравнения, правая часть которых равна нулю, можно решить с помощью разложения левой части на множители.

Пример №278

Решите уравнение

Решение:

Вынесем в левой части уравнения общий множитель за скобки. Получим:

Таким образом, уравнение имеет три корня:

Ответ. 0; 3; -5.

Биквадратные уравнения

Уравнение вида где называют биквадратным уравнением. Его можно решить с помощью введения новой переменной, то есть обозначив Тогда а исходное уравнение принимает вид:

Такой метод решения называют методом введения новой переменной или методом замены переменной.

Пример №279

Решите уравнение

Решение:

Сделаем замену получим уравнение корнями которого являются числа

Вернемся к переменной

Таким образом, корни исходного уравнения – числа 2 и -2.

Ответ. 2; -2.

Метод замены переменной

Не только биквадратные, но и некоторые другие виды уравнений можно решить, используя замену переменной.

Пример №280

Решите уравнение

Решение:

Если мы раскроем скобки в левой части уравнения, получим уравнение четвертой степени, которое не всегда возможно решить методами школьной математики. Поэтому скобки раскрывать не будем. Заметим, что в обеих скобках выражения, содержащие одинаковы, поэтому можно воспользоваться заменой Получим уравнение которое является квадратным относительно переменной Перепишем его в виде откуда

Возвращаемся к переменной

Таким образом, корнями исходного уравнения являются числа

Ответ.

Пример №281

Решите уравнение

Решение:

Раскроем скобки в каждой части уравнения:

Заметим, что выражения, содержащие переменную в обеих частях уравнения одинаковы, поэтому сделаем замену Получим уравнение с переменной

Найдем его корни:

Вернемся к переменной

Таким образом, исходное уравнение имеет три корня:

Ответ.

Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений

Дробные рациональные уравнения также могут служить математическими моделями текстовых задач.

Пример №282

Из одного города в другой, расстояние между которыми 560 км, одновременно выехали легковой и грузовой автомобили. Скорость легкового была на больше скорости грузового, поэтому он прибыл в пункт назначения на 1 ч раньше грузового. Найдите скорость каждого автомобиля.

Решение:

Пусть скорость грузового автомобиля Систематизируем условие задачи в виде таблицы:

Так как значение величины на 1 ч меньше значения величины то можем составить уравнение:

У него два корня: Отрицательный корень не соответствует смыслу задачи, поэтому скорость грузового автомобиля 70 Тогда скорость легкового автомобиля:

Ответ.

Пример №283

Мастер и его ученик, работая вместе, могут выполнить задание за 8 ч. За сколько часов может выполнить это задание самостоятельно каждый из них, если мастеру на это нужно на 12 ч меньше, чем его ученику?

Решение:

Пусть мастеру для самостоятельного выполнения задания нужно ч, тогда ученику ч. Если вид и объем работ в задачах на работу не конкретизирован (как в данном случае), его принято обозначать единицей. Напомним, что производительность труда – это объем работы, выполняемый за единицу времени. Тогда за 1 ч мастер выполнит — часть задания, а ученик часть, это и есть их производительности труда. По условию задачи мастер и ученик проработали 8 ч, поэтому мастер выполнил часть задания, а ученик Учитывая, что они выполнили все задание, имеем уравнение:

откуда

Второй корень не соответствует смыслу задачи, так как является отрицательным.

Таким образом, мастер, работая отдельно, может выполнить задание за 12 ч, а его ученик – за

Условие этой задачи, как и предыдущей, можно также систематизировать в виде таблицы:

Ответ. 12 ч и 24 ч.

Обратите внимание, что условия большинства задач на движение или работу можно систематизировать в виде таблицы, что поможет избежать громоздких текстовых записей.

«Желаю тебе стать вторым Остроградским…»

Михаил Васильевич Остроградский родился 12 сентября 1801 года в д. Пашенная Полтавской губернии (в настоящее время деревня Пашеновка). Предки Михаила Васильевича служили в казацком войске, участвовали во многих боях, не раз проявляли военную доблесть и героизм. По-видимому, именно поэтому в детстве Михаил Васильевич так мечтал стать военным. Но ему суждено было стать всемирно известным ученым.

В детстве Михаил обладал исключительной наблюдательностью и увлекался измерениями. Учился он в пансионе при Полтавской гимназии, потом в этой гимназии. Закончив ее, стал свободным слушателем Харьковского университета, а в дальнейшем и его студентом. После окончания университета с отличием в августе 1820 года, менее чем через год (в апреле 1821 года) получил степень кандидата наук за исследования в прикладной математике. В 1822 году Остроградский уезжает в Париж, чтобы усовершенствовать М.В. Остроградский свое математическое образование, и становится слушателем университета в Сорбонне.

Именно там он публикует свои первые научные труды, становится известным ученым и заслуживает уважение французских математиков. За неимением средств Михаил Васильевич вынужден был покинуть Париж, преодолев пешком зимой 1828 года путь от Парижа до Петербурга.

Научные круги Петербурга встретили молодого ученого с радостью и надеждой. Его авторитет среди петербургских деятелей науки был высоким и незыблемым. В том же 1828 году Остроградский начинает преподавательскую деятельность в Морском кадетском корпусе Петербурга, его избирают адъюнктом Петербургской академии наук. А с 1830 года преподает еще в четырех высших учебных заведениях Петербурга. В 1834 году Остроградский был избран членом Американской академии наук, в 1841 году – членом Туринской академии, в 1853 – членом Римской академии Линчей и в 1856 году -членом-корреспондентом Парижской академии наук.

Лекции Остроградского посещали не только студенты, но и преподаватели, профессура, известные математики. Всем нравилась его система преподавания предмета – широта темы, но при этом выразительность и сжатость изложения, а также его остроумие. На лекциях он украшал свою речь словами, пословицами и поговорками. Поэтому студенты вспоминали его лекции с восторгом.

Любимым писателем Остроградского был Т.Г. Шевченко, с которым он был лично знаком и значительную часть произведений которого, зная наизусть, охотно декламировал. В 1858 году, когда Тарас Григорьевич возвращался из ссылки на родину через Петербург, Михаил Васильевич предложил Кобзарю остановится в его петербургской квартире.

Вернувшись из ссылки, Шевченко писал в «Дневнике»: «Великий математик принял меня с распростертыми объятиями, как земляка и как надолго выехавшего члена семьи».

Михаил Васильевич был выдающимся, оригинальным, всесторонне одаренным человеком. Его ценили не только за ум, но и за независимость, демократизм, скромность, искренность и простоту, за уважение к людям труда. Находясь на вершине славы, отмеченный за свои научные труды во всей Европе, Остроградский был прост в общении и не любил говорить о своих заслугах.

И какие бы проблемы не решал ученый (занимался он алгеброй, прикладной математикой, теорией чисел, теорией вероятностей, механикой и т. п.), все его научные труды отличаются глубиной мысли и оригинальностью, в них неизменно присутствует широта его взглядов, умение углубиться в суть проблемы, систематизировать и обобщить.

На всю жизнь Михаил Васильевич сохранил любовь к родной Земле и родному языку. Почти ежегодно летом он выезжал с целью погрузиться в полное спокойствие и полюбоваться замечательными пейзажами. Летом 1861 года Остроградский, пребывая на родине, заболел и 1 января 1862 года умер.

За свою почти 40-летнюю научную деятельность Михаил Васильевич написал свыше 50 трудов из разных отраслей математики: математического анализа, аналитической и небесной механики, математической физики, теории вероятностей. Свои педагогические взгляды М.В. Остроградский изложил в учебниках по элементарной и высшей математике.

Именем М.В. Остроградского назван Кременчугский национальный университет.

И хотя почти всю свою жизнь Михаил Остроградский занимался наукой, он был широко известен своим соотечественникам. Авторитет и популярность М.В. Остроградского были настолько значимыми, что родители, отдавая ребенка на учебу, желали ему «стать вторым Остроградским».

Сведения из курса математики 5-6 классов и алгебры 7 класса

Десятичные дроби

Сложение и вычитание десятичных дробей выполняют поразрядно, записывая их одна под другой так, чтобы запятая размещалась под запятой.

Примеры:

Чтобы перемножить две десятичные дроби, надо выполнить умножение, не обращая внимания на запятые, а потом в произведении отделить занятой справа налево столько цифр, сколько их после занятой в обоих множителях вместе.

Примеры:

Чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число, надо выполнить деление, не обращая внимания на запятую, но после окончания деления целой части делимого нужно в частном поставить занятую.

Примеры:

Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную, нужно в делимом и делителе перенести запятую на столько цифр вправо, сколько их стоит после запятой в делителе, а затем выполнить деление на натуральное число.

Пример:

Обычные дроби

Частное от деления числа на число можно записать в виде обычной дроби где числитель дроби, – ее знаменатель.

Основное свойство дроби: значение дроби не изменится, если ее числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же натуральное число.

Примеры:

(сократили дробь на 5);

(привели дробь к знаменателю 14).

Дроби с одинаковыми знаменателями складывают и вычитают по формулам:

Примеры:

Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, их сначала приводят к общему знаменателю, а затем выполняют действие по правилу сложения или вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

Примеры:

На следующих примерах показано, как выполнить сложение и вычитание смешанных чисел.

Примеры:

Чтобы умножить две дроби, нужно перемножить их числители и их знаменатели и первый результат записать числителем произведения, а второй – знаменателем:

Примеры:

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно делимое умножить на дробь, обратную делителю:

Примеры:

Положительные и отрицательные числа

Модулем числа называют расстояние от начала отсчета до точки, изображающей это число на координатной прямой.

Модуль положительного числа и числа нуль – само это число, а модуль отрицательного – противоположное ему число:

Примеры:

Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно сложить их модули и перед полученным результатом записать знак

Пример:

Чтобы сложить два числа с разными знаками, нужно из большего модуля слагаемых вычесть меньший модуль и перед полученным результатом записать знак слагаемого с большим модулем.

Примеры:

Чтобы из одного числа вычесть другое, нужно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому:

Примеры:

Произведение двух чисел с одинаковыми знаками равно произведению их модулей. Произведение двух чисел с разными знаками равно произведению их модулей, взятому со знаком «-».

Примеры:

Частное двух чисел с одинаковыми знаками равно частному от деления их модулей. Частное двух чисел с разными знаками равно частному от деления их модулей, взятому со знаком «-».

Примеры:

Уравнение

Корнем, или решением, уравнения называют число, обращающее уравнение в правильное числовое равенство.

Примеры:

1) Число 3 является корнем уравнения так как

2) Число -2 не является корнем уравнения так как

Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

Два уравнения называют равносильными, если они имеют одни и те же корни. Равносильными считают и уравнения, не имеющие корней.

Примеры:

1) Уравнения равносильны, так как каждое из них имеет единственный корень, равный 2.

2) Уравнения не являются равносильными, так как корень первого – число 1, а второго – число 2.

Для решения уравнений используют следующие свойства:

1) если в любой части уравнения раскрыть скобки или привести подобные слагаемые, получим уравнение, равносильное данному;

2) если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак на противоположный, получим уравнение, равносильное данному;

3) если обе части уравнения

Уравнение вида где числа, переменная, называют линейным уравнением с одной переменной.

Решение линейного уравнения представим в виде схемы:

Примеры:

В большинстве случаев уравнения последовательными преобразованиями приводят к линейному уравнению, равносильному данному.

Примеры:

Раскроем скобки: Перенесем слагаемые, содержащие переменную, в левую часть уравнения, остальные – в правую, изменив знаки переносимых слагаемых на противоположные: приведем подобные слагаемые: решим полученное линейное уравнение:

Ответ.

Умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей дробей – число 6:

Дальше решаем, как в предыдущем примере:

Ответ. Любое число.

Степень с натуральным показателем

Степенью числа с натуральным показателем называют произведение множителей, каждый из которых равен Степенью числа с показателем 1 называют само это число.

Примеры:

Свойства степени с натуральным показателем

Примеры:

Используя свойства степени с натуральным показателем, можем существенно упростить вычисления.

Одночлен

Целые выражения – числа, переменные, их степени и произведения называют одночленами.

Например – одночлены; выражения Не одночлены.

Если одночлен содержит только один числовой множитель, записанный первым, и содержит степени разных переменных, то такой одночлен называют одночленом стандартного вида.

Например, – одночлен стандартного вида, а одночлен не является одночленом стандартного вида.

Этот одночлен можно привести к одночлену стандартного вида:

Умножение одночленов

Примеры:

Возведение одночлена в степень

Примеры:

Многочлен

Многочленом называют сумму одночленов. Многочлен, являющийся суммой одночленов стандартного вида, среди которых нет подобных слагаемых, называют многочленом стандартного вида.

Многочлен не является многочленом стандартного вида, но его можно привести к стандартному виду:

Сложение и вычитание многочленов

Умножение одночлена на многочлен

Умножение многочлена на многочлен

Формулы сокращенного умножения

Разложение многочленов на множители

Вынесение общего множителя за скобки

Способ группировки

Использование формул сокращенного умножения

Примеры:

Функция

Если каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной, то такую зависимость называют функциональной зависимостью, или функцией.

Переменную в этом случае называют независимой переменной (или аргументом), а переменную – зависимой переменной (или функцией от заданного аргумента).

Все значения, которые принимает независимая переменная (аргумент), образуют область определения функции; все значения, которые принимает зависимая переменная (функция), образуют область значений функции.

Линейной называют функцию, которую можно задать формулой вида независимая переменная, -некоторые числа.

Графиком любой линейной функции является прямая. Для построения графика линейной функции достаточно найти координаты двух точек графика, отметить эти точки на координатной плоскости и провести через них прямую.

Пример:

Построим график функции

Составим таблицу для любых двух значений аргумента:

Отметим на координатной плоскости полученные точки и проведем через них прямую (рис. 20).

Пример:

Построим график функции Любому значению соответствует одно и то же значение равное числу -2. Графиком функции является прямая, состоящая из точек с координатами – любое число. Обозначим две любые такие точки, например и проведем через них прямую (рис. 21).

Системы линейных уравнений с двумя переменными

Если нужно найти общее решение двух (или более) уравнений, то говорят, что эти уравнения образуют систему уравнений.

Пример:

система уравнений с двумя неизвестными

Решением системы уравнений с двумя переменными называют пару значений переменных, при которых каждое уравнение обращается в верное числовое равенство.

Пара чисел является решением данной выше системы, поскольку

Пара чисел не является решением системы. Для этих значений переменных первое уравнение обращается в верное равенство а второе – нет

Решить систему уравнений – значит найти все ее решения или доказать, что решений нет.

Решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки Решить систему уравнений

Решение системы двух линейных уравнении с двумя переменными способом сложения

Решить систему уравнений

Тема 3.

Квадратный трёхчлен и его корни. Разложение квадратного трехчлена на множители.

Квадратный трёхчлен — это многочлен вида ax² + bx + c, где x — переменная, a, b, c — некоторые числа, причем a ≠ 0.

Если x = 2, то 2x² – 5x – 3 = 2 ∙ 2² – 5 ∙ 2 – 3 = -5

Если x = -5, то 2x² – 5x – 3 = 2 ∙ (-5)² – 5 ∙ (-5) – 3 = 72

Если x = 3, то 2x² – 5x – 3 = 2 ∙ 3² – 5 ∙ 3 – 3 = 0

Корень квадратного трёхчлена – это значение переменной, при котором значение квадратного трёхчлена равно 0.

Чтобы найти корни квадратного трёхчлена ax² + bx + c, необходимо решить квадратное уравнение ax² + bx + c = 0.

2x² – 5x – 3 = 0

D = 25 – 4 ∙ 2 ∙ -3 = 49

x1=5+74=3

x1=5-74=-0,5

Ответ: -0,5; 3

Количество корней зависит от дискриминанта.

Если D > 0, то квадратный трехчлен имеет 2 корня;

Если D = 0, то квадратный трехчлен имеет 1 корень;

Если же D < 0, то квадратный трехчлен не имеет корней.

При решении задач иногда удобно выделить квадрат двучлена из квадратного трехчлена.

Например, выделим квадрат двучлена из квадратного трехчлена x² – 6x – 2.

Вспомним формулы сокращенного умножения:

1. a+b2=a2+2ab+b2
2. a-b2=a2-2ab+b2

x2-6x-2=x2-6x+9-9-2=x-32-11

При решении уравнений, неравенств удобно, когда квадратный трёхчлен представлен в виде произведения множителей, например

-2×2+14x-20=-2×2-7x+10=-2×2-2x-5x+10=-2xx-2-5x-2=-2x-2x-5

х = 2 и х = 5 – корни квадратного трехчлена.

Таким образом, ax2+bx+c=ax-x1x-x2,

где x₁, x₂– корни квадратного трехчлена ax² + bx + c.

Разложить на множители 3×2+5x-2

3×2+5x-2=0

D=52-4∙3∙-2=49

x1=-5+76=26=13

x2=-5-76=-126=-2

3×2+5x-2=3x-13x–2

3×2+5x-2=3x-1x+2

В продолжение темы «Решение уравнений» материал данной статьи познакомит вас с квадратными уравнениями.

Рассмотрим все подробно: суть и запись квадратного уравнения, зададим сопутствующие термины, разберем схему решения неполных и полных уравнений, познакомимся с формулой корней и дискриминантом, установим связи между корнями и коэффициентами, ну и конечно приведем наглядное решение практических примеров.

Квадратное уравнение, его виды

Квадратное уравнение – это уравнение, записанное как a·x2+b·x+c=0, где x – переменная, a, b и c – некоторые числа, при этом a не есть нуль.

Зачастую квадратные уравнения также носят название уравнений второй степени, поскольку по сути квадратное уравнение есть алгебраическое уравнение второй степени.

Приведем пример для иллюстрации заданного определения: 9·x2+16·x+2=0;  7,5·x2+3,1·x+0,11=0 и т.п. – это квадратные уравнения.

Числа a, b и c – это коэффициенты квадратного уравнения a·x2+b·x+c=0, при этом коэффициент a носит название первого, или старшего, или коэффициента при x2, b – второго коэффициента, или коэффициента при x, а c называют свободным членом.

К примеру, в квадратном уравнении 6·x2−2·x−11=0 старший коэффициент равен 6, второй коэффициент есть −2, а свободный член равен −11. Обратим внимание на тот факт, что, когда коэффициенты b и/или c являются отрицательными, то используется краткая форма записи вида 6·x2−2·x−11=0, а не 6·x2+(−2)·x+(−11)=0.

Уточним также такой аспект: если коэффициенты a и/или b равны 1 или −1, то явного участия в записи квадратного уравнения они могут не принимать, что объясняется особенностями записи указанных числовых коэффициентов. К примеру, в квадратном уравнении y2−y+7=0 старший коэффициент равен 1, а второй коэффициент есть −1.

Приведенные и неприведенные квадратные уравнения

По значению первого коэффициента квадратные уравнения подразделяют на приведенные и неприведенные.

Приведенное квадратное уравнение – это квадратное уравнение, где старший коэффициент равен 1. При иных значениях старшего коэффициента квадратное уравнение является неприведенным.

Приведем примеры: квадратные уравнения x2−4·x+3=0, x2−x−45=0 являются приведенными, в каждом из которых старший коэффициент равен 1.

9·x2−x−2=0 – неприведенное квадратное уравнение, где первый коэффициент отличен от 1.

Любое неприведенное квадратное уравнение возможно преобразовать в приведенное уравнение, если разделить обе его части на первый коэффициент (равносильное преобразование). Преобразованное уравнение будет иметь такие же корни, как и заданное неприведенное уравнение или так же не иметь корней вовсе.

Рассмотрение конкретного примера позволит нам наглядно продемонстрировать выполнение перехода от неприведенного квадратного уравнения к приведенному.

Полные и неполные квадратные уравнения

Обратимся к определению квадратного уравнения. В нем мы уточнили, что a≠0. Подобное условие необходимо, чтобы уравнение a·x2+b·x+c=0 было именно квадратным, поскольку при a=0 оно по сути преобразуется в линейное уравнение b·x+c=0.

В случае же, когда коэффициенты b и c равны нулю (что возможно, как по отдельности, так и совместно), квадратное уравнение носит название неполного.

Порассуждаем, почему типам квадратных уравнений даны именно такие названия.

При b=0 квадратное уравнение примет вид a·x2+0·x+c=0, что то же самое, что a·x2+c=0. При c=0 квадратное уравнение записано как a·x2+b·x+0=0, что равносильно a·x2+b·x=0. При b=0 и c=0 уравнение примет вид a·x2=0. Уравнения, которые мы получили, отличны от полного квадратного уравнения тем, что в их левых частях не содержится либо слагаемого с переменной x, либо свободного члена, либо обоих сразу. Собственно, этот факт и задал название такому типу уравнений – неполное.

Например, x2+3·x+4=0 и −7·x2−2·x+1,3=0 – это полные квадратные уравнения; x2=0, −5·x2=0; 11·x2+2=0, −x2−6·x=0 – неполные квадратные уравнения.

Решение неполных квадратных уравнений

Заданное выше определение дает возможность выделить следующие виды неполных квадратных уравнений:

• a·x2=0, такому уравнению соответствуют коэффициенты b=0 и c=0;
• a·x2+c=0 при b=0;
• a·x2+b·x=0 при c=0.

Рассмотрим последовательно решение каждого вида неполного квадратного уравнения.

Решение уравнения a·x²=0

Как уже было указано выше, такому уравнению отвечают коэффициенты b и c, равные нулю. Уравнение a·x2=0 возможно преобразовать в равносильное ему уравнение x2=0, которое мы получим, поделив обе части исходного уравнения на число a, не равное нулю. Очевидный факт, что корень уравнения x2=0 это нуль, поскольку 02=0. Иных корней это уравнение не имеет, что объяснимо свойствами степени: для любого числа p, не равного нулю, верно неравенство p2>0, из чего следует, что при p≠0 равенство p2=0 никогда не будет достигнуто.

Таким образом, для неполного квадратного уравнение a·x2=0 существует единственный корень x=0.

Решение уравнения a·x2+c=0

На очереди – решение неполных квадратных уравнений, где b=0, c≠0, то есть уравнений вида a·x2+c=0. Преобразуем это уравнение, перенеся слагаемое из одной части уравнения в другую, сменив знак на противоположный и разделив обе части уравнения на число, не равное нулю:

• переносим c в правую часть, что дает уравнение a·x2=−c;
• делим обе части уравнения на a, получаем в итоге x=-ca.

Наши преобразования являются равносильными, соответственно полученное уравнение также равносильно исходному, и этот факт дает возможность делать вывод о корнях уравнения. От того, каковы значения a и c зависит значение выражения  -ca: оно может иметь знак  минус (допустим, если a=1 и c=2, тогда -ca=-21=-2 ) или знак плюс (например, если a=−2 и c=6, то -ca=-6-2=3 ); оно не равно нулю, поскольку c≠0. Подробнее остановимся на ситуациях, когда  -ca<0 и -ca>0.

В случае, когда -ca<0,  уравнение x2=-ca не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при -ca<0  ни для какого числа p равенство p2=-ca  не может быть верным.

Все иначе, когда -ca>0: вспомним о квадратном корне, и станет очевидно, что корнем уравнения x2=-ca будет число -ca, поскольку -ca2=-ca. Нетрудно понять, что число –ca – также корень уравнения x2=-ca: действительно, –ca2=-ca.

Прочих корней уравнение не будет иметь. Мы можем это продемонстрировать, используя метод от противного. Для начала зададим обозначения найденных выше корней как _x1 и _−x1. Выскажем предположение, что уравнение  x2=-ca имеет также корень x2, который отличается от корней _x1 и _−x1. Мы знаем, что, подставив в уравнение вместо x его корни, преобразуем уравнение в справедливое числовое равенство.

Для _x1 и _−x1 запишем: x12=-ca , а для x2 – x22=-ca  . Опираясь на свойства числовых равенств, почленно вычтем одно верное равенство из другого, что даст нам: x12−x22=0. Используем свойства действий с числами, чтобы переписать последнее равенство как (x1−x2)·(x1+x2)=0. Известно, что произведение двух чисел есть нуль тогда и только тогда, когда хотя бы одно из чисел является нулем. Из сказанного следует, что x1−x2=0 и/или x1+x2=0, что то же самое, x2=x1 и/или x2=−x1. Возникло очевидное противоречие, ведь  вначале было условлено, что корень уравнения x2 отличается от _x1 и _−x1. Так, мы доказали, что уравнение  не имеет иных корней, кроме x=-ca и x=–ca.

Резюмируем все рассуждения выше.

Приведем примеры решения уравнений a·x2+c=0.

Решение уравнения a·x²+b·x=0

Разберем третий вид неполных квадратных уравнений, когда c=0. Чтобы найти решение неполного квадратного уравнения a·x2+b·x=0, воспользуемся методом разложения на множители. Разложим на множители многочлен, который находится в левой части уравнения, вынеся за скобки общий множитель x. Этот шаг даст возможность преобразовать исходное неполное квадратное уравнение в равносильное ему x·(a·x+b)=0. А это уравнение, в свою очередь,  равносильно совокупности уравнений x=0 и a·x+b=0. Уравнение a·x+b=0 линейное, и корень его: x=−ba.

Таким образом, неполное квадратное уравнение a·x2+b·x=0 будет иметь  два корня x=0 и x=−ba.

Закрепим материал примером.

Дискриминант, формула корней квадратного уравнения

Для нахождения решения квадратных уравнений существует формула корней:

x=-b±D2·a, где D=b2−4·a·c – так называемый дискриминант квадратного уравнения.

Запись x=-b±D2·a по сути означает, что x1=-b+D2·a, x2=-b-D2·a.

Нелишним будет понимать, как была выведена указанная формула и каким образом ее применять.

Вывод формулы корней квадратного уравнения

Пускай перед нами стоит задача решить квадратное уравнение a·x2+b·x+c=0. Осуществим ряд равносильных преобразований:

• разделим обе части уравнения на число a, отличное от нуля, получим приведенное квадратное уравнение: x2+ba·x+ca=0;
• выделим полный квадрат в левой  части получившегося уравнения:
  x2+ba·x+ca=x2+2·b2·a·x+b2·a2-b2·a2+ca==x+b2·a2-b2·a2+ca
  После этого уравнения примет вид: x+b2·a2-b2·a2+ca=0;
• теперь возможно сделать перенос двух последних слагаемых в правую часть, сменив знак на противоположный, после чего получаем: x+b2·a2=b2·a2-ca;
• наконец, преобразуем выражение, записанное в правой части последнего равенства:
  b2·a2-ca=b24·a2-ca=b24·a2-4·a·c4·a2=b2-4·a·c4·a2.

Таким образом, мы пришли к уравнению x+b2·a2=b2-4·a·c4·a2, равносильному исходному уравнению a·x2+b·x+c=0.

Решение подобных уравнений мы разбирали в предыдущих пунктах (решение неполных квадратных уравнений). Уже полученный опыт дает возможность сделать вывод касательно корней уравнения x+b2·a2=b2-4·a·c4·a2:

• при b2-4·a·c4·a2<0 уравнение не имеет действительных решений;
• при b2-4·a·c4·a2=0 уравнение имеет вид x+b2·a2=0, тогда x+b2·a=0.

Отсюда очевиден единственный корень x=-b2·a;

• при b2-4·a·c4·a2>0 верным будет: x+b2·a=b2-4·a·c4·a2 или x=b2·a-b2-4·a·c4·a2, что то же самое, что x+-b2·a=b2-4·a·c4·a2 или x=-b2·a-b2-4·a·c4·a2,  т.е. уравнение имеет два корня.

Возможно сделать вывод, что наличие или отсутствие корней уравнения x+b2·a2=b2-4·a·c4·a2 (а значит и исходного уравнения) зависит от знака выражения b2-4·a·c4·a2, записанного в правой части. А знак этого выражения задается знаком числителя, (знаменатель 4·a2 всегда будет положителен), то есть, знаком выражения b2−4·a·c. Этому выражению b2−4·a·c дано название – дискриминант квадратного уравнения и определена в качестве его обозначения буква D. Здесь можно записать суть дискриминанта – по его значению и знаку делают вывод, будет ли квадратное уравнение иметь действительные корни, и, если будет, то каково количество корней – один или два.

Вернемся к уравнению x+b2·a2=b2-4·a·c4·a2. Перепишем его, используя обозначение дискриминанта:  x+b2·a2=D4·a2.

Вновь сформулируем выводы:

Так, результатом наших рассуждений стало выведение формулы корней квадратного уравнения:

x=-b+D2·a, x=-b-D2·a, дискриминант D вычисляется по формуле D=b2−4·a·c.

Данные формулы дают возможность при дискриминанте больше нуля определить оба действительных корня. Когда дискриминант равен нулю, применение обеих формул даст один и тот же корень, как единственное решение квадратного уравнения. В случае, когда дискриминант отрицателен, попытавшись использовать формулу корня квадратного уравнения, мы столкнемся с необходимостью извлечь квадратный корень из отрицательного числа, что выведет нас за рамки действительных чисел. При отрицательном дискриминанте у квадратного уравнения не будет действительных корней, но возможна пара комплексно сопряженных корней, определяемых теми же полученными нами формулами корней.

Алгоритм решения квадратных уравнений по формулам корней

Решить квадратное уравнение возможно, сразу задействуя формулу корней, но в основном так поступают при необходимости найти комплексные корни.

В основной же массе случаев обычно подразумевается поиск не комплексных, а действительных корней квадратного уравнения. Тогда оптимально перед тем, как использовать формулы корней квадратного уравнения, сначала определить дискриминант и удостовериться, что он не является отрицательным (в ином случае сделаем вывод, что у уравнения нет действительных корней), а после приступить к вычислению значения корней.

Рассуждения выше дают возможность сформулировать  алгоритм решения квадратного уравнения.

Отметим, что, когда дискриминант есть нуль, можно использовать формулу x=-b±D2·a, она даст тот же результат, что и формула x=-b2·a.

Рассмотрим примеры.

Примеры решения квадратных уравнений

Приведем решение примеров при различных значениях дискриминанта.

В школьной программе стандартно нет требования искать комплексные корни, поэтому, если в ходе решения дискриминант определен как отрицательный, сразу записывается ответ, что действительных корней нет.

Формула корней для четных вторых коэффициентов

Формула корней x=-b±D2·a (D=b2−4·a·c) дает возможность получить еще одну формулу, более компактную, позволяющую находить решения квадратных уравнений с четным коэффициентом при x (либо с коэффициентом вида 2·n, к примеру, 2 · 3 или 14·ln5=2·7·ln5). Покажем, как выводится эта формула.

Пусть перед нами стоит задача найти решение квадратного уравнения a·x2+2·n·x+c=0. Действуем по алгоритму: определяем дискриминантD=(2·n)2−4·a·c=4·n2−4·a·c=4·(n2−a·c), а затем используем формулу корней:

x=-2·n±D2·a,x=-2·n±4·n2-a·c2·a,x=-2·n±2n2-a·c2·a,x=-n±n2-a·ca.

Пусть выражение n2−a·c будет обозначено как D1 (иногда его обозначают D’). Тогда формула корней рассматриваемого квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2·n примет вид:

 x=-n±D1a, где D1=n2−a·c.

Легко увидеть, что что D=4·D1, или D1=D4. Иначе говоря, D1 – это четверть дискриминанта. Очевидно, что знак D1 такой же, как знак D, а значит знак D1 также может служить индикатором наличия или отсутствия корней квадратного уравнения.

Упрощение вида квадратных уравнений

Иногда существует возможность оптимизировать вид исходного уравнения, что позволит упростить процесс вычисления корней.

К примеру, квадратное уравнение 12·x2−4·x−7=0 явно удобнее для решения, чем 1200·x2−400·x−700=0.

Чаще упрощение вида квадратного уравнения производится действиями умножения или деления его обеих частей на некое число. К примеру, выше мы показали упрощенную запись уравнения 1200·x2−400·x−700=0, полученную делением обеих его частей на 100.

Такое преобразование возможно, когда коэффициенты квадратного уравнения не являются взаимно простыми числами. Тогда обычно осуществляют деление обеих частей уравнения на наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов.

Как пример используем квадратное уравнение 12·x2−42·x+48=0. Определим НОД абсолютных величин его коэффициентов: НОД(12, 42, 48)=НОД(НОД(12, 42), 48)=НОД(6, 48)=6. Произведем деление обеих частей исходного квадратного уравнения на 6 и получим равносильное ему квадратное уравнение 2·x2−7·x+8=0.

Умножением обеих частей квадратного уравнения обычно избавляются от дробных коэффициентов. При этом умножают на наименьшее общее кратное знаменателей его коэффициентов. К примеру, если каждую часть квадратного уравнения 16·x2+23·x-3=0 перемножить с НОК(6, 3, 1)=6, то оно станет записано в более простом виде x2+4·x−18=0.

Напоследок отметим, что почти всегда избавляются от минуса при первом коэффициенте квадратного уравнения, изменяя знаки каждого члена уравнения, что достигается путем умножения (или деления) обеих частей на −1. К примеру, от квадратного уравнения −2·x2−3·x+7=0 можно перейти к упрощенной его версии 2·x2+3·x−7=0.

Связь между корнями и коэффициентами

Уже известная нам формула корней квадратных уравнений x=-b±D2·a выражает корни уравнения через его числовые коэффициенты. Опираясь на данную формулу, мы имеем возможность задать другие зависимости между корнями и коэффициентами.

Самыми известными и применимыми являются формулы теоремы Виета:

x1+x2=-ba и x2=ca.

В частности, для приведенного квадратного уравнения сумма корней есть второй коэффициент с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. К примеру, по виду квадратного уравнения 3·x2−7·x+22=0 возможно сразу определить, что сумма его корней равна 73, а произведение корней – 223.

Также можно найти ряд прочих связей между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Например, сумма квадратов корней квадратного уравнения может быть выражена через коэффициенты:

x12+x22=(x1+x2)2-2·x1·x2=-ba2-2·ca=b2a2-2·ca=b2-2·a·ca2.