Тема 3.
Квадратный трёхчлен и его корни. Разложение квадратного трехчлена на множители.
Квадратный трёхчлен — это многочлен вида ax2 + bx + c, где x — переменная, a, b, c — некоторые числа, причем a ≠ 0.
Если x = 2, то 2x2 – 5x – 3 = 2 ∙ 22 – 5 ∙ 2 – 3 = -5
Если x = -5, то 2x2 – 5x – 3 = 2 ∙ (-5)2 – 5 ∙ (-5) – 3 = 72
Если x = 3, то 2x2 – 5x – 3 = 2 ∙ 32 – 5 ∙ 3 – 3 = 0
Корень квадратного трёхчлена – это значение переменной, при котором значение квадратного трёхчлена равно 0.
Чтобы найти корни квадратного трёхчлена ax2 + bx + c, необходимо решить квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0.
2x2 – 5x – 3 = 0
D = 25 – 4 ∙ 2 ∙ -3 = 49
x1=5+74=3
x1=5-74=-0,5
Ответ: -0,5; 3
Количество корней зависит от дискриминанта.
Если D > 0, то квадратный трехчлен имеет 2 корня;
Если D = 0, то квадратный трехчлен имеет 1 корень;
Если же D < 0, то квадратный трехчлен не имеет корней.
При решении задач иногда удобно выделить квадрат двучлена из квадратного трехчлена.
Например, выделим квадрат двучлена из квадратного трехчлена x2 – 6x – 2.
Вспомним формулы сокращенного умножения:
- a+b2=a2+2ab+b2
- a-b2=a2-2ab+b2
x2-6x-2=x2-6x+9-9-2=x-32-11
При решении уравнений, неравенств удобно, когда квадратный трёхчлен представлен в виде произведения множителей, например
-2×2+14x-20=-2×2-7x+10=-2×2-2x-5x+10=-2xx-2-5x-2=-2x-2x-5
х = 2 и х = 5 – корни квадратного трехчлена.
Таким образом, ax2+bx+c=ax-x1x-x2,
где x1, x2– корни квадратного трехчлена ax2 + bx + c.
Разложить на множители 3×2+5x-2
3×2+5x-2=0
D=52-4∙3∙-2=49
x1=-5+76=26=13
x2=-5-76=-126=-2
3×2+5x-2=3x-13x–2
3×2+5x-2=3x-1x+2
Всем привет! В этой статье разбираем необходимый минимум про квадратный трехчлен. Учимся находить корни и раскладывать на множители. Жмите палец вверх, мне за полезную статью и подписывайтесь на мой канал, чтобы готовиться к ЕГЭ по математике вместе со мной!
Квадратным трехчленом называется многочлен вида ax^2 + bx + c, где a, b, c – некоторые числа, причем a ≠ 0, а x – переменная.
Про корни квадратного трехчлена
Корнем квадратного трехчлена называют значение переменной x, при котором значение этого трехчлена равно нулю.
Для того чтобы найти корни квадратного трехчлена, нужно решить уравнение вида:
Квадратный трехчлен, так же как и квадратное уравнение может иметь два корня, один корень или не иметь корней вообще.
Для нахождения корней, необходимо найти дискриминант квадратного трехчлена по формуле:
- Если дискриминант больше нуля, то квадратный трехчлен имеет два корня.
- Если дискриминант равен нулю, то квадратный трехчлен имеет один корень.
- Если дискриминант меньше нуля, то квадратный трехчлен не имеет корней.
Корни квадратного трехчлена находятся по формуле:
Разложение квадратного трехчлена на множители
Где x(1) и x(2) корни квадратного трехчлена. Причем если D = 0, то считают что трехчлен имеет два одинаковых корня.
Если квадратный трехчлен не имеет корней, то его нельзя разложить на множители.
Квадратным трехчленом называется многочлен вида (ax^2 + bx + c), где (x) – переменная, (a, b, c) – некоторые числа, причем (a ≠ 0).
Числа (a,b,c) называются коэффициентами. Число (a) называется старшим коэффициентом, число (b) – коэффициентом при (x), а число (c) называют свободным членом.
Корнем квадратного трехчлена (ax^2 +bx+c) называют любое значение переменной (x), такое, что квадратный трехчлен (ax^2 +bx+c) обращается в нуль.
Для того чтобы найти корни квадратного трехчлена, необходимо решить квадратное уравнение вида (ax^2 +bx+c =0).
Нахождение корней квадратного трехчлена
1 способ. Нахождение корней квадратного трехчлена по формуле.
- Найти значение дискриминанта по формуле (D =b^2-4ac).
- В зависимости от значения дискриминанта вычислить корни по формулам:
a) если (D>0), то квадратный трехчлен имеет два корня: (x_1=frac{-b-sqrt{D}}{2a}; x_2=frac{-b+sqrt{D}}{2a};)
b) если (D=0), то квадратный трехчлен имеет один корень: (x=-frac{b}{2a};)
c) если (D<0), то квадратный трехчлен не имеет корней.
2 способ. Нахождение корней квадратного трехчлена выделением полного квадрата.
Рассмотрим на примере приведенного квадратного трехчлена. Приведенное квадратное уравнение – уравнение, у которого на старший коэффициент равен единице.
Найдем корни квадратного трехчлена (x^2-4x-60). Для этого решим следующее квадратное уравнение: (x^2-4x-60=0).
Выделим полный квадрат из трехчлена, стоящего в левой части уравнения:
((x^2-2cdot xcdot2+2^2)-2^2-60=0 \(x-2)^2-64=0 \(x-2)^2-8^2=0.)
Левую часть уравнения разложим на множители по формуле разности квадратов:
((x-2-8)(x-2+8)=0 \(x-10)(x+6)=0.)
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем к нулю каждый из множителей:
(x-10=0; x+6=0 \x=10; x=-6)
Ответ: –6; 10.
Квадратный трехчлен – это многочлен вида (ax^2+bx+c) ((a≠0)).
Пример:
(x^2-2x+1)
(3x^2-5x+6)
Почему его называют именно так? Потому что, наибольшая степень у него – квадрат, а состоит он из трех слагаемых (одночленов). Вот и получается – квадратный трехчлен.
Примеры не квадратных трехчленов:
(x^3-3x^2-5x+6) – кубический четырёхчлен
(2x+1) – линейный двучлен
Корень квадратного трехчлена:
Значение переменной (x), при котором квадратный трехчлен обращается в ноль, называют его корнем.
Пример:
У трехчлена (x^2-2x+1) корень (1), потому что (1^2-2·1+1=0)
У трехчлена (x^2+2x-3) корни (1) и (-3), потому что (1^2+2-3=0) и ((-3)^2-6-3=9-9=0)
Например: если нужно найти корни для квадратного трехчлена (x^2-2x+1), приравняем его к нулю и решим уравнение (x^2-2x+1=0).
(D=4-4cdot1=0)
(x=frac{2-0}{2}=frac{2}{2}=1)
Готово. Корень равен (1).
Разложение квадратного трёхчлена на множители:
Квадратный трехчлен (ax^2+bx+c) можно разложить как (a(x-x_1 )(x-x_2)), если дискриминант уравнения (ax^2+bx+c=0) больше нуля (x_1) и (x_2) – корни того же уравнения).
Например, рассмотрим трехчлен (3x^2+13x-10).
У квадратного уравнения (3x^2+13x-10=0) дискриминант равен 289 (больше нуля), а корни равны (-5) и (frac{2}{3}). Поэтому (3x^2+13x-10=3(x+5)(x-frac{2}{3})). В верности этого утверждения легко убедится – если мы раскроем скобки, то получим исходный трехчлен.
Квадратный трехчлен (ax^2+bx+c) можно представить как (a(x-x_1)^2), если дискриминант уравнения (ax^2+bx+c=0) равен нулю.
Например, рассмотрим трехчлен (x^2+6x+9).
У квадратного уравнения (x^2+6x+9=0) дискриминант равен (0), а единственный корень равен (-3). Значит, (x^2+6x+9=(x+3)^2) (здесь коэффициент (a=1), поэтому перед скобкой не пишется – незачем). Обратите внимание, что тоже самое преобразование можно сделать и по формулам сокращенного умножения.
Квадратный трехчлен (ax^2+bx+c) не раскладывается на множители, если дискриминант уравнения (ax^2+bx+c=0) меньше нуля.
Например, у трехчленов (x^2+x+4) и (-5x^2+2x-1) – дискриминант меньше нуля. Поэтому разложить их на множители невозможно.
Пример. Разложите на множители (2x^2-11x+12).
Решение:
Найдем корни квадратного уравнения (2x^2-11x+12=0)
(D=11^2-4 cdot 2 cdot 12=121-96=25>0)
(x_1=frac{11-5}{4}=1,5;) (x_2=frac{11+5}{4}=4.)
Значит, (2x^2-11x+12=2(x-1,5)(x-4))
Ответ: (2(x-1,5)(x-4))
Полученный ответ, может быть, записать по-другому: ((2x-3)(x-4)).
Пример. (Задание из ОГЭ) Квадратный трехчлен разложен на множители (5x^2+33x+40=5(x++ 5)(x-a)). Найдите (a).
Решение:
(5x^2+33x+40=0)
(D=33^2-4 cdot 5 cdot 40=1089-800=289=17^2)
(x_1=frac{-33-17}{10}=-5)
(x_2=frac{-33+17}{10}=-1,6)
(5x^2+33x+40=5(x+5)(x+1,6))
Ответ: (-1,6)
Смотрите также:
Квадратный трехчлен (шпаргалка)
Квадра́тное уравне́ние — алгебраическое уравнение второй степени с общим видом
в котором — неизвестное, а коэффициенты , и — вещественные или комплексные числа.
Корень уравнения — это значение неизвестного , обращающее квадратный трёхчлен в ноль, а квадратное уравнение в верное числовое равенство. Также это значение называется корнем самого многочлена
Элементы квадратного уравнения имеют собственные названия[1]:
Приведённым называют квадратное уравнение, в котором старший коэффициент равен единице[1]. Такое уравнение может быть получено делением всего выражения на старший коэффициент :
Полным называют такое квадратное уравнение, все коэффициенты которого отличны от нуля.
Неполным называется такое квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов, кроме старшего (либо второй коэффициент, либо свободный член), равен нулю.
Квадратное уравнение является разрешимым в радикалах, то есть его корни могут быть выражены через коэффициенты в общем виде.
Исторические сведения о квадратных уравнениях[править | править код]
Древний Вавилон[править | править код]
Уже во втором тысячелетии до нашей эры вавилоняне знали, как решать квадратные уравнения[1]. Решение их в Древнем Вавилоне было тесно связано с практическими задачами, в основном такими, как измерение площади земельных участков, земельные работы, связанные с военными нуждами; наличие этих познаний также обусловлено развитием математики и астрономии вообще. Были известны способы решения как полных, так и неполных квадратных уравнений. Приведём примеры квадратных уравнений, решавшихся в Древнем Вавилоне, используя современную алгебраическую запись:
Правила решения квадратных уравнений во многом аналогичны современным, однако в вавилонских текстах не зафиксированы рассуждения, путём которых эти правила были получены.
Индия[править | править код]
Задачи, решаемые с помощью квадратных уравнений, встречаются в трактате по астрономии «Ариабхаттиам», написанным индийским астрономом и математиком Ариабхатой в 499 году нашей эры. Один из первых известных выводов формулы корней квадратного уравнения принадлежит индийскому учёному Брахмагупте (около 598 г.)[1]; Брахмагупта изложил универсальное правило решения квадратного уравнения, приведённого к каноническому виду: притом предполагалось, что в нём все коэффициенты, кроме могут быть отрицательными. Сформулированное учёным правило по своему существу совпадает с современным.
Корни квадратного уравнения на множестве действительных чисел[править | править код]
I способ. Общая формула для вычисления корней с помощью дискриминанта[править | править код]
Дискриминантом квадратного уравнения называется величина .
Условие | |||
Количество корней | Два корня | Один корень кратности 2 (другими словами, два равных корня) |
Действительных корней нет |
Формула | (1) | — |
Данный метод универсальный, однако не единственный.
II способ. Корни квадратного уравнения при чётном коэффициенте b[править | править код]
Для уравнений вида , то есть при чётном , где
вместо формулы (1) для нахождения корней существует возможность использования более простых выражений[1].
Примечание: данные ниже формулы можно получить, подставив в стандартные формулы выражение b = 2k, через несложные преобразования.
Дискриминант | Корни | |||
неприведённое | приведённое | D > 0 | неприведённое | приведённое |
удобнее вычислять значение
четверти дискриминанта: Все необходимые свойства при этом сохраняются. |
. | |||
D = 0 |
III способ. Решение неполных квадратных уравнений[править | править код]
К решению неполных квадратных уравнений практикуется особый подход. Рассматриваются три возможных ситуации.
IV способ. Использование частных соотношений коэффициентов[править | править код]
Существуют частные случаи квадратных уравнений, в которых коэффициенты находятся в соотношениях между собой, позволяющих решать их гораздо проще.
Корни квадратного уравнения, в котором сумма старшего коэффициента и свободного члена равна второму коэффициенту[править | править код]
Если в квадратном уравнении сумма первого коэффициента и свободного члена равна второму коэффициенту: , то его корнями являются и число, противоположное отношению свободного члена к старшему коэффициенту ().
Доказательство
Способ 1. Сначала выясним, действительно ли такое уравнение имеет два корня (в том числе, два совпадающих):
- .
Да, это так, ведь при любых действительных значениях коэффициентов , а значит и дискриминант неотрицателен. Таким образом, если , то уравнение имеет два корня, если же , то оно имеет только один корень.
Найдём эти корни:
- .
В частности, если , то корень будет один:
Способ 2.
Геометрическая интерпретация: парабола, заданная аналитически указанной формулой, пересекает ось x в двух точках, абсциссами которых и являются корни, хотя бы один из которых равен -1
Используем геометрическую модель корней квадратного уравнения: их мы будем рассматривать как точки пересечения параболы с осью абсцисс. Всякая парабола вне зависимости от задающего её выражения является фигурой, симметричной относительно прямой . Это означает, что отрезок всякой перпендикулярной к ней прямой, отсекаемый на ней параболой, делится осью симметрии пополам. Сказанное, в частности, верно и для оси абсцисс. Таким образом, для всякой параболы справедливо одно из следующих равенств: (если ) или (если верно неравенство противоположного смысла). Используя тождество , выражающее геометрический смысл модуля, а также принимая, что (это можно доказать, подставив равенство в квадратный трёхчлен: , поэтому -1 – корень такого уравнения) , приходим к следующему равенству: Если учитывать, что разность в том случае, когда мы прибавляем модуль, всегда положительна, а в том, когда отнимаем – отрицательна, что говорит о тождественности этих случаев, и, к тому же, помня о равенстве , раскрываем модуль: . Во втором случае,совершив аналогичные преобразования, придём к тому же результату, ч.т.д.
- Отсюда следует, что перед решением какого-либо квадратного уравнения целесообразна проверка возможности применения к нему этой теоремы: сравнить сумму старшего коэффициента и свободного члена со вторым коэффициентом.
Корни квадратного уравнения, сумма всех коэффициентов которого равна нулю[править | править код]
Если в квадратном уравнении сумма всех его коэффициентов равна нулю (), то корнями такого уравнения являются и отношение свободного члена к старшему коэффициенту ().
Доказательство
Способ 1. Прежде всего заметим, что из равенства следует, что
Установим количество корней:
При любых значениях коэффициентов уравнение имеет хотя бы один корень: действительно, ведь при любых значениях коэффициентов , а значит и дискриминант неотрицателен. Обратите внимание, что если , то уравнение имеет два корня, если же , то только один.
Найдём эти корни:
что и требовалось доказать.
- В частности, если , то уравнение имеет только один корень, которым является число .
Способ 2. Пользуясь данным выше определением корня квадратного уравнения, обнаруживаем путём подстановки, что число 1 является таковым в рассматриваемом случае: – верное равенство, следовательно, единица – корень такого вида квадратных уравнений. Далее, по теореме Виета находим второй корень: согласно этой теореме, произведение корней уравнения равно числу, равному отношению свободного члена к старшему коэффициенту – , ч.т.д.
- Отсюда следует, что перед решением уравнения стандартными методами целесообразна проверка применимости к нему этой теоремы, а именно сложение всех коэффициентов данного уравнения и установление, не равна ли нулю эта сумма.
V способ. Разложение квадратного трёхчлена на линейные множители[править | править код]
Если трёхчлен вида удастся каким-либо образом представить в качестве произведения линейных множителей , то можно найти корни уравнения — ими будут и , действительно, ведь а решив указанные линейные уравнения, получим вышеописанное. Квадратный трёхчлен не всегда раскладывается на линейные множители с действительными коэффициентами: это возможно, если соответствующее ему уравнение имеет действительные корни.
Рассматриваются некоторые частные случаи.
Использование формулы квадрата суммы (разности)[править | править код]
Если квадратный трёхчлен имеет вид , то применив к нему названную формулу, можно разложить его на линейные множители и, значит, найти корни:
Выделение полного квадрата суммы (разности)[править | править код]
Также названную формулу применяют, пользуясь методом, получившим названия «выделение полного квадрата суммы (разности)». Применительно к приведённому квадратному уравнению с введёнными ранее обозначениями, это означает следующее:
- прибавляют и отнимают одно и то же число:
. - применяют формулу к полученному выражению, переносят вычитаемое и свободный член в правую часть:
- извлекают из левой и правой частей уравнения квадратный корень и выражают переменную:
Примечание: данная формула совпадает с предлагаемой в разделе «Корни приведённого квадратного уравнения», которую, в свою очередь, можно получить из общей формулы (1) путём подстановки равенства a = 1. Этот факт не просто совпадение: описанным методом, произведя, правда, некоторые дополнительные рассуждения, можно вывести и общую формулу, а также доказать свойства дискриминанта.
VI способ. Использование прямой и обратной теоремы Виета[править | править код]
Прямая теорема Виета (см. ниже) и обратная ей теорема позволяют решать приведённые квадратные уравнения устно, не прибегая к вычислениям по формуле (1).
Согласно обратной теореме, всякая пара чисел (число) , будучи решением системы уравнений
- являются корнями уравнения .
Подобрать устно числа, удовлетворяющие этим уравнениям, поможет прямая теорема. С её помощью можно определить знаки корней, не зная сами корни. Для этого следует руководствоваться правилом:
- 1) если свободный член отрицателен, то корни имеют различный знак, и наибольший по модулю из корней — знак, противоположный знаку второго коэффициента уравнения;
- 2) если свободный член положителен, то оба корня обладают одинаковым знаком, и это — знак, противоположный знаку второго коэффициента.
VII способ. Метод «переброски»[править | править код]
По своей сущности метод «переброски» является просто модификацией теоремы Виета.
Метод «переброски» — это сведение уравнения, которое нельзя привести так, чтобы все коэффициенты остались целыми, к приведённому уравнению с целыми коэффициентами:
- 1) умножаем обе части на старший коэффициент:
- 2) заменяем
Далее решаем уравнение относительно y по методу, описанному выше, и находим x = y/a.
Как можно заметить, в методе «переброски» старший коэффициент как раз «перебрасывается» к свободному члену.
Графическое решение квадратного уравнения[править | править код]
Графиком квадратичной функции является парабола. Решениями (корнями) квадратного уравнения называют абсциссы точек пересечения параболы с осью абсцисс. Если парабола, описываемая квадратичной функцией, не пересекается с осью абсцисс, уравнение не имеет вещественных корней. Если парабола пересекается с осью абсцисс в одной точке (в вершине параболы), уравнение имеет один вещественный корень (также говорят, что уравнение имеет два совпадающих корня). Если парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, уравнение имеет два вещественных корня (см. изображение справа.)
Если коэффициент положительный, ветви параболы направлены вверх и наоборот. Если коэффициент положительный (при положительном , при отрицательном наоборот), то вершина параболы лежит в левой полуплоскости и наоборот.
Графический способ решения квадратных уравнений[править | править код]
Помимо универсального способа, описанного выше, существует так называемый графический способ. В общем виде этот способ решения рационального уравнения вида заключается в следующем: в одной системе координат строят графики функций и и находят абсциссы общих точек этих графиков; найденные числа и будут корнями уравнения.
- Есть всего пять основных способов графического решения квадратных уравнений.
Приём I[править | править код]
Для решения квадратного уравнения строится график функции
и отыскиваются абсциссы точек пересечения такого графика с осью .
Приём II[править | править код]
Для решения того же уравнения этим приёмом уравнение преобразуют к виду
и строят в одной системе координат графики квадратичной функции и линейной функции , затем находят абсциссу точек их пересечения.
Приём III[править | править код]
Данный приём подразумевает преобразование исходного уравнения к виду , используя метод выделения полного квадрата суммы (разности) и затем в . После этого строятся график функции (им является график функции , смещённый на единиц масштаба вправо или влево в зависимости от знака) и прямую , параллельную оси абсцисс. Корнями уравнения будут абсциссы точек пересечения параболы и прямой.
Приём IV[править | править код]
Квадратное уравнение преобразуют к виду , строят график функции (им является график функции , смещённый на единиц масштаба вверх, если этот коэффициент положителен, либо вниз, если он отрицателен), и , находят абсциссы их общих точек.
Приём V[править | править код]
Квадратное уравнение преобразуют к особому виду:
затем
Совершив преобразования, строят графики линейной функции и обратной пропорциональности , отыскивают абсциссы точек пересечения этих графиков. Этот приём имеет границу применимости: если , то приём не используется.
Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки[править | править код]
Описанные выше приёмы графического решения имеют существенные недостатки: они достаточно трудоёмки, при этом точность построения кривых — парабол и гипербол — низка. Указанные проблемы не присущи предлагаемому ниже методу, предполагающему относительно более точные построения циркулем и линейкой.
Чтобы произвести такое решение, нужно выполнить нижеследующую последовательность действий.
- Построить в системе координат окружность с центром в точке , пересекающую ось в точке .
- Далее возможны три случая:
Доказательство
Иллюстрация к доказательству.
Рассматриваемый способ предполагает построение окружности, пересекающей ось ординат в точках (точке), абсциссы которых являются корнями (или корнем) решаемого уравнения. Как нужно строить такую окружность? Предположим, что она уже построена. Окружность определяется однозначно заданием трёх своих точек. Пусть в случае, если корня два, это будут точки , где , естественно, действительные корни квадратного уравнения (подчёркиваем: если они имеются). Найдём координаты центра такой окружности. Для этого докажем, что эта окружность проходит через точку . Действительно, согласно теореме о секущих, в принятых обозначениях выполняется равенство (см рисунок). Преобразовывая это выражение, получаем величину отрезка OD, которой и определяется искомая ордината точки D: (в последнем преобразовании использована теорема Виета (см. ниже в одноимённом разделе)). Если же корень один, то есть ось абсцисс будет касательной к такой окружности, и окружность пересекает ось y в точке с ординатой 1, то она обязательно пересечёт её и в точке с указанной выше ординатой (в частности, если 1=c/a, это могут быть совпадающие точки), что доказывается аналогично с использованием уже теоремы о секущей и касательной, являющаяся частным случаем теоремы о секущих. В первом случае (), определяющими будут точка касания, точка оси y с ординатой 1, и её же точка с ординатой . Если c/a и 1 – совпадающие точки, а корня два, определяющими будут эта точка и точки пересечения с осью абсцисс. В случае, когда (1=c/a) и корень один, указанных сведений достаточно для доказательства, так как такая окружность может быть только одна – её центром будет вершина квадрата, образуемого отрезками касательных и перпендикулярами, а радиус – стороне этого квадрата, составляющей 1. Пускай S – центр окружности, имеющей с осью абсцисс две общие точки. Найдём его координаты: для этого опустим от этой точки перпендикуляры к координатным осям. Концы этих перпендикуляров будут серединами отрезков AB и CD – ведь треугольники ASB и CSD равнобедренные, так как в них AS=BS=CS=DS как радиусы одной окружности, следовательно, высоты в них, проведённые к основаниям, также являются и медианами. Найдём координаты середин названных отрезков. Так как парабола симметрична относительно прямой , то точка этой прямой с такой же абсциссой будет являться серединой отрезка AB. Следовательно, абсцисса точки S равна этому числу. В случае же, если уравнение имеет один корень, то ось x является касательной по отношению к окружности,поэтому, согласно её свойству, её радиус перпендикулярен оси, следовательно, и в этом случае указанное число – абсцисса центра. Её ординату найдём так: . В третьем из возможных случаев, когда ca=1 (и, значит, a=c), то .
Итак, нами найдены необходимые для построения данные. Действительно, если мы построим окружность с центром в точке , проходящую через точку , то она, в случаях, когда уравнение имеет действительные корни, пересечёт ось x в точках, абсциссы которых есть эти корни. Причём, если длина радиуса больше длины перпендикуляра к оси Ox, то уравнение имеет два корня (предположив обратное, мы бы получили противоречие с доказанным выше), если длины равны, то один (по той же причине), если же длина радиуса меньше длины перпендикуляра, то окружность не имеет общих точек с осью x, следовательно, и действительных корней у уравнения нет (доказывается тоже от противного: если корни есть, то окружность, проходящая через A, B, C совпадает с данной, и поэтому пересекает ось, однако она не должна пересекать ось абсцисс по условию, значит, предположение неверно).
Корни квадратного уравнения на множестве комплексных чисел[править | править код]
Уравнение с действительными коэффициентами[править | править код]
Квадратное уравнение с вещественными коэффициентами всегда имеет с учётом кратности два комплексных корня, о чём гласит основная теорема алгебры. При этом, в случае неотрицательного дискриминанта корни будут вещественными, а в случае отрицательного — комплексно-сопряжёнными:
Уравнение с комплексными коэффициентами[править | править код]
В комплексном случае квадратное уравнение решается по той же формуле (1) и указанным выше её вариантам, но различимыми являются только два случая: нулевого дискриминанта (один двукратный корень) и ненулевого (два корня единичной кратности).
Корни приведённого квадратного уравнения[править | править код]
Квадратное уравнение вида в котором старший коэффициент равен единице, называют приведённым. В этом случае формула для корней (1) упрощается до
Мнемонические правила:
- Из «Радионяни»:
«Минус» напишем сначала,
Рядом с ним p пополам,
«Плюс-минус» знак радикала,
С детства знакомого нам.
Ну, а под корнем, приятель,
Сводится всё к пустяку:
p пополам и в квадрате
Минус прекрасное[2] q.
- Из «Радионяни» (второй вариант):
p, со знаком взяв обратным,
На два мы его разделим,
И от корня аккуратно
Знаком «минус-плюс» отделим.
А под корнем очень кстати
Половина p в квадрате
Минус q — и вот решенья,
То есть корни уравненья.
- Из «Радионяни» (третий вариант на мотив Подмосковных вечеров):
Чтобы x найти к половине p,
Взятой с минусом не забудь,
Радикал приставь с плюсом минусом,
Аккуратно, не как-нибудь.
А под ним квадрат половины p,
Ты, убавь на q и конец,
Будет формула приведенная,
Рассуждений твоих венец.
Будет формула приведенная,
Рассуждений твоих венец.
Теорема Виета [3][править | править код]
Формулировка для приведённого квадратного уравнения[править | править код]
Сумма корней приведённого квадратного уравнения (вещественных или комплексных) равна второму коэффициенту , взятому с противоположным знаком, а произведение этих корней — свободному члену :
С его помощью приведённые уравнения можно решать устно:
Для неприведённого квадратного уравнения[править | править код]
В общем случае, то есть для неприведённого квадратного уравнения
На практике (следуя методу «переброски») для вычисления корней применяется модификация теорема Виета:
по которой можно устно находить ax1, ax2, а оттуда — сами корни:
Но у некоторых неприведённых уравнений корни можно устно угадать даже по стандартной теореме Виета:
Разложение квадратного трёхчлена на множители и теоремы, следующие из этого[править | править код]
Если известны оба корня квадратного трёхчлена, его можно разложить по формуле
- (2)
Доказательство[править | править код]
Для доказательства этого утверждения воспользуемся теоремой Виета. Согласно этой теореме, корни и квадратного уравнения образуют соотношения с его коэффициентами: . Подставим эти соотношения в квадратный трёхчлен:
В случае нулевого дискриминанта это соотношение становится одним из вариантов формулы квадрата суммы или разности.
- Из формулы (2) имеются два важных следствия:
Следствие 1[править | править код]
-
- Если квадратный трёхчлен раскладывается на линейные множители с вещественными коэффициентами, то он имеет вещественные корни.
Доказательство[править | править код]
Пусть . Тогда, переписав это разложение, получим:
- .
Сопоставив полученное выражение с формулой (2), находим, что корнями такого трёхчлена являются и . Так как коэффициенты вещественны, то и числа, противоположные их отношениям также являются элементами множества .
Следствие 2[править | править код]
-
- Если квадратный трёхчлен не имеет вещественных корней, то он не раскладывается на линейные множители с вещественными коэффициентами.
Доказательство[править | править код]
Действительно, если мы предположим противное (что такой трёхчлен раскладывается на линейные множители), то, согласно следствию 1, он имеет корни в множестве , что противоречит условию, а потому наше предположение неверно, и такой трёхчлен не раскладывается на линейные множители.
Для квадратичной функции:
f (x) = x2 − x − 2 = (x + 1)(x − 2) действительной переменной x, x — координаты точки, где график пересекает ось абсцисс, x = −1 и x = 2, являются решениями квадратного уравнения: x2 − x − 2 = 0.
Уравнения, сводящиеся к квадратным[править | править код]
Алгебраические[править | править код]
Уравнение вида является уравнением, сводящимся к квадратному.
В общем случае оно решается методом введения новой переменной, то есть заменой где — множество значений функции , c последующим решением квадратного уравнения .
Также при решении можно обойтись без замены, решив совокупность двух уравнений:
- и
К примеру, если , то уравнение принимает вид:
Такое уравнение 4-й степени называется биквадратным[4][1].
С помощью замены
к квадратному уравнению сводится уравнение
известное как возвратное или обобщённо-симметрическое уравнение[1].
Дифференциальные[править | править код]
Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами второго порядка
подстановкой сводится к характеристическому квадратному уравнению:
Если решения этого уравнения и не равны друг другу, то общее решение имеет вид:
- , где и — произвольные постоянные.
Для комплексных корней можно переписать общее решение, используя формулу Эйлера:
где A, B, C, φ — любые постоянные. Если решения характеристического уравнения совпадают , общее решение записывается в виде:
Уравнения такого типа часто встречаются в самых разнообразных задачах математики и физики, например, в теории колебаний или теории цепей переменного тока.
Примечания[править | править код]
Литература[править | править код]
- Квадратное уравнение; Квадратный трёхчлен // Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А. П. Савин. — М.: Педагогика, 1985. — С. 133-136. — 352 с.
Ссылки[править | править код]
- Weisstein, Eric W. Quadratic Equation (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Вывод формулы корней полного квадратного уравнения. Решение приведённых квадратных уравнений и уравнений с чётным вторым коэффициентом Архивная копия от 28 января 2016 на Wayback Machine / Фестиваль педагогических идей «Открытый урок».
- Математические методы