Как найти корни квадратного уравнения калькулятор

С помощью этой математической программы вы можете решить квадратное уравнение.

Программа не только даёт ответ задачи, но и отображает процесс решения двумя способами:
– с помощью дискриминанта
– с помощью теоремы Виета (если возможно).

Причём, ответ выводится точный, а не приближенный.
Например, для уравнения (81x^2-16x-1=0) ответ выводится в такой форме:

$$ x_1 = frac{8+sqrt{145}}{81}, quad x_2 = frac{8-sqrt{145}}{81} $$

а не в такой: ( x_1 = 0,247; quad x_2 = -0,05 )

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и
экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре.
А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее
сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным
решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень
образования в области решаемых задач повышается.

Если вы не знакомы с правилами ввода квадратного многочлена, рекомендуем с ними ознакомиться.

Правила ввода квадратного многочлена

Примеры подробного решения >>

Каждое из уравнений
( -x^2+6x+1{,}4=0, quad 8x^2-7x=0, quad x^2-frac{4}{9}=0 )
имеет вид
( ax^2+bx+c=0, )
где x – переменная, a, b и c – числа.
В первом уравнении a = -1, b = 6 и c = 1,4, во втором a = 8, b = —7 и c = 0, в третьем a = 1, b = 0 и c = 4/9. Такие уравнения
называют квадратными уравнениями.

Определение.
Квадратным уравнением называется уравнение вида ax²+bx+c=0, где x – переменная, a, b и c – некоторые числа,
причём ( a neq 0 ).

Числа a, b и c — коэффициенты квадратного уравнения. Число a называют первым коэффициентом, число b — вторым коэффициентом и
число c — свободным членом.

В каждом из уравнений вида ax²+bx+c=0, где ( a neq 0 ), наибольшая степень переменной x — квадрат. Отсюда и название:
квадратное уравнение.

Заметим, что квадратное уравнение называют ещё уравнением второй степени, так как его левая часть есть многочлен второй степени.

Квадратное уравнение, в котором коэффициент при x² равен 1, называют приведённым квадратным уравнением.
Например, приведёнными квадратными уравнениями являются уравнения
( x^2-11x+30=0, quad x^2-6x=0, quad x^2-8=0 )

Если в квадратном уравнении ax²+bx+c=0 хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю, то такое уравнение называют
неполным квадратным уравнением. Так, уравнения -2x²+7=0, 3x²-10x=0, -4x²=0 – неполные
квадратные уравнения. В первом из них b=0, во втором c=0, в третьем b=0 и c=0.

Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов:
1) ax²+c=0, где ( c neq 0 );
2) ax²+bx=0, где ( b neq 0 );
3) ax²=0.

Рассмотрим решение уравнений каждого из этих видов.

Для решения неполного квадратного уравнения вида ax²+c=0 при ( c neq 0 ) переносят его свободный член в правую часть
и делят обе части уравнения на a:
( x^2 = -frac{c}{a} Rightarrow x_{1,2} = pm sqrt{ -frac{c}{a}} )

Так как ( c neq 0 ), то ( -frac{c}{a} neq 0 )

Если ( -frac{c}{a}>0 ), то уравнение имеет два корня.

Если ( -frac{c}{a}<0 ), то уравнение не имеет корней (квадратный корень из отрицательного числа извлекать нельзя).

Для решения неполного квадратного уравнения вида ax²+bx=0 при ( b neq 0 ) раскладывают его левую часть на множители
и получают уравнение
( x(ax+b)=0 Rightarrow left{ begin{array}{l} x=0 \ ax+b=0 end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l} x=0 \ x=-frac{b}{a} end{array} right. )

Значит, неполное квадратное уравнение вида ax²+bx=0 при ( b neq 0 ) всегда имеет два корня.

Неполное квадратное уравнение вида ax²=0 равносильно уравнению x²=0 и поэтому имеет единственный корень 0.

Рассмотрим теперь, как решают квадратные уравнения, в которых оба коэффициента при неизвестных и свободный член отличны от нуля.

Решим квадратне уравнение в общем виде и в результате получим формулу корней. Затем эту формулу можно будет применять при решении любого
квадратного уравнения.

Решим квадратное уравнение ax²+bx+c=0

Разделив обе его части на a, получим равносильное ему приведённое квадратное уравнение
( x^2+frac{b}{a}x +frac{c}{a}=0 )

Преобразуем это уравнение, выделив квадрат двучлена:
( x^2+2x cdot frac{b}{2a}+left( frac{b}{2a}right)^2- left( frac{b}{2a}right)^2 + frac{c}{a} = 0 Rightarrow )

( x^2+2x cdot frac{b}{2a}+left( frac{b}{2a}right)^2 = left( frac{b}{2a}right)^2 – frac{c}{a} Rightarrow )

( left( x+frac{b}{2a}right)^2 = frac{b^2}{4a^2} – frac{c}{a} Rightarrow left( x+frac{b}{2a}right)^2 = frac{b^2-4ac}{4a^2} Rightarrow )

( x+frac{b}{2a} = pm sqrt{ frac{b^2-4ac}{4a^2} } Rightarrow x = -frac{b}{2a} + frac{ pm sqrt{b^2-4ac} }{2a} Rightarrow )

( x = frac{ -b pm sqrt{b^2-4ac} }{2a} )

Подкоренное выражение называют дискриминантом квадратного уравнения ax²+bx+c=0 («дискриминант» по латыни —
различитель). Его обозначают буквой D, т.е.
( D = b^2-4ac )

Теперь, используя обозначение дискриминанта, перепишем формулу для корней квадратного уравнения:
( x_{1,2} = frac{ -b pm sqrt{D} }{2a} ), где ( D= b^2-4ac )

Очевидно, что:
1) Если D>0, то квадратное уравнение имеет два корня.
2) Если D=0, то квадратное уравнение имеет один корень ( x=-frac{b}{2a} ).
3) Если D<0, то квадратное уравнение не имеет корней, т.к. извлекать корень из отрицательного числа нельзя.

Таким образом, в зависимости от значения дискриминанта квадратное уравнение может иметь два корня (при D > 0), один корень
(при D = 0) или не иметь корней (при D < 0).

При решении квадратного уравнения по данной формуле целесообразно поступать следующим образом:
1) вычислить дискриминант и сравнить его с нулём;
2) если дискриминант положителен или равен нулю, то воспользоваться формулой корней, если дискриминант отрицателен, то записать,
что корней нет.

Приведённое квадратное уравнение ax²-7x+10=0 имеет корни 2 и 5. Сумма корней равна 7, а произведение равно 10.
Мы видим, что сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному
члену. Таким свойством обладает любое приведённое квадратное уравнение, имеющее корни.

Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней
равно свободному члену.

Т.е. теорема Виета утверждает, что корни x₁ и x₂ приведённого квадратного уравнения x²+px+q=0
обладают свойством:
( left{ begin{array}{l} x_1+x_2=-p \ x_1 cdot x_2=q end{array} right. )