Как найти корни квадратного уравнения рационально

Теорема Виета

Теорема Виета звучит так:

Теорема Виета широко используется при решении задач, в которых

• не требуется найти корни квадратного уравнения, а лишь некоторое их соотношение;
• нужно найти значение параметра, при котором значение корней удовлетворяет заданному соотношению.

С помощью теоремы Виета можно устно находить корни квадратного уравнения, а также проверять, являются ли заданные числа корнями уравнения.

Чтобы грамотно использовать теорему Виета, ее нужно хорошо понимать.

Остановимся подробнее на каждом слове этой теоремы. Сначала о коэффициентах квадратного уравнения:

Квадратное уравнение называется приведенным, если старший коэффициент равен 1, то есть если

В общем случае не каждое квадратное уравнение является приведенным, например, уравнение не является приведенным. В этом уравнении .

Но каждое квадратное уравнение можно сделать приведенным, для этого достаточно обе части уравнения вида разделить на :

В полученном уравнении старший коэффициент равен 1, второй коэффициент равен , свободный член равен .

То есть корни произвольного квадратного уравнения , согласно теоремы Виета, удовлетворяют системе:

Например корни уравнения

Обратная теорема Виета позволяет составить квадратное уравнение по значениям его корней:

Например, числа -7 и -2 являются корнями уравнения , или

Решим несколько задач с использованием теоремы Виета.

Задача 1. Составьте квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, если известно, что один из корней равен

Так как произведение корней должно быть числом рациональным, второй корень может представлять выражение, сопряженное выражению , то есть дополняющее его до формулы разности квадратов. Это выражение :

Тогда ;

Отсюда получаем уравнение:

Задача 2. Найдите значения выражения , где и — корни уравнения .

Если в задаче не требуется найти значения корней квадратного уравнения, а только их соотношение, следовательно, нужно воспользоваться теоремой Виета.

Запишем теорему Виета для этого уравнения:

Теперь мы знаем, чему равны сумма и произведение корней. Представим выражение в виде комбинации суммы и произведения. Приведем дроби к общему знаменателю.

Задача 3. Найдите значение выражения , где и — корни уравнения .

Эта задача аналогична предыдущей, только в ней чуть сложнее преобразование выражения в комбинацию выражений и .

Вспомним формулу квадрата суммы: . Перенесем влево и получим соотношение (1)

Запишем теорему Виета для уравнения :

(по формуле 1)

Задача 4. Решите устно уравнение:

Теорем Виета позволяет в некоторых случаях легко находить корни квадратного уравнения.

Для этого удобно придерживаться такой последовательности шагов:

1. Выписываем теорему Виета для данного уравнения.
2. Определяем знаки корней.
3. Раскладываем на два множителя свободный член, и определяем, какая пара множителей в сумме дает второй коэффициент, взятый с противоположным знаком.

Для данного уравнения

1

2 Определим знаки корней.

Для определения знаков удобно пользоваться такой таблицей:

Так как в уравнении произведение корней отрицательно, корни имеют разные знаки. Сумма корней также отрицательна, следовательно, корень с большим модулем отрицателен.

3. Будем раскладывать на множители число 24, имея в виду, что множитель с большим модулем отрицателен, и выбираем пару чисел, сумма которых равна -2.

Очевидно, что это числа -6 и 4.

Задача 5. Решите устно уравнение:

1

2 Определим знаки корней.

Так как в уравнении

произведение корней отрицательно, корни имеют разные знаки. Сумма корней отрицательна, следовательно, корень с большим модулем отрицателен.

В данном случае корни проще подобрать, зная их сумму: . Можно предположить, что . Проверим, чему равно произведение этих выражений:

Ответ:

Следствием из теоремы Виета являются такие полезные факты:

Задача 6. Найти корни уравнения:

Заметим, что , следовательно, .

Найти корни уравнения:

Заметим, что , следовательно,

Как решать задачи с параметром с помощью теоремы Виета читайте здесь.

Тема урока: «Рациональные решения квадратных уравнений». 8-й класс

Разделы: Математика

Класс: 8

Цели:

• образовательная: обобщить и систематизировать знания и умения решения квадратных уравнений;
• развивающая: формировать умения определять тип квадратного уравнения и выбирать рациональное решение по его коэффициентам;
• воспитательная: воспитывать внимательность и краткость изложения решений.

Тип урока: обобщение знаний и умений решения квадратных уравнений.

Оборудование: компьютер, интерактивная доска, карточки с заданиями, доска.

Эпиграф

Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть — и далее подтвердить это, — что, следуя этому методу, мы достигнем цели.
(Г.Лейбниц)

ХОД УРОКА

1. Организационный момент.

Учитель настраивает учащихся на урок и даёт установку на внимательность в подходе к решению квадратных уравнений.

2. Проверка домашнего задания.

Учащиеся сдают тетради на проверку. Учитель отвечает на возникшие вопросы у учащихся.

3. Формулирование цели и задачи урока.

Рассмотрим несколько вариантов решения квадратных уравнений, сравним их и научимся выбирать рациональное решение.

4. Классификация квадратных уравнений.

На интерактивной доске учащимся представляется таблица классификации квадратных уравнений и предлагается её прокомментировать.

Полное квадратное уравнение	Частные случаи полного квадратного уравнения
ax 2 + bx + c = 0, где х – переменная,

a, b, c – некоторые числа, причем a 0.

D = b 2 – 4ac (дискриминант);

если D > 0, то уравнение имеет два корня

х_{1 ;} х_{2 ;}

если D = 0, то уравнение имеет один корень (или ещё говорят, имеет два равных корня)

х (х₁ х₂ = );

если D 2 +2kx + c =0,

D = 4(k 2 –ac) = 4D₁ (дискриминант), где D₁ = k 2 –ac;

если D₁ >0, то D >0, уравнение имеет два корня

х_{1 ;} х₂;

если D₁ = 0, то D = 0, уравнение имеет один корень х ;

б) D > 0, если a+b+c=0, то

х₁ = 1; х₂ = ;

D = 0, если a+b+c=0, то

в) D > 0, если a-b+c=0, то

х₁ = -1; х₂ = ;

D = 0, если a-b+c=0, то

х = -1.Приведенное квадратное уравнениеЧастный случай приведенного квадратного уравненияx 2 + px + q = 0, если D > 0, уравнение имеет два корня и решается по теореме, обратной теореме Виета х₁+х₂ = -p, х₁·х₂ = q.Если p – четное, D = 4(– q)= 4D₂ (дискриминант),

где D₂ = (– q);

D₂ > 0, то D > 0, уравнение имеет два корня

х₁ + , х₂ — .

Неполное квадратное уравнениеа) ax 2 + c = 0, где с0;

если — > 0, то

х₁ — , х₂ = ;

если — 2 + bx = 0, где b0; уравнение имеет два корня

х₁ = 0, х₂ = — .в) ax 2 = 0; уравнение имеет один корень

х = 0.Метод “переброски”

ax 2 + bx + c = 0, для решения данного квадратного уравнения составим и решим вспомогательное квадратное уравнение путём умножения свободного члена на первый коэффициент и запишем это произведение в новом уравнении свободным членом, т.е. получим квадратное уравнение вида

у 2 + by + ac = 0. Полученное квадратное уравнение можно решать любым рациональным способом (как правило, по теореме, обратной теореме Виета). Его корни — у₁ и у₂. Корни исходного квадратного уравнения:

х₁ = и х₂ = .

5. Ознакомившись с таблицей классификации, трём учащимся предлагается составить свои уравнения для каждого случая и решить их на доске с последующими комментариями.

1. 5х 2 – 11х + 2 = 0;

D = b 2 – 4ac = (-11) 2 — 45·2 = 81; D > 0, уравнение имеет два корня;

х₁ = = = 0,2;

х₂ = = = 2.

2. 3х 2 – 14х + 16 = 0;

D₁ = k 2 –ac = (-7) 2 — 316 = 1; D > 0, уравнение имеет два корня;

х₁ = = = 2;

х₂ = = = 2.

Ответ: 2; 2.

3. 15х 2 +22х — 37 = 0;

D > 0, уравнение имеет два корня;

Так как 15 + 22 – 37 = 0, то х₁ = 1, х₂ = = — 2 .

Ответ: 1; — 2 .

Следующим трём учащимся предлагается аналогичное задание, но для других случаев.

4. -15х 2 + 22х + 37 = 0;

D > 0, уравнение имеет два корня;

Так как -15– 22 + 37 = 0, то х₁ = -1 , х₂ = = 2 .

Ответ: -1; 2 .

5. х 2 – 5х + 6 = 0;

D > 0, уравнение имеет два корня;

по теореме, обратной теореме Виета х₁+х₂ = 5, х₁·х₂ = 6.

6. х 2 – 6х + 7 = 0;

D > 0, уравнение имеет два корня;

по формуле корней приведенного квадратного уравнения с чётным вторым коэффициентом имеем

х₁ + , х₂ — .

Ответ: — , + .

Следующему учащемуся предлагается решить квадратное уравнение методом “переброски”.

7. 5х 2 + 37х — 24 = 0;

D > 0, уравнение имеет два корня;

составим вспомогательное уравнение

у 2 + 37y – 120 = 0; по теореме, обратной теореме Виета у₁+ у₂ = -37, у₁·у₂ = -120.

Значит, у₁ = -40, у₂ = 3, тогда корни исходного уравнения

х₁ = — 8, х₂ = .

Ответ: — 8, .

6. Устные упражнения:

(учащимся предлагается прокомментировать возможные способы рационального решения квадратного уравнения).

1. 2х 2 + 3х + 1 = 0; (D > 0, a – b + c = 0);

2. х 2 + 5х — 6 = 0; (D > 0, a + b + c = 0);

3. 3х 2 — 7х + 4 = 0; (D > 0, a + b + c = 0);

4. 5х 2 + 8х + 3 = 0; (D₁ > 0, значит, D > 0, a – b + c = 0);

5. у 2 — 10y – 24 = 0; (D₂ > 0, значит, D > 0, по формуле корней приведенного квадратного уравнения с чётным вторым коэффициентом);

6. у 2 + y – 90 = 0; (D > 0, по теореме, обратной теореме Виета);

7. у 2 — 8y – 84 = 0; (D₂ > 0, значит, D > 0, по формуле корней приведенного квадратного уравнения с чётным вторым коэффициентом);

8. 3х 2 — 8х + 5 = 0; (D₁ > 0, значит, D > 0, a + b + c = 0);

9. 3х 2 + 6х = 0; (неполное квадратное уравнение; случай б));

10. 4х 2 — 16 = 0; (неполное квадратное уравнение; случай а));

11. 3у 2 — 3y + 1 = 0; (D 2 — 5х — 1 = 0; (D > 0, метод “переброски”).

7. Творческая самостоятельная работа

(по карточкам; в двух вариантах; с последующей устной проверкой).

8. Домашнее задание.

1. Повторите таблицу классификации квадратных уравнений.

2. Решите квадратные уравнения наиболее рациональным способом:

3. Составить пять квадратных уравнений с недостающими коэффициентами.

Составьте квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, если известно, что один из корней уравнения равен :а) — √6 ;б)√7 ;в)2 — √5Покажите как это делается плиз(очень надо), сделайте хотя бы пе?

Алгебра | 5 — 9 классы

Составьте квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, если известно, что один из корней уравнения равен :

Покажите как это делается плиз(очень надо), сделайте хотя бы первые 2!

Если х1 и х2 — корни квадратного уравнения, то это уравнение можно записать в виде а(х — х1)(х — х2) = 0.

А) х1 = — √6 пусть у нас а = 1, тогда х2 = √6 и получим (х — √6)(х + √6) = 0, т.

б) аналогично для х1 = √7 пусть у нас а = 1, тогда х2 = — √7 и получим (х — √7)(х + √7) = 0, т.

в) сложнее для х1 = 2 — √5.

Чтобы при умножении избавиться от символа «корень», берем х2 = 2 + √5, тогда

$(x-(2-sqrt5))(x-(2+sqrt5))=0\ x^2-(2-sqrt5)x-(2+sqrt5)x+(2-sqrt5)(2+sqrt5)=0\ x^2-2x+xsqrt5-2x-xsqrt5+4-5=0\ x^2-4x-1=0$.

Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, если : сумма корней равна — 1дробь6, а произведение равно 11дробь12?

Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, если : сумма корней равна — 1дробь6, а произведение равно 11дробь12.

Существует ли квадратное уравнение с целыми коэффициентами один из корней которого равен?

Существует ли квадратное уравнение с целыми коэффициентами один из корней которого равен.

Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, у которого один из корней равен ?

Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, у которого один из корней равен .

Составьте квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, один из корней которого равен 1 / (6 + корень из 2)?

Составьте квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, один из корней которого равен 1 / (6 + корень из 2).

1. СОСТАВЬТЕ КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЯ В КОТОРОМ КОЭФФИЦИЕНТ ПРИ НЕИЗВЕСТНОМ В ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ РАВНЯЛСЯ БЫ — 15 И ОДИН КОРЕНЬ БЫЛ БЫ ВДВОЕ БОЛЬШЕ ДРУГОГО 2?

1. СОСТАВЬТЕ КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЯ В КОТОРОМ КОЭФФИЦИЕНТ ПРИ НЕИЗВЕСТНОМ В ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ РАВНЯЛСЯ БЫ — 15 И ОДИН КОРЕНЬ БЫЛ БЫ ВДВОЕ БОЛЬШЕ ДРУГОГО 2.

Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются x1 — 2 и x2 — 2 где x1и x2 — корни квадратного уравнения 3×2 — 2x — 5 = 0.

Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами корнями которого являются числа, — 1 / 2и 3?

Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами корнями которого являются числа, — 1 / 2и 3.

Составьте квадратное уравнение с рациональными коэффицентами один из корней которого равен 1 разделить на 6 + корень из 2?

Составьте квадратное уравнение с рациональными коэффицентами один из корней которого равен 1 разделить на 6 + корень из 2.

Составьте квадратное уравнение у которого старший коэффициент равен 8 коэффициент при Х равен 5 свободный член равен 1?

Составьте квадратное уравнение у которого старший коэффициент равен 8 коэффициент при Х равен 5 свободный член равен 1.

Составьте приведённое квадратное уравнение если известны его корни 1 и 5?

Составьте приведённое квадратное уравнение если известны его корни 1 и 5.

Составьте квадратное уравнение, если известны корни х 1 = — 1, 8 и х2 = 5?

Составьте квадратное уравнение, если известны корни х 1 = — 1, 8 и х2 = 5.

На этой странице вы найдете ответ на вопрос Составьте квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, если известно, что один из корней уравнения равен :а) — √6 ;б)√7 ;в)2 — √5Покажите как это делается плиз(очень надо), сделайте хотя бы пе?. Вопрос соответствует категории Алгебра и уровню подготовки учащихся 5 — 9 классов классов. Если ответ полностью не удовлетворяет критериям поиска, ниже можно ознакомиться с вариантами ответов других посетителей страницы или обсудить с ними интересующую тему. Здесь также можно воспользоваться «умным поиском», который покажет аналогичные вопросы в этой категории. Если ни один из предложенных ответов не подходит, попробуйте самостоятельно сформулировать вопрос иначе, нажав кнопку вверху страницы.

Цели:

• образовательная: обобщить и систематизировать
  знания и умения решения квадратных уравнений;
• развивающая: формировать умения определять тип
  квадратного уравнения и выбирать рациональное
  решение по его коэффициентам;
• воспитательная: воспитывать внимательность и
  краткость изложения решений.

Тип урока: обобщение знаний и умений
решения квадратных уравнений.

Оборудование: компьютер,
интерактивная доска, карточки с заданиями, доска.

Эпиграф

Метод решения хорош, если с самого начала
мы можем предвидеть – и далее подтвердить это, –
что, следуя этому методу, мы достигнем цели.
(Г.Лейбниц) 

ХОД УРОКА

1. Организационный момент.

Учитель настраивает учащихся на урок и даёт
установку на внимательность в подходе к решению
квадратных уравнений.

2. Проверка домашнего задания.

Учащиеся сдают тетради на проверку. Учитель
отвечает на возникшие вопросы у учащихся.

3. Формулирование цели и задачи урока.

Рассмотрим несколько вариантов решения
квадратных уравнений, сравним их и научимся
выбирать рациональное решение.

4. Классификация квадратных уравнений.

На интерактивной доске учащимся
представляется таблица классификации
квадратных уравнений и предлагается её
прокомментировать.

5. Ознакомившись с таблицей
классификации, трём учащимся предлагается
составить свои уравнения для каждого случая и
решить их на доске с последующими комментариями.

Например:

1. 5х² – 11х + 2 = 0;

D = b² – 4ac = (-11)² – 45·2 = 81; D > 0, уравнение имеет два
корня;

х₁ = = = 0,2;

х₂ = = = 2.

Ответ: 0,2; 2.

2. 3х² – 14х + 16 = 0;

D₁ = k² –ac = (-7)² – 316 = 1; D > 0, уравнение
имеет два корня;

х₁ = = = 2;

х₂ = = = 2.

Ответ: 2; 2.

3. 15х² +22х – 37 = 0;

D > 0, уравнение имеет два корня;

Так как 15 + 22 – 37 = 0, то х₁ = 1, х₂ = = – 2 .

Ответ: 1; – 2 .

Следующим трём учащимся предлагается
аналогичное задание, но для других случаев.

4. -15х² + 22х + 37 = 0;

D > 0, уравнение имеет два корня;

Так как -15– 22 + 37 = 0, то х₁ = -1 , х₂ = = 2 .

Ответ: -1; 2 .

5. х² – 5х + 6 = 0;

D > 0, уравнение имеет два корня;

по теореме, обратной теореме Виета х₁+х₂
= 5, х₁·х₂ = 6.

Значит, х₁ = 2, х₂ = 3.

Ответ: 2; 3.

6. х² – 6х + 7 = 0;

D > 0, уравнение имеет два корня;

по формуле корней приведенного квадратного
уравнения с чётным вторым коэффициентом имеем

х₁
+ , х₂ – .

Ответ:
– , + .

Следующему учащемуся предлагается решить
квадратное уравнение методом “переброски”.

7. 5х² + 37х – 24 = 0;

D > 0, уравнение имеет два корня;

составим вспомогательное уравнение

у² + 37y – 120 = 0; по теореме, обратной теореме
Виета у₁+ у₂ = -37, у₁·у₂ = -120.

Значит, у₁ = -40, у₂ = 3, тогда корни
исходного уравнения

х₁ = – 8, х₂ = .

Ответ: – 8, .

6. Устные упражнения:

(учащимся предлагается прокомментировать
возможные способы рационального решения
квадратного уравнения).

1. 2х² + 3х + 1 = 0; (D > 0, a – b + c = 0);

2. х² + 5х – 6 = 0; (D > 0, a + b + c = 0);

3. 3х² – 7х + 4 = 0; (D > 0, a + b + c = 0);

4. 5х² + 8х + 3 = 0; (D₁ > 0, значит, D > 0, a –
b + c = 0);

5. у² – 10y – 24 = 0;  (D₂ > 0, значит, D >
0, по формуле корней приведенного квадратного
уравнения с чётным вторым коэффициентом);

6. у² + y – 90 = 0; (D > 0, по теореме, обратной
теореме Виета);

7. у² – 8y – 84 = 0; (D₂ > 0, значит, D > 0, по
формуле корней приведенного квадратного
уравнения с чётным вторым коэффициентом);

8. 3х² – 8х + 5 = 0; (D₁ > 0, значит, D > 0, a + b
+ c = 0);

9. 3х² + 6х = 0;  (неполное квадратное
уравнение; случай б));

10. 4х² – 16 = 0;  (неполное квадратное
уравнение; случай а));

11. 3у² – 3y + 1 = 0;  (D < 0, уравнение не имеет
корней);

12. 14х² – 5х – 1 = 0;  (D > 0, метод
“переброски”).

7. Творческая самостоятельная работа

(по карточкам; в двух вариантах; с последующей
устной проверкой).

8. Домашнее задание.

1. Повторите таблицу классификации квадратных
уравнений.

2. Решите квадратные уравнения наиболее
рациональным способом:

3. Составить пять квадратных уравнений с
недостающими коэффициентами.

Решение биквадратных уравнений

Математической моделью практических задач могут быть разные уравнения. В школе мы чаще всего будем сталкиваться с линейными и квадратными уравнениями, которые уже умеем решать. Но иногда могут встречаться и более сложные уравнения. Существуют компьютерные алгоритмы, которые позволяют приближенно найти решение практически любого уравнения, а вот точное решение найти удастся не всегда. На этом уроке мы рассмотрим некоторые приемы, которые позволяют эквивалентными преобразованиями свести более сложные уравнения к тем, которые мы уже умеем решать, – линейным и квадратным.

Задание 1. Решить уравнение:

Решение.

Воспользуемся свойством степеней  и перепишем уравнение в виде:

Обратим внимание, что неизвестная величина  присутствует в уравнении только в составе «конструкции» . В таком случае применяют метод замены переменной.

Суть его состоит в том, что эту повторяющуюся конструкцию мы заменяем новой переменной:

Заменяя  на , получаем уравнение:

Получили квадратное уравнение. С его решением вы можете ознакомиться ниже.

---

Решение квадратного уравнения с помощью дискриминанта

Имеем следующее квадратное уравнение:

Решим уравнение с помощью дискриминанта. Коэффициенты из общего вида квадратного уравнения:

Тогда:

Найдем корни квадратного уравнения:

Ответ: .

---

Далее решения линейных и квадратных уравнений не будут разбираться подробно. Внимание будет сконцентрировано на том, как свести более сложное уравнение к линейному или квадратному. Если же у вас возникают проблемы при решении линейных или квадратных уравнений, пересмотрите соответствующие уроки:

1. «Линейное уравнение с одной переменной (Г.Г. Гаицгори)»;
2. «Квадратные уравнения».

Решаем уравнение, получаем корни:

Мы нашли значения . Но в исходном уравнении фигурировала переменная , и решить уравнение – значит, найти значения . Вернемся к замене:

Тогда:

Получили два квадратных уравнения. Первое уравнение  имеет два решения:

Второе уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: .

В процессе решения нам пришлось дважды решать квадратные уравнения: сначала для переменной , затем для переменной . Поэтому такие уравнения, в которых присутствуют только -я и -я степень неизвестной, а также свободный член, называются биквадратными уравнениями, т. е. «дважды квадратными»:

Решение дробно-рациональных уравнений

Теперь перейдем к решению дробно-рациональных уравнений. По названию понятно – это те уравнения, которые содержат в себе дробно-рациональные выражения. Если вы забыли, что это за выражения и как с ними работать, рекомендуем пересмотреть соответствующий видеоурок: «Дробно-рациональные выражения».

При решении дробно-рациональных уравнений важно:

1. в самом начале найти ОДЗ выражений, которые встречаются в уравнении;
2. после нахождения корней нужно проверить, входят ли они в ОДЗ.

Рассмотрим несколько примеров простейших дробно-рациональных уравнений.

Задание 2.Решить уравнение:

Решение.

Знаменатель дроби не должен равняться нулю, т. е. ОДЗ:

Поскольку , можем умножить обе части уравнения на , чтобы избавиться от дроби, тогда:

Получили линейное уравнение, решением которого является x = -3. Это решение входит в ОДЗ.

Ответ: -3.

Задание 3.Решить уравнение:

Решение.

Выпишем ОДЗ:

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на . Мы это можем сделать, поскольку , тогда:

Раскроем скобки, перенесем все слагаемые в одну сторону, приведем подобные слагаемые. Получим квадратное уравнение:

Найдем корни этого уравнения:

Первый корень не входит в ОДЗ. Поэтому  не является решением уравнения.

Ответ: .

Решение более сложных рациональных уравнений

Решим более сложные дробно-рациональные уравнения.

Задание 4. Решить уравнение:

Решение.

Выпишем ОДЗ:

Решим каждое из этих неравенств:

Можем объединить эти неравенства в одно:

Перенесем все слагаемые в одну сторону:

Выполним сложение дробей – для этого разложим знаменатели на множители:

Приведем все дроби к общему знаменателю :

Тогда:

Дробь равна , если ее числитель равен :

Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, получаем квадратное уравнение:

Найдем корни квадратного уравнения:

Корень  не входит в ОДЗ.

Ответ:

Отметим, что для решения дробно-рациональных уравнений можно использовать разные способы. Первый – это умножить обе части уравнения на некоторые выражения так, чтобы избавиться от дробей. Таким способом мы решили первые два примера с дробно-рациональными выражениями. Второй способ – перенести все слагаемые в одну сторону, преобразовать выражение и приравнять числитель полученной дроби к нулю. Так мы решили последний пример. Вы можете выбрать тот способ, который вам удобнее и понятнее. Главное в каждом из них – не забывать про ОДЗ.

Задание 5. Решить уравнение:

Решение.

Выпишем ОДЗ:

Решим эти неравенства:

Обратим внимание, что неизвестная  присутствует в уравнении в похожих конструкциях , которые являются взимнообратными выражениями. В таком случае можно применить метод замены переменной:

Тогда:

Исходное уравнение будет иметь вид:

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на , при этом , поскольку :

Получили квадратное уравнение, решениями которого являются:

Вернемся к замене:

Решаем первое уравнение:

Решаем второе уравнение:

Полученные корни удовлетворяют ОДЗ.

Ответ:.

Задание 6. Решить уравнение:

Решение.

Выпишем ОДЗ:

В подобных уравнениях стандартной является замена:

Чтобы выразить  через , произведем следующие действия:

После замены исходное уравнение будет иметь вид:

Преобразуя это выражение, получаем квадратное уравнение:

Найдем корни уравнения:

Вернемся к замене:

Поскольку , можем умножить обе части каждого из уравнений на  и получить квадратные уравнения:

Первое уравнение имеет решения:

Оба решения удовлетворяют ОДЗ. Второе уравнение не имеет вещественных корней.

Ответ: .

Решение иррациональных уравнений

Теперь перейдем к решению иррациональных уравнений. Так называются уравнения, которые содержат операцию извлечения корня из переменной.

Задание 7. Решить уравнение:

Решение.

Как мы знаем, выражение  имеет смысл только для значения . Поэтому ОДЗ для данного уравнения будет следующей:

Чтобы привести иррациональное уравнение к линейному или квадратному, нужно избавиться от иррациональности. В данном случае – избавиться от квадратного корня. Для этого воспользуемся свойством корня:

Возведем обе части уравнения в квадрат:

Получили линейное уравнение, корнем которого является:

Полученное значение входит в ОДЗ:

При решении уравнения мы возвели обе части уравнения в квадрат, при этом могли возникнуть посторонние корни, т. е. те, которые не являются решением исходного уравнения.

---

Посторонние корни

Операция возведения в квадрат обеих частей равенства не является равносильным преобразованием. При применении этой операции можно получить из неправильного равенства правильное. Например, равенство  очевидно неправильное. Но при возведении в квадрат получим правильное:

При этом из правильного равенства мы не получим неправильное, ведь если числа равны, то их квадраты также равны. Поэтому любой корень исходного уравнения является корнем уравнения, полученного после возведения в квадрат обеих частей. Но не все корни полученного уравнения являются корнями исходного. Могут возникнуть посторонние корни. Чтобы исключить их, проще всего выполнить проверку, подставив полученные значения в исходное уравнение.

---

Выполним проверку. Подставим полученный корень в исходное уравнение:

Мы получили правильное равенство, значит,  является решением уравнения.

Ответ: .

Задание 8. Решить уравнение:

Решение.

Подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Поэтому ОДЗ будет следующей:

Возведем обе части уравнения в квадрат:

После преобразования получим квадратное уравнение:

Найдем корни уравнения:

Проверим, входят ли корни в ОДЗ.

:

Неравенство неверное, значит, корень  не входит в ОДЗ и не является решением исходного уравнения.

:

Корень входит в ОДЗ.

Теперь выполним проверку, подставив  в исходное уравнение:

Получили правильное равенство, следовательно, исходное уравнение имеет один корень .

Ответ:.

Заключение

Итак, сегодня мы познакомились с некоторыми приемами, которые позволяют свести уравнения высших порядков, дробно-рациональные и иррациональные уравнения к квадратным и линейным уравнениям.

Список литературы

1. Никольский С.М., Решетников Н.Н., Потапов М.К., Шевкин А.В. Алгебра, 8 класс. Учебник. – М.: ФГОС, издательство «Просвещение», 2018.
2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. Алгебра, 8 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2018.
3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б./Под ред. Теляковского С.А. Алгебра, 8 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2018.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал yaklass.ru (Источник)
2. Интернет-портал youclever.org (Источник)
3. Интернет-портал kontromat.ru (Источник)

Домашнее задание

1. Решить биквадратное уравнение:

2. Решить дробно-рациональное уравнение:

3. Решить иррациональное уравнение:

1. числитель дроби равен нулю ((а = 0));

Приравниваем к нулю числитель дроби в левой части уравнения, получим:

3×2+2x−3=0;x2+2x−3=0;x1,2=−2±22−4⋅1⋅(−3)2=−2±4+122=−2±42;x1=−2+42=1;x2=−2−42=−3.

Ответ: (1; -3).