Как найти корни многочлена третьей степени - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Куби́ческое уравне́ние — алгебраическое уравнение третьей степени, общий вид которого следующий:

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,;aneq 0.$

Здесь коэффициенты a,b,c,d — вещественные или комплексные числа.

Для анализа и решения кубического уравнения можно в декартовой системе координат начертить график левой части, полученная кривая называется кубической параболой (см. рисунки).

Кубическое уравнение общего вида может быть приведено к каноническому виду путём деления на и замены переменной $x=y-{tfrac {b}{3a}}.$ В результате получается упрощённый вид уравнения:

${displaystyle y^{3}+py+q=0,}$

где

$p={frac {c}{a}}-{frac {b^{2}}{3a^{2}}}={frac {3ac-b^{2}}{3a^{2}}},$

${displaystyle q={frac {d}{a}}-{frac {bc}{3a^{2}}}+{frac {2b^{3}}{27a^{3}}}={frac {27a^{2}d-9abc+2b^{3}}{27a^{3}}}.}$

Кубическое уравнение разрешимо в радикалах, см. Формула Кардано.

История[править | править код]

Древний период[править | править код]

Кубические уравнения были известны ещё древним египтянам, вавилонянам, древним грекам, китайцам и индийцам^[1]^[2]. Были найдены клинописные таблички Старовавилонского периода (XX—XVI век до н. э.), содержащие таблицы значений кубов и кубических корней^[3]^[4]. Вавилоняне могли использовать эти таблицы для решения кубических уравнений, но не существует никаких свидетельств, что они это делали^[5].

Задача удвоения куба использует простейшее и наиболее старое из кубических уравнений, и древние египтяне не верили, что решение его существует^[6]. В пятом веке до нашей эры Гиппократ свёл эту задачу к нахождению двух средних пропорциональных между одним отрезком и другим, вдвое большим его, но не смог решить её с помощью циркуля и линейки^[7], что, как теперь известно, невозможно сделать.

В III веке нашей эры древнегреческий математик Диофант нашёл целые и рациональные решения для некоторых кубических уравнений с двумя неизвестными (диофантовых уравнений)^[2]^[8]. Считается, что Гиппократ, Менехм и Архимед подошли ближе к решению задачи об удвоении куба с помощью конических сечений^[7], хотя некоторые историки, такие как Ревиэль Нетц (Reviel Netz), говорят о том, что неизвестно, думали ли греки о кубических уравнениях, или просто о задачах, которые могут привести к кубическим уравнениям. Другие, как, например, Томас Хит, переводчик и комментатор всех дошедших до нас трудов Архимеда, не соглашаются, указывая на свидетельства, что Архимед действительно решал кубические уравнения с помощью пересечения двух конусов^[9].

Численные методы решения кубических уравнений появляются в китайском математическом тексте Математика в девяти книгах, составленном около второго столетия до нашей эры и прокомментированном китайским математиком Лю Хуэем в третьем столетии^[1].

В VII веке во времена династии Тан астроном и математик Ван Сяотун^[en] в своём математическом трактате, озаглавленном Цзигу Суаньцзин, изложил и решил 25 кубических уравнений вида $x^{3}+px^{2}+qx=N$ , в 23 из которых , и в двух уравнениях q=0 ^[10].

Средневековье[править | править код]

В XI веке персидский поэт и математик Омар Хайям (1048—1131) сделал существенный прогресс в теории кубических уравнений. В ранних работах, посвящённых кубическим уравнениям, он обнаружил, что кубическое уравнение может иметь два решения (случай трёх корней остался им незамеченным^[11]), и утверждал, что уравнение не может быть решено с помощью циркуля и линейки. Он также нашёл геометрическое решение^[12]^[13]. В его более позднем труде, Трактат о демонстрации задач алгебры, он описал полную классификацию кубических уравнений с их общими геометрическими решениями, использующими пересечения конических сечений^[14]^[15].

В XII столетии индийский математик Бхаскара II пытался решать кубические уравнения без особых успехов. Однако он привёл один пример решения кубического уравнения^[16]:

${displaystyle x^{3}+12x=6x^{2}+35.}$

В том же XII столетии персидский математик Шараф ад-Дин написал Al-Mu’adalat (Трактат об уравнениях), в котором говорится о восьми типах кубических уравнений с положительными решениями и о пяти типах, не имеющих положительных решений. Он использовал подход, который позднее стал известен как метод «Руффини — Горнера» для численной аппроксимации корня кубического уравнения. Он разработал также концепцию производной функции и экстремумов кривой для решения кубических уравнений, которые могут не иметь положительных значений^[17]. Он понял важность дискриминанта кубического уравнения для нахождения алгебраического решения некоторых специальных видов кубических уравнений^[18].

В средневековой Европе до XVI века успехов в решении кубических уравнений не было. Леонардо Пизанский, известный также как Фибоначчи (1170—1250), умел находить положительные решения кубического уравнения $x^{3}+2x^{2}+10x=20$ с помощью вавилонских цифр. Он указал решение что равно ${displaystyle 1+22/60+7/60^{2}+42/60^{3}+33/60^{4}+4/60^{5}+40/60^{6}}$ в стандартной записи и отличается от точного решения только на три триллионных^[19].

Лука Пачоли в своём трактате «Сумма арифметики, геометрии, отношений и пропорций» (1494 год) писал, что общее решение кубических уравнений «столь же невозможно при современном состоянии науки, как и решение квадратуры круга циркулем и линейкой»^[20].

Открытие дель Ферро — Тартальи[править | править код]

В начале XVI века итальянский математик Сципион дель Ферро нашёл общий метод решения важного класса кубических уравнений, а именно, уравнений вида ${displaystyle x^{3}+mx=n}$ с неотрицательными n и m. Фактически все кубические уравнения можно свести к такому виду, если допустить возможность для и быть отрицательными, но отрицательные числа в то время ещё не считались допустимыми. Дель Ферро держал своё открытие в секрете, пока не рассказал о нём перед своей смертью своему ученику Антонио Фиоре (Antonio Fiore).

Никколо Фонтана Тарталья.

В 1535 году Никколо Тарталья получил две задачи в виде кубических уравнений от Дзуанне да Кои (Zuanne da Coi) и объявил, что он их может решить. Он вскоре получил вызов от Фиоре на математическое соревнование, которое после его завершения стало знаменитым. Каждый из них должен был предложить определённое число задач сопернику для решения. Оказалось, что все задачи, полученные Тартальей, сводились к кубическим уравнениям типа ${displaystyle x^{3}+mx=n}$ . Незадолго до истечения срока Тарталье удалось разработать общий метод решения кубических уравнений этого типа (переоткрыв метод дель Ферро), а также обобщить его на два других типа ( ${displaystyle x^{3}=mx+n}$ и ${displaystyle x^{3}+n=mx}$ ). После этого он быстро решил все предложенные ему задачи. Фиоре же получил от Тартальи задачи из различных разделов математики, многие из которых оказались ему не под силу; в результате Тарталья выиграл соревнование.

Позднее Джероламо Кардано (1501—1576) неоднократно пытался убедить Тарталья раскрыть секрет решения кубических уравнений. В 1539 году ему это удалось: Тарталья сообщил свой метод, но при условии, что Кардано никому его не откроет до выхода книги самого Тартальи о кубических уравнениях, над которой он работал и где собирался опубликовать метод. Спустя шесть лет Тарталья так и не опубликовал свою книгу, а Кардано, узнав к тому времени о работах Ферро, счёл возможным опубликовать метод дель Ферро (с упоминанием имени Тартальи, как независимо его открывшего) в своей книге «Ars Magna» в 1545 году. Кардано оправдывался тем, что обещал не сообщать никому результаты Тартальи, а не дель Ферро. Тем не менее, Тарталья считал, что Кардано нарушил обещание и послал тому вызов на соревнование, который Кардано не принял. Вызов, в конце концов, принял ученик Кардано Лодовико Феррари (1522—1565), и оказался победителем^[21].

Кардано заметил, что метод Тарталья иногда (а именно — при наличии трех действительных корней) требует извлечения квадратного корня из отрицательного числа. Он даже включил вычисления с этими комплексными числами в Ars Magna, но, на самом деле, до конца проблему не понял. Рафаэль Бомбелли изучал эту проблему детально, а потому считается первооткрывателем комплексных чисел.

Франсуа Виет (1540—1603) независимо вывел решение кубического уравнения с тремя действительными корнями.
Его решение было основано на тригонометрической формуле

$(2{cdot}cos phi)^3-3{cdot}(2{cdot}cos phi)=2{cdot}cos(3{cdot}phi).$

В частности, подстановка приводит уравнение

${displaystyle x^{3}-3{cdot }a^{2}{cdot }x=a^{2}cdot b.}$

к виду

Позднее Рене Декарт (1596—1650) углубил работу Виета
^[22].

Корни уравнения[править | править код]

Число , обращающее уравнение в тождество, называется корнем или решением уравнения. Оно является также корнем многочлена третьей степени, стоящего в левой части канонической записи.

Над полем комплексных чисел, согласно основной теореме алгебры, кубическое уравнение

всегда имеет 3 корня $x_{1},x_{2},x_{3}$ (с учётом кратности).

Так как каждый вещественный многочлен нечётной степени имеет хотя бы один вещественный корень, все возможные случаи состава корней кубического уравнения исчерпываются тремя, описанными ниже.

Эти случаи различаются с помощью знака дискриминанта:

${displaystyle Delta =a^{4}{cdot }(x_{1}-x_{2})^{2}{cdot }(x_{1}-x_{3})^{2}{cdot }(x_{2}-x_{3})^{2}=}$

${displaystyle =-4{cdot }b^{3}cdot d+b^{2}{cdot }c^{2}-4{cdot }a{cdot }c^{3}+18{cdot }a{cdot }b{cdot }c{cdot }d-27{cdot }a^{2}{cdot }d^{2}.}$

Возможны три случая:

По теореме Виета корни кубического уравнения $x_{1},,x_{2},,x_{3}$ связаны с коэффициентами следующими соотношениями^[23]:

$x_{1}+x_{2}+x_{3}=-{frac {b}{a}},$

$x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{1}x_{3}={frac {c}{a}},$

$x_{1},x_{2},x_{3}=-{frac {d}{a}}.$

Делением указанных соотношений друг на друга можно получить ещё несколько соотношений:

${frac {1}{x_{1}}}+{frac {1}{x_{2}}}+{frac {1}{x_{3}}}=-{frac {c}{d}},quad dneq 0,$

${displaystyle {frac {1}{x_{1}x_{2}}}+{frac {1}{x_{2}x_{3}}}+{frac {1}{x_{1}x_{3}}}={frac {b}{d}},quad dneq 0,}$

${displaystyle {frac {1}{x_{1}x_{2}x_{3}}}=-{frac {a}{d}},quad dneq 0.}$

Методы решения[править | править код]

Общие точные методы решения:

Формула Кардано
Тригонометрическая формула Виета
Преобразование Чирнгауза

Для некоторых особых типов кубических уравнений существуют специальные методы решения. См., например:

Возвратное уравнение
Теорема Безу

Также можно применять численные методы решения уравнений.

Подстановка Виета[править | править код]

Как указывалось выше, любое кубическое уравнение можно привести к виду:

$t^{3}+pt+q=0,$

Сделаем подстановку, известную как подстановка Виета:

$t=w-{frac {p}{3w}}$

В результате получим уравнение:

$w^{3}+q-{frac {p^{3}}{27w^{3}}}=0.$

Умножив на ${displaystyle w^{3}}$ , получим уравнение шестой степени от , которое, на самом деле, является квадратным уравнением от ${displaystyle w^{3}}$ :

$w^{6}+qw^{3}-{frac {p^{3}}{27}}=0$

Геометрическое решение Омара Хайяма кубического уравнения для случая , дающее корень . То, что вертикальная прямая пересекает ось в центре круга, — специфично для данного конкретного примера.

Решая это уравнение, получим ${displaystyle w^{3}}$ . Если $w_{1}$ , ${displaystyle w_{2}}$ и ${displaystyle w_{3}}$ являются тремя кубическими корнями ${displaystyle w^{3}}$ , то корни исходного уравнения можно получить по формулам

$t_{1}=w_{1}-{frac {p}{3w_{1}}},quad t_{2}=w_{2}-{frac {p}{3w_{2}}}quad$

и $quad t_{3}=w_{3}-{frac {p}{3w_{3}}}.$

Решение Омара Хайяма[править | править код]

Как показано на графике, для решения уравнения третьей степени $x^{3}+a^{2}x=b$ , где b>0, Омар Хайям построил параболу ${displaystyle y={frac {x^{2}}{a}},}$ окружность, диаметром которой является отрезок ${displaystyle left[0,{frac {b}{a^{2}}}right]}$ положительной полуоси , и вертикальную прямую, проходящую через пересечение параболы и окружности. Решение определяется длиной горизонтального отрезка от начала координат до пересечения вертикальной прямой с осью .

Простое современное доказательство построения: умножаем на уравнение и группируем члены

${frac {x^{4}}{a^{2}}}=x,left({frac {b}{a^{2}}}-xright),.$

Левая часть — это значение $y^{2}$ на параболе. Уравнение окружности, $y^{2}+x,left(x-{frac {b}{a^{2}}}right)=0,$ совпадает с правой частью уравнения и даёт значение $y^{2}$ на окружности.

См. также[править | править код]

Корень Бринга
Кубика

Примечания[править | править код]

↑ ¹ ² John Crossley, Anthony W.-C. Lun. The Nine Chapters on the Mathematical Art: Companion and Commentary. — Oxford University Press, 1999. — С. 176. — ISBN 978-0-19-853936-0.
↑ ¹ ² Van der Waerden. Geometry and Algebra of Ancient Civilizations. — Zurich, 1983. — С. chapter 4. — ISBN 0-387-12159-5.
↑ Roger Cooke. The History of Mathematics. — John Wiley & Sons, 2012. — P. 63. — ISBN 978-1-118-46029-0.
↑ Karen Rhea Nemet-Nejat. Daily Life in Ancient Mesopotamia. — Greenwood Publishing Group, 1998. — P. 306. — ISBN 978-0-313-29497-6.
↑ Roger Cooke. Classical Algebra: Its Nature, Origins, and Uses. — John Wiley & Sons, 2008. — P. 64. — ISBN 978-0-470-27797-3.
↑ Guilbeau, 1930 утверждает, что «египтяне полагали, что решение невозможно, но греки подошли к решению ближе.»
↑ ¹ ² Guilbeau, 1930
↑ Thomas L. Heath. Diophantus of Alexandria: A Study in the History of Greek Algebra. — Martino Pub, 2009. — ISBN 978-1578987542.
↑ Archimedes (translation by T. L. Heath). The works of Archimedes. — Rough Draft Printing, 2007. — ISBN 978-1603860512.
↑ Yoshio Mikami. The Development of Mathematics in China and Japan. — 2nd ed. — New York: Chelsea Publishing Co., 1974. — С. 53—56. — ISBN 978-0-8284-0149-4.
↑ История математики, том I, 1970, с. 225.
↑ Работа Омара Хайама, Scripta Math. 26 (1963), стр. 323—337
↑ в книге О’Коннора и Робертсона «Omar Khayyam», MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews, можно прочитать Эта задача привела Хайама к кубическому уравнению x³ + 200x = 20x² + 2000, и он нашёл положительный корень этого уравнения как пересечение равнобочной гиперболы и окружности. Приближённое численное решение было затем найдено путём интерполяции тригонометрических таблиц.
↑ J. J. O’Connor и E. F. Robertson (1999), Omar Khayyam Архивная копия от 1 марта 2012 на Wayback Machine, в архиве истории математики MacTutor^[en], утверждают, «Хайям, похоже, был первым, кто задумался об общей теории кубических уравнений.»
↑ Guilbeau, 1930 утверждает, «Омар Аль Хей Хорасан около 1079 года сделал много по пути продвижения методов решения алгебраических уравнений с помощью пересекающихся конических сечений.»
↑ Datta, Singh. History of Hindu Mathematics. — Delhi, India, 2004. — С. 76,. — ISBN 81-86050-86-8. стр. 76, Equation of Higher Degree; Bharattya Kala Prakashan
↑ O’Connor, John J.; Robertson, Edmund F., «Sharaf al-Din al-Muzaffar al-Tusi», MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews.
↑ J. L. Berggren. Innovation and Tradition in Sharaf al-Din al-Tusi’s Muadalat // Journal of the American Oriental Society. — 1990. — Vol. 110. — Вып. 2. — P. 304—309. — doi:10.2307/604533.
↑ R. N. Knott and the Plus Team. The life and numbers of Fibonacci // Plus Magazine. — 2013.
↑ Андронов И. К. Математика действительных и комплексных чисел. — Просвещение, 1975. — С. 91—92. — 158 с.
↑ Victor Katz. A History of Mathematics. — Boston: Addison Wesley, 2004. — С. 220. — ISBN 9780321016188.
↑ R. W. D. Nickalls. Viète, Descartes and the cubic equation // Mathematical Gazette. — July 2006. — Т. 90. — P. 203—208.
↑ Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике. — Изд. 7-е, стереотипное. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1967. — С. 139.

Литература[править | править код]

Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике. — Изд. 7-е, стереотипное. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1967. — С. 138—139.
История математики. С древнейших времен до начала Нового времени // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. I. — 352 с.
Лекция 4 в Табачников С.Л.. Фукс Д.Б. Математический дивертисмент. — МЦНМО, 2011. — 512 с. — 2000 экз. — ISBN 978-5-94057-731-7.
Guilbeau, Lucye (1930), The History of the Solution of the Cubic Equation, Mathematics News Letter Т. 5 (4): 8–12, DOI 10.2307/3027812

Ссылки[править | править код]

Подробное онлайн решение кубического уравнения

Источник

Рада приветствовать всех на своем канале!

Сегодня поговорим о важной теме – кубических уравнениях и способах их решений. В школах им несправедливо уделяется куда меньшее внимание по сравнению с другими типами уравнений (конечно же, я намекаю на линейные и квадратные ;)). Однако на экзаменах и олимпиадах без навыка решения кубических уравнений обойтись практически невозможно.

На ОГЭ, например, уравнения данного типа периодически встречаются в самом первом номере второй части. На ЕГЭ умение раскладывать кубический многочлен на множители может понадобиться в номерах 13, 15 или 18. Про олимпиады и говорить нечего: навык решения уравнений третьей степени просто необходим всем, кто хочет быть в призерах!

Как решать кубические уравнения? 3 способа, которые помогут на ОГЭ, ЕГЭ и олимпиадах.

Ну что, начнём???

Кубическое уравнение имеет общий вид:

Рассмотрим 3 возможных способа его решения.

1-й способ – группировка

В отдельных случаях при удачном подборе коэффициентов с помощью группировки удается разложить кубический многочлен на множители, после чего легко находятся все корни уравнения.

Внимание! Любое кубическое уравнение всегда имеет от одного до трех действительных корней.

Рассмотрим пример, в котором удобно сгруппировать первое и третье слагаемые, а также второе и четвертое:

откуда находим, что уравнение имеет единственный корень x = 2,
так как вторая скобка при любом значении x принимает исключительно положительные значения.

Но в самом общем случае коэффициенты уравнения могут быть подобраны менее удачно, тогда решить его подобным способом не получится. В этом случае применим следующий алгоритм.

Более универсальный 2-й способ

Ищем такой x, при котором вся левая часть уравнения обращается в ноль, т.е. находим подбором первый корень x_1. Практически всегда подходит одно из чисел: 1, 2, 3, 4, -1, -2, -3, -4, 0.5, -0.5.
Производим операцию деления многочлена на многочлен в столбик: делим исходный кубический многочлен на(x−x_1),
где x_1 – корень, найденный в предыдущем пункте. В результате деления получаем квадратичную функцию, корни которой находятся без труда (дискриминант или теорема Виета всем в помощь).
В ответ записываем корень x_1 и корни квадратичной функции, найденной во 2-м пункте.

Пример:

подбором находим, что корнем уравнения является число 1, т.е. y_1=1. Далее в столбик делим кубический четырехчлен, стоящий в левой части уравнения, на y−1 и получаем квадратичную функцию

Приравниваем её к нулю, решаем квадратное уравнение и находим еще два корня. В данном случае это числа 2 и 1. Таким образом, весь кубический многочлен можно записать в виде произведения:

Теперь прекрасно видно, что корнями исходного кубического уравнения являются числа 1 и 2, причем корень 1 имеет кратность, равную двум!

А как быть, если первый корень не находится подбором?

В этом случае помочь может только одно…

3-й способ – формула Кардано

Эта формула 100% сможет расколоть любое кубическое уравнение, даже с самыми страшными коэффициентами! Правда, есть у неё один минус… Она громоздкая и сложная. Настолько, что порой Вы задумаетесь, а так ли сильно хотите решить рассматриваемое уравнение 🙂

Если не испугались, то делюсь полезной ссылкой, по которой Вы сможете подробно ознакомиться с формулой Кардано, её выводом и примерами использования.

Именно эта формула, а точнее целый набор формул, находится внутри всех компьютерных программ, которые за считанные доли секунды способны выдать корни кубического уравнения. Однако, на экзаменах и олимпиадах полагаться приходится только на себя – никаких калькуляторов и прочих чудес техники…

В заключении статьи хочу предложить Вам проверить свои силы и закрепить пройденный материл. Для этого я приготовила три кубических уравнения. Попробуйте решить их разными способами 😉 Ответы жду в комментариях!

До скорых встреч!

P.s. На канале есть и другие публикации, которые могут быть Вам интересны:

Простые советы для успешной сдачи ЕГЭ по математике.

Разбираем самое “опасное” уравнение из первой части ЕГЭ по математике.

Лиге чемпионов посвящается. Подборка задач из ЕГЭ по математике с футбольным сюжетом.

Всё ли Вы знаете о ЕГЭ по математике?

ЕГЭ по математике 2020. Как это было. Подводим итоги.

Топ-5 отличий потенциального СТОбалльника ЕГЭ от обычного школьника

ЕГЭ 2021. Что год грядущий нам готовит.

Источник

Загрузить PDF

В кубическом уравнении наивысшим показателем степени является 3, у такого уравнения 3 корня (решения) и оно имеет вид $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ . Некоторые кубические уравнения не так просто решить, но если применить правильный метод (при хорошей теоретической подготовке), можно найти корни даже самого сложного кубического уравнения — для этого воспользуйтесь формулой для решения квадратного уравнения, найдите целые корни или вычислите дискриминант.

1
2
3

Разложите на множители (на произведение двух биномов) квадратное уравнение (если возможно). Многие квадратные уравнения вида $ax^{2}+bx+c=0$ можно разложить на множители. Такое уравнение получится, если вынести за скобки. В нашем примере:^[4]
4
5

Используйте ноль и корни квадратного уравнения в качестве решений кубического уравнения. У квадратных уравнений два корня, а у кубических — три. Два решения вы уже нашли — это корни квадратного уравнения. Если же вы вынесли «х» за скобки, третьим решением будет .^[6]

Реклама

1
2
3
Разделите каждый множитель на каждый множитель . В итоге получится множество дробей и несколько целых чисел; корнями кубического уравнения будет одно из целых чисел или отрицательное значение одного из целых чисел.^[9]
- В нашем примере разделите множители (1 и 2) на множители (1, 2, 3 и 6). Вы получите: , ${frac {1}{2}}$ , ${frac {1}{3}}$ , ${frac {1}{6}}$ , и ${frac {2}{3}}$ . Теперь в этот список добавьте отрицательные значения полученных дробей и чисел: , , ${frac {1}{2}}$ , $-{frac {1}{2}}$ , ${frac {1}{3}}$ , $-{frac {1}{3}}$ , ${frac {1}{6}}$ , $-{frac {1}{6}}$ , , , ${frac {2}{3}}$ и $-{frac {2}{3}}$ . Целыми корнями кубического уравнения являются какие-то числа из этого списка.
4

Подставьте целые числа в кубическое уравнение. Если при этом равенство соблюдается, подставленное число является корнем уравнения. Например, подставьте в уравнение :^[10]
5

Реклама

1
2

Вычислите нулевой дискриминант по специальной формуле. Чтобы решить кубическое уравнение с помощью дискриминанта, нужно произвести ряд непростых вычислений, но если правильно выполнять все действия, этот метод станет незаменимым для решения наиболее сложных кубических уравнений. Сначала вычислите $Delta _{0}$ (нулевой дискриминант) — это первая необходимая нам величина; для этого подставьте соответствующие значения в формулу $Delta _{0}=b^{2}-3ac$ .^[13]
3

Вычислите первый дискриминант по формуле $Delta _{1}=2b^{3}-9abc+27a^{2}d$ . Первый дискриминант $Delta _{1}$ — это вторая важная величина; чтобы ее вычислить, подставьте соответствующие значения в указанную формулу.^[14]
4
5
6

Реклама

Об этой статье

Эту страницу просматривали 409 367 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Кубическим называют уравнение, в котором только одна переменная представлена в третьей степени. Такие выражения в любом случае имеют от одного до трех корней. Значения, которые получаются при решении таких уравнений, могут быть равными друг другу или комплексными, если их не более двух.

Решение кубических уравнений – это решение уравнений, имеющих вид: [boldsymbol{a y^{3}+b y^{2}+c y+d=0}].

В уравнении такого типа a не равно 0, вместо b,c,d могут быть любые однозначные числа.

Данный вид уравнения имеет как минимум один корень – y₁.

Решение таких равнений может осуществляться разными способами. Оно может преобразовываться в стандартное квадратное уравнение. В таком случае предстоит выбрать один из трех вариантов решения квадратного уравнения:

разложение на множители;
применение формул для квадратных уравнений;
метод дополнения.

Решение кубических уравнений может осуществляться посредством формулы Кардано, а также теоремы Виета. Теорема Виета применяется для решения последней, четвертой степени.

Решение кубических уравнений с двумя членами

Уравнение будет иметь вид: [boldsymbol{a y^{3}+b=0}]

Для решения необходимо преобразовать его: [y^{3}=b / a=0]

Деление на a предполагает вместо нее любую цифру, кроме 0. После преобразования можно применить формулы для решения кубических уравнений, например, сокращенного умножения суммы кубов:

y3=b/a=0

(y+³√b/a)(y²—³√b/a*y+³√(b/a)²)=0

В результате из первой скобки выводим:

y=-³√b/a

во второй скобке получаем выражение – трехчлен:

y2-3√b/a*y+3√(b/a)2

Методы решения кубических уравнений возвратного вида

Алгоритм решения кубического уравнения возвратного вида отличается от предыдущего, так как оно выглядит следующим образом:

[boldsymbol{a y^{3}+b y^{2}+b y+a=0}]

В этом уравнении переменные a и b – это коэффициенты.

Первым делом при решении таких уравнений в математике выполняется группировка:

ay3+by2+by+a=a(y³+1)+b(y²+y)=a(y+1)(y²-y+1)+by(y+1)=(y+1)(ay²+y(b-a)+a)

В полученном выражении корень равен y=-1. Исходя из этого, чтобы получить корень квадратного трехчлена ay²+y(b-a)+a, потребуется найти дискриминант.

Определение

Дискриминант – произведение квадратов разностей корней в различных вариаций.

Решение кубических уравнений в составе которых рациональные корни

Предположим, что y=0. В этом случае он будет корнем уравнения, которое выглядит следующим образом:

ay³+by²+cy+d=0

При условии, что в уравнении свободные члены, d=0. Преобразуем уравнение и получим:

ay3+by2+cy=0

Решение кубических уравнений такого вида предполагает вынесение y за скобку. В итоге получается уравнение вида:

y(ay²+by+c)=0

Рассмотрим на конкретном примере, как решить кубическое уравнение с подробным решением:

5y³+2y²+4y=0

Решение:

Первым делом стоит упростить уравнение.

5y³+2y²+4y=0

Получим уравнение вида:

y(5y²+2y+4)=0

y=0, так как является корнем выражения.

Следующий шаг – поиск корней квадратного трехчлена 5y²+2y+4, который мы получили после упрощения. Для поиска приравняем к нулю и будем использовать дискриминант.

В ходе решения кубического уравнения с дискриминантом получим:

D=2²-2*5*4=-38

Так как в ответе мы получили отрицательное значение, корней у данного трехчлена нет, значит x=0.

Если в уравнениях вида ay³+by²+cy+d=0 коэффициентами являются целые числовые значения, то при решении таких уравнений и нахождении его значения мы может получить иррациональные корни.

В случае, когда a не равно 0, при умножении на a² каждой составляющей уравнения происходит замещение переменных, и получается: x=ay

ay³+by²+cy+d=0

Каждую составляющую выражения умножаем на a²:

a³*y³+b*a²*y²+c*a*a*y+d*a²=0

Учитывая, что решение кубических уравнений с подробным решением предполагает замещение переменных x=ay, то:

x²+b*x²+c*a*x+d*a²

Полученное уравнение является кубическим. В таких уравнениях корни могут быть разными – и целыми, и рациональными. Чтобы привести такое уравнение к тождественному равенству, потребуется подставить делители в полученное равенство. В этом случае полученный x₁ будет корнем, и в то же время корнем начального уравнения:

x₁=y₁/a

Чтобы найти значение корней квадратного трехчлена, потребуется многочлен ay3+by2+cy+d разделить на y-y_1.

Рассмотрим решение кубических уравнений такого вида на примере.

Пример:

Решить уравнение [x 3-3 x 2-13 x+15=0].

Решение:

Ищем первый корень перебором чисел: [0, pm1, pm2, pm3, pm5, pm15] и подстановкой в уравнение. В результате находим, что 1 является корнем. Тогда делим левую часть этого уравнения на двухчлен x-1 и получаем:

Теперь, решая квадратное уравнение: [x 2-2 x-15=0], находим оставшиеся два корня: x1=-3 и x2=5.

Ответ: 1; -3; 5.

Такой способ решения кубических уравнений используется для преобразования и решения возвратных уравнений. Из приведенного примера видно, что корнем является -1, значит, левую часть можно разделить на x+1. После того, как эти действия выполнены, можно находить корни квадратного трехчлена. Если рациональные корни отсутствуют, необходимо находить иные методы решения и разложения многочлена на множители.

Решение кубического уравнения с помощью формулы Кардано

Есть еще один способ — формула Кардано для решения кубических уравнений.

Если взять уравнение вида B₀y³+B₁y²+B₂y+B₃=0, то A₁=B₁/B₀, A₂=B₂/B₀, A₃=B₃/B₀.

Z=-A²₁/3+A₂

P=2A³₁/27-A₁A₂/3+A₃.

Выведенные значение Z и P подставим в формулу Кардано.

X=³√-P/2+√P²/4+Z³/27+³√-P/2-+√P2/4+Z3/27

В итоге подбор кубических корней должен соответствовать значению –Z/3. В этом случае корни исходного уравнения будут выглядеть следующим образом:

y=x-A₁/3

Применить формулу Кордано можно на примере для наглядности.

Пример

Решить уравнение [x^{3}+6 x^{2}+3 x-10=0]

Решение

Данное уравнение легко решается и без применения формулы Кардано. Легко подобрать корень [x=1]. Делением
[x=1] левой части уравнения по схеме Горнера получаем:

[begin{array}{r}+begin{array}{r}1&6&3&-10\0&1*1=1&7*1=7&10*1=10\end{array}
\hlinebegin{array}{r}1quadquadquad&7quadquadquad&10quadquadquadquad&0end{array}end{array}]

Следовательно, [x^{2}+7 x+10=0]. Решая это квадратное уравнение, получаем

[x=frac{-7 pm sqrt{7^{2}-4 * 1 * 10}}{2} Leftrightarrow x_{1}=-2, quad x_{2}=-5]

А теперь найдем корни исходного уравнения по формуле Кардано. Для данного уравнения [a=1, b=6, c=3, d=-10].
Замена переменной [x=y-frac{b}{3 a}=y-frac{6}{3}=y-2] приводит исходное уравнение к виду [y^{3}+p
y+q=0], где:

[p=frac{3 a c-b^{2}}{3 a^{2}}=frac{3 * 1 * 3-6^{2}}{3 * 1^{2}}=-9, quad q=\frac{2 b^{3}-9 a b c+27 a^{2}
d}{27 a^{3}}=frac{2 * 6^{3}-9 * 1 * 6 * 3+27 * 1^{2} *(-10)}{27 * 1^{3}}=0]

Вычислим дискриминант этого уравнения:

[Delta=left(frac{q}{2}right)^{2}+left(frac{p}{3}right)^{3}=left(frac{0}{2}right)^{2}+left(-frac{9}{3}right)^{3}=-27]

Так [Delta] каноническое уравнение имеет 3 действительных корня. Поскольку [q=0 Rightarrow
varphi=frac{pi}{2}=>]

[y_{1}=2 sqrt{-frac{p}{3}} * cos left(frac{varphi}{3}right)=2 sqrt{-frac{-9}{3}} * cos
left(frac{frac{pi}{2}}{3}right)=2 sqrt{3} * cos left(frac{pi}{6}right)=2 sqrt{3} *
frac{sqrt{3}}{2}=3,\y_{2}=2 sqrt{-frac{p}{3}} * cos left(frac{varphi}{3}+frac{2 pi}{3}right)=2
sqrt{3} * cos left(frac{frac{pi}{2}}{3}+frac{2 pi}{3}right)=2 sqrt{3} * cos left(frac{5
pi}{6}right)=-2 sqrt{3} * frac{sqrt{3}}{2}=-3,\y_{3}=2 sqrt{-frac{p}{3}} * cos
left(frac{varphi}{3}+frac{4 pi}{3}right)=2 sqrt{3} * cos left(frac{frac{pi}{2}}{3}+frac{4
pi}{3}right)=2 sqrt{3} * cos left(frac{3 pi}{2}right)=0.]

В данном случае для корней начального уравнения мы получим:

x₁=y₁-2=3-2=1;

x₂=y₂-2=-3-2=-5;

x₃=y₃-2=0-2=-2.

Получаем ответы: 1, -5, -2.

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Общее решение кубического уравнения, если известен один из корней

За исходное уравнение возьмем следующее:

y³+ay²+by+c=0

Предположим, что a,b,c являются действительными цифровыми значениями. Известный корень пометим, как y₁. В таком случае, если произвести деление начального уравнения y³+ay²+by+c=0 на y-y₁получим квадратное уравнение. При решении такого уравнения удастся найти еще два корня – y₂и y₃.

Чтобы доказать это, преобразуем кубический многочлен следующим образом:

y₃+ay₂+by+c=(y-y₁)(y-y₂)(y-y₃)

При решении таких уравнений часто допускаются ошибки. Их решение – это сложное, многократное преобразование, которое требует точного знания формул и математических законов. Чтобы избежать ошибок и погрешностей, потребуется применить не только практические навыки, но и теоретические знания. Для решения кубических уравнений можно использовать специальный онлайн калькулятор. Принцип его действия основан на формуле Кардано. В том случае, если один или несколько коэффициентов такого уравнения равны нулю, или между ними присутствует определенная зависимость, решение будет более простым.

Чтобы научиться решать подобные уравнения, необходимо рассматривать примеры и тренироваться на их решении разными способами.

Источник

Кубическое уравнение, содержащее коэффициенты с действительным корнем, остальные два считаются комплексно-сопряженной парой. Будут рассмотрены уравнения с двучленами и возвратные, а также с поиском рациональных корней. Вся информация будет подкреплена примерами.

Решение двучленного кубического уравнения вида Ax3+B=0

Кубическое уравнение, содержащее двучлен, имеет вид Ax3+B=0 . Его необходимо приводить к x3+BA=0 с помощью деления на А, отличного от нуля. После чего можно применять формулу сокращенного умножения суммы кубов. Получаем, что

x3+BA=0x+BA3x2-BA3x+BA23=0

Результат первой скобки примет вид x=-BA3, а квадратный трехчлен – x2-BA3x+BA23, причем только с комплексными корнями.

Пример 1

Найти корни кубического уравнения 2×3-3=0.

Решение

Необходимо найти х из уравнения. Запишем:

2×3-3=0x3-32=0

Необходимо применить формулу сокращенного умножения. Тогда получим, что

x3-32=0x-3326×2+3326x+923=0

Раскроем первую скобку и получим x=3326. Вторая скобка не имеет действительных корней, потому как дискриминант меньше нуля.

Ответ: x=3326.

Решение возвратного кубического уравнения вида Ax3+Bx2+Bx+A=0

Вид квадратного уравнения – Ax3+Bx2+Bx+A=0, где значения А и В являются коэффициентами. Необходимо произвести группировку. Получим, что

Ax3+Bx2+Bx+A=Ax3+1+Bx2+x==Ax+1×2-x+1+Bxx+1=x+1Ax2+xB-A+A

Корень уравнения равен х=-1, тогда для получения корней квадратного трехчлена Ax2+xB-A+A необходимо задействовать через нахождение дискриминанта.

Пример 2

Решить уравнение вида 5×3-8×2-8x+5=0.

Решение

Уравнение является возвратным. Необходимо произвести группировку. Получим, что

5×3-8×2-8x+5=5×3+1-8×2+x==5x+1×2-x+1-8xx+1=x+15×2-5x+5-8x==x+15×2-13x+5=0

Если х=-1 является корнем уравнения, тогда необходимо найти корни заданного трехчлена 5×2-13x+5:

5×2-13x+5=0D=(-13)2-4·5·5=69×1=13+692·5=1310+6910×2=13-692·5=1310-6910

Ответ:

x1=1310+6910×2=1310-6910×3=-1

Решение кубических уравнений с рациональными корнями

Если х=0, то он является корнем уравнения вида Ax3+Bx2+Cx+D=0. При свободном члене D=0 уравнение принимает вид Ax3+Bx2+Cx=0. При вынесении х за скобки получим, что уравнение изменится. При решении через дискриминант или Виета оно примет вид xAx2+Bx+C=0.

Пример 3

Найти корни заданного уравнения 3×3+4×2+2x=0.

Решение

Упростим выражение.

3×3+4×2+2x=0x3x2+4x+2=0

Х=0 – это корень уравнения. Следует найти корни квадратного трехчлена вида 3×2+4x+2. Для этого необходимо приравнять к нулю и продолжить решение при помощи дискриминанта. Получим, что

D=42-4·3·2=-8. Так как его значение отрицательное, то корней трехчлена нет.

Ответ: х=0.

Когда коэффициенты уравнения Ax3+Bx2+Cx+D=0 целые, то в ответе можно получить иррациональные корни. Если A≠1, тогда при умножении на A2 обеих частей уравнения проводится замена переменных, то есть у=Ах:

Ax3+Bx2+Cx+D=0A3·x3+B·A2·x2+C·A·A·x+D·A2=0y=A·x⇒y3+B·y2+C·A·y+D·A2

Приходим к виду кубического уравнения. Корни могут быть целыми или рациональными. Чтобы получить тождественное равенство, необходимо произвести подстановку делителей в полученное уравнение. Тогда полученный y1 будет являться корнем. Значит и корнем исходного уравнения вида x1=y1A. Необходимо произвести деление многочлена Ax3+Bx2+Cx+D на x-x1. Тогда сможем найти корни квадратного трехчлена.

Пример 4

Найти корни заданного уравнения 2×3-11×2+12x+9=0.

Решение

Необходимо произвести преобразование с помощью умножения на 22 обеих частей, причем с заменой переменной типа у=2х. Получаем, что

2×3-11×2+12x+9=023×3-11·22×2+24·2x+36=0y=2x⇒y3-11y2+24y+36=0

Свободный член равняется 36, тогда необходимо зафиксировать все его делители:

±1,±2,±3,±4,±6,±9,±12,±36

Необходимо произвести подстановку y3-11y2+24y+36=0, чтобы получить тождество вида

13-11·12+24·1+36=50≠0(-1)3-11·(-1)2+24·(-1)+36=0

Отсюда видим, что у=-1 – это корень. Значит, x=y2=-12.

Далее следует деление 2×3-11×2+12x+9 на x+12 при помощи схемы Горнера:

xi	Коэффициенты многочлена
	2	-11	12	9
-0.5	2	-11+2·(-0.5)=-12	12-12·(-0.5)=18	9+18·(-0.5)=0

Имеем, что

2×3-11×2+12x+9=x+122×2-12x+18==2x+12×2-6x+9

После чего необходимо найти корни квадратного уравнения вида x2-6x+9. Имеем, что уравнение следует привести к виду x2-6x+9=x-32, где х=3 будет его корнем.

Ответ: x1=-12, x2,3=3.

Замечание

Алгоритм можно применять для возвратных уравнений. Видно, что -1 – это его корень, значит, левая часть может быть поделена на х+1. Только тогда можно будет найти корни квадратного трехчлена. При отсутствии рациональных корней применяются другие способы решения для разложения многочлена на множители.

Решение кубических уравнений по формуле Кардано

Нахождение кубических корней возможно при помощи формулы Кардано. При A0x3+A1x2+A2x+A3=0 необходимо найти B1=A1A0, B2=A2A0, B3=A3A0.

После чего p=-B123+B2 и q=2B1327-B1B23+B3.

Полученные p и q в формулу Кардано. Получим, что

y=-q2+q24+p3273+-q2-q24+p3273

Подбор кубических корней должен удовлетворять на выходе значению -p3. Тогда корни исходного уравнения x=y-B13. Рассмотрим решение предыдущего примера, используя формулу Кардано.

Пример 5

Найти корни заданного уравнения 2×3-11×2+12x+9=0.

Решение

Видно, что A0=2, A1=-11, A2=12, A3=9.

Необходимо найти B1=A1A0=-112, B2=A2A0=122=6, B3=A3A0=92.

Отсюда следует, что

p=-B123+B2=–11223+6=-12112+6=-4912q=2B1327-B1B23+B3=2·-112327–112·63+92=343108

Производим подстановку в формулу Кордано и получим

y=-q2+q24+p3273+-q2–q24+p3273==-343216+34324·1082-49327·1233+-343216-34324·1082-49327·1233==-3432163+-3432163

-3432163 имеет три значения. Рассмотрим их ниже.

-3432163=76cosπ+2π·k3+i·sinπ+2π·k3, k=0, 1, 2

Если k=0, тогда -3432163=76cosπ3+i·sinπ3=7612+i·32

Если k=1, тогда -3432163=76cosπ+i·sinπ=-76

Если k=2, тогда -3432163=76cos5π3+i·sin5π3=7612-i·32

Необходимо произвести разбиение по парам, тогда получим -p3=4936.

Тогда получим пары: 7612+i·32 и 7612-i·32, -76 и -76, 7612-i·32 и 7612+i·32.

Преобразуем при помощи формулы Кордано:

y1=-3432163+-3432163==7612+i·32+7612-i·32=7614+34=76y2=-3432163+-3432163=-76+-76=-146y3=-3432163+-3432163==7612-i·32+7612+i·32=7614+34=76

Значит,

x1=y1-B13=76+116=3×2=y2-B13=-146+116=-12×3=y3-B13=76+116=3

Ответ: x1=-12, x2,3=3

При решении кубических уравнений можно встретить сведение к решению уравнений 4 степени методом Феррари.

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Источник

История[править | править код]

Древний период[править | править код]

Средневековье[править | править код]

Открытие дель Ферро — Тартальи[править | править код]

Корни уравнения[править | править код]

Методы решения[править | править код]

Подстановка Виета[править | править код]

Решение Омара Хайяма[править | править код]

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Ссылки[править | править код]

1-й способ – группировка

Более универсальный 2-й способ

3-й способ – формула Кардано

Об этой статье

Была ли эта статья полезной?

Решение кубических уравнений с двумя членами

Методы решения кубических уравнений возвратного вида

Решение кубических уравнений в составе которых рациональные корни

Решение кубического уравнения с помощью формулы Кардано

Общее решение кубического уравнения, если известен один из корней

Решение двучленного кубического уравнения вида Ax3+B=0

Решение возвратного кубического уравнения вида Ax3+Bx2+Bx+A=0

Решение кубических уравнений с рациональными корнями

Решение кубических уравнений по формуле Кардано

Вам также может понравиться

Как найти данные по номеру дела

Как правильно составить свое резюме образцы

Как найти игру в play маркете

Добавить комментарий Отменить ответ