Способы решения квадратных уравнений
Квадратные уравнения — это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств. Все мы умеем решать квадратные уравнения со школьной скамьи (8 класс), до окончания вуза.
В школьном курсе математики изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать многие уравнения. Имеется десять способов решения квадратных уравнений. Подробно в своей работе я разобрала каждый из них.
1. СПОСОБ: Разложение левой части уравнения на множители.
х 2 + 10х — 24 = 0.
Разложим левую часть на множители:
х 2 + 10х — 24 = х 2 + 12х — 2х — 24 = х(х + 12) — 2(х + 12) = (х + 12)(х — 2).
Следовательно, уравнение можно переписать так:
(х + 12)(х — 2) = 0
Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается нуль при х = 2, а также при х = — 12. Это означает, что число 2 и — 12 являются корнями уравнения х 2 + 10х — 24 = 0.
2. СПОСОБ: Метод выделения полного квадрата.
Решим уравнение х 2 + 6х — 7 = 0.
Выделим в левой части полный квадрат.
Для этого запишем выражение х 2 + 6х в следующем виде:
х 2 + 6х = х 2 + 2* х * 3.
В полученном выражении первое слагаемое — квадрат числа х, а второе — удвоенное произведение х на 3. По этому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 3 2 , так как
х 2 + 2* х * 3 + 3 2 = (х + 3) 2 .
Преобразуем теперь левую часть уравнения
х 2 + 6х — 7 = 0,
прибавляя к ней и вычитая 3 2 . Имеем:
х 2 + 6х — 7 = х 2 + 2* х * 3 + 3 2 — 3 2 — 7 = (х + 3) 2 — 9 — 7 = (х + 3) 2 — 16.
Таким образом, данное уравнение можно записать так:
(х + 3) 2 — 16 =0, (х + 3) 2 = 16.
Следовательно, х + 3 — 4 = 0, х1= 1, или х + 3 = -4, х2 = -7.
3. СПОСОБ: Решение квадратных уравнений по формуле.
Умножим обе части уравнения
ах 2 + bх + с = 0, а ? 0
на 4а и последовательно имеем:
4а 2 х 2 + 4аbх + 4ас = 0,
((2ах) 2 + 2ах * b + b 2 ) — b 2 + 4ac = 0,
(2ax + b) 2 = b 2 — 4ac,
2ax + b = ± v b 2 — 4ac,
2ax = — b ± v b 2 — 4ac,
Примеры.
а) Решим уравнение: 4х 2 + 7х + 3 = 0.
а = 4, b = 7, с = 3, D = b 2 — 4ac = 7 2 — 4 * 4 * 3 = 49 — 48 = 1,
D > 0, два разных корня;
Таким образом, в случае положительного дискриминанта, т.е. при
b 2 — 4ac >0 , уравнение ах 2 + bх + с = 0 имеет два различных корня.
б) Решим уравнение: 4х 2 — 4х + 1 = 0,
а = 4, b = — 4, с = 1, D = b 2 — 4ac = (-4) 2 — 4 * 4 * 1= 16 — 16 = 0,
D = 0, один корень;
Итак, если дискриминант равен нулю, т.е. b2 — 4ac = 0, то уравнение
ах 2 + bх + с = 0 имеет единственный корень,
в) Решим уравнение: 2х 2 + 3х + 4 = 0,
а = 2, b = 3, с = 4, D = b 2 — 4ac = 3 2 — 4 * 2 * 4 = 9 — 32 = — 13 , D < 0.
Данное уравнение корней не имеет.
Итак, если дискриминант отрицателен, т.е. b 2 — 4ac < 0,
уравнение ах 2 + bх + с = 0 не имеет корней.
Формула (1) корней квадратного уравнения ах 2 + bх + с = 0 позволяет найти корни любого квадратного уравнения (если они есть), в том числе приведенного и неполного. Словесно формула (1) выражается так: корни квадратного уравнения равны дроби, числитель которой равен второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, плюс минус корень квадратный из квадрата этого коэффициента без учетверенного произведения первого коэффициента на свободный член, а знаменатель есть удвоенный первый коэффициент.
4. СПОСОБ: Решение уравнений с использованием теоремы Виета.
Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид
х 2 + px + c = 0. (1)
Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а =1 имеет вид
x1 x2= q,
x1 + x2= — p
Отсюда можно сделать следующие выводы (по коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней).
а) Если сводный член q приведенного уравнения (1) положителен (q > 0), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависти от второго коэффициента p. Если р < 0, то оба корня отрицательны, если р < 0, то оба корня положительны.
x 2 — 3x + 2 = 0; x1= 2 и x2= 1, так как q = 2 > 0 и p = — 3 < 0;
x 2 + 8x + 7 = 0; x1 = — 7 и x2= — 1, так как q = 7 > 0 и p= 8 > 0.
б) Если свободный член q приведенного уравнения (1) отрицателен (q < 0), то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p < 0 , или отрицателен, если p > 0 .
x 2 + 4x — 5 = 0; x1= — 5 и x2= 1, так как q= — 5 < 0 и p = 4 > 0;
x 2 — 8x — 9 = 0; x1 = 9 и x2= — 1, так как q = — 9 < 0 и p = — 8 < 0.
5. СПОСОБ: Решение уравнений способом «переброски».
Рассмотрим квадратное уравнение
ах 2 + bх + с = 0, где а ? 0.
Умножая обе его части на а, получаем уравнение
а 2 х 2 + аbх + ас = 0.
Пусть ах = у, откуда х = у/а; тогда приходим к уравнению
у 2 + by + ас = 0,
равносильно данному. Его корни у1 и у2 найдем с помощью теоремы Виета.
х1= у1/а и х1= у2/а.
При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.
Решим уравнение 2х 2 — 11х + 15 = 0.
Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение
у 2 — 11у + 30 = 0.
Согласно теореме Виета
у1 = 5 х1= 5/2 x1= 2,5
у2= 6 x2= 6/2 x2= 3.
6. СПОСОБ: Свойства коэффициентов квадратного уравнения.
А. Пусть дано квадратное уравнение
ах 2 + bх + с = 0, где а ? 0.
1) Если, а+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю), то х1 = 1,
Доказательство. Разделим обе части уравнения на а ? 0, получим приведенное квадратное уравнение
x 2 + b/a * x + c/a = 0.
Согласно теореме Виета
x1+ x2= — b/a,
x1x2= 1* c/a.
По условию а — b + с = 0, откуда b = а + с. Таким образом,
x1+ x2= — а + b/a= -1 — c/a,
x1x2= — 1* ( — c/a),
т.е. х1= -1 и х2= c/a, что м требовалось доказать.
1) Решим уравнение 345х 2 — 137х — 208 = 0.
Решение. Так как а + b + с = 0 (345 — 137 — 208 = 0), то
х1= 1, х2= c/a = -208/345.
Ответ: 1; -208/345.
2)Решим уравнение 132х 2 — 247х + 115 = 0.
Решение. Так как а + b + с = 0 (132 — 247 + 115 = 0), то
х1= 1, х2= c/a = 115/132.
Ответ: 1; 115/132.
Б. Если второй коэффициент b = 2k — четное число, то формулу корней
Пример.
Решим уравнение 3х2 — 14х + 16 = 0.
Решение. Имеем: а = 3, b = — 14, с = 16, k = — 7;
D = k 2 — ac = (- 7) 2 — 3 * 16 = 49 — 48 = 1, D > 0, два различных корня;
В. Приведенное уравнение
х 2 + рх + q= 0
совпадает с уравнением общего вида, в котором а = 1, b = р и с = q. Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула корней
Формулу (3) особенно удобно использовать, когда р — четное число.
Пример. Решим уравнение х 2 — 14х — 15 = 0.
Решение. Имеем: х1,2=7±
Ответ: х1= 15; х2= -1.
7. СПОСОБ: Графическое решение квадратного уравнения.
Если в уравнении
х 2 + px + q = 0
перенести второй и третий члены в правую часть, то получим
х 2 = — px — q.
Построим графики зависимости у = х 2 и у = — px — q.
График первой зависимости — парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости —
прямая (рис.1). Возможны следующие случаи:
— прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квад- ратного уравнения;
— прямая и парабола могут касаться ( только одна общая точка), т.е. уравнение имеет одно решение;
— прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.
1) Решим графически уравнение х 2 — 3х — 4 = 0 (рис. 2).
Решение. Запишем уравнение в виде х 2 = 3х + 4.
Построим параболу у = х 2 и прямую у = 3х + 4. Прямую
у = 3х + 4 можно построить по двум точкам М (0; 4) и
N (3; 13). Прямая и парабола пересекаются в двух точках
А и В с абсциссами х1= — 1 и х2 = 4. Ответ: х1= — 1;
2) Решим графически уравнение (рис. 3) х 2 — 2х + 1 = 0.
Решение. Запишем уравнение в виде х 2 = 2х — 1.
Построим параболу у = х 2 и прямую у = 2х — 1.
Прямую у = 2х — 1 построим по двум точкам М (0; — 1)
и N(1/2; 0). Прямая и парабола пересекаются в точке А с
абсциссой х = 1. Ответ: х = 1.
3) Решим графически уравнение х 2 — 2х + 5 = 0 (рис. 4).
Решение. Запишем уравнение в виде х 2 = 5х — 5. Построим параболу у = х 2 и прямую у = 2х — 5. Прямую у = 2х — 5 построим по двум точкам М(0; — 5) и N(2,5; 0). Прямая и парабола не имеют точек пересечения, т.е. данное уравнение корней не имеет.
Ответ. Уравнение х 2 — 2х + 5 = 0 корней не имеет.
8. СПОСОБ: Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.
Графический способ решения квадратных уравнений с помощью параболы неудобен. Если строить параболу по точкам, то требуется много времени, и при этом степень точности получаемых результатов невелика.
Предлагаю следующий способ нахождения корней квадратного уравнения ах 2 + bх + с = 0 с помощью циркуля и линейки (рис. 5).
Допустим, что искомая окружность пересекает ось
абсцисс в точках В(х1; 0 ) и D (х2; 0), где х1 и х2 — корни уравнения ах 2 + bх + с = 0, и проходит через точки
А(0; 1) и С(0; c/a) на оси ординат. Тогда по теореме о секущих имеем OB * OD = OA * OC, откуда OC = OB * OD/ OA= х1х2/ 1 = c/a.
Центр окружности находится в точке пересечения перпендикуляров SF и SK, восстановленных в серединах хорд AC и BD, поэтому
1) построим точки (центр окружности) и A(0; 1);
2) проведем окружность с радиусом SA;
3) абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями исходного квадратного уравнения.
При этом возможны три случая.
1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS > SK, или R > a + c/2a), окружность пересекает ось Ох в двух точках (рис. 6,а) В(х1; 0) и D(х2; 0), где х1 и х2 — корни квадратного уравнения ах 2 + bх + с = 0.
2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SB, или R = a + c/2a), окружность касается оси Ох (рис. 6,б) в точке В(х1; 0), где х1 — корень квадратного уравнения.
3) Радиус окружности меньше ординаты центра окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис.6,в), в этом случае уравнение не имеет решения.
Решим уравнение х 2 — 2х — 3 = 0 (рис. 7).
Решение. Определим координаты точки центра окружности по формулам:
Проведем окружность радиуса SA, где А (0; 1).
Ответ: х1= — 1; х2= 3.
9. СПОСОБ: Решение квадратных уравнений с помощью номограммы.
Это старый и незаслуженно забыты способ решения квадратных уравнений, помещенный на с.83 (см. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы. — М., Просвещение, 1990).
Таблица XXII. Номограмма для решения уравнения z 2 + pz + q = 0. Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициен там определить корни уравнения.
Криволинейная шкала номограммы построена по формулам (рис.11):
Полагая ОС = р, ED = q, ОЕ = а (все в см.), из подобия треугольников САН и CDF получим пропорцию
откуда после подстановок и упрощений вытекает уравнение
z 2 + pz + q = 0,
причем буква z означает метку любой точки криволинейной шкалы.
1) Для уравнения z 2 — 9z + 8 = 0 номограмма дает корни
z1= 8,0 и z2= 1,0 (рис.12).
2) Решим с помощью номограммы уравнение
2z 2 — 9z + 2 = 0.
Разделим коэффициенты этого уравнения на 2, получим уравнение
z 2 — 4,5z + 1 = 0.
Номограмма дает корни z1= 4 и z2= 0,5.
3) Для уравнения
z 2 — 25z + 66 = 0
коэффициенты p и q выходят за пределы шкалы, выполним подстановку z = 5t, получим уравнение
t 2 — 5t + 2,64 = 0,
которое решаем посредством номограммы и получим t1= 0,6 и t2= 4,4, откуда z1= 5t1= 3,0 и z2= 5t2= 22,0.
10. СПОСОБ: Геометрический способ решения квадратных уравнений.
В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Приведу ставший знаменитым пример из «Алгебры» ал — Хорезми.
1) Решим уравнение х 2 + 10х = 39.
В оригинале эта задача формулируется следующим образом : «Квадрат и десять корней равны 39» (рис.15).
Решение. Рассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна 2,5, следовательно, площадь каждого равна 2,5х. Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата ABCD, достраивая в углах четыре равных квадрата , сторона каждого их них 2,5, а площадь 6,25.
Площадь S квадрата ABCD можно представить как сумму площадей: первоначального квадрата х 2 , четырех прямоугольников (4* 2,5х = 10х ) и четырех пристроенных квадратов (6,25* 4 = 25), т.е. S = х 2 + 10х + 25. Заменяя
х 2 + 10х числом 39, получим, что S = 39 + 25 = 64, откуда следует, что сторона квадрата ABCD, т.е. отрезок АВ = 8. Для искомой стороны х первоначального квадрата получим
2) А вот, например, как древние греки решали уравнение у 2 + 6у — 16 = 0.
Решение представлено на рис. 16, где
у 2 + 6у = 16, или у 2 + 6у + 9 = 16 + 9.
Решение. Выражения у 2 + 6у + 9 и 16 + 9 геометрически представляют собой один и тот же квадрат, а исходное уравнение у 2 + 6у — 16 + 9 — 9 = 0 — одно и то же уравнение. Откуда и получаем, что у + 3 = ± 5, или у1= 2, у2= — 8 (рис.16).
3) Решить геометрически уравнение у 2 — 6у — 16 = 0.
Преобразуя уравнение, получаем
у 2 — 6у = 16.
На рис. 17 находим «изображения» выражения у 2 — 6у, т.е. из площади квадрата со стороной у два раза вычитается площадь квадрата со стороной, равной 3. Значит, если к выражению у 2 — 6у прибавить 9, то получим площадь квадрата со стороной у — 3. Заменяя выражение у 2 — 6у равным ему числом 16,
получаем: (у — 3) 2 = 16 + 9, т.е. у — 3 = ± v25, или у — 3 = ± 5, где у1= 8 и у2= — 2.
Квадратное уравнение
Квадратное уравнение — важное уравнение не только в школьном курсе алгебры. Квадратное уравнение часто используется в геометрии при расчете. Поэтому знать формулы корней квадратного уравнения, чтобы решать его быстрее, нужно всем.
Определение квадратного уравнения
Квадратное уравнение — это уравнение вида 
, где 
— переменная, 
, 
, 
— некоторые числа, причем 
. В квадратном уравнении коэффициент называют первым коэффициентом, — вторым коэффициентом, — свободным членом.
Формула корней
Формула корней квадратного уравнения имеет вид:
Выражение
называется дискриминантом квадратного уравнения и обозначается буквой
.
называется дискриминантом квадратного уравнения и обозначается буквой 
.Влияние дискриминанта на корни квадратного уравнения
Максимальное количество корней квадратного уравнения равно степени уравнения. Квадратное уравнение имеет вторую степень переменной, поэтому и должно иметь два корня. Однако возможны случаи совпадения корней, тогда формально говорят, что «уравнение имеет один корень», хотя правильнее говорить — «уравнение имеет одно значение переменной», или «корни уравнения совпадают и равны…» Есть еще вариант, что уравнение не имеет действительных корней или не имеет действительных решений. Узнать о том — решается квадратное уравнение и сколько имеет корней можно вычислив дискриминант.
- Если
, то существует только одно значение переменной, удовлетворяющее уравнению 
. Однако условились говорить, что в этом случае квадратное уравнение имеет два равных действительных корня, а само число 
называют корнем кратности два. - Если
, то квадратное уравнение не имеет действительных корней. - Если , то квадратное уравнение имеет два различных действительных корня.
называют корнем кратности два.Приведенное квадратное уравнение
Пусть дано квадратное уравнение . Так как , то, разделив обе части уравнения на , получим уравнение 
. Считая, что 
и 
, получим уравнение 
, в котором первый коэффициент равен 1. Это уравнение называется приведенным.
Формула корней приведенного квадратного уравнения имеет вид:
Неполные квадратные уравнения
Уравнения вида 
, 
и 
называются квадратными уравнениями.
Биквадратное уравнение
Уравнение вида 
называется биквадратным уравнением. Оно решается с помощью замены переменной по формуле 
и приводится к квадратному уравнению 
.
Примеры решения квадратного уравнения
Уравнение 1
Решите уравнение 
Решение:Найдем дискриминант 
, 
.
Найдем корни уравнения по формуле корней квадратного уравнения: 
.
, 
.
Ответ: 
, 
.
Уравнение 2
Решите уравнение 
.
Решение: находим дискриминант 
, . Применим формулу корней квадратного уравнения: 
. Тогда
, 
.
Ответ: 
, .
Уравнение 3
Решите уравнение 
.
Решение: найдем дискриминант 
, 
. Так как дискриминант отрицателен, то уравнение не имеет корней.
Ответ: нет корней.
Уравнение 4
Решите уравнение 
Решение: находим дискриминант 
, 
. Применим формулу корней квадратного уравнения
.
,
Таким образом, уравнение имеет единственный корень 
.
Ответ:
Уравнение 5
Решите квадратное уравнение 
Решение: Применим формулу корней для приведенного квадратного уравнения: 
. Отсюда 
, 
.
Ответ: 
, 
.
Квадратные уравнения
где a, b и c – произвольные вещественные числа, отличные от нуля.
Неполными квадратными уравнениями называют квадратные уравнения следующих типов:
Решение неполных квадратных уравнений
Покажем, как решаются неполные квадратные уравнения на примерах.
Пример 1 . Решить уравнение
Пример 2 . Решить уравнение
Решение . Вынося в левой части уравнения (3) переменную x за скобки, перепишем уравнение в виде
Поскольку произведение двух сомножителей равно нулю тогда и только тогда, когда, или первый сомножитель равен нулю, или второй сомножитель равен нулю, то из уравнения (4) получаем:
Пример 3 . Решить уравнение
Пример 4 . Решить уравнение
Решение . Поскольку левая часть уравнения (5) положительна при всех значениях переменной x , а правая часть равна 0, то уравнение решений не имеет.
Выделение полного квадрата
Выделением полного квадрата называют представление квадратного трёхчлена (1) в виде:
Для того, чтобы получить формулу (6), совершим следующие преобразования:
Формула (6) получена.
Дискриминант
Дискриминантом квадратного трёхчлена (1) называют число, которое обозначается буквой D и вычисляется по формуле:
Дискриминант квадратного трёхчлена играет важную роль, и от того, какой знак он имеет, зависят различные свойства квадратного трёхчлена.
Используя дискриминант, формулу (6) можно переписать в виде
Разложение квадратного трёхчлена на множители
Утверждение . В случае, когда , квадратный трёхчлен (1) разлагается на линейные множители. В случае, когда D < 0 , квадратный трехчлен нельзя разложить на линейные множители.
Доказательство . В случае, когда D = 0 , формула (8) и является разложением квадратного трехчлена на линейные множители:
В случае, когда D > 0 , выражение, стоящее в квадратных скобках в формуле (8), можно разложить на множители, воспользовавшись формулой сокращенного умножения «Разность квадратов»:
Таким образом, в случае, когда D > 0 , разложение квадратного трехчлена (1) на линейные множители имеет вид
В случае, когда D < 0 , выражение, стоящее в квадратных скобках в формуле (8), является суммой квадратов и квадратный трёхчлен на множители не раскладывается.
Замечание . В случае, когда D < 0 , квадратный трехчлен всё-таки можно разложить на линейные множители, но только в области комплексных чисел, однако этот материал выходит за рамки школьного курса.
Формула для корней квадратного уравнения
Из формул (9) и (10) вытекает формула для корней квадратного уравнения .
Действительно, в случае, когда D = 0 , из формулы (9) получаем:
Следовательно, в случае, когда D = 0 , уравнение (1) обладает единственным корнем, который вычисляется по формуле
В случае, когда D > 0 , из формулы (10) получаем:
Таким образом, в случае, когда D > 0 , уравнение (1) имеет два различных корня , которые вычисляются по формулам
Замечание 1 . Формулы (12) и (13) часто объединяют в одну формулу и записывают так:
Замечание 2 . В случае, когда D = 0 , обе формулы (12) и (13) превращаются в формулу (11). Поэтому часто говорят, что в случае, когда D = 0 , квадратное уравнение (1) имеет два совпавших корня , вычисляемых по формуле (11), а саму формулу (11) переписывают в виде:
Замечание 3 . В соответствии с материалом, изложенным в разделе «Кратные корни многочленов», корень (11) является корнем уравнения (1) кратности 2.
В случае, когда D = 0 , разложение квадратного трехчлена на линейные множители (9) можно переписать по-другому, воспользовавшись формулой (15):
| ax 2 + bx + c = = a (x – x1) 2 . |
(16) |
В случае, когда D > 0 , разложение квадратного трехчлена на линейные множители (10) с помощью формул (12) и (13) переписывается так:
| ax 2 + bx + c = = a (x – x1) (x – x2) . |
(17) |
Замечание 4 . В случае, когда D = 0 , корни x1 и x2 совпадают, и формула (17) принимает вид (16).
Прямая и обратная теоремы Виета
Раскрывая скобки и приводя подобные члены в правой части формулы (17), получаем равенство
Отсюда, поскольку формула (17) является тождеством, вытекает, что коэффициенты многочлена
равны соответствующим коэффициентам многочлена
Таким образом, справедливы равенства
следствием которых являются формулы
Формулы (18) и составляют содержание теоремы Виета (прямой теоремы Виета) .
Словами прямая теорема Виета формулируется так: — «Если числа x1 и x2 являются корнями квадратного уравнения (1), то они удовлетворяют равенствам (18)».
Обратная теорема Виета формулируется так: — «Если числа x1 и x2 являются решениями системы уравнений (18), то они являются корнями квадратного уравнения (1)».
Для желающих ознакомиться с примерами решений различных задач по теме «Квадратные уравнения» мы рекомендуем наше учебное пособие «Квадратный трехчлен».
Графики парабол и решение с их помощью квадратных неравенств представлены в разделе «Парабола на координатной плоскости. Решение квадратных неравенств» нашего справочника.
Во-первых, квадратные уравнения могут быть неполными, то есть в них может отсутствовать один из коэффициентов b или c.
В этом случае метод решения такой:
1) Если нет обоих коэффициентов (например, 8x² = 0), то нетрудно догадаться, что корень у этого уравнения один и он равен 0.
2) Если нет коэффициента b (например, 4x² – 4 = 0), то переносим коэффициент c в правую часть и делим на множитель при x².
4x² – 4 = 0.
4x² = 4.
x² = 1.
Отсюда x = 1 и x = -1, уравнение имеет два корня.
Если в правой части получается отрицательное число (это, например, в случае уравнения 4x² + 4 = 0), то корней нет.
3) Если отсутствует коэффициент c (например, 4x² + 8x = 0), то раскладываем такой многочлен на множители, вынося за скобки x:
4x² + 8x = 0.
x(4x + 8) = 0.
И приравниваем обе части к 0.
Получим 2 корня: 0 и -2.
_
Если квадратное уравнение имеет полный вид, то решить его без дискриминанта можно графически.
Например, дано уравнение x² – 2x – 8 = 0.
При графическом методе можно искать точки пересечения графиков 2 функций, в нашем случае для этого приравняем x² = 2x + 8.
x² – это обычная парабола.
2x + 8 – это линейная функция.
Построим их в одной системе координат:
Графики функций пересеклись в 2 точках, (−2; 4) и (4; 16).
Корнями уравнения будут x-координаты, то есть -2 и 4.
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.
Степень уравнения можно определить по наибольшей степени, в которой стоит неизвестное. Если неизвестное стоит во второй степени — это квадратное уравнение.
Квадратное уравнение — это ax² + bx + c = 0, где a — первый или старший коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.
Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение, нужно обратить внимание на дискриминант. Чтобы его найти, берем формулу: D = b² − 4ac. А вот свойства дискриминанта:
Неполное квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c = 0, где хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю.
- Если b = 0, то квадратное уравнение принимает вид ax² + 0x+c=0 и оно равносильно ax² + c = 0.
- Если c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax² + bx + 0 = 0, иначе его можно написать как ax² + bx = 0.
- Если b = 0 и c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax² = 0.
Такие уравнения отличаются от полного квадратного тем, что их левые части не содержат слагаемого с неизвестной переменной, либо свободного члена, либо и того и другого. Отсюда и их название — неполные квадратные уравнения.
Решение неполных квадратных уравнений
Как мы уже знаем, есть три формулы неполных квадратных уравнений:
- ax² = 0, ему отвечают коэффициенты b = 0 и c = 0;
- ax² + c = 0, при b = 0;
- ax² + bx = 0, при c = 0.
Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курс подготовки к ЕГЭ по математике (профиль).
Как решить уравнение ax² = 0
Начнем с решения неполных квадратных уравнений, в которых b и c равны нулю, то есть, с уравнений вида ax² = 0.
Уравнение ax² = 0 равносильно x² = 0. Такое преобразование возможно, когда мы разделили обе части на некое число a, которое не равно нулю. Корнем уравнения x² = 0 является нуль, так как 0² = 0. Других корней у этого уравнения нет, что подтверждают свойства степеней.
Таким образом, неполное квадратное уравнение ax² = 0 имеет единственный корень x = 0.
Пример 1. Решить −5x² = 0.
- Замечаем, что данному уравнению равносильно x2 = 0, значит исходное уравнение имеет единственный корень — нуль.
- По шагам решение выглядит так:
Записывайся на дополнительные уроки по математике онлайн, с нашими лучшими преподавателями! Для учеников с 1 по 11 класса!
Как решить уравнение ax² + с = 0
Обратим внимание на неполные квадратные уравнения вида ax² + c = 0, в которых b = 0, c ≠ 0. Мы знаем, что слагаемые в уравнениях носят двусторонние куртки: когда мы переносим их из одной части уравнения в другую, они надевает куртку на другую сторону — меняют знак на противоположный.
Еще мы знаем, что если обе части уравнения поделить на одно и то же число (кроме нуля) — у нас получится равносильное уравнение. То есть одно и то же, только с другими цифрами.
Держим все это в голове и колдуем над неполным квадратным уравнением (производим «равносильные преобразования»): ax² + c = 0:
- перенесем c в правую часть: ax² = – c,
- разделим обе части на a: x² = – c/а.
Ну все, теперь мы готовы к выводам о корнях неполного квадратного уравнения. В зависимости от значений a и c, выражение – c/а может быть отрицательным или положительным. Разберем конкретные случаи.
Если – c/а 0, то корни уравнения x² = – c/а будут другими. Например, можно использовать правило квадратного корня и тогда корень уравнения равен числу √- c/а, так как (√- c/а)² = – c/а. Кроме того, корнем уравнения может стать -√- c/а, так как (-√- c/а)² = – c/а. Ура, больше у этого уравнения нет корней.
В двух словах
Неполное квадратное уравнение ax² + c = 0 равносильно уравнению ax² + c = 0, которое:
- не имеет корней при – c/а 0.
Пример 1. Найти решение уравнения 9x² + 4 = 0.
-
Перенесем свободный член в правую часть:
Разделим обе части на 9:
Ответ: уравнение 9x² + 4 = 0 не имеет корней.
Пример 2. Решить -x² + 9 = 0.
-
Перенесем свободный член в правую часть:
Разделим обе части на -1:
Ответ: уравнение -x² + 9 = 0 имеет два корня -3; 3.
Как решить уравнение ax² + bx = 0
Осталось разобрать третий вид неполных квадратных уравнений, когда c = 0.
Квадратное уравнение без с непривычно решать только первые несколько примеров. Запомнив алгоритм, будет значительно проще щелкать задачки из учебника.
Неполное квадратное уравнение ax² + bx = 0 можно решить методом разложения на множители. Разложим на множители многочлен, который расположен в левой части уравнения — вынесем за скобки общий множитель x.
Теперь можем перейти от исходного уравнения к равносильному x * (ax + b) = 0. А это уравнение равносильно совокупности двух уравнений x = 0 и ax + b = 0, последнее — линейное, его корень x = −b/a.
Таким образом, неполное квадратное уравнение ax² + bx = 0 имеет два корня:
Пример 1. Решить уравнение 2x² – 32x = 0
-
Вынести х за скобки
Ответ: х = 0 и х = 16.
Пример 2. Решить уравнение 3x² – 12x = 0
Разложить левую часть уравнения на множители и найти корни:
Методы решения квадратных уравнений. Формула Виета для квадратного уравнения
Квадратные уравнения часто появляются в ряде задач по математике и физике, поэтому уметь их решать должен каждый школьник. В этой статье подробно рассматриваются основные методы решения уравнений квадратных, а также приводятся примеры их использования.
Какое уравнение называется квадратным
В первую очередь ответим на вопрос этого пункта, чтобы лучше понимать, о чем пойдет речь в статье. Итак, уравнение квадратное имеет следующий общий вид: c + b*x+a*x2=0, где a, b, c – некоторые числа, которые называются коэффициентами. Здесь a≠0 – это обязательное условие, в противном случае указанное уравнение вырождается в линейное. Остальные коэффициенты (b, c) могут принимать абсолютно любые значения, включая ноль. Так, выражения типа a*x2=0, где b=0 и c=0 или c+a*x2=0,где b=0, или b*x+a*x2=0, где c=0 – это тоже уравнения квадратные, которые называют неполными, поскольку в них либо линейный коэффициент b равен нулю, либо нулевым является свободный член c, либо они оба зануляются.
Вам будет интересно: Химические цепочки превращений: примеры и способы решения
Уравнение, в котором a=1, называют приведенным, то есть оно вид имеет: x2 + с/a + (b/a)*x =0.
Решение квадратного уравнения заключается в нахождении таких значений x, которые удовлетворяют его равенству. Эти значения называются корнями. Поскольку рассматриваемое уравнение – это выражение второй степени, то это означает, что максимальное число его корней не может превышать двух.
Какие методы решения уравнений квадратных существуют
В общем случае существует 4 метода решения. Ниже перечисляются их названия:
Вам будет интересно: Каково значение слова “транспарентность”?
Как понятно из приведенного списка, первые три метода являются алгебраическими, поэтому они используются чаще, чем последний, который предполагает построение графика функции.
Существует еще один способ решения по теореме Виета уравнений квадратных. Его можно было бы включить 5-м в список выше, однако, это не сделано, поскольку теорема Виета является простым следствием 3-го метода.
Далее в статье рассмотрим подробнее названные способы решения, а также приведем примеры их использования для нахождения корней конкретных уравнений.
Метод №1. Разложение на множители
Для этого метода в математике квадратных уравнений существует красивое название: факторизация. Суть этого способа заключается в следующем: необходимо квадратное уравнение представить в виде произведения двух членов (выражений), которое должно равняться нулю. После такого представления можно воспользоваться свойством произведения, которое будет равно нулю только тогда, когда один или несколько (все) его членов являются нулевыми.
Теперь рассмотрим последовательность конкретных действий, которые нужно выполнить, чтобы найти корни уравнения:
Вам будет интересно: Коммуникативная методика обучения английскому языку: главные принципы, учебники, результаты, отзывы
Как видно, алгоритм факторизации является достаточно простым, тем не менее, у большинства школьников возникают трудности во время реализации 2-го пункта, поэтому поясним его подробнее.
Чтобы догадаться, какие 2-а линейных выражения при умножении их друг на друга дадут искомое квадратное уравнение, необходимо запомнить два простых правила:
- Линейные коэффициенты двух линейных выражений при умножении их друг на друга должны давать первый коэффициент квадратного уравнения, то есть число a.
- Свободные члены линейных выражений при их произведении должны давать число c искомого уравнения.
После того, как подобраны все числа множителей, следует выполнить их перемножение, и если они дают искомое уравнение, тогда переходить к пункту 3 в изложенном выше алгоритме, в противном случае следует изменить множители, но делать это нужно так, чтобы приведенные правила всегда выполнялись.
Пример решения методом факторизации
Покажем наглядно, как алгоритм решения уравнения квадратного составить и найти неизвестные корни. Пусть дано произвольное выражение, например, 2*x-5+5*x2-2*x2 = x2+2+x2+1. Перейдем к его решению, соблюдая последовательность пунктов от 1-го до 3-х, которые изложены в предыдущем пункте статьи.
Пункт 1. Перенесем все члены в левую часть и выстроим их в классической последовательности для квадратного уравнения. Имеем следующее равенство: 2*x+(-8)+x2=0.
Пункт 2. Разбиваем на произведение линейных уравнений. Поскольку a=1, а с=-8, то подберем, например, такое произведение (x-2)*(x+4). Оно удовлетворяет изложенным в пункте выше правилам поиска предполагаемых множителей. Если раскрыть скобки, то получим: -8+2*x+x2, то есть получается точно такое же выражение, как в левой части уравнения. Это означает, что мы правильно угадали множители, и можно переходить к 3-му пункту алгоритма.
Пункт 3. Приравниваем каждый множитель нулю, получаем: x=-4 и x=2.
Если возникают какие-либо сомнения в полученном результате, то рекомендуется выполнить проверку, подставляя найденные корни в исходное уравнение. В данном случае имеем: 2*2+22-8=0 и 2*(-4)+(-4)2-8=0. Корни найдены правильно.
Таким образом, методом факторизации мы нашли, что заданное уравнение два корня различных имеет: 2 и -4.
Метод №2. Дополнение до полного квадрата
В алгебре уравнений квадратных метод множителей не всегда может использоваться, поскольку в случае дробных значений коэффициентов квадратного уравнения возникают сложности в реализации пункта 2 алгоритма.
Метод полного квадрата, в свою очередь, является универсальным и может применяться для квадратных уравнений любого типа. Суть его заключается в выполнении следующих операций:
Описанный алгоритм может на первый взгляд быть воспринят, как достаточно сложный, однако, на практике его реализовать проще, чем метод факторизации.
Пример решения с помощью дополнения до полного квадрата
Приведем пример уравнения квадратного для тренировки его решения методом изложенным в предыдущем пункте. Пусть дано уравнение квадратное -10 – 6*x+5*x2 = 0. Начинаем решать его, следуя описанному выше алгоритму.
Пункт 1. Используем метод переброски при решении уравнений квадратных, получаем: – 6*x+5*x2 = 10.
Пункт 2. Приведенный вид этого уравнения получается путем деления на число 5 каждого его члена (если равенства обе части поделить или умножить на одинаковое число, то равенство сохранится). В результате преобразований получим: x2 – 6/5*x = 2.
Пункт 3. Половина от коэффициента – 6/5 равна -6/10 = -3/5, используем это число для составления полного квадрата, получаем: (-3/5+x)2. Раскроем его и полученный свободный член следует вычесть из части равенства левой, чтобы удовлетворить исходному виду квадратного уравнения, что эквивалентно его добавлению в правую часть. В итоге получаем: (-3/5+x)2 = 59/25.
Пункт 4. Вычисляем квадратный корень с положительным и отрицательным знаками и находим корни: x = 3/5±√59/5 = (3±√59)/5. Два найденных корня имеют значения: x1 = (√59+3)/5 и x1 = (3-√59)/5.
Поскольку проведенные вычисления связаны с корнями, то велика вероятность допустить ошибку. Поэтому рекомендуется проверить правильность корней x2 и x1. Получаем для x1: 5*((3+√59)/5)2-6*(3+√59)/5 – 10 = (9+59+6*√59)/5 – 18/5 – 6*√59/5-10 = 68/5-68/5 = 0. Подставляем теперь x2: 5*((3-√59)/5)2-6*(3-√59)/5 – 10 = (9+59-6*√59)/5 – 18/5 + 6*√59/5-10 = 68/5-68/5 = 0.
Таким образом, мы показали, что найденные корни уравнения являются истинными.
Метод №3. Применение известной формулы
Этот метод решения уравнений квадратных является, пожалуй, самым простым, поскольку он заключается в подставлении коэффициентов в известную формулу. Для его использования не нужно задумываться о составлении алгоритмов решения, достаточно запомнить только одну формулу. Она приведена на рисунке выше.
В этой формуле подкоренное выражение (b2-4*a*c) называется дискриминантом (D). От его значения зависит то, какие корни получатся. Возможны 3-и случая:
- D>0, тогда уравнение корня два имеет действительных и разных.
- D=0, тогда получается корень один, который можно вычислить из выражения x = -b/(a*2).
- D 0 – параболы ветви направлены вверх, наоборот, если a 0. Ее экстремум имеет координаты: x=4/10=2/5, y=-4*2/5+5*(2/5)2+10 = 9,2. Поскольку минимум кривой лежит над осью абсцисс (y=9,2), то она не пересекает последнюю ни при каких значениях x. То есть действительных корней приведенное уравнение не имеет.
Теорема Виета
Как выше было отмечено, эта теорема является следствием метода №3, который основан на применении формулы с дискриминантом. Суть теоремы Виета заключается в том, что она позволяет связать в равенство коэффициенты уравнения и его корни. Получим соответствующие равенства.
Воспользуемся формулой для вычисления корней через дискриминант. Сложим два корня, получаем: x1+x2 = -b/a. Теперь умножим корни друг на друга: x1*x2, после ряда упрощений получается число c/a.
Таким образом, для решения уравнений квадратных по теореме Виета можно использовать полученных два равенства. Если все три коэффициента уравнения известны, тогда корни можно найти путем решения соответствующей системы из этих двух уравнений.
Пример использования теоремы Виета
Необходимо составить квадратное уравнение, если известно, что оно имеет вид x2+c = -b*x и корни его равны 3 и -4.
Поскольку в рассматриваемом уравнении a=1, то формулы Виета будут иметь вид: x2+x1 =-b и x2*x1= с. Подставляя известные значения корней, получаем: b = 1 и c = -12. В итоге восстановленное уравнение квадратное приведенное будет вид иметь: x2-12 = -1*x. Можно подставить в него значение корней и убедиться, что равенство выполняется.
Обратное применение Виета теоремы, то есть вычисление корней по известному виду уравнения, позволяет для небольших целых чисел a, b и c быстро (интуитивно) находить решения.
Решение квадратных уравнений: формула корней, примеры
В продолжение темы «Решение уравнений» материал данной статьи познакомит вас с квадратными уравнениями.
Рассмотрим все подробно: суть и запись квадратного уравнения, зададим сопутствующие термины, разберем схему решения неполных и полных уравнений, познакомимся с формулой корней и дискриминантом, установим связи между корнями и коэффициентами, ну и конечно приведем наглядное решение практических примеров.
Квадратное уравнение, его виды
Квадратное уравнение – это уравнение, записанное как a · x 2 + b · x + c = 0 , где x – переменная, a , b и c – некоторые числа, при этом a не есть нуль.
Зачастую квадратные уравнения также носят название уравнений второй степени, поскольку по сути квадратное уравнение есть алгебраическое уравнение второй степени.
Приведем пример для иллюстрации заданного определения: 9 · x 2 + 16 · x + 2 = 0 ; 7 , 5 · x 2 + 3 , 1 · x + 0 , 11 = 0 и т.п. – это квадратные уравнения.
Числа a , b и c – это коэффициенты квадратного уравнения a · x 2 + b · x + c = 0 , при этом коэффициент a носит название первого, или старшего, или коэффициента при x 2 , b – второго коэффициента, или коэффициента при x , а c называют свободным членом.
К примеру, в квадратном уравнении 6 · x 2 − 2 · x − 11 = 0 старший коэффициент равен 6 , второй коэффициент есть − 2 , а свободный член равен − 11 . Обратим внимание на тот факт, что, когда коэффициенты b и/или c являются отрицательными, то используется краткая форма записи вида 6 · x 2 − 2 · x − 11 = 0 , а не 6 · x 2 + ( − 2 ) · x + ( − 11 ) = 0 .
Уточним также такой аспект: если коэффициенты a и/или b равны 1 или − 1 , то явного участия в записи квадратного уравнения они могут не принимать, что объясняется особенностями записи указанных числовых коэффициентов. К примеру, в квадратном уравнении y 2 − y + 7 = 0 старший коэффициент равен 1 , а второй коэффициент есть − 1 .
Приведенные и неприведенные квадратные уравнения
По значению первого коэффициента квадратные уравнения подразделяют на приведенные и неприведенные.
Приведенное квадратное уравнение – это квадратное уравнение, где старший коэффициент равен 1 . При иных значениях старшего коэффициента квадратное уравнение является неприведенным.
Приведем примеры: квадратные уравнения x 2 − 4 · x + 3 = 0 , x 2 − x − 4 5 = 0 являются приведенными, в каждом из которых старший коэффициент равен 1 .
9 · x 2 − x − 2 = 0 – неприведенное квадратное уравнение, где первый коэффициент отличен от 1 .
Любое неприведенное квадратное уравнение возможно преобразовать в приведенное уравнение, если разделить обе его части на первый коэффициент (равносильное преобразование). Преобразованное уравнение будет иметь такие же корни, как и заданное неприведенное уравнение или так же не иметь корней вовсе.
Рассмотрение конкретного примера позволит нам наглядно продемонстрировать выполнение перехода от неприведенного квадратного уравнения к приведенному.
Задано уравнение 6 · x 2 + 18 · x − 7 = 0 . Необходимо преобразовать исходное уравнение в приведенную форму.
Решение
Cогласно указанной выше схеме разделим обе части исходного уравнения на старший коэффициент 6 . Тогда получим: ( 6 · x 2 + 18 · x − 7 ) : 3 = 0 : 3 , и это то же самое, что: ( 6 · x 2 ) : 3 + ( 18 · x ) : 3 − 7 : 3 = 0 и далее: ( 6 : 6 ) · x 2 + ( 18 : 6 ) · x − 7 : 6 = 0 . Отсюда: x 2 + 3 · x – 1 1 6 = 0 . Таким образом, получено уравнение, равносильное заданному.
Ответ: x 2 + 3 · x – 1 1 6 = 0 .
Полные и неполные квадратные уравнения
Обратимся к определению квадратного уравнения. В нем мы уточнили, что a ≠ 0 . Подобное условие необходимо, чтобы уравнение a · x 2 + b · x + c = 0 было именно квадратным, поскольку при a = 0 оно по сути преобразуется в линейное уравнение b · x + c = 0 .
В случае же, когда коэффициенты b и c равны нулю (что возможно, как по отдельности, так и совместно), квадратное уравнение носит название неполного.
Неполное квадратное уравнение – такое квадратное уравнение a · x 2 + b · x + c = 0 , где хотя бы один из коэффициентов b и c (или оба) равен нулю.
Полное квадратное уравнение – квадратное уравнение, в котором все числовые коэффициенты не равны нулю.
Порассуждаем, почему типам квадратных уравнений даны именно такие названия.
При b = 0 квадратное уравнение примет вид a · x 2 + 0 · x + c = 0 , что то же самое, что a · x 2 + c = 0 . При c = 0 квадратное уравнение записано как a · x 2 + b · x + 0 = 0 , что равносильно a · x 2 + b · x = 0 . При b = 0 и c = 0 уравнение примет вид a · x 2 = 0 . Уравнения, которые мы получили, отличны от полного квадратного уравнения тем, что в их левых частях не содержится либо слагаемого с переменной x , либо свободного члена, либо обоих сразу. Собственно, этот факт и задал название такому типу уравнений – неполное.
Например, x 2 + 3 · x + 4 = 0 и − 7 · x 2 − 2 · x + 1 , 3 = 0 – это полные квадратные уравнения; x 2 = 0 , − 5 · x 2 = 0 ; 11 · x 2 + 2 = 0 , − x 2 − 6 · x = 0 – неполные квадратные уравнения.
Решение неполных квадратных уравнений
Заданное выше определение дает возможность выделить следующие виды неполных квадратных уравнений:
- a · x 2 = 0 , такому уравнению соответствуют коэффициенты b = 0 и c = 0 ;
- a · x 2 + c = 0 при b = 0 ;
- a · x 2 + b · x = 0 при c = 0 .
Рассмотрим последовательно решение каждого вида неполного квадратного уравнения.
Решение уравнения a·x 2 =0
Как уже было указано выше, такому уравнению отвечают коэффициенты b и c , равные нулю. Уравнение a · x 2 = 0 возможно преобразовать в равносильное ему уравнение x 2 = 0 , которое мы получим, поделив обе части исходного уравнения на число a , не равное нулю. Очевидный факт, что корень уравнения x 2 = 0 это нуль, поскольку 0 2 = 0 . Иных корней это уравнение не имеет, что объяснимо свойствами степени: для любого числа p , не равного нулю, верно неравенство p 2 > 0 , из чего следует, что при p ≠ 0 равенство p 2 = 0 никогда не будет достигнуто.
Таким образом, для неполного квадратного уравнение a · x 2 = 0 существует единственный корень x = 0 .
Для примера решим неполное квадратное уравнение − 3 · x 2 = 0 . Ему равносильно уравнение x 2 = 0 , его единственным корнем является x = 0 , тогда и исходное уравнение имеет единственный корень – нуль.
Кратко решение оформляется так:
− 3 · x 2 = 0 , x 2 = 0 , x = 0 .
Решение уравнения a · x 2 + c = 0
На очереди – решение неполных квадратных уравнений, где b = 0 , c ≠ 0 , то есть уравнений вида a · x 2 + c = 0 . Преобразуем это уравнение, перенеся слагаемое из одной части уравнения в другую, сменив знак на противоположный и разделив обе части уравнения на число, не равное нулю:
- переносим c в правую часть, что дает уравнение a · x 2 = − c ;
- делим обе части уравнения на a , получаем в итоге x = – c a .
Наши преобразования являются равносильными, соответственно полученное уравнение также равносильно исходному, и этот факт дает возможность делать вывод о корнях уравнения. От того, каковы значения a и c зависит значение выражения – c a : оно может иметь знак минус (допустим, если a = 1 и c = 2 , тогда – c a = – 2 1 = – 2 ) или знак плюс (например, если a = − 2 и c = 6 , то – c a = – 6 – 2 = 3 ); оно не равно нулю, поскольку c ≠ 0 . Подробнее остановимся на ситуациях, когда – c a 0 и – c a > 0 .
В случае, когда – c a 0 , уравнение x 2 = – c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при – c a 0 ни для какого числа p равенство p 2 = – c a не может быть верным.
Все иначе, когда – c a > 0 : вспомним о квадратном корне, и станет очевидно, что корнем уравнения x 2 = – c a будет число – c a , поскольку – c a 2 = – c a . Нетрудно понять, что число – – c a – также корень уравнения x 2 = – c a : действительно, – – c a 2 = – c a .
Прочих корней уравнение не будет иметь. Мы можем это продемонстрировать, используя метод от противного. Для начала зададим обозначения найденных выше корней как x 1 и − x 1 . Выскажем предположение, что уравнение x 2 = – c a имеет также корень x 2 , который отличается от корней x 1 и − x 1 . Мы знаем, что, подставив в уравнение вместо x его корни, преобразуем уравнение в справедливое числовое равенство.
Для x 1 и − x 1 запишем: x 1 2 = – c a , а для x 2 – x 2 2 = – c a . Опираясь на свойства числовых равенств, почленно вычтем одно верное равенство из другого, что даст нам: x 1 2 − x 2 2 = 0 . Используем свойства действий с числами, чтобы переписать последнее равенство как ( x 1 − x 2 ) · ( x 1 + x 2 ) = 0 . Известно, что произведение двух чисел есть нуль тогда и только тогда, когда хотя бы одно из чисел является нулем. Из сказанного следует, что x 1 − x 2 = 0 и/или x 1 + x 2 = 0 , что то же самое, x 2 = x 1 и/или x 2 = − x 1 . Возникло очевидное противоречие, ведь вначале было условлено, что корень уравнения x 2 отличается от x 1 и − x 1 . Так, мы доказали, что уравнение не имеет иных корней, кроме x = – c a и x = – – c a .
Резюмируем все рассуждения выше.
Неполное квадратное уравнение a · x 2 + c = 0 равносильно уравнению x 2 = – c a , которое:
- не будет иметь корней при – c a 0 ;
- будет иметь два корня x = – c a и x = – – c a при – c a > 0 .
Приведем примеры решения уравнений a · x 2 + c = 0 .
Задано квадратное уравнение 9 · x 2 + 7 = 0 . Необходимо найти его решение.
Решение
Перенесем свободный член в правую часть уравнения, тогда уравнение примет вид 9 · x 2 = − 7 .
Разделим обе части полученного уравнения на 9 , придем к x 2 = – 7 9 . В правой части мы видим число со знаком минус, что означает: у заданного уравнения нет корней. Тогда и исходное неполное квадратное уравнение 9 · x 2 + 7 = 0 не будет иметь корней.
Ответ: уравнение 9 · x 2 + 7 = 0 не имеет корней.
Необходимо решить уравнение − x 2 + 36 = 0 .
Решение
Перенесем 36 в правую часть: − x 2 = − 36 .
Разделим обе части на − 1 , получим x 2 = 36 . В правой части – положительное число, отсюда можно сделать вывод, что x = 36 или x = – 36 .
Извлечем корень и запишем окончательный итог: неполное квадратное уравнение − x 2 + 36 = 0 имеет два корня x = 6 или x = − 6 .
Ответ: x = 6 или x = − 6 .
Решение уравнения a·x 2 +b·x=0
Разберем третий вид неполных квадратных уравнений, когда c = 0 . Чтобы найти решение неполного квадратного уравнения a · x 2 + b · x = 0 , воспользуемся методом разложения на множители. Разложим на множители многочлен, который находится в левой части уравнения, вынеся за скобки общий множитель x . Этот шаг даст возможность преобразовать исходное неполное квадратное уравнение в равносильное ему x · ( a · x + b ) = 0 . А это уравнение, в свою очередь, равносильно совокупности уравнений x = 0 и a · x + b = 0 . Уравнение a · x + b = 0 линейное, и корень его: x = − b a .
Таким образом, неполное квадратное уравнение a · x 2 + b · x = 0 будет иметь два корня x = 0 и x = − b a .
Закрепим материал примером.
Необходимо найти решение уравнения 2 3 · x 2 – 2 2 7 · x = 0 .
Решение
Вынесем x за скобки и получим уравнение x · 2 3 · x – 2 2 7 = 0 . Это уравнение равносильно уравнениям x = 0 и 2 3 · x – 2 2 7 = 0 . Теперь следует решить полученное линейное уравнение: 2 3 · x = 2 2 7 , x = 2 2 7 2 3 .
Далее осуществим деление смешанного числа на обыкновенную дробь и определяем, что x = 3 3 7 . Таким образом, корни исходного уравнения это: x = 0 и x = 3 3 7 .
Кратко решение уравнения запишем так:
2 3 · x 2 – 2 2 7 · x = 0 x · 2 3 · x – 2 2 7 = 0
x = 0 или 2 3 · x – 2 2 7 = 0
x = 0 или x = 3 3 7
Ответ: x = 0 , x = 3 3 7 .
Дискриминант, формула корней квадратного уравнения
Для нахождения решения квадратных уравнений существует формула корней:
x = – b ± D 2 · a , где D = b 2 − 4 · a · c – так называемый дискриминант квадратного уравнения.
Запись x = – b ± D 2 · a по сути означает, что x 1 = – b + D 2 · a , x 2 = – b – D 2 · a .
Нелишним будет понимать, как была выведена указанная формула и каким образом ее применять.
Вывод формулы корней квадратного уравнения
Пускай перед нами стоит задача решить квадратное уравнение a · x 2 + b · x + c = 0 . Осуществим ряд равносильных преобразований:
- разделим обе части уравнения на число a, отличное от нуля, получим приведенное квадратное уравнение: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
- выделим полный квадрат в левой части получившегося уравнения:
x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 – b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 – b 2 · a 2 + c a
После этого уравнения примет вид: x + b 2 · a 2 – b 2 · a 2 + c a = 0 ; - теперь возможно сделать перенос двух последних слагаемых в правую часть, сменив знак на противоположный, после чего получаем: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 – c a ;
- наконец, преобразуем выражение, записанное в правой части последнего равенства:
b 2 · a 2 – c a = b 2 4 · a 2 – c a = b 2 4 · a 2 – 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 – 4 · a · c 4 · a 2 .
Таким образом, мы пришли к уравнению x + b 2 · a 2 = b 2 – 4 · a · c 4 · a 2 , равносильному исходному уравнению a · x 2 + b · x + c = 0 .
Решение подобных уравнений мы разбирали в предыдущих пунктах (решение неполных квадратных уравнений). Уже полученный опыт дает возможность сделать вывод касательно корней уравнения x + b 2 · a 2 = b 2 – 4 · a · c 4 · a 2 :
- при b 2 – 4 · a · c 4 · a 2 0 уравнение не имеет действительных решений;
- при b 2 – 4 · a · c 4 · a 2 = 0 уравнение имеет вид x + b 2 · a 2 = 0 , тогда x + b 2 · a = 0 .
Отсюда очевиден единственный корень x = – b 2 · a ;
- при b 2 – 4 · a · c 4 · a 2 > 0 верным будет: x + b 2 · a = b 2 – 4 · a · c 4 · a 2 или x = b 2 · a – b 2 – 4 · a · c 4 · a 2 , что то же самое, что x + – b 2 · a = b 2 – 4 · a · c 4 · a 2 или x = – b 2 · a – b 2 – 4 · a · c 4 · a 2 , т.е. уравнение имеет два корня.
Возможно сделать вывод, что наличие или отсутствие корней уравнения x + b 2 · a 2 = b 2 – 4 · a · c 4 · a 2 (а значит и исходного уравнения) зависит от знака выражения b 2 – 4 · a · c 4 · a 2 , записанного в правой части. А знак этого выражения задается знаком числителя, (знаменатель 4 · a 2 всегда будет положителен), то есть, знаком выражения b 2 − 4 · a · c . Этому выражению b 2 − 4 · a · c дано название – дискриминант квадратного уравнения и определена в качестве его обозначения буква D . Здесь можно записать суть дискриминанта – по его значению и знаку делают вывод, будет ли квадратное уравнение иметь действительные корни, и, если будет, то каково количество корней – один или два.
Вернемся к уравнению x + b 2 · a 2 = b 2 – 4 · a · c 4 · a 2 . Перепишем его, используя обозначение дискриминанта: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .
Вновь сформулируем выводы:
- при D 0 уравнение не имеет действительных корней;
- при D = 0 уравнение имеет единственный корень x = – b 2 · a ;
- при D > 0 уравнение имеет два корня: x = – b 2 · a + D 4 · a 2 или x = – b 2 · a – D 4 · a 2 . Эти корни на основе свойства радикалов возможно записать в виде: x = – b 2 · a + D 2 · a или – b 2 · a – D 2 · a . А, когда раскроем модули и приведем дроби к общему знаменателю, получим: x = – b + D 2 · a , x = – b – D 2 · a .
Так, результатом наших рассуждений стало выведение формулы корней квадратного уравнения:
x = – b + D 2 · a , x = – b – D 2 · a , дискриминант D вычисляется по формуле D = b 2 − 4 · a · c .
Данные формулы дают возможность при дискриминанте больше нуля определить оба действительных корня. Когда дискриминант равен нулю, применение обеих формул даст один и тот же корень, как единственное решение квадратного уравнения. В случае, когда дискриминант отрицателен, попытавшись использовать формулу корня квадратного уравнения, мы столкнемся с необходимостью извлечь квадратный корень из отрицательного числа, что выведет нас за рамки действительных чисел. При отрицательном дискриминанте у квадратного уравнения не будет действительных корней, но возможна пара комплексно сопряженных корней, определяемых теми же полученными нами формулами корней.
Алгоритм решения квадратных уравнений по формулам корней
Решить квадратное уравнение возможно, сразу задействуя формулу корней, но в основном так поступают при необходимости найти комплексные корни.
В основной же массе случаев обычно подразумевается поиск не комплексных, а действительных корней квадратного уравнения. Тогда оптимально перед тем, как использовать формулы корней квадратного уравнения, сначала определить дискриминант и удостовериться, что он не является отрицательным (в ином случае сделаем вывод, что у уравнения нет действительных корней), а после приступить к вычислению значения корней.
Рассуждения выше дают возможность сформулировать алгоритм решения квадратного уравнения.
Чтобы решить квадратное уравнение a · x 2 + b · x + c = 0 , необходимо:
- по формуле D = b 2 − 4 · a · c найти значение дискриминанта;
- при D 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
- при D = 0 найти единственный корень уравнения по формуле x = – b 2 · a ;
- при D > 0 определить два действительных корня квадратного уравнения по формуле x = – b ± D 2 · a .
Отметим, что, когда дискриминант есть нуль, можно использовать формулу x = – b ± D 2 · a , она даст тот же результат, что и формула x = – b 2 · a .
Примеры решения квадратных уравнений
Приведем решение примеров при различных значениях дискриминанта.
Необходимо найти корни уравнения x 2 + 2 · x − 6 = 0 .
Решение
Запишем числовые коэффициенты квадратного уравнения: a = 1 , b = 2 и c = − 6 . Далее действуем по алгоритму, т.е. приступим к вычислению дискриминанта, для чего подставим коэффициенты a , b и c в формулу дискриминанта: D = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · ( − 6 ) = 4 + 24 = 28 .
Итак, мы получили D > 0 , а это означает, что исходное уравнение будет иметь два действительных корня.
Для их нахождения используем формулу корня x = – b ± D 2 · a и, подставив соответствующие значения, получим: x = – 2 ± 28 2 · 1 . Упростим полученное выражение, вынеся множитель за знак корня с последующим сокращением дроби:
x = – 2 + 2 · 7 2 или x = – 2 – 2 · 7 2
x = – 1 + 7 или x = – 1 – 7
Ответ: x = – 1 + 7 , x = – 1 – 7 .
Необходимо решить квадратное уравнение − 4 · x 2 + 28 · x − 49 = 0 .
Решение
Определим дискриминант: D = 28 2 − 4 · ( − 4 ) · ( − 49 ) = 784 − 784 = 0 . При таком значении дискриминанта исходное уравнение будет иметь лишь один корень, определяемый по формуле x = – b 2 · a .
x = – 28 2 · ( – 4 ) x = 3 , 5
Ответ: x = 3 , 5 .
Необходимо решить уравнение 5 · y 2 + 6 · y + 2 = 0
Решение
Числовые коэффициенты этого уравнения будут: a = 5 , b = 6 и c = 2 . Используем эти значения для нахождения дискриминанта: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Вычисленный дискриминант отрицателен, таким образом, исходное квадратное уравнение не имеет действительных корней.
В случае, когда стоит задача указать комплексные корни, применим формулу корней, выполняя действия с комплексными числами:
x = – 6 + 2 · i 10 или x = – 6 – 2 · i 10 ,
x = – 3 5 + 1 5 · i или x = – 3 5 – 1 5 · i .
Ответ: действительные корни отсутствуют; комплексные корни следующие: – 3 5 + 1 5 · i , – 3 5 – 1 5 · i .
В школьной программе стандартно нет требования искать комплексные корни, поэтому, если в ходе решения дискриминант определен как отрицательный, сразу записывается ответ, что действительных корней нет.
Формула корней для четных вторых коэффициентов
Формула корней x = – b ± D 2 · a ( D = b 2 − 4 · a · c ) дает возможность получить еще одну формулу, более компактную, позволяющую находить решения квадратных уравнений с четным коэффициентом при x (либо с коэффициентом вида 2 · n , к примеру, 2 · 3 или 14 · ln 5 = 2 · 7 · ln 5 ). Покажем, как выводится эта формула.
Пусть перед нами стоит задача найти решение квадратного уравнения a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 . Действуем по алгоритму: определяем дискриминант D = ( 2 · n ) 2 − 4 · a · c = 4 · n 2 − 4 · a · c = 4 · ( n 2 − a · c ) , а затем используем формулу корней:
x = – 2 · n ± D 2 · a , x = – 2 · n ± 4 · n 2 – a · c 2 · a , x = – 2 · n ± 2 n 2 – a · c 2 · a , x = – n ± n 2 – a · c a .
Пусть выражение n 2 − a · c будет обозначено как D 1 (иногда его обозначают D ‘ ). Тогда формула корней рассматриваемого квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2 · n примет вид:
x = – n ± D 1 a , где D 1 = n 2 − a · c .
Легко увидеть, что что D = 4 · D 1 , или D 1 = D 4 . Иначе говоря, D 1 – это четверть дискриминанта. Очевидно, что знак D 1 такой же, как знак D , а значит знак D 1 также может служить индикатором наличия или отсутствия корней квадратного уравнения.
Таким образом, чтобы найти решение квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2 · n , необходимо:
- найти D 1 = n 2 − a · c ;
- при D 1 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
- при D 1 = 0 определить единственный корень уравнения по формуле x = – n a ;
- при D 1 > 0 определить два действительных корня по формуле x = – n ± D 1 a .
Необходимо решить квадратное уравнение 5 · x 2 − 6 · x − 32 = 0 .
Решение
Второй коэффициент заданного уравнения можем представить как 2 · ( − 3 ) . Тогда перепишем заданное квадратное уравнение как 5 · x 2 + 2 · ( − 3 ) · x − 32 = 0 , где a = 5 , n = − 3 и c = − 32 .
Вычислим четвертую часть дискриминанта: D 1 = n 2 − a · c = ( − 3 ) 2 − 5 · ( − 32 ) = 9 + 160 = 169 . Полученное значение положительно, это означает, что уравнение имеет два действительных корня. Определим их по соответствующей формуле корней:
x = – n ± D 1 a , x = – – 3 ± 169 5 , x = 3 ± 13 5 ,
x = 3 + 13 5 или x = 3 – 13 5
x = 3 1 5 или x = – 2
Возможно было бы произвести вычисления и по обычной формуле корней квадратного уравнения, но в таком случае решение было бы более громоздким.
Ответ: x = 3 1 5 или x = – 2 .
Упрощение вида квадратных уравнений
Иногда существует возможность оптимизировать вид исходного уравнения, что позволит упростить процесс вычисления корней.
К примеру, квадратное уравнение 12 · x 2 − 4 · x − 7 = 0 явно удобнее для решения, чем 1200 · x 2 − 400 · x − 700 = 0 .
Чаще упрощение вида квадратного уравнения производится действиями умножения или деления его обеих частей на некое число. К примеру, выше мы показали упрощенную запись уравнения 1200 · x 2 − 400 · x − 700 = 0 , полученную делением обеих его частей на 100 .
Такое преобразование возможно, когда коэффициенты квадратного уравнения не являются взаимно простыми числами. Тогда обычно осуществляют деление обеих частей уравнения на наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов.
Как пример используем квадратное уравнение 12 · x 2 − 42 · x + 48 = 0 . Определим НОД абсолютных величин его коэффициентов: НОД ( 12 , 42 , 48 ) = НОД(НОД ( 12 , 42 ) , 48 ) = НОД ( 6 , 48 ) = 6 . Произведем деление обеих частей исходного квадратного уравнения на 6 и получим равносильное ему квадратное уравнение 2 · x 2 − 7 · x + 8 = 0 .
Умножением обеих частей квадратного уравнения обычно избавляются от дробных коэффициентов. При этом умножают на наименьшее общее кратное знаменателей его коэффициентов. К примеру, если каждую часть квадратного уравнения 1 6 · x 2 + 2 3 · x – 3 = 0 перемножить с НОК ( 6 , 3 , 1 ) = 6 , то оно станет записано в более простом виде x 2 + 4 · x − 18 = 0 .
Напоследок отметим, что почти всегда избавляются от минуса при первом коэффициенте квадратного уравнения, изменяя знаки каждого члена уравнения, что достигается путем умножения (или деления) обеих частей на − 1 . К примеру, от квадратного уравнения − 2 · x 2 − 3 · x + 7 = 0 можно перейти к упрощенной его версии 2 · x 2 + 3 · x − 7 = 0 .
Связь между корнями и коэффициентами
Уже известная нам формула корней квадратных уравнений x = – b ± D 2 · a выражает корни уравнения через его числовые коэффициенты. Опираясь на данную формулу, мы имеем возможность задать другие зависимости между корнями и коэффициентами.
Самыми известными и применимыми являются формулы теоремы Виета:
x 1 + x 2 = – b a и x 2 = c a .
В частности, для приведенного квадратного уравнения сумма корней есть второй коэффициент с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. К примеру, по виду квадратного уравнения 3 · x 2 − 7 · x + 22 = 0 возможно сразу определить, что сумма его корней равна 7 3 , а произведение корней – 22 3 .
Также можно найти ряд прочих связей между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Например, сумма квадратов корней квадратного уравнения может быть выражена через коэффициенты:
x 1 2 + x 2 2 = ( x 1 + x 2 ) 2 – 2 · x 1 · x 2 = – b a 2 – 2 · c a = b 2 a 2 – 2 · c a = b 2 – 2 · a · c a 2 .
[spoiler title=”источники:”]
http://1ku.ru/obrazovanie/9864-metody-resheniya-kvadratnyx-uravnenij-formula-vieta-dlya-kvadratnogo-uravneniya/
http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/systems/reshenie-kvadratnyh-uravnenij/
[/spoiler]
10.12.2020 16:41
Дополнительное знание по решению квадратных уравнений для любознательных . Показаны квадратные уравнения, которых можно решить быстрее, без дискриминанта, также без теорем Виета.
Просмотр содержимого документа
«Квадратные уравнения, которые решаются без дискриминанта и теоремы Виета»
Решение квадратного уравнения
без дискриминанта
и
теоремы Виета
- 7 х 2 + 9 х + 2 = 0
7 + 2 = 9
х 1 = -1,
х 2 = – 2/7
- 2 х 2 + 3 х – 5 = 0
2 + 3 – 5 =0
х 1 = 1,
х 2 = – 5/2 = -2,5
Решите уравнение
1) х 2 + 3х – 4 = 0 4) 6х 2 – 7х + 1 = 0
2) х 2 – 5х – 6 = 0 5) 2х 2 – 5х + 3 = 0
3) 5х 2 – 8х + 3 = 0 6) х 2 + 7х – 8 = 0
ответы
- 1 ) 1; -4
- 2) -1; -6
- 3) 1; 3/5
- 4) 1; 1/6
- 5) 1; 3/2
- 6) 1; -8
-
-
May 9 2022, 13:43
- Дети
- Cancel
Решаем квадратные уравнения без дискриминанта
Математика – очень красивая и логичная наука.
Понятно, что практически любого ученика 9 класса можно надрессировать на сдачу первой части ОГЭ.
И дети искренне не понимают, когда просишь их решить квадратное уравнение без дискриминанта.
Потому что это быстрее, потому что не надо возводить двухзначные числа в квадрат ( на тестировании МЦКО в 8 классе нельзя было пользоваться таблицей квадратов), потому что можно применить формулы сокращенного умножения(которые к 9 классу выветриваются из памяти).
В апреле мне попались целых две задачи, на примере которых я и разобрала с учениками 8-9 классов способ решения квадратного уравнения без дискриминанта.
Первая задача:
Геометрическая, номер 23 из варианта ОГЭ
Периметр прямоугольника равен 56, а диагональ равна 27.
Найти площадь прямоугольника.
В начале решения хочется вспомнить, что полупериметр часто удобнее периметра.
https://klarissa45.livejournal.com/79431.html
https://klarissa45.livejournal.com/260146.html
Поэтому, применяя теорему Пифагора мы обозначим одну сторону прямоугольника за Х , а другую за (28-Х)
Но нас не просят находить эти стороны. Нас просят найти площадь, а это будет произведение Х на (28-Х)
S=Х(28-Х)
Поэтому мы не будем решать квадратное уравнение
Х²+(28-Х)²=27²
Мы будем дополнять сумму до полного квадрата, а чтобы равентво не изменилось, добавим произведение и к правой части равенства.
Х²+(28-Х)²+2Х(28-Х)=56²+2Х(28-Х)
Тогда
(Х+28-Х)²=27²+2Х(28-Х)
28²=27²+2Х(28-Х)
заменим произведение на S
28²=27²+2S
тогда
2S=28²-27²
используем формулу разности квадратов
2S=(28-27)(28+27)
получим
S=27,5
вот и всё, быстро, легко и красиво.
Вторая задача:
Текстовая, из недавнего тестирования МЦКО для 8 классов
https://klarissa45.livejournal.com/406026.html
Аналогична задаче 21 из ОГЭ (вторая часть)
Катер в 10.00 вышел из пункта А, прошел 21 км по течению реки до пункта Б, сделал остановку на 20 минут.
И вернулся в пункт А в 13.00 того же дня.
Найдите собственную скорость катера, если скорость течения равна 2км/ч
После преобразований получаем уравнение
4Х²-63Х-16=0
Мои восьмиклассники очень плохо считают. А корни извлекать совсем не умеют и не хотят учиться (дети писали в два дня, зная задания, я перед вторым днем стала учить детей извлекать корни из четырехзначного числа).
Поэтому надо представить -63Х как -64Х+Х
Потом сгруппировать и вынести общий множитель.
Получим уравнение 4(Х+0,25)(Х-16)=0
Которое очень легко решается.
Замечу, что у каждого второго ребенка есть репетитор.
Но он просто выполняет с ребенком домашнее задание.
Вместо того, чтобы учить приемам быстрого счета, вычислительным хитростям и тд
Поэтому дети так и не знают таблицу умножения, формулы сокращенного умножения, не могут выделять квадрат двухчлена.
Я рассказываю всё это детям на уроках, но они считают, что и без этого всё решат или спишут.
Трудиться дети не привыкли.
