Как найти корни по теореме виета онлайн - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Решение квадратных уравнений

Квадратные уравнения начинают разбирать в 8-м классе средней школы. В их решении нет ничего трудного. В интернете существует много разных онлайн площадок, где для решения данных уравнений на помощь придет подходящий калькулятор.

Квадратные уравнения – это алгебраические действия, имеющие 2-ю степень общего вида:

a·x² + b·x + c = 0

Коэффициентами здесь будут являться производные: a, b, c, и a ≠ 0.

В начале изучения всех существующих способов вычислений, следует отметить, что квадратные уравнения разделяются на три вида:

Без корня;
Имеющий только один корень;
Имеющий 2 разных корня.

Метод определения корней

Чтобы вычислить то, сколько имеется корней в уравнении, следует воспользоваться дискриминантом.

Дискриминант

У уравнения a·x² + b·x + c = 0 дискриминант является обычным: D = b² − 4ac.

Представленную формулу желательно хорошенько выучить. Совершенно не важно ее происхождение. Основным является то, сколько именно корней будет находиться в квадратном уравнении. Это определяется по дискриминанту.

Делается все следующим образом:

Если D < 0, корней нет;
Если D = 0, есть только один корень;
Если D > 0, будет два корня.

Очень важно учесть то, что дискриминант всегда говорит о том, сколько корней, а не обозначений.

Если обратиться к примерам, то все станет понятным:

Возьмем задачу именно на количество корней, имеющих квадратные уравнения:

x² − 8x + 12 = 0;
5x² + 3x + 7 = 0;
x² − 6x + 9 = 0.

После чего запишем коэффициенты для 1-го уравнения и таким образом, определим дискриминант:

a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8)² − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16

В итоге мы получаем положительный дискриминант. Именно поэтому уравнение будет содержать два разных корня.

У другого уравнения решение точно такое же:

a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3² − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.

Здесь корней нет, а дискриминант отрицательный.

Сделаем еще один разбор:

a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6)² − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.

Итог: Один корень, дискриминант равняется 0.

Также очень важно, чтобы коэффициенты были написаны к конкретному уравнению. Возможно это нудно и долго — но зато есть гарантия того, что никакие глупые ошибки не произойдут, а коэффициенты не перепутаются. И здесь нужно самостоятельно сделать ставку либо на скорость, либо на качество.

Если выработать определенную сноровку, то через какое-то время выписывать коэффициенты совсем не потребуется. Все эти манипуляции и вычисления будут спокойно выполняться в уме. Это будет происходить у большинства людей примерно после того, как будет решено около 70-ти уравнений. Согласитесь, что цифра не такая уж значительная.

Корни квадратного уравнения

Важнейшая формула корня квадратного уравнения при дискриминанте D > 0

Если D = 0, то, пользуясь такими формулами, можно получить такое же число. Именно оно и будет являться ответом.

А если, например, D < 0 и корней нет, то считать больше не нужно.

Таким образом, когда есть знание формул и умение считать, то никаких проблем не будет. Обычно разного рода накладки могут появляться, когда в формулу подставляются отрицательные коэффициенты.

На помощь придет прием, когда нужно глядя на формулу перед собой, конкретно расписывать свои действия. Тогда можно быстро устранить все ошибки.

Неполные квадратные уравнения

Квадратные уравнения могут иметь отличия от определений. К примеру:

x² + 9x = 0;
x² − 16 = 0.

Видно, что в уравнениях нет одного слагаемого. Эти квадратные уравнения вычисляются намного легче, чем уравнения стандартного плана, потому что тут не нужно считать дискриминант.

Разберем положение:

Неполное квадратное уравнение: ax² + bx + c = 0,

где b = 0 или c = 0, то есть коэффициент или свободный элемент = 0 при переменной x.

Или в более сложном случае b = c = 0, где оба коэффициента = 0.

И тогда уравнение уже выглядит так: ax² = 0.

И у него единственный корень: x = 0.

Также следует изучить и другие способы:

Например: b = 0, и мы здесь получаем неполное квадратное уравнение: ax² + c = 0.

Если чуть-чуть его преобразовать, то получится:

Решение неполного квадратного уравнения

Из-за того, что квадратный корень получается лишь из неотрицательного числа, то крайнее равенство имеет смысл только при (−c/a) ≥ 0.

На основании чего делаем заключение:

1) Когда в неполном квадратном уравнении: ax² + c = 0

есть неравенство (−c/a) ≥ 0, то получится два корня.

2) А когда (−c/a)< 0, то корней не будет.

Таким образом дискриминант нам даже не потребовался. В неполных квадратных уравнениях трудных вычислений нет.

Поэтому не нужно помнить неравенство (−c/a) ≥ 0. Можно указать величину x² и взглянуть, что находится с противоположной стороны от знака (=) равно.

Если какое-то положительное число — то в нем будет два корня.

Если какое-то отрицательное число — то корней здесь вообще не будет.

Далее необходимо разобраться с уравнением: ax² + bx = 0,

Здесь свободный элемент = 0. А значит будет всегда именно 2 корня.

Нужно только многочлен распределить на множители:

Если какой-то множитель = 0, то произведение тоже будет = 0.

Вычисление квадратных уравнений:

x² − 7x = 0;
5x² + 30 = 0;
4x² − 9 = 0.

x² − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x² + 30 = 0 ⇒ 5x² = −30 ⇒ x² = −6.

Корни здесь отсутствуют, поскольку квадрат не является отрицательному числу равным.

4x² − 9 = 0 ⇒ 4x² = 9 ⇒ x2 = 9/4 ⇒ x1 = 3/2 = 1,5; x2 = −1,5.

Теорема Виета

Квадратное уравнение: x² + bx + c = 0.

Если здесь есть корни x1 и x2, то будут верны такие определения:

1) x1 + x2 = −b.

Здесь сумма корней квадратного уравнения равняется коэффициенту переменной x, который находится с противоположным знаком;

2) x1 · x2 = c.

В данном варианте произведение корней равняется свободному коэффициенту.

Например:

x² − 9x + 20 = 0 ⇒ x1 + x2 = − (−9) = 9; x1 · x2 = 20; корни: x1 = 4; x2 = 5;
x² + 2x − 15 = 0 ⇒ x1 + x2 = −2; x1 · x2 = −15; корни: x1 = 3; x2 = −5;
x² + 5x + 4 = 0 ⇒ x1 + x2 = −5; x1 · x2 = 4; корни: x1 = −1; x2 = −4.

Теорема Виета указывает на добавленную информацию о корнях квадратного уравнения. Кому-то она кажется немного трудной, но если чуть-чуть потренироваться, то корни можно вычислять очень быстро, и также быстро угадывать их.

Данная теорема способна упрощать решение квадратных уравнений. Поэтому ставим большое НЕТ каким-то трудным вычислениям, арифметическим корням и дробям. Нам не понадобился также и дискриминант.

Когда в результате решения получается «не хорошее» квадратное уравнение (коэффициент при x² отличается от 1-го), это исправляется очень легко — стоит только посмотреть на примеры выше.

Как решать квадратные уравнения по теореме?

Шаг 1. Всегда сводить квадратное уравнение к тому, которое приведено, но только если это не выполнено в условиях самой задачи.

Шаг 2. Если коэффициенты в квадратном уравнении являются дробными, решение осуществляется через дискриминант.

Шаг 3. Если коэффициенты целочисленные – решение происходит по теореме Виета.

Шаг 4. Если угадать корни в течение нескольких секунд не удалось, оставляем теорему Виета и делаем решение через дискриминант.

❓ Вопросы и ответы

Сейчас мы предлагаем вам посмотреть ответы на вопросы, которые часто задаются на данную тему.

Что такое квадратное уравнение?

Квадратное уравнение – это уравнение вида ax^2 + bx + c = 0, где a, b и c являются коэффициентами, x – неизвестная переменная, а 0 – константа.

Как решить квадратное уравнение?

Для решения квадратного уравнения нужно использовать формулу x = (-b ± √(b^2 – 4ac))/2a, где a, b и c являются коэффициентами уравнения. Сначала нужно вычислить значение выражения под корнем, а затем подставить его в формулу для нахождения значения x.

Что означают корни квадратного уравнения?

Корни квадратного уравнения – это значения x, при которых уравнение ax^2 + bx + c = 0 имеет решение. Если корень равен нулю, то это означает, что уравнение имеет только один корень.

Как определить тип корней квадратного уравнения?

Тип корней квадратного уравнения определяется по значению дискриминанта D = b^2 – 4ac. Если D > 0, то уравнение имеет два различных корня. Если D = 0, то уравнение имеет один корень кратности два. Если D < 0, то уравнение имеет два комплексных корня.

Можно ли решить квадратное уравнение методом подбора?

Да, квадратное уравнение можно решить методом подбора. Однако этот метод не всегда является эффективным, особенно если коэффициенты a, b и c не являются целыми числами.

Как проверить правильность решения квадратного уравнения?

Чтобы проверить правильность решения квадратного уравнения, нужно подставить найденные значения x в исходное уравнение и убедиться, что обе его части равны.

Калькулятор онлайн.
Решение квадратного уравнения.

С помощью этой математической программы вы можете решить квадратное уравнение.

Программа не только даёт ответ задачи, но и отображает процесс решения двумя способами:
– с помощью дискриминанта
– с помощью теоремы Виета (если возможно).

Причём, ответ выводится точный, а не приближенный.
Например, для уравнения (81x^2-16x-1=0) ответ выводится в такой форме:

$$ x_1 = frac{8+sqrt{145}}{81}, quad x_2 = frac{8-sqrt{145}}{81} $$

а не в такой: ( x_1 = 0,247; quad x_2 = -0,05 )

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и
экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре.
А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее
сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным
решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень
образования в области решаемых задач повышается.

Если вы не знакомы с правилами ввода квадратного многочлена, рекомендуем с ними ознакомиться.

Правила ввода квадратного многочлена

В качестве переменной может выступать любая латинсая буква.
Например: ( x, y, z, a, b, c, o, p, q ) и т.д.

Числа можно вводить целые или дробные.
Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.

Правила ввода десятичных дробей.
В десятичных дробях дробная часть от целой может отделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так: 2.5x – 3,5x^2

Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.

Знаменатель не может быть отрицательным.

При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &

Ввод: 3&1/3 – 5&6/5z +1/7z^2
Результат: ( 3frac{1}{3} – 5frac{6}{5} z + frac{1}{7}z^2 )

При вводе выражения можно использовать скобки. В этом случае при решении квадратного уравнения введённое выражение сначала упрощается.
Например: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

Примеры подробного решения >>

Наши игры, головоломки, эмуляторы:

Немного теории.

Квадратное уравнение и его корни. Неполные квадратные уравнения

Каждое из уравнений
( -x^2+6x+1{,}4=0, quad 8x^2-7x=0, quad x^2-frac{4}{9}=0 )
имеет вид
( ax^2+bx+c=0, )
где x – переменная, a, b и c – числа.
В первом уравнении a = -1, b = 6 и c = 1,4, во втором a = 8, b = —7 и c = 0, в третьем a = 1, b = 0 и c = 4/9. Такие уравнения
называют квадратными уравнениями.

Определение.
Квадратным уравнением называется уравнение вида ax²+bx+c=0, где x – переменная, a, b и c – некоторые числа,
причём ( a neq 0 ).

Числа a, b и c — коэффициенты квадратного уравнения. Число a называют первым коэффициентом, число b — вторым коэффициентом и
число c — свободным членом.

В каждом из уравнений вида ax²+bx+c=0, где ( a neq 0 ), наибольшая степень переменной x — квадрат. Отсюда и название:
квадратное уравнение.

Заметим, что квадратное уравнение называют ещё уравнением второй степени, так как его левая часть есть многочлен второй степени.

Квадратное уравнение, в котором коэффициент при x² равен 1, называют приведённым квадратным уравнением.
Например, приведёнными квадратными уравнениями являются уравнения
( x^2-11x+30=0, quad x^2-6x=0, quad x^2-8=0 )

Если в квадратном уравнении ax²+bx+c=0 хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю, то такое уравнение называют
неполным квадратным уравнением. Так, уравнения -2x²+7=0, 3x²-10x=0, -4x²=0 – неполные
квадратные уравнения. В первом из них b=0, во втором c=0, в третьем b=0 и c=0.

Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов:
1) ax²+c=0, где ( c neq 0 );
2) ax²+bx=0, где ( b neq 0 );
3) ax²=0.

Рассмотрим решение уравнений каждого из этих видов.

Для решения неполного квадратного уравнения вида ax²+c=0 при ( c neq 0 ) переносят его свободный член в правую часть
и делят обе части уравнения на a:
( x^2 = -frac{c}{a} Rightarrow x_{1,2} = pm sqrt{ -frac{c}{a}} )

Так как ( c neq 0 ), то ( -frac{c}{a} neq 0 )

Если ( -frac{c}{a}>0 ), то уравнение имеет два корня.

Если ( -frac{c}{a}<0 ), то уравнение не имеет корней (квадратный корень из отрицательного числа извлекать нельзя).

Для решения неполного квадратного уравнения вида ax²+bx=0 при ( b neq 0 ) раскладывают его левую часть на множители
и получают уравнение
( x(ax+b)=0 Rightarrow left{ begin{array}{l} x=0 \ ax+b=0 end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l} x=0 \ x=-frac{b}{a} end{array} right. )

Значит, неполное квадратное уравнение вида ax²+bx=0 при ( b neq 0 ) всегда имеет два корня.

Неполное квадратное уравнение вида ax²=0 равносильно уравнению x²=0 и поэтому имеет единственный корень 0.

Формула корней квадратного уравнения

Рассмотрим теперь, как решают квадратные уравнения, в которых оба коэффициента при неизвестных и свободный член отличны от нуля.

Решим квадратне уравнение в общем виде и в результате получим формулу корней. Затем эту формулу можно будет применять при решении любого
квадратного уравнения.

Решим квадратное уравнение ax²+bx+c=0

Разделив обе его части на a, получим равносильное ему приведённое квадратное уравнение
( x^2+frac{b}{a}x +frac{c}{a}=0 )

Преобразуем это уравнение, выделив квадрат двучлена:
( x^2+2x cdot frac{b}{2a}+left( frac{b}{2a}right)^2- left( frac{b}{2a}right)^2 + frac{c}{a} = 0 Rightarrow )

( x^2+2x cdot frac{b}{2a}+left( frac{b}{2a}right)^2 = left( frac{b}{2a}right)^2 – frac{c}{a} Rightarrow )

( left( x+frac{b}{2a}right)^2 = frac{b^2}{4a^2} – frac{c}{a} Rightarrow left( x+frac{b}{2a}right)^2 = frac{b^2-4ac}{4a^2} Rightarrow )

( x+frac{b}{2a} = pm sqrt{ frac{b^2-4ac}{4a^2} } Rightarrow x = -frac{b}{2a} + frac{ pm sqrt{b^2-4ac} }{2a} Rightarrow )

( x = frac{ -b pm sqrt{b^2-4ac} }{2a} )

Подкоренное выражение называют дискриминантом квадратного уравнения ax²+bx+c=0 («дискриминант» по латыни —
различитель). Его обозначают буквой D, т.е.
( D = b^2-4ac )

Теперь, используя обозначение дискриминанта, перепишем формулу для корней квадратного уравнения:
( x_{1,2} = frac{ -b pm sqrt{D} }{2a} ), где ( D= b^2-4ac )

Очевидно, что:
1) Если D>0, то квадратное уравнение имеет два корня.
2) Если D=0, то квадратное уравнение имеет один корень ( x=-frac{b}{2a} ).
3) Если D<0, то квадратное уравнение не имеет корней, т.к. извлекать корень из отрицательного числа нельзя.

Таким образом, в зависимости от значения дискриминанта квадратное уравнение может иметь два корня (при D > 0), один корень
(при D = 0) или не иметь корней (при D < 0).

При решении квадратного уравнения по данной формуле целесообразно поступать следующим образом:
1) вычислить дискриминант и сравнить его с нулём;
2) если дискриминант положителен или равен нулю, то воспользоваться формулой корней, если дискриминант отрицателен, то записать,
что корней нет.

Теорема Виета

Приведённое квадратное уравнение ax²-7x+10=0 имеет корни 2 и 5. Сумма корней равна 7, а произведение равно 10.
Мы видим, что сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному
члену. Таким свойством обладает любое приведённое квадратное уравнение, имеющее корни.

Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней
равно свободному члену.

Т.е. теорема Виета утверждает, что корни x₁ и x₂ приведённого квадратного уравнения x²+px+q=0
обладают свойством:
( left{ begin{array}{l} x_1+x_2=-p \ x_1 cdot x_2=q end{array} right. )

Источник

Квадратное уравнение — это уравнение вида:

[a*x^{2}+b*x+c=0]

Решается это уравнение через вычисление дискриминанта и нахождение корней. В зависимости от знака дискриминанта, количество корней:

больше нуля — два корня
равен нулю — один корень
меньше нуля — нет корней

Решить квадратное уравнение через дискриминант с формулами позволяет наш калькулятор:

Числовые значения в таблице заполняются числом (5; 5.16; -3.12), либо математическим выражением (5/7; (1-5)*2.13)

Введите данные:

Округление:

* – обязательно заполнить

Уравнение:

(a * x^{2} + b * x + c) = (-8 * x^{2} + 4 * x ) = 0

Дискриминант:

(D = b^{2} – 4 * a * c) = (4^{2} – 4 *(-8) * 0) = (16 ) = 16

Корни квадратного уравнения:

(x_{1} = frac{-b + sqrt{D}}{2*a}) = (frac{-4 + sqrt{16}}{2*(-8)}) = (frac{-4 + 4}{-16}) = 0

(x_{2} = frac{-b – sqrt{D}}{2*a}) = (frac{-4 – sqrt{16}}{2*(-8)}) = (frac{-4 – 4}{-16}) = 0.5 (1/2)

Решение по теореме Виета

Преобразование в приведённый вид

Преобразуем квадратное уравнение в приведенное (разделим все части нашего уравнения на коэффициент a):
(frac{a}{a}x^{2}+frac{b}{a}*x+frac{c}{a}) = (x^{2}+frac{4}{-8}*x+frac{0}{-8}) = (x^{2} -0.5 * x )

Итого, имеем приведенное уравнение:
(x^{2} -0.5 * x = 0)

Теорема Виета выглядит следующим образом:
(x_{1}*x_{2}=c)
(x_{1}+x_{2}=-b)

Мы получаем следующую систему уравнений:
(x_{1}*x_{2}=0)
(x_{1}+x_{2}=0.5)

Методом подбора получаем:
(x_{1} = 0)
(x_{2} = 0.5 (1/2))

Разложение на множители

Разложение происходит по формуле:
(a*(x-x_{1})*(x-x_{2}) = 0)

То есть у нас получается:
(-8*(x)*(x-0.5) = 0)

Неполное квадратное уравнение — это квадратное уравнение, где c=0. Формула неполного квадратного уравнения:

[a*x^{2}+b*x=0]

Его наш калькулятор также с успехом решает.

2.5
6
голоса

Рейтинг статьи

Источник

Квадратное уравнение — это уравнение вида:

$y = ax^{2}+bx+c$

Приведенное квадратное уравнение — это уравнение, в котором коэффициент a равен 1. То есть уравнение вида:

$y = x^{2}+bx+c$

Неполное квадратное уравнение — это квадратное уравнение, в котором коэффициент b или с (или оба) равен нулю. Пример:

$y = 5x^{2}+c$

Неполных приведенные квадратные уравнения:
$y = x^{2}+c$
$y = x^{2}+bx$
$y = x^{2}$

Наш калькулятор легко решает любые из них.