Как найти корни тангенса на отрезке

В этой статье и постараюсь объяснить 2 способа отбора корней в тригонометрическом уравнение: с помощью неравенств и с помощью тригонометрической окружности. Перейдем сразу к наглядному примеру и походу дела будем разбираться.

а) Решить уравнение sqrt(2)cos^2x=sin(Pi/2+x)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [-7Pi/2; -2Pi]

Решим пункт а.

Воспользуемся формулой приведения для синуса sin(Pi/2+x) = cos(x)

sqrt(2)cos^2x = cosx

sqrt(2)cos^2x – cosx = 0

cosx(sqrt(2)cosx – 1) = 0

cosx = 0

x1 = Pi/2 + Pin, n ∈ Z

sqrt(2)cosx – 1 = 0

cosx = 1/sqrt(2)

cosx = sqrt(2)/2

x2 = arccos(sqrt(2)/2) + 2Pin, n ∈ Z
x3 = -arccos(sqrt(2)/2) + 2Pin, n ∈ Z

x2 = Pi/4 + 2Pin, n ∈ Z
x3 = -Pi/4 + 2Pin, n ∈ Z

Решим пункт б.

1) Отбор корней с помощью неравенств

Здесь все делается просто, полученные корни подставляем в заданный нам промежуток [-7Pi/2; -2Pi], находим целые значения для n.

-7Pi/2 меньше или равно Pi/2 + Pin меньше или равно -2Pi

Сразу делим все на Pi

-7/2 меньше или равно 1/2 + n меньше или равно -2

-7/2 – 1/2 меньше или равно n меньше или равно -2 – 1/2

-4 меньше или равно n меньше или равно -5/2

Целые n в этом промежутку это -4 и -3. Значит корни принадлежащие этому промежутку буду Pi/2 + Pi(-4) = -7Pi/2, Pi/2 + Pi(-3) = -5Pi/2

Аналогично делаем еще два неравенства

-7Pi/2 меньше или равно Pi/4 + 2Pin меньше или равно -2Pi
-15/8 меньше или равно n меньше или равно -9/8

Целых n в этом промежутке нет

-7Pi/2 меньше или равно -Pi/4 + 2Pin меньше или равно -2Pi
-13/8 меньше или равно n меньше или равно -7/8

Одно целое n в этом промежутку это -1. Значит отобранный корень на этом промежутку -Pi/4 + 2Pi*(-1) = -9Pi/4.

Значит ответ в пункте б: -7Pi/2, -5Pi/2, -9Pi/4

2) Отбор корней с помощью тригонометрической окружности

Чтобы пользоваться этим способом надо понимать как работает эта окружность. Постараюсь простым языком объяснить как это понимаю я. Думаю в школах на уроках алгебры эта тема объяснялась много раз умными словами учителя, в учебниках сложные формулировки. Лично я понимаю это как окружность, которую можно обходить бесконечное число раз, объясняется это тем, что функции синус и косинус периодичны.

Обойдем раз против часовой стрелки

Обойдем 2 раза против часовой стрелки

Обойдем 1 раз по часовой стрелки (значения будут отрицательные)

Вернемся к нашем вопросу, нам надо отобрать корни на промежутке [-7Pi/2; -2Pi]

Чтобы попасть к числам -7Pi/2 и -2Pi надо обойти окружность против часовой стрелки два раза. Для того, чтобы найти корни уравнения на этом промежутке надо прикидывать и подставлять.

Рассмотри x = Pi/2 + Pin. Какой приблизительно должен быть n, чтобы значение x было где-то в этом промежутке? Подставляем, допустим -2, получаем Pi/2 – 2Pi = -3Pi/2, очевидно это не входит в наш промежуток, значит берем меньше -3, Pi/2 – 3Pi = -5Pi/2, это подходит, попробуем еще -4, Pi/2 – 4Pi = -7Pi/2, также подходит.

Рассуждая аналогично для Pi/4 + 2Pin и -Pi/4 + 2Pin, находим еще один корень -9Pi/4.

Сравнение двух методов.

Первый способ (с помощью неравенств) гораздо надежнее и намного проще для пониманию, но если действительно серьезно разобраться с тригонометрической окружностью и со вторым методом отбора, то отбор корней будет гораздо быстрее, можно сэкономить около 15 минут на экзамене.

Просмотры: 157052 |
Статью добавил: slava191 |
Категория: математика

Источник

Отбор корней в тригонометрическом уравнение

а) Решить уравнение sqrt(2)cos^2x=sin(Pi/2+x)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [-7Pi/2; -2Pi]

Решим пункт а.

Воспользуемся формулой приведения для синуса sin(Pi/2+x) = cos(x)

sqrt(2)cos^2x – cosx = 0

cosx(sqrt(2)cosx – 1) = 0

x1 = Pi/2 + Pin, n ∈ Z

sqrt(2)cosx – 1 = 0

x2 = arccos(sqrt(2)/2) + 2Pin, n ∈ Z
x3 = -arccos(sqrt(2)/2) + 2Pin, n ∈ Z

x2 = Pi/4 + 2Pin, n ∈ Z
x3 = -Pi/4 + 2Pin, n ∈ Z

Решим пункт б.

1) Отбор корней с помощью неравенств

-7Pi/2 меньше или равно Pi/2 + Pin меньше или равно -2Pi

Сразу делим все на Pi

-7/2 меньше или равно 1/2 + n меньше или равно -2

-7/2 – 1/2 меньше или равно n меньше или равно -2 – 1/2

-4 меньше или равно n меньше или равно -5/2

Аналогично делаем еще два неравенства

-7Pi/2 меньше или равно Pi/4 + 2Pin меньше или равно -2Pi
-15/8 меньше или равно n меньше или равно -9/8

Целых n в этом промежутке нет

-7Pi/2 меньше или равно -Pi/4 + 2Pin меньше или равно -2Pi
-13/8 меньше или равно n меньше или равно -7/8

Одно целое n в этом промежутку это -1. Значит отобранный корень на этом промежутку -Pi/4 + 2Pi*(-1) = -9Pi/4.

Значит ответ в пункте б: -7Pi/2, -5Pi/2, -9Pi/4

2) Отбор корней с помощью тригонометрической окружности

Обойдем раз против часовой стрелки

Обойдем 2 раза против часовой стрелки

Обойдем 1 раз по часовой стрелки (значения будут отрицательные)

Вернемся к нашем вопросу, нам надо отобрать корни на промежутке [-7Pi/2; -2Pi]

Рассуждая аналогично для Pi/4 + 2Pin и -Pi/4 + 2Pin, находим еще один корень -9Pi/4.

Сравнение двух методов.

Способы отбора корней в тригонометрических уравнениях

Класс: 10

Автор проекта:
Шелкова Полина,
Класс: 10

Руководитель:
Злобова Людмила Викторовна,
учитель математики

ВВЕДЕНИЕ

Слово «тригонометрия» греческое, оно переводится как «измерение треугольников» (τρίγονον – «тригон» – треугольник и μετρειν – «метрео» – измеряю).

Тригонометрия, как и всякая другая наука, выросла из практической деятельности человека. Потребности развивающегося мореплавания, для которого требовалось умение правильно определять курс корабля в открытом море по положению небесных светил, оказали большое влияние на развитие астрономии и тесно связанной с ней тригонометрией. Предполагают, что основополагающее значение для развития тригонометрии в эпоху ее зарождения, имели работы древнегреческого астронома Гиппарха Никейского (180-125 лет до н. э.) (прил. №3). Систематическое использование полной окружности в 360° установилось в основном благодаря Гиппарху и его таблице хорд (прил. №2). Т.е. таблицы, которые выражают длину хорды для различных центральных углов в круге постоянного радиуса, что является аналогом современных таблиц тригонометрических функций. Впрочем, до нас не дошли оригинальные таблицы Гиппарха, как и почти все, что им написано. И мы, можем составить себе о них представление главным образом по сочинению «Великое построение» или «Альмагесту» знаменитого астронома Клавдия Птолемея, жившего в середине II века н.э.

Несмотря на то, что в работах ученых древности нет «тригонометрии» в строгом смысле этого слова, но по существу они, пользуясь известными им средствами элементарной геометрии, решали те задачи, которыми занимается тригонометрия. Например, задачи на решение треугольников (определение всех сторон и углов треугольника по трем его известным элементам), теоремы Евклида и Архимеда представленные в геометрическом виде, эквивалентны специфическим тригонометрическим формулам. Главным достижением средневековой Индии стала замена хорд синусами. Это позволило вводить различные функции, связанные со сторонами и углами прямоугольного треугольника. Таким образом, в Индии было положено начало тригонометрии, как учению о тригонометрических величинах.

Учёные стран Ближнего и Среднего Востока с VIII века развили тригонометрию своих предшественников. Уже в середине IX века среднеазиатский учёный аль-Хорезми написал сочинение «Об индийском счёте». После того, как трактаты мусульманских ученых были переведены на латынь, многие идеи греческих, индийских и мусульманских математиков стали достоянием европейской, а затем и мировой науки. В дальнейшем потребности географии, геодезии, военного дела, способствовали развитию тригонометрии. Особенно усиленно шло ее развитие в средневековое время. Большая заслуга в формировании тригонометрии как отдельной науки принадлежит азербайджанскому ученому Насир ад-Дину ат-Туси (1201-1274), написавшему «Трактат о полном четырехстороннике». Творения ученых этого периода привели к выделению тригонометрии как нового самостоятельного раздела науки. Однако в их трудах еще не была введена необходимая символика. Современный вид тригонометрия получила в трудах Леонарда Эйлера (1707-1783). На основании трудов Эйлера были составлены учебники тригонометрии, излагавшие ее в строгой научной последовательности (прил. №4). Тригонометрические вычисления применяются во многих областях человеческой деятельности: в геометрии, в физике, в астрономии, в архитектуре, в геодезии, инженерном деле, в акустике, в электронике и т.д.

I РАЗДЕЛ (теоретический)

Тема проекта и её актуальность: почему я выбрала тему «Способы отбора корней в тригонометрических уравнениях»?

Расширить и углубить свои знания, полученные в курсе геометрии 8-9 класса.
Тригонометрические уравнения рассматриваются в курсе алгебры и начал математического анализа 10-11 класса.
Тригонометрические уравнения включены в КИМы ЕГЭ по математике.

Решение тригонометрических уравнений и отбор корней, принадлежащих заданному промежутку – это одна из сложнейших тем математики, которая выносится на Единый Государственный Экзамен. По результатам анкетирования многие учащиеся затрудняются или вообще не умеют решать тригонометрические уравнения и особенно затрудняются в отборе корней, принадлежащих промежутку. Немаловажно также знать, тригонометрические формулы, табличные значения тригонометрических функций для решения целого ряда заданий Единого Государственного Экзамена по математике.

Цель проекта: изучить способы отбора корней в тригонометрических уравнениях и выбрать для себя наиболее рациональные подходы для качественной подготовки к ЕГЭ.

Задачи:

познакомиться с историческими сведениями о возникновении тригонометрии, как науки;
изучить соответствующую литературу;
научиться решать тригонометрические уравнения;
найти теоретический материал и изучить методы отбора корней в тригонометрических уравнениях;
научиться отбирать корни в тригонометрических уравнениях, принадлежащим заданному промежутку;
подготовиться к ЕГЭ по математике.

Приёмы отбора корней тригонометрического уравнения на заданном промежутке.

При решении тригонометрических уравнений предлагается провести отбор корней из множества значений неизвестного. В тригонометрическом уравнении отбор корней можно осуществлять следующими способами: арифметическим, алгебраическим, геометрическим и функционально-графическим.

Арифметический способ отбора корней состоит в непосредственной подстановке полученных корней в уравнение, учитывая имеющиеся ограничения, при переборе значений целочисленного параметра.

Алгебраический способ предполагает составление неравенств, соответствующих дополнительным условиям, и их решение относительно целочисленного параметра.

Геометрический способ предполагает использование при отборе корней двух вариантов: тригонометрической окружности или числовой прямой. Тригонометрическая окружность более удобна, когда речь идет об отборе корней на промежутке или в случае, когда значение обратных тригонометрических функций, входящих в решения, не являются табличными. В остальных случаях предпочтительнее модель числовой прямой. Числовую прямую удобно использовать при отборе корней на промежутке, длина которого не превосходит 2 или требуется найти наибольший отрицательный или наименьший положительный корень уравнения.

Функционально-графический способ предполагает отбор корней осуществлять с использование графиков тригонометрических функций. Чтобы использовать данный способ отбора корней, требуется умение схематичного построения графиков тригонометрических функций.

II РАЗДЕЛ (практический)

Покажу практически три наиболее эффективных и рациональных, с моей точки зрения, метода отбора корней на примере решения следующего тригонометрического уравнения:

sinx−cos2x=0; [применили формулу двойного угла: cos2x = cos 2 x−sin 2 x]

sinx−(cos 2 x−sin 2 x)=0;

sinx−(1−sin 2 x−sin 2 x)=0;

Введем новую переменную: sinx = t, -1 ≤ t ≤1, получим

Вернемся к замене:

б) Рассмотрим три способа отбора корней, попадающих в отрезок .

1 способ: обратимся к единичной окружности. Отметим на ней дугу, соответствующую указанному отрезку, т.е. выполним отбор корней арифметическим способом и с помощью тригонометрической окружности:

2 способ: указанный отрезок соответствует неравенству: Подставим в него полученные корни:

3 способ: разместим корни уравнения на числовой прямой. Сначала отметим корни, подставив вместо n, и нуль (0), а потом добавим к каждому корню периоды.

Нам останется только выбрать корни, которые попали в нужный нам отрезок.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

При работе над моим проектом я изучила методы решения тригонометрических уравнений и способы отбора корней тригонометрических уравнений. Выяснила для себя положительные и отрицательные моменты. При апробации этих подходов в отборе корней тригонометрического уравнения, понимаешь, что каждый из этих способов удобен по-своему в том или ином случае. Например, алгебраический способ (решение неравенством) наиболее эффективен, когда промежуток для отбора корней достаточно большой, в тоже время он дает практически стопроцентное нахождение целочисленного параметра для вычисления корней, а применение арифметического способа приводит к громоздким вычислениям. При отборе корней уравнения, удовлетворяющих дополнительным условиям, т.е. когда корни уравнения принадлежат заданному промежутку, мне проще и нагляднее получить корни с помощью тригонометрической окружности, а проверить себя можно арифметическим способом. Замечу, что при решении тригонометрических уравнений трудности, связанные с отбором корней, возрастают, если в уравнении приходится учитывать ОДЗ. Как показывает практика и анкетирование моих одноклассников, из четырёх возможных методов отбора корней тригонометрического уравнения по дополнительным условиям, наиболее предпочтительным является отбор корней по окружности. Анкетирование проходили 12 респондентов, изучающих тригонометрию (прил. №5). Большинство из них отвечали, что этот раздел математики достаточно сложный: большой объем информации, очень много формул, табличных значений, которые нужно знать и уметь применять на практике. Еще как одна из проблем – небольшое количество времени, отведенное на изучение этого сложного раздела математики. И я разделяю их мнение. При такой сложности, многие считают, что тригонометрия важный раздел математики, который находит применение в других науках и практической деятельности человека.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб для общеобразоват. организаций: базовый и углубленный уровни/ [С.М.Никольский, М.К.Потапов, Н.Н.Решетников и др.]-3 -е изд.- М.: Просвещение, 2016.
Алгебра и начала математического анализа: Учеб для 10-11 кл.общеобразоват. организаций / А.Н.Колмогоров, А.М.Абрамов, Ю.П.Дудницин и др. под редакцией А.Н.Колмогорова – М. Просвещение, 2017.
С.В Кравцев и др. Методы решения задач по алгебре: от простых до самых сложных – М: Издательство: «Экзамен», 2005.
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. – Тригонометрические уравнения: методы решения и отбор корней. – М.: Математика ЕГЭ, 2012.

Тригонометрические уравнения

Решение простейших тригонометрических уравнений

Градусы и радианы

Знакомство с тригонометрической окружностью

Повороты на тригонометрической окружности

Как много боли связано со словом тригонометрия. Эта тема появляется в 9 классе и уже никуда не исчезает. Тяжело приходится тем, кто чего-то не понял сразу. Попробуем это исправить, чтобы осветить ваше лицо улыбкой при слове тригонометрия или хотя бы добиться «poker face».

Начнем с того, что как длину можно выразить в метрах или милях, так и угол можно выразить в радианах или градусах .

1 радиан = 180/π ≈ 57,3 градусов

Но проще запомнить целые числа: 3,14 радиан = 180 градусов. Это все одно и то же значение числа π.

Вспомним, что если нас просят развернуться, то нам нужно повернуться на 180 градусов, а теперь можно так же сказать: Повернись на π!

О графиках синуса, косинуса и тангеса поговорим в другой статье.

А сейчас начем с декартовой (прямоугольной) системы координат.

Раньше она помогала строить графики, а теперь поможет с синусом и косинусом.

На пересечении оси Х и оси Y построим единичную (радиус равен 1) окружность:

Тогда ось косинусов будет совпадать с х, ось синусов с y. Оси тангенсов и котангенсов также показаны на рисунке.

А теперь отметим основные значения градусов и радиан на окружности.

Давай договоримся с тобой, как взрослые люди: на окружности мы будем отмечать угол в радианах, то есть через Пи.

Достаточно запомнить, что π = 180° (тогда π/6 = 180/6 = 30°; π/3 = 180/3 = 60°; π/4 = 180/4 = 45°).

А теперь давай покрутимся на окружности! За начало отчета принято брать крайнюю правую точку окружности (где 0°):

От нее задаем дальнейший поворот. Вращаться можем как в положительную сторону (против часовой), так и в отрицательную сторону (по часовой стрелке).

Повернуться на 45° можно двумя спобами: через левое плечо на 45° в (+) сторону, либо через правое плечо на 315° в (-).

Главное — направление, куда мы будем смотреть, а не угол!

Нужно направить пунктир на 100 баллов, а сколько оборотов и в какую сторону вокруг себя мы сделаем — без разницы!

Получить 100 баллов можно поворотом на 135° или 360°+135°, или -225°, или -225°-360°.

А теперь у тебя есть два пути:

Выучить всю окружность (тригонометр). Неплохой вариант, если с памятью у тебя все отлично, и ничего не вылетит из головы в ответственный момент:

А можно запомнить несколько табличных углов и соответствующие им значения, а потом использовать их.

Находите равные углы (вертикальные, соответственные) на тригонометрической окружности. Попасть в любую точку можно с помощью суммы или разности двух табличных значений.

Сразу попробуем разобрать на примере:

1) Помним, что ось cos(x) — это горизонтальная ось. На ней отмечаем значение ½ и проводим перпендикулярную (фиолетовую) прямую до пересечений с окружностью.

2) Получили две точки пересечения с окружностью, значение этих углов и будет решением уравнения.

Дело за малым — найти эти углы.

Лучше обойтись «малой кровью» и выучить значение синуса и косинуса для углов от 30° до 60°.

Или запомнить такой прием:

Пронумеруй пальцы от 0 до 4 от мизинца до большого. Угол задается между мизинцем и любым другим пальцем (от 0 до 90).

Например, требуется найти sin(π/2) : π/2 — это большой палец, n = 4 подставляем в формулу для синуса: sin(π/2) = √4/2 = 1 => sin(π/2) = 1.

cos(π/4) – ? π/4 соответсвует среднему пальцу (n = 2) => cos(π/4) = √2/2.

При значении cos(x) = ½ из таблицы или с помощью мнемонического правила находим x = 60° (первая точка x = +π/3 из-за того, что поворот происходил против часовой стерелки (+), угол показан черной дугой).

Вторая же точка соответствует точно такому же углу, только поворот будет по часовой стрелке (−). x = −π/3 (угол показан нижней черной дугой).

И последнее, прежде чем тебе, наконец, откроются тайные знания тригонометрии:

Когда требуется попасть в «100 баллов», мы можем в них попасть с помощью поворота на . =-225°=135°=495°=.

То же самое и здесь! Разные углы могут отражать одно и то же направление.

Абсолютно точно можно сказать, что нужно повернуться на требуемый угол, а дальше можно поворачиваться на 360° = 2π (синим цветом) сколько угодно раз и в любом направлении.

Таким образом, попасть в первое направление 60° можно: . 60°-360°, 60°, 60°+360°.

И как записать остальные углы, не записывать же бесконечное количество точек? (Хотел бы я на это посмотреть☻)

Поэтому правильно записать ответ: x = 60 + 360n, где n — целое число (n∈Ζ) (поворачиваемся на 60 градусов, а после кружимся сколько угодно раз, главное, чтобы направление осталось тем же). Аналогично x = −60 + 360n.

Но мы же договорились, что на окружности все записывают через π, поэтому cos(x) = ½ при x = π/3 + 2πn, n∈Ζ и x = −π/3 + 2πk, k∈Ζ.

Ответ: x = π/3 + 2πn, x= − π/3 + 2πk, (n, k) ∈Ζ.

Пример №2. 2sinx = √2

Первое, что следует сделать, это перенести 2-ку вправо => sinx=√2/2

1) sin(x) совпадает с осью Y. На оси sin(x) отмечаем √2/2 и проводим ⊥ фиолетовую прямую до пересечений с окружностью.

2) Из таблицы sinx = √2/2 при х = π/4, а вторую точку будем искать с помощью поворота до π, а затем нужно вернуться обратно на π/4.

Поэтому вторая точка будет x = π − π/4 = 3π/4, в нее также можно попасть и с помощью красных стрелочек или как-то по-другому.

И еще не забудем добавить +2πn, n∈Ζ.

Ответ: 3π/4 + 2πn и π/4 + 2πk, k и n − любые целые числа.

Пример №3. tg(x + π/4) = √3

Вроде все верно, тангенс равняется числу, но смущает π/4 в тангенсе. Тогда сделаем замену: y = x + π/4.

tg(y) = √3 выглядит уже не так страшно. Вспомним, где ось тангенсов.

1) А теперь на оси тангенсов отметим значение √3, это выше чем 1.

2) Проведем фиолетовую прямую через значение √3 и начало координат. Опять на пересечении с окружностью получается 2 точки.

По мнемоническому правилу при тангенсе √3 первое значение — это π/3.

3) Чтобы попасть во вторую точку, можно к первой точке (π/3) прибавить π => y = π/3 + π = 4π/3.

4) Но мы нашли только y , вернемся к х. y = π/3 + 2πn и y = x + π/4, тогда x + π/4 = π/3 + 2πn => x = π/12 + 2πn, n∈Ζ.

Второй корень: y = 4π/3 + 2πk и y = x + π/4, тогда x + π/4 = 4π/3 + 2πk => x = 13π/12 + 2πk, k∈Ζ.

Теперь корни на окружности будут здесь:

Ответ: π/12 + 2πn и 13π/12 + 2πk, k и n — любые целые числа.

Конечно, эти два ответа можно объединить в один. От 0 поворот на π/12, а дальше каждый корень будет повторяться через каждый π (180°).

Ответ можно записать и так: π/12 + πn, n∈Ζ.

Пример №4: −10ctg(x) = 10

Перенесем (−10) в другую часть: ctg(x) = −1. Отметим значение -1 на оси котангенсов.

1) Проведем прямую через эту точку и начало координат.

2) Придется опять вспомнить, когда деление косинуса на синус даст еденицу (это получается при π/4). Но здесь −1, поэтому одна точка будет −π/4. А вторую найдем поворотом до π, а потом назад на π/4 (π − π/4).

Можно это сделать по-другому (красным цветом), но мой вам совет: всегда отсчитывайте от целых значений пи (π, 2π, 3π. ) так намного меньше шансов запутаться.

Не забываем добавить к каждой точке 2πk.

Ответ: 3π/4 + 2πn и −π/4 + 2πk, k и n — любые целые числа.

Алгоритм решения тригонометрических уравнений (на примере cos(x) = − √ 3/2) :

Отмечаем значение (−√3/2) на оси тригонометрической функции (косинусов, это ось Х).
Проводим перпендикулярную прямую оси (косинусов) до пересечений с окружностью.
Точки пересечения с окружностью и будут являться корнями уравнения.
Значение одной точки (без разницы, как в нее попадете) +2πk.

Азов достаточно, прежде чем идти дальше закрепите полученные знания.

[spoiler title=”источники:”]

http://urok.1sept.ru/articles/687140

http://ik-study.ru/ege_math/trighonomietrichieskiie_uravnieniia

[/spoiler]

Источник

Отбор корней с помощью тригонометрического круга

В заданиях, где требуется отобрать корни тригонометрического уравнения, принадлежащие определенному числовому промежутку, можно использовать тригокруг. Этот метод отбора корней является наиболее распространенным. Его плюсы заключаются в том, что это визуальный метод, т. е. отбор корней происходит наглядно, но у этого есть и свои недостатки – углов бесконечное множество, из которых только 360° можно визуализировать на тригокруге, поэтому может возникнуть путаница с количеством оборотов по нему.

«ОБОРОТЫ» ПО ТРИГОКРУГУ И СООТВЕТВЕТСТВУЮЩИЕ ИМ УГЛЫ:

АЛГОРИТМ ОТБОРА КОРНЕЙ С ПОМОЩЬЮ ТРИГОКРУГА

Отмечаем получившийся угол на тригокруге. Это будет серия ответов – бесконечное количество углов, визуально находящееся на тригокруге в одной точке.
Отмечаем нужную дугу, т. е. обозначаем указанный промежуток, в котором нужно отобрать корни.
Определяем корни, попадающие в эту дугу.
Находим искомые углы учитывая обороты – прибавляем соответствующее количество периодов к отмеченному на окружности углу.

Пример:

Даны корни уравнения:

(x_{1} = frac{pi}{3} + 2pi n, nmathbb{in Z})

(x_{2} = frac{2pi}{3} + 2pi n, nmathbb{in Z})

Найдите корни, принадлежащие отрезку (leftlbrack – pi, frac{3pi}{2} rightrbrack).

Каждый из этих корней включает в себя бесконечное количество углов. Отметим эти серии ответов на тригокруге:

При этом мы знаем, что нужные корни должны находиться на промежутке (leftlbrack – pi, frac{3pi}{2} rightrbrack). Этот промежуток занимает больше, чем один оборот. Обозначим его так:

Так как промежуток занимает больше одного круга, каждая серия ответов так или иначе попадет в этот него.
Теперь определим, на каком обороте серии ответов попадут именно в этот промежуток. Если мы будем идти по тригокругу от (- pi) до (frac{3pi}{2}), то попадем в точки с сериями ответов по одному разу – в первом обороте после нуля. Тогда получим следующие углы:

Запишем ответ.

Ответ: (frac{pi}{3});( frac{2pi}{3}).

Важно! Чтобы решение было обоснованным, очень важно отметить всё на круге: и точки, и углы, и промежуток.

Источник

Автор проекта:

Шелкова Полина,

Класс: 10

Руководитель:

Злобова Людмила Викторовна,

учитель математики

ВВЕДЕНИЕ

I РАЗДЕЛ (теоретический)

Расширить и углубить свои знания, полученные в курсе геометрии 8-9 класса.
Тригонометрические уравнения рассматриваются в курсе алгебры и начал математического анализа 10-11 класса.
Тригонометрические уравнения включены в КИМы ЕГЭ по математике.

Задачи:

познакомиться с историческими сведениями о возникновении тригонометрии, как науки;
изучить соответствующую литературу;
научиться решать тригонометрические уравнения;
найти теоретический материал и изучить методы отбора корней в тригонометрических уравнениях;
научиться отбирать корни в тригонометрических уравнениях, принадлежащим заданному промежутку;
подготовиться к ЕГЭ по математике.

Приёмы отбора корней тригонометрического уравнения на заданном промежутке.

II РАЗДЕЛ (практический)

sinx=cos2x;

sinx−cos2x=0; [применили формулу двойного угла: cos2x = cos²x−sin²x]

sinx−(cos²x−sin²x)=0;

sinx−(1−sin²x−sin²x)=0;

sinx−(1−2sin²x)=0;

2sin²x+sinx−1=0.

Введем новую переменную: sinx = t, -1 ≤ t ≤1, получим

2t²+t-1=0

D=b²-4ac, т.е. D=9

t₁ = -1, t₂ = ½.

Вернемся к замене:

б) Рассмотрим три способа отбора корней, попадающих в отрезок .

2 способ: указанный отрезок соответствует неравенству: Подставим в него полученные корни:

Нам останется только выбрать корни, которые попали в нужный нам отрезок.

Ответ:

(Более подробный пример в приложении №1)

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб для общеобразоват. организаций: базовый и углубленный уровни/ [С.М.Никольский, М.К.Потапов, Н.Н.Решетников и др.]-3 -е изд.- М.: Просвещение, 2016.
Алгебра и начала математического анализа: Учеб для 10-11 кл.общеобразоват. организаций / А.Н.Колмогоров, А.М.Абрамов, Ю.П.Дудницин и др. под редакцией А.Н.Колмогорова – М. Просвещение, 2017.
С.В Кравцев и др. Методы решения задач по алгебре: от простых до самых сложных – М: Издательство: «Экзамен», 2005.
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. – Тригонометрические уравнения: методы решения и отбор корней. – М.: Математика ЕГЭ, 2012.

Электронные ресурсы

https://ru.wikipedia.org/wiki/Тригонометрия
https://www.yaklass.ru/p/ege/matematika/podgotovka-k-ege-po-matematike-profilnyi-uroven-10744/trigonometricheskie-uravneniia-s-ogranicheniiami-zadacha-13-536475/re-a4b9cc95-fe96-40c2-b70c-f46548b726a0
https://mat.1sept.ru/1999/no19.htm
Геометрия. Урок 1. Тригонометрия
https://math-ege.sdamgia.ru/
https://alexlarin.net/ege21.html
https://www.academia.edu/10962821/МАТЕМАТИКА_ЕГЭ_2012_Тригонометрические_уравнения_методы_решений_и_отбор_корней_типовые_задания_С1
http://teacher-andreeva.ru/wp-content/uploads/2016/03/тригоном-ур-я.pdf
https://reshimvse.com/article.php?id=100

Источник

Тригонометрические уравнения

Замена переменной и сведение к квадратному уравнению
Разложение на множители
Однородные уравнения
Введение дополнительного угла
Универсальная подстановка
Учет ОДЗ уравнения
Метод оценки
Тригонометрические уравнения повышенной сложности.
Приемы решения

В данной статье мы расскажем об основных типах тригонометрических уравнений и методах их решения. Тригонометрические уравнения чаще всего встречаются в задаче 12 ЕГЭ.

В вариантах ЕГЭ задача, где нужно решить уравнение, состоит из двух пунктов. Первый пункт – решение самого уравнения. Второй – нахождение его корней на некотором отрезке.

Некоторые из методов (например, замена переменной или разложение на множители) являются универсальными, то есть применяются и в других разделах математики. Другие являются специфическими именно для тригонометрии.

Необходимых формул по тригонометрии не так уж и много. Учите наизусть!
Тригонометрические формулы.

Любой метод решения тригонометрических уравнений состоит в том, чтобы привести их к простейшим, то есть к уравнениям вида sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a.

Если вы не помните, как решать простейшие тригонометрические уравнения, — читайте материал на нашем сайте: Простейшие тригонометрические уравнения, часть 1.

О том, что такое арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс, — еще одна статья на нашем сайте: Простейшие тригонометрические уравнения,часть 2.

Теперь — сами методы. Теория и примеры решения задач.

к оглавлению ▴

Замена переменной и сведение к квадратному уравнению

Это универсальный способ. Применяется в любых уравнениях — степенных, показательных, тригонометрических, логарифмических, каких угодно. Замена не всегда видна сразу, и уравнение нужно сначала преобразовать.

1. а) Решите уравнение: $2cos^{2}x+5sinx=5.$
б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку $displaystyle left [ -frac{pi }{2}; 2pi right ].$

Решение:

а) Рассмотрим уравнение $2cos^{2}x+5sinx=5.$

Преобразуем его, применив основное тригонометрическое тождество:

$2left ( 1-sin^{2} xright )+5sinx=5;$

$2sin^{2}x-5sinx+3=0.$

Заменяя sin x на t, приходим к квадратному уравнению:

$2t^{2}-5t+3=0.$

Решая его, получим:

$displaystyle t_{1}=frac{3}{2}, t_{2}=1.$

Теперь вспоминаем, что мы обозначили за t. Первый корень приводит нас к уравнению $displaystyle sinx=frac{3}{2}.$
Оно не имеет решений, поскольку

Второй корень даёт простейшее уравнение sinx=1.

Решаем его: $displaystyle x=frac{pi }{2}+2pi n, nin Z.$

б) Найдем корни уравнения на отрезке $displaystyle left [ -frac{pi }{2}; 2pi right ]$ с помощью двойного неравенства.

$displaystyle -frac{pi }{2}leq frac{pi }{2}+2pi nleq 2pi .$

Разделим обе части неравенства на pi :

$displaystyle -frac{1}{2}leq frac{1}{2}+2nleq 2.$

Вычтем $displaystyle frac{1}{2}$ из обеих частей неравенства:

Разделим на 2 обе части неравенства:

Единственное целое решение – это n=0. Тогда $displaystyle x=frac{pi }{2}$ — это единственный корень, который принадлежит отрезку $displaystyle left [ -frac{pi }{2}; 2pi right ].$

Ответ: $displaystyle frac{pi }{2}.$

2. а) Решите уравнение:
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $displaystyle left [ -3pi ; -frac{3pi }{2} right ].$

Решение:

а)

Выразим косинус двойного угла по формуле $cos2x=2cos^{2}x-1.$

Получим:

$2cos^{2}x-1-5sqrt{2}cosx-5=0;$

$2cos^{2}x-5sqrt{2}cosx-6 =0.$

Заменяя cos⁡x на t, приходим к квадратному уравнению:

$2t^{2}-5sqrt{2}t-6=0;$

$displaystyle t_{1}=-frac{sqrt{2}}{2}; t_{2}=3sqrt{2}.$

1) $displaystyle cosx=-frac{sqrt{2}}{2}; x=pm frac{3pi }{4}+2pi n, nin Z;$

2) нет решений, т. к.

Получим: $displaystyle x=pm frac{3pi }{4}+2pi n, nin Z.$

б) Отметим отрезок $displaystyle left [ -3pi ; -frac{3pi }{2} right ]$ и найденные серии решений на единичной окружности.

Видим, что данному отрезку принадлежит только точка $displaystyle x=-2pi -frac{3pi }{4}=-frac{11pi }{4}.$

Ответ: а) $displaystyle x=pm frac{3pi }{4}+2pi n, nin Z.$
б) $displaystyle -frac{11pi }{4}.$

3. а) Решите уравнение: $displaystyle 8sin^{2}x-2sqrt{3}cosleft ( frac{pi }{2}-x right )-9=0.$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $displaystyle left [ -frac{5pi }{2}; -pi right ].$

Решение:

а) Чтобы упростить уравнение $displaystyle 8sin^{2}x-2sqrt{3}cosleft ( frac{pi }{2}-x right )-9=0,$ применяем формулу приведения.

Так как $displaystyle cosleft ( frac{pi }{2}-x right )=sinx,$ получим:

$displaystyle 8sin^{2}x-2sqrt{3}sinx-9=0.$

Сделаем замену: sinx=t. Получим квадратное уравнение:

$8t^{2}-2sqrt{3}t-9=0;$

$displaystyle frac{D}{4}=3+72=75.$

$displaystyle t_1={frac{3sqrt{3}}{4}}; t_{2}=-frac{sqrt{3}}{2}.$

Сделаем обратную замену.

1) $displaystyle sinx={frac{3sqrt{3}}{4}}$ — нет решений, т. к. $displaystyle {frac{3sqrt{3}}{4}}textgreater 1.$

2) $displaystyle sinx=-frac{sqrt{3}}{2}Leftrightarrow left[begin{array}{c}displaystyle x=-frac{pi }{3}+2pi k, kin Z\displaystyle x=-frac{2pi }{3}+2pi k\end{array}right. .$

б) Найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку $displaystyle left [ -frac{5pi }{2}; -pi right ]$ , с помощью двойного неравенства.

Для серии решений $displaystyle x=-frac{pi }{3}+2pi k, kin Z$ получим:

$displaystyle -frac{5pi }{2}leq -frac{pi }{3}+2pi kleq -pi;$

$displaystyle -frac{13}{12}leq kleq -frac{2}{6}.$

Так как kin Z, то $displaystyle k=-1; x=-frac{7pi }{3}.$

Для серии решений $displaystyle x=-frac{2pi }{3}+2pi k$ получим:

$displaystyle -frac{5pi }{2}leq -frac{2pi }{3}+2pi kleq -pi;$ отсюда

$displaystyle -frac{11}{12}leq kleq -frac{1}{6}.$

У этого неравенства нет целых решенией, и значит, из второй серии ни одна точка в указанный отрезок не входит.

Ответ: а) $displaystyle -frac{pi }{3}+2pi k; -frac{2pi }{3}+2pi k, kin Z.$
б) $displaystyle -frac{7pi }{3}.$

к оглавлению ▴

Разложение на множители

Во многих случаях уравнение удаётся представить в таком виде, что в левой части стоит произведение двух или нескольких множителей, а в правой части — ноль. Произведение двух или нескольких множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Сложное уравнение, таким образом, распадается в совокупность более простых.

4. а) Решите уравнение:
б) Найдите все корни уравнения на отрезке

Решение:

а) Применяем формулу синуса двойного угла:

Ни в коем случае не сокращайте на косинус! Ведь может случиться, что cos x обратится в нуль, и мы потеряем целую серию решений. Переносим всё в одну часть, и общий множитель выносим за скобки:

Полученное уравнение равносильно совокупности двух уравнений: cosx = 0 и 2sinx – 1 = 0.

Получим:

$left[begin{array}{c}cosx=0\displaystyle sinx=frac{1}{2}\end{array}right. Leftrightarrow left[begin{array}{c}displaystyle x=frac{pi }{2}+2pi n, nin Z\\displaystyle x=frac{pi }{6}+2pi n\\displaystyle x=frac{5pi }{6}+2pi n\end{array}right. .$

Все эти три серии решений являются ответом в части (а).

б) Отметим отрезок и найденные серии решений на единичной окружности.

Видим, что данному отрезку принадлежат точки $displaystyle x_{1}=frac{pi }{6}; x_{2}=frac{5pi }{6}.$

Ответ: а) $displaystyle frac{pi }{6}+2pi n; frac{pi }{2}+2pi n; frac{5pi }{6}+2pi n, nin Z.$
б) $displaystyle frac{pi }{6}; frac{5pi }{6}.$

5. а) Решите уравнение:
б) Найдите все корни уравнения на отрезке $displaystyle left [ -frac{pi }{2}; pi right ].$

Решение:

Применим формулу суммы синусов:

Дальше действуем так же, как и в предыдущей задаче:

Решаем уравнение sin5x=0 :

$displaystyle x=frac{pi n}{5}, nin Z.$

(1)

Решаем уравнение :

(2)

Ну что, перечисляем обе серии (1) и (2) в ответе через запятую? Нет! Серия (2) является в данном случае частью серии (1). Действительно, если в формуле (1) число n кратно 5, то мы получаем все решения серии (2).

Поэтому ответ в пункте (а): $displaystyle x=frac{pi n}{5}, nin Z.$

б) Найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку $displaystyle left [ -frac{pi }{2}; pi right ],$ с помощью двойного неравенства:

$displaystyle -frac{pi }{2}leq frac{pi n}{5}leq pi;$

$displaystyle -frac{5}{2}leq {n}leq 5.$

Этот промежуток содержит 8 целых чисел: -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5.

Для каждого из этих n найдем x. Получим 8 решений на данном промежутке:

$displaystyle -frac{2pi }{5}; -frac{pi }{5}; 0; frac{pi }{5}; frac{2pi }{5}; frac{3pi }{5}; frac{4pi }{5}; pi .$

Ответ: а) $displaystyle frac{pi n}{5}, nin Z.$
б) $displaystyle -frac{2pi }{5}; -frac{pi }{5}; 0; frac{pi }{5}; frac{2pi }{5}; frac{3pi }{5}; frac{4pi }{5}; pi .$

6. В следующей задаче также применяется метод разложения на множители. Но это заметно не сразу.

а) Решите уравнение: $sin^{2}2x+sin^{2}3x=1.$
б) Найдите все корни уравнения на отрезке $displaystyle left [ 0; frac{pi }{2} right ].$

Решение:

Используем формулу понижения степени: $displaystyle sin^{2}alpha =frac{1-cos2alpha }{2}.$

Получаем:

$displaystyle frac{1-cos4x}{2}+frac{1-cos6x}{2}=1;$

Применяем формулу суммы косинусов: $displaystyle cosalpha +cosbeta =2cosfrac{alpha +beta }{2}cdot cosfrac{alpha -beta }{2}.$

Получаем:

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл. Уравнение равносильно совокупности:

$left[begin{array}{c}cos5x=0\cosx=0\end{array}right.Leftrightarrow left[begin{array}{c}displaystyle 5x=frac{pi }{2}+pi n, nin Z\\displaystyle x=frac{pi }{2}+pi k, kin Z\end{array}right. Leftrightarrow left[begin{array}{c}displaystyle x=frac{pi }{10}+frac{pi n}{5}, nin Z\\displaystyle x=frac{pi }{2}+pi k, kin Z\end{array}right. .$

б) Найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку $displaystyle left [ 0; frac{pi }{2} right ],$ с помощью двойного неравенства:

1) $displaystyle 0leq frac{pi }{10}+frac{pi n}{5}leq frac{pi }{2}.$

Решив неравенство, получим:

Так как n ∈ Z, получим для n целые значения: 0, 1, 2.

Им соответствуют решения: $displaystyle frac{pi }{10}; frac{3pi }{10}; frac{pi }{2}.$

2) Из серии решений $displaystyle frac{pi }{2}+pi k, kin Z$ на указанном отрезке лежит только корень $displaystyle x=frac{pi }{2}.$ Но он уже входит в первую серию решений.

Можно также заметить, что вся вторая серия решений является подмножеством первой.

Ответ: а) $displaystyle frac{pi }{10}+frac{pi n}{5}, nin Z.$
б) $displaystyle frac{pi }{10}; frac{3pi }{10}; frac{pi }{2}.$

к оглавлению ▴

Однородные уравнения

7. а) Решите уравнение: $sin^{2}x+2sinxcosx-3cos^{2}x=0.$
б) Найдите все корни уравнения на отрезке $displaystyle left [ -frac{3pi }{2}; frac{pi }{2} right ].$

Решение:

Такое уравнение называется однородным.

Степень каждого слагаемого в левой части равна двум. Точно так же, как в обычном многочлене $a^{2}+2ab-3b^{2},$ степень каждого слагаемого равна двум. Мы помним, что степень одночлена — это сумма степеней входящих в него сомножителей.

Для однородных уравнений существует стандартный приём решения — деление обеих его частей на $cos^{2}x$ .

Возможность этого деления, однако, должна быть обоснована: а что, если косинус равен нулю?

Следующий абзац предлагаем выучить наизусть и всегда прописывать его при решении однородных уравнений.

Предположим, что cosx = 0. Тогда в силу уравнения и sinx = 0, что противоречит основному тригонометрическому тождеству. Следовательно, любое решение данного уравнения удовлетворяет условию cosx 0, и мы можем поделить обе его части на $cos^{2}x$ .

В результате деления приходим к равносильному квадратному уравнению относительно тангенса: $tg^{2}x+2tgx-3=0.$

Сделаем замену: tgx=t, получим:

$left[begin{array}{c}tgx=-3 \tgx=1\end{array}right. Leftrightarrow left[begin{array}{c}x=-arctg3+pi k, kin Z \displaystyle x=frac{pi }{4}+pi k, kin Z\end{array}right..$

б) Отметим отрезок $displaystyle left [ -frac{3pi }{2}; frac{pi }{2} right ]$ и найденные серии решений на единичной окружности.

О том, как отметить на единичной окружности точки из первой серии решений, то есть арктангенс минус трех, читайте здесь: Простейшие тригонометрические уравнения, часть 2.

Видим, что данному отрезку принадлежат точки:

$x_{1}=-pi -arctg3;$

$displaystyle x_{2}=-pi +frac{pi }{4}=-frac{3pi }{4};$

$x_{3}= -arctg3;$

$displaystyle x_{4}=frac{pi }{4}.$

Ответ: а) $displaystyle -arctg3+pi k; frac{pi }{4}+pi k, kin Z.$
б) $-pi -arctg3; displaystyle -frac{3pi }{4}; -arctg3; frac{pi }{4}.$

8. а) Решите уравнение: $10sin^{2}x+5sinxcosx+cos^{2}x=3.$
б) Найдите все корни уравнения на отрезке $displaystyle left [ 0; frac{pi }{2} right ].$

Если бы в правой части стоял нуль, уравнение было бы однородным. Мы поправим ситуацию изящным приёмом: заменим число 3 на выражение $3(sin^{2}x+cos^{2}x):$

$10sin^{2}x+5sinxcosx+cos^{2}x=3(sin^{2}x+cos^{2}x);$

$7sin^{2}x+5sinxcosx-2cos^{2}x=0.$

Получили однородное уравнение второй степени.

Так как не существует такой точки на единичной окружности, в которой одновременно синус и косинус равнялись бы нулю, мы разделим обе части уравнения на $cos^{2}xneq 0$ .

Получим: $7tg^{2}x+5tgx-2=0.$

Выполним замену: tgx = y, получим:

$7y^{2}x+5y-2=0.$

$displaystyle y_{1,2}=frac{-5pm 9}{14};left[begin{array}{c}y=-1\displaystyle y=frac{2}{7}\end{array}right. .$

Обратная замена: $left[begin{array}{c}tgx=-1\displaystyle tgx=frac{2}{7}\end{array}right. Leftrightarrow left[begin{array}{c}displaystyle x=-frac{pi }{4}+pi k, kin Z\displaystyle x=arctgfrac{2}{7}+pi k, kin Z\end{array}right. .$

Ответом в пункте (а) являются две серии решений.

б) Найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку $displaystyle left [ 0; frac{pi }{2} right ],$ с помощью единичной окружности. Для этого отметим на ней данный отрезок и найденные серии решений.

Видим, что данному отрезку принадлежит только точка $displaystyle x_1=arctgfrac{2}{7}.$

Ответ: а) $displaystyle -frac{pi }{4}+pi k; arctgfrac{2}{7}+pi k, kin Z.$
б) $displaystyle arctgfrac{2}{7}.$

к оглавлению ▴

Введение дополнительного угла

Этот метод применяется для уравнений вида acosx + bsinx=c. Он присутствует в школьных учебниках. Правда, в них рассматриваются только частные случаи — когда числа a и b являются значениями синуса и косинуса углов в 30°, 45° или 60°.

9. а) Решим уравнение:
б) Найдите все корни уравнения на отрезке

Решение:

Делим обе части на 2:

$displaystyle frac{sqrt{3}}{2}sinx+frac{1}{2}cosx=1.$

Замечаем, что $displaystyle frac{sqrt{3}}{2}=cosfrac{pi }{6}; frac{1}{2}=sinfrac{pi }{6}:$

$displaystyle cosfrac{pi }{6}sinx+sinfrac{pi }{6}cosx=1.$

В левой части получили синус суммы:

$displaystyle sinleft ( x+frac{pi }{6} right )=1,$ отсюда $displaystyle x+frac{pi }{6}=frac{pi }{2}; x=frac{pi }{3}+2pi n, nin Z.$

б) Отметим на единичной окружности отрезок и найденные серии решений.

Обратите внимание, что в этой задаче отрезок больше, чем полный круг. Как нам поступить? Один из способов – нарисовать рядом две окружности.

Видим, что данному отрезку принадлежат точки: $displaystyle x_{1}=frac{pi }{3}; x_{2}=2pi +frac{pi }{3}=frac{7pi }{3}.$

Ответ: а) $displaystyle frac{pi }{3}+2pi n, nin Z.$
б) $displaystyle frac{pi }{3}; frac{7pi }{3}.$

Другой пример.

10. а) Решите уравнение:
б) Найдите все корни уравнения на отрезке

Решение:

Делим обе части на

$displaystyle frac{1}{sqrt{2}}cosx+frac{1}{sqrt{2}}sinx=frac{1}{sqrt{2}}.$

Сделаем теперь для разнообразия в левой части косинус разности:

$displaystyle cosfrac{pi }{4}cosx+sinfrac{pi }{4}sinx=frac{1}{sqrt{2}};$

$displaystyle cosleft ( x-frac{pi }{4} right )=frac{1}{sqrt{2}};$

$displaystyle x-frac{pi }{4}=pm frac{pi }{4}+2pi n;$

$displaystyle x_{1}=frac{pi }{2}+2pi n; x_{2}=2pi n, nin Z.$

б) Найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку с помощью единичной окружности. Отметим на ней данный отрезок и найденные серии решений.

Видим, что данному отрезку принадлежат точки 0 и $displaystyle frac{pi }{2}.$

Ответ: а) $displaystyle frac{pi }{2}+2pi n; 2pi n, nin Z.$
б) $displaystyle frac{pi }{2}.$

Покажем, как применяется метод введения дополнительного угла в общем случае.

Рассмотрим уравнение

Делим обе части на $sqrt{a^{2}+b^{2}}:$

$displaystyle frac{a}{sqrt{a^{2}+b^{2}}}cosx+frac{b}{sqrt{a^{2}+b^{2}}}sinx=frac{c}{sqrt{a^{2}+b^{2}}}.$

(4)

Для чего мы выполнили это деление? Всё дело в получившихся коэффициентах при косинусе и синусе. Легко видеть, что сумма их квадратов равна единице:

$displaystyle left ( frac{a}{sqrt{a^{2}+b^{2}}} right )^{2}+left ( frac{b}{sqrt{a^{2}+b^{2}}} right )^{2}=1.$

Это означает, что данные коэффициенты сами являются косинусом и синусом некоторого угла varphi :

$displaystyle frac{a}{sqrt{a^{2}+b^{2}}}=cosalpha , frac{b}{sqrt{a^{2}+b^{2}}}=sinalpha.$

Соотношение (4) тогда приобретает вид:

$displaystyle cosalpha cosx+sinalpha sinx=frac{c}{sqrt{a^{2}+b^{2}}}$

или

$displaystyle cos(x-alpha )=frac{c}{sqrt{a^{2}+b^{2}}}.$

Исходное уравнение сведено к простейшему. Теперь понятно, почему рассматриваемый метод называется введением дополнительного угла. Этим дополнительным углом как раз и является угол alpha .

к оглавлению ▴

Универсальная подстановка

Запомним две важные формулы:

Их ценность в том, что они позволяют выразить синус и косинус через одну и ту же функцию — тангенс половинного угла. Именно поэтому они получили название универсальной тригонометрической подстановки.

Единственная неприятность, о которой не надо забывать: правые части этих формул не определены при . Поэтому если применение универсальной подстановки приводит к сужению ОДЗ, то данную серию нужно проверить непосредственно.

11. а) Решите уравнение:
б) Найдите все корни уравнения на отрезке

Решение:

Выражаем , используя универсальную тригонометрическую подстановку:

Делаем замену :

Получаем кубическое уравнение:

Оно имеет единственный корень .

Стало быть, , откуда .

Сужения ОДЗ в данном случае не было, так как уравнение с самого начала содержало .

б) Найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку с помощью двойного неравенства:

$displaystyle 0leq frac{pi }{4}+pi nleq pi , nin Z;$

$displaystyle -frac{1}{4}leq nleq frac{3}{4}.$

Получим, что $displaystyle n=0; x=frac{pi }{4}.$

Ответ: а) $displaystyle frac{pi }{4}+pi n, nin Z.$
б) $displaystyle frac{pi }{4}.$

Универсальная тригонометрическая подстановка может также пригодиться при решении задач по планиметрии из второй части ЕГЭ. Поэтому формулы лучше выучить.

к оглавлению ▴

Учет ОДЗ уравнения

12. а) Рассмотрим уравнение:
б) Найдите все корни уравнения на отрезке $displaystyle left [ -frac{pi }{2}; frac{3pi }{2} right ].$

Решение:

Перепишем уравнение в виде, пригодном для возведения в квадрат:

Тогда наше уравнение равносильно системе:

Решаем уравнение системы:

Второе уравнение данной совокупности не имеет решений, а первое даёт две серии:

Теперь нужно произвести отбор решений в соответствии с неравенством . Серия не удовлетворяет этому неравенству, а серия удовлетворяет ему. Следовательно, решением исходного уравнения служит только серия .

Ответ в пункте (а): .

б) Найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку $displaystyle left [ -frac{pi }{2}; frac{3pi }{2} right ],$ с помощью двойного неравенства:

$displaystyle frac{-pi }{2}leq -frac{pi }{3}+2pi nleq frac{3pi }{2};$

$displaystyle -frac{1}{12}leq nleq frac{11}{12}.$

Неравенство имеет единственное целое решение n=0.

Тогда $displaystyle x=-frac{pi }{3}.$

Ответ: а) $displaystyle -frac{pi }{3}+2pi n, nin Z.$
б) $displaystyle -frac{pi }{3}.$

Мы рассмотрели основные методы решения тригонометрических уравнений, которые применяются в задаче 12 ЕГЭ.

Где же еще нам могут встретиться тригонометрические уравнения? Конечно, в задачах с параметрами. Или на олимпиадах по математике. Сейчас мы увидим еще несколько полезных приемов решения.

к оглавлению ▴

Метод оценки

В некоторых уравнениях на помощь приходят оценки .

13. Рассмотрим уравнение:

Так как оба синуса не превосходят единицы, данное равенство может быть выполнено лишь в том случае, когда они равны единице одновременно:

Таким образом, должны одновременно выполняться следующие равенства:

Обратите внимание, что сейчас речь идёт о пересечении множества решений (а не об их объединении, как это было в случае разложения на множители). Нам ещё предстоит понять, какие значения x удовлетворяют обоим равенствам. Имеем:

Умножаем обе части на 90 и сокращаем на π:

;

Правая часть, как видим, должна делиться на 5. Число n при делении на 5 может давать остатки от 0 до 4; иначе говоря, число n может иметь один из следующих пяти видов: 5n, 5m + 1, 5m + 2, 5m + 3 и 5m + 4, где. Для того, чтобы 9n+ 1 делилось на 5, годится лишь n = 5m + 1.

Искать k, в принципе, уже не нужно. Сразу находим x:

Ответ:

14. Рассмотрим уравнение:

Ясно, что данное равенство может выполняться лишь в двух случаях: когда оба синуса одновременно равны 1 или −1. Действуя так, мы должны были бы поочерёдно рассмотреть две системы уравнений.

Лучше поступить по-другому: умножим обе части на 2 и преобразуем левую часть в разность косинусов:

;

Тем самым мы сокращаем работу вдвое, получая лишь одну систему:

Имеем:

Ищем пересечение:

Умножаем на 21 и сокращаем на π:

Данное равенство невозможно, так как в левой части стоит чётное число, а в правой — нечётное.

Ответ: решений нет.

Это был тренировочный пример. А в задачах ЕГЭ решения есть всегда.

Посмотрите, как применяется метод оценки в задачах с параметрами.

15. Страшное с виду уравнение также решается методом оценок.

В самом деле, из неравенства следует, что .

Следовательно, , причём равенство возможно в том и только в том случае, когда

$left{begin{matrix}sin^{5}x=sin^{2}x\cos^{8}x=cos^{2}x\end{matrix}right. .$

Остаётся решить полученную систему. Это не сложно.

Перенесем в левую часть и вынесем общий множитель за скобки , получим:

$left{begin{matrix}sin^{2}x(sin^{3}x-1)=0 \cos^{2}x(cos^{6}x-1)=0 \end{matrix}right. .$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл.

Каждое уравнение равносильно совокупности:

$left{begin{matrix}left[begin{array}{c}sinx=0\sinx=1\end{array}right. \left[begin{array}{c}cosx=0\cosx=1\cosx=-1\end{array}right. \end{matrix}right. .$

Это значит, что синус угла х равен нулю, а его косинус равен 0, 1 или -1.

Или синус угла х равен 1, а косинус этого угла равен 0, 1 или -1.

Такие углы легко найти на тригонометрическом круге. Найденные серии решений запишем в ответ.

Ответ: $displaystyle 2pi n; frac{pi }{2}+2pi n; pi +2pi n, nin Z.$

к оглавлению ▴

Тригонометрические уравнения повышенной сложности.
Приемы решения

16. Рассмотрим такое уравнение:

Сделаем замену .

Как выразить через t? Имеем:

откуда . Получаем:

$t^{2}-1=t+1;$

$t^{2}-t-2=0;$

$t_{1}=-1; t_{2}=2.$

$left[begin{array}{c}cosx+sinx=-1\cosx+sinx=2\end{array}right. .$

Начнем со второго уравнения.

Так как и то их сумма может быть равна 2, только оба слагаемых равны 1. Но на единичной окружности не существует точки, в которой одновременно синус и косинус равен единице. Значит, второе уравнение корней не имеет.

Решим первое уравнение методом введения дополнительного угла.

Для этого разделим обе части уравнения на sqrt{2} и получим:

$displaystyle cosx+sinx=-1Leftrightarrow frac{1}{sqrt{2}}cosx+frac{1}{sqrt{2}}sinx=-frac{1}{sqrt{2}}Leftrightarrow$

$displaystyle Leftrightarrow cosxcdot cosfrac{pi }{4}+sinxcdot sinfrac{pi }{4}=-frac{1}{sqrt{2}}Leftrightarrow cosleft ( x+frac{pi }{4} right )=-frac{1}{sqrt{2}}Leftrightarrow$

$displaystyle Leftrightarrow x+frac{pi }{4}=pm frac{3pi }{4}+2pi k, kin Z;$

$left[begin{array}{c}displaystyle x=frac{pi }{2}+2pi k, kin Z\x=-pi +2pi k, kin Z\end{array}right. .$

Ответ: $displaystyle frac{pi }{2}+2pi k; -pi +2pi k, kin Z.$

17. Помним формулы косинуса и синуса тройного угла:

Вот, например, уравнение:

Оно сводится к уравнению относительно :

$left[begin{array}{c}sinx=0\4sin^{2}x+4sinx-3=0\end{array}right. .$

Решим второе уравнение с помощью замены sinx = t.

Получим: $displaystyle 4t^{2}+4t-3=0; D=16+48=64; t=-frac{3}{2}$ или $displaystyle t=frac{1}{2}.$

Обратная замена:

$left[begin{array}{c}displaystyle sinx=-frac{3}{2}\\displaystyle sinx=frac{1}{2}\end{array}right. Leftrightarrow left[begin{array}{c}xin O \\displaystyle x=frac{pi }{6}+2pi n, nin Z\\displaystyle x=frac{5pi }{6}+2pi n, nin Z\end{array}right. .$

А решением первого уравнения sinx = 0 являются числа вида

Ответ: $displaystyle pi k, kin Z; frac{pi }{6}+2pi n; frac{5pi }{6}+2pi n, nin Z.$

Интересно, что формулы синуса и косинуса тройного угла также могут пригодиться вам в решении задач по планиметрии из второй части ЕГЭ.

18. Как бороться с суммой четвёртых степеней синуса и косинуса?

Рассмотрим уравнение:

Выделяем полный квадрат!

;

19. А как быть с суммой шестых степеней?

Рассмотрим такое уравнение:

Раскладываем левую часть на множители как сумму кубов: .

Получим:

;

С суммой четвёртых степеней вы уже умеете обращаться.

Мы рассмотрели основные методы решения тригонометрических уравнений. Знать их нужно обязательно, это — необходимая база.

В более сложных и нестандартных задачах нужно ещё догадаться, как использовать те или иные методы. Это приходит только с опытом. Именно этому мы и учим на наших занятиях.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Тригонометрические уравнения» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник

Отбор корней в тригонометрическом уравнение

Способы отбора корней в тригонометрических уравнениях

Автор проекта:
Шелкова Полина,
Класс: 10

ВВЕДЕНИЕ

I РАЗДЕЛ (теоретический)

II РАЗДЕЛ (практический)

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Тригонометрические уравнения

Отбор корней с помощью тригонометрического круга

Автор проекта:

Шелкова Полина,

Класс: 10

Руководитель:

Злобова Людмила Викторовна,

учитель математики

ВВЕДЕНИЕ

I РАЗДЕЛ (теоретический)

II РАЗДЕЛ (практический)

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Тригонометрические уравнения

Замена переменной и сведение к квадратному уравнению

Разложение на множители

Однородные уравнения

Введение дополнительного угла

Универсальная подстановка

Учет ОДЗ уравнения

Метод оценки

Тригонометрические уравнения повышенной сложности.
Приемы решения

Добавить комментарий Отменить ответ

Отбор корней в тригонометрическом уравнение

Способы отбора корней в тригонометрических уравнениях

Автор проекта: Шелкова Полина, Класс: 10

ВВЕДЕНИЕ

I РАЗДЕЛ (теоретический)

II РАЗДЕЛ (практический)

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Тригонометрические уравнения

Отбор корней с помощью тригонометрического круга

Автор проекта: Шелкова Полина, Класс: 10 Руководитель: Злобова Людмила Викторовна, учитель математики

ВВЕДЕНИЕ

I РАЗДЕЛ (теоретический)

II РАЗДЕЛ (практический)

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Тригонометрические уравнения

Замена переменной и сведение к квадратному уравнению

Разложение на множители

Однородные уравнения

Введение дополнительного угла

Универсальная подстановка

Учет ОДЗ уравнения

Метод оценки

Тригонометрические уравнения повышенной сложности. Приемы решения

Вам также может понравиться

Как лепить снеговика найти

Как найти периметр параллелограмма формула с биссектрисой

Как найти друзей сослуживцев

Добавить комментарий Отменить ответ

Автор проекта:
Шелкова Полина,
Класс: 10

Автор проекта:

Шелкова Полина,

Класс: 10

Руководитель:

Злобова Людмила Викторовна,

учитель математики

Тригонометрические уравнения повышенной сложности.
Приемы решения