Как найти корни трехчлена с параметром - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Задачи с параметрами. Простейшие задачи на квадратный трёхчлен.

Сегодня мы рассмотрим задачи на квадратный трёхчлен, про который, в зависимости от параметра, надо будет что-то выяснить. Это «что-то» может быть самым разнообразным, насколько только хватит фантазии у составителей задачи. Это самый простой тип задач с параметрами. И, если на ЕГЭ вам попалась такая — считайте, что вам повезло!

Но, прежде чем приступать к разбору самих задач, ответьте сами себе на такие простые вопросы:

– Что такое квадратное уравнение, как оно выглядит и как решается?

– Что такое дискриминант и куда его пристроить?

– Что такое теорема Виета и где её можно применить?

Если вы верно отвечаете на эти простые вопросы, то 50% успеха в решении параметрических задач на квадратный трёхчлен вам обеспечены! А остальные 50% – это обычная алгебра и арифметика: раскрытие скобок, приведение подобных, решение уравнений, неравенств и систем и т.д.

Итак, приступим!

Для начала рассмотрим совсем безобидную задачку. Для разминки. 🙂

Пример 1

Приступаем к решению. Во-первых, чтобы в будущем не накосячить в коэффициентах, всегда полезно выписать их отдельно. Прямо в столбик. Вот так:

a = 1

b = -(a-1)

c = a-2

Да-да! Часть коэффициентов в уравнении (а именно — b и с) зависит от параметра. В этом как раз и состоит вся фишка таких задач. А теперь снова въедливо перечитываем условие. Ключевой зацепкой в формулировке задания являются слова «единственный корень». И когда же квадратное уравнение имеет единственный корень? Подключаем наши теоретические знания о квадратных уравнениях. Только в одном единственном случае — когда его дискриминант равен нулю.

Так и пишем:

D = 0

Осталось составить выражение для дискриминанта и приравнять его к нулю. Поехали!

Теперь надо приравнять наш дискриминант к нулю:

Можно, конечно, решать это квадратное уравнение через дискриминант, а можно немного схитрить. На что у нас похожа левая часть, если как следует присмотреться? Она у нас похожа на квадрат разности (a-3)²!

Респект внимательным! Верно! Если заменить наше выражение слева на (a-3)², то уравнение будет решаться в уме!

(a – 3)² = 0

a – 3 = 0

a = 3

Вот и всё. Это значит, что единственный корень наше квадратное уравнение с параметром будет иметь только в одном единственном случае — когда значение параметра «а» равно тройке.)

Ответ: 3

Это был разминочный пример. Чтобы общую идею уловить.) Теперь будет задачка посерьёзнее.

Пример 2

Вот такая задачка. Начинаем распутывать. Первым делом выпишем наше квадратное уравнение:

0,5x² — 2x + 3a + 1,5 = 0

Самым логичным шагом, было бы умножить обе части на 2. Тогда у нас исчезнут дробные коэффициенты и само уравнение станет посимпатичнее. Умножаем:

Выписываем в столбик наши коэффициенты a, b, c:

a = 1

b = -4

c = 6a+3

Видно, что коэффициенты a и b у нас постоянны, а вот свободный член с зависит от параметра «а»! Который может быть каким угодно — положительным, отрицательным, целым, дробным, иррациональным — всяким!

А теперь, чтобы продвинуться дальше, вновь подключаем наши теоретические познания в области квадратных уравнений и начинаем рассуждать. Примерно так:

«Для того чтобы сумма кубов корней была меньше 28, эти самые корни, во-первых, должны существовать. Сами по себе. В принципе. А корни у квадратного уравнения существуют, тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицательный. Кроме того, в задании говорится о двух различных корнях. Эта фраза означает, что наш дискриминант обязан быть не просто неотрицательным, а строго положительным!»

Если вы рассуждаете таким образом, то вы движетесь правильным курсом! Верно.) Составляем условие положительности для дискриминанта:

D = (-4)² – 4·1·(6a+3) = 16-24a-12 = 4-24a

4-24a > 0

-24a > -4

a < 1/6

Полученное условие говорит нам о том, что два различных корня у нашего уравнения будет не при любых значениях параметра «а», а только при тех, которые меньше одной шестой! Это глобальное требование, которое должно выполняться железно. Неважно, меньше 28 наша сумма кубов корней или больше. Значения параметра «а», большие или равные 1/6, нас заведомо не устроят. Гуд.) Соломки подстелили. Движемся дальше.

Теперь приступаем к загадочной сумме кубов корней. По условию она у нас должна быть меньше 28. Так и пишем:

Значит, для того чтобы ответить на вопрос задачи, нам надо совместно рассмотреть два условия:

А дальше начинаем отдельно работать с этой самой суммой кубов. Есть два способа такой работы: первый способ для трудолюбивых и второй способ — для внимательных.

Способ для трудолюбивых заключается в непосредственном нахождении корней уравнения через параметр. Прямо по общей формуле корней. Вот так:

Теперь составляем нужную нам сумму кубов найденных корней и требуем, чтобы она была меньше 28:

А дальше — обычная алгебра: раскрываем сумму кубов по формуле сокращённого умножения, приводим подобные, сокращаем и т.д. Если бы корни нашего уравнения получились покрасивее, без радикалов, то такой «лобовой» способ был бы неплох. Но проблема в том, что наши корни выглядят немного страшновато. И подставлять их в сумму кубов как-то неохота, да. Поэтому, для того чтобы избежать этой громоздкой процедуры, я предлагаю второй способ — для внимательных.

Для этого раскрываем сумму кубов корней по соответствующей формуле сокращенного умножения. Прямо в общем виде:

А дальше проделываем вот такой красивый фокус: во вторых скобках выражаем сумму квадратов корней через сумму корней и их произведение. Вот так:

Итого:

Казалось бы, и что из этого? Сейчас интересно будет! Давайте, посмотрим ещё разок на наше уравнение. Как можно внимательнее:

Чему здесь равен коэффициент при x²? Правильно, единичке! А как такое уравнение называется? Правильно, приведённое! А, раз приведённое, то, стало быть, для него справедлива теорема Виета:

Вот и ещё одна теорема нам пригодилась! Теперь, прямо по теореме Виета, подставляем сумму и произведение корней в наше требование для суммы кубов:

Осталось раскрыть скобки и решить простенькое линейное неравенство:

4·(16-18a-9) < 28

64–72a+36 < 28

-72a < 28-64+36

-72a < 0

a > 0

Вспоминаем, что ещё у нас есть глобальное требование a < 1/6. Значит, наше полученное множество a > 0 необходимо пересечь с условием a < 1/6. Рисуем картинку, пересекаем, и записываем окончательный ответ.

Ответ:

Да. Вот такой маленький интервальчик. От нуля до одной шестой… Видите, насколько знание теоремы Виета, порой, облегчает жизнь!

Вот вам небольшой практический совет: если в задании говорится о таких конструкциях, как сумма, произведение, сумма квадратов, сумма кубов корней, то пробуем применить теорему Виета. В 99% случаев решение значительно упрощается.

Это были довольно простые примеры. Чтобы суть уловить. Теперь будут примеры посолиднее.

Например, такая задачка из реального варианта ЕГЭ:

Пример 3

Что, внушает? Ничего не боимся и действуем по нашему излюбленному принципу: «Не знаешь, что нужно, делай что можно!»

Опять аккуратно выписываем все коэффициенты нашего квадратного уравнения:

a = 1

b = -6

c = a²-4a

А теперь вчитываемся в условие задачи и находим слова «модуль разности корней уравнения». Модуль разности нас пока не волнует, а вот слова «корней уравнения» примем во внимание. Раз говорится о корнях (неважно, двух одинаковых или двух различных), то наш дискриминант обязан быть неотрицательным! Так и пишем:

D ≥ 0

Что ж, аккуратно расписываем наш дискриминант через параметр а:

D = (-6)² — 4·1·(12 + a²-4a) = 36 — 48 — 4а²+ 16а = -4а²+16а-12.

А теперь решаем квадратное неравенство. По стандартной схеме, через соответствующее квадратное уравнение и схематичный рисунок параболы:

Значит, для того чтобы у нашего уравнения в принципе имелись хоть какие-то корни, параметр а должен находиться в отрезке [-1; 3]. Это железное требование. Хорошо. Запомним.)

А теперь приступаем к этому самому модулю разности корней уравнения. От нас хотят, чтобы вот такая штука

принимала бы наибольшее значение. Для этого, ничего не поделать, но теперь нам всё-таки придётся находить сами корни и составлять их разность: x₁ — x₂. Теорема Виета здесь в этот раз бессильна.

Что ж, считаем корни по общей формуле:

Дальше составляем модуль разности этих самых корней:

Теперь вспоминаем, что корень квадратный — величина заведомо неотрицательная. Стало быть, без ущерба для здоровья, модуль можно смело опустить. Итого наш модуль разности корней выглядит так:

И эта функция f(a) должна принимать наибольшее значение. А для поиска наибольшего значения у нас есть такой мощный инструмент, как производная! Вперёд и с песнями!)

Дифференцируем нашу функцию и приравниваем производную к нулю:

Получили единственную критическую точку a = 2. Но это ещё не ответ, так как нам ещё надо проверить, что найденная точка и в самом деле является точкой максимума! Для этого исследуем знаки нашей производной слева и справа от двойки. Это легко делается простой подстановкой (например, а = 1,5 и а = 2,5).

Слева от двойки производная положительна, а справа от двойки — отрицательна. Это значит, что наша точка a = 2 и вправду является точкой максимума. Заштрихованная зона на картинке означает, что нашу функцию мы рассматриваем только на отрезке [1; 3]. Вне этого отрезка нашей функции f(a) попросту не существует. Потому, что в заштрихованной области наш дискриминант отрицательный, и разговоры о каких-либо корнях (и о функции тоже) бессмысленны. Это понятно, думаю.

Всё. Вот теперь наша задача полностью решена.

Ответ: 2.

Здесь было применение производной. А бывают и такие задачи, где приходится решать уравнения либо неравенства с так ненавистными многими учениками модулями и сравнивать некрасивые иррациональные числа с корнями. Главное — не бояться! Разберём похожую злую задачку (тоже из ЕГЭ, кстати).

Пример 4

Итак, приступаем. Первым делом замечаем, что параметр а ни в коем случае не может быть равен нулю. Почему? А вы подставьте в исходное уравнение вместо а нолик. Что получится?

Получили линейное уравнение, имеющее единственный корень x=2. А это уже совсем не наш случай. От нас хотят, чтобы уравнение имело два различных корня, а для этого нам необходимо, чтобы оно, как минимум, было хотя бы квадратным.)

Итак, а ≠ 0.

При всех остальных значениях параметра наше уравнение будет вполне себе квадратным. И, следовательно, чтобы оно имело два различных корня, необходимо (и достаточно), чтобы его дискриминант был положительным. То есть, первое наше требование будет D > 0.

А далее по накатанной колее. Считаем дискриминант:

D = 4(a-1)² — 4a(a-4) = 4a²-8a+4-4a²+16a = 4+8a

Вот так. Значит, наше уравнение имеет два различных корня тогда и только тогда, когда параметр a > -1/2. При прочих «а» у уравнения будет либо один корень, либо вообще ни одного. Берём на заметку это условие и движемся дальше.

Далее в задаче идёт речь о расстоянии между корнями. Расстояние между корнями, в математическом смысле, означает вот такую величину:

Зачем здесь нужен модуль? А затем, что любое расстояние (что в природе, что в математике) — величина неотрицательная. Причём здесь совершенно неважно, какой именно корень будет стоять в этой разности первым, а какой вторым: модуль — функция чётная и сжигает минус. Точно так же, как и квадрат.

Значит, ответом на вопрос задачи является решение вот такой системы:

Теперь, ясен перец, нам надо найти сами корни. Здесь тоже всё очевидно и прозрачно. Аккуратно подставляем все коэффициенты в нашу общую формулу корней и считаем:

Отлично. Корни получены. Теперь начинаем формировать наше расстояние:

Наше расстояние между корнями должно быть больше трёх, поэтому теперь нам надо решить вот такое неравенство:

Неравенство — не подарок: модуль, корень… Но и мы всё-таки уже решаем серьёзную задачу №18 из ЕГЭ! Делаем всё что можно, чтобы максимально упростить внешний вид неравенства. Мне здесь больше всего не нравится дробь. Поэтому первым делом я избавлюсь от знаменателя, умножив обе части неравенства на |a|. Это можно сделать, поскольку мы, во-первых, в самом начале решения примера договорились, что а ≠ 0, а во-вторых, сам модуль — величина неотрицательная.

Итак, смело умножаем обе части неравенства на положительное число |a|. Знак неравенства сохраняется:

Вот так. Теперь в нашем распоряжении имеется иррациональное неравенство с модулем. Ясное дело, для того чтобы решить его, надо избавляться от модуля. Поэтому придётся разбивать решение на два случая — когда параметр а, стоящий под модулем, положителен и когда отрицателен. Другого пути избавиться от модуля у нас, к сожалению, нет.

Итак!

Случай 1 (a>0, |a|=a)

В этом случае наш модуль раскрывается с плюсом, и неравенство (уже без модуля!) принимает следующий вид:

Неравенство имеет структуру: «корень больше функции». Такие иррациональные неравенства решаются по следующей стандартной схеме:

Отдельно рассматривается случай а), когда обе части неравенства возводятся в квадрат и правая часть неотрицательна и отдельно — случай б), когда правая часть всё-таки отрицательна, но зато сам корень при этом извлекается.) И решения этих двух систем объединяются.

Тогда, в соответствии с этой схемой, наше неравенство распишется вот так:

А теперь можно существенно упростить себе дальнейшую работу. Для этого вспомним, что в случае 1 мы рассматриваем только a>0. С учётом этого требования, вторую систему можно вообще вычеркнуть из рассмотрения, поскольку, второе неравенство в ней (3a<0) эквивалентно неравенству a<0, а условия a>0 и a<0 — это два взаимно исключающих требования.

Упрощаем нашу совокупность с учётом главного условия a>0:

Вот так. А теперь решаем самое обычное квадратное неравенство:

Нас интересует промежуток между корнями. Стало быть,

Отлично. Теперь этот промежуток пересекаем со вторым условием системы a>0:

Есть. Таким образом, первым кусочком ответа к нашему неравенству (а пока не ко всей задаче!) будет вот такой интервал:

Всё. Случай 1 разложен по полочкам. Переходим к случаю 2.

Случай 2 (a<0, |a|=-a)

В этом случае наш модуль раскрывается с минусом, и неравенство принимает следующий вид:

Опять имеем структуру: «корень больше функции». Применяем нашу стандартную схему с двумя системами (см. выше):

С учётом общего требования a<0, мы снова, как и в предыдущем случае, проводим максимальные упрощения: вычёркиваем вторую систему в силу противоречивости двух требований -3а < 0 и нашего общего условия a<0 для всего случая 2.

А дальше снова решаем обычное квадратное неравенство:

И опять сокращаем себе работу. Ибо оно у нас уже решено в процессе разбора случая 1! Решение этого неравенства выглядело вот так:

Осталось лишь пересечь этот интервал с нашим новым условием a<0.

Пересекаем:

Вот и второй кусочек ответа готов:

Кстати сказать, как я узнал, что ноль лежит именно между нашими иррациональными корнями? Легко! Очевидно, что правый корень заведомо положителен. А что касается левого корня, то я просто в уме сравнил иррациональное число

с нулём. Вот так:

А теперь объединяем оба найденных интервала. Ибо мы решаем совокупность (а не систему):

Готово дело. Эти два интервала — это пока ещё только решение неравенства

Кто забыл, данное неравенство отвечает у нас за расстояние между корнями нашего уравнения. Которое должно больше 3. Но! Это ещё не ответ!

Ещё у нас есть условие положительного дискриминанта! Неравенство a>-1/2, помните? Это значит, что данное множество нам ещё надо пересечь с условием a>-1/2. Иными словами, теперь мы должны пересечь два множества:

Но есть одна проблемка. Мы не знаем, как именно расположено на прямой число -1/2 относительно левого (отрицательного) корня. Для этого нам придётся сравнить между собой два числа:

Поэтому сейчас берём черновик и начинаем сравнивать наши числа. Примерно так:

Это значит, что дробь -1/2 на числовой прямой находится левее нашего левого корня. И картинка к окончательному ответу задачи будет какая-то вот такая:

Всё, задача полностью решена и можно записывать окончательный ответ.

Ответ:

Ну как? Уловили суть? Тогда решаем самостоятельно.)

1. Найдите все значения параметра b, при которых уравнение

ax² + 3x +5 = 0

имеет единственный корень.

2. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых больший корень уравнения

x² — (14a-9)x + 49a² — 63a + 20 = 0

меньше 9.

3. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых сумма квадратов корней уравнения

x² — 4ax + 5a = 0

равна 6.

4. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

x² + 2(a-2)x + a + 3 = 0

имеет два различных корня, расстояние между которыми больше 3.

Ответы (в беспорядке):

Источник

Квадратный трехчлен и применение его к
решению задач с параметром.

Квадратный трехчлен с полным правом можно
назвать основной из функций, изучаемых в
школьном курсе математики. Поэтому знание
свойств квадратного трехчлена и умение
применять их являются необходимыми условиями
успешного выполнения ЕГЭ и вступительной
экзаменационной работы.

Многочисленные задачи из совсем иных, на первый
взгляд, областей математики (исследование
экстремальных свойств функций,
тригонометрические, логарифмические и
показательные уравнения, системы уравнений и
неравенств) зачастую сводятся к решению
квадратных уравнений или исследованию
квадратного трехчлена.

В данной работе рассмотрены теоремы о
расположении корней квадратного трехчлена и
показаны приемы решения задач на основе свойств
квадратного трехчлена и графических
изображений.

Понятие квадратного трехчлена и его
свойства.

Квадратным трехчленом называется
выражение вида ax²+bx+c, где a0. Графиком соответствующей
квадратичной функции является парабола. При a<0
ветви параболы направлены вниз; при a>0 ветви
направлены вверх.

Выражение x²+px+q называется приведенным
квадратным трехчленом.

В зависимости от величины дискриминанта D=b²–
4ac возможны следующие случаи расположения
графика квадратного трехчлена:

при D>0 существуют две различные точки
пересечения параболы с осью Ох (два различных
корня трехчлена);

при D=0 эти две точки сливаются в одну, то есть
парабола касается оси Ох (один корень трехчлена);

при D<0 точек пересечения с осью Ох нет ( и
корней трехчлена нет).

В последнем случае при а>0 парабола лежит
целиком выше оси Ох, при а<0- целиком ниже оси Ох
(см. приложение 1, приложение
2 и приложение 3).

Знание свойств квадратного трехчлена и умение
применять их являются необходимым условием
успешного решения многочисленных задач
элементарной математики.

Рассмотрим некоторые свойства квадратного
трехчлена.

Важнейшей теоремой о корнях квадратного
трехчлена является теорема Виета.

Теорема Виета. Между корнями квадратного
трехчлена ax²+bx+c и коэффициентами этого

трехчлена существуют соотношения : x₁+x₂=
-b/a,

x₁•x₂= c/a.

Данная теорема справедлива и для приведенного
квадратного трехчлена x²+px+q : x₁+x₂=
-p,

x₁•x₂= q.

Теорема, обратная теореме Виета,
применяется лишь для приведенного квадратного
трехчлена.

Если числа x₁ и x₂ таковы, что x₁+x₂=
-p, x₁•x₂=q, то x₁ и x₂ – корни
приведенного

квадратного трехчлена.

Теорема Виета успешно применяется при решении
различных задач, в частности, задач на
исследование знаков корней квадратного
трехчлена. Это мощный инструмент решения многих
задач с параметрами для квадратичной функции.

Теоремы о знаках корней квадратного
трехчлена.

Теорема 1. Для того, чтобы корни квадратного
трехчлена имели одинаковые знаки, необходимо и

достаточно выполнения соотношений: D=b²-4ac0; x₁•x₂=c/a>0.

При этом оба корня будут положительны, если
дополнительно выполняется условие :

x₁+x₂= -b/a>0 ,

а оба корня будут отрицательны, если x₁+x₂=
-b/a<0.

Теорема 2. Для того, чтобы корни
квадратного трехчлена имели разные знаки,
необходимо и

остаточно выполнения соотношения x₁•x₂=c/a<0.

В данном случае нет необходимости проверять
знак дискриминанта, поскольку при выполнении
условия c/a<0 будет выполняться и условие c•a<0, а
это значит, что дискриминант D=b²-4ac>0.

Расположение корней квадратного
трехчлена (см. приложение).

Дидактический материал для учащихся.

1. Найти все значения параметра а , при каждом
из которых корни квадратного трехчлена х²
+ах+1 различны и лежат на отрезке [0 ; 2].

2. При каких значениях параметра а уравнение х²-(2а-1)х+1-а=0
имеет два различных положительных корня?

3. При каких значениях параметра а уравнение х²-(2а-6)+3а+9=0
имеет корни разных знаков?

4. Найдите все значения параметра а , при
которых корни уравнения х²+(а+1)х-2а(а-1)=0
меньше, чем 1 .

5. Найдите все значения параметра а , при
которых один из корней уравнения х²-2(а+1)х+4а+1=0
меньше 1, а другой – больше 1?

6. При каких значениях параметра а уравнение
2х²+(3а+1)х+а²+а=2=0 имеет хотя бы один
корень?

7. При каких значениях параметра а уравнение
(а²+а+1)х² + (2а-3)х+а-5=0 имеет два корня,
один из которых больше 1, а другой меньше 1?

8. При каких значениях параметра а корни
уравнения (а-1)х²-2ах +а=3=0 положительны?

9. Существуют ли такие значения параметра а,
при которых оба корня уравнения х²-2(а-3)х-а+3=0
заключены в интервале (-3; 0)?

10. При каких значениях параметра а корни
уравнения х²-2ах+(а+1)•(а-1)=0 принадлежат
отрезку [-5; 5]?

11. При каких значениях параметра а один
корень квадратного уравнения х²+(а+1)х-а²=0
больше числа 1/2 , а другой меньше 1/2?

12. При каких значениях параметра а уравнение
х²-4х+(2-а)•(2+а)=0 имеет корни разных знаков?

13. При каких значениях параметра а уравнение
х²+2(а+1)х+9=0 имеет два различных
положительных корня?

14. Найти все значения параметра а при которых
все корни уравнения (2-а)х²-3ах+2а=0 больше 1/2?

15. При каких значениях параметра а все корни
уравнения х²-2ах+а²-а=0 расположены на
отрезке [-2; 6]?

16. При каких значениях параметра а сумма
квадратов корней уравнения х²-2ах+2(а+1)=0
равна 20?

17. При каких значениях параметра а сумма
корней уравнения х²-2а(х-1)-1=0 равна сумме
квадратов его корней?

18. При каких значениях параметра а все
получающиеся корни уравнения (а-3)х²-2ах+6а=0
положительны?

19. При каких значениях параметра а все
получающиеся корни уравнения (1+а)х²-3ах+4а=0
больше 1?

Литература

Цыганов Ш. “Квадратный трехчлен и параметры”/
Математика- № 5, 1999.
Чулков П.В. “Уравнения и неравенства в школьном
курсе математики”, Москва. Педагогический
университет “первое сентября”, 2006.
Астров К., “квадратичная функция и ее
применение”, М.: Педагогика, 1986.
Задачи с параметрами / Математика- № 43, 2003.
Сканави М.И. “Сборник задач по математике для
поступающих в ВУЗы”, М.: “Оникс 21 век”, 2003.

Источник

На этой странице вы узнаете

Игра в прятки: как значение одной переменной может помочь найти другую?
Парадокс: как стоять на месте и бежать с любой скоростью одновременно?
Решаем параметры осторожно: как не совершить ошибку в квадратном уравнении с параметром?

Мы привыкли, что в уравнении коэффициенты не меняются. Но возможно ли из одного уравнения составить бесконечное множество различных его вариантов? Узнаем об этом в статье.

Что такое параметр

Утром на термометре было некоторое количество градусов, которое мы обозначим за х. В обед температура воздуха изменилась в несколько раз. Во сколько раз должна была измениться температура воздуха, чтобы на термометре было 20 градусов?

Такие задачи достаточно легко решаются. Если бы изначально было пять градусов, то искомое число было бы равно (frac{20}{5} = 4). А если было 10 градусов, то искомое число было бы равно (frac{20}{10} = 2).

Но не все так просто. Мы не знаем, какой изначально была температура. Также мы не знаем, во сколько раз она изменилась. То есть мы получили уравнение с двумя неизвестными переменными.

Обозначим вторую переменную a, у нас получится уравнение вида ax=20. Только что введенная нами переменная “a” называется параметр.

Параметр — это условная буква, вместо которой можно подставить число.

То есть параметр — это еще одна переменная, которая может принять несколько значений.

Как решать уравнения с параметром, если у нас целых две (а то и больше) неизвестных переменных? Нужен иной подход, чем при решении обычного уравнения.

Решить уравнение с параметром — это найти такие числовые значения параметра, при которых условие выполняется.

Мы ищем не единственное значение параметра, а все возможные его значения для заданного условия.

Игра в прятки: как значение одной переменной может помочь найти другую?

Поскольку параметр — переменная в уравнении, которая является коэффициентом, его значение задает и корни уравнения. То есть переменные а и х зависят друг от друга так же, как и зависят корни обычного уравнения от его коэффициентов.

Линейные уравнения с параметром

Вернемся к нашей погоде. У нас получилось уравнение ax = 20. Как найти, сколько градусов было изначально? Разделить все уравнение на число a.

(x = frac{20}{a})

Какие значения может принимать параметр? Любые. Например, при a = 1 x = 20.
При a = 2 x = 10.
При a = 40 x = 0,5

Что, если a=0? Мы получаем уравнение (x = frac{20}{0}), у которого нет решения, поскольку на 0 делить нельзя.

Если мы не будем преобразовывать изначальное уравнение, то получится 0*x=20, то есть уравнение не будет выполняться: какое бы число мы ни умножили на 0, получится 0.

Получается, решение есть при любых значениях a, кроме 0. Таким образом, мы и нашли ответ: при a = 0 решений нет, при a (neq) 0 — x = 20a.

Добавим немного теории. Представим наше уравнение в виде ax = b, где a, b — действительные числа. Рассмотрим несколько случаев.

1) b (neq) 0.

Предположим, Пете необходимо в несколько раз увеличить скорость х, пробежать дистанцию и поставить рекорд. Чтобы поставить рекорд, он должен бежать со скоростью 15 км/ч — это и будет коэффициент b.

Получаем уравнение ax = 15. Как найти начальную скорость Пети? (x = frac{15}{a}).

Такое уравнение мы уже решали выше. Получаем два случая:

Если a = 0 — решений нет.
Если a (neq) 0, то изначальная скорость Пети была равна (x = frac{15}{a}).

Парадокс: как стоять на месте и бежать с любой скоростью одновременно?

Когда Пете нужно увеличить скорость в 0 раз, получается парадокс.
С какой бы скоростью ни бежал Петя, он все равно будет стоять на месте, поскольку 0 * x = 0. Даже если он изначально бегал со скоростью света, его скорость останется равна 0, а не 15 км/ч.

2) b = 0.

Мы получаем уравнение ax = 0. Также разберем два случая значений параметра:

a = 0. Мы получаем уравнение 0 * x = 0. Какое значение х нужно подставить, чтобы уравнение выполнялось?

Какое бы число мы ни умножили на 0, получим 0. Получаем бесконечное множество решений.

a (neq) 0. Здесь получается, что равен 0 уже х: (x = frac{0}{a} = 0).

Подведем итог. Как можно решить уравнение вида ax = b?

Если a = 0, b = 0 — бесконечное множество решений.
Если a = 0, b (neq) 0 — решений нет.
Если a (neq) 0, b (neq) 0 — решением будет (x = frac{b}{a}).

Квадратные уравнения с параметром

Прежде чем приступать к изучению следующего материала, рекомендуем ознакомиться с понятием квадратного уравнения в статье «Линейные, квадратные и кубические уравнения». Также важно ориентироваться в графиках параболы из статьи «Основные элементарные функции».

Квадратное уравнение имеет вид ax² + bx + c = 0, а графиком функции y = ax² + bx + c будет парабола.

Как работать с такими уравнениями, если в них присутствует параметр? В первую очередь, важны рассуждения. Любое задание с параметром можно решить, проанализировав функцию.

Решение квадратного уравнения опирается на понятие дискриминанта. В зависимости от его значений может получиться разное количество корней:

При D > 0 уравнение имеет два корня.
При D = 0 уравнение имеет один корень.
При D < 0 уравнение не имеет корней.

Как это проверить на графике? Корни уравнения — это точки, в которых парабола пересекает ось абсцисс, то есть ось х.

Рассмотрим три уравнения.

1) x² — x — 2 = 0
Решим уравнение с помощью дискриминанта.
D = 1² — 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9
Поскольку дискриминант больше 0, то уравнение имеет два корня.

(x_1 = frac{1 + 3}{2} = 2)
(x_2 = frac{1 — 3}{2} = -1)

Проверим с помощью графика функции. Построим параболу и заметим, что она действительно дважды пересекает ось абсцисс, а координаты этих точек равны (−1; 0) и (2; 0) .

2) x² -4x + 4 = 0
Решим уравнение с помощью дискриминанта.
D = 16 — 4 * 1 * 4 = 16 — 16 = 0
Поскольку дискриминант равен 0, у уравнения всего один корень.

(x = frac{4}{2} = 2)

Проверим на графике. И действительно, парабола касается оси х только один раз в вершине, координаты которой (2; 0).

3) x² — 5x + 7 = 0
Решим уравнение с помощью дискриминанта.
D = 25 — 4 * 1 * 7 = 25 — 28 = -3

Поскольку дискриминант отрицательный, у уравнения нет корней. И это отлично видно, если посмотреть на график функции: парабола лежит выше оси х и никогда ее не пересечет.

Где можно применить эти знания, решая параметры?

Пример 1. Найдите все значения параметра a, при которых уравнение x² + (3a + 11)x + 18,25 + a = 0 имеет два различных решения.

Решение. Перед нами квадратное уравнение с коэффициентами b = 3a + 11, c = a + 18,25. В каких случаях это уравнение будет иметь два различных корня?

Квадратное уравнение имеет два корня, если D > 0. Нужно найти все значения параметра, при которых дискриминант будет положительным.

1. Для начала найдем сам дискриминант.

D = (3a + 11)² — 4 * 1 * (a + 18,25) = 9a² + 66a + 121 — 4a — 73 = 9a² + 62a + 48

2. Поскольку дискриминант должен быть больше 0, то получаем неравенство 9a² + 62a + 48 > 0

3. Решим его «Методом интервалов».

9a² + 62a + 48 = 0
D = 3844 — 1728 = 2116
(a_1 = frac{-62 + 46}{18} = -frac{16}{18} = -89)
(a_2 = frac{-62 — 46}{18} = -frac{108}{18} = -6)

4. Дискриминант будет положительным при (a in (-infty; -6) cup (-frac{8}{9}; +infty)). Это и будет ответ.

Ответ: (a in (-infty; -6) cup (-frac{8}{9}; +infty)).

Важно: в уравнении мы указываем не сами решения уравнения, а значения параметра, при которых уравнение имеет два решения.

Пример 2. При каких значениях параметра a уравнение (2a + 1)x² — ax + 3a + 1 = 0 имеет два различных решения?

Решение. Этот пример похож на предыдущий, однако здесь есть одна важная особенность. Что произойдет с уравнением, если 2a+1 = 0?

Мы получим уравнение 0,5x — 0,5 = 0, то есть линейное уравнение. У уравнения будет всего одно решение, что уже не подходит под условие задачи.

Решаем параметры осторожно: как не совершить ошибку в квадратном уравнении с параметром?

Если перед x² стоит коэффициент, обязательно проверить, чтобы он не был равен 0. В противном случае уравнение из квадратного превращается в линейное, а это уже совершенно другой алгоритм решений уравнений.

1. Поскольку по условию должно быть 2 решения, мы получаем, что a (neq) -0,5.

2. Найдем дискриминант уравнения. Он должен быть строго больше 0, чтобы у уравнения было два решения.

D = a² — 4 * (2a + 1) * (3a + 1) = a² — 24a² — 20a -4 = -23a² — 20a — 4

3. Составим неравенство и решим его:

-23a² — 20a — 4 > 0
23a² + 20a + 4 < 0
23a² + 20a + 4 = 0
D = 400 — 4 * 23 * 4 = 400 — 368 = 32
(a_1 = frac{-20 + 4 sqrt{2}}{46} = frac{2sqrt{2} — 10}{23})
(a_2 = frac{-20 — 4sqrt{2}}{46} = frac{-2sqrt{2} — 10}{23})

4. Разложим уравнение на множители:

(23a^2 + 20a + 4 = 23(a — frac{2sqrt{2} — 10}{23})(a — frac{-2sqrt{2} — 10}{23}))

5. Получаем неравенство:

(23(a — frac{2sqrt{2} — 10}{23})(a — frac{-2sqrt{2} — 10}{23} < 0)

6.Тогда (a in (frac{-2sqrt{2} — 10}{23}; frac{2sqrt{2} — 10}{23})). Вспомним, что a (neq) -0,5, следовательно, мы получаем ответ (a in (frac{-2sqrt{2} — 10}{23}; -0,5) cup (-0,5; frac{2sqrt{2} — 10}{23})).

Ответ: (a in (frac{-2sqrt{2} — 10}{23}; -0,5) cup (-0,5; frac{2sqrt{2} — 10}{23}))

Теорема Виета

Дискриминант — не единственный способ решить квадратное уравнение. Обратимся к теореме Виета. Если нам дано уравнение ax² + bx + c = 0, то его корни можно найти с помощью следующей системы:

Теорему Виета удобно использовать, если на корни уравнения наложены дополнительные ограничения.

Пример 3. При каких значениях параметра a корни уравнения x² — 3ax — a(a — 1) = 0 удовлетворяют условию x₁ = 5x₂.

Решение. 1. Корни уравнения — это два различных числа. Значит, дискриминант должен быть строго больше 0:

D = 9a² — 4 * 1 * (-a² + a) = 9a² + 4a² — 4a = 13a² — 4a = a(13a — 4)

Получаем неравенство a(13a — 4) > 0, следовательно, (a in (-infty; 0) cup (frac{4}{13}; +infty)).

2. По теореме Виета найдем корни уравнения:

3. По условию x₁ = 5x₂, тогда 5x₂ + x2 = 6x₂ = 3a, откуда получаем:
(x_2 = frac{3a}{6} = frac{a}{2})
(x_1 = 5 * a_2 = frac{5a}{2})

4. Подставим во второе уравнение системы:
(frac{a}{2} * frac{5a}{2} = a — a^2)
(frac{5a^2}{4} = a — a^2 | * 4)
5a² = 4a — 4a²
(9a^2 — 4a = 0 rightarrow a(9a — 4) = 0 rightarrow a = 0, a = frac{4}{9})

5. Мы нашли значения параметра, при которых выполняется условие. Осталось проверить, чтобы при этих значениях у уравнения было два корня.

a = 0 не подходит, поскольку ограничение (a in (-infty; 0) cup (frac{4}{13}; +infty)) не включает точку 0.

(a = frac{4}{9}) подходит, поскольку (frac{4}{9} > frac{4}{13}).

Ответ: (a = frac{4}{9})

Условия на корни квадратного трехчлена

Однако могут встретиться еще более сложные задания с параметрами. Рассмотрим каждый из этих случаев.

1. Корни квадратного трехчлена меньше, чем число N.

Построим параболу. Вспомним, что ветви параболы могут быть направлены или вверх, или вниз.

Если ветви параболы направлены вверх. Отметим на оси х точку N так, чтобы она лежала правее обоих корней уравнения. Так мы зададим условие, что корни уравнения меньше, чем число N.

Представим, что мы идем по холмистой местности, и у нас есть ее карта. Имея перед собой плоскую картинку, мы понимаем, как относительно друг друга располагаются точки в пространстве. Но посмотрев на рельеф сбоку, заметим, что точки имеют разную высоту.

Пусть в точках, где парабола пересекает ось х, будут привалы на экскурсионном маршруте, а в точке N будет смотровая площадка.

Что можно сказать про смотровую площадку на этой карте? Она находится выше, чем привалы, и лежит правее, чем самая низкая точка рельефа.

Рассмотрим эти условия на графике. В точке N значение функции f(x) больше, чем в корнях уравнения. Более того, она лежит правее, чем вершина параболы, то есть ее абсцисса больше абсциссы параболы.

Почему эти условия так важны? Пусть точка N будет лежать левее вершины параболы. Тогда не выполняется условие, что корни меньше, чем N.

В этом случае на нашем экскурсионном маршруте смотровая площадка будет лежать до привалов.

А если значение функции в точке N будет меньше, чем в корнях уравнения? Точка N будет лежать между ними.

В этом случае смотровая площадка окажется между привалами.

Аналогичным способом можно проследить изменение условий при любом положении точки N на графике.

Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена ax² + bx + c были меньше, чем число N, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

Что произойдет, если ветви параболы будут направлены вниз? Наш экскурсионный маршрут немного поменяется: появится гора, а не овраг.

Где теперь располагается смотровая площадка? Она будет ниже, чем привалы, и дальше, чем самая высокая точка горы.

Мы можем сделать вывод, что точка N на графике будет лежать правее вершины параболы, а значение функции в ней будет меньше, чем значение функции в корнях уравнения.

2. Корни квадратного трехчлена больше, чем число N.

Рассуждаем так же, как и в предыдущей функции, однако теперь точка N перемещается левее параболы.

Если ветви параболы направлены вверх, то функция в точке N принимает большее значение, чем в корнях уравнения, а сама точка N будет лежать левее параболы.

Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена ax² + bx + c были больше, чем число N, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

Теперь направим ветви параболы вниз. Значение функции в точке N будет меньше, чем в корнях уравнения.

С помощью анализа расположения точек на графике функций можно задать условия для любой ситуации, даже если точек будет несколько.

Алгоритм: как задать любые условия для корней квадратных уравнений с помощью графика?

Достаточно начертить примерный график функции и расставить на оси х нужные точки. Чтобы составить систему, необходимо:

1. Определить, куда направлены ветви параболы и задать условие для коэффициента перед x².
2. Определить, сколько корней имеет уравнение и задать условие для дискриминанта.
3. Определить расположение вершины параболы относительно точек на графике и задать условие для их абсцисс.
4. Определить, какое значение принимает функция в данных точках относительно корней уравнения.

В итоге должна получиться система, с помощью которой можно решить задачу.

Фактчек

Параметр — это буква a, вместо которой можно подставить число. Решить уравнение с параметром — это найти такие числовые значения параметра, при которых условие выполняется.
При решении линейного уравнения ax=b в зависимости от значения коэффициентов может получиться несколько вариантов решений. Если a = 0, b = 0 — бесконечное множество решений. Если a = 0, b (neq) 0 — решений нет. Если a (neq) 0, b (neq) 0 — решением будет (x = frac{b}{a}).
При решении квадратного уравнения обязательно проверять коэффициент перед x². Если коэффициент будет равен 0, то уравнение станет линейным.
При решении квадратного уравнения важно учитывать значение дискриминанта: если он строго больше 0, то корней у уравнения два, если дискриминант равен 0, то у уравнения один корень, если дискриминант меньше 0, то у уравнения нет корней.
Решить квадратное уравнение можно и с помощью теоремы Виета.
Если в задаче даны дополнительные условия на корни уравнения (например, они должны быть больше или меньше определенного числа), то задать их можно с помощью системы. Неравенства в системе можно составить с помощью анализа примерного графика функций.

Проверь себя

Задание 1.
Что такое параметр?

Это буква a, вместо которой можно подставить число.
Это коэффициент перед x² в квадратном уравнении.
Это переменная х.
Это значение функции в определенной точке.

Задание 2.
Дано уравнение ax = b. Сколько решений оно имеет, если a = 0 и b = 0?

Решений нет.
Одно решение.
Бесконечное множество решений.
Невозможно определить количество решений.

Задание 3.
При каких значениях дискриминанта уравнение будет иметь корни?

D > 0
D = 0
D < 0
D (neq) 0

Задание 4.
Корни квадратного уравнения меньше числа А. Где будет лежать вершина параболы относительно точки А?

Справа.
Слева.
Совпадать с точкой А.
Невозможно определить расположение вершины.

Задание 5.
Меньший корень квадратного уравнения больше числа А, но меньше числа В. Ветви параболы направлены вниз. Чему будет равно значение функции в точке В?

Значение функции в точке В будет меньше 0.
Значение функции в точке В будет равно 0.
Значение функции в точке В будет больше 0.
Невозможно определить значение функции.

Ответы: 1. — 1 2. — 3 3. — 4 4. — 2 5. — 3.

Источник

МОУ «Средняя общеобразовательная школа №15»

г. Мичуринска Тамбовской области

Урок по алгебре в 9классе

«Расположение корней квадратного трехчлена в зависимости от значений
параметра»

Разработала

учитель
математики 1 категории

Бортникова
М.Б.

Мичуринск – наукоград 2016 год

Урок рассчитан на 2 часа.

Дорогие ребята! Изучение многих физических и
геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами.
Некоторые ВУЗы также включают в экзаменационные билеты уравнения, неравенства и
их системы, которые часто бывают весьма сложными и требующими нестандартного
подхода к решению. В школе же этот один из наиболее трудных разделов школьного
курса алгебры рассматривается только на немногочисленных факультативных или предметных
курсах.
На мой взгляд, функционально-графический метод является удобным и быстрым
способом решения уравнений с параметром.

Цели урока: 1. Расширить представление о квадратных уравнениях 2.Научить
находить все значения параметра, при каждом из которых решения уравнения
удовлетворяют заданным условиям. 3. Развивать интерес к предмету.

Ход урока:

1. Что такое параметр

Выражение вида aх²
+ bх + c в школьном курсе алгебры называют квадратным трехчленом
относительно х, где a, b, c – заданные действительные числа,
причем, a =/= 0. Значения переменной х, при которых выражение
обращается в нуль, называют корнями квадратного трехчлена. Для нахождения
корней квадратного трехчлена, необходимо решить квадратное уравнение aх²
+ bх + c = 0.
Вспомним основные уравнения : aх + b = 0;
aх2 + bх + c = 0. При поиске их корней, значения переменных a, b,
c, входящих в уравнение считаются фиксированными и заданными. Сами
переменные называют параметром.

Определение. Параметром называется независимая переменная,
значение которой в задаче считается заданным фиксированным или произвольным
действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренному
множеству.

2. Основные типы и методы
решения задач с параметрами

Среди задач с параметрами можно
выделить следующие основные типы задач.

1.
Уравнения, которые необходимо
решить либо для любого значения параметра (параметров), либо для значений
параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству. Например. Решить
уравнения: aх = 1, (a – 2)х = a²
– 4.

2.
Уравнения, для которых
требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра
(параметров). Например.

3.
При каких значениях
параметра a уравнение 4х² – 4
aх + 1 = 0 имеет единственный корень?

4.
Уравнения, для которых при
искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в
области определения.

Например, найти значения параметра,
при которых корни уравнения (a – 2)х² –
2aх + a + 3 = 0 положительные.
Основные способы решения задач с параметром: аналитический и графический.

Аналитический – это способ так называемого прямого решения,
повторяющего стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра.
Рассмотрим пример такой задачи.

Задача № 1

При каких значениях параметра а
уравнение х² – 2aх + a² –
1 = 0 имеет два различных корня, принадлежащих промежутку (1; 5)?

Решение

х²
– 2aх + a²
– 1 = 0.
По условию задачи уравнение должно иметь два различных корня, а это возможно
лишь при условии: Д > 0.
Имеем: Д = 4a² – 2(а² – 1) = 4.
Как видим дискриминант не зависит от а, следовательно, уравнение имеет два
различных корня при любых значениях параметра а. Найдем корни уравнения: х₁
= а + 1, х₂ = а – 1
Корни уравнения должны принадлежать промежутку (1; 5), т.е.
Итак, при 2 < а < 4 данное уравнение имеет два различных корня,
принадлежащих промежутку (1; 5)

Ответ: 2 < а < 4.
Такой подход к решению задач рассматриваемого типа возможен и рационален в тех
случаях, когда дискриминант квадратного уравнения «хороший», т.е. является
точным квадратом какого либо числа или выражения или корни уравнения можно
найти по теореме обратной т.Виета. Тогда, и корни не представляют собой
иррациональных выражений. В противном случае решения задач такого типа
сопряжено с достаточно сложными процедурами с технической точки зрения. Да и
решение иррациональных неравенств потребует от вас новых знаний.

Графический – это способ, при котором используют графики
в координатной плоскости (х;у) или (х;а). Наглядность и красота такого способа
решения помогает найти быстрый путь решения задачи. Решим задачу № 1
графическим способом.
Как известно корни квадратного уравнения (квадратного трехчлена) являются
нулями соответствующей квадратичной функции: у = х² – 2ах
+ а² – 1. Графиком функции является парабола, ветви направлены
вверх (первый коэффициент равен 1). Геометрическая модель, отвечающая всем
требованиям задачи, выглядит так.

Теперь осталось «зафиксировать»
параболу в нужном положении необходимыми условиями.

1.
Так как парабола имеет две
точки пересечения с осью х, то Д > 0.

2.
Вершина параболы находится
между вертикальными прямыми х = 1 и х = 5, следовательно
абсцисса вершины параболы х_о принадлежит промежутку (1; 5), т.е.
1 <х_о < 5.

3.
Замечаем, что у(1)
> 0, у(5) > 0.

Итак, переходя от геометрической
модели задачи к аналитической, получаем систему неравенств.

Ответ: 2 < а < 4.

Как видно из примера, графический
способ решения задач рассматриваемого типа возможен в случае, когда корни
«нехорошие», т.е. содержат параметр под знаком радикала (в этом случае
дискриминант уравнения не является полным квадратом).
Во втором способе решения мы работали с коэффициентами уравнения и областью
значения функции у = х² – 2ах + а²
– 1.
Такой способ решения нельзя назвать только графическим, т.к. здесь приходится
решать систему неравенств. Скорее этот способ комбинированный:
функционально-графический. Из этих двух способов последний является не только
изящным, но и наиболее важным, так как в нем просматриваются взаимосвязь между
всеми типами математической модели: словесное описание задачи, геометрическая
модель – график квадратного трехчлена, аналитическая модель – описание
геометрической модели системой неравенств.
Итак, мы рассмотрели задачу, в которой корни квадратного трехчлена
удовлетворяют заданным условиям в области определения при искомых значениях
параметра.

А каким еще возможным условиям
могут удовлетворять корни квадратного трехчлена при искомых значениях
параметра?

Примеры решения задач

3. Исследование расположения корней квадратного
трехчлена в зависимости от искомых значений параметра а.

Задача № 2.

При каких значениях параметра а корни
квадратного уравнения

х² – 4х – (а – 1)(а – 5) = 0 больше
единицы?

Решение.

Рассмотрим функцию: у = х² – 4х – (а – 1)(а – 5)

Графиком функции является парабола. Ветви параболы направлены
вверх.

Схематично изобразим параболу (геометрическую модель задачи).

Теперь от построенной геометрической модели перейдем к
аналитической, т.е. опишем эту геометрическую модель адекватной ей системой
условий.

1)
Имеются точки пересечения
(или точка касания) параболы с осью х, следовательно, Д≥0, т.е.
16+4(а-1)(а-5)≥0.

2)
Замечаем, что вершина
параболы расположена в правой полуплоскости относительно прямой х=1, т.е. ее
абсцисса больше 1, т.е. 2>1 (выполняется при всех значениях параметра а).

3)
Замечаем, что у(1)>0,
т.е. 1 – 4 – (а – 1)(а – 5)>0

В результате приходим к системе неравенств.

;

Ответ: 2<а<4.

Задача № 3.

При каких значениях параметра а корни квадратного
уравнения

-х² + ах – 2 = 0
больше единицы?

Решение.

Рассмотрим функцию: у = -х² + ах – 2

Графиком функции является парабола. Ветви параболы направлены
вниз. Изобразим геометрическую модель рассматриваемой задачи.

У(1)

Составим систему неравенств.

, решений нет

Ответ. Таких значений параметра а нет.

Условия задачи № 2 и № 3, в которых корни квадратного
трехчлена больше некоторого числа при искомых значениях параметра а,
сформулируем следующим образом.

Общий случай № 1.

При каких значениях параметра а корни квадратного
трехчлена

f(х) = ах² + вх + с больше
некоторого числа к, т.е. к<х₁≤х₂.

Изобразим геометрическую модель данной задачи и
запишем соответствующую систему неравенств.

Таблица 1. Модель – схема.

Задача № 4.

При каких значениях параметра а корни квадратного уравнения

х²+(а+1)х–2а(а–1) = 0 меньше единицы?

Решение.

Рассмотрим функцию: у = х²+(а+1)х–2а(а–1)

Графиком функции является парабола. Ветви параболы
направлены вверх. По условию задачи корни меньше 1, следовательно, парабола
пересекает ось х (или касается оси х левее прямой х=1).

Схематично изобразим параболу (геометрическая модель задачи).

у(1)

От геометрической модели перейдем к аналитической.

1)
Так как имеются точки
пересечения параболы с осью ох, то Д≥0.

2)
Вершина параболы находится
левее прямой х=1, т.е. ее абсцисса х₀<1.

3)
Замечаем, что у(1)>0,
т.е. 1+(а+1)-2а(а-1)>0.

Приходим к системе неравенств.

;

Ответ: -0,5<а<2.

Общий случай № 2.

При каких значениях параметра а оба корня трехчлена f(х) =
ах² + вх + с будут меньше некоторого числа к: х₁≤х₂<к.

Геометрическая модель и соответствующая система неравенств представлена
в таблице. Необходимо учитывать тот факт, что существуют задачи, где первый
коэффициент квадратного трехчлена зависит от параметра а. И тогда ветви
параболы могут быть направлены как вверх, так и вниз, в зависимости от значений
параметра а. Этот факт будем учитывать при создании общей схемы.

Таблица № 2.

f(k)

Аналитическая модель

(система условий).

Аналитическая модель

(система условий).

Задача № 5.

При каких значениях параметра а корни квадратного
уравнения х²-2ах+а=0 принадлежат интервалу (0;3)?

Решение.

Рассмотрим квадратный трехчлен у(х) = х²-2ах+а.

Графиком является парабола. Ветви параболы направлены вверх.

На рисунке представлена геометрическая модель рассматриваемой задачи.

У(0)

У(3)

0 х₁ х₀
х₁ 3 х

От построенной геометрической модели перейдем к аналитической, т.е.
опишем ее системой неравенств.

1)
Имеются точки пересечения
параболы с осью х (или точка касания), следовательно, Д≥0.

2)
Вершина параболы находится
между прямыми х=0 и х=3, т.е. абсцисса параболы х₀ принадлежит
промежутку (0;3).

3)
Замечаем, что у(0)>0, а
также у(3)>0.

Приходим к системе.

;

Ответ: а

Общий случай № 3.

При каких значениях параметра а корни квадратного трехчлена принадлежат
интервалу (k;m), т.е. k<х₁≤х₂<m

Таблица № 3. Модель – схема.

Геометрическая модель задачи	Геометрическая модель задачи
f(x) f(k) f(m) k х₁ х₀ х₂ m x	f(x) 0 k x₁ x₀ x₂ m f(k) f(m)
Аналитическая модель задачи	Аналитическая модель задачи

ЗАДАЧА № 6.

При каких значениях параметра а только меньший корень
квадратного уравнения х²+2ах+а=0 принадлежит интервалу Х(0;3).

Решение.

Рассмотрим квадратный трехчлен у(х)= х²-2ах+а

Графиком является парабола. Ветви параболы направлены вверх. Пусть х₁
меньший корень квадратного трехчлена. По условию задачи х₁
принадлежит промежутку (0;3). Изобразим геометрическую модель задачи,
отвечающую условиям задачи.

Y(x)

Y(0)

0 x₁ 3 x₀ x₂ x

Y(3)

Перейдем к системе неравенств.

1) Замечаем, что у(0)>0 и у(3)<0. Так как ветви параболы
направлены вверх и у(3)<0, то автоматически Д>0. Следовательно, это
условие записывать в систему неравенств не нужно.

Итак, получаем следующую систему неравенств:

Ответ: а>1,8.

Общий случай № 4.

При каких значениях параметра а меньший корень квадратного
трехчлена принадлежит заданному интервалу (k;m), т.е. k<х₁<m<х₂.

Таблица № 4. Модель – схема.

Геометрическая модель	Геометрическая модель
f(k) k x₁ 0 m x₂ f(m)	F(x) f(m) k x₁ m x_{2 x} f(k)
Аналитическая модель	Аналитическая модель

ЗАДАЧА № 7.

При каких значениях параметра а только больший корень квадратного
уравнения х²+4х-(а+1)(а+5)=0 принадлежит промежутку [-1;0).

Решение.

Рассмотрим квадратный трехчлен у(х)= х²+4х-(а+1)(а+5).

Графиком является парабола. Ветви направлены вверх.

Изобразим геометрическую модель задачи. Пусть х₂ – больший
корень уравнения. По условию задачи только больший корень принадлежит
промежутку.

y(х)

y(0)

x₁ -1 х₂
0 х

y(-1)

Замечаем, что у(0)>0, а у(-1)<0. Кроме этого ветви параболы
направлены вверх, значит, при этих условиях Д>0.

Составим систему неравенств и решим ее.

Ответ:

Общий случай № 5.

При каких значениях параметра а больший корень квадратного
трехчлена принадлежит заданному интервалу (k;m), т.е. х₁<k<х₂<m.

Таблица № 5. Модель – схема.

Геометрическая модель	Геометрическая модель
f(x) f(m) 0 x₁ k x₂ m x f(k)	f(x) f(k) x₁ 0 k x₂ m f(m)
Аналитическая модель	Аналитическая модель

ЗАДАЧА № 8.

При каких значениях параметра а отрезок [-1;3] целиком находится между
корнями квадратного уравнения х²-(2а+1)х+а-11=0?

Решение.

Рассмотрим квадратный трехчлен у(х)= х²-(2а+1)х+а-11

Графиком является парабола.

Геометрическая модель данной задачи представлена на рисунке.

Y(x)

X₁ -1 0 3
x₂
x

Y(-1)

Y(3)

При этих условиях Д>0, так как ветви параболы направлены вверх.

Ответ: а

Общий случай № 6.

При каких значениях параметра а корни квадратного трехчлена
находятся вне заданного интервала (k;m), т.е. х₁<k <m<х₂.

Таблица № 6.

Геометрическая модель	Геометрическая модель
F(x) 0 x₁ k m x₂ x f(k) f(m)	f(m) f(k) 0 x₁ k m x₂ x
Аналитическая модель	Аналитическая модель

ЗАДАЧА № 9.

При каких значениях параметра а корни квадратного уравнения

х²-(2а+1)х+4-а=0 лежат по разные стороны числа от числа 3?

Решение.

Рассмотрим квадратный трехчлен у(х)= х²-(2а+1)х+4-а.

Графиком является парабола, ветви направлены вверх (первый коэффициент
равен 1). Изобразим геометрическую модель задачи.

X₁ 3 x₂ x

Y(3)

Перейдем от геометрической модели к аналитической.

1)
Замечаем, что у(3)<0, а
ветви параболы направлены вверх. При этих условиях Д>0 автоматически.

Поэтому система неравенств будет содержать одно неравенство.

у(3)<0, т.е. 9-6а-3+4-а<0, -7а<-10, а>10/7.

Ответ: а>10/7.

Общий случай № 7.

При каких значениях параметра а оба корня квадратного
трехчлена находятся по разные стороны от некоторого числа k, т.е.
х₁<k<х₂.

Таблица № 7.

Геометрическая модель	Геометрическая модель
f(x) 0 x₁ k x₂ x f(k)	f(x) f(k) x₁ 0 k x₂ x
Аналитическая модель	Аналитическая модель

Выводы. Обобщение. Самостоятельная работа

1 При каких
значениях параметра а
корни квадратного трехчлена ах²+вх+с больше некоторого числа к,
т.е. к<х₁≤ х₂

2. При каких
значениях параметра а
корни квадратного трехчлена ах²+вх+с меньше некоторого числа к: х₁≤
х₂<к

3. При каких
значениях параметра а
корни квадратного трехчлена ах²+вх+с принадлежат интервалу (к,т)
к<х₁ ≤х₂<т

4. При каких
значениях параметра а
только меньший корень квадратного трехчлена ах²+вх+с принадлежит
заданному интервалу (к,т),т.е.к<х₁<т<х₂

1.Изобразить геометрическую
модель данной задачи.

2. Записать
систему условий, к которой сводится решение данной задачи

1.Изобразить
геометрическую модель данной задачи.

2. Записать
систему условий, к которой сводится решение данной задачи

1.Изобразить
геометрическую модель данной задачи.

2. Записать
систему условий, к которой сводится решение данной задачи

1.Изобразить
геометрическую модель данной задачи.

2. Записать
систему условий, к которой сводится решение данной задачи

Корни
квадратного уравнения х²-4х-(а-1)(а-5)=0, больше чем 1.

Ответ:
2<а<4

Корни
квадратного уравнения х²+(а+1)х-2а(а-1)=0, меньше чем 1.

Ответ:

-0,5<а<2

Корни
квадратного уравнения х²-2ах+а=0, принадлежат интервалу (0;3).

Ответ: 1≤а<⁹/₅

Только меньший
корень уравнения х²-2ах+а=0, принадлежит интервалу (0;3).

Ответ: 1≤а<⁹/₅

5. При каких
значениях параметра а
только больший корень квадратного трехчлена ах²+вх+с принадлежит
заданному интервалу (к,т), т.ех₁<к<х₂<т

6. При каких
значениях параметра а
корни квадратного трехчлена ах²+вх+с находятся вне заданного
интервала (к,т),т.е.х₁<к<т<х₂

7. При каких
значениях параметра а
оба корня квадратного трехчлена ах²+вх+с находятся по разные
стороны от некоторого числа к, т.е. х₁<к<х₂

1.Изобразить
геометрическую модель данной задачи.

2. Записать
систему условий, к которой сводится решение данной задачи

1.Изобразить
геометрическую модель данной задачи.

2. Записать
систему условий, к которой сводится решение данной задачи

1.Изобразить
геометрическую модель данной задачи.

2. Записать
систему условий, к которой сводится решение данной задачи

Только больший
корень уравнения х²+4х-(а+1)(а+5)=0, принадлежит промежутку
[-1;0).

Ответ:(-5;-4]U[-2;-1)

Отрезок [-1;3]
целиком находится между корнями квадратного уравнения х²-(2а+1)х+а-11=0.

Ответ:-1
<а<3

Корни
квадратного уравнения х²-2(а+1)х+4-а=0, лежат по разные стороны от
числа 3.

Ответ(¹⁰/₇;∞)

Спасибо за урок
ребята!

Источник

Чтобы решить квадратное уравнение с параметром, нужно понять, при каких значениях параметра существуют корни, и найти их, выразив через параметр. Обычно это делается просто через анализ дискриминанта. (см. пример 1)
Но иногда в задачах с параметром просят найти такие значения параметра, при которых корни принадлежат определенному числовому промежутку. Например:

Найдите такие значения параметра, чтобы оба корня были меньше некоторого числа (γ): (x_1≤x_2<γ).
Только один из корней принадлежит какому-то промежутку ((γ;β):)
2 случая: (γ<x_1<β≤x_2;) или (x_1≤γ<x_2<β.)
Некоторое число (∝) лежит между корнями: ((x_1<γ<x_2)).
И т.д. Условия могут быть различными.

Теперь разберемся, как при помощи математики записать те или иные условия. Разберем условие: (x_1≤x_2<γ). Точно такие же рассуждения будут справедливы и для других условий.

Очевидно, что (D≥0), для того, чтобы корни существовали (либо один, либо два корня – то и то нас устраивает – именно поэтому знак неравенства больше либо равно).
Чтобы некоторое число лежало вне отрезка ((x_1,x_2)), необходимо рассмотреть два случая: ветки параболы направлены вверх ((a>0)); ветки параболы направлены вниз ((a<0)).
- (a>0). Значит, между корнями функция принимает отрицательные значения, а вне этого отрезка – положительные. Так как наше число (γ) должно по условию лежать вне отрезка ((x_1,x_2)), то (f(γ)>0).
- (a<0). Значит, между корнями функция принимает положительные значения, а вне этого отрезка – отрицательные. Так как наше число (γ) должно по условию лежать вне отрезка ((x_1,x_2)), то (f(γ)<0).

Используем небольшую хитрость, чтобы описать оба этих условия: (a*f(γ)>0). Этим условием мы накладываем ограничение, что наши корни должны лежать слева или справа от числа (γ).

В итоге получаем:

если (a*f(γ)<0), то (γ∈(x_1,x_2)),

если (a*f(γ)>0), то (γ∉(x_1,x_2)).

Нам осталось наложить условие, чтобы наши корни были слева от числа (γ). Здесь нужно просто сравнить положение вершины нашей параболы (x_0) относительно (γ). Заметим, что вершина лежит между точками (x_1) и (x_2). Если (x_0<γ), то в системе с предыдущими условиями это будет означать, что число (γ) лежит справа от отрезка ((x_1,x_2)) и соответственно удовлетворяет условию задачи (x_1≤x_2<γ).

Таким образом, для того, чтобы решить задачу с условием (x_1≤x_2<γ) необходимо решить следующую систему:

$$begin{cases} D≥0,\ a*f(γ)>0, \x_0<γ.end{cases}$$

То, что дискриминант неотрицательный дает нам существование корней. Второе неравенство указывает, что (γ∉(x_1,x_2)). И последнее в совокупности с первыми двумя, что оба корня лежат слева от (γ).
Аналогичные рассуждения можно провести для любых условий. Настоятельно рекомендую разобраться во всех пунктах и откуда возникает вышеуказанная система неравенств, и вы легко сможете проводить анализ квадратных уравнений с параметром.

Ниже приведена таблица, в которой разобраны все варианты расположения нулей квадратичной функции на числовой прямой и соответствующие им условия. (см. таблицу)

Пример 1

При каких значениях параметра a уравнение
$$a(a+3) x^2+(2a+6)x-3a-9=0$$
имеет более одного корня?

Решение:

1 случай:
Если (a(a+3)=0), то уравнение будет линейным. При (a=0) исходное уравнение превращается в (6x-9=0), корень которого (x=1,5). Таким образом, при (a=0) уравнение имеет один корень.

При (a=-3) получаем (0*x^2+0*x-0=0), корнями этого уравнения являются любые рациональные числа. Уравнение имеет бесконечное количество корней.

2 случай:
Если (a≠0; a≠-3), то получим квадратное уравнение. При положительном дискриминанте уравнение будет иметь более одного корня:
$$D>0$$ $$D/4=(a+3)^2+3a(a+3)^2>0$$ $$(a+3)^2 (3a+1)>0$$ $$a>-frac{1}{3}.$$
С учетом (a≠0;) (a≠-3), получим, что уравнение имеет два корня при (a∈(-frac{1}{3};0)∪(0;+∞)).

Объединив оба случая получим (внимательно прочитайте, что от нас требуется):

Ответ: (a ∈ {-3} ∪(-frac{1}{3};0)∪(0;+∞)).

Пример 2

Найти все значения параметра a, при которых корни уравнения
$$(a+1) x^2-(a^2+2a)x-a-1=0$$
принадлежат отрезку ([-2;2]).

Решение:

1 случай: Если (a=-1), то (0*x^2-x+1-1=0) отсюда (x=0). Это решение принадлежит ([-2;2]).

2 случай: При (a≠-1), получаем квадратное уравнение, с условием, что все корни принадлежат ([-2;2]). Для решения введем функцию (f(x)=(a+1) x^2-(a^2+2a)x-a-1) и запишем систему, которая задает требуемые условия:

$$begin{cases} (a+1)*f(-2) ≥ 0, \(a+1)*f(2) ≥ 0, \D≥0, \-2 < x_0 < 2.end{cases}$$

(x_0=frac{a^2+2a}{2(a+1)}) -вершина параболы.

$$ f(-2)=(a+1)*4-(a^2+2a)*(-2)-a-1=2a^2+7a+3; $$
$$ f(2)=(a+1)*4-(a^2+2a)*(2)-a-1=-2a^2-a+3; $$
$$ D=(a^2+2a)^2+4(a+1)^2=(a^2+2a+2)^2=(1+(a+1)^2 )^2>0.$$

Подставляем полученные выражения в систему:

$$ begin{cases} (a+1)(2a^2+7a+3) ≥ 0, \(a+1)(-2a^2-a+3) ≥ 0,\ -2 < frac{a^2+2a}{2(a+1)} < 2. end{cases} $$
Или
$$ begin{cases} 2(a+1)(a+3)(a+0,5) ≥ 0,\ -2(a+1)(a-1)(a+1,5) ≥ 0,\ frac{(a-1-sqrt{5})(a-1+sqrt{5})}{2(a+1)} < 0,\ frac{(a+3-sqrt{5})(a+3+sqrt{5})}{2(a+1)} > 0.end{cases} $$

Ответ: ([-3;-1,5]∪[-0,5;1]).

Пример 3

Решить уравнение (sqrt{x-5}=x+a), где (a) параметр.

Решение:

После равносильных преобразований получим систему:

$$ begin{cases} x-5=(x+a)^2, \x≥-a; end{cases} $$
$$ begin{cases} x^2+(2a-1)x+(a^2+5)=0, \x≥-a. end{cases} $$

Наша задача свелась к исследованию квадратного многочлена:

$$ f(x)=x^2+(2a-1)x+(a^2+5). $$

Для этого найдем дискриминант, вершину параболы и (f(-a)).
$$ D=(2a-1)^2-4(a^2+5)=-4a-19;$$
$$ {x}_{0}=-frac{2a-1}{2}=frac{1-2a}{2}; $$
$$ f(-a)=a+5.$$

Из второго неравенства системы следует, что нас устраивают случаи, когда ({x}_{1} < -a ≤ {x}_{2}) (нас будет устраивать только один корень ({x}_{2})) и (-a ≤ {x}_{1} ≤ {x}_{2}) (под условие системы будут подходить оба корня), где ({x}_{1},{x}_{2})- нули (f(x)).

Обратим внимание, что коэффициент при (x^2) положителен, т.е. ветки параболы направлены вверх.

Первый случай: ({x}_{1} < -a ≤ {x}_{2}) (см. таблицу)

$$ f(-a)≤0 ⇔ a+5≤0 ⇔ a≤-5;$$

Таким образом, при (a ≤ -5) мы имеем одно решение:

$$ x=frac{1-2a+sqrt{-4a-19}}{2}. $$

Второй случай: (-a ≤ {x}_{1} ≤ {x}_{2}) (см. таблицу)

$$ begin{cases} f(-a)≥0, \D≥0, \{x}_{0}>-a; end{cases} $$
$$ begin{cases} a+5≥0, \-4a-19≥0, \ frac{1-2a}{2}>-a; end{cases} $$
$$ begin{cases} a≥-5, \a≤-frac{19}{4}, \ 1>0. end{cases} $$

Получаем, что при (a∈[-5;-4.75]) уравнение имеет два решения:

$$ {x}_{1,2}=frac{1-2a±sqrt{-4a-19}}{2}. $$

Ответ: при (a≤-5) $$ x=frac{1-2a+sqrt{-4a-19}}{2};$$
при (a∈[-5;-4.75]) $$ {x}_{1,2}=frac{1-2a±sqrt{-4a-19}}{2}; $$
при (a>-4.75) решений нет.

Источник

На этой странице вы узнаете

Что такое параметр

Линейные уравнения с параметром

Квадратные уравнения с параметром

Теорема Виета

Условия на корни квадратного трехчлена

Фактчек

Проверь себя

Вам также может понравиться

Как исправить кавычки в экселе

Green hell как найти кокос

Как найти толщину слоя никеля

Добавить комментарий Отменить ответ