Как найти корни уравнения дискриминант равен 1

Квадратное уравнение

Это уравнение вида ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0,

где aa – коэффициент перед x2x^2,

bb – коэффициент перед xx,

cc – свободное число.

Существуют разные способы нахождения корней квадратного уравнения. Пожалуй, самый основной и распространенный способ – через вычисление дискриминанта. В этом случае он рассчитывается по формуле:

D=b2–4acD = b^2 – 4ac

Если второй коэффициент уравнения четный, можно решать уравнение через kk, тогда будет другая формула дискриминанта:

D1=k2–acD_1 = k^2 – ac

Если первый коэффициент уравнения равен 1, то можно воспользоваться теоремой Виета, которая имеет 2 условия:

x1+x2=−bx_1 + x_2 = -b
x1⋅x2=cx_1 cdot x_2 = c

Но если мы захотим решить уравнение основным способом, ошибки не будет. Нахождение корней уравнения через дискриминант – универсальный способ, а остальные введены для удобства вычислений.

Задача 1

Решим уравнение: 3×2+7x−6=0.3x^2 + 7x – 6 = 0.

Обозначим коэффициенты:

a=3a = 3,

b=7b = 7,

c=−6c = -6

Далее находим дискриминант по формуле:

D=b2–4acD = b^2 – 4ac

D=72–4∗3∗(−6)=49+72=121=112D = 7^2 – 4 * 3 * (-6) = 49 + 72 = 121 = {11}^2

D>0D > 0 – значит, уравнение имеет 2 корня.

Находим корни уравнения по следующим формулам:

x1=(−b+√D)/2ax_1 = (-b + √D) / 2a
x2=(−b−√D)/2ax_2 = (-b – √D) / 2a

Подставляем численные значения:

x1=(−7+11)/2∗3=4/6=23x_1 = (-7 + 11) / 2*3 = 4 / 6 = frac{2}{3}

x2=(−7–11)/2∗3=−18/6=−3x_2 = (-7 – 11) / 2*3 = -18 / 6 = -3

Ответ: x1=23x_1 = frac{2}{3}, x2=−3x_2 = -3.

Задача 2

Решим уравнение: −x2+7x+8=0.-x^2 + 7x + 8 = 0.

Обозначим коэффициенты:

a=−1a = -1,

b=7b = 7,

c=8.c = 8.

Далее находим дискриминант по формуле:

D=b2–4acD = b^2 – 4ac

D=72–4⋅(−1)⋅8=49+32=81=92D = 7^2 – 4 cdot (-1) cdot 8 = 49 + 32 = 81 = 9^2

D>0D > 0 – значит, уравнение имеет 2 корня.

Находим корни уравнения по следующим формулам:

x1=(−b+√D)/2ax_1 = (-b + √D) / 2a
x2=(−b−√D)/2ax_2 = (-b – √D) / 2a

Подставляем численные значения:

x1=(−7+9)/2∗(−1)=2/(−2)=−1x_1 = (-7 + 9) / 2 * (-1) = 2 / (-2) = -1
x2=(−7–9)/2∗(−1)=−16/(−2)=8x_2 = (-7 – 9) / 2 * (-1) = -16 / (-2) = 8

Ответ: x1=−1x_1 = -1, x2=8x_2 = 8.

Задача 3

Решим уравнение: 4×2+4x+1=0.4x^2 + 4x + 1 = 0.

Обозначим коэффициенты:
a=4a = 4,

b=4b = 4,

c=1.c = 1.

Далее находим дискриминант по формуле: D=b2–4acD = b^2 – 4ac

D=42–4⋅4⋅1=16–16=0D = 4^2 – 4 cdot 4 cdot 1 = 16 – 16 = 0

D=0D = 0 – значит, уравнение имеет 1 корень.

Находим корень уравнения по следующей формуле: x=−b/2ax = -b / 2a

Подставляем численные значения:

x=−4/2⋅4=−4/8=−1/2=−0,5x = -4 / 2 cdot 4 = -4 / 8 = -1 / 2 = -0,5

Ответ: x=−0,5.x = -0,5.

Задача 4

Решим уравнение: 2×2+x+1=0.2x^2 + x + 1 = 0.

Обозначим коэффициенты:
a=2a = 2,

b=1b = 1,

c=1.c = 1.

Далее находим дискриминант по формуле: D=b2–4acD = b^2 – 4ac

D=12–4∗2∗1=1–8=−7D = 1^2 – 4 * 2 * 1 = 1 – 8 = -7

D<0D < 0 – значит, уравнение корней не имеет.

Ответ: корней нет.

Решение квадратного уравнения через k

Если у квадратного уравнения коэффициент bb четный, то можно решать уравнение через kk, при этом k=12bk = frac{1}{2} b.

Задача 5

Решим уравнение: −x2+2x+8=0.-x^2 + 2x + 8 = 0.

Обозначим коэффициенты:

a=−1a = -1,

b=2b = 2,

c=8c = 8

bb – четное.

k=12b=1k = frac {1}{2} b = 1.

Далее находим дискриминант по формуле: D1=k2–acD_1 = k^2 – ac

D1=12–(−1)∗8=1+8=9=32D_1 = 1^2 – (-1) * 8 = 1 + 8 = 9 = 3^2

D1>0D_1 > 0 – значит, уравнение имеет 2 корня.

Находим корни уравнения по следующим формулам:

x1=(−k+D1)/ax_1 = (-k + {sqrt D}_1) / a
x2=(−k−D1)/ax_2 = (-k – {sqrt D}_1) / a

Подставляем численные значения:

x1=(−1+3)/(−1)=2/(−1)=−2x_1 = (-1 + 3) / (-1) = 2 / (-1) = -2
x2=(−1–3)/(−1)=−4/(−1)=4x_2 = (-1 – 3) / (-1) = -4 / (-1) = 4

Ответ: x_1 = -2, x_2 = 4.

Задача 6

Решим уравнение: 9×2–6x+1=0.9x^2 – 6x + 1 = 0.

Обозначим коэффициенты:
a=9a = 9,

b=−6b = -6,

c=1c = 1

bb – четное.

K=12b=−3.K = frac{1}{2} b = -3.

Далее находим дискриминант по формуле: D1=k2–acD_1 = k^2 – ac

D1=(−3)2–9∗1=9–9=0D_1 = {(-3)}^2 – 9 * 1 = 9 – 9 = 0

D1=0D_1 = 0 – значит, уравнение имеет 1 корень.

Находим корень уравнения по следующей формуле: x=−k/ax = -k / a

Подставляем численные значения:

x=3/9=13x = 3 / 9 = frac{1}{3}

Ответ: x=13.x = frac{1}{3}.

Нахождение корней уравнения по теореме Виета

Если в квадратном уравнении a=1a = 1, то можно найти корни уравнения по теореме Виета.

Задача 7

Найдем корни уравнения: x2+3x+2=0.x^2 + 3x + 2 = 0.

Обозначим коэффициенты:
a=1a = 1,

b=3b = 3,

c=2c = 2.

Запишем 2 условия теоремы Виета:

x1+x2=−bx_1 + x_2 = -b
x1∗x2=cx_1 * x_2 = c

Теперь методом подбора найдем 2 числа, которые будут соответствовать этим условиям. Вероятно, это числа -2 и -1.

Значит, корни уравнения равны:

x1=−2x_1 = -2
x2=−1x_2 = -1

Ответ: x1=−2x_1 = -2, x2=−1x_2 = -1.

Задача 8

Найдем корни уравнения: x2–5x+6=0.x^2 – 5x +6 = 0.

Обозначим коэффициенты:

a=1a = 1,

b=−5b = -5,

c=6c = 6

Запишем 2 условия теоремы Виета:

x1+x2=−bx_1 + x_2 = -b
x1∗x2=cx_1 * x_2 = c

Теперь методом подбора найдем 2 числа, которые будут соответствовать этим условиям. Вероятно, это числа 2 и 3.

Значит, корни уравнения равны:

x1=2x_1 = 2
x2=3x_2 = 3

Ответ: x1=2x_1 = 2, x2=3.x_2 = 3.

Тест по теме «Примеры решения квадратных уравнений»

Похоже, вы используете блокировщик рекламы. Наш сайт существует и развивается
только за счет дохода от рекламы.

Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.

на главную

Дискриминант
квадратного уравнения

Поддержать сайт

Надеюсь, изучив данную статью, вы научитесь находить корни полного квадратного уравнения.

С помощью дискриминанта решаются только полные квадратные уравнения, для решения неполных квадратных уравнений используют другие методы, которые вы найдете в статье “Решение неполных квадратных уравнений”.

Какие же квадратные уравнения называются полными? Это уравнения вида ах² + b x + c = 0, где коэффициенты a, b и с не равны нулю. Итак, чтобы решить полное квадратное уравнение, надо вычислить дискриминант D.

D = b² – 4ас .

В зависимости от того какое значение имеет дискриминант, мы и запишем ответ.

Если дискриминант отрицательное число (D < 0),то корней нет.

Если же дискриминант равен нулю, то х = (-b)/2a. Когда дискриминант положительное число (D > 0),

тогда х₁ = (-b – √D)/2a ,  и  х₂ = (-b + √D)/2a .

Например. Решить уравнение х² – 4х + 4= 0.

D = 4² – 4 · 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Ответ: 2.

Решить уравнение 2х² + х + 3 = 0.

D = 1² – 4 · 2 · 3 = – 23

Ответ: корней нет.

Решить уравнение 2х² + 5х – 7 = 0.

D = 5² – 4 · 2 · (–7) = 81

х₁ = (-5 – √81)/(2·2)= (-5 – 9)/4= – 3,5

х₂ = (-5 + √81)/(2·2) = (-5 + 9)/4=1

Ответ: – 3,5 ; 1.

Итак представим решение полных квадратных уравнений схемой на рисунке1. 

По этим формулам можно решать любое полное квадратное уравнение. Нужно только внимательно следить за тем, чтобы уравнение было записано многочленом стандартного вида

ах² + bx + c, иначе можно допустить ошибку. Например, в записи уравнения х + 3 + 2х² = 0, ошибочно можно решить, что

а = 1, b = 3 и с = 2. Тогда

D = 3² – 4 · 1 · 2 = 1 и тогда уравнение имеет два корня. А это неверно. (Смотри решение примера 2 выше).

Поэтому, если уравнение записано не многочленом стандартного вида, вначале полное квадратное уравнение надо записать многочленом стандартного вида (на первом месте должен стоять одночлен с наибольшим показателем степени, то есть ах², затем с меньшим  – bx, а затем свободный член с.

При решении приведенного квадратного уравнения и квадратного уравнения с четным коэффициентом при втором слагаемом можно использовать и другие формулы. Давайте познакомимся и с этими формулами. Если в полном квадратном уравнении при втором слагаемом коэффициент будет четным (b = 2k), то можно решать уравнение по формулам приведенным на схеме рисунка 2. 

Полное квадратное уравнение называется приведенным, если коэффициент при х² равен единице и уравнение примет вид х² + px + q = 0. Такое уравнение может быть дано для решения, либо получается делением всех коэффициентов уравнение на коэффициент а, стоящий при х².

На рисунке 3 приведена схема решения приведенных квадратных уравнений. Рассмотрим на примере применение рассмотренных в данной статье формул.

Пример. Решить уравнение

3х² + 6х – 6 = 0.

Давайте решим это уравнение применяя формулы приведенные на схеме рисунка 1.

D = 6² – 4 · 3 · (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 · 3) = 6√3

х₁ = (-6 – 6√3 )/(2 · 3) = (6 ( -1- √(3)))/6 = –1 – √3

х₂ = (-6 + 6√3 )/(2 · 3) = (6 ( -1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Ответ: –1 – √3; –1 + √3

Можно заметить, что коэффициент при х в этом уравнении четное число, то есть b = 6 или b = 2k , откуда k = 3. Тогда попробуем решить уравнение по формулам , приведенным на схеме рисунка D₁ = 3² – 3 · (– 6) = 9 + 18 = 27

√(D₁) = √27 = √(9 · 3) = 3√3

х₁ = (-3 – 3√3)/3 = (3 (-1 – √(3)))/3 = – 1 – √3

х₂ = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Ответ: –1 – √3; –1 + √3. Заметив, что все коэффициенты в этом квадратном уравнении делятся на 3 и выполнив деление, получим приведенное квадратное уравнение x² + 2х – 2 = 0 Решим это уравнение, используя формулы для приведенного квадратного уравнения рисунок 3.

D₂ = 2² – 4 · (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D₂) = √12 = √(4 · 3) = 2√3

х₁= (-2 – 2√3)/2 = (2 (-1 – √(3)))/2 = – 1 – √3

х₂= (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Ответ: –1 – √3; –1 + √3.

Как видим, при решении этого уравнения по различным формулам мы получили один и тот же ответ. Поэтому хорошо усвоив формулы приведенные на схеме рисунка 1 , вы всегда сможете решить любое полное квадратное уравнение.

© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.