Как найти кос если известен синус - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Ответ мой будет аналогичным ответу на похожий вопрос (см. здесь).

Из основного тригонометрического тождества:

выразим косинус в квадрате угла а:

Значит косинус угла равен либо корню квадратному из этого выражения, либо ему же, только со знаком -.

Знак перед корнем зависит от ограничения, которое накладывается для определенности в условии задачи.

Если дано положительное значение синуса,то угол находится в 1-й или во 2-й четверти. В первой четверти (0< a< 90) значение косинуса будет положительным. Здесь выбираем знак плюс. Во второй четверти (90< a< 180) значение косинуса будет отрицательным. Тогда перед корнем выбираем знак минус.

Если значение синуса отрицательное, то угол расположен в 3-й или 4-й четверти. В 3 четверти (180< a< 270) косинус угла будет меньше нуля.

В 4 четверти (270< a< 360) косинус угла будет больше нуля.

Примеры.

Пример 1. Найти косинус угла, если sina = -0,6. 180<a<270 (в градусах)

Решение. Находим разность 1 и квадрата значения sina, т.е. квадрата (-0,6).

-0,6 в квадрате находится так: (-0,6)*(-0,6) = 0,36. Подставим его в искомую разность:

1-0,36=0,64

Получили квадрат значения косинуса. Для нахождения значения самого косинуса, извлечем корень квадратный из 0,64 и возьмем его со знаком + или со знаком – . Получим 0,8 или -0,8.

Так как по условию угол находится в 3 четверти, то искомое значение косинуса будет также меньше нуля. Значит выбираем -0,8.

Ответ: cos a =-0,8.

Рассмотрим пример для случая, когда угол находится в 4 четверти:

Пример 2. Найти косинус угла, если sina = -0,6. 270<a<360 (в градусах)

Решение такое же (см. пример 1).

Перед выбором ответа рассуждаем так:

Т. к. по условию угол расположен в 4 четверти, то значение косинуса будет больше нуля. Значит выбираем 0,8.

Ответ: cos a =0,8.

Источник

Тригонометрия — это раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции, их свойства, взаимосвязи и применение.

Слово «тригонометрия» образовано от греческих слов «trigonom» (треугольник) и «metreo» (измерять).

Возникновение и развитие тригонометрии связаны с практическими потребностями в измерении и вычислении сначала элементов треугольников на местности, а позднее — в строительстве, мореплавании и астрономии. Современная тригонометрия широко применяется в разных областях математики, в частности в геометрии, других науках, в технике. Например, тригонометрические функции используются при решении задач оптики, задач кинематического анализа и синтеза механизмов, гармонического анализа и других.

Cинус, косинус, тангенс, котангенс острого угла прямоугольного треугольника

Нет понятий «просто синус» или «просто косинус», не имеют смысла записи типа «sin» и «cos» сами по себе, они сами по себе никакой величины не обозначают (точно так же, как и, например, значок квадратного корня сам по себе). Те, кто этого не понимает, часто делает грубую ошибку типа: sin x /cos x = in /co

Есть понятие синуса, косинуса, тангенса, котангенса как тригонометрических функций угла. Здесь угол — аргумент функции. Он может обозначаться «х», «а», «альфа», «бета», «гамма», «фи», «дельта» или ещё какой-нибудь буквой. Суть от этого не меняется.

Для того, чтобы более наглядно представить приведенные ниже определения, начертите прямоугольный треугольник. Это треугольник, один из углов которого — прямой (т.е. один из углов равен 90 градусов). Стороны, прилежащие к прямому углу (перпендикулярные друг другу стороны) — это катеты данного прямоугольного треугольника. Противолежащая прямому углу сторона — это гипотенуза.

Теперь выберите любой из двух других (острых) углов треугольника и обозначьте его, например, альфа. Один из катетов будет примыкать к вершине этого угла (и, собственно, образовывать этот угол вместе с гипотенузой). Это — прилежащий катет. Другой катет не примыкает к вершине этого угла, он находится как бы напротив данной вершины. Это — противолежащий катет.

Кстати, почему-то не все представляют, что такое угол треугольника при данной вершине. У треугольника (обозначим его ABC) есть три вершины: А, В и С. Когда говорят об угле А треугольника, то подразумевают угол, образованный сторонами ВА и АС. Это и есть угол при вершине А.

Итак,

Синусом острого угла называется отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.

Косинусом острого угла называется отношение прилежащего к этому углу катета к гипотенузе.

Тангенсом острого угла называется отношение противолежащего этому углу катета к прилежащему катету.

Котангенсом острого угла называется отношение прилежащего этому углу катета к противолежащему катету.

Секансом острого угла называется отношение гипотенузы к прилежащему к этому углу катету. Обозначается: sec x.

Косекансом острого угла называется отношение гипотенузы к противолежащему этому углу катету. Обозначается: cosec x.

Как найти углы в прямоугольном треугольнике, если известны стороны?

Дан треугольник АВС, угол С — прямой.

Стороны АВ, АС и ВС известны.

Т.к. угол С — прямой, он равен 90 градусам.

Другие углы можно найти, например, так:

если известен катет и гипотенуза

sinA = BC / AB,

sinB = AC / AB,

если известны два катета

tg A = BC / AC

tg B = AC / BC

Предположим, получили, что sin A = ½. По таблице смотрим, что такому значению sin x соответствует величина угла 30 градусов.

Или, к примеру, получили, что tg B = 1. Значит, угол В равен 45 градусов.

Или, к примеру, мы получили, что sin B = 0,259. По таблице Брадиса или с помощью калькулятора находим, что угол В равен 15 градусов.

sin 15° = 0,259

arcsin0,259 = 15°

Как найти углы в прямоугольном треугольнике, если известен один угол?

Поскольку треугольник прямоугольный, то один из его углов равен 90 градусов. Величина второго угла известна (по условию задачи, обозначим её альфа). В сумме углы треугольника составляют 180 градусов. Значит, третий угол равен 180—90—альфа.

Еединичная окружность (единичный круг)

Единичный круг — это круг с центром в начале координат и радиусом, равным единице (R = 1).

Единичная окружность — это окружность единичного круга (т.е. окружность с центром в начале координат и с радиусом, равным единице).

Единичный радиус-вектор — это вектор, начало которого совпадает с началом координат, а его длина равна единице.

Углы отсчитывают от начального положения подвижного радиуса-вектора (совпадает с положением Ох).

Координатные четверти отсчитываются так:

(II четверть) | (I четверть)

________________________ x

(III четверть) | (IV четверть)

Угол первой четверти — от 0 до 90 градусов (от 0 до пи/2).

Угол второй четверти — от 90 до 180 градусов (от пи/2 до пи).

Угол третьей четверти — от 180 до 270 градусов (от пи до 2пи/3).

Угол четвертой четверти — от 270 до 360 градусов (от 2пи/3 до 2пи).

Например:

углы первой четверти: 30 градусов, 85 градусов, пи/4;
углы второй четверти: 120 градусов, 178 градусов;
углы третьей четверти: 205 градусов, 260 градусов;
углы четвертой четверти: 272 градуса, 305 градусов.

Тригонометрические функции

К тригонометрическим функциям относятся функции:

y = sin x;

y = cos x;

y = tg x;

y = ctg x;

y = sec x;

y = cosec x.

Синусом угла, образованного осью Ох и произвольным радиусом-вектором ОА, называется отношение проекции этого вектора на ось Оу к его длине.

Косинусом угла, образованного осью Ох и произвольным радиусом-вектором ОА, называется отношение проекции этого вектора на ось Ох к его длине.

Тангенсом угла, образованного осью Ох и произвольным радиусом-вектором ОА, называется отношение проекции этого вектора на ось Оу к его проекции на ось Ох.

Котангенсом угла, образованного осью Ох и произвольным радиусом-вектором ОА, называется отношение проекции этого вектора на ось Ох к его проекции на ось Оу.

Секансом угла, образованного осью Ох и произвольным радиусом-вектором ОА, называется отношение длины этого вектора к его проекции на ось Ох.

Косекансом угла, образованного осью Ох и произвольным радиусом-вектором ОА, называется отношение длины этого вектора к его проекции на ось Оу.

Тригонометрические функции связаны между собой, и этим можно воспользоваться для нахождения синуса угла по его косинусу или котангенсу или косинуса угла по его синусу или тангенсу.

Как найти синус угла, если известен косинус?

Нужно воспользоваться основным тригонометрическим тождеством:

sin²a + cos²a = 1

sin²a = 1 − cos²a

|sin a| = КОРЕНЬ(1 − cos²a)

sin a = ± КОРЕНЬ(1 − cos²a)

знак перед корнем нужно выбрать в соответствии с четвертью данного угла (синус положительный в I и II четвертях, косинус положительный в I и IV четвертях)

Как найти косинус угла, если известен синус?

Нужно воспользоваться основным тригонометрическим тождеством:

sin²a + cos²a = 1

cos²a = 1 − sin²a

|cos a| = КОРЕНЬ(1 − sin²a)

cos a = ± КОРЕНЬ(1 − sin²a)

Как найти синус угла, если известен котангенс?

Нужно воспользоваться тригонометрическим тождеством

1 + ctg² a = 1/sin² a

sin² a = 1 / (1 + ctg² a)

|sin a| = 1/ КОРЕНЬ(1 + ctg² a)

sin a = ±1/ КОРЕНЬ(1 + ctg² a)

знак перед корнем нужно выбрать в соответствии с четвертью данного угла (синус положительный в I и II четвертях, котангенс положительный в I и III четвертях)

Как найти косинус угла, если известен тангенс?

Нужно воспользоваться тригонометрическим тождеством

1 + tg² a = 1/cos² a

cos² a = 1 / (1 + tg² a)

|cos a| = 1/ КОРЕНЬ(1 + tg² a)

cos a = ±1/ КОРЕНЬ(1 + tg² a)

знак перед корнем нужно выбрать в соответствии с четвертью данного угла (косинус положительный в I и IV четвертях, тангенс положительный в I и III четвертях)

Тригонометрическое тождество

Тригонометрическим тождеством называется равенство, в которое входят тригонометрические функции и которое удовлетворяется произвольным допустимым значением угла — аргумента тригонометрических функций, но не удовлетворяется, если каждую в отдельности тригонометрическую функцию заменить произвольной величиной.

Основные тригонометрические тождества:

sin²a + cos²a = 1

tg a = sin a / cos a

ctg a = cos a / sin a

sec a = 1 / cos a

cosec a = 1 / sin a

Arcsin, arcos, arctg, arcctg (обратные тригонометрические функции)

arcsin — читается: арксинус;
arcos — читается: арккосинус;
arctg — читается: арктангенс;
arcctg — читается: арккотангенс.

arcsin, arcos, arctg, arcctg — это обратные тригонометрические функции.

Обратной тригонометрической функцией y = arcsin x называют угол у, взятый на отрезке от –пи/2 до +пи/2, синус которого равен х:

y = arcsin x sin y = x

Обратной тригонометрической функцией y = arccos x называют угол у, взятый на отрезке от –пи до +пи, косинус которого равен х:

y = arccos x cos y = x

Обратной тригонометрической функцией y = arctg x называют угол у, взятый на промежутке от –пи/2 до +пи/2 (исключая концы), тангенс которого равен х:

y = arctg x tg y = x

Обратной тригонометрической функцией y = arcctg x называют угол у, взятый на промежутке от 0 до пи (исключая концы), котангенс которого равен х:

y = arctg x tg y = x

Например,

sin 30° = 0,5

arcsin0,5 = 30°

Синусоида и косинусоида

График функции y = sin x называется синусоидой.

График функции y = cos x называется косинусоидой.

Источники информации:

Справочник по элементарной математике. Геометрия, тригонометрия, векторная алгебра. Под редакцией П.Ф. Фильчакова. —К.: Наукова думка, 1967. — 442 с.
В.Д. Гетманцев, О.Ф. Саушкiн. Математика: Тригонометрiя: Посiбник для слухачiв пiдотовчих вiддiлень, вступникiв до вищих навчальних закладiв, студентiв педагогiчних iнститутiв (на укр.). —К.: Либiдь, 1994. — 144 с.
docme.ru — зачем нужна тригонометрия?
ru.wikipedia.org — Википедия — тригонометрия;
ru.wikihow.com — как изучать тригонометрию?

Источник

Внимание! Эти формулы работают только если аргументы у тригонометрических функций одинаковые, т.е.

(sin^2⁡ 776^° +cos^2⁡ 776^° =1)
(tg, 3xcdot ctg, 3x=1)

Но:

(sin^2⁡x+cos^2⁡3x≠1)
(tg, xcdot ctg, y≠1)

Все формулы связи тригонометрических функций учить не надо, потому что они достаточно легко получаются друг из друга несложными преобразованиями (подробности в этих видео). Кроме того, при частом использовании они постепенно запоминаются сами.

Примеры применения формул связи

Зачем нужны формулы связи? Они позволяют найти все тригонометрические функции угла, если известна лишь одна из них, а также дают возможность упрощать выражения, доказывать тождества, решать тригонометрические уравнения, заменяя одну функцию другой и так далее.

Пример. Найдите (5sin⁡,α), если (cos,⁡α=frac{2sqrt{6}}{5}) и (α∈(frac{3π}{2};2π)).
Решение. Нам известен косинус, найти надо синус. А что связывает синус и косинус? Основное тригонометрическое тождество:

(sin^2α+cos^2⁡α=1).

Подставим вместо косинуса его значение:

(sin^2⁡α+)((frac{2sqrt{6}}{5}))(^2=1)
(sin^2⁡α+)(frac{4cdot 6}{25})(=1)
(sin^2⁡α+)(frac{24}{25})(=1)
(sin^2⁡α=1-)(frac{24}{25})
(sin^2⁡α=)(frac{1}{25})
(sin⁡α=±)(frac{1}{5})

Внимание! Последняя строчка – место, где теряется огромное количество баллов на ЕГЭ! Это одна из самых популярных ошибок – забыть отрицательный корень. Пожалуйста, раз и навсегда запомните, что у неполного квадратного уравнения вида (x^2=a) (при (a>0)) два корня (x_1=sqrt{a}) и (x_2=-sqrt{a}). Пусть двойка над иксом (та которая «квадрат») будет вам вечным маяком, сигнализирующим: «тут ДВА корня! Два! Не забудь!»

Вернемся к задаче. Получилось, что синус может иметь значение (frac{1}{5}), а может (-)(frac{1}{5}). И какое значение нам надо выбрать – с минусом или плюсом? Тут нам на помощь приходит информация, что (α∈(frac{3π}{2};2π)). Давайте нарисуем числовую окружность и отметим отрезок ((frac{3π}{2};2π)).

Обратите внимание – в этой четверти синус принимает только отрицательные значения (можно провести перпендикуляры до оси синусов и убедиться, что это так).

Значит, в нашем случае (sin,⁡α=-frac{1}{5}) т.е. (5sin,⁡α=5cdot(-frac{1}{5})=-1).

Ответ: (-1).

Пример.Найдите (tg,α), если (cos,⁡α=)(frac{sqrt{10}}{10}) и (α∈(frac{3π}{2};2π)).
Решение. Есть 2 пути решения этой задачи:

– напрямую вычислить тангенс через формулу (tg^2α+1=)(frac{1}{cos^2⁡α});
– сначала с помощью тождества (sin^2⁡α+cos^2⁡α=1) найти (sin⁡,α), а потом через формулу (tg,α=)(frac{sin⁡,α}{cos⁡,α}) получить тангенс.

В учебниках обычно идут первым путем, поэтому мы пойдем вторым.

Вычисляем синус:

(sin^2⁡α+)((frac{sqrt{10}}{10})^2)(=1)
(sin^2⁡α+)(frac{10}{100})(=1)
(sin^2⁡α+)(frac{1}{10})(=1)
(sin^2⁡α=1-)(frac{1}{10})
(sin^2⁡α=)(frac{9}{10});
(sin⁡,α=±)(frac{3}{sqrt{10}})

Опять (α∈(frac{3π}{2};2π)), значит в итоге синус может быть только отрицательным. То есть, (sin⁡,α=-)(frac{3}{sqrt{10}}).
А теперь вычисляем тангенс: (tg,α=-)(frac{3}{sqrt{10}})(:)(frac{sqrt{10}}{10})(=)(-frac{3}{sqrt{10}}cdotfrac{10}{sqrt{10}})(=-)(frac{30}{10})(=-3).

Ответ: (-3).

Пример. Известно, что (tg,α=-frac{3}{4}) и (frac{π}{2}<α<π). Найдите значения трех других тригонометрических функций угла (α).
Решение. Проще всего из тангенса найти котангенс:

(ctg, α=)(frac{1}{tg, α})
(ctg,α=1:(-frac{3}{4})=1cdot(-frac{4}{3})=-frac{4}{3}).

Теперь вычислим косинус по упомянутой выше формуле:

(tg^2 α+1=)(frac{1}{cos^2⁡α})
((-)(frac{3}{4}))(^2+1=)(frac{1}{cos^2⁡α})
(frac{9}{16})(+1=)(frac{1}{cos^2⁡α})
(frac{9+16}{16})(=)(frac{1}{cos^2⁡α})
(frac{25}{16})(=)(frac{1}{cos^2⁡α})
(cos^2⁡α=)(frac{16}{25})
(cos⁡α=±)(frac{4}{5})

Опять перед нами стоит выбор плюс или минус. Отметим отрезок ((frac{π}{2};π)) на тригонометрической окружности и посмотрим какие значения принимает косинус в этой четверти, чтобы определится со знаком.

Очевидно, что косинус отрицателен в этой четверти, а значит (cos,⁡α=-)(frac{4}{5}).

Осталось найти синус:

(sin^2⁡α+cos^2⁡α=1)
(sin^2⁡α+(-)(frac{4}{5})()^2=1)
(sin^2⁡α+)(frac{16}{25})(=1)
(sin^2⁡α=1-)(frac{16}{25})
(sin^2⁡α=)(frac{9}{25})
(sin,⁡α=±)(frac{3}{5})

Опять используем круг, чтобы определить знак.

Получается, что (sin,⁡α=)(frac{3}{5}).

Ответ: (ctg,α=-)(frac{4}{3}); (cos,⁡α=-)(frac{4}{5}); (sin,α=)(frac{3}{5}).

Пример (ЕГЭ). Найдите (tg^2 α), если (5 sin^2⁡α+13 cos^2⁡α=6).
Решение. Давайте пойдем от того, что известно. В равенстве (5 sin^2⁡α+13 cos^2⁡α=6) синус заменим на косинус:

(5(1-cos^2⁡α)+13 cos^2⁡α=6)
(5-5 cos^2⁡α+13 cos^2⁡α=6)
(5+8 cos^2⁡α=6)
(8 cos^2⁡α=1)
(cos^2⁡α=)(frac{1}{8})

Поняли почему именно синус заменили на косинус, а не наоборот? И почему не надо извлекать корень, досчитывая до «чистого» косинуса? Потому что для нахождения (tg^2α) хорошо подходит формула (tg^2α+1=)(frac{1}{cos^2⁡α}) :

(tg^2 α+1=1:)(frac{1}{8})
(tg^2 α+1=1cdot)(frac{8}{1})
(tg^2 α+1=8)
(tg^2 α=7)

Ответ: (7).

Теперь еще одна задача из ЕГЭ, для наглядности мы ее решение оформили картинкой.

Пример. Упростите выражение (frac{1}{sin^2 α})(-ctg^2 α-cos^2 β).
Решение.

(frac{1}{sin^2 α})(-ctg^2 α-cos^2 β)		Самое очевидное, что можно сделать – это представить котангенс как отношение косинуса к синусу.
(=)(frac{1}{sin^2 α})(-)(frac{cos^2⁡α}{sin^2 α})(-cos^2 β=)		Приводим дроби к общему знаменателю.
(=)(frac{1-cos^2⁡α}{sin^2 α})(-cos^2 β=)		(1-cos^2⁡α) можно заменить на (sin^2 α).
(=)(frac{sin^2 α}{sin^2 α})(-cos^2 β=)		Сокращаем синусы.
(=1-cos^2 β=sin^2 β).

Пример. Докажите тождество (frac{cos^4⁡α-sin^4⁡α}{(1-sin⁡α)(1+sin⁡α)})(+2tg^2 α=)(frac{1}{cos^2 α}).
Решение.

(frac{cos^4⁡α-sin^4⁡α}{(1-sin⁡α)(1+sin⁡α)})(+2tg^2 α=)(frac{1}{cos^2 α})		Чтобы доказать это тождество, будем преобразовывать левую часть, пытаясь свести ее к правой. Поехали. Разложим числитель левой дроби по формуле разности квадратов, а знаменатель, наоборот, соберем по ней же.
(frac{(cos^2⁡α-sin^2⁡α )(cos^2 α+sin^2⁡α)}{1-sin^2⁡α})(+2tg^2 α=)(frac{1}{cos^2 α})		Очевидно, что вторая скобка числителя равна (1) (по основному тригонометрическому тождеству), а знаменатель можно заменить на (cos^2 α).
(frac{cos^2⁡α-sin^2⁡α}{cos^2 α})(+2tg^2 α=)(frac{1}{cos^2 α})		Теперь разложим тангенс по формуле (tg, α=)(frac{sin⁡,α}{cos,⁡α}).
(frac{cos^2⁡α-sin^2⁡α}{cos^2 α})(+2)(frac{sin^2⁡α}{cos^2⁡α})(=)(frac{1}{cos^2 α})		Приводим дроби к общему знаменателю.
(frac{cos^2⁡α-sin^2⁡α+2 sin^2⁡α}{cos^2 α})(=)(frac{1}{cos^2 α})		Приводим подобные слагаемые.
(frac{cos^2⁡α+sin^2⁡α}{cos^2 α})(=)(frac{1}{cos^2 α})		И вновь нас выручает основное тригонометрическое тождество
(frac{1}{cos^2 α}) (=)(frac{1}{cos^2 α})

Левая часть полностью идентична правой, то есть тождество доказано.

Как доказать все формулы связи

Источник

Как найти косинус, если известен синус

Для начала вспомним, что такие понятия как “синус”, “косинус”, а также есть еще “котангенс” и “тангенс” относятся к такому разделу математики, как тригонометрия. Именно отношение противоположного этому углу катета к гипотенузе и называется синусом острого угла. А отношением прилежащего к этому углу катета к гипотенузе – косинусом.

1

Как найти косинус через квадратный корень, если известен синус

Для всех видов углов α характерно одно обозначение:

sin² α + cos² α = 1.

Она связывает косинус и синус одного угла. При условии, что нам известен синус, мы без проблем можем найти второе значение – нужно извлечь квадратный корень:

cos α = ±√1 – sin² α.

Особое внимание обращаем на знак, который должен стоять перед знаком корня. Это можно определить обратившись к координатной четверти. Для синуса является положительным нахождение в 1 и 2 четвертях, а для косинуса – в 1 и 4.

2

Как найти косинус через формулу приведения, если известен синус

Именно такого плана формулы, можно смело называть формулами приведения.

Здесь f означает любую тригонометрическую функцию,

– кофункцию, которая ей соответствует (синус для косинуса, косинус для синуса и т.д.). А n – любое целое число. Знак спереди выбираем тот, который имеет начальная функция для координатной четверти.

cos(π/2 – α) = sin α.

Ниже приведена табличка некоторых формул приведений.

Какой из приведенных способов выберете вы – решать, конечно же, вам. Но более удобным, чаще всего применяемым, считается первый способ. Именно он и используется на уроках математики. Легких вам свершений и хороших оценок.

Источник

Основное тригонометрическое тождество

12 ноября 2011

Это последний и самый главный урок, необходимый для решения задач B11. Мы уже знаем, как переводить углы из радианной меры в градусную (см. урок «Радианная и градусная мера угла»), а также умеем определять знак тригонометрической функции, ориентируясь по координатным четвертям (см. урок «Знаки тригонометрических функций»).

Дело осталось за малым: вычислить значение самой функции — то самое число, которое записывается в ответ. Здесь на помощь приходит основное тригонометрическое тождество.

Основное тригонометрическое тождество. Для любого угла α верно утверждение:

sin² α + cos² α = 1.

Эта формула связывает синус и косинус одного угла. Теперь, зная синус, мы легко найдем косинус — и наоборот. Достаточно извлечь квадратный корень:

Обратите внимание на знак «±» перед корнями. Дело в том, что из основного тригонометрического тождества непонятно, каким был исходный синус и косинус: положительным или отрицательным. Ведь возведение в квадрат — четная функция, которая «сжигает» все минусы (если они были).

Именно поэтому во всех задачах B11, которые встречаются в ЕГЭ по математике, обязательно есть дополнительные условия, которые помогают избавиться от неопределенности со знаками. Обычно это указание на координатную четверть, по которой можно определить знак.

Внимательный читатель наверняка спросит: «А как быть с тангенсом и котангенсом?» Напрямую вычислить эти функции из приведенных выше формул нельзя. Однако существуют важные следствия из основного тригонометрического тождества, которые уже содержат тангенсы и котангенсы. А именно:

Важное следствие: для любого угла α можно переписать основное тригонометрическое тождество следующим образом:

Эти уравнения легко выводятся из основного тождества — достаточно разделить обе стороны на cos² α (для получения тангенса) или на sin² α (для котангенса).

Рассмотрим все это на конкретных примерах. Ниже приведены настоящие задачи B11, которые взяты из пробных вариантов ЕГЭ по математике 2012.

Задача. Найдите sin α, если известно следующее:

Нам известен косинус, но неизвестен синус. Основное тригонометрическое тождество (в «чистом» виде) связывает как раз эти функции, поэтому будем работать с ним. Имеем:

sin² α + cos² α = 1 ⇒ sin² α + 99/100 = 1 ⇒ sin² α = 1/100 ⇒ sin α = ±1/10 = ±0,1.

Для решения задачи осталось найти знак синуса. Поскольку угол α ∈ (π/2; π), то в градусной мере это записывается так: α ∈ (90°; 180°).

Следовательно, угол α лежит во II координатной четверти — все синусы там положительны. Поэтому sin α = 0,1.

Задача. Найдите cos α, если известно следующее:

Итак, нам известен синус, а надо найти косинус. Обе эти функции есть в основном тригонометрическом тождестве. Подставляем:

sin² α + cos² α = 1 ⇒ 3/4 + cos² α = 1 ⇒ cos² α = 1/4 ⇒ cos α = ±1/2 = ±0,5.

Осталось разобраться со знаком перед дробью. Что выбрать: плюс или минус? По условию, угол α принадлежит промежутку (π 3π/2). Переведем углы из радианной меры в градусную — получим: α ∈ (180°; 270°).

Очевидно, это III координатная четверть, где все косинусы отрицательны. Поэтому cos α = −0,5.

Задача. Найдите tg α, если известно следующее:

Тангенс и косинус связаны уравнением, следующим из основного тригонометрического тождества:

Получаем: tg α = ±3. Знак тангенса определяем по углу α. Известно, что α ∈ (3π/2; 2π). Переведем углы из радианной меры в градусную — получим α ∈ (270°; 360°).

Очевидно, это IV координатная четверть, где все тангенсы отрицательны. Поэтому tg α = −3.

Задача. Найдите cos α, если известно следующее:

Снова известен синус и неизвестен косинус. Запишем основное тригонометрическое тождество:

sin² α + cos² α = 1 ⇒ 0,64 + cos² α = 1 ⇒ cos² α = 0,36 ⇒ cos α = ±0,6.

Знак определяем по углу. Имеем: α ∈ (3π/2; 2π). Переведем углы из градусной меры в радианную: α ∈ (270°; 360°) — это IV координатная четверть, косинусы там положительны. Следовательно, cos α = 0,6.

Задача. Найдите sin α, если известно следующее:

Запишем формулу, которая следует из основного тригонометрического тождества и напрямую связывает синус и котангенс:

Отсюда получаем, что sin² α = 1/25, т.е. sin α = ±1/5 = ±0,2. Известно, что угол α ∈ (0; π/2). В градусной мере это записывается так: α ∈ (0°; 90°) — I координатная четверть.

Итак, угол находится в I координатной четверти — все тригонометрические функции там положительны, поэтому sin α = 0,2.

Смотрите также: