Как найти кос при вершине

Мы уже находили косинусы углов треугольника по его сторонам в произвольном треугольнике и косинус острого угла прямоугольного треугольника.

Рассмотрим, как найти косинусы углов треугольника по его вершинам.

Задача

Дано: ΔABC,

A(-2;0), B(6;1), C(-3;-5).

1) Найти косинусы углов треугольника ABC;

2) Определить вид треугольника.

Решение:

1) Угол A образован векторами

   

(Чертёж не обязательно делать на координатной плоскости. Достаточно выполнить его схематически, для упрощения понимания, какой угол какими векторами образован).

Следовательно,

   

Найдём координаты векторов:

   

   

   

   

   

   

Находим скалярное произведение векторов:

   

Поскольку скалярное произведение меньше нуля, угол, образованный данными векторами, тупой. Значит треугольник ABC — тупоугольный.

Длины (или модули) векторов:

   

   

Отсюда

   

   

2) Угол B образован векторами

   

Таким образом,

   

Так как

   

— противоположные векторы, то их координаты отличаются только знаками и векторы имеют одинаковую длину:

   

   

   

   

   

   

   

   

   

3) Угол C образован векторами

   

   

   

   

   

   

   

   

   

Ответ:

   

ΔABC — тупоугольный.

Как найти косинус внутреннего угла при вершине В? riuyt777 [0] 6 лет назад  Даны вершины треугольника А(2;-2;-2), В(2;2;-1) и С(3;1;-2).Найти косинус внутреннего угла при вершине В Vasil Stryz­hak [11.5K] 6 лет назад  Вычислим стороны треугольника АВС, используя формулу определения расстояния между точками в прямоугольной декартовой системе координат в пространстве. Затем, применив теорему косинусов, найдем искомый угол. Решение: а=ВС=√((3-2)²+(1-2)²+(-2+2)²)=√3 b=АС=√((3-2)²+(1+2)²+(-2+2)²)=√10 с=АВ=√((2-2)²+(2+2)²+(-1+2)²)=√17 cosβ=(a²+c²-b²)/2ac =(3+17-10)/(2√3*√17)=5/√51 Дополнительно: β=45⁰,56 система выбрала этот ответ лучшим комментировать в избранное ссылка отблагодарить epimk­in [1.9K] 6 лет назад  Вот таким образом у меня получилось, если не ошибся в арифметике комментировать в избранное ссылка отблагодарить SVFE4­8 [7.4K] 4 месяца назад  Чтобы найти косинус внутреннего угла при вершине В, нужно найти вектора, соединяющие вершину В с вершинами А и С. Вектор АВ будет иметь координаты (2-2; 2-(-2); (-1)-(-2))=(0;4;1). Вектор СВ будет иметь координаты (3-2; 1-2; (-2)-(-1))=(1;-1;-1). Теперь нужно найти скалярное произведение этих векторов и их длины. Скалярное произведение равно (01)+ (4-1) + (1*-1) = -5, а длины векторов равны sqrt(0^2+4^2+1^2)=sq­rt(17) и sqrt(1^2+(-1)^2+(-1)^2)=sqrt(3). Таким образом, косинус внутреннего угла при вершине В равен -5/(sqrt(17)*sqrt(3))­= -5/51= -0.09803921568627451. комментировать в избранное ссылка отблагодарить storu­s [73.8K] 5 лет назад  Найти косинус угла АВС можно по формуле для расчёта угла между двумя векторами. Зная координаты вершин А(2;-2;-2), В(2;2;-1) и С(3;1;-2), находим вектора АВ = {0; -4; –1}, СВ = {1; -1; -1}. Для этого мы использовали формулу вида: Затем полученные значения вставляем в следующую формулу: Производим простые вычисления и получаем: cos a= 5/√51 комментировать в избранное ссылка отблагодарить Валер­ий Альбе­ртови­ч [7K] более года назад  Для начала вычислив вектор AB, вычтя из координат вершины B координаты вершины A. В итоге получаем AB = (0, 4, 1). Те же самые вычисления производим для вектора CB = (1, -1, -1). Далее подставляем в формулу cosa = (AB*CD)/(|AB|*|CD|) = 5/√51 – получили ответ. комментировать в избранное ссылка отблагодарить Анна Серее­вна Буяно­ва [0] 6 месяцев назад  Даны вершины треуольника АВС. Найти косинус угла при вершине А и площадь треугольника АВС А(-3;-7;-5) В(0;-1;-2) С(-5;-6;-6). Напишите пожалуйста полное решение комментировать в избранное ссылка отблагодарить Знаете ответ?

Косинус в треугольнике

Что такое косинус в треугольнике? Как найти косинус острого угла в прямоугольном треугольнике?

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Например, для угла A треугольника ABC

Соответственно, косинус угла A в треугольнике ABC — это

Для угла B треугольника ABC

прилежащим является катет BC.

Соответственно, косинус угла B в треугольнике ABC

равен отношению BC к AB:

Таким образом, косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — это некоторое число, получаемое в результате деления длины прилежащего катета на длину гипотенузы.

Длины отрезков — положительные числа, поэтому косинус острого угла прямоугольного треугольника также является положительным числом.

Поскольку длина катета всегда меньше длины гипотенузы, то косинус острого угла прямоугольного треугольника — число, меньшее единицы.

Косинус любого острого угла прямоугольного треугольника больше нуля, но меньше единицы:

Косинус зависит от величины угла.

Если в треугольнике изменить длины сторон, но не изменять угол, значение косинуса этого угла не изменится.

в треугольниках ABC и FPK

Косинус угла в произвольном (не прямоугольном треугольнике) определяется через теорему косинусов. О том, как это делать, мы будем говорить позже.

Теорема косинусов и синусов

О чем эта статья:

Формулировка и доказательство теоремы косинусов

Для начала вспомним теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Формула Теоремы Пифагора:

a 2 > + b 2 > = c 2 >, где a, b — катеты, с — гипотенуза.

Теорема косинусов звучит так: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Формула теоремы косинусов:

a 2 = b 2 + c 2 – 2bc cos α

В доказательстве теоремы косинусов используем формулу длины отрезка в координатах. Рассмотрим данную формулу:

В доказательстве теоремы косинусов BC — это сторона треугольника АВС, которая обозначена буквой а. Введем удобную систему координат и найдем координаты нужных нам точек. У точки В координаты (с; 0).
Координаты точки С — (b cos α; b sin α) при α ∈ (0° ; 180°).

BC 2 = a 2 = (b cos α – c) 2 + b 2 sin 2 α = b 2 cos 2 α + b 2 sin 2 α – 2bc cos α + c 2 = b 2 (cos 2 α + sin 2 α) – 2bc cos α + c 2

cos 2 α + sin 2 α = 1 — основное тригонометрическое тождество.

Что и требовалось доказать.

Совет: чтобы быстрее разобраться в сложной теме, запишитесь на онлайн-курсы по математике для детей и подростков.

С помощью теоремы косинусов можно найти косинус угла треугольника:

• Когда b 2 + c 2 – a 2 > 0, угол α будет острым.
• Когда b 2 + c 2 – a 2 = 0, угол α будет прямым.
• Когда b 2 + c 2 – a 2

Сформулируем еще одно доказательство теоремы косинусов.

Пусть нам дан треугольник ABC, в котором из вершины C на сторону AB опустили высоту CD. Это значит:

• AD = b × cos α,
• DB = c – b × cos α.

Запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC:

• h 2 = b 2 – (b × cos α) 2
• h 2 = a 2 – (c – b × cos α) 2

Приравниваем правые части уравнений:

• b 2 – (b × cos α) 2 = a 2 – (c – b × cos α) 2

• a 2 = b 2 + c 2 – 2bc × cos α

Если один из углов при основании тупой (высота упирается в продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному выше.

Определим стороны b и c:

• b 2 = a 2 + c 2 – 2ac × cos β;
• c 2 = a 2 + b 2 – 2ab × cos γ.

Формулировка теоремы для каждой из сторон треугольника

Теорема косинусов справедлива для всех сторон треугольника, то есть:

a 2 = b 2 + c 2 – 2bc cos α

b 2 = c 2 + a 2 – 2ca cos β

c 2 = a 2 + b 2 – 2ab cos γ

Теорема косинусов может быть использована для любого вида треугольника.

Косинусы углов треугольника

Теорема косинусов позволяет найти как косинус, так и угол треугольника. Найдём косинусы углов:

Определение угла с помощью косинуса

А теперь обратим внимание на углы.

Как мы уже знаем, косинус угла из промежутка (0°; 180°) определяет угол (в отличие от его синуса).

Пусть нам дана единичная полуокружность. Если нам задан cos α, то нам задана точка на верхней полуокружности и задан угол α. Следовательно, cos α однозначно определяет точку М(cos α; sin α), и однозначно определяется угол ∠AOM.

Рассмотрение пределов изменения cos α и sin α

Рассмотрим пределы изменения синуса и косинуса α. Вспомним, что если α — угол треугольника, то он лежит в пределах от 0° до 180°.

Предел изменения косинуса: -1 0, то α ∈ (0°;90°)
Если cos α

Примеры решения задач

При помощи теоремы косинусов можно решать задачки по геометрии. Рассмотрим интересные случаи.

Пример 1. Дан треугольник АВС. Найти длину СМ.

∠C = 90°, АВ = 9, ВС = 3, AM/MB = 1/2, где М — точка на гипотенузе АВ.

Так как АМ + МВ = 9, а AM/MB = 1/2, то АМ = 3, МВ = 6.
Из треугольника АВС найдем cos B:

Из треугольника СМВ по теореме косинусов найдём СМ:

Пример 2. Дан треугольник АВС, в котором a2+ b22 + b 2 2 , то cos C 2 = a 2 + b 2 , то ∠C = 90°.

• Если c 2 2 + b 2 , то ∠C — острый.

Синус, косинус, тангенс в прямоугольном треугольнике

Гипотенузой называется та сторона треугольника, что лежит против угла в 90 градусов, две оставшиеся стороны называются катетами прямоугольного треугольника.

Подробнее про прямоугольный треугольник здесь.

Синусом угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинусом угла в прямоугольном треугольнике называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенсом угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенсом угла в прямоугольном треугольнике называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

Бывает (и на ЕГЭ, ГИА), что приходится иметь дело с косинусами, синусами и тангенсами внешних углов треугольника. Формулы приведения позволяют увидеть, что есть еще и вот такая связь между смежными углами (помимо того, что их сумма равна 180):

Смотрите подборку задач на применение указанных соотношений в статье «Прямоугольный треугольник. Вычисление длин и углов» часть I, часть II.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

[spoiler title=”источники:”]

http://skysmart.ru/articles/mathematic/teorema-kosinusov-i-sinusov

Синус, косинус, тангенс в прямоугольном треугольнике

[/spoiler]

Внешний угол треугольника. Синус и косинус внешнего угла

В некоторых задачах ЕГЭ требуется найти синус, косинус или тангенс внешнего угла треугольника. А что такое внешний угол треугольника?

Давайте вспомним сначала, что такое смежные углы. Вот они, на рисунке. У смежных углов одна сторона общая, а две другие лежат на одной прямой. Сумма смежных углов равна .

Возьмем треугольник и продолжим одну из его сторон. Внешний угол при вершине — это угол, смежный с углом . Если угол острый, то смежный с ним угол — тупой, и наоборот.

Обратите внимание, что:

Запомните эти важные соотношения. Сейчас мы берем их без доказательств. В разделе «Тригонометрия», в теме «Тригонометрический круг», мы вернемся к ним.

Легко доказать, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

1. В треугольнике угол равен , . Найдите тангенс внешнего угла при вершине .

Пусть — внешний угол при вершине .

Зная , найдем по формуле:

Получим:

2. В треугольнике угол равен , . Найдите синус внешнего угла при вершине .

Задача решается за четыре секунды. Поскольку сумма углов и равна , . Тогда и синус внешнего угла при вершине также равен .