Как найти косательную за окружностью

Определение формулы касательной к окружности

Коэффициенты окружности

Точка на окружности, через которую надо провести касательную

Общая формула окружности

Уравнение касательной в указанной точке

Касательная к окружности

Если не использовать понятие производной, и взять объяснение из учебников середины прошлого века, то “Касательная к окружности – это прямая пересекающая окружность в двух совпадающих точках”

Окружность на плоскости может быть представлена в виде нескольких исходных данных

1. В виде координат центра окружности (x0,y0) и её радиуса R.

2. В виде общего уравнения

В виде параметрического вида и в полярных координатах мы рассматривать не будем, так как там формулы тоже на базируются на координатах центра окружности и радиусе.

Наша задача, зная параметры окружности и точку принадлежащую этой окружности вычислить параметры касательной к этой окружности.

Эта задача, является частным решением более общего калькулятор касательная к кривой второго порядка

Итак, если окружность выражена формулой

Уравнение касательной к окружности если нам известны параметры общего уравнения таково:

Таким образом, зная все коэффициенты, мы очень легко найдем уравнение касательной в заданной точке.

ВАЖНО: При указании точки, она должна быть обязательно(!!) принадлежать окружности,
и не быть точкой в какой либо стороне. В противном случае, уравнение касательной будет неверным.

Примеры

Вычислить уравнение касательной в точке (13.8, 0) к окружности выраженной формулой

Касательная к окружности

О чем эта статья:

Касательная к окружности, секущая и хорда — в чем разница

В самом названии касательной отражается суть понятия — это прямая, которая не пересекает окружность, а лишь касается ее в одной точке. Взглянув на рисунок окружности ниже, несложно догадаться, что точку касания от центра отделяет расстояние, в точности равное радиусу.

Касательная к окружности — это прямая, имеющая с ней всего одну общую точку.

Если мы проведем прямую поближе к центру окружности — так, чтобы расстояние до него было меньше радиуса — неизбежно получится две точки пересечения. Такая прямая называется секущей, а отрезок, расположенный между точками пересечения, будет хордой (на рисунке ниже это ВС ).

Секущая к окружности — это прямая, которая пересекает ее в двух местах, т. е. имеет с ней две общие точки. Часть секущей, расположенная внутри окружности, будет называться хордой.

Свойства касательной к окружности

Выделяют четыре свойства касательной, которые необходимо знать для решения задач. Два из них достаточно просты и легко доказуемы, а вот еще над двумя придется немного подумать. Рассмотрим все по порядку.

Касательная к окружности и радиус, проведенный в точку касания, взаимно перпендикулярны.

Не будем принимать это на веру, попробуем доказать. Итак, у нас даны:

• окружность с центральной точкой А;
• прямая а — касательная к ней;
• радиус АВ, проведенный к касательной.

Докажем, что касательная и радиус АВ взаимно перпендикулярны, т.е. а ⟂ АВ.

Пойдем от противного — предположим, что между прямой а и радиусом АВ нет прямого угла и проведем настоящий перпендикуляр к касательной, назвав его АС.

В таком случае наш радиус АВ будет считаться наклонной, а наклонная, как известно, всегда длиннее перпендикуляра. Получается, что АВ > АС. Но если бы это было на самом деле так, наша прямая а пересекалась бы с окружностью два раза, ведь расстояние от центра А до нее — меньше радиуса. Но по условию задачи а — это касательная, а значит, она может иметь лишь одну точку касания.

Итак, мы получили противоречие. Делаем вывод, что настоящим перпендикуляром к прямой а будет вовсе не АС, а АВ.

Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Задача

У нас есть окружность, центр которой обозначен О. Из точки С проведена прямая, и она касается этой окружности в точке А. Известно, что ∠АСО = 28°. Найдите величину дуги АВ.

Мы знаем, что касательная АС ⟂ АО, следовательно ∠САО = 90°.

Поскольку нам известны величины двух углов треугольника ОАС, не составит труда найти величину и третьего угла.

∠АОС = 180° – ∠САО – ∠АСО = 180° – 90° – 28° = 62°

Поскольку вершина угла АОС лежит в центре окружности, можно вспомнить свойство центрального угла — как известно, он равен дуге, на которую опирается. Следовательно, АВ = 62°.

Если провести две касательных к окружности из одной точки, лежащей вне этой окружности, то их отрезки от этой начальной точки до точки касания будут равны.

Докажем и это свойство на примере. Итак, у нас есть окружность с центром А, давайте проведем к ней две касательные из точки D. Обозначим эти прямые как ВD и CD . А теперь выясним, на самом ли деле BD = CD.

Для начала дополним наш рисунок, проведем еще одну прямую из точки D в центр окружности. Как видите, у нас получилось два треугольника: ABD и ACD . Поскольку мы уже знаем, что касательная и радиус к ней перпендикулярны, углы ABD и ACD должны быть равны 90°.

Итак, у нас есть два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой AD. Учитывая, что радиусы окружности всегда равны, мы понимаем, что катеты AB и AC у этих треугольников тоже одинаковой длины. Следовательно, ΔABD = ΔACD (по катету и гипотенузе).. Значит, оставшиеся катеты, а это как раз наши BD и CD (отрезки касательных к окружности), аналогично равны.

Важно: прямая, проложенная из стартовой точки до центра окружности (в нашем примере это AD), делит угол между касательными пополам.

Задача 1

У нас есть окружность с радиусом 4,5 см. К ней из точки D, удаленной от центра на 9 см, провели две прямые, которые касаются окружности в точках B и C. Определите градусную меру угла, под которым пересекаются касательные.

Решение

Для этой задачи вполне подойдет уже рассмотренный выше рисунок окружности с радиусами АВ и АC. Поскольку касательная ВD перпендикулярна радиусу АВ , у нас есть прямоугольный треугольник АВD. Зная длину его катета и гипотенузы, определим величину ∠BDA.

∠BDA = 30° (по свойству прямоугольного треугольника: угол, лежащий напротив катета, равного половине гипотенузы, составляет 30°).

Мы знаем, что прямая, проведенная из точки до центра окружности, делит угол между касательными, проведенными из этой же точки, пополам. Другими словами:

∠BDC = ∠BDA × 2 = 30° × 2 = 60°

Итак, угол между касательными составляет 60°.

Задача 2

К окружности с центром О провели две касательные КМ и КN. Известно, что ∠МКN равен 50°. Требуется определить величину угла ∠NМК.

Решение

Согласно вышеуказанному свойству мы знаем, что КМ = КN. Следовательно, треугольник МNК является равнобедренным.

Углы при его основании будут равны, т.е. ∠МNК = ∠NМК.

∠МNК = (180° – ∠МКN) : 2 = (180° – 50°) : 2 = 65°

Соотношение между касательной и секущей: если они проведены к окружности из одной точки, лежащей вне окружности, то квадрат расстояния до точки касания равен произведению длины всей секущей на ее внешнюю часть.

Данное свойство намного сложнее предыдущих, и его лучше записать в виде уравнения.

Начертим окружность и проведем из точки А за ее пределами касательную и секущую. Точку касания обозначим В, а точки пересечения — С и D. Тогда CD будет хордой, а отрезок AC — внешней частью секущей.

Задача 1

Из точки М к окружности проведены две прямые, пусть одна из них будет касательной МA, а вторая — секущей МB. Известно, что хорда ВС = 12 см, а длина всей секущей МB составляет 16 см. Найдите длину касательной к окружности МA.

Решение

Исходя из соотношения касательной и секущей МА 2 = МВ × МС.

Найдем длину внешней части секущей:

МС = МВ – ВС = 16 – 12 = 4 (см)

МА 2 = МВ × МС = 16 х 4 = 64

Задача 2

Дана окружность с радиусом 6 см. Из некой точки М к ней проведены две прямые — касательная МA и секущая МB . Известно, что прямая МB пересекает центр окружности O. При этом МB в 2 раза длиннее касательной МA . Требуется определить длину отрезка МO.

Решение

Допустим, что МО = у, а радиус окружности обозначим как R.

В таком случае МВ = у + R, а МС = у – R.

Поскольку МВ = 2 МА, значит:

МА = МВ : 2 = (у + R) : 2

Согласно теореме о касательной и секущей, МА 2 = МВ × МС.

(у + R) 2 : 4 = (у + R) × (у – R)

Сократим уравнение на (у + R), так как эта величина не равна нулю, и получим:

Поскольку R = 6, у = 5R : 3 = 30 : 3 = 10 (см).

Ответ: MO = 10 см.

Угол между хордой и касательной, проходящей через конец хорды, равен половине дуги, расположенной между ними.

Это свойство тоже стоит проиллюстрировать на примере: допустим, у нас есть касательная к окружности, точка касания В и проведенная из нее хорда AВ. Отметим на касательной прямой точку C, чтобы получился угол AВC.

Задача 1

Угол АВС между хордой АВ и касательной ВС составляет 32°. Найдите градусную величину дуги между касательной и хордой.

Решение

Согласно свойствам угла между касательной и хордой, ∠АВС = ½ АВ.

АВ = ∠АВС × 2 = 32° × 2 = 64°

Задача 2

У нас есть окружность с центром О, к которой идет прямая, касаясь окружности в точке K. Из этой точки проводим хорду KM, и она образует с касательной угол MKB, равный 84°. Давайте найдем величину угла ОMK.

Решение

Поскольку ∠МКВ равен половине дуги между KM и КВ, следовательно:

КМ = 2 ∠МКВ = 2 х 84° = 168°

Обратите внимание, что ОМ и ОK по сути являются радиусами, а значит, ОМ = ОК. Из этого следует, что треугольник ОMK равнобедренный.

∠ОКМ = ∠ОМК = (180° – ∠КОМ) : 2

Так как центральный угол окружности равен угловой величине дуги, на которую он опирается, то:

∠ОМК = (180° – ∠КОМ) : 2 = (180° – 168°) : 2 = 6°

Касательная к графику функции в точке. Уравнение касательной. Геометрический смысл производной

Статья дает подробное разъяснение определений, геометрического смысла производной с графическими обозначениями. Будет рассмотрено уравнение касательной прямой с приведением примеров, найдено уравнения касательной к кривым 2 порядка.

Определения и понятия

Угол наклона прямой y = k x + b называется угол α , который отсчитывается от положительного направления оси о х к прямой y = k x + b в положительном направлении.

На рисунке направление о х обозначается при помощи зеленой стрелки и в виде зеленой дуги, а угол наклона при помощи красной дуги. Синяя линия относится к прямой.

Угловой коэффициент прямой y = k x + b называют числовым коэффициентом k .

Угловой коэффициент равняется тангенсу наклона прямой, иначе говоря k = t g α .

• Угол наклона прямой равняется 0 только при параллельности о х и угловом коэффициенте, равному нулю, потому как тангенс нуля равен 0 . Значит, вид уравнения будет y = b .
• Если угол наклона прямой y = k x + b острый, тогда выполняются условия 0 α π 2 или 0 ° α 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α > 0 , причем имеется возрастание графика.
• Если α = π 2 , тогда расположение прямой перпендикулярно о х . Равенство задается при помощи равенства x = c со значением с , являющимся действительным числом.
• Если угол наклона прямой y = k x + b тупой, то соответствует условиям π 2 α π или 90 ° α 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

Определение 3

Секущей называют прямую, которая проходит через 2 точки функции f ( x ) . Иначе говоря, секущая – это прямая, которая проводится через любые две точки графика заданной функции.

По рисунку видно, что А В является секущей, а f ( x ) – черная кривая, α – красная дуга, означающая угол наклона секущей.

Когда угловой коэффициент прямой равняется тангенсу угла наклона, то видно, что тангенс из прямоугольного треугольника А В С можно найти по отношению противолежащего катета к прилежащему.

Получаем формулу для нахождения секущей вида:

k = t g α = B C A C = f ( x B ) – f x A x B – x A , где абсциссами точек А и В являются значения x A , x B , а f ( x A ) , f ( x B ) – это значения функции в этих точках.

Очевидно, что угловой коэффициент секущей определен при помощи равенства k = f ( x B ) – f ( x A ) x B – x A или k = f ( x A ) – f ( x B ) x A – x B , причем уравнение необходимо записать как y = f ( x B ) – f ( x A ) x B – x A · x – x A + f ( x A ) или
y = f ( x A ) – f ( x B ) x A – x B · x – x B + f ( x B ) .

Секущая делит график визуально на 3 части: слева от точки А , от А до В , справа от В . На располагаемом ниже рисунке видно, что имеются три секущие, которые считаются совпадающими, то есть задаются при помощи аналогичного уравнения.

По определению видно, что прямая и ее секущая в данном случае совпадают.

Секущая может множественно раз пересекать график заданной функции. Если имеется уравнение вида у = 0 для секущей, тогда количество точек пересечения с синусоидой бесконечно.

Касательная к графику функции f ( x ) в точке x 0 ; f ( x 0 ) называется прямая, проходящая через заданную точку x 0 ; f ( x 0 ) , с наличием отрезка, который имеет множество значений х , близких к x 0 .

Рассмотрим подробно на ниже приведенном примере. Тогда видно, что прямая, заданная функцией y = x + 1 , считается касательной к y = 2 x в точке с координатами ( 1 ; 2 ) . Для наглядности, необходимо рассмотреть графики с приближенными к ( 1 ; 2 ) значениями. Функция y = 2 x обозначена черным цветом, синяя линия – касательная, красная точка – точка пересечения.

Очевидно, что y = 2 x сливается с прямой у = х + 1 .

Для определения касательной следует рассмотреть поведение касательной А В при бесконечном приближении точки В к точке А . Для наглядности приведем рисунок.

Секущая А В , обозначенная при помощи синей линии, стремится к положению самой касательной, а угол наклона секущей α начнет стремиться к углу наклона самой касательной α x .

Касательной к графику функции y = f ( x ) в точке А считается предельное положение секущей А В при В стремящейся к А , то есть B → A .

Теперь перейдем к рассмотрению геометрического смысла производной функции в точке.

Геометрический смысл производной функции в точке

Перейдем к рассмотрению секущей А В для функции f ( x ) , где А и В с координатами x 0 , f ( x 0 ) и x 0 + ∆ x , f ( x 0 + ∆ x ) , а ∆ x обозначаем как приращение аргумента. Теперь функция примет вид ∆ y = ∆ f ( x ) = f ( x 0 + ∆ x ) – f ( ∆ x ) . Для наглядности приведем в пример рисунок.

Рассмотрим полученный прямоугольный треугольник А В С . Используем определение тангенса для решения, то есть получим отношение ∆ y ∆ x = t g α . Из определения касательной следует, что lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . По правилу производной в точке имеем, что производную f ( x ) в точке x 0 называют пределом отношений приращения функции к приращению аргумента, где ∆ x → 0 , тогда обозначим как f ( x 0 ) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x .

Отсюда следует, что f ‘ ( x 0 ) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x , где k x обозначают в качестве углового коэффициента касательной.

То есть получаем, что f ’ ( x ) может существовать в точке x 0 причем как и касательная к заданному графику функции в точке касания равной x 0 , f 0 ( x 0 ) , где значение углового коэффициента касательной в точке равняется производной в точке x 0 . Тогда получаем, что k x = f ‘ ( x 0 ) .

Геометрический смысл производной функции в точке в том, что дается понятие существования касательной к графику в этой же точке.

Уравнение касательной прямой

Чтобы записать уравнение любой прямой на плоскости, необходимо иметь угловой коэффициент с точкой, через которую она проходит. Его обозначение принимается как x 0 при пересечении.

Уравнение касательной к графику функции y = f ( x ) в точке x 0 , f 0 ( x 0 ) принимает вид y = f ‘ ( x 0 ) · x – x 0 + f ( x 0 ) .

Имеется в виду, что конечным значением производной f ‘ ( x 0 ) можно определить положение касательной, то есть вертикально при условии lim x → x 0 + 0 f ‘ ( x ) = ∞ и lim x → x 0 – 0 f ‘ ( x ) = ∞ или отсутствие вовсе при условии lim x → x 0 + 0 f ‘ ( x ) ≠ lim x → x 0 – 0 f ‘ ( x ) .

Расположение касательной зависит от значения ее углового коэффициента k x = f ‘ ( x 0 ) . При параллельности к оси о х получаем, что k k = 0 , при параллельности к о у – k x = ∞ , причем вид уравнения касательной x = x 0 возрастает при k x > 0 , убывает при k x 0 .

Произвести составление уравнения касательной к графику функции y = e x + 1 + x 3 3 – 6 – 3 3 x – 17 – 3 3 в точке с координатами ( 1 ; 3 ) с определением угла наклона.

Решение

По условию имеем, что функция определяется для всех действительных чисел. Получаем, что точка с координатами, заданными по условию, ( 1 ; 3 ) является точкой касания, тогда x 0 = – 1 , f ( x 0 ) = – 3 .

Необходимо найти производную в точке со значением – 1 . Получаем, что

y ‘ = e x + 1 + x 3 3 – 6 – 3 3 x – 17 – 3 3 ‘ = = e x + 1 ‘ + x 3 3 ‘ – 6 – 3 3 x ‘ – 17 – 3 3 ‘ = e x + 1 + x 2 – 6 – 3 3 y ‘ ( x 0 ) = y ‘ ( – 1 ) = e – 1 + 1 + – 1 2 – 6 – 3 3 = 3 3

Значение f ’ ( x ) в точке касания является угловым коэффициентом касательной, который равняется тангенсу наклона.

Тогда k x = t g α x = y ‘ ( x 0 ) = 3 3

Отсюда следует, что α x = a r c t g 3 3 = π 6

Ответ: уравнение касательной приобретает вид

y = f ‘ ( x 0 ) · x – x 0 + f ( x 0 ) y = 3 3 ( x + 1 ) – 3 y = 3 3 x – 9 – 3 3

Для наглядности приведем пример в графической иллюстрации.

Черный цвет используется для графика исходной функции, синий цвет – изображение касательной, красная точка – точка касания. Рисунок, располагаемый справа, показывает в увеличенном виде.

Выяснить наличие существования касательной к графику заданной функции
y = 3 · x – 1 5 + 1 в точке с координатами ( 1 ; 1 ) . Составить уравнение и определить угол наклона.

Решение

По условию имеем, что областью определения заданной функции считается множество всех действительных чисел.

Перейдем к нахождению производной

y ‘ = 3 · x – 1 5 + 1 ‘ = 3 · 1 5 · ( x – 1 ) 1 5 – 1 = 3 5 · 1 ( x – 1 ) 4 5

Если x 0 = 1 , тогда f ’ ( x ) не определена, но пределы записываются как lim x → 1 + 0 3 5 · 1 ( x – 1 ) 4 5 = 3 5 · 1 ( + 0 ) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ и lim x → 1 – 0 3 5 · 1 ( x – 1 ) 4 5 = 3 5 · 1 ( – 0 ) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ , что означает существование вертикальной касательной в точке ( 1 ; 1 ) .

Ответ: уравнение примет вид х = 1 , где угол наклона будет равен π 2 .

Для наглядности изобразим графически.

Найти точки графика функции y = 1 15 x + 2 3 – 4 5 x 2 – 16 5 x – 26 5 + 3 x + 2 , где

1. Касательная не существует;
2. Касательная располагается параллельно о х ;
3. Касательная параллельна прямой y = 8 5 x + 4 .

Решение

Необходимо обратить внимание на область определения. По условию имеем, что функция определена на множестве всех действительных чисел. Раскрываем модуль и решаем систему с промежутками x ∈ – ∞ ; 2 и [ – 2 ; + ∞ ) . Получаем, что

y = – 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 , x ∈ – ∞ ; – 2 1 15 x 3 – 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ – 2 ; + ∞ )

Необходимо продифференцировать функцию. Имеем, что

y ‘ = – 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 ‘ , x ∈ – ∞ ; – 2 1 15 x 3 – 6 x 2 + 9 x + 12 ‘ , x ∈ [ – 2 ; + ∞ ) ⇔ y ‘ = – 1 5 ( x 2 + 12 x + 35 ) , x ∈ – ∞ ; – 2 1 5 x 2 – 4 x + 3 , x ∈ [ – 2 ; + ∞ )

Когда х = – 2 , тогда производная не существует, потому что односторонние пределы не равны в этой точке:

lim x → – 2 – 0 y ‘ ( x ) = lim x → – 2 – 0 – 1 5 ( x 2 + 12 x + 35 = – 1 5 ( – 2 ) 2 + 12 ( – 2 ) + 35 = – 3 lim x → – 2 + 0 y ‘ ( x ) = lim x → – 2 + 0 1 5 ( x 2 – 4 x + 3 ) = 1 5 – 2 2 – 4 – 2 + 3 = 3

Вычисляем значение функции в точке х = – 2 , где получаем, что

1. y ( – 2 ) = 1 15 – 2 + 2 3 – 4 5 ( – 2 ) 2 – 16 5 ( – 2 ) – 26 5 + 3 – 2 + 2 = – 2 , то есть касательная в точке ( – 2 ; – 2 ) не будет существовать.
2. Касательная параллельна о х , когда угловой коэффициент равняется нулю. Тогда k x = t g α x = f ‘ ( x 0 ) . То есть необходимо найти значения таких х , когда производная функции обращает ее в ноль. То есть значения f ’ ( x ) и будут являться точками касания, где касательная является параллельной о х .

Когда x ∈ – ∞ ; – 2 , тогда – 1 5 ( x 2 + 12 x + 35 ) = 0 , а при x ∈ ( – 2 ; + ∞ ) получаем 1 5 ( x 2 – 4 x + 3 ) = 0 .

– 1 5 ( x 2 + 12 x + 35 ) = 0 D = 12 2 – 4 · 35 = 144 – 140 = 4 x 1 = – 12 + 4 2 = – 5 ∈ – ∞ ; – 2 x 2 = – 12 – 4 2 = – 7 ∈ – ∞ ; – 2 1 5 ( x 2 – 4 x + 3 ) = 0 D = 4 2 – 4 · 3 = 4 x 3 = 4 – 4 2 = 1 ∈ – 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ – 2 ; + ∞

Вычисляем соответствующие значения функции

y 1 = y – 5 = 1 15 – 5 + 2 3 – 4 5 – 5 2 – 16 5 – 5 – 26 5 + 3 – 5 + 2 = 8 5 y 2 = y ( – 7 ) = 1 15 – 7 + 2 3 – 4 5 ( – 7 ) 2 – 16 5 – 7 – 26 5 + 3 – 7 + 2 = 4 3 y 3 = y ( 1 ) = 1 15 1 + 2 3 – 4 5 · 1 2 – 16 5 · 1 – 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y ( 3 ) = 1 15 3 + 2 3 – 4 5 · 3 2 – 16 5 · 3 – 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

Отсюда – 5 ; 8 5 , – 4 ; 4 3 , 1 ; 8 5 , 3 ; 4 3 считаются искомыми точками графика функции.

Рассмотрим графическое изображение решения.

Черная линия – график функции, красные точки – точки касания.

1. Когда прямые располагаются параллельно, то угловые коэффициенты равны. Тогда необходимо заняться поиском точек графика функции, где угловой коэффициент будет равняться значению 8 5 . Для этого нужно решить уравнение вида y ‘ ( x ) = 8 5 . Тогда, если x ∈ – ∞ ; – 2 , получаем, что – 1 5 ( x 2 + 12 x + 35 ) = 8 5 , а если x ∈ ( – 2 ; + ∞ ) , тогда 1 5 ( x 2 – 4 x + 3 ) = 8 5 .

Первое уравнение не имеет корней, так как дискриминант меньше нуля. Запишем, что

– 1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 – 4 · 43 = – 28 0

Другое уравнение имеет два действительных корня, тогда

1 5 ( x 2 – 4 x + 3 ) = 8 5 x 2 – 4 x – 5 = 0 D = 4 2 – 4 · ( – 5 ) = 36 x 1 = 4 – 36 2 = – 1 ∈ – 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ – 2 ; + ∞

Перейдем к нахождению значений функции. Получаем, что

y 1 = y ( – 1 ) = 1 15 – 1 + 2 3 – 4 5 ( – 1 ) 2 – 16 5 ( – 1 ) – 26 5 + 3 – 1 + 2 = 4 15 y 2 = y ( 5 ) = 1 15 5 + 2 3 – 4 5 · 5 2 – 16 5 · 5 – 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

Точки со значениями – 1 ; 4 15 , 5 ; 8 3 являются точками, в которых касательные параллельны прямой y = 8 5 x + 4 .

Ответ: черная линия – график функции, красная линия – график y = 8 5 x + 4 , синяя линия – касательные в точках – 1 ; 4 15 , 5 ; 8 3 .

Возможно существование бесконечного количества касательных для заданных функций.

Написать уравнения всех имеющихся касательных функции y = 3 cos 3 2 x – π 4 – 1 3 , которые располагаются перпендикулярно прямой y = – 2 x + 1 2 .

Решение

Для составления уравнения касательной необходимо найти коэффициент и координаты точки касания, исходя из условия перпендикулярности прямых. Определение звучит так: произведение угловых коэффициентов, которые перпендикулярны прямым, равняется – 1 , то есть записывается как k x · k ⊥ = – 1 . Из условия имеем, что угловой коэффициент располагается перпендикулярно прямой и равняется k ⊥ = – 2 , тогда k x = – 1 k ⊥ = – 1 – 2 = 1 2 .

Теперь необходимо найти координаты точек касания. Нужно найти х , после чего его значение для заданной функции. Отметим, что из геометрического смысла производной в точке
x 0 получаем, что k x = y ‘ ( x 0 ) . Из данного равенства найдем значения х для точек касания.

y ‘ ( x 0 ) = 3 cos 3 2 x 0 – π 4 – 1 3 ‘ = 3 · – sin 3 2 x 0 – π 4 · 3 2 x 0 – π 4 ‘ = = – 3 · sin 3 2 x 0 – π 4 · 3 2 = – 9 2 · sin 3 2 x 0 – π 4 ⇒ k x = y ‘ ( x 0 ) ⇔ – 9 2 · sin 3 2 x 0 – π 4 = 1 2 ⇒ sin 3 2 x 0 – π 4 = – 1 9

Это тригонометрическое уравнение будет использовано для вычисления ординат точек касания.

3 2 x 0 – π 4 = a r c sin – 1 9 + 2 πk или 3 2 x 0 – π 4 = π – a r c sin – 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 – π 4 = – a r c sin 1 9 + 2 πk или 3 2 x 0 – π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 – a r c sin 1 9 + 2 πk или x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Z – множество целых чисел.

Найдены х точек касания. Теперь необходимо перейти к поиску значений у :

y 0 = 3 cos 3 2 x 0 – π 4 – 1 3

y 0 = 3 · 1 – sin 2 3 2 x 0 – π 4 – 1 3 или y 0 = 3 · – 1 – sin 2 3 2 x 0 – π 4 – 1 3

y 0 = 3 · 1 – – 1 9 2 – 1 3 или y 0 = 3 · – 1 – – 1 9 2 – 1 3

y 0 = 4 5 – 1 3 или y 0 = – 4 5 + 1 3

Отсюда получаем, что 2 3 π 4 – a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 – 1 3 , 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk ; – 4 5 + 1 3 являются точками касания.

Ответ: необходимы уравнения запишутся как

y = 1 2 x – 2 3 π 4 – a r c sin 1 9 + 2 πk + 4 5 – 1 3 , y = 1 2 x – 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk – 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

Для наглядного изображения рассмотрим функцию и касательную на координатной прямой.

Рисунок показывает, что расположение функции идет на промежутке [ – 10 ; 10 ] , где черная прямя – график функции, синие линии – касательные, которые располагаются перпендикулярно заданной прямой вида y = – 2 x + 1 2 . Красные точки – это точки касания.

Касательная к окружности, эллипсу, гиперболе, параболе

Канонические уравнения кривых 2 порядка не являются однозначными функциями. Уравнения касательных для них составляются по известным схемам.

Касательная к окружности

Для задания окружности с центром в точке x c e n t e r ; y c e n t e r и радиусом R применяется формула x – x c e n t e r 2 + y – y c e n t e r 2 = R 2 .

Данное равенство может быть записано как объединение двух функций:

y = R 2 – x – x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = – R 2 – x – x c e n t e r 2 + y c e n t e r

Первая функция располагается вверху, а вторая внизу, как показано на рисунке.

Для составления уравнения окружности в точке x 0 ; y 0 , которая располагается в верхней или нижней полуокружности, следует найти уравнение графика функции вида y = R 2 – x – x c e n t e r 2 + y c e n t e r или y = – R 2 – x – x c e n t e r 2 + y c e n t e r в указанной точке.

Когда в точках x c e n t e r ; y c e n t e r + R и x c e n t e r ; y c e n t e r – R касательные могут быть заданы уравнениями y = y c e n t e r + R и y = y c e n t e r – R , а в точках x c e n t e r + R ; y c e n t e r и
x c e n t e r – R ; y c e n t e r будут являться параллельными о у , тогда получим уравнения вида x = x c e n t e r + R и x = x c e n t e r – R .

Касательная к эллипсу

Когда эллипс имеет центр в точке x c e n t e r ; y c e n t e r с полуосями a и b , тогда он может быть задан при помощи уравнения x – x c e n t e r 2 a 2 + y – y c e n t e r 2 b 2 = 1 .

Эллипс и окружность могут быть обозначаться при помощи объединения двух функций, а именно: верхнего и нижнего полуэллипса. Тогда получаем, что

y = b a · a 2 – ( x – x c e n t e r ) 2 + y c e n t e r y = – b a · a 2 – ( x – x c e n t e r ) 2 + y c e n t e r

Если касательные располагаются на вершинах эллипса, тогда они параллельны о х или о у . Ниже для наглядности рассмотрим рисунок.

Написать уравнение касательной к эллипсу x – 3 2 4 + y – 5 2 25 = 1 в точках со значениями x равного х = 2 .

Решение

Необходимо найти точки касания, которые соответствуют значению х = 2 . Производим подстановку в имеющееся уравнение эллипса и получаем, что

x – 3 2 4 x = 2 + y – 5 2 25 = 1 1 4 + y – 5 2 25 = 1 ⇒ y – 5 2 = 3 4 · 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

Тогда 2 ; 5 3 2 + 5 и 2 ; – 5 3 2 + 5 являются точками касания, которые принадлежат верхнему и нижнему полуэллипсу.

Перейдем к нахождению и разрешению уравнения эллипса относительно y . Получим, что

x – 3 2 4 + y – 5 2 25 = 1 y – 5 2 25 = 1 – x – 3 2 4 ( y – 5 ) 2 = 25 · 1 – x – 3 2 4 y – 5 = ± 5 · 1 – x – 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 – x – 3 2

Очевидно, что верхний полуэллипс задается с помощью функции вида y = 5 + 5 2 4 – x – 3 2 , а нижний y = 5 – 5 2 4 – x – 3 2 .

Применим стандартный алгоритм для того, чтобы составить уравнение касательной к графику функции в точке. Запишем, что уравнение для первой касательной в точке 2 ; 5 3 2 + 5 будет иметь вид

y ‘ = 5 + 5 2 4 – x – 3 2 ‘ = 5 2 · 1 2 4 – ( x – 3 ) 2 · 4 – ( x – 3 ) 2 ‘ = = – 5 2 · x – 3 4 – ( x – 3 ) 2 ⇒ y ‘ ( x 0 ) = y ‘ ( 2 ) = – 5 2 · 2 – 3 4 – ( 2 – 3 ) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y ‘ ( x 0 ) · x – x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 ( x – 2 ) + 5 3 2 + 5

Получаем, что уравнение второй касательной со значением в точке
2 ; – 5 3 2 + 5 принимает вид

y ‘ = 5 – 5 2 4 – ( x – 3 ) 2 ‘ = – 5 2 · 1 2 4 – ( x – 3 ) 2 · 4 – ( x – 3 ) 2 ‘ = = 5 2 · x – 3 4 – ( x – 3 ) 2 ⇒ y ‘ ( x 0 ) = y ‘ ( 2 ) = 5 2 · 2 – 3 4 – ( 2 – 3 ) 2 = – 5 2 3 ⇒ y = y ‘ ( x 0 ) · x – x 0 + y 0 ⇔ y = – 5 2 3 ( x – 2 ) – 5 3 2 + 5

Графически касательные обозначаются так:

Касательная к гиперболе

Когда гипербола имеет центр в точке x c e n t e r ; y c e n t e r и вершины x c e n t e r + α ; y c e n t e r и x c e n t e r – α ; y c e n t e r , имеет место задание неравенства x – x c e n t e r 2 α 2 – y – y c e n t e r 2 b 2 = 1 , если с вершинами x c e n t e r ; y c e n t e r + b и x c e n t e r ; y c e n t e r – b , тогда задается при помощи неравенства x – x c e n t e r 2 α 2 – y – y c e n t e r 2 b 2 = – 1 .

Гипербола может быть представлена в виде двух объединенных функций вида

y = b a · ( x – x c e n t e r ) 2 – a 2 + y c e n t e r y = – b a · ( x – x c e n t e r ) 2 – a 2 + y c e n t e r или y = b a · ( x – x c e n t e r ) 2 + a 2 + y c e n t e r y = – b a · ( x – x c e n t e r ) 2 + a 2 + y c e n t e r

В первом случае имеем, что касательные параллельны о у , а во втором параллельны о х .

Отсюда следует, что для того, чтобы найти уравнение касательной к гиперболе, необходимо выяснить, какой функции принадлежит точка касания. Чтобы определить это, необходимо произвести подстановку в уравнения и проверить их на тождественность.

Составить уравнение касательной к гиперболе x – 3 2 4 – y + 3 2 9 = 1 в точке 7 ; – 3 3 – 3 .

Решение

Необходимо преобразовать запись решения нахождения гиперболы при помощи 2 функций. Получим, что

x – 3 2 4 – y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x – 3 2 4 – 1 ⇒ y + 3 2 = 9 · x – 3 2 4 – 1 ⇒ y + 3 = 3 2 · x – 3 2 – 4 и л и y + 3 = – 3 2 · x – 3 2 – 4 ⇒ y = 3 2 · x – 3 2 – 4 – 3 y = – 3 2 · x – 3 2 – 4 – 3

Необходимо выявить, к какой функции принадлежит заданная точка с координатами 7 ; – 3 3 – 3 .

Очевидно, что для проверки первой функции необходимо y ( 7 ) = 3 2 · ( 7 – 3 ) 2 – 4 – 3 = 3 3 – 3 ≠ – 3 3 – 3 , тогда точка графику не принадлежит, так как равенство не выполняется.

Для второй функции имеем, что y ( 7 ) = – 3 2 · ( 7 – 3 ) 2 – 4 – 3 = – 3 3 – 3 ≠ – 3 3 – 3 , значит, точка принадлежит заданному графику. Отсюда следует найти угловой коэффициент.

y ‘ = – 3 2 · ( x – 3 ) 2 – 4 – 3 ‘ = – 3 2 · x – 3 ( x – 3 ) 2 – 4 ⇒ k x = y ‘ ( x 0 ) = – 3 2 · x 0 – 3 x 0 – 3 2 – 4 x 0 = 7 = – 3 2 · 7 – 3 7 – 3 2 – 4 = – 3

Ответ: уравнение касательной можно представить как

y = – 3 · x – 7 – 3 3 – 3 = – 3 · x + 4 3 – 3

Наглядно изображается так:

Касательная к параболе

Чтобы составить уравнение касательной к параболе y = a x 2 + b x + c в точке x 0 , y ( x 0 ) , необходимо использовать стандартный алгоритм, тогда уравнение примет вид y = y ‘ ( x 0 ) · x – x 0 + y ( x 0 ) . Такая касательная в вершине параллельна о х .

Следует задать параболу x = a y 2 + b y + c как объединение двух функций. Поэтому нужно разрешить уравнение относительно у . Получаем, что

x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c – x = 0 D = b 2 – 4 a ( c – x ) y = – b + b 2 – 4 a ( c – x ) 2 a y = – b – b 2 – 4 a ( c – x ) 2 a

Графически изобразим как:

Для выяснения принадлежности точки x 0 , y ( x 0 ) функции, нежно действовать по стандартному алгоритму. Такая касательная будет параллельна о у относительно параболы.

Написать уравнение касательной к графику x – 2 y 2 – 5 y + 3 , когда имеем угол наклона касательной 150 ° .

Решение

Начинаем решение с представления параболы в качестве двух функций. Получим, что

– 2 y 2 – 5 y + 3 – x = 0 D = ( – 5 ) 2 – 4 · ( – 2 ) · ( 3 – x ) = 49 – 8 x y = 5 + 49 – 8 x – 4 y = 5 – 49 – 8 x – 4

Значение углового коэффициента равняется значению производной в точке x 0 этой функции и равняется тангенсу угла наклона.

k x = y ‘ ( x 0 ) = t g α x = t g 150 ° = – 1 3

Отсюда определим значение х для точек касания.

Первая функция запишется как

y ‘ = 5 + 49 – 8 x – 4 ‘ = 1 49 – 8 x ⇒ y ‘ ( x 0 ) = 1 49 – 8 x 0 = – 1 3 ⇔ 49 – 8 x 0 = – 3

Очевидно, что действительных корней нет, так как получили отрицательное значение. Делаем вывод, что касательной с углом 150 ° для такой функции не существует.

Вторая функция запишется как

y ‘ = 5 – 49 – 8 x – 4 ‘ = – 1 49 – 8 x ⇒ y ‘ ( x 0 ) = – 1 49 – 8 x 0 = – 1 3 ⇔ 49 – 8 x 0 = – 3 x 0 = 23 4 ⇒ y ( x 0 ) = 5 – 49 – 8 · 23 4 – 4 = – 5 + 3 4

Имеем, что точки касания – 23 4 ; – 5 + 3 4 .

Ответ: уравнение касательной принимает вид

[spoiler title=”источники:”]

http://skysmart.ru/articles/mathematic/kasatelnaya-k-okruzhnosti

http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/proizvodnye/kasatelnaja-k-grafiku-funktsii-v-tochke/

[/spoiler]

Приветствую вас, друзья! В этой заметке подробно разберем задачу из ОГЭ по математике. Получается, что уровень сложности задачи: ~ 9 класс.

Задание

Прямая y  =  2•x + b касается окружности x²  +  y² =  5 в точке с положительной абсциссой. Определите координаты точки касания.

Решение:

В самом начале я привел рисунок, который описывает как может располагаться прямая и окружности (рисунок не подходит к нашей задаче, это сделано специально для того, чтобы бы вы подумали на начальном этапе).

Итак, прямая может:
1. Не иметь с окружностью общих точек (не пересекаться)
2. Иметь с окружностью одну общую точку (касаться окружности)
3. Иметь с окружностью две общих точкий (пересекать окружность, образуя хорду).

В нашей задаче нужно рассмотреть именно 2-й случай (обратите внимание на условие задачи).

Способ 1

Допустим, нам необходимо решить задачу со знаниями 9 класса. Найдем точку пересечения функций. Для этого решим совместную систему:

Решение последнего уравнения определяет количество точек пересечения прямой с окружностью и координаты этих точек. Так как в задании сказано, что прямая является касательной, то квадратное уравнение должно давать одно решение, зависящее от параметра. То есть в нашем уравнении должен быть нулевой дискриминант. Учтем это:

Если мы представим графическое решение, то поймем, что касание может происходит сверху и снизу. Нам же нужно выбрать ту точку, у которой будет положительное значение абсциссы.

Ответ: x₀ = 2 при значении параметра b = – 5

Способ 2

Если мы уже знакомы с производными, то можно написать уравнение для касательной к окружности. Анализ функций дает нам подсказку, что касание должно происходить в области, где x > 0 и y < 0, это значит, что функцию можем выразить явно. Это может понадобиться для дальнейшего нахождения производной этой функции. Производная в точке касания будет определять коэффициент наклона касательной.

Данное уравнение совпадает с уравнением касательной в условии задачи. Поэтому, приравняв соответствующие коэффициенты, мы сможем найти как абсциссу касания, так и значения параметра:

Выбираем положительное значение, получаем тот же ответ:

Ответ: x₀ = 2 при значении параметра b = – 5

Общий ответ: точка касания M(2; -1) при значение параметра b = -5

Понравилась заметка ? Поставьте лайк, подпишитесь на канал! Вам не сложно, а мне очень приятно 🙂

Если Вам нужен репетитор по физике, математике или информатике/программированию, Вы можете написать мне или в мою группу Репетитор IT mentor в VK
Библиотека с книгами для физиков, математиков и программистов
Репетитор IT mentor в telegram

Касательная прямая к окружности в евклидовой геометрии на плоскости — прямая, которая имеет с окружностью ровно одну общую точку. Также можно определить касательную как предельное положение секущей, когда точки пересечения её с окружностью бесконечно сближаются. Касательные прямые к окружностям служат предметом рассмотрения ряда теорем и играют важную роль во многих геометрических построениях и доказательствах.

Касательные прямые к одной окружности[править | править код]

Касательная прямая t к окружности C пересекает окружность в единственной точке T. Для сравнения, секущие прямые пересекают окружность в двух точках, в то время как некоторые прямые могут не пересекать окружность совсем. Это свойство касательной прямой сохраняется при многих геометрических преобразованиях^[en], таких как подобие, вращение, параллельный перенос, инверсия и картографическая проекция. Говоря техническим языком, эти преобразования не меняют структуру инцидентности касательных прямых и окружностей, даже если сами прямые и окружности деформируются.

Радиус окружности, проведённый через точку касания, перпендикулярен касательной прямой. И обратно, перпендикуляр к радиусу в конечной точке (на окружности) является касательной прямой. Окружность вместе с касательной прямой имеют осевую симметрию относительно радиуса (к точке касания).

Никакая касательная прямая не может проходить через точку внутри окружности, поскольку любая такая прямая должна быть секущей. В то же время для любой точки, лежащей вне круга, можно построить две проходящие через неё касательные прямые. Геометрическая фигура, состоящая из окружности и двух касательных прямых, также обладает осевой симметрией относительно прямой, соединяющей точку P с центром окружности O (см. рисунок справа). В этом случае отрезки от точки P до двух точек касания имеют одинаковую длину. По теореме о степени точки квадрат длины отрезка до точки касания равен степени точки P относительно окружности C. Эта степень равна произведению расстояний от точки P до двух точек пересечения окружности любой секущей линией, проходящей через P.

Касательная прямая t и точка касания T обладают свойством сопряжённости друг другу; это соответствие можно обобщить в идею о полюсе и поляре. Такая же взаимосвязь существует между точкой P вне окружности и секущей линией, соединяющей две точки касания.

Если точка P лежит вне окружности с центром O, и если касательные прямые из P касаются окружности в точках T и S, то углы ∠TPS и ∠TOS дают в сумме 180°.

Если хорда TM проведена из точки касания T прямой P T и ∠PTM ≤ 90°, то ∠PTM = (1/2)∠MOT.

Геометрическое построение[править | править код]

Относительно легко построить прямую t, касательную к окружности в точке T на окружности. Для этого следует провести прямую a через центр окружности O и точку T. Тогда прямая t является перпендикуляром к прямой a. Один из способов построения перпендикуляра следующий (см. рисунок). Проводим тем же радиусом (r) окружность с центром в точке T, получаем вторую точку G на прямой a, а точка T становится серединой отрезка OG. Проводим две окружности радиуса R>r с центрами в точках O и G. Прямая, проходящая через точки пересечения этих окружностей, будет касательной.

Для построения касательной прямой через точку P к окружности C можно использовать свойство угла, опирающегося на диаметр окружности. Проводится окружность с центром в точке H, середине отрезка OP, где O — центр окружности C. Пересечения T и T‘ являются точками касания прямых, проходящих через точку P, поскольку углы ∠OTP и ∠OT‘P опираются на диаметр OP окружности с центром в H.

Теорема об описанном четырёхугольнике и вписанные окружности[править | править код]

Описанный четырёхугольник ABCD — это замкнутая фигура с четырьмя сторонами, которые касаются окружности C. Соответственно, C — вписанная в четырёхугольник ABCD окружность. По теореме Пито суммы противоположных сторон любого такого четырёхугольника равны, то есть

Это заключение следует из равенства отрезков касательных от вершин четырёхугольника. Обозначим точки касания как P (на отрезке AB), Q (на отрезке BC), R (на отрезке CD) и S (на отрезке DA). Симметричные отрезки до точек касания от каждой вершины четырёхугольника ABCD равны, то есть BP=BQ=b, CQ=CR=c, DR=DS=d и AS=AP=a.
Но каждая сторона четырёхугольника состоит из двух таких отрезков

,

что и доказывает утверждение.

Обратное утверждение также верно — окружность можно вписать в любой выпуклый четырёхугольник, у которого суммы длин противоположных сторон равны.^[1]

Эта теорема и обратная к ней имеют различные применения. Например, из теоремы немедленно следует, что ни в какой прямоугольник не может быть вписана окружность, если только это не квадрат, а также что можно вписать окружность в любой ромб, хотя в общем случае вписать в параллелограмм окружность нельзя.

Касательные прямые к двум окружностям[править | править код]

Для двух окружностей в общем случае имеется четыре различные прямые, касательные к обеим окружностям, если одна окружность не лежит в другой, но в вырожденных случаях может быть любое число касательных от нуля до четырёх. Эти случаи описаны ниже. Из четырёх касательных прямых две являются внешними касательными, когда окружности оказываются лежащими по одну сторону от касательной прямой. Для двух других прямых, внутренних касательных, окружности оказываются лежащими по разные стороны от касательной прямой. Внешние касательные пересекаются в центре внешней гомотетии^[en], в то время как внутренние касательные пересекаются в центре внутренней гомотетии. И внутренний, и внешний центры гомотетии лежат на прямой, проходящей через центры окружностей, ближе к центру меньшей окружности. Если две окружности имеют одинаковые радиусы, остаются те же четыре касательных, но внешние касательные прямые параллельны и внешнего центра гомотетии на аффинной плоскости не существует. На проективной плоскости внешний центр гомотетии лежит в бесконечно удалённой точке, соответствующей пересечению прямых.^[2]

Внешняя касательная[править | править код]

Красные прямые, соединяющие точки T₁ и T₃, T₂ и T₄, являются внешними касательными двух окружностей.

Внутренняя касательная[править | править код]

Внутренние касательные — это касательные, которые пересекают отрезок, соединяющий центры окружностей. Заметим, что внутренние касательные не существуют в случае пересекающихся окружностей.

Построение[править | править код]

Касательные к двум окружностям могут быть построены с помощью нахождения центров гомотетии, как описано выше, а затем построения касательных, проходящих через эти центры. Можно также построить касательные прямые и касательные точки прямо, как описано ниже.

Элементарная геометрия[править | править код]

Пусть O₁ и O₂ — два центра двух окружностей C₁ и C₂ и пусть r₁ и r₂ — их радиусы, при этом r₁ > r₂. Другими словами, окружность C₁ будем считать большей из двух окружностей. Два различных способа можно использовать для построения внешних и внутренних касательных прямых.

Внешние касательные

Рисуем новую окружность C₃ с радиусом r₁ − r₂ с центром в O₁. Используя метод, описанный выше, проводим две касательные прямые из точки O₂ к этой новой окружности. Эти прямые параллельны искомым касательным прямым, поскольку это соответствует уменьшению радиусов обеих окружностей C₁ и C₂ на одно и то же число r₂, в результате чего окружность C₂ превращается в точку. Через две точки касания на окружности C₃ можно провести два луча из центра O₁. Эти лучи пересекают C₁ в искомых точках касания. Искомые касательные перпендикулярны этим радиальным лучам и могут быть построены, как показывалось выше.

Внутренние касательные

Рисуем новую окружность C₃ с радиусом r₁ + r₂ с центром в O₁. Используя метод, описанный выше, проводим две касательные прямые из точки O₂ к этой новой окружности. Эти прямые параллельны искомым касательным прямым, поскольку это соответствует уменьшению радиуса окружности C₂ до нуля с одновременным увеличением радиуса C₁ на ту же константу r₂. Два радиальных луча можно провести из центра O₁ через точки касания на C₃. Эти лучи пересекают C₁ в искомых точках касания. Искомые внутренние касательные перпендикулярны радиальным лучам и пересекают лучи в найденных точках, так что их можно построить вышеуказанным методом.

Фактически это то же самое построение, что и для внешних касательных, если принять, что радиус меньшей окружности отрицателен.

Аналитическая геометрия[править | править код]

Пусть окружности имеют центры c₁ = (x₁,y₁) и c₂ = (x₂,y₂) и радиусы r₁ и r₂ соответственно. Пусть касательная прямая имеет уравнение с нормализацией a² + b² = 1, тогда расстояние от центров окружностей до прямой вычисляется по формулам:

ax₁ + by₁ + c = r₁ и

ax₂ + by₂ + c = r₂.

Вычтем первое уравнение из второго, получим

aΔx + bΔy = Δr

где Δx = x₂ − x₁, Δy = y₂ − y₁ и Δr = r₂ − r₁.

Если  — расстояние от c₁ до c₂, мы можем нормализовать, сделав замену X = Δx/d, Y = Δy/d и R = Δr/d для упрощения уравнений, что даёт уравнения aX + bY = R и a² + b² = 1. Решаем их и получаем два решения (k = ±1) для двух внешних касательных линий:

a = RX − kY√(1 − R²)

b = RY + kX√(1 − R²)

c = r₁ − (ax₁ + by₁)

Геометрически это соответствует вычислению угла, образованного касательной и прямой, проведённой через центры, а затем линия центов поворачивается для получения уравнения касательной. Угол можно вычислить с помощью тригонометрии из прямоугольного треугольника, вершинами которого являются (внешний) центр гомотетии, центр окружности и точка касания. Гипотенуза лежит на прямой центров, радиус является катетом, противоположным углу, а прилегающий к углу катет лежит на касательной прямой.

(X, Y) — это единичный вектор, направленный от c₁ в c₂, в то время как R равен , где  — угол между линией центров и касательной. тогда равен (в зависимости от знака , что эквивалентно направлению вращения), и приведённые выше уравнения являются вращением (X, Y) на с помощью матрицы вращения

k = 1 — это касательная прямая справа от окружностей, если смотреть из c₁ в направлении c₂.

k = −1 — это касательная прямая справа от окружностей, если смотреть из c₂ в направлении c₁.

Все рассуждения выше предполагают, что радиусы окружностей положительны. Если r₁ положителен, а r₂ отрицателен, то c₁ будет лежать слева от каждой прямой, а c₂ — справа, и две касательные прямые пересекутся. Таким путём можно получить все четыре решения. Смена знака обоих радиусов приводит к обмену вариантов k = 1 и k = −1.

Векторы[править | править код]

В общем случае точки касания t₁ и t₂ для любой из четырёх касательных прямых к окружностям с центрами в v₁ и v₂ и с радиусами r₁ и r₂ получаются путём решения четырёх уравнений:

Эти уравнения выражают тот факт, что касательная прямая перпендикулярна радиусам, а точки касания лежат на соответствующих окружностях.

Эти четыре квадратных уравнения с двумерными векторными переменными в общем случае дают четыре пары решений.

Вырожденные случаи[править | править код]

Две различные окружности могут иметь, в зависимости от взаимного расположения, от нуля до четырёх прямых, касающихся обеих окружностей. Варианты можно классифицировать по расстоянию между центрами и радиусам.

И наконец, если окружности совпадают, любая касательная прямая к одной окружности будет общей касательной.

Далее понятие общей касательной прямой можно расширить на случай окружностей отрицательного радиуса (которые образованы теми же самыми точками но «наизнанку»). В этом случае, если радиусы имеют противоположные знаки (одна окружность имеет положительный радиус, другая — отрицательный) внешний и внутренний центры гомотетии меняются местами и внешние и внутренние общие касательные меняются местами. Если же радиусы имеют один и тот же знак (оба радиуса положительны или оба отрицательны), то понятия «внешний» и «внутренний» имеют обычный смысл.

Общие касательные можно определить для окружностей с нулевым радиусом. В этом случае окружность с нулевым радиусом трактуется как двойная точка, а потому любая прямая, проходящая через эту точку, пересекает её с кратностью^[en] два. Если окружность имеет радиус ноль, общая касательная прямая — это просто касательная прямая к окружности, проходящая через точку, но считается эта прямая дважды. Если обе окружности имеют нулевой радиус, то общая касательная прямая — это прямая, проходящая через две точки, и эта прямая имеет кратность четыре.

Заметим, что в этих вырожденных случаях внешний и внутренний центры гомотетии остаются (внешний центр уходит в бесконечность, если радиусы равны), за исключением случая, когда окружности совпадают (в этом случае внешний центр не определён), или когда обе окружности имеют нулевой радиус (в этом случае отсутствует внутренний центр).

Приложения[править | править код]

Задача о ремённой передаче[править | править код]

Внутренние и внешние касательные полезны при решении задачи о ремённой передаче^[en], которая заключается в вычислении длины ремня, который плотно бы прилегал к колёсам передачи. Если считать ремень математической кривой с пренебрежительно малой толщиной и если колёса передачи находятся точно в одной плоскости, задача сводится к суммированию отрезков касательных с соответствующими длинами дуг. Если ремень натянут на колёса с пересечением, необходимо рассматривать внутренние касательные. Если же ремень натянут без пересечения, необходимо рассматривать внешние касательные. Последний случай иногда называется задачей шкивов.

Касательные прямые к трём окружностям: теорема Монжа[править | править код]

Для трёх окружностей C₁, C₂ и C₃ существует три пары окружностей (C₁C₂, C₂C₃ и C₁C₃). Поскольку каждая пара окружностей имеет два центра гомотетии, всего получим шесть центров гомотетии^[en]. Гаспар Монж показал в начале 19-го века, что эти шесть точек лежат на четырёх прямых, и на каждой прямой лежат три точки.

Касательные прямые и бильярд[править | править код]

Система касательных прямых прицеливания битка использует прямую, проходящую через середину кия, для создания двух касательных прямых от битка в направлении прицельного шара. Две касательные прямые и прямая через середину битка пересекают прямую, проходящую через середину прицельного шара и центр лузы. Необходимо направить удар так, чтобы конечное положение битка (воображаемый шар на рисунке) касалось прицельного шара в точке касания прямой, перпендикулярной направлению на лузу (на рисунке эта касательная выделена зелёным цветом).

Задача Аполлония[править | править код]

Много частных случаев задачи Аполлония используют нахождение окружностей, касающихся одной или нескольких прямых. В простейшем из этих случаев строится окружность, касающаяся трёх заданных прямых (задача LLL). Центр любой такой окружности должен лежать на биссектрисе угла в точке пересечения любой пары этих прямых. В каждой точке пересечения прямых есть две биссектрисы. Пересечения этих биссектрис дают центры окружностей, являющихся решением. В общем случае существует четыре таких окружностей для треугольника, образованного пересечением трёх прямых — вписанная окружность и три вневписанных.

В общем случае задачу Аполлония можно свести к более простой задаче построения окружности, касающейся одной окружности и двух параллельных прямых (это сам по себе частный случай LLC). Чтобы это сделать, увеличиваем пропорционально^[en] две из этих трёх заданных окружностей вплоть до их касания. Инверсия относительно окружности подходящего радиуса с центром в точке касания переводит эти две окружности в две параллельные прямые, а третью окружность — в другую окружность. Таким образом, решение может быть найдено путём перемещения окружности постоянного радиуса между двумя параллельными прямыми, пока не получим касание с преобразованной третьей окружностью. Обратная инверсия даст решения исходной задачи.

Обобщения[править | править код]

Понятие касательной прямой к одной и более окружностям можно обобщить несколькими путями. В первую очередь, свойство парности касательных прямых и точек касания можно обобщить до полюса и полярной прямой, когда полюс может находиться в любом месте, не обязательно на окружности. Во-вторых, объединение двух окружностей является особым (приводимым^[en]) случаем плоской кривой четвёртой степени, а внешние и внутренние касательные прямые являются касательными к двум точкам^[en] этой кривой. В общем случае плоская кривая четвёртой степени имеет 28 прямых, касающихся её дважды.

Третье обобщение относится скорее к касательным окружностям, а не к касательным прямым. Касательную прямую можно рассматривать как касательную окружность с бесконечным радиусом. В частности, внешние касательные прямые к двум окружностям можно рассматривать как частные случаи из семейства окружностей, касающихся с внутренней или внешней стороны обеих окружности, в то время как внутренние касательные прямые можно рассматривать как частные случаи семейства окружностей, касающихся с внутренней стороны одной окружности и с внешней стороны другой) ^[3].

В геометрии Мёбиуса или инверсной геометрии прямые рассматриваются как окружности с центром «в бесконечности» и для любой прямой и для любой окружности существует преобразование Мёбиуса, которое переводит одну фигуру в другую. В геометрии Мёбиуса касание прямой и окружности становится особым случаем касания двух окружностей. Эта эквивалентность развивается далее в сферической геометрии Ли^[en].

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

• Paul Kunkel. The tangency problem of Apollonius: three looks // BSHM Bulletin: Journal of the British Society for the History of Mathematics. — 2007. — Т. 22, вып. 1. — doi:10.1080/17498430601148911.
• David Fraivert. Properties of the tangents to a circle that forms Pascal points on the sides of a convex quadrilateral // Forum Geometricorum. — 2017. — Vol. 17. — P. 223–243.
• Shlomo Libeskind. Euclidean and Transformational Geometry: A Deductive Inquiry. — 2007.

См. также[править | править код]

• Степень точки относительно окружности
• окружность
• Радикальная ось
• Радикальный центр

Ссылки[править | править код]

• Weisstein, Eric W. Tangent lines to one circle (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Tangent lines to two circles (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Что такое касательная к окружности

8 июля 2018

• Домашняя работа
• Ответы и решения

Определение. Касательная к окружности — это прямая на плоскости, имеющая ровно одну общую точку с окружностью.

Вот парочка примеров:

На этом можно было бы закончить, однако практика показывает, что недостаточно просто зазубрить определение — нужно научиться видеть касательные на чертежах, знать их свойства и вдобавок как следует попрактиковаться в применении этих свойств, решая реальные задачи. Всем этим всем мы сегодня и займёмся.

Основные свойства касательных

Для того, чтобы решать любые задачи, нужно знать четыре ключевых свойства. Два из них описаны в любом справочнике / учебнике, а вот последние два — про них как-то забывают, а зря.

1. Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны

Чуть выше мы уже говорили про две касательных, проведённых из одной точки M. Так вот:

Отрезки касательных к окружности, проведённых из одной точки, равны.

2. Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания

Ещё раз посмотрим на картинку, представленную выше. Проведём радиусы OAи OB, после чего обнаружим, что углы OAMи OBM — прямые.

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.

Этот факт можно использовать без доказательства в любой задаче:

Кстати, заметьте: если провести отрезок OM, то мы получим два равных треугольника: OAM и OBM.

3. Соотношение между касательной и секущей

А вот это уже факт посерьёзнее, и большинство школьников его не знают. Рассмотрим касательную и секущую, которые проходят через одну и ту же общую точку M. Естественно, секущая даст нам два отрезка: внутри окружности (отрезок BC — его ещё называют хордой) и снаружи (его так и называют — внешняя часть MC).

Произведение всей секущей на её внешнюю часть равно квадрату отрезка касательной

4. Угол между касательной и хордой

Ещё более продвинутый факт, который часто используется для решения сложных задач. Очень рекомендую взять на вооружение.

Угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду.

Откуда берётся точка B? В реальных задачах она обычно «всплывает» где-то в условии. Поэтому важно научиться распознавать данную конфигурацию на чертежах.

Смотрите также:

1. Вписанный угол в геометрии
2. Задачи B12, сводящиеся к линейным уравнениям
3. Геометрическая вероятность
4. Задача 18: метод симметричных корней
5. Задача B2 про комиссию в терминале
6. Значение тригонометрических функций