Как найти косину угла

Как найти косину угла

Стандартные обозначения

Стандартные обозначения углов и сторон треугольника

Теорема косинусов — теорема евклидовой геометрии, обобщающая теорему Пифагора на произвольные плоские треугольники.

Формулировка[править | править код]

Для плоского треугольника со сторонами a,b,c и углом alpha , противолежащим стороне a,
справедливо соотношение:

{displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2cdot bcdot ccdot cos alpha .}

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними[1]

Доказательства[править | править код]

Классическое доказательство

Theorem of cosin.svg

Рассмотрим треугольник ABC. Из вершины C на сторону AB опущена высота CD. Из треугольника ADC следует:

AD=bcos alpha ,

откуда

DB=c-bcos alpha .

Запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC:

h^{2}=b^{2}-(bcos alpha )^{2}qquad qquad qquad (1)
h^{2}=a^{2}-(c-bcos alpha )^{2}qquad qquad (2)

Приравниваем правые части уравнений (1) и (2) и:

b^{2}-(bcos alpha )^{2}=a^{2}-(c-bcos alpha )^{2}

или

a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bccos alpha .

Случай, когда один из углов при основании тупой (и высота падает на продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному.

Выражения для сторон b и c:

b^{2}=a^{2}+c^{2}-2accos beta
c^{2}=a^{2}+b^{2}-2abcos gamma .

Доказательство через координаты

Одним из доказательств является доказательство её в координатной плоскости.

Внесём в координатную плоскость произвольный треугольник ABC так, чтобы точка А совпала с началом координат, а прямая АВ лежала на прямой ОХ. Введём обозначения AB=c, AC=b, CB=a, a угол CAB=α(пока будем считать что α≠90°).
Тогда точка A имеет координаты (0;0), точка B(c;0). Через функцию sin и cos, а также сторону АС=b выведем координаты точки С. С(b×cosα;b×sinα).
Координаты точки С остаются неизменными при тупом и остром угле α.
Зная координаты С и B, а также зная, что CB=a, найдя длину отрезка, мы можем составить равенство:
a^{2}=(bcos {a}-c)^{2}+b^{2}sin ^{2}{a}
a^{2}=b^{2}cos ^{2}{a}-2bccos {a}+c^{2}+b^{2}sin ^{2}{a}
a^{2}=b^{2}(cos ^{2}{a}+sin ^{2}{a})+c^{2}-2bccos {a}
Так как
cos ^{2}{a}+sin ^{2}{a}=1 (основное тригонометрическое тождество), то
a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bccos {a}
Теорема доказана.
Для прямого угла α, теорема также работает cos90°=0 и a²=b²+с² – известная всем теорема Пифагора. Но так как в основе координатного метода лежит теорема Пифагора, то доказательство её через теорему косинусов не совсем правильно.

Доказательство через векторы

Ниже подразумеваются операции над векторами, а не длинами отрезков
{displaystyle AC=AB+BC=>BC=AC-AB=>BC^{2}=AC^{2}+AB^{2}-2cdot ACcdot AB}

Так как скалярное произведение векторов равно произведению их модулей (длин) на косинус угла между ними, последнее выражение можно переписать:
{displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2cdot bcdot ccdot cos alpha }
где a, b, c — длины соответствующих векторов

Следствия[править | править код]

  • Теорема косинусов может быть использована для нахождения косинуса угла треугольника
    cos {alpha }={frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}
В частности,
  • Теорема косинусов может быть записана также в следующем виде[2]:
a^{2}=(b+c)^{2}-4cdot bcdot ccdot cos ^{2}(alpha /2),
a^{2}=(b-c)^{2}+4cdot bcdot ccdot sin ^{2}(alpha /2).

Доказательство

Последние две формулы мгновенно следуют из основной формулы теоремы косинусов (см. в рамке выше), если в правой её части воспользоваться формулами разложения квадрата суммы (для второй формулы – квадрата разности) двух членов на квадратный трехчлен, являющийся полным квадратом. Для получения окончательного результата (двух формул выше) в правой части надо еще воспользоваться известными тригонометрическими формулами:

1+cos alpha =2cdot cos ^{2}(alpha /2),
1-cos alpha =2cdot sin ^{2}(alpha /2).

Кстати, вторая формула формально не содержит косинусов, но её все равно именуют теоремой косинусов.

Для других углов[править | править код]

Теорема косинусов для двух других углов имеет вид:

{displaystyle c^{2} =a^{2}+b^{2}-2abcos gamma }
{displaystyle b^{2} =a^{2}+c^{2}-2accos beta }

Из этих и из основной формулы могут быть выражены углы:

{displaystyle alpha =arccos left({frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}right)}
{displaystyle beta =arccos left({frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}}right)}
{displaystyle gamma =arccos left({frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}right)}

История[править | править код]

Утверждения, обобщающие теорему Пифагора и эквивалентные теореме косинусов, были сформулированы отдельно для случаев острого и тупого угла в 12 и 13 предложениях II книги «Начал» Евклида.

Утверждения, эквивалентные теореме косинусов для сферического треугольника, применялись в сочинениях ал-Баттани.[3]:105
Теорему косинусов для сферического треугольника в привычном нам виде сформулировал Региомонтан, назвав её «теоремой Альбатегния» по имени ал-Баттани.

В Европе теорему косинусов популяризовал Франсуа Виет в XVI столетии.
В начале XIX столетия её стали записывать в принятых по сей день алгебраических обозначениях.

Вариации и обобщения[править | править код]

  • Теоремы косинусов (сферическая геометрия) или Теорема косинусов для трёхгранного угла.
  • Теоремы косинусов (геометрия Лобачевского)
  • Тождество параллелограмма. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон (см. также Теорема Птолемея):
    AC^{2}+BD^{2}=AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+DA^{2}.

Для евклидовых нормированных пространств[править | править код]

Пусть в евклидовом пространстве E задана норма, ассоциированная со скалярным произведением, то есть leftVert {vec {a}}rightVert ={sqrt {({vec {a}},{vec {a}})}}. Тогда теорема косинусов формулируется следующим образом:

Теорема.
leftVert {vec {a}}-{vec {b}}rightVert ^{2}=leftVert {vec {a}}rightVert ^{2}+leftVert {vec {b}}rightVert ^{2}-2({vec {a}},{vec {b}})

Для четырёхугольников[править | править код]

Возводя в квадрат тождество {overline {AD}}={overline {AB}}+{overline {BC}}+{overline {CD}} можно получить утверждение, иногда называемое теоремой косинусов для четырёхугольников:

d^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2abcos angle B-2accos omega -2bccos angle C, где omega  — угол между прямыми AB и CD.

Или иначе:

d^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2abcos angle B+2accos(angle A+angle D)-2bccos angle C
Формула справедлива и для тетраэдра, под w подразумевается угол между скрещивающимися ребрами.
С помощью неё можно найти косинус угла между скрещивающимися ребрами a и c зная все ребра тетраэдра:
{displaystyle cos w=(b^{2}+d^{2}-e^{2}-f^{2})/2ac}
Где b и d, e и f пары скрещивающихся ребер тетраэдра.

Косвенный аналог для четырёхугольника[править | править код]

Соотношение Бретшнайдера — соотношение в четырёхугольнике, косвенный аналог теоремы косинусов:

Между сторонами a, b, c, d и противоположными углами {displaystyle alpha ,gamma } и диагоналями e, f простого (несамопересекающегося) четырёхугольника выполняется соотношение:

{displaystyle e^{2}f^{2}=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}-2abcdcos(alpha +gamma )}
  • Если четырёхугольник вырождается в треугольник, и одна вершина попадает на сторону, то получается теорема Стюарта.
  • Теорема косинусов для треугольника является частным случаем соотношения Бретшнайдера, если в качестве четвёртой вершины выбрать центр описанной окружности треугольника.

Симплексы[править | править код]

{displaystyle S_{i}S_{j}cos angle A={frac {(-1)^{(n-1+i+j)}}{2^{n-1}((n-1)!)^{2}}}{begin{vmatrix}0&1&1&1&dots &1\1&0&d_{12}^{2}&d_{13}^{2}&dots &d_{1(n+1)}^{2}\1&d_{21}^{2}&0&d_{23}^{2}&dots &d_{2(n+1)}^{2}\1&d_{31}^{2}&d_{32}^{2}&0&dots &d_{3(n+1)}^{2}\vdots &vdots &vdots &vdots &ddots &vdots \1&d_{(n+1)1}^{2}&d_{(n+1)2}^{2}&d_{(n+1)3}^{2}&dots &0\end{vmatrix}}}

при этом мы должны зачеркнуть строку и столбец, где находится d_{ij} или d_{ji}.

A — угол между гранями S_{i} и S_{j}, S_{i} -грань, находящаяся против вершины i,d_{ij}– расстояние между вершинами i и j.

См. также[править | править код]

  • Решение треугольников
  • Скалярное произведение
  • Соотношение Бретшнайдера
  • Теорема косинусов для трёхгранного угла
  • Теорема о проекциях
  • Теорема Пифагора
  • Сферическая теорема косинусов
  • Теорема котангенсов
  • Теорема синусов
  • Теорема тангенсов
  • Тригонометрические тождества
  • Тригонометрические функции

Примечания[править | править код]

  1. ↑ Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия 7—9: учеб. для общеобразоват. учреждений — 15-е изд. — М.: Просвещение, 2005. — С. 257. — 384 с.: ил. — ISBN 5-09-014398-6
  2. ↑ 1 2 Корн Г. А., Корн Т. М. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: «Наука», 1974. — С. 51. — 832 с.
  3. ↑ Florian Cajori. A History of Mathematics — 5th edition 1991

Литература[править | править код]

  • Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 84—85. — ISBN 5-94057-170-0.
Источник
Определение косинуса угла

Косинусом угла в прямоугольном треугольнике называют отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Для простоты запоминания можно дать такое определение: косинус угла — это отношение ближнего от рассматриваемого угла катета к гипотенузе.

1.png

В случае с рисунком, описанным выше: cos⁡α=bccosalpha=frac{b}{c}

Задача 1

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см10text{ см}. Один из катетов равен 6 см6text{ см}. Найдите косинус угла, прилежащего к наибольшему катету.

Решение

Пользуясь теоремой Пифагора вычислим длину неизвестного нам катета.

a2+b2=c2a^2+b^2=c^2

62+b2=1026^2+b^2=10^2

36+b2=10036+b^2=100

b2=64b^2=64

b=8b=8

Катет bb длиннее катета aa. Нам нужно найти косинус угла, прилежащего к наибольшему катету, то есть, к катету bb:

cos⁡α=bc=810=0.8cosalpha=frac{b}{c}=frac{8}{10}=0.8

Ответ

0.8

Задача 2

Две стороны треугольника равны 4 см4text{ см} и 9 см9text{ см}. Периметр его равен 25 см25text{ см}.
Найдите косинус угла, прилежащего к неизвестной стороне и стороне с длиной 4 см4text{ см}.

Решение

Найдем третью сторону треугольника. Так как известен периметр, это будет легко сделать:

P=a+b+cP=a+b+c

25=9+4+c25=9+4+c

c=12c=12

При нахождении косинуса угла нам поможет следствие из теоремы косинусов, которое выглядит так:

cos⁡α=b2+c2−a22⋅b⋅c=42+122−922⋅4⋅12=16+144−8196=7996≈0.82cosalpha=frac{b^2+c^2-a^2}{2cdot bcdot c}=frac{4^2+12^2-9^2}{2cdot 4cdot 12}=frac{16+144-81}{96}=frac{79}{96}approx0.82

Ответ

0.820.82

Решение задач по математике от экспертов сайта Студворк!

Тест по теме “Вычисление косинуса”

Источник

Косинус угла. Таблица косинусов.

Косинус угла через градусы, минуты и секунды

Косинус угла через десятичную запись угла

Как найти угол зная косинус этого угла

У косинуса есть обратная тригонометрическая функция – arccos(y)=x

cos(arccos(y))=y

Пример cos(60°) = 1/2; arccos(1/2) = 60°

Рассчитать арккосинус

Определение косинуса

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Косинусом угла α называется абсцисса точки B единичной окружности, полученной при повороте точки P(1;0) на угол α.

Косинус острого угла

cos(α) = AC/AB

cos(-α) = cos(α)

cos(α ± 2π) = cos(α)

Таблица косинусов в радианах

cos(0°) = 1cos(π/12) = cos(15°) = 0.9659258263cos(π/6) = cos(30°) = 0.8660254038cos(π/4) = cos(45°) = 0.7071067812cos(π/3) = cos(60°) = 0.5cos(5π/12) = cos(75°) = 0.2588190451cos(π/2) = cos(90°) = 0cos(7π/12) = cos(105°) = -0.2588190451cos(2π/3) = cos(120°) = -0.5cos(3π/4) = cos(135°) = -0.7071067812cos(5π/6) = cos(150°) = -0.8660254038cos(11π/12) = cos(165°) = -0.9659258263cos(π) = cos(180°) = -1cos(13π/12) = cos(195°) = -0.9659258263cos(7π/6) = cos(210°) = -0.8660254038cos(5π/4) = cos(225°) = -0.7071067812cos(4π/3) = cos(240°) = -0.5cos(17π/12) = cos(255°) = -0.2588190451cos(3π/2) = cos(270°) = 0cos(19π/12) = cos(285°) = 0.2588190451cos(5π/3) = cos(300°) = 0.5cos(7π/4) = cos(315°) = 0.7071067812cos(11π/6) = cos(330°) = 0.8660254038cos(23π/12) = cos(345°) = 0.9659258263

Таблица Брадиса косинусы

cos(0) = 1 cos(120) = -0.5 cos(240) = -0.5
cos(1) = 0.9998476952 cos(121) = -0.5150380749 cos(241) = -0.4848096202
cos(2) = 0.999390827 cos(122) = -0.5299192642 cos(242) = -0.4694715628
cos(3) = 0.9986295348 cos(123) = -0.544639035 cos(243) = -0.4539904997
cos(4) = 0.9975640503 cos(124) = -0.5591929035 cos(244) = -0.4383711468
cos(5) = 0.9961946981 cos(125) = -0.5735764364 cos(245) = -0.4226182617
cos(6) = 0.9945218954 cos(126) = -0.5877852523 cos(246) = -0.4067366431
cos(7) = 0.9925461516 cos(127) = -0.6018150232 cos(247) = -0.3907311285
cos(8) = 0.9902680687 cos(128) = -0.6156614753 cos(248) = -0.3746065934
cos(9) = 0.9876883406 cos(129) = -0.629320391 cos(249) = -0.3583679495
cos(10) = 0.984807753 cos(130) = -0.6427876097 cos(250) = -0.3420201433
cos(11) = 0.9816271834 cos(131) = -0.656059029 cos(251) = -0.3255681545
cos(12) = 0.9781476007 cos(132) = -0.6691306064 cos(252) = -0.3090169944
cos(13) = 0.9743700648 cos(133) = -0.6819983601 cos(253) = -0.2923717047
cos(14) = 0.9702957263 cos(134) = -0.6946583705 cos(254) = -0.2756373558
cos(15) = 0.9659258263 cos(135) = -0.7071067812 cos(255) = -0.2588190451
cos(16) = 0.9612616959 cos(136) = -0.7193398003 cos(256) = -0.2419218956
cos(17) = 0.956304756 cos(137) = -0.7313537016 cos(257) = -0.2249510543
cos(18) = 0.9510565163 cos(138) = -0.7431448255 cos(258) = -0.2079116908
cos(19) = 0.9455185756 cos(139) = -0.7547095802 cos(259) = -0.1908089954
cos(20) = 0.9396926208 cos(140) = -0.7660444431 cos(260) = -0.1736481777
cos(21) = 0.9335804265 cos(141) = -0.7771459615 cos(261) = -0.156434465
cos(22) = 0.9271838546 cos(142) = -0.7880107536 cos(262) = -0.139173101
cos(23) = 0.9205048535 cos(143) = -0.79863551 cos(263) = -0.1218693434
cos(24) = 0.9135454576 cos(144) = -0.8090169944 cos(264) = -0.1045284633
cos(25) = 0.906307787 cos(145) = -0.8191520443 cos(265) = -0.08715574275
cos(26) = 0.8987940463 cos(146) = -0.8290375726 cos(266) = -0.06975647374
cos(27) = 0.8910065242 cos(147) = -0.8386705679 cos(267) = -0.05233595624
cos(28) = 0.8829475929 cos(148) = -0.8480480962 cos(268) = -0.0348994967
cos(29) = 0.8746197071 cos(149) = -0.8571673007 cos(269) = -0.01745240644
cos(30) = 0.8660254038 cos(150) = -0.8660254038 cos(270) = 0
cos(31) = 0.8571673007 cos(151) = -0.8746197071 cos(271) = 0.01745240644
cos(32) = 0.8480480962 cos(152) = -0.8829475929 cos(272) = 0.0348994967
cos(33) = 0.8386705679 cos(153) = -0.8910065242 cos(273) = 0.05233595624
cos(34) = 0.8290375726 cos(154) = -0.8987940463 cos(274) = 0.06975647374
cos(35) = 0.8191520443 cos(155) = -0.906307787 cos(275) = 0.08715574275
cos(36) = 0.8090169944 cos(156) = -0.9135454576 cos(276) = 0.1045284633
cos(37) = 0.79863551 cos(157) = -0.9205048535 cos(277) = 0.1218693434
cos(38) = 0.7880107536 cos(158) = -0.9271838546 cos(278) = 0.139173101
cos(39) = 0.7771459615 cos(159) = -0.9335804265 cos(279) = 0.156434465
cos(40) = 0.7660444431 cos(160) = -0.9396926208 cos(280) = 0.1736481777
cos(41) = 0.7547095802 cos(161) = -0.9455185756 cos(281) = 0.1908089954
cos(42) = 0.7431448255 cos(162) = -0.9510565163 cos(282) = 0.2079116908
cos(43) = 0.7313537016 cos(163) = -0.956304756 cos(283) = 0.2249510543
cos(44) = 0.7193398003 cos(164) = -0.9612616959 cos(284) = 0.2419218956
cos(45) = 0.7071067812 cos(165) = -0.9659258263 cos(285) = 0.2588190451
cos(46) = 0.6946583705 cos(166) = -0.9702957263 cos(286) = 0.2756373558
cos(47) = 0.6819983601 cos(167) = -0.9743700648 cos(287) = 0.2923717047
cos(48) = 0.6691306064 cos(168) = -0.9781476007 cos(288) = 0.3090169944
cos(49) = 0.656059029 cos(169) = -0.9816271834 cos(289) = 0.3255681545
cos(50) = 0.6427876097 cos(170) = -0.984807753 cos(290) = 0.3420201433
cos(51) = 0.629320391 cos(171) = -0.9876883406 cos(291) = 0.3583679495
cos(52) = 0.6156614753 cos(172) = -0.9902680687 cos(292) = 0.3746065934
cos(53) = 0.6018150232 cos(173) = -0.9925461516 cos(293) = 0.3907311285
cos(54) = 0.5877852523 cos(174) = -0.9945218954 cos(294) = 0.4067366431
cos(55) = 0.5735764364 cos(175) = -0.9961946981 cos(295) = 0.4226182617
cos(56) = 0.5591929035 cos(176) = -0.9975640503 cos(296) = 0.4383711468
cos(57) = 0.544639035 cos(177) = -0.9986295348 cos(297) = 0.4539904997
cos(58) = 0.5299192642 cos(178) = -0.999390827 cos(298) = 0.4694715628
cos(59) = 0.5150380749 cos(179) = -0.9998476952 cos(299) = 0.4848096202
cos(60) = 0.5 cos(180) = -1 cos(300) = 0.5
cos(61) = 0.4848096202 cos(181) = -0.9998476952 cos(301) = 0.5150380749
cos(62) = 0.4694715628 cos(182) = -0.999390827 cos(302) = 0.5299192642
cos(63) = 0.4539904997 cos(183) = -0.9986295348 cos(303) = 0.544639035
cos(64) = 0.4383711468 cos(184) = -0.9975640503 cos(304) = 0.5591929035
cos(65) = 0.4226182617 cos(185) = -0.9961946981 cos(305) = 0.5735764364
cos(66) = 0.4067366431 cos(186) = -0.9945218954 cos(306) = 0.5877852523
cos(67) = 0.3907311285 cos(187) = -0.9925461516 cos(307) = 0.6018150232
cos(68) = 0.3746065934 cos(188) = -0.9902680687 cos(308) = 0.6156614753
cos(69) = 0.3583679495 cos(189) = -0.9876883406 cos(309) = 0.629320391
cos(70) = 0.3420201433 cos(190) = -0.984807753 cos(310) = 0.6427876097
cos(71) = 0.3255681545 cos(191) = -0.9816271834 cos(311) = 0.656059029
cos(72) = 0.3090169944 cos(192) = -0.9781476007 cos(312) = 0.6691306064
cos(73) = 0.2923717047 cos(193) = -0.9743700648 cos(313) = 0.6819983601
cos(74) = 0.2756373558 cos(194) = -0.9702957263 cos(314) = 0.6946583705
cos(75) = 0.2588190451 cos(195) = -0.9659258263 cos(315) = 0.7071067812
cos(76) = 0.2419218956 cos(196) = -0.9612616959 cos(316) = 0.7193398003
cos(77) = 0.2249510543 cos(197) = -0.956304756 cos(317) = 0.7313537016
cos(78) = 0.2079116908 cos(198) = -0.9510565163 cos(318) = 0.7431448255
cos(79) = 0.1908089954 cos(199) = -0.9455185756 cos(319) = 0.7547095802
cos(80) = 0.1736481777 cos(200) = -0.9396926208 cos(320) = 0.7660444431
cos(81) = 0.156434465 cos(201) = -0.9335804265 cos(321) = 0.7771459615
cos(82) = 0.139173101 cos(202) = -0.9271838546 cos(322) = 0.7880107536
cos(83) = 0.1218693434 cos(203) = -0.9205048535 cos(323) = 0.79863551
cos(84) = 0.1045284633 cos(204) = -0.9135454576 cos(324) = 0.8090169944
cos(85) = 0.08715574275 cos(205) = -0.906307787 cos(325) = 0.8191520443
cos(86) = 0.06975647374 cos(206) = -0.8987940463 cos(326) = 0.8290375726
cos(87) = 0.05233595624 cos(207) = -0.8910065242 cos(327) = 0.8386705679
cos(88) = 0.0348994967 cos(208) = -0.8829475929 cos(328) = 0.8480480962
cos(89) = 0.01745240644 cos(209) = -0.8746197071 cos(329) = 0.8571673007
cos(90) = 0 cos(210) = -0.8660254038 cos(330) = 0.8660254038
cos(91) = -0.01745240644 cos(211) = -0.8571673007 cos(331) = 0.8746197071
cos(92) = -0.0348994967 cos(212) = -0.8480480962 cos(332) = 0.8829475929
cos(93) = -0.05233595624 cos(213) = -0.8386705679 cos(333) = 0.8910065242
cos(94) = -0.06975647374 cos(214) = -0.8290375726 cos(334) = 0.8987940463
cos(95) = -0.08715574275 cos(215) = -0.8191520443 cos(335) = 0.906307787
cos(96) = -0.1045284633 cos(216) = -0.8090169944 cos(336) = 0.9135454576
cos(97) = -0.1218693434 cos(217) = -0.79863551 cos(337) = 0.9205048535
cos(98) = -0.139173101 cos(218) = -0.7880107536 cos(338) = 0.9271838546
cos(99) = -0.156434465 cos(219) = -0.7771459615 cos(339) = 0.9335804265
cos(100) = -0.1736481777 cos(220) = -0.7660444431 cos(340) = 0.9396926208
cos(101) = -0.1908089954 cos(221) = -0.7547095802 cos(341) = 0.9455185756
cos(102) = -0.2079116908 cos(222) = -0.7431448255 cos(342) = 0.9510565163
cos(103) = -0.2249510543 cos(223) = -0.7313537016 cos(343) = 0.956304756
cos(104) = -0.2419218956 cos(224) = -0.7193398003 cos(344) = 0.9612616959
cos(105) = -0.2588190451 cos(225) = -0.7071067812 cos(345) = 0.9659258263
cos(106) = -0.2756373558 cos(226) = -0.6946583705 cos(346) = 0.9702957263
cos(107) = -0.2923717047 cos(227) = -0.6819983601 cos(347) = 0.9743700648
cos(108) = -0.3090169944 cos(228) = -0.6691306064 cos(348) = 0.9781476007
cos(109) = -0.3255681545 cos(229) = -0.656059029 cos(349) = 0.9816271834
cos(110) = -0.3420201433 cos(230) = -0.6427876097 cos(350) = 0.984807753
cos(111) = -0.3583679495 cos(231) = -0.629320391 cos(351) = 0.9876883406
cos(112) = -0.3746065934 cos(232) = -0.6156614753 cos(352) = 0.9902680687
cos(113) = -0.3907311285 cos(233) = -0.6018150232 cos(353) = 0.9925461516
cos(114) = -0.4067366431 cos(234) = -0.5877852523 cos(354) = 0.9945218954
cos(115) = -0.4226182617 cos(235) = -0.5735764364 cos(355) = 0.9961946981
cos(116) = -0.4383711468 cos(236) = -0.5591929035 cos(356) = 0.9975640503
cos(117) = -0.4539904997 cos(237) = -0.544639035 cos(357) = 0.9986295348
cos(118) = -0.4694715628 cos(238) = -0.5299192642 cos(358) = 0.999390827
cos(119) = -0.4848096202 cos(239) = -0.5150380749 cos(359) = 0.9998476952

Похожие калькуляторы

Источник

В статье про прямоугольный треугольник посмотрели задачи связанные с синусами и косинусами из 1 части ОГЭ. Так что обязательно заглядывай.

Получается, что решить прямоугольный треугольник (найти все стороны и острые углы) можно довольно просто, зная всего лишь два элемента прямоугольного треугольника :две стороны (по теореме Пифагора) или сторону и острый угол (из определений синуса, косинуса, тангенса).

Но решить треугольник (найти все стороны и углы ) можно и произвольный, зная три элемента: три стороны, две стороны и угол, или два угла и сторону.

Для первых двух случаев в решении пользуются теоремой косинусов (вполне возможно эта тема вас поджидает уже на следующей неделе в школе, а может уже и была):

в любом треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих двух сторон на косинус угла между ними.

Теорема косинусов в 1 части ОГЭ
  • Если известны три стороны треугольника можно найти косинусы всех углов
  • Если известны две стороны и угол между ними треугольника, то можно найти третью сторону.

В этом случае полезно пользоваться таблицей значений косинусов некоторых углов :

Теорема косинусов в 1 части ОГЭ

Рассмотрим решение задачи №16 из сборника Ященко (36 вариантов) на теорему косинусов :

Теорема косинусов в 1 части ОГЭ

Изобразим треугольник АВС и найдем в нем противолежащую сторону для угла АВС.

Теорема косинусов в 1 части ОГЭ

Из рисунка видно, что противолежащая сторона – это сторона АС.

Для стороны АС записываем теорему косинусов:

Теорема косинусов в 1 части ОГЭ

Подставим значения всех сторон:

Теорема косинусов в 1 части ОГЭ

Переносим все “свободные” числа (меняя знак) в левую часть равенства и считаем:

Теорема косинусов в 1 части ОГЭ

Находим косинус угла АВС, как неизвестный множитель:

Теорема косинусов в 1 части ОГЭ

Записываем ответ:

Теорема косинусов в 1 части ОГЭ

Если вы знаете того, кто готовится к ОГЭ, не забудьте поделиться с ним этой информацией. Всегда пригодится.

Продолжение следует…

Не забудь нажать на пальчик вверх после прочтения и подписаться. За это отдельная благодарность

(✿◠‿◠)

Теорема косинусов в 1 части ОГЭ
Источник

Содержание:

  • Косинус угла в треугольнике
  • Косинус произвольного угла

Косинус угла в треугольнике

Определение

Косинус острого угла прямоугольного треугольника – это отношение прилежащего к
этому углу катета к гипотенузе (рис. 1):

$cos alpha=frac{b}{c}$

Пример

Задание. Найти косинус острого угла прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 5 см,
а прилежащий катет – 4 см.

Решение. Согласно определению

$cos alpha=frac{4}{5}$

Ответ. $cos alpha=frac{4}{5}$

Косинус произвольного угла

Определение

Косинусом произвольного угла
$alpha$, образованного осью абсцисс и произвольным радиус-вектором
$overline{O A}=left(a_{x} ; a_{y}right)$ (рисунок 2), называется отношение
проекции этого вектора на ось
$Ox$ к его длине
$a=|overline{OA}|$:

$cos alpha=frac{a_{x}}{a}$

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Вычислить косинус угла, который образован вектором
$bar{a}=(-3 ; 4)$ и осью абсцисс.

Решение. Проекция на ось абсцисс равна
$a_x=-3$, длина вектора
$|bar{a}|=sqrt{(-3)^{2}+4^{2}}=5$, а тогда

$$cos alpha=frac{-3}{5}=-frac{3}{5}$$

Ответ. $cos alpha=-frac{3}{5}$

Читать дальше: что такое тангенс угла.

Источник

Добавить комментарий