В статье про прямоугольный треугольник посмотрели задачи связанные с синусами и косинусами из 1 части ОГЭ. Так что обязательно заглядывай.
Получается, что решить прямоугольный треугольник (найти все стороны и острые углы) можно довольно просто, зная всего лишь два элемента прямоугольного треугольника :две стороны (по теореме Пифагора) или сторону и острый угол (из определений синуса, косинуса, тангенса).
Но решить треугольник (найти все стороны и углы ) можно и произвольный, зная три элемента: три стороны, две стороны и угол, или два угла и сторону.
Для первых двух случаев в решении пользуются теоремой косинусов (вполне возможно эта тема вас поджидает уже на следующей неделе в школе, а может уже и была):
в любом треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих двух сторон на косинус угла между ними.
- Если известны три стороны треугольника можно найти косинусы всех углов
- Если известны две стороны и угол между ними треугольника, то можно найти третью сторону.
В этом случае полезно пользоваться таблицей значений косинусов некоторых углов :
Рассмотрим решение задачи №16 из сборника Ященко (36 вариантов) на теорему косинусов :
Изобразим треугольник АВС и найдем в нем противолежащую сторону для угла АВС.
Из рисунка видно, что противолежащая сторона – это сторона АС.
Для стороны АС записываем теорему косинусов:
Подставим значения всех сторон:
Переносим все “свободные” числа (меняя знак) в левую часть равенства и считаем:
Находим косинус угла АВС, как неизвестный множитель:
Записываем ответ:
Если вы знаете того, кто готовится к ОГЭ, не забудьте поделиться с ним этой информацией. Всегда пригодится.
Продолжение следует…
Не забудь нажать на пальчик вверх после прочтения и подписаться. За это отдельная благодарность
(✿◠‿◠)
Косинус угла. Таблица косинусов.
Косинус угла через градусы, минуты и секунды
Косинус угла через десятичную запись угла
Как найти угол зная косинус этого угла
У косинуса есть обратная тригонометрическая функция – arccos(y)=x
Пример cos(60°) = 1/2; arccos(1/2) = 60°
Определение косинуса
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Косинусом угла α называется абсцисса точки B единичной окружности, полученной при повороте точки P(1;0) на угол α.
Теорема косинусов и синусов
О чем эта статья:
Формулировка и доказательство теоремы косинусов
Для начала вспомним теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Формула Теоремы Пифагора:
a 2 > + b 2 > = c 2 >, где a, b — катеты, с — гипотенуза.
Теорема косинусов звучит так: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
Формула теоремы косинусов:
a 2 = b 2 + c 2 – 2bc cos α
В доказательстве теоремы косинусов используем формулу длины отрезка в координатах. Рассмотрим данную формулу:
В доказательстве теоремы косинусов BC — это сторона треугольника АВС, которая обозначена буквой а. Введем удобную систему координат и найдем координаты нужных нам точек. У точки В координаты (с; 0).
Координаты точки С — (b cos α; b sin α) при α ∈ (0° ; 180°).
BC 2 = a 2 = (b cos α – c) 2 + b 2 sin 2 α = b 2 cos 2 α + b 2 sin 2 α – 2bc cos α + c 2 = b 2 (cos 2 α + sin 2 α) – 2bc cos α + c 2
cos 2 α + sin 2 α = 1 — основное тригонометрическое тождество.
Что и требовалось доказать.
Совет: чтобы быстрее разобраться в сложной теме, запишитесь на онлайн-курсы по математике для детей и подростков.
С помощью теоремы косинусов можно найти косинус угла треугольника:
- Когда b 2 + c 2 – a 2 > 0, угол α будет острым.
- Когда b 2 + c 2 – a 2 = 0, угол α будет прямым.
- Когда b 2 + c 2 – a 2
Сформулируем еще одно доказательство теоремы косинусов.
Пусть нам дан треугольник ABC, в котором из вершины C на сторону AB опустили высоту CD. Это значит:
- AD = b × cos α,
- DB = c – b × cos α.
Запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC:
- h 2 = b 2 – (b × cos α) 2
- h 2 = a 2 – (c – b × cos α) 2
Приравниваем правые части уравнений:
- b 2 – (b × cos α) 2 = a 2 – (c – b × cos α) 2
- a 2 = b 2 + c 2 – 2bc × cos α
Если один из углов при основании тупой (высота упирается в продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному выше.
Определим стороны b и c:
- b 2 = a 2 + c 2 – 2ac × cos β;
- c 2 = a 2 + b 2 – 2ab × cos γ.
Формулировка теоремы для каждой из сторон треугольника
Теорема косинусов справедлива для всех сторон треугольника, то есть:
a 2 = b 2 + c 2 – 2bc cos α
b 2 = c 2 + a 2 – 2ca cos β
c 2 = a 2 + b 2 – 2ab cos γ
Теорема косинусов может быть использована для любого вида треугольника.
Косинусы углов треугольника
Теорема косинусов позволяет найти как косинус, так и угол треугольника. Найдём косинусы углов:
Определение угла с помощью косинуса
А теперь обратим внимание на углы.
Как мы уже знаем, косинус угла из промежутка (0°; 180°) определяет угол (в отличие от его синуса).
Пусть нам дана единичная полуокружность. Если нам задан cos α, то нам задана точка на верхней полуокружности и задан угол α. Следовательно, cos α однозначно определяет точку М(cos α; sin α), и однозначно определяется угол ∠AOM.
Рассмотрение пределов изменения cos α и sin α
Рассмотрим пределы изменения синуса и косинуса α. Вспомним, что если α — угол треугольника, то он лежит в пределах от 0° до 180°.
Предел изменения косинуса: -1 0, то α ∈ (0°;90°)
Если cos α
Примеры решения задач
При помощи теоремы косинусов можно решать задачки по геометрии. Рассмотрим интересные случаи.
Пример 1. Дан треугольник АВС. Найти длину СМ.
∠C = 90°, АВ = 9, ВС = 3, AM/MB = 1/2, где М — точка на гипотенузе АВ.
-
Так как АМ + МВ = 9, а AM/MB = 1/2, то АМ = 3, МВ = 6.
Из треугольника АВС найдем cos B:
Из треугольника СМВ по теореме косинусов найдём СМ:
Пример 2. Дан треугольник АВС, в котором a2+ b22 + b 2 2 , то cos C 2 = a 2 + b 2 , то ∠C = 90°.
- Если c 2 2 + b 2 , то ∠C — острый.
Таблица КОСИНУСОВ для углов от 0° до 360° градусов
КОСИНУС (COS α) острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к его гипотенузе…
| α (радианы) | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 | π | √3π/2 | 2π |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| α (градусы) | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 180° | 270° | 360° |
| cos α (Косинус) | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 | -1 | 0 | 1 |
Малая таблица значений тригонометрических функций (в радианах и градусах)
| Угол в градусах | Cos (Косинус) |
|---|---|
| 0° | 1 |
| 1° | 0.9998 |
| 2° | 0.9994 |
| 3° | 0.9986 |
| 4° | 0.9976 |
| 5° | 0.9962 |
| 6° | 0.9945 |
| 7° | 0.9925 |
| 8° | 0.9903 |
| 9° | 0.9877 |
| 10° | 0.9848 |
| 11° | 0.9816 |
| 12° | 0.9781 |
| 13° | 0.9744 |
| 14° | 0.9703 |
| 15° | 0.9659 |
| 16° | 0.9613 |
| 17° | 0.9563 |
| 18° | 0.9511 |
| 19° | 0.9455 |
| 20° | 0.9397 |
| 21° | 0.9336 |
| 22° | 0.9272 |
| 23° | 0.9205 |
| 24° | 0.9135 |
| 25° | 0.9063 |
| 26° | 0.8988 |
| 27° | 0.891 |
| 28° | 0.8829 |
| 29° | 0.8746 |
| 30° | 0.866 |
| 31° | 0.8572 |
| 32° | 0.848 |
| 33° | 0.8387 |
| 34° | 0.829 |
| 35° | 0.8192 |
| 36° | 0.809 |
| 37° | 0.7986 |
| 38° | 0.788 |
| 39° | 0.7771 |
| 40° | 0.766 |
| 41° | 0.7547 |
| 42° | 0.7431 |
| 43° | 0.7314 |
| 44° | 0.7193 |
| 45° | 0.7071 |
| 46° | 0.6947 |
| 47° | 0.682 |
| 48° | 0.6691 |
| 49° | 0.6561 |
| 50° | 0.6428 |
| 51° | 0.6293 |
| 52° | 0.6157 |
| 53° | 0.6018 |
| 54° | 0.5878 |
| 55° | 0.5736 |
| 56° | 0.5592 |
| 57° | 0.5446 |
| 58° | 0.5299 |
| 59° | 0.515 |
| 60° | 0.5 |
| 61° | 0.4848 |
| 62° | 0.4695 |
| 63° | 0.454 |
| 64° | 0.4384 |
| 65° | 0.4226 |
| 66° | 0.4067 |
| 67° | 0.3907 |
| 68° | 0.3746 |
| 69° | 0.3584 |
| 70° | 0.342 |
| 71° | 0.3256 |
| 72° | 0.309 |
| 73° | 0.2924 |
| 74° | 0.2756 |
| 75° | 0.2588 |
| 76° | 0.2419 |
| 77° | 0.225 |
| 78° | 0.2079 |
| 79° | 0.1908 |
| 80° | 0.1736 |
| 81° | 0.1564 |
| 82° | 0.1392 |
| 83° | 0.1219 |
| 84° | 0.1045 |
| 85° | 0.0872 |
| 86° | 0.0698 |
| 87° | 0.0523 |
| 88° | 0.0349 |
| 89° | 0.0175 |
| 90° | 0 |
Полная таблица косинусов для углов от 0° до 360°
| Угол | cos (Косинус) |
|---|---|
| 91° | -0.0175 |
| 92° | -0.0349 |
| 93° | -0.0523 |
| 94° | -0.0698 |
| 95° | -0.0872 |
| 96° | -0.1045 |
| 97° | -0.1219 |
| 98° | -0.1392 |
| 99° | -0.1564 |
| 100° | -0.1736 |
| 101° | -0.1908 |
| 102° | -0.2079 |
| 103° | -0.225 |
| 104° | -0.2419 |
| 105° | -0.2588 |
| 106° | -0.2756 |
| 107° | -0.2924 |
| 108° | -0.309 |
| 109° | -0.3256 |
| 110° | -0.342 |
| 111° | -0.3584 |
| 112° | -0.3746 |
| 113° | -0.3907 |
| 114° | -0.4067 |
| 115° | -0.4226 |
| 116° | -0.4384 |
| 117° | -0.454 |
| 118° | -0.4695 |
| 119° | -0.4848 |
| 120° | -0.5 |
| 121° | -0.515 |
| 122° | -0.5299 |
| 123° | -0.5446 |
| 124° | -0.5592 |
| 125° | -0.5736 |
| 126° | -0.5878 |
| 127° | -0.6018 |
| 128° | -0.6157 |
| 129° | -0.6293 |
| 130° | -0.6428 |
| 131° | -0.6561 |
| 132° | -0.6691 |
| 133° | -0.682 |
| 134° | -0.6947 |
| 135° | -0.7071 |
| 136° | -0.7193 |
| 137° | -0.7314 |
| 138° | -0.7431 |
| 139° | -0.7547 |
| 140° | -0.766 |
| 141° | -0.7771 |
| 142° | -0.788 |
| 143° | -0.7986 |
| 144° | -0.809 |
| 145° | -0.8192 |
| 146° | -0.829 |
| 147° | -0.8387 |
| 148° | -0.848 |
| 149° | -0.8572 |
| 150° | -0.866 |
| 151° | -0.8746 |
| 152° | -0.8829 |
| 153° | -0.891 |
| 154° | -0.8988 |
| 155° | -0.9063 |
| 156° | -0.9135 |
| 157° | -0.9205 |
| 158° | -0.9272 |
| 159° | -0.9336 |
| 160° | -0.9397 |
| 161° | -0.9455 |
| 162° | -0.9511 |
| 163° | -0.9563 |
| 164° | -0.9613 |
| 165° | -0.9659 |
| 166° | -0.9703 |
| 167° | -0.9744 |
| 168° | -0.9781 |
| 169° | -0.9816 |
| 170° | -0.9848 |
| 171° | -0.9877 |
| 172° | -0.9903 |
| 173° | -0.9925 |
| 174° | -0.9945 |
| 175° | -0.9962 |
| 176° | -0.9976 |
| 177° | -0.9986 |
| 178° | -0.9994 |
| 179° | -0.9998 |
| 180° | -1 |
Таблица косинусов для углов от 91° до 180°
| Угол | cos (косинус) |
|---|---|
| 181° | -0.9998 |
| 182° | -0.9994 |
| 183° | -0.9986 |
| 184° | -0.9976 |
| 185° | -0.9962 |
| 186° | -0.9945 |
| 187° | -0.9925 |
| 188° | -0.9903 |
| 189° | -0.9877 |
| 190° | -0.9848 |
| 191° | -0.9816 |
| 192° | -0.9781 |
| 193° | -0.9744 |
| 194° | -0.9703 |
| 195° | -0.9659 |
| 196° | -0.9613 |
| 197° | -0.9563 |
| 198° | -0.9511 |
| 199° | -0.9455 |
| 200° | -0.9397 |
| 201° | -0.9336 |
| 202° | -0.9272 |
| 203° | -0.9205 |
| 204° | -0.9135 |
| 205° | -0.9063 |
| 206° | -0.8988 |
| 207° | -0.891 |
| 208° | -0.8829 |
| 209° | -0.8746 |
| 210° | -0.866 |
| 211° | -0.8572 |
| 212° | -0.848 |
| 213° | -0.8387 |
| 214° | -0.829 |
| 215° | -0.8192 |
| 216° | -0.809 |
| 217° | -0.7986 |
| 218° | -0.788 |
| 219° | -0.7771 |
| 220° | -0.766 |
| 221° | -0.7547 |
| 222° | -0.7431 |
| 223° | -0.7314 |
| 224° | -0.7193 |
| 225° | -0.7071 |
| 226° | -0.6947 |
| 227° | -0.682 |
| 228° | -0.6691 |
| 229° | -0.6561 |
| 230° | -0.6428 |
| 231° | -0.6293 |
| 232° | -0.6157 |
| 233° | -0.6018 |
| 234° | -0.5878 |
| 235° | -0.5736 |
| 236° | -0.5592 |
| 237° | -0.5446 |
| 238° | -0.5299 |
| 239° | -0.515 |
| 240° | -0.5 |
| 241° | -0.4848 |
| 242° | -0.4695 |
| 243° | -0.454 |
| 244° | -0.4384 |
| 245° | -0.4226 |
| 246° | -0.4067 |
| 247° | -0.3907 |
| 248° | -0.3746 |
| 249° | -0.3584 |
| 250° | -0.342 |
| 251° | -0.3256 |
| 252° | -0.309 |
| 253° | -0.2924 |
| 254° | -0.2756 |
| 255° | -0.2588 |
| 256° | -0.2419 |
| 257° | -0.225 |
| 258° | -0.2079 |
| 259° | -0.1908 |
| 260° | -0.1736 |
| 261° | -0.1564 |
| 262° | -0.1392 |
| 263° | -0.1219 |
| 264° | -0.1045 |
| 265° | -0.0872 |
| 266° | -0.0698 |
| 267° | -0.0523 |
| 268° | -0.0349 |
| 269° | -0.0175 |
| 270° | 0 |
Таблица косинусов для углов от 180° до 270°
| Угол | Cos (Косинус) |
|---|---|
| 271° | 0.0175 |
| 272° | 0.0349 |
| 273° | 0.0523 |
| 274° | 0.0698 |
| 275° | 0.0872 |
| 276° | 0.1045 |
| 277° | 0.1219 |
| 278° | 0.1392 |
| 279° | 0.1564 |
| 280° | 0.1736 |
| 281° | 0.1908 |
| 282° | 0.2079 |
| 283° | 0.225 |
| 284° | 0.2419 |
| 285° | 0.2588 |
| 286° | 0.2756 |
| 287° | 0.2924 |
| 288° | 0.309 |
| 289° | 0.3256 |
| 290° | 0.342 |
| 291° | 0.3584 |
| 292° | 0.3746 |
| 293° | 0.3907 |
| 294° | 0.4067 |
| 295° | 0.4226 |
| 296° | 0.4384 |
| 297° | 0.454 |
| 298° | 0.4695 |
| 299° | 0.4848 |
| 300° | 0.5 |
| 301° | 0.515 |
| 302° | 0.5299 |
| 303° | 0.5446 |
| 304° | 0.5592 |
| 305° | 0.5736 |
| 306° | 0.5878 |
| 307° | 0.6018 |
| 308° | 0.6157 |
| 309° | 0.6293 |
| 310° | 0.6428 |
| 311° | 0.6561 |
| 312° | 0.6691 |
| 313° | 0.682 |
| 314° | 0.6947 |
| 315° | 0.7071 |
| 316° | 0.7193 |
| 317° | 0.7314 |
| 318° | 0.7431 |
| 319° | 0.7547 |
| 320° | 0.766 |
| 321° | 0.7771 |
| 322° | 0.788 |
| 323° | 0.7986 |
| 324° | 0.809 |
| 325° | 0.8192 |
| 326° | 0.829 |
| 327° | 0.8387 |
| 328° | 0.848 |
| 329° | 0.8572 |
| 330° | 0.866 |
| 331° | 0.8746 |
| 332° | 0.8829 |
| 333° | 0.891 |
| 334° | 0.8988 |
| 335° | 0.9063 |
| 336° | 0.9135 |
| 337° | 0.9205 |
| 338° | 0.9272 |
| 339° | 0.9336 |
| 340° | 0.9397 |
| 341° | 0.9455 |
| 342° | 0.9511 |
| 343° | 0.9563 |
| 344° | 0.9613 |
| 345° | 0.9659 |
| 346° | 0.9703 |
| 347° | 0.9744 |
| 348° | 0.9781 |
| 349° | 0.9816 |
| 350° | 0.9848 |
| 351° | 0.9877 |
| 352° | 0.9903 |
| 353° | 0.9925 |
| 354° | 0.9945 |
| 355° | 0.9962 |
| 356° | 0.9976 |
| 357° | 0.9986 |
| 358° | 0.9994 |
| 359° | 0.9998 |
| 360° | 1 |
Таблица косинусов для углов от 270° до 360°
Как распечатать таблицу? Левой кнопкой на компьютерной мишке выделите нужную часть таблицы, на выделенном фоне нажмите правую кнопку мишки и в появившемся меню перейдете в пункт «Печать».
Чему равен косинус 30? …
— Ищем в таблице соответствующее значение. Правильный ответ: 0.866
[spoiler title=”источники:”]
http://skysmart.ru/articles/mathematic/teorema-kosinusov-i-sinusov
http://kvn201.com.ua/table-of-cosines.htm
[/spoiler]
Косинусом угла в прямоугольном треугольнике называют отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Для простоты запоминания можно дать такое определение: косинус угла — это отношение ближнего от рассматриваемого угла катета к гипотенузе.
В случае с рисунком, описанным выше: cosα=bccosalpha=frac{b}{c}
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см10text{ см}. Один из катетов равен 6 см6text{ см}. Найдите косинус угла, прилежащего к наибольшему катету.
Решение
Пользуясь теоремой Пифагора вычислим длину неизвестного нам катета.
a2+b2=c2a^2+b^2=c^2
62+b2=1026^2+b^2=10^2
36+b2=10036+b^2=100
b2=64b^2=64
b=8b=8
Катет bb длиннее катета aa. Нам нужно найти косинус угла, прилежащего к наибольшему катету, то есть, к катету bb:
cosα=bc=810=0.8cosalpha=frac{b}{c}=frac{8}{10}=0.8
Ответ
0.8
Две стороны треугольника равны 4 см4text{ см} и 9 см9text{ см}. Периметр его равен 25 см25text{ см}.
Найдите косинус угла, прилежащего к неизвестной стороне и стороне с длиной 4 см4text{ см}.
Решение
Найдем третью сторону треугольника. Так как известен периметр, это будет легко сделать:
P=a+b+cP=a+b+c
25=9+4+c25=9+4+c
c=12c=12
При нахождении косинуса угла нам поможет следствие из теоремы косинусов, которое выглядит так:
cosα=b2+c2−a22⋅b⋅c=42+122−922⋅4⋅12=16+144−8196=7996≈0.82cosalpha=frac{b^2+c^2-a^2}{2cdot bcdot c}=frac{4^2+12^2-9^2}{2cdot 4cdot 12}=frac{16+144-81}{96}=frac{79}{96}approx0.82
Ответ
0.820.82
Решение задач по математике от экспертов сайта Студворк!
Тест по теме “Вычисление косинуса”
Как находить косинус в треугольнике
Нередко в геометрических (тригонометрических) задачах требуется найти косинус угла в треугольнике, потому что косинус угла позволяет однозначно определить величину самого угла.
Инструкция
Чтобы найти косинус угла в треугольнике, длины сторон которого известны, можно воспользоваться теоремой косинусов. Согласно этой теореме, квадрат длины стороны произвольного треугольника равняется сумме квадратов двух его других сторон без удвоенного произведения длин этих сторон на косинус угла между ними:
а?=b?+c?-2*b*c*соs?, где:
а, b, с – стороны треугольника (точнее их длины),
? – угол, противоположный стороне а (его величина).
Из приведенного равенства легко находится соs?:
соs?=( b?+c?-а? )/(2*b*c)
Пример 1.
Имеется треугольник со сторонами а, b, с, равными 3, 4, 5 мм, соответственно.
Найти косинус угла, заключенного между большими сторонами.
Решение:
По условию задачи имеем:
а=3,
b=4,
с=5.
Обозначим противоположный стороне а угол через ?, тогда, согласно выведенной выше формуле, имеем:
соs?=(b?+c?-а? )/(2*b*c)=(4?+5?-3?)/(2*4*5)=(16+25-9)/40=32/40=0,8
Ответ: 0,8.
Если треугольник прямоугольный, то для нахождения косинуса угла достаточно знать длины всего двух любых сторон (косинус прямого угла равен 0).
Пусть имеется прямоугольный треугольник со сторонами а, b, с, где с – гипотенуза.
Рассмотрим все варианты:
Пример 2.
Найти соs?, если известны длины сторон а и b (катеты треугольника)
Воспользуемся дополнительно теоремой Пифагора:
c?=b?+а?,
с=v(b?+а?)
соs?=(b?+c?-а? )/(2*b*c)=(b?+b?+а?-а?)/(2*b*v(b?+а?))=(2*b?)/(2*b*v(b?+а?))=b/v(b?+а?)
Чтобы проверить правильность полученной формулы, подставим в нее значения из примера 1, т.е.
а=3,
b=4.
Проделав элементарные вычисления, получаем:
соs?=0,8.
Аналогично находится косинус в прямоугольном треугольнике в остальных случаях:
Пример 3.
Известны а и с (гипотенуза и противолежащий катет), найти соs?
b?=с?-а?,
b=v(c?-а?)
соs?=(b?+c?-а? )/(2*b*c)=(с?-а?+с?-а?)/(2*с*v(с?-а?))=(2*с?-2*а?)/(2*с*v(с?-а?))=v(с?-а?)/с.
Подставляя значения а=3 и с=5 из первого примера, получаем:
соs?=0,8.
Пример 4.
Известны b и с (гипотенуза и прилежащий катет).
Найти соs?
Произведя аналогичные (показанные в примерах 2 и 3 преобразования), получим, что в этом случае косинус в треугольнике вычисляется по очень простой формуле:
соs?=b/с.
Простота выведенной формулы объясняется элементарно: фактически, прилежащий к углу ? катет является проекцией гипотенузы, поэтому его длина равна длине гипотенузы, умноженной на соs?.
Подставляя значения b=4 и с=5 из первого примера, получим:
соs?=0,8
Значит, все наши формулы верны.
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
Мы уже находили косинусы углов треугольника по его сторонам в произвольном треугольнике и косинус острого угла прямоугольного треугольника.
Рассмотрим, как найти косинусы углов треугольника по его вершинам.
Задача
Дано: ΔABC,
A(-2;0), B(6;1), C(-3;-5).
1) Найти косинусы углов треугольника ABC;
2) Определить вид треугольника.
Решение:
1) Угол A образован векторами
![[overrightarrow {AB} uoverrightarrow {AC} .]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3c51be7c40f0338b48d1eda2b89ae345_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
(Чертёж не обязательно делать на координатной плоскости. Достаточно выполнить его схематически, для упрощения понимания, какой угол какими векторами образован).
Следовательно,
![[cos A = frac{{overrightarrow {AB} cdot overrightarrow {AC} }}{{left| {overrightarrow {AB} } right| cdot left| {overrightarrow {AC} } right|}}.]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e8689674e5f3124a8a7b97118aa3fac5_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Найдём координаты векторов:
![[overrightarrow {AB} (x_B - x_A ;y_B - y_A ),]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5e9a50339a4d5b88f490459f2f41c283_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![[overrightarrow {AB} (6 - ( - 2);1 - 0),]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-88a3ce03ddd56f01eb5a127bf13309e4_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![[overrightarrow {AB} (8;1).]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4b11e6b9e6d1cdc0c4aa6bdcacd3590a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![[overrightarrow {AC} (x_C - x_A ;y_C - y_A ),]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-03d21b3858024630ab725ee1099b3236_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![[overrightarrow {AC} ( - 3 - ( - 2); - 5 - 0),]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fd964fd1b7182f6dd7abba7562e24de5_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![[overrightarrow {AC} ( - 1; - 5).]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-df1bed96f70bbbdb183f19d407a0c99f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Находим скалярное произведение векторов:
![[overrightarrow {AB} cdot overrightarrow {AC} = 8 cdot ( - 1) + 1 cdot ( - 5) = - 13.]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a7cce066dc0226e5bef024f216cc2ffb_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Поскольку скалярное произведение меньше нуля, угол, образованный данными векторами, тупой. Значит треугольник ABC — тупоугольный.
Длины (или модули) векторов:
![[left| {overrightarrow {AB} } right| = sqrt {8^2 + 1^2 } = sqrt {65} ,]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ef79b1a453903ed4d14bda113035bf3c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![[left| {overrightarrow {AC} } right| = sqrt {( - 1)^2 + ( - 5)^2 } = sqrt {26} .]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e89a1e1717da7040fbd9b4ef47fef785_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Отсюда
![[cos A = frac{{ - 13}}{{sqrt {65} cdot sqrt {26} }} = frac{{ - 13}}{{sqrt {5 cdot 13 cdot 2 cdot 13} }} = ]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-68fe632d70015905d6220dcfee153686_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![[= frac{{ - 13}}{{13sqrt {10} }} = - frac{1}{{sqrt {10} }} = - frac{{sqrt {10} }}{{10}}.]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cf68a3f0ac940f85858fca61dd8752d1_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
2) Угол B образован векторами
![[overrightarrow {BA} uoverrightarrow {BC} .]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d846b1c5afc48ee39f43f87d0494111b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Таким образом,
![[cos B = frac{{overrightarrow {BA} cdot overrightarrow {BC} }}{{left| {overrightarrow {BA} } right| cdot left| {overrightarrow {BC} } right|}}.]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-84cec08df9d53766e4ee96ddaaf275bb_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Так как
![[overrightarrow {BA} uoverrightarrow {AB} ]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7135fa236214e2b4117f113e81f5a69d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
— противоположные векторы, то их координаты отличаются только знаками и векторы имеют одинаковую длину:
![[overrightarrow {AB} (8;1), Rightarrow overrightarrow {BA} ( - 8; - 1),]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9de3c88b2071244924af5746b679df89_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![[left| {overrightarrow {BA} } right| = left| {overrightarrow {AB} } right| = sqrt {65} .]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-dca965cca0120b4634866a34d5cdde00_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![[overrightarrow {BC} (x_C - x_B ;y_C - y_B ),]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-90d9c8f14d17372527f2b1a3c8592abd_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![[overrightarrow {BC} ( - 3 - 6; - 5 - 1),]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f5bb525d01c5f023efa2376c0fc82ec8_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![[overrightarrow {BC} ( - 9; - 6).]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2f0dd1d68eac0597e08ed813e29cd4d8_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![[overrightarrow {BA} cdot overrightarrow {BC} = - 8 cdot ( - 9) + ( - 1) cdot ( - 6) = 78.]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8c01a6688af4856ac907ce143cb1ab32_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![[left| {overrightarrow {BC} } right| = sqrt {( - 9)^2 + ( - 6)^2 } = sqrt {117} .]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-76a6d0f303e43e5650df0ac4f4331363_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![[cos B = frac{{78}}{{sqrt {65} cdot sqrt {117} }} = frac{{13 cdot 6}}{{sqrt {5 cdot 13 cdot 9 cdot 13} }} =]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-090dd6a0163be423bb15e0c3da3b932b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![[= frac{{13 cdot 6}}{{13 cdot 3sqrt 5 }} = frac{2}{{sqrt 5 }} = frac{{2sqrt 5 }}{5}.]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-311f53b524e88106227b48aba1407b1f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
3) Угол C образован векторами
![[overrightarrow {CA} uoverrightarrow {CB} ,]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bde47289883d1dc7873a717fa6520448_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![[cos C = frac{{overrightarrow {CA} cdot overrightarrow {CB} }}{{left| {overrightarrow {CA} } right| cdot left| {overrightarrow {CB} } right|}}.]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-22361638670683db4b7ed7317c63bb72_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![[overrightarrow {AC} ( - 1; - 5), Rightarrow overrightarrow {CA} (1;5),]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-266a62e7b7531336066e26a6e6f73dfb_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![[overrightarrow {BC} ( - 9; - 6), Rightarrow overrightarrow {CB} (9;6),]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cbca68f308b6ad10eea0c4070bc5e0a8_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![[left| {overrightarrow {CA} } right| = left| {overrightarrow {AC} } right| = sqrt {26} ,]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c5ba83f27b9603bd96027db2adfe3b6f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![[left| {overrightarrow {CB} } right| = left| {overrightarrow {BC} } right| = sqrt {117} ,]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-335b9b7d877e2fc6093e5815798fff84_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![[overrightarrow {CA} cdot overrightarrow {CB} = 1 cdot 9 + 5 cdot 6 = 39.]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-349caf263cb62cce66210373548dd2c5_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![[cos C = frac{{39}}{{sqrt {26} cdot sqrt {117} }} = frac{{13 cdot 3}}{{sqrt {2 cdot 13 cdot 9 cdot 13} }} = ]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d5ec83e8e305bb409f73dfe6fc91bd86_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![[= frac{{13 cdot 3}}{{13 cdot 3sqrt 2 }} = frac{1}{{sqrt 2 }} = frac{{sqrt 2 }}{2}.]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-aad5d05868e552475a0c271d66763e14_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Ответ:
![[cos A = - frac{{sqrt {10} }}{{10}},cos B = frac{{2sqrt 5 }}{5},cos C = frac{{sqrt 2 }}{2};]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1fac8697a973daacd2c5bb9b7d00d847_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
ΔABC — тупоугольный.
