Как найти косинус минус 3 степени

Тригонометрические формулы обладают рядом свойств, одно из которых это применение формул понижения степени. Они способствуют упрощению выражений при помощи уменьшения степени.

Формулы понижения работают по принципу выражения степени синуса и косинуса через синус и косинус первой степени, но кратного угла. При упрощении формула становится удобной для вычислений, причем повышается кратность угла от α до nα.

Формулы понижения степени, их доказательство

Ниже приводится таблица формул понижения степени со 2 по 4 для sin и cos угла. После ознакомления с ними зададим общую формулу для всех степеней.

sin2α=1-cos 2α2cos2α=1+cos 2α2sin3=3·sin α-sin 3α4sin4=3-4·cos 2α+cos 4α8cos4 α=3+4·cos 2α+cos 4α8

Данные формулы предназначены для понижения степени.

Существует формулы двойного угла у косинуса и синуса, из которых и следуют формулы понижения степени cos2α=1-2·sin2α и cos2α=2·cos2α-1. Равенства разрешаются относительно квадрата синуса и косинуса, которые предоставляются как sin2α=1-cos2α2 и cos2α=1+cos2α2.

Формулы понижения степеней тригонометрических функций перекликаются с формулами синуса и косинуса половинного угла.

Имеет место применение формулы тройного угла  sin3α=3·sinα-4·sin3αи cos3α=-3·cosα+4·cos3α.

Если решать равенство относительно синуса и косинуса в кубе, получим формулы понижения степеней для синуса и косинуса:

sin3α=3-4·cos2α+cos4α8 и cos3α=3·cosα+cos3α4.

Формулы четвертой степени тригонометрических функций выглядят так: sin4α=3-4·cos2α+cos4α8 и cos4α=3+4·cos2α+cos4α8.

Чтобы понизить степени эти выражений, можно действовать в 2 этапа, то есть дважды понижать, тогда это выглядит таким образом:

sin4α =(sin2α)2=(1-cos2α2)2=1-2·cos2α+cos22α4==1-2·cos2α+1+cos4α24=3-4·cos2α+cos4α8;cos4α=(cos2α)2=(1+cos2α2)2=1+2·cos2α+cos22α4===1+2·cos2α+1+cos4α24=3+4·cos2α+cos4α8

Методом подстановки мы упростили сложное выражение. Для того, чтобы записать общий вид формул понижения степени разделим их на с наличием четных и нечетных показателей. Четные показатели, где n=2, 4, 6…, выражение имеет вид sinnα=Cn2n2n+12n-1·∑(-1)n2-kk=0n2-1·Ckn·cos((n-2·k)α) и cosnα=Cn2n2n+12n-1∑(-1)n2-kk=0n2-1·Ckn·cos((n-2·k)α).

Нечетные показатели, где n=3, 5, 7…, выражение имеет вид

sinnα=12n-1·∑(-1)n-12-kk=0n-12·Ckn·cos((n-2·k)α) и cosnα=12n-1∑(-1)n-12-kk=0n-12·Ckn·cos((n-2·k)α).

Cpq=p!q!·(p-q)! – это число сочетаний из p элементов по q.

Формулы понижения степени общего вида используются на любого выражения с высокой степенью для его упрощения. Рассмотрим пример для понижения кубического синуса. Третья степень нечетная, значит воспользуемся формулой sinnα=12n-1·∑(-1)n-22-kk=0n-12-k·Ckn·sin((n-2·k)α) где значение n присвоим 3. Подставляя n=3 в выражение, получим

sin3α=123-1·∑(-1)3-12-kk=03-12-k·Ck3·sin((3-2·k)α)==14·∑(-1)1-kk=01·Ck3·sin((3-2·k)α)==14·((-1)1-0·C03·sin((3-2·0)α) +(1)1-1·C13·sin((3-2·1)α))==14·((-1)1·3!0!·3!·sin3α+(-1)0·3!1!·(3-1)!·sinα)==14·(-sin3α+3·sinα)=3·sinα-sin3α4

Примеры применения формул понижения степени

Чтобы закрепить материал, необходимо детально разобрать его на примерах с использованием формулы понижения степени. Таким образом будет понятен принцип решения, подстановка и весь алгоритм.

Для решения сложных тригонометрических уравнений применяют формулы понижения степени. Они способны упростить выражение и сделать его намного удобным для вычислений или подстановки числовых значений. 

(1)  Основное тригонометрическое тождество sin²(α) + cos²(α) = 1

(2)  Основное тождество через тангенс и косинус (3)  Основное тождество через котангенс и синус

(4)  Соотношение между тангенсом и котангенсом tg(α)ctg(α) = 1 (5)  Синус двойного угла sin(2α) = 2sin(α)cos(α) (6)  Косинус двойного угла cos(2α) = cos²(α) – sin²(α) = 2cos²(α) – 1 = 1 – 2sin²(α) (7)  Тангенс двойного угла

tg(2α) =

2tg(α) 1 – tg2(α)

(8)  Котангенс двойного угла

ctg(2α) =

ctg2(α) – 1   2ctg(α)

(9)  Синус тройного угла sin(3α) = 3sin(α)cos²(α) – sin³(α) (10)  Косинус тройного угла cos(3α) = cos³(α) – 3cos(α)sin²(α) (11)  Косинус суммы/разности cos(α±β) = cos(α)cos(β) ∓ sin(α)sin(β) (12)  Синус суммы/разности sin(α±β) = sin(α)cos(β) ± cos(α)sin(β)

(13)  Тангенс суммы/разности (14)  Котангенс суммы/разности (15)  Произведение синусов sin(α)sin(β) = ½(cos(α–β) – cos(α+β)) (16)  Произведение косинусов cos(α)cos(β) = ½(cos(α+β) + cos(α–β)) (17)  Произведение синуса на косинус sin(α)cos(β) = ½(sin(α+β) + sin(α–β)) (18)  Сумма/разность синусов sin(α) ± sin(β) = 2sin(½(α±β))cos(½(α∓β)) (19)  Сумма косинусов cos(α) + cos(β) = 2cos(½(α+β))cos(½(α–β)) (20)  Разность косинусов cos(α) – cos(β) = –2sin(½(α+β))sin(½(α–β))

(21)  Сумма/разность тангенсов

(22)  Формула понижения степени синуса sin²(α) = ½(1 – cos(2α)) (23)  Формула понижения степени косинуса cos²(α) = ½(1 + cos(2α))

(24)

 Сумма/разность синуса и косинуса (25)  Сумма/разность синуса и косинуса с коэффициентами (26)  Основное соотношение арксинуса и арккосинуса arcsin(x) + arccos(x) = π/2 (27)  Основное соотношение арктангенса и арккотангенса arctg(x) + arcctg(x) = π/2

Формулы понижения степени в тригонометрии

С помощю этого онлайн калькулятора можно получить формулы тригонометрических функций, в том числе формулы понижения степени тригонометрических функций . Для получения формулы выберите нужную тригонометрическую функцию, дейсвие. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Формулы понижения степени в тригонометрии − доказательство формул, примеры

Формулы понижения степени тригонометрических функций выражают тригонометрические функции в степени через тригонометрические формулы первой степени, но с n -кратным углом. Эти формулы позволяют упростить тригонометрические выражения.

Ниже представлены формулы понижения степени тригонометрических функций второго, третьего, четвертого порядков:

Вывод формул понижения степени в тригонометрии

Для доказательств формул (a) − (d) воспользуемся формулами двойного угла:

Разрешив (1) и (2) относительно и , соответственно, получим формулы (a) и (b):

Учитывая, что и , получим доказательство формул (c) и (d):

Для доказательства формул (e) − (h) воспользуемся формулами тройного угла:

Разрешив (3) и (4) относительно и , соответственно, получим:

Для тангенса и котангенса получим:

Для вывода формул понижения четвертой степени (i), (j) учтем, что:

Тогда:

или

Далее, учитывая, что и , получим формулы (k)−(l):

или

Общие формулы понижения степени тригонометрических функций синус и косинус имеют следующий вид:

Для четных n(n=2, 4, 6, 8, …)

Для нечетных n(n=3, 5, 7, 9, …)

где сочетание из p по q (!- знак факториала).

Примеры применения формул понижения степени

Пример 1. Проверить справедливость формулы (i):

при .

Решение. Подставим значение α в левую часть уравнения (5):

Далее, подставим значение α в правую часть уравнения (5):

Получили одинаковые результаты. Значит уравнение (5) справедливо для .

Пример 2. Проверить справедливость формулы (l):

при .

Решение. Подставим значение α в левую часть уравнения (6):

Далее, подставим значение α в правую часть уравнения (6):

Получили одинаковые результаты. Значит уравнение (6) справедливо для .

Формулы понижения степени являются одним из видов основных тригонометрических формул. Они выражают степени (2, 3, …) тригонометрических функций синус, косинус, тангенс, котангенс через синус и косинус первой степени, но кратного угла (`alpha, 3alpha, …` или `2alpha, 4alpha, …`).

Список всех тригонометрических формул понижения степени

Запишем данные тождества для тригонометрических функций от 2-й по 4-ю степень угла `alpha`, а также для угла `frac alpha 2` и для произведения синус на косинус. Для удобства разделим их на группы.

Для квадрата

Формулы этой группы, особенно две первые, наиболее нужны. Они применяются при решении тригонометрических уравнений, интегралов и т. д.

`sin^2 alpha=frac{1-cos 2alpha}2`
`cos^2 alpha=frac{1+cos 2alpha}2`

`tg^2 alpha=frac{1-cos 2alpha}{1+cos 2alpha}`

`ctg^2 alpha=frac{1+cos 2alpha}{1-cos 2alpha}`

Для куба

Тождества этой группы и следующих встречаются гораздо реже, но это не повод их не знать.

`sin^3 alpha=frac{3sin alpha-sin 3alpha}4`
`cos^3 alpha=frac{3cos alpha+cos 3alpha}4`

`tg^3 alpha=frac{3sin alpha-sin 3alpha}{3cos alpha+cos 3alpha}`

`ctg^3 alpha=frac{3sin alpha+sin 3alpha}{3cos alpha-cos 3alpha}`

Для 4-й степени

`sin^4 alpha=frac{3-4cos 2alpha+cos 4alpha}8`
`cos^4 alpha=frac{3+4cos 2alpha+cos 4alpha}8`

Для функций половинного угла

Это формулы половинного угла. Но когда они записаны именно в таком виде, то их можно отнести и к тодествам понижения степени.

` sin^2 frac alpha 2=frac{1-cos alpha}2`

` cos^2 frac alpha 2=frac{1+cos alpha}2`

`tg^2 frac alpha 2=frac{1-cos alpha}{1+cos alpha}`

`ctg^2 frac alpha 2=frac{1+cos alpha}{1-cos alpha}`

Для произведения синус на косинус

`sin^2 alpha cdot cos^2 alpha=frac{1-cos 4alpha}8`
`sin^3 alpha cdot cos^3 alpha=frac{3sin 2alpha-sin 6alpha}32`

`sin^4 alpha cdot cos^4 alpha=frac{3-4cos 4alpha+cos 8alpha}128`

`sin^5 alpha cdot cos^5 alpha=frac{10sin 2alpha-5sin 6alpha+sin 10alpha}512`

Доказательство

Теперь перейдем непосредственно к выводу формул понижения степени тригонометрических функций.

Чтобы доказать их для квадрата, нам понадобятся фождества двойного угла `cos 2alpha=1-2 sin^2 alpha` и `cos 2alpha=2 cos^2 alpha-1`.

Формулу понижения степени синуса в квадрате получим, разрешив первое равенство относительно ` sin^2 alpha`: `sin^2 alpha=frac{1-cos 2alpha}2`.

Аналогично и с косинусом в квадрате, получим тождество, разрешив второе равенство относительно ` cos^2 alpha`: `cos^2 alpha=frac{1+cos 2alpha}2`.

Формула понижения степени тангенса и котангенса автоматически выводится из определений этих функций. Поскольку `tg  alpha=frac {sin alpha}{cos alpha}`, то `tg^2 alpha=frac {sin^2 alpha}{cos^2 alpha}=` `frac {frac{1-cos 2alpha}2}{frac{1+cos 2alpha}2}=frac{1-cos 2alpha}{1+cos 2alpha}`. Аналогично получим `ctg^2 alpha=frac {cos^2 alpha}{sin^2 alpha}=` `frac {frac{1+cos 2alpha}2}{frac{1-cos 2alpha}2}=frac{1+cos 2alpha}{1-cos 2alpha}`.

Для лучшего усвоения теоретического материала рекомендуем посмотреть видео, где подробно описывается процесс доказательстве первых двух формул:

Если формулы тройного угла `sin 3alpha=3 sin alpha-4sin^3 alpha` и
`cos 3alpha=4cos^3 alpha-3 cos alpha` разрешить относительно `sin 3alpha` и `cos 3alpha`, то получим формулы понижения степени для синуса и косинуса  в кубе: `sin^3 alpha=frac{3sin alpha-sin 3alpha}4` и `cos^3 alpha=frac{3cos alpha+cos 3alpha}4`.

Доказать данной равности для синуса и косинуса можно, воспользовавшись два раза формулами понижения квадратов:

`sin^4 alpha=(sin^2 alpha)^2=(frac{1-cos 2alpha}2)^2=` `frac{1-2cos 2alpha+cos^2 2alpha}4=frac{1-2cos 2alpha+frac{1+cos 4alpha}2}4=` `frac{3-4cos 2alpha+cos 4alpha}8`;

`cos^4 alpha=(cos^2 alpha)^2=(frac{1+cos 2alpha}2)^2=` `frac{1+2cos 2alpha+cos^2 2alpha}4=frac{1+2cos 2alpha+frac{1+cos 4alpha}2}4=` `frac{3+4cos 2alpha+cos 4alpha}8`.

Общий вид формул понижения степени

Для четных показателей степени (n=1, 2, 3,…):

`sin^n alpha=frac {C_frac n 2^n}{2^n}+frac1{2^{n-1}} cdot sum_{k=0}^{frac n 2 -1} (-1)^{frac n 2 -k} cdot C_k^n cdot cos((n-2k) alpha)` и `cos^n alpha=frac {C_frac n 2^n}{2^n}+frac1{2^{n-1}} cdot sum_{k=0}^{frac n 2 -1} C_k^n cdot cos((n-2k) alpha)`.

Для нечетных показателей степени (n=3, 5, 7,…):

`sin^n alpha=frac1{2^{n-1}} cdot sum_{k=0}^{frac {n-1}2} (-1)^{frac {n-1} 2 -k} cdot C_k^n cdot sin((n-2k) alpha)` и `cos^n alpha=frac1{2^{n-1}} cdot sum_{k=0}^{frac {n-1}2} C_k^n cdot cos((n-2k) alpha)`.

Примеры решения задач с применением формул понижения степени

Пример 1. Воспользуйтесь формулой понижения степени для `cos^2 4alpha`.

Решение. Применив формулу `cos^2 alpha=frac{1+cos 2alpha}2`, получим `cos^2 4alpha=frac{1+cos 2cdot 4alpha}2=frac{1+cos 8alpha}2`.

Ответ. `cos^2 4alpha=frac{1+cos 8alpha}2`.

Пример 2. Используя выше указанные тождества, вычислить `sin^2 frac pi 8`.

Решение. Согласно формуле `sin^2 alpha=frac{1-cos 2alpha}2`, понизим степень синуса. Получим `sin^2 frac pi 8=frac{1-cos 2frac pi 8}2=frac{1-cos frac pi 4}2`. Поскольку `cos frac pi 4=frac {sqrt 2}2`, то `sin^2 frac pi 8=frac{1-cos frac pi 4}2=frac{1-frac {sqrt 2}2}2=frac{frac {2-sqrt 2}2}2=frac {2-sqrt 2}4`.

Ответ. `sin^2 frac pi 8=frac {2-sqrt 2}4`.

Отметим, что формулы понижения степени в тригонометрии чаще всего используются при решении уравнений и преобразовании выражений.

Материалы по теме:

• Тригонометрические формулы: косинус, синус и тангенс двойного угла
• Формулы половинного угла тригонометрических функций
• Все формулы по тригонометрии
• Формулы приведения тригонометрических функций

Понижение степени в тригонометрии

Формулы понижения степени позволяют выразить тригонометрическую функцию n-ной степени через синус и косинус первой степени кратного значению n угла.

Применяемые формулы, доказательства

Формулы понижения степени выводятся из формул двойных, тройных и т.д. углов, которые в свою очередь являются следствием формул сложения и вычитания аргументов (метод заключается в представлении данных тождеств в виде суммы двух равных углов).

Формула понижения степени синуса и косинуса

Общий вид формул понижения степени для синуса и косинуса отличается для четных и нечетных степеней. Для четных (n = 2, 4, 6, …) они выглядят следующим образом:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

(sin^nleft(alpharight)=frac{mathrm C_frac n2^n}{2^n}+frac1{2^{n-1}}cdotsum_{k=0}^{{textstylefrac n2}-1}{(-1)}^{{textstylefrac n2}-k}cdotmathrm C_k^ncdotcosleft((n-2k)alpharight))

(cos^nleft(alpharight)=frac{mathrm C_frac n2^n}{2^n}+frac1{2^{n-1}}cdotsum_{k=0}^{{textstylefrac n2}-1}mathrm C_k^ncdotcosleft((n-2k)alpharight))

Для нечетных степеней (n = 3, 5, 7, …) в общем виде формулы записываются так:

(sin^nleft(alpharight)=frac1{2^{n-1}}cdotsum_{k=0}^{textstylefrac{n-1}2}{(-1)}^{{textstylefrac{n-1}2}-k}cdotmathrm C_k^ncdotsinleft((n-2k)alpharight))

(cos^nleft(alpharight)=frac1{2^{n-1}}cdotsum_{k=0}^{textstylefrac{n-1}2}mathrm C_k^ncdotcosleft((n-2k)alpharight))

На практике чаще всего используются формулы для второй степени, немного реже — для третьей и четвертой. Выглядят они так:

(sin^2left(alpharight)=frac{1-cosleft(2alpharight)}2)

(cos^2left(alpharight)=frac{1+cosleft(2alpharight)}2)

(sin^3left(alpharight)=frac{3sinleft(alpharight)-sinleft(3alpharight)}4)

(cos^3left(alpharight)=frac{3cosleft(alpharight)+cosleft(3alpharight)}4)

(sin^4left(alpharight)=frac{3-4cosleft(2alpharight)+cosleft(4alpharight)}8)

(cos^4left(alpharight)=frac{3+4cosleft(2alpharight)+cosleft(4alpharight)}8)

Понижение степени тангенса и котангенса

Формулы понижения степени для тангенса и котангенса выводятся исходя из определения этих тригонометрических функций. Тангенс — частное при делении синуса на косинус, котангенс — наоборот. Готовые формулы имеют следующий вид:

(tg^2left(alpharight)=frac{1-cosleft(2alpharight)}{1+cosleft(2alpharight)})

(ctg^2left(alpharight)=frac{1+cosleft(2alpharight)}{1-cosleft(2alpharight)})

(tg^3left(alpharight)=frac{3sinleft(alpharight)-sinleft(3alpharight)}{3cosleft(alpharight)+cosleft(3alpharight)})

(ctg^3left(alpharight)=frac{3cosleft(alpharight)+cosleft(3alpharight)}{3sinleft(alpharight)-sinleft(3alpharight)})

(tg^4left(alpharight)=frac{3-4cosleft(2alpharight)+cosleft(4alpharight)}{3+4cosleft(2alpharight)+cosleft(4alpharight)})

(сtg^4left(alpharight)=frac{3+4cosleft(2alpharight)+cosleft(4alpharight)}{3-4cosleft(2alpharight)+cosleft(4alpharight)})

Понижать можно любую степень, но с ее увеличением будет расти уровень сложности выражений, получаемых в результате этого действия.

Формулы половинного угла

Несмотря на то, что данные выражения абсолютно самостоятельны и выделяются в отдельный блок, при определенной записи их также можно отнести к формулам понижения степени.

(sin^2left(fracalpha2right)=frac{1-cosleft(alpharight)}2)

(x = {-b pm sqrt{b^2-4ac} over 2a}acos^2left(fracalpha2right)=frac{1+cosleft(alpharight)}2)

(tg^2left(fracalpha2right)=frac{1-cosleft(alpharight)}{1+cosleft(alpharight)})

(ctg^2left(fracalpha2right)=frac{1+cosleft(alpharight)}{1-cosleft(alpharight)})

Вывод формул понижения степени

Рассмотрим доказательства тождеств для синуса и косинуса второй степени. Для вывода потребуются формулы двойного угла:

(cosleft(2alpharight)=2cos^2left(alpharight)-1)

(cosleft(2alpharight)=1-2sin^2left(alpharight))

Чтобы получить значение косинуса во второй степени, переносим (2cos^2left(alpharight)) в левую часть, (cosleft(2alpharight)) — в правую, и избавляемся от минуса. Получаем:

(2cos^2left(alpharight)=cosleft(2alpharight)+1)

Делим обе части уравнения на 2. В итоге остается готовая формула понижения степени для косинуса:

(cos^2left(alpharight)=frac{1+cosleft(2alpharight)}2)

Для синуса алгоритм действий точно такой же. (2sin^2left(alpharight)) переносится в левую часть уравнения, (cosleft(2alpharight)) — в правую. Делим получившееся тождество (2sin^2left(alpharight)=1-cosleft(2alpharight)) на 2 и в результате остается формула понижения степени для синуса:

(sin^2left(alpharight)=frac{1-cosleft(2alpharight)}2)

Как выполняется, примеры задач с решением

Формулы понижения степени находят свое применение в тригонометрии, при решении дифференциальных уравнений и вычислении интегралов. Рассмотрим несколько примеров их использования:

Пример 1. Вычислить значение (2cdotsin^2left(fracpi4right))

Применим формулу понижения степени для синуса в квадрате (sin^2left(alpharight)=frac{1-cosleft(2alpharight)}2). Получим следующее:

(2cdotsin^2left(fracpi4right)=frac{2cdot(1-cosleft(2cdot{displaystylefracpi4}right))}2=1-cosleft(fracpi2right))

Так как (cosleft(fracpi2right)), он же (cosleft(90^circright)) равняется 0, получим (2cdotsin^2left(fracpi4right)=1).

Пример 2. Вычислить значение интеграла (int2cos^2left(xright)d2x)

Для того, чтобы привести к одному виду значения переменных в косинусе и дифференциале, воспользуемся формулой понижения степени:

(int2cos^2left(xright)d2x=int2cdotfrac{1+cosleft(2xright)}2d2x=int1+cosleft(2xright)d2x)

Так как выражение под знаком интеграла является многочленом, проинтегрируем каждую его часть по очереди:

(int1+cosleft(2xright)d2x=int1d2x+intcosleft(2xright)d2x=x+sinleft(2xright)+mathrm C)