Как найти косинус острого угла между диагоналями

Найти угол между диагоналями параллелограмма

Свойства углов между диагоналями параллелограмма:

1. Противоположные углы равны

2. Косинус тупого угла, всегда имеет отрицательное значение: cos β

a , b – стороны параллелограмма

D – большая диагональ

d – меньшая диагональ

α – острый угол между диагоналями

β – тупой угол между диагоналями

Формулы косинуса острого и тупого углов между диагоналями, через стороны и диагонали (по теореме косинусов):

Формула синуса острого и тупого углов через площадь (S) и диагонали:

Формулы соотношения острого и тупого углов между диагоналями:

Для определения величины угла в градусах или радианах, используем функции arccos и arcsin

Как найти косинус угла в четырехугольнике между его диагоналями

Сразу скажу, что я не математик, я бы решала так:
Дано:
Четырёхугольник ‘ABCD’, имеющий две диагонали ‘AC’ и ‘BD’, пересекающиеся в точке ‘О’.
Известны все углы у его вершин `ABC`, `BCD`, `CDA`, `DAB` и ещё углы `OAD`, `OAB`, `OCB` и `OCD`.
Нужно найти:
Углы между диагоналями четырёхугольника: т.е., углы ‘АОВ’, ‘АОD’, ‘DOC’, ‘COB’.

Я думаю, что решение данных задач станет возможно, если добавить условие, что в данном четырехугольнике одна пара связанных углов равна между собой.

В таком случае, мой вариант части решения:

Подсказка:
читать дальше Т.к. все диагонали в данном четырехугольнике пересекаются, то мы имеем дело с выпуклым четырехугольником (в противном случае, все диагонали не смогли бы пересечься).
Согласно свойству связанных углов выпуклого четырёхугольника https://mathvox.ru/geometria/mnogougolniki/glava-2-chetirehugolniki-i-ih-svoistva/ugli-vipuklogo-chetirehugolnika-svoistvo-3/ “Если в выпуклом четырёхугольнике одна пара связанных углов равна,
(Например, угол ‘BCA’ = углу ‘BDA’),
то вторая пара связанных углов (‘ABD’ и ‘АСD’) также будут равны между собой.

Если посмотреть на задачу шире, то, углы между диагоналями четырёхугольника (АОВ’, ‘АОD’, ‘DOC’, ‘COB’) ОДНОВРЕМЕННО являются также углами треугольников (‘АОB’, ‘BOC’, ‘COD’, ‘DOA’).
Что мы знаем о треугольниках?
“Сумма ВСЕХ УГЛОВ любого вида треугольников равна 180 градусам”.

Поиск угла ‘АОD’
Далее вычислим один из углов диагоналей четырехугольника (он же угол, входящий в состав одного из треугольников) на примере треугольника ‘АOD’:

Сумма всех углов треугольника ‘OAD’ =
угол ‘OAD’ + угол ‘ADO’ + угол ‘AOD’=180 градусов.

По условию задачи мы знаем:
1. Чему равен угол ‘OAD’ (согласно условию задачи).
Неизвестны углы ‘ADO’ и ‘AOD’.

2. Вычисляем угол ‘ADO’:
Снова расширяем своё видение.
Мы знаем:
1. Чему равен угол ‘CDA’ (согласно условию задачи), составной частью которого является угол ‘ADO’.
T. е., угол ‘CDA’ = угол ‘AOD’ + угол ‘ADO’.

2. Вычисляем значение угла ‘АDO’:
Угол ‘АDO’ = углу ‘BDA’.
Согласно свойству связанных углов выпуклого четырёхугольника:
угол ‘BDA’ = углу ‘BCA’, а угол ‘ВСА’ = углу “OCB’.
Т.о., угол ‘ADO’ = углу ‘OCB’ (значение угла ‘OCB’ мы знаем по условию задачи).

3. Угол ‘AOD’ = (угол ‘ОAD’ +угол ‘АDO’) – 180 градусов.
Поздравляем, первый угол ‘АОD’ – найден! .

Поиск угла ‘DOC’
Треугольник ‘DOC’ имеет углы: ‘ОСD’, ‘СDO’ и ‘DOC’.
Мы знаем:
1. Чему равен угол ‘ОСD’ (по условию задачи).

2. Вычислим чему равен угол ‘СDO’:
Угол ‘СDO’ входит в состав угла ‘CDA’, вместе с углом ‘АDO’.
Т.о., угол ‘СDO’ = угол ‘СDA’ – угол ‘АDO’.
3. Вычислим чему равен угол ‘DOC’:
Угол ‘DOC’ = (угол ‘OCD’ + угол ‘CDO’) – 180 градусов.
и т.д.

Творческая работа учащегося “Теорема косинусов для четырёхугольника”

«Календарь счастливой жизни:
инструменты и механизм работы
для достижения своих целей»

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

«Гимназия №1 Октябрьского района г. Саратова»

Научно-практическая конференция школьников.

Теорема косинусов для четырехугольника

Творческая работа ученицы 10 «А» класса

Всем известна теорема косинусов для треугольника

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними .

Но не все знают, что существуют аналогичные теоремы и для других фигур.

Целью данной работы явилось:

Установить, существует ли теорема косинусов для фигур, отличных от треугольника

Доказать утверждение теоремы косинусов для четырехугольника

Применить теорему при решении задач

Получить полезные следствия из теоремы косинусов для четырехугольника

Теоретическая часть

Первая теорема косинусов

Рассмотрим четырехугольник (рис.1).

Возведем обе части равенства в квадрат

Так как скалярное произведение векторов равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, то для вычисления скалярного произведения векторов будем откладывать векторы от одной точки.

Учитывая также, что скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины, получаем:

Заметим, что , где угол, образованный продолжениями сторон .

Введем обозначения сторон четырехугольника (рис.2).

Полученное соотношение между сторонами четырехугольника называют первой теоремой косинусов для четырехугольника. Ее формулируют так:

Квадрат стороны четырехугольника равен сумме квадратов трех других его сторон без удвоенных произведений этих сторон, взятых попарно, и косинусов углов между ними.

Рассмотрим еще раз рис.2. Понятно, что

Тогда равенство теоремы косинусов может быть записано в виде

Теорему косинусов, так как она доказывалась с использованием векторов, можно считать верной и для невыпуклого четырехугольника, и для четырехугольника с самопересечением сторон.

Вторая теорема косинусов

Можно получить еще один аналог теоремы косинусов, который назовем второй теоремой косинусов для четырехугольника.

Рассмотрим четырехугольник с проведенными в нем диагоналями, длины которых обозначим e и f (рис.3А).

Построим вне этого четырехугольника

Ясно, что по двум углам

Составим отношения сходственных сторон

Построим вне этого четырехугольника

Тогда по двум углам.

Составим отношения сходственных сторон:

откуда

Заметим, что имеют равные длины.

Совместим рисунки 3Б и 3В на одном рисунке 4.

Рассмотрим четырехугольник и треугольник .

В четырехугольнике BDEF сумма равна сумме углов треугольника.

В треугольнике сумма всех углов равна 180, поэтому сумма четырехугольника равна 180.

– это односторонние углы при прямых и секущей , а значит, . Кроме того, . Значит, четырехугольник – параллелограмм. И , т.е. равен диагонали f .

Рассмотрим треугольник . Заметим, что равен сумме углов и четырехугольника .

Применим традиционную теорему косинусов к этому треугольнику:

Используя введенные обозначения, получим:

Так как сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360,

Значит, в равенстве в качестве множителя + может участвовать и . Тогда вывод из равенства можно сформулировать так:

Квадрат произведения диагоналей четырехугольника равен сумме квадратов произведений противоположных сторон минус удвоенное произведение всех сторон четырехугольника на косинус суммы противоположных углов.

Это соотношение назовем второй теоремой косинусов для четырехугольников. Автором этого соотношения считают немецкого математика 19 века Карла Антона Бретшнайдера .

Получить из второй теоремы косинусов для четырехугольника теорему Птолемея.

Рассмотрим четырехугольник (рис.5), который может быть вписан в окружность. В таком четырехугольнике суммы противоположных углов равны 180. Тогда в равенстве

. И соотношения для диагоналей и сторон четырехугольника принимает вид

Это равенство известно под названием теорема Птолемея :

Для четырехугольника, вписанного в окружность, произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон.

Доказать, что в параллелограмме с углом в 45 градусов квадрат произведения диагоналей равен сумме четвертых степеней двух его смежных сторон (рис.6).

c = a , d = b

Задача №3.

Получить из второй теоремы косинусов для четырехугольника теорему Стюарта.

Рассмотрим четырехугольник со сторонами и диагоналями (рис.7).

По теореме косинусов для этого четырехугольника справедливо равенство

Представим себе, что четырехугольник будет таким, что сумма сторон равна диагонали , то есть четырехугольник вырождается в треугольник (рис.8), то есть

Вычисляем по теореме косинусов для треугольника, получаем,

Тогда для этого вырожденного четырехугольника имеем

Полученное соотношение называется теоремой М. Стюарта.

Получить из теоремы Стюарта формулу длины медианы треугольника.

Решение.

Квадрат медианы равен четверти суммы удвоенных квадратов сторон треугольника, заключающих медиану, минус квадрат третьей стороны треугольника.

Получить из теоремы Стюарта формулу длины биссектрисы треугольника.

Если – биссектриса, то по свойству биссектрис в треугольнике

Квадрат биссектрисы треугольника равен разности произведений сторон треугольника, заключающих биссектрису, и отрезков противоположной стороны, на которые она разделена биссектрисой.

В данной работе получены следующие результаты:

сформулированы и доказаны две теоремы косинусов для четырехугольника;

с использованием доказанной теоремы доказана теорема Птолемея;

доказана теорема Стюарта;

получены два следствия из теоремы Стюарта: формула длины медианы и формула длины биссектрисы;

приведен пример использования теоремы косинусов для четырехугольника при решении задач.

Атанасян Л.С. ГЕОМЕТРИЯ. 7-9 кл. Москва, Издательство «Просвещение», 2006г.

Атанасян Л.С. ГЕОМЕТРИЯ. 10-11 кл. Москва, Издательство «Просвещение», 2006г.

Понарин Я.П. Элементарная геометрия в 3-х томах. Том 1. Планиметрия, преобразования плоскости. Москва, Издательство МЦНМО, 2004г.

Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов https://school-collection.edu.ru

«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 967 человек из 79 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 338 человек из 71 региона

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 691 человек из 75 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

• Гришина Ирина ВладимировнаНаписать 1675 15.07.2017

Номер материала: ДБ-603154

15.07.2017 2165

15.07.2017 648

15.07.2017 386

15.07.2017 827

15.07.2017 571

15.07.2017 177

15.07.2017 770

Не нашли то, что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Во всех педвузах страны появятся технопарки

Время чтения: 1 минута

В Минпросвещения рассказали о формате обучения школьников после праздников

Время чтения: 1 минута

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В России разработают рекомендации по сопровождению студентов с ОВЗ

Время чтения: 2 минуты

Минпросвещения готовит рекомендации по построению «идеальной школы»

Время чтения: 1 минута

Глава СПЧ предложил ввести подготовительные курсы перед обучением в школе для детей мигрантов

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

[spoiler title=”источники:”]

http://diary.ru/~eek/p220852004_kak-najti-ugly-mezhdu-diagonalyami-chetyryohugolnika.htm

http://infourok.ru/tvorcheskaya-rabota-uchaschegosya-teorema-kosinusov-dlya-chetiryohugolnika-2025162.html

[/spoiler]

https://znanija.com/task/34772694

Четырехугольник ABCD задан координатами своих вершин  A(-1; 0), B(2; 3),C(3; 0), D(-1; -1). Найдите косинус острого угла между диагоналями AC и BD.

Ответ:  3/5    =0,6      

Объяснение:  α = AC^BD

AC ={3 -(-1)  ; 0 -0}    AC ={ 4  ; 0}    ;    |AC| =4  

BD ={-1 -2  ; -1  -3}     BD ={ -3  ; -4}  ;  |BD| =√( (-3)²+(-4)²) =√(9 +16 ) =5

AC*BD =|AC|*|BD|cos(AC^BD) =4*5*cosα   (по определению скалярного произведения двух векторов)

AC*BD =4*(-3) +0*(-4) = – 12   (по теорему скалярного произведения двух векторов; сумма произведения соответствующих координат).

4*5*cosα = – 12   ⇔cosα = -3/ 5  < 0  (α -тупой угол)

Острый  угол  между диагоналями AC и BD  будет  смежный угол :           β =180° – α     ⇒ cosβ =cos(180° -α) = -cosα = 3/5 .

* * *  ИЛИ   | cosβ| =  | (x₁*x₂+y₁*y₂) / √(x₁²+y₁²) *√(x₂²+y₂²) * * *

a) Найдем координаты вектора AB (из координат конца вектора вычли координаты начала).

1 способ

AB = (-1 — (-3); 3 — 3; -1 — 1) = (2; 0; -2)
Пусть D(x;y;z), тогда координаты вектора DC=(-2 — x; 7 — y; -2 — z).
Тогда 
-2-x = 2
7-y = 0
-2-z = -2
Следовательно, x = -4, y = 7, z = 0, координаты точки D (-4, 7, 0).

2 способ

 
D=OA+BC=(-3;3;1)+(-2-(-1); 7-3; -2 — (-1))=(-3;3;1)+(-1; 4; -1) = (-4; 7; 0)

б) Длина высоты, опущенной из вершины D на сторону AB:
AB = (-1 — (-3); 3 — 3; -1 — 1) = (2; 0; -2) (находили в первом пункте).
AD = (-4 — (-3); 7 — 3; 0 — 1) = (-1; 4; -1)
Векторное произведение ABxAD = 

Площадь параллелограмма=|ABxAD|==12
Высота=Площадь параллелограмма / основание 
Основание |AB|=
Высота = 

в) косинус острого угла между диагоналями AC и BD

Найдем скалярное произведение векторов AC и BD
AC * BD = 1*(-3) + 4*4 + (-3)*1= -3 + 16 -3 = 10

Найдем модули векторов


Найдем угол между векторами:

Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны. Частными
случаями параллелограмма являются прямоугольник и ромб. Квадрат одновременно является частным
случаем и прямоугольника и ромба, поэтому все выявленные для параллелограмма зависимости справедливы
для прямоугольника, квадрата и ромба.

На практике необходимость определения угла между диагоналями на основе прочих элементов может
возникнуть, в частности, при необходимости производства построений на местности и для перепроверки
уже проведенных построений.

Через площадь и диагонали

Для нахождения острого угла между диагоналями параллелограмма следует воспользоваться формулой:

sin α = 2S/(Dd)

где α – острый угол между диагоналями, S – площадь параллелограмма, D и d – его диагонали.

Приведем пример расчета по формуле для наглядного случая, когда диагонали перпендикулярны, и площадь
данного ромба равняется половине площади прямоугольника, в который данный ромб можно вписать.

При D = 20 мм, d = 10 мм, площадь описанного прямоугольника равна 20*10=200 мм², откуда S = 200/2=100 мм².

Вычисления дают sin α = 2S/(Dd) = 2*100/(20*10) = 1, откуда α = 90°. Известный факт – диагонали
ромба перпендикулярны.

Через две стороны и диагонали

В предыдущей формуле угол определялся через диагонали и одну сторону, в данной задаче требуется
определить угол по диагоналям и 2 сторонам. Тем самым, одно из условий является избыточным, и фигура
по произвольным данным может не оказаться параллелограммом. Но для случая параллелограмма, т.е.
взаимной увязки данных, формулы таковы:

cos α = (b2-a2)/(Dd), cos β = (a2-b2)/(Dd)

где a и b – стороны параллелограмма, α и β – углы между диагоналями (взаимно дополнительные до
180°).

Пример приведем по предыдущему случаю, остается только рассчитать недостающую сторону b, которая из
простых соображений (воспользовавшись правилом длины катета против угла в 30°) оказывается равной 20
мм. Вычисляем: cos α = (b²-a²)/(Dd) = (20²-34,64²)/(40*40) = -0,5, откуда
α = 120°.

Через диагонали и сторону

Для нахождения угла между диагоналями параллелограмма через диагонали и сторону формула такова:

cos α = (D² + d² – 4a²)/(2Dd)

где a – сторона параллелограмма, остальные обозначения прежние.

Здесь следует считаться с тем, что если в предыдущей задаче угол по условию являлся острым, в данной
задаче он может быть и тупым, с отрицательным значением косинуса угла.

Пример расчета опять-таки по наглядному случаю, когда обе диагонали равны. Это прямоугольник с
диагоналями D = 40 мм и d = 40 мм. При угле между диагоналями 120° половина диагонали составит 40/2 = 20 мм, половина высоты прямоугольника (она же – половина короткой
стороны) составит половину от половины диагонали (в прямоугольном треугольнике противолежащий углу в
30° катет равен половине гипотенузы), т.е. 10 мм, откуда половина стороны параллелограмма составит
√(20²-10²)=√300=17,32 мм, а сторона параллелограмма a = 2*17,32=34,64 мм.

Подставляем в формулу: cos α = (D² + d² – 4a²)/(2Dd) = (40²+40²-4*34,642) = ‑1600/(2*40*40) = -0,5.
Значению косинуса -0,5 соответствует угол 120°. Это же значение даст и калькулятор.

Квадрат достаточно задать одним элементом – стороной. Для задания прямоугольника необходимо задать
уже две его смежные стороны; для ромба сторону и угол между сторонами. Для задания же
параллелограмма необходимо задание 3 его взаимно независимых элементов. Это могут быть 2 смежные
стороны и угол между ними, но возможно и иное задание.

В любом четырехугольнике можно провести 2 диагонали, и они также могут входить в набор элементов для
задания фигуры. В данной статье приводятся справочные формулы для определения угла между диагоналями
параллелограмма через другие его элементы. Рассчитать же этот угол для каждого из 3 рассматриваемых
случаев позволят калькуляторы сайта, в которые необходимо ввести известные элементы, и в результате
получить синус или косинус искомого угла либо сам угол в градусах или радианах.