Как найти косинус по теореме пифагора

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Изучение тригонометрии мы начнем с прямоугольного треугольника. Определим, что такое синус и косинус, а также тангенс и котангенс острого угла. Это основы тригонометрии.

Напомним, что прямой угол — это угол, равный 90 градусов. Другими словами, половина развернутого угла.

Острый угол — меньший 90 градусов.

Тупой угол — больший 90 градусов. Применительно к такому углу «тупой» — не оскорбление, а математический термин 🙂

Развёрнутый, прямой, острый и тупой углы

Нарисуем прямоугольный треугольник. Прямой угол обычно обозначается C. Обратим внимание, что сторона, лежащая напротив угла, обозначается той же буквой, только маленькой. Так, сторона, лежащая напротив угла A, обозначается a.

Угол A обозначается соответствующей греческой буквой alpha.

Гипотенуза и катеты

Гипотенуза прямоугольного треугольника — это сторона, лежащая напротив прямого угла.

Катеты — стороны, лежащие напротив острых углов.

Катет a, лежащий напротив угла alpha, называется противолежащим (по отношению к углу alpha). Другой катет b, который лежит на одной из сторон угла alpha, называется прилежащим.

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

sin A=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle a}{displaystyle c}.

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к гипотенузе:

cos A=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle b}{displaystyle c}.

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему:

tg A =genfrac{}{}{}{0}{displaystyle a}{displaystyle b}.

Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:

tg A=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle sin A}{displaystyle cos A}.

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу):

ctg A =genfrac{}{}{}{0}{displaystyle cos A}{displaystyle sin A}.

Обратите внимание на основные формулы для синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые приведены ниже. Они пригодятся нам при решении задач.

sin displaystyle alpha = frac{a}{c} sin{}^2 alpha +cosdisplaystyle {}^2 alpha =1 alpha + beta = 90 ^{circ} 
cos displaystyle alpha = frac{b}{c} 1+tg displaystyle {}^2 alpha =frac{1}{cos ^2 alpha} cosalpha = sin beta
tg displaystyle alpha = frac{a}{b} 1+ctg displaystyle {}^2 alpha =frac{1}{sin ^2 alpha} sinalpha = cosbeta
ctg displaystyle alpha = frac{b}{a} tgalpha = ctgbeta

Давайте докажем некоторые из них.

  1. Сумма углов любого треугольника равна 180^{circ}. Значит, сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равнa 90^{circ}.
  2. С одной стороны, sin A =genfrac{}{}{}{0}{displaystyle a}{displaystyle c} как отношение противолежащего катета к гипотенузе. С другой стороны, cos B =genfrac{}{}{}{0}{displaystyle a}{displaystyle c}, поскольку для угла beta катет а будет прилежащим. Получаем, что cos beta =sin alpha. Иными словами, cos left( 90^{circ}-A right) = sin A.
  3. Возьмем теорему Пифагора: a^2+b^2=c^2. Поделим обе части на c^2, получаем displaystyle left ( frac{a}{c} right )^2+left ( frac{b}{c} right )^2=left ( frac{c}{c} right )^2 , то есть sin ^2 A+cos^2 A=1.
    Мы получили основное тригонометрическое тождество.
  4. Поделив обе части основного тригонометрического тождества на cos^2 A, получим: 1+tg ^2 A = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle cos ^2 A }. Это значит, что если нам дан тангенс острого угла alpha, то мы сразу можем найти его косинус. Аналогично,1+ctg ^2 A =genfrac{}{}{}{0}{1}{sin ^2 A }.

Хорошо, мы дали определения и записали формулы. А для чего все-таки нужны синус, косинус, тангенс и котангенс?

Мы знаем, что сумма углов любого треугольника равна 180^{circ}.

Знаем соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Это теорема Пифагора: a^2+b^2=c^2.

Получается, что зная два угла в треугольнике, можно найти третий. Зная две стороны в прямоугольном треугольнике, можно найти третью. Значит, для углов — свое соотношение, для сторон — свое. А что делать, если в прямоугольном треугольнике известен один угол (кроме прямого) и одна сторона, а найти надо другие стороны?

С этим и столкнулись люди в прошлом, составляя карты местности и звездного неба. Ведь не всегда можно непосредственно измерить все стороны треугольника.

Синус, косинус и тангенс — их еще называют тригонометрическими функциями угла — дают соотношения между сторонами и углами треугольника. Зная угол, можно найти все его тригонометрические функции по специальным таблицам. А зная синусы, косинусы и тангенсы углов треугольника и одну из его сторон, можно найти остальные.

Мы тоже нарисуем таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса для «хороших» углов от 0^{circ} до 90^{circ}.

varphi 0 genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 6} genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 4} genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 3} genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 2}
sinvarphi 0 displaystyle frac{1}{2} displaystyle frac{sqrt{2}}{2} displaystyle frac{sqrt{3}}{2} 1
cosvarphi 1 displaystyle frac{sqrt{3}}{2} displaystyle frac{sqrt{2}}{2} displaystyle frac{1}{2} 0
tgvarphi 0 genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle sqrt{3}} 1 sqrt{3}
ctgvarphi sqrt{3} 1 genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle sqrt{3}} 0

Обратите внимание на два прочерка в таблице. При соответствующих значениях углов тангенс и котангенс не существуют.

Докажем теорему:

Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны.

В самом деле, пусть АВС и A_1B_1C_1 — два прямоугольных треугольника с прямыми углами С и C_1 и равными острыми углами А и A_1.

Треугольники АВС и A_1B_1C_1 подобны по первому признаку подобия треугольников, поэтому displaystyle frac{AB}{A_1 B_1}=frac{BC}{B_1 C_1}=frac{AC}{A_1 C_1 } .

Из этих равенств следует, что displaystyle frac{BC}{AB}=frac{B_1 C_1}{A_1 B_1} , т. е. sin А = sin A_1.

Аналогично, displaystyle frac{AC}{AB}=frac{A_1C_1}{A_1 B_1}, т. е. cos А = cosA_1, и displaystyle frac{BC}{AC}=frac{B_1C_1}{A_1 C_1}, т. е. tg A = tg A_1.

Это значит, что синус, косинус и тангенс зависят только от величины угла.

Разберем несколько задач по тригонометрии из Банка заданий ФИПИ.

Задача 1. В треугольнике ABC угол C равен 90^{circ}, sin A = 0,1. Найдите cos B.

Задача решается за четыре секунды.

Поскольку A+B = 90^{circ}, sin A = cos B = 0,1.

Задача 2В треугольнике ABC угол C равен 90^{circ}, AB=5, sin A = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 7}{displaystyle 25}.

Найдите AC.

Решение:

sin A = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle a}{displaystyle c} = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle BC}{displaystyle AB} = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 7}{displaystyle 25}.

Отсюда

BC= genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 7}{displaystyle 25} cdot AB = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 7}{displaystyle 5}.

Найдем AC по теореме Пифагора.

AC=sqrt{AB^2-BC^2} = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 24}{displaystyle 5} = 4,8.

Ответ: 4,8.

Задача 3. В треугольнике АВС угол С равен 90^circ , AВ = 13, ВС = 5. Найдите косинус и тангенс острого угла А. Ответ округлите до сотых.

Решение:

Для угла А противолежащий катет – это ВС,

АВ является гипотенузой треугольника, лежит против angle C. Значит, sin A displaystyle = frac{BC}{AB}= frac{5}{13}.

Катет, прилежащий к angle A – это катет АС, следовательно, cos⁡ А displaystyle = frac{AC}{AB}=frac{AC}{13}.

Длину катета АС найдем по теореме Пифагора: AC^2+BC^2=AB^2.

Тогда AC = sqrt{AB^2-BC^2}=sqrt{(13)^2-5^2}=sqrt{144}=12.

cos⁡ А displaystyle = frac{12}{13}=0,923 ... approx 0,92 ;

tg A displaystyle = frac{BC}{AC} = frac{5}{12}=0,416...approx 0,42.

Ответ: 0,92; 0,42.

Заметим, что если катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12, то гипотенуза равна 13. Это одна из так называемых Пифагоровых троек. О них мы расскажем в других статьях сайта.

Задача 4. В треугольнике АВС угол С равен 90^circ , AC = 2, sin A= displaystyle frac{sqrt{17}}{17} .

Найдите BC.
Решение:

AC = b = 2, BC = a, AB = c.

Так как sin A displaystyle = frac{a}{c} = frac{BC}{AB} = frac{sqrt{17}}{17}, displaystyle frac{a}{c} = frac{sqrt{17}}{17} , displaystyle c = frac{17a}{sqrt{17}}=sqrt{17}a.

По теореме Пифагора a^2+b^2=c^2, получим

a^2+2^2=(sqrt{17} a)^2;

a^2+4=17a^2;

16a^2=4, displaystyle a= frac{1}{2}=0,5;

BC = 0,5.

Ответ: 0,5.

Задача 5. В треугольнике АВС угол С равен 90^circ , AC = 4, tg A = displaystyle frac{33}{4sqrt{33}} . Найдите AB.

Решение:

AC = b = 4, tg A displaystyle = frac{a}{b}=frac{33}{4sqrt{33}},

displaystyle frac{a}{4}=frac{33}{4sqrt{33}}, displaystyle a=frac{4 cdot 33}{4 cdot sqrt{33}}=sqrt{33},

AB = c = sqrt{a^2+b^2}=sqrt{(sqrt{33})^2+4^2}=sqrt{33+16} =7.

Ответ: 7.

Задача 6.

В треугольнике АВС угол С равен 90^ circ, CH – высота, AB = 13, tg A = displaystyle frac{1}{5} . Найдите AH.

Решение:

AВ = с = 13, tg A = displaystyle frac{a}{b}=frac{1}{5} , тогда b = 5a.

По теореме Пифагора triangleABC: a^2+b^2=c^2,

a^2+(5a)^2=13^2,

26 a^2=169,

displaystyle a=sqrt{frac{169}{26}}=frac{13}{sqrt{26}}, тогда displaystyle b = 5a=5cdot frac{13}{sqrt{26}}=frac{65}{sqrt{26}}.

triangle AHC approx triangle ACB (по двум углам), следовательно displaystyle frac{AH}{AC}=frac{AC}{AB} , откуда

displaystyle AH = frac{AC^2}{AB}=frac{b^2}{c}=left ( frac{65}{sqrt{26}}right )^2:13=12,5.

Ответ: 12,5.

Задача 7. В треугольнике АВС угол С равен 90^circ,

CH – высота, BC = 3, sin A = displaystyle frac{1}{6} .

Найдите AH.

Решение:

Так как sin A = displaystyle frac{a}{c} = frac{BC}{AB} = frac{1}{6}, тогда displaystyle frac{3}{c} = frac{1}{6} , c = АВ = 18.

sin A = displaystyle frac{a}{c} = cos⁡ B = displaystyle frac{1}{6} .

Рассмотрим triangle BHC:

{cos B=  }displaystyle frac{BH}{BC} = displaystyle frac{1}{6} , получим displaystyle frac{BH}{3}=displaystyle frac{1}{6},

тогда BH = displaystyle frac{3}{6}=displaystyle frac{1}{2} = 0,5,

AH = AB – BH = 18 – 0,5 = 17,5.

Ответ: 17,5.

Задача 8. В треугольнике АВС угол С равен 90{}^circ, CH — высота, BC = 3, cos A = displaystyle frac{sqrt{35}}{6}.

Найдите АH.

Решение:

Так как для triangle АВС: cos A = displaystyle frac{AC}{AB}= sin В = displaystyle frac{sqrt{35}}{6},

а для triangle ВНС: sin В = displaystyle frac{CH}{BC} = displaystyle frac{sqrt{35}}{6} , откуда СН = displaystyle frac{BC cdot  sqrt{35}}{6}=displaystyle frac{3 cdot sqrt{35}}{6}=displaystyle frac{sqrt{35}}{2},

По теореме Пифагора найдем ВН:

BH = sqrt{{BC}^2-{CH}^2}=sqrt{3^2-{left(displaystyle frac{sqrt{35}}{2}right)}^2}=

=sqrt{9-displaystyle frac{35}{4}}=sqrt{displaystyle frac{1}{4}}=displaystyle frac{1}{2}=0,5.

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой. Поэтому для triangle АВС получим:

{CH}^2=AH cdot BH, тогда AH= displaystyle frac{ {CH}^2}{BH}, ; AH= displaystyle frac{ {left(displaystyle frac{sqrt{35}}{2}right)}^2}{0,5}=displaystyle frac{35 cdot 2}{4}=17,5.

Ответ: 17,5.

Задача 9. В треугольнике АВС угол С равен 90{}^circ, CH — высота, СН = 24 и BН = 7. Найдите sin A.

Решение:

По определению sin A= displaystyle frac{a}{c} = displaystyle frac{BC}{AB} = {cos B}.

Рассмотрим triangle BHC : {cos B=  }displaystyle frac{BH}{BC}.

ВС найдем по теореме Пифагора:

ВС= sqrt{{BH}^2+{CH}^2}=sqrt{7^2+{24}^2}=sqrt{49+576}=sqrt{625}=25,

тогда {cos B=  }displaystyle frac{BH}{BC}=displaystyle frac{7}{25}=0,28, а значит и sin A = {cos B  }= 0,28.

Ответ: 0,28.

Задача 10. В треугольнике АВС угол С равен 90{}^circ, CH — высота, СН = 8 и BН = 4. Найдите tg A.

Решение:

По определению sin A = displaystyle frac{a}{c} = displaystyle frac{BC}{AB} = ;   cos A = displaystyle frac{b}{c} = displaystyle frac{AC}{AB} = {sin B },

тогда tg A = displaystyle frac{sin A}{{cos A }}=displaystyle frac{cosB}{sinB}=ctgB, который найдем из triangle BHC:

ctgB=displaystyle frac{BH}{CH}=displaystyle frac{4}{8}=0,5.

Ответ: 0,5.

Задача 11. В треугольнике АВС угол С равен 90{}^circ, CH — высота, BН = 12, tg A = displaystyle frac{2}{3}. Найдите АН.

Решение:

По определению tg A= displaystyle frac{BC}{AC}=ctgB=displaystyle frac{2}{3}.

Для triangle BHC: ctgB=displaystyle frac{BH}{CH}=displaystyle frac{2}{3} , значит displaystyle frac{12}{CH}=displaystyle frac{2}{3}, СН = displaystyle frac{12 cdot 3}{2}=18.

Для triangle АHC: tg A= displaystyle frac{CH}{AH}=displaystyle frac{2}{3}, то displaystyle frac{18}{AH}=displaystyle frac{2}{3}, AH = displaystyle frac{18 cdot 3}{2}=27.

Ответ: 27.

Задача 12. В треугольнике АВС угол С равен 90{}^circ, CH — высота, BН = 12, sin A = displaystyle frac{2}{3}. Найдите АВ.

Решение:

Так как cos В = displaystyle frac{BC}{AB} = sin A = displaystyle frac{2}{3}.

Из triangle СВН имеем cos В = displaystyle frac{HB}{BC} = displaystyle frac{2}{3}, тогда ВС = displaystyle frac{3 cdot  HB}{2}=displaystyle frac{3 cdot 12}{2}=18.

В triangle АВС имеем sinA = displaystyle frac{BC}{AB} = displaystyle frac{2}{3}, тогда AВ = displaystyle frac{3 cdot BC}{2}=displaystyle frac{3 cdot 18}{2}=27.

Ответ: 27.

Задача 13. В треугольнике АВС угол С равен 90{}^circ, из вершины прямого угла к гипотенузе проведена высота СН. Найдите cos A, AC и AB, если СН = 12, ВС = 20.

Решение:

Найдем НВ по теореме Пифагора из triangle ВСН:

HB = sqrt{BC^2-BH^2}=sqrt{20^2-12^2}=sqrt{(20-12)(20+12)}=

sqrt{8 cdot 32}= sqrt{8 cdot 2 cdot 16}=16.

sin В = displaystyle frac{CH}{BC} = displaystyle frac{12}{20}=displaystyle frac{3}{5}.

Для triangle АВС: cos A = displaystyle frac{AC}{AB}=sin B=displaystyle frac{3}{5}, получили cos A = 0,6.

Найдем АС и АВ несколькими способами.

1-й способ.

Так как cos A = displaystyle frac{AC}{AB}=displaystyle frac{3}{5}, то пусть АС = 3х, АВ = 5х,

тогда по теореме Пифагора {AC}^2+{BC}^2= {AB}^2, получим {(3x)}^2+{(20)}^2= {(5x)}^2
{25x}^2-{9x}^2= {20}^2 ,

{16x}^2= {20}^2,

x^2= {left(displaystyle frac{20}{4}right)}^2,
х = 5 ( так как хtextgreater 0). Значит, AC=15,  AB=25.

2-й способ.

triangle HBC approx triangle CBA (по двум углам), значит displaystyle frac{HB}{CB}=frac{HC}{AC}=frac{BC}{AB} или displaystyle frac{16}{20}={12}{AC}={20}{AB} = k,

k = displaystyle frac{16}{20}=displaystyle frac{4}{5} , тогда displaystyle frac{12}{AC}=displaystyle frac{4}{5}, АС = displaystyle frac{12 cdot 5}{4}=15; displaystyle frac{20}{AB}=displaystyle frac{4}{5}, АВ = displaystyle frac{20 cdot 5}{4}=25.

3-й способ.

{CH}^2=AH cdot HB (высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой) , тогда {12}^2=AH cdot 16, АН = 144:16 = 9.

АВ = АН + НВ = 9 + 16 = 25.

По теореме Пифагора найдем АС:

AC = sqrt{{AB}^2-{BC}^2}=sqrt{{25}^2-{20}^2}=sqrt{(25-20)(25+20)} = sqrt{5cdot 45}=sqrt{5cdot 5cdot 9}=15.

Ответ: cos A = 0,6; АС = 15, АВ = 25.

Задача 14.

Высота ВН прямоугольного треугольника АВС, проведенная из вершины прямого угла В, равна 24 и отсекает от гипотенузы АС отрезок НС, равный 18.

Найдите АВ и cos А.

Решение:

Из прямоугольного triangle ВНС по теореме Пифагора найдем гипотенузу ВС и cos C:

ВС = sqrt{{HC}^2+{BH}^2}=sqrt{{18}^2+{24}^2}=sqrt{324+576}= sqrt{900}=30;

cos C = displaystyle frac{HC}{BC}=displaystyle frac{18}{30}=displaystyle frac{3}{5}.

Для triangle АВС: sin А = displaystyle frac{BC}{AC} = cos C = displaystyle frac{3}{5}.

Для triangle АНВ: sin А = displaystyle frac{BH}{AB} = displaystyle frac{3}{5}, то displaystyle frac{24}{AB} = displaystyle frac{3}{5}, АВ = displaystyle frac{24 cdot 5}{3}=40.

Из основного тригонометрического тождества найдем

cos A = sqrt{1-{sin}^2A}=sqrt{1-0,36}=sqrt{0,64}=0,8.

Ответ: АВ = 40, cos A = 0,8.

Задача 15.

Гипотенуза АС прямоугольного треугольника АСЕ равна 50, sin А = displaystyle frac{7}{25}.

Найдите площадь треугольника.

Решение:

В прямоугольном triangle АСЕ sin А = displaystyle frac{CE}{AC},

значит CE=AC cdot sinA=50 cdot displaystyle frac{7}{25} = 14.

Второй катет найдем, используя теорему Пифагора: AE= sqrt{{AC}^2-{CE}^2};

AE = sqrt{{50}^2-{14}^2}=sqrt{(50-14)(50+14)} =sqrt{36cdot 64}=6cdot8=48.

Площадь прямоугольного треугольника равна S = displaystyle frac{1}{2}ab,

поэтому S_{ACE}= displaystyle frac{1}{2} AEcdot CE=displaystyle frac{48cdot 14}{2}=336.

Ответ: 336.

Задача 16.

В треугольнике АВС угол С — прямой, катеты АВ = 13 и ВС = 12, СК — высота.

Найдите sin angle ACK. Результат округлите до сотых.

Решение:

triangle CAK approx triangle BAC ( angle A-общий, angle AKC=angle ACB=90{}^circ ),

значит angle ACK=angle ABC, sin angle ACK=displaystyle frac{AK}{AC}=displaystyle frac{AC}{AB}.

Найдем АС по теореме Пифагора из triangle САВ:

AC = sqrt{{AB}^2-{BC}^2}=sqrt{{13}^2-{12}^2}=

=sqrt{(13-12)(13+12)}=sqrt{25}= 5.

Тогда sin angle ACK=displaystyle frac{5}{13}=0,384..approx 0,38.

Ответ: 0,38.

Задача 17. В треугольнике АВС АС = ВС, АВ = 72, cos A = displaystyle frac{12}{13}. Найдите высоту СН.

Решение:

Так как АС = ВС, то triangle АВС — равнобедренный с основанием АВ, тогда

высота СН является медианой, то есть АН = НВ = displaystyle frac{1}{2}AB=36.

Поскольку triangle АСН — прямоугольный,

cos A = displaystyle frac{AH}{AC}= displaystyle frac{12}{13}, то есть displaystyle frac{36}{AC}= displaystyle frac{12}{13} Rightarrow АС = displaystyle frac{36 cdot 13}{12}=39.

По теореме Пифагора {AH}^2+{CH}^2={AC}^2, тогда

CH = sqrt{{AC}^2-{AH}^2} = sqrt{{39}^2-{36}^2}=

=sqrt{(39-36)(39+36)}=sqrt{3cdot 3cdot 25}=15.

Ответ: 15.

Задача 18. В треугольнике АВС угол С равен 90{}^circ, sin A = displaystyle frac{11}{14}, AC = 10sqrt{3}. Найдите АВ.

Решение:

1-й способ.

Поскольку sin A = displaystyle frac{BC}{AB}= displaystyle frac{11}{14}, то можно обозначить

ВС = 11х, АВ = 14х.

По теореме Пифагора AC^2+{BC}^2={AB}^2;

{(10sqrt{3})}^2+{(11x)}^2={(14x)}^2;

{(14x)}^2-{(11x)}^2 = 3 cdot 100;

(14х- 11х)(14х + 11х) = 3 cdot 100;

3cdot 25 x^2 = 3 cdot 100.

x^2=4, учитывая, что длина стороны положительна, х = 2,

следовательно, АВ = 14 cdot 2 = 28.

2-й способ.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством {sin}^2A+{cos}^2A=1;

cos A = sqrt{1-{sin}^2A}=sqrt{1-{left(displaystyle frac{11}{14}right)}^2}=sqrt{displaystyle frac{196-121}{196}}=sqrt{displaystyle frac{75}{196}}=displaystyle frac{5sqrt{3}}{14}.

По определению cos A = displaystyle frac{AC}{AB}, значит displaystyle frac{AC}{AB}= displaystyle frac{5sqrt{3}}{14}.

Так как АС=10sqrt{3}, то displaystyle frac{10sqrt{3}}{AB}= displaystyle frac{5sqrt{3}}{14}, откуда АВ = displaystyle frac{10sqrt{3} cdot 14}{5sqrt{3}} = 28.

Ответ: 28.

Задача 19. Найдите углы ромба АВСD, если его диагонали АС и ВD равны 4sqrt{3} и 4.

Решение:

Пусть angle ВАО = alpha .

Диагонали ромба делят его углы пополам, значит, angle DAO=angle BAO = alpha .

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, следовательно, в прямоугольном треугольнике АВО катет АО = displaystyle frac{1}{2} AC=2sqrt{3}, а катет ВО = displaystyle frac{1}{2}BD =2.

Поэтому tgalpha =displaystyle frac{BO}{AO}=displaystyle frac{2}{2sqrt{3}}=displaystyle frac{1}{sqrt{3}}, откуда alpha =30{}^circ .

angle BAD=2alpha =60{}^circ , ; angle ADC=angle ABC=180{}^circ -60{}^circ =120{}^circ .

Ответ: {60}^circ, {120}^circ, {60}^circ, {120}^circ .

Часто в задачах встречаются треугольники с углами 90^{circ},, 30^{circ} и 60^{circ} или с углами 90^{circ},, 45^{circ} и 45^{circ}. Основные соотношения для них запоминайте наизусть!

Прямоугольные треугольники с углами 30, 60, 90 и 45, 45, 90 градусов

Для треугольника с углами 90^{circ},, 30^{circ} и 60^{circ} катет, лежащий напротив угла в 30^{circ}, равен половине гипотенузы.

Треугольник с углами 90^{circ},, 45^{circ} и 45^{circ} — равнобедренный. В нем гипотенуза в sqrt{2} раз больше катета.

Задача 20.

В треугольнике АВС угол С равен 90{}^circ, угол А равен 30{}^circ, АВ = 2sqrt{3} .

Найдите высоту CH.

Решение:

Рассмотрим triangle АВС:

По свойству катета, лежащего против угла {30}^circ, имеем ВС = displaystyle frac{1}{2} АВ = sqrt{3}.

В triangle BHC: angle BHC=90{}^circ ,;  angle B=60{}^circ , то angle HCB=30{}^circ , следовательно, ВН = displaystyle frac{1}{2} BC = displaystyle frac{sqrt{3}}{2}.

По теореме Пифагора найдем НС:

HC = sqrt{{BC}^2-{BH}^2}=sqrt{{left(sqrt{3}right)}^2-{left(displaystyle frac{sqrt{3}}{2}right)}^2}=sqrt{3-displaystyle frac{3}{4}}=

=sqrt{2displaystyle frac{1}{4}}=sqrt{displaystyle frac{9}{4}}=displaystyle frac{3}{2}=1,5.

Ответ: 1,5.

Задача 21.

В треугольнике АВС угол С равен 90{}^circ, CH — высота, АВ = 2, angle A=30{}^circ . Найдите АH.

Решение:

Из triangle АВС найдем ВС = displaystyle frac{1}{2} АВ = 1 (по свойству катета, лежащего против угла 30{}^circ),

angle A=30{}^circ , то angle B=60{}^circ .

Из triangle ВСН: angle BHC=90{}^circ ,  angle B=60{}^circ , то angle HCB=30{}^circ , следовательно,

ВН = displaystyle frac{1}{2} ВС = displaystyle frac{1}{2}.

АН = АВ — НВ = 2 – displaystyle frac{1}{2} = 1,5.

Ответ: 1,5.

Еще раз повторим, что такое синус, косинус и тангенс угла в прямоугольном треугольнике.

Как запомнить эти соотношения? Лучший способ – решать много задач, и на уроках геометрии, и готовясь к ЕГЭ. Тогда все формулы, равенства, соотношения запомнятся сами собой.

Мы рассмотрели задачи на решение прямоугольных треугольников — то есть на нахождение неизвестных сторон или углов. Но это не всё! В вариантах ЕГЭ по математике множество задач, где фигурирует синус, косинус, тангенс или котангенс внешнего угла треугольника. Об этом — в следующей статье.

Если вам понравился разбор данной темы – записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Найти косинус угла? Вот тут точно теоремой Пифагора не обойдёшься

А при чём тут теорема Пифагора спросите Вы? Не спросите? Ну хорошо.

Да и не нужна она здесь совсем. Хотя, теорему которую будем использовать легко доказать через «Пифагора».

Условие

Стороны параллелограмма равны 2 и 4, а угол между ними равен 60°. Через вершину этого угла проведены прямые, проходящие через середины двух других сторон па раллелограмма. Найдите косинус угла между этими прямыми.

Подсказка

Там, где надо искать косинус угла, вспоминаем про прямоугольный треугольник и отношение сторон в нём или про теорему косинусов (реже синусов). Так как явного прямоугольного треугольника здесь нет, то можно сразу приступить к «плану Б». Использовать теорему косинусов. Достаточно знать три стороны треугольника и косинус любого угла найти не проблема. Остаётся выйти на эти три стороны. Тоже, кстати, через теорему косинусов. Увы. Но решение это не единственное. Так что пробуйте. Жаль, что одной лишь теоремой Пифагора тут не обойтись. Стороны, кстати надо найти в треугольнике AEF.

Теорема Пифагора, Теорема косинусов, Формула

Теорема косинусов, формула

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон без удвоенного произведения одной из этих сторон на взятую на ней проекцию другой.

Если угол острый то справедлива формула

[ a^2 = b^2 + c^2 – 2bx ]

Если угол тупой то справедлива формула

[ a^2 = b^2 + c^2 + 2bx ]

Общая формула теоремы косинусов для всех случаев треугольников выглядит следующим образом:

[ a^2 = b^2 + c^2 – 2bccos(A) ]

Теорема Пифагора, Формула

Если угол прямой то справедлива формула

[ a^2 = b^2 + c^2 ]

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (это Теорема Пифагора).
Теорема Пифагора является частным случаем теоремы косинусов и часто применяется в разнообразных практических и теоретических вопросах.

Вычислить, найти сторону треугольника по Теореме Пифагора, Формула (4)

Теорема Пифагора, Теорема косинусов

стр. 236

Теорема косинусов и теорема Пифагора. В этой статье мы рассмотрим теорему косинусов и как она используется для нахождения элементов треугольника. А так же разберём её взаимосвязь с теоремой Пифагора.

Теорема косинусов

Знать эту теорему НЕОБХОДИМО. Что мы можем найти, используя её?

Если нам будут известны две стороны и угол между ними, мы без труда найдём третью сторону. Для этого нужно просто подставить в формулу известные величины. Для других сторон всё то же самое:

Можно ли использовать теорему косинусов для нахождения третьей стороны, если известны любые две стороны и  угол, не лежащий между этими сторонами? Например, нам известны стороны a и b и угол альфа. Тогда из формулы

мы можем найти сторону «с».  Приводим к виду:

То есть, мы получаем квадратное уравнение с переменной «с» (все остальные величины нам известны). Решив его, получим искомую сторону.

Мы можем найти любой угол, если нам известны все три стороны треугольника:

Разумеется, что учить все эти формулы не нужно, так как достаточно понимать сам смысл Теоремы косинусов. А косинус любого угла не трудно выразить используя простые алгебраические преобразования.

*Если вы вычисляете косинус тупого угла, то имейте ввиду, что должно получиться отрицательное значение, так как косинус угла от 90 до 180 градусов отрицателен. Если при решении в задачах получите положительное значение, то ищите ошибку.

Следующий вопрос: а если нам дана сторона и любые два угла, что делать? В этом случае теорема косинусов не используется, а на помощь приходит теорема синусов, её мы рассмотрим в одной из следующих статей, не пропустите!

Если вы будете  в совершенстве владеть теоремами Пифагора, косинусов, синусов и свойствами подобия треугольников, то для вас не возникнет никаких сложностей с решением  треугольников (в большинстве задач).

Следующий факт знают все, но всё же о взаимосвязи  теоремы косинусов с теоремой Пифагора  сказать стоит. Посмотрите на исходный рисунок, если угол альфа равен 90 градусов, то получим:

То есть, по сути, теорема Пифагора это как бы частный случай теоремы косинусов.

Рассмотрим прямоугольный треугольникПокажем то же самое, но с другими обозначениями:

Прямоугольный треугольник

По теореме косинусов:

Так как угол С равен 90, то

Теорема Пифагора

Напомню, что зная любые две стороны в прямоугольном треугольнике, мы всегда можем найти третью. А далее без труда можем  найти значение любой тригонометрической функции острого угла в нём. Можете изучить статью об этом.

Получить материал статьи в формате PDF

На этом всё. Успехов вам!!!

С уважением, Александр Крутицких. 

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Определение косинуса угла

Косинусом угла в прямоугольном треугольнике называют отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Для простоты запоминания можно дать такое определение: косинус угла — это отношение ближнего от рассматриваемого угла катета к гипотенузе.

1.png

В случае с рисунком, описанным выше: cos⁡α=bccosalpha=frac{b}{c}

Задача 1

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см10text{ см}. Один из катетов равен 6 см6text{ см}. Найдите косинус угла, прилежащего к наибольшему катету.

Решение

Пользуясь теоремой Пифагора вычислим длину неизвестного нам катета.

a2+b2=c2a^2+b^2=c^2

62+b2=1026^2+b^2=10^2

36+b2=10036+b^2=100

b2=64b^2=64

b=8b=8

Катет bb длиннее катета aa. Нам нужно найти косинус угла, прилежащего к наибольшему катету, то есть, к катету bb:

cos⁡α=bc=810=0.8cosalpha=frac{b}{c}=frac{8}{10}=0.8

Ответ

0.8

Задача 2

Две стороны треугольника равны 4 см4text{ см} и 9 см9text{ см}. Периметр его равен 25 см25text{ см}.
Найдите косинус угла, прилежащего к неизвестной стороне и стороне с длиной 4 см4text{ см}.

Решение

Найдем третью сторону треугольника. Так как известен периметр, это будет легко сделать:

P=a+b+cP=a+b+c

25=9+4+c25=9+4+c

c=12c=12

При нахождении косинуса угла нам поможет следствие из теоремы косинусов, которое выглядит так:

cos⁡α=b2+c2−a22⋅b⋅c=42+122−922⋅4⋅12=16+144−8196=7996≈0.82cosalpha=frac{b^2+c^2-a^2}{2cdot bcdot c}=frac{4^2+12^2-9^2}{2cdot 4cdot 12}=frac{16+144-81}{96}=frac{79}{96}approx0.82

Ответ

0.820.82

Решение задач по математике от экспертов сайта Студворк!

Тест по теме “Вычисление косинуса”

Добавить комментарий