Как найти косинус равнобедренного треугольника при вершине

Теорема косинусов

Теорема косинусов — в любом треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих двух сторон на косинус угла между ними.

• a² = b² + c² – 2b.c.cosα
• b² = a² + c² – 2a.c.cosβ
• c² = a² + b² – 2a.b.cosγ

Например:

Одна сторона треугольника равна 12 см, другая — 8 см, между ними образовался угол 120º. Найдите длину третьей стороны.

Решение по формуле a² = b² + c² – 2b.c.cosα:

cos α = cos 120º = – 1/2 (это значение можно найти в таблицах)

a² = 12² + 8² – 2×12×8×(- 1/2)

Длина третьей стороны — примерно 17,436 см.

Следствия

Следствие косинуса угла треугольника

При помощи теоремы косинусов можно найти косинус угла треугольника.

Используйте теорему косинусов, чтобы найти угол β.

Решение:

Будем использовать эту версию формулы:

cos β = (6² + 8² − 7²) / 2×6×8

Следствие верхней части формулы cos α

Чтобы узнать, если угол α острый, прямой или тупой, нужно вычислить b²+c²−a² (это верхняя часть формулы для cos α):

• b²+c²−a² 0, значит угол α — острый.

Доказательство теоремы косинусов

Нужно доказать, что c² = a² + b² − 2a.b.cos C

1. Из определения косинуса известно, что в прямоугольном треугольнике BCD: cos C = CD/a CD = a.cos C.

2. Вычитаем это из стороны b, так мы получим DA:

3. Мы знаем из определения синуса, что в том же треугольнике BCD:

sin C = BD/a BD = a.sinC.

4. Применяем теорему Пифагора в треугольнике ADB: c² = BD² + DA²

5. Заменим BD и DA из пунктов 2) и 3), получится выражение: c²= (a. sin C)²+(b−a.cos C)²

6. Раскрываем скобки: c² = a² sin ²C + b² − 2a.b.cosC + a².cos²C

6.1. Поменяем их местами (a²cos²C поставим на второе место): c² = a² sin ²C + a²cos²C + b² − 2a.b.cosC

7. Выносим за скобки “a²”: c² = a² (sin²C+cos²C) + b² − 2a.b.cosC

8. В скобках получилось основное тригонометрическим тождество (sin²α + cos²α = 1), значит его можно сократить т. к. умножение на единицу ничего не меняет, получилось: c² = a² + b² − 2a.b.cos C

Теорема косинусов для равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике:

• две его стороны равны;
• углы при основании равны.

Используем формулу теоремы косинусов

a² = b² + c² – 2b.c.cosα

Подставляем все известные:

x² = 8² + 8² – 2×8×8×cos140º

x² = 64 + 64 – 128 × (-0,766)

Теорема синусов

Теорема синусов гласит, что отношение стороны треугольника к синусу угла, противолежащего данной стороне, одинаково для всех сторон и углов в данном треугольнике:

Теорема Косинусов Для Треугольника Формула

Теорема косинусов для треугольника формула

• Формула теоремы косинусов
• Следствие из теоремы косинусов
• Примеры решения задач

Формула теоремы косинусов

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное
произведение этих сторон на косинус угла между ними.

То есть для плоского треугольника (рис. 1) со сторонами $a$, $b$ и $c$ и углом $alpha$, противолежащим стороне $a$,
справедливо соотношение:

Теорема косинусов является обобщением теоремы Пифагора.
Утверждения, обобщающие теорему Пифагора и эквивалентные теореме косинусов,
были сформулированы отдельно для случаев острого и тупого угла в 12 и 13 предложениях II книги “Начал” древнегреческого математика Евклида
(ок. 300 г. до н. э.). Утверждения, эквивалентные теореме косинусов для сферического треугольника, применялись в сочинениях математиков
стран Средней Азии. Теорему косинусов для сферического треугольника в привычном нам виде сформулировал выдающийся немецкий астролог,
астроном и математик Региомонтан (1436 – 1476), назвав её “теоремой Альбатегния” (по имени выдающегося средневекового астронома и
математика Абу Абдаллах Мухаммад ибн Джабир ибн Синан ал-Баттани (858 – 929).

В Европе теорему косинусов популяризовал французский математик Франсуа Виет (1540 – 1603) в 16 столетии. В начале 19 века её
стали записывать в принятых по сей день алгебраических обозначениях.

Следствие из теоремы косинусов

Теорема косинусов может быть использована для нахождения косинуса угла треугольника (рис. 1):

Если $b^<2>+c^<2>-a^<2>>0$, то угол $alpha$ – острый;

Если $b^<2>+c^<2>-a^<2>=0$, то угол $alpha$ – прямой;

Если $b^<2>+c^<2>-a^ <2>lt 0$, то угол $alpha$ – тупой.

Примеры решения задач

Задание. В треугольнике $ABC AC=3, BC=5$ и $AB = 6 .$ Найти угол, противолежащий стороне $AB$

Решение. Согласно следствию из теоремы косинусов, имеем:

$$angle A C B=arccos left(-frac<1><15>right)$$

Ответ. $angle A C B=arccos left(-frac<1><15>right)$

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Задание. Задан треугольник
$ABC$, длины сторон которого $AC=17, BC=14, angle ACB=60^$.
Найти длину третьей стороны рассматриваемого треугольника.

Решение. Согласно теореме косинусов

$$A B^<2>=A C^<2>+B C^<2>-2 cdot A C cdot B C cdot cos angle A C B=$$

$$=17^<2>+14^<2>-2 cdot 17 cdot 14 cdot cos 60^=289+196-238=24$$

Ответ. $A B=sqrt<247>$

Теорема косинусов для треугольника формула

Геометрическая фигура

Прежде чем рассматривать теорему косинусов для треугольника и формулу, которая математически ее выражает, следует познакомиться с самим геометрическим объектом подробнее.

Треугольник представляет собой плоскую фигуру, которая состоит из двух типов элементов:

• трех отрезков, являющихся сторонами;
• трех вершин, образованных на пересечении отрезков и определяющих углы фигуры.

Если две стороны треугольника равны между собой и отличаются от третьей, его называют равнобедренным. Если все имеют одинаковую длину, речь идет о равностороннем объекте. Важным свойством любого треугольника является равенство суммы его трех углов 180°. Этот факт справедлив для всех типов фигуры на плоскости.

Важные линии

Для описания характеристик объекта в геометрии используют специальные линии. Основными из них являются:

• биссектриса — прямая, выходящая из произвольной вершины и делящая ее угол на 2 равные части;
• высота — перпендикуляр, который начинается на произвольной вершине и с противоположной стороной образует прямой угол;
• медиана — линия, которая делит на 2 одинаковые по площади части треугольник, пересекает противоположную сторону фигуры ровно посередине.

Для равносторонней фигуры все 3 типа линий совпадают друг с другом, для равнобедренного треугольника только для угла, образованного равными сторонами, они являются одинаковыми.

Основные законы

О треугольнике человечеству известно все, поскольку это самая простая геометрическая фигура. Кроме того, до настоящего времени дошли некоторые работы греческих мыслителей и даже древних египтян, которые были посвящены рассмотрению ее свойств. В общем случае можно назвать 3 основные теоремы, которые в полной мере описывают главные характеристики треугольника. К ним относятся:

1. Равенство площади фигуры половине произведения высоты на длину стороны, на которую она падает — ее принято называть основанием. Помимо этой формулы, существует еще одно выражение, которое позволяет получить тот же результат, но с использованием длин трех сторон и без проведения дополнительных геометрических построений.
2. Теорема синусов.
3. Закон косинусов.

Эти 3 теоремы и соответствующие им математические выражения являются независимыми и применяются для решения многих практических проблем.

Теорема косинусов

Она также звучит как закон косинусов для треугольника и представляет собой обобщение теоремы Пифагора на фигуру произвольного типа. Ее формулировка связывает 3 стороны и угол в единое равенство. Закон косинусов заключается в следующем: квадрат произвольной стороны треугольника равен сумме квадратов двух оставшихся его сторон за вычетом удвоенного произведения их длин, которые умножены на косинус угла между ними.

Чтобы записать соответствующее математическое выражение, следует ввести некоторые обозначения. Пусть в фигуре ABC сторона, которая лежит напротив угла C, то есть AB = c, по аналогии, BC = a и AC=b. Углы при вершинах A, B и C удобно обозначать малыми греческими буквами α, β и γ, соответственно. Тогда формула теоремы косинусов запишется в следующем математическом виде:

c = a + b — 2*a*b*cos (γ).

Зная 3 любых элемента фигуры, можно вычислить все остальные ее характеристики. При этом хотя бы одна из известных величин должна быть линейным параметром. Это утверждение доказать несложно, если представить 2 подобных треугольника, которые имеют попарно равные углы, но разную длину сторон (одна фигура является миниатюрной копией другой).

Иными словами, знание трех углов не является достаточным условием для определения свойств треугольника.

Историческая справка

Практически во всех языках мира теорема носит название закона косинусов и не имеет конкретного автора. Однако, во французском языке она носит имя персидского математика Аль-Каши, жившего в конце XIV — начале XV веков. Согласно историческому анализу, именно с теориями этого философа связана современная формулировка теоремы.

Взаимоотношением между сторонами треугольника человечество интересовалось с давних времен. В труде греческого философа Евклида, который называется «Элементы» и датируется III веком до н. э., появляется впервые некое подобие рассматриваемого закона. Однако Евклиду не были известны тригонометрические функции, поэтому в своем труде он отдельно рассматривал тупоугольные и остроугольные фигуры и приводил для их сторон соответствующие равенства через известные длины, например, высоту.

В начале X века, когда в мире правили Средние века, арабский математик и астроном Аль-Баттани использовал работы Евклида для сферической геометрии. Его достижения сделали возможным проведения некоторых космических расчетов, например, вычисление расстояния от Земли до Солнца.

Первые таблицы тригонометрических функций синуса и косинуса появились приблизительно в XV веке. Эти достижения в математике позволили Аль-Каши, математику из школы Самарканда, переформулировать закон косинусов в удобном для использования виде. Впоследствии француз Франсуа Виет независимо от Аль-Каши получил то же самое математическое выражение для сторон треугольника с использованием тригонометрических функций.

Начиная с конца XVII столетия, когда швейцарец Леонард Эйлер ввел в математику новую нотацию, теорема Аль-Каши приобрела современную форму.

Способы доказательства

Кратко следует отметить, что существуют несколько способов доказательства теоремы. Среди них можно перечислить следующие:

• через разложение площадей многоугольников;
• с использованием теоремы Пифагора, свойств высоты и формулы косинуса в треугольнике;
• применяя окружность и ее геометрические свойства;
• с помощью векторов и их скалярного произведения.

Последний способ доказательства теоремы косинусов является самым простым и носит общий характер. Его может реализовать каждый школьник, который умеет вычитать вектора друг из друга и знает, как рассчитывается их скалярное произведение.

Применение для разных видов треугольников

Закон косинусов служит для определения неизвестных длин сторон либо углов в треугольнике. Однако общая математическая формулировка имеет ряд частных случаев в зависимости от типа фигуры, к которой ее применяют.

Для равнобедренного треугольника, у которого стороны a и b равны, нахождение c сведется к вычислению следующего равенства:

В случае равностороннего треугольника все стороны равны a = b = c. Все углы также являются одинаковыми и соответствуют 60°(180°/3). Для такой фигуры нет смысла в использовании теоремы, поскольку в ней всегда существует лишь одна неизвестная — сторона a.

Прямоугольный треугольник по отношению к теореме косинусов является специальным случаем. Благодаря этой фигуре появились понятия синуса, косинуса, тангенса и котангенса как функций, отражающих взаимоотношения между катетами и гипотенузой.

Каждый школьник знает, что возведенная длина гипотенузы в квадрат эквивалентна сумме квадратов длин двух других сторон, называемых катетами. Однако, мало кто понимает, что это математическое равенство является не чем иным, как частным случаем закона косинусов. Показать это несложно, если записать изучаемую теорему для гипотенузы c. Тогда получается следующее равенство:

c = a + b — 2*a*b*cos (90 °).

Если обратится к таблице тригонометрических функций, в ней видно, что косинус прямого угла равен нулю. В результате вычитаемое в правой части равенства обращается в ноль, и равенство сводится к типичной теореме Пифагора.

Пример решения задачи

Известно, что стороны треугольника равны 6 см, 8 см и 10 см. Необходимо найти площадь этой фигуры.

Для решения задачи можно воспользоваться ресурсами интернета, которые предлагают множество сайтов, где с использованием онлайн-калькуляторов можно по известным данным найти нужную величину. Тем не менее представляет интерес решить эту задачу с использованием теоремы косинусов.

Площадь любого треугольника может быть вычислена так:

Здесь h — высота, проведенная к a. Известные стороны a = 6 см, b = 8 см, c = 10 см. Чтобы найти высоту h следует сначала рассчитать угол между a и c. Для этого можно применить закон косинусов:

β = arccos ((a + c — b )/(2*a*c)) = arccos ((6 + 10 — 8 )/(2*6*10)) = 53,13 °.

Теперь, если рассмотреть треугольник, образованный высотой h, стороной c и частью стороны a, можно увидеть, что он является прямоугольным (c — гипотенуза). В нем h может быть найдена через синус угла β:

h = c*sin (β) = 10* sin (53,13 °) = 8 см.

Длина высоты h равна таковой для стороны b. Это означает, что исходный треугольник являлся прямоугольным (можно проверить через теорему Пифагора). Его площадь составляет:

S = ½*a*h = ½*a*b = ½*6*8 = 24 см

Таким образом, теорема косинусов является универсальным инструментом для решения геометрических задач с треугольниками. С помощью нее по трем известным параметрам можно найти все остальные характеристики фигуры, включая ее площадь.

Теорема косинусов и синусов

О чем эта статья:

Формулировка и доказательство теоремы косинусов

Для начала вспомним теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Формула Теоремы Пифагора:

a 2 > + b 2 > = c 2 >, где a, b — катеты, с — гипотенуза.

Теорема косинусов звучит так: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Формула теоремы косинусов:

a 2 = b 2 + c 2 – 2bc cos α

В доказательстве теоремы косинусов используем формулу длины отрезка в координатах. Рассмотрим данную формулу:

В доказательстве теоремы косинусов BC — это сторона треугольника АВС, которая обозначена буквой а. Введем удобную систему координат и найдем координаты нужных нам точек. У точки В координаты (с; 0).
Координаты точки С — (b cos α; b sin α) при α ∈ (0° ; 180°).

cos 2 α + sin 2 α = 1 — основное тригонометрическое тождество.

BC 2 = a 2 = (b cos α – c) 2 + b 2 sin 2 α = b 2 cos 2 α + b 2 sin 2 α – 2bc cos α + c 2 = b 2 (cos 2 α + sin 2 α) – 2bc cos α + c 2

Что и требовалось доказать.

Совет: чтобы быстрее разобраться в сложной теме, запишитесь на онлайн-курсы по математике для детей и подростков.

С помощью теоремы косинусов можно найти косинус угла треугольника:

• Когда b 2 + c 2 – a 2 > 0, угол α будет острым.
• Когда b 2 + c 2 – a 2 = 0, угол α будет прямым.
• Когда b 2 + c 2 – a 2

Сформулируем еще одно доказательство теоремы косинусов.

Пусть нам дан треугольник ABC, в котором из вершины C на сторону AB опустили высоту CD. Это значит:

• AD = b × cos α,
• DB = c – b × cos α.

Запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC:

• h 2 = b 2 – (b × cos α) 2
• h 2 = a 2 – (c – b × cos α) 2

Приравниваем правые части уравнений:

• b 2 – (b × cos α) 2 = a 2 – (c – b × cos α) 2

• a 2 = b 2 + c 2 – 2bc × cos α

Если один из углов при основании тупой (высота упирается в продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному выше.

Определим стороны b и c:

• b 2 = a 2 + c 2 – 2ac × cos β;
• c 2 = a 2 + b 2 – 2ab × cos γ.

Формулировка теоремы для каждой из сторон треугольника

Теорема косинусов справедлива для всех сторон треугольника, то есть:

a 2 = b 2 + c 2 – 2bc cos α

b 2 = c 2 + a 2 – 2ca cos β

c 2 = a 2 + b 2 – 2ab cos γ

Теорема косинусов может быть использована для любого вида треугольника.

Косинусы углов треугольника

Теорема косинусов позволяет найти как косинус, так и угол треугольника. Найдём косинусы углов:

Определение угла с помощью косинуса

А теперь обратим внимание на углы.

Как мы уже знаем, косинус угла из промежутка (0°; 180°) определяет угол (в отличие от его синуса).

Пусть нам дана единичная полуокружность. Если нам задан cos α, то нам задана точка на верхней полуокружности и задан угол α. Следовательно, cos α однозначно определяет точку М(cos α; sin α), и однозначно определяется угол ∠AOM.

Рассмотрение пределов изменения cos α и sin α

Рассмотрим пределы изменения синуса и косинуса α. Вспомним, что если α — угол треугольника, то он лежит в пределах от 0° до 180°.

Предел изменения косинуса: -1 0, то α ∈ (0°;90°)
Если cos α

Примеры решения задач

При помощи теоремы косинусов можно решать задачки по геометрии. Рассмотрим интересные случаи.

Пример 1. Дан треугольник АВС. Найти длину СМ.

∠C = 90°, АВ = 9, ВС = 3, AM/MB = 1/2, где М — точка на гипотенузе АВ.

Так как АМ + МВ = 9, а AM/MB = 1/2, то АМ = 3, МВ = 6.
Из треугольника АВС найдем cos B:

Из треугольника СМВ по теореме косинусов найдём СМ:

Пример 2. Дан треугольник АВС, в котором a2+ b22 + b 2 2 , то cos C 2 = a 2 + b 2 , то ∠C = 90°.

• Если c 2 2 + b 2 , то ∠C — острый.

[spoiler title=”источники:”]

http://anticwar.ru/teorema_kosinusov_dlia_treugolnika_formula_4831

http://skysmart.ru/articles/mathematic/teorema-kosinusov-i-sinusov

[/spoiler]

Мы уже находили косинусы углов треугольника по его сторонам в произвольном треугольнике и косинус острого угла прямоугольного треугольника.

Рассмотрим, как найти косинусы углов треугольника по его вершинам.

Задача

Дано: ΔABC,

A(-2;0), B(6;1), C(-3;-5).

1) Найти косинусы углов треугольника ABC;

2) Определить вид треугольника.

Решение:

1) Угол A образован векторами

   

(Чертёж не обязательно делать на координатной плоскости. Достаточно выполнить его схематически, для упрощения понимания, какой угол какими векторами образован).

Следовательно,

   

Найдём координаты векторов:

   

   

   

   

   

   

Находим скалярное произведение векторов:

   

Поскольку скалярное произведение меньше нуля, угол, образованный данными векторами, тупой. Значит треугольник ABC — тупоугольный.

Длины (или модули) векторов:

   

   

Отсюда

   

   

2) Угол B образован векторами

   

Таким образом,

   

Так как

   

— противоположные векторы, то их координаты отличаются только знаками и векторы имеют одинаковую длину:

   

   

   

   

   

   

   

   

   

3) Угол C образован векторами

   

   

   

   

   

   

   

   

   

Ответ:

   

ΔABC — тупоугольный.

Как найти косинус внутреннего угла при вершине В? riuyt777 [0] 6 лет назад  Даны вершины треугольника А(2;-2;-2), В(2;2;-1) и С(3;1;-2).Найти косинус внутреннего угла при вершине В Vasil Stryz­hak [11.5K] 6 лет назад  Вычислим стороны треугольника АВС, используя формулу определения расстояния между точками в прямоугольной декартовой системе координат в пространстве. Затем, применив теорему косинусов, найдем искомый угол. Решение: а=ВС=√((3-2)²+(1-2)²+(-2+2)²)=√3 b=АС=√((3-2)²+(1+2)²+(-2+2)²)=√10 с=АВ=√((2-2)²+(2+2)²+(-1+2)²)=√17 cosβ=(a²+c²-b²)/2ac =(3+17-10)/(2√3*√17)=5/√51 Дополнительно: β=45⁰,56 система выбрала этот ответ лучшим комментировать в избранное ссылка отблагодарить epimk­in [1.9K] 6 лет назад  Вот таким образом у меня получилось, если не ошибся в арифметике комментировать в избранное ссылка отблагодарить SVFE4­8 [7.4K] 4 месяца назад  Чтобы найти косинус внутреннего угла при вершине В, нужно найти вектора, соединяющие вершину В с вершинами А и С. Вектор АВ будет иметь координаты (2-2; 2-(-2); (-1)-(-2))=(0;4;1). Вектор СВ будет иметь координаты (3-2; 1-2; (-2)-(-1))=(1;-1;-1). Теперь нужно найти скалярное произведение этих векторов и их длины. Скалярное произведение равно (01)+ (4-1) + (1*-1) = -5, а длины векторов равны sqrt(0^2+4^2+1^2)=sq­rt(17) и sqrt(1^2+(-1)^2+(-1)^2)=sqrt(3). Таким образом, косинус внутреннего угла при вершине В равен -5/(sqrt(17)*sqrt(3))­= -5/51= -0.09803921568627451. комментировать в избранное ссылка отблагодарить storu­s [73.8K] 5 лет назад  Найти косинус угла АВС можно по формуле для расчёта угла между двумя векторами. Зная координаты вершин А(2;-2;-2), В(2;2;-1) и С(3;1;-2), находим вектора АВ = {0; -4; –1}, СВ = {1; -1; -1}. Для этого мы использовали формулу вида: Затем полученные значения вставляем в следующую формулу: Производим простые вычисления и получаем: cos a= 5/√51 комментировать в избранное ссылка отблагодарить Валер­ий Альбе­ртови­ч [7K] более года назад  Для начала вычислив вектор AB, вычтя из координат вершины B координаты вершины A. В итоге получаем AB = (0, 4, 1). Те же самые вычисления производим для вектора CB = (1, -1, -1). Далее подставляем в формулу cosa = (AB*CD)/(|AB|*|CD|) = 5/√51 – получили ответ. комментировать в избранное ссылка отблагодарить Анна Серее­вна Буяно­ва [0] 6 месяцев назад  Даны вершины треуольника АВС. Найти косинус угла при вершине А и площадь треугольника АВС А(-3;-7;-5) В(0;-1;-2) С(-5;-6;-6). Напишите пожалуйста полное решение комментировать в избранное ссылка отблагодарить Знаете ответ?

Содержание:

• 1 Следствие из теоремы косинусов.
• 2 1. Как найти неизвестную сторону треугольника
• 3 2. Как узнать сторону прямоугольного треугольника
• 4 3. Формулы сторон равнобедренного треугольника
• 5 4. Найти длину высоты треугольника

Теорема косинусов — теорема евклидовой геометрии, которая обобщающает теорему Пифагора.

Теорема косинусов:

Для плоского треугольника, у которого стороны a, b, c и угол α, который противолежит стороне a, справедливо соотношение:

Квадрат стороны треугольника равняется сумме квадратов 2-х других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Следствие из теоремы косинусов.

• Теорема косинусов используется для определения cos угла треугольника:

h 2 = a 2 — (c – b cos α) 2 (2)

Приравниваем правые части уравнений (1) и (2):

b 2 — (b cos α) 2 = a 2 — (c — b cos α) 2

a 2 = b 2 + c 2 — 2bc cos α.

Если 1-н из углов при основании тупой (высота упирается в продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному выше.

Определить стороны b и c:

1. Как найти неизвестную сторону треугольника

Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.

a , b , c — стороны произвольного треугольника

α , β , γ — противоположные углы

Формула длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), ( a ):

* Внимательно , при подстановке в формулу, для тупого угла ( α >90), cos α принимает отрицательное значение

Формула длины через сторону и два угла (по теореме синусов), ( a):

2. Как узнать сторону прямоугольного треугольника

Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы

a , b — катеты

c — гипотенуза

α , β — острые углы

Формулы для катета, ( a ):

Формулы для катета, ( b ):

Формулы для гипотенузы, ( c ):

Формулы сторон по теореме Пифагора, ( a , b ):

3. Формулы сторон равнобедренного треугольника

Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы

b — сторона (основание)

a — равные стороны

α — углы при основании

β — угол образованный равными сторонами

Формулы длины стороны (основания), (b ):

Формулы длины равных сторон , (a):

4. Найти длину высоты треугольника

Высота— перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом).

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется — ортоцентр.

H — высота треугольника

a — сторона, основание

b, c — стороны

β , γ — углы при основании

p — полупериметр, p=(a+b+c)/2

R — радиус описанной окружности

S — площадь треугольника

Формула длины высоты через стороны, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и угол, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и площадь, ( H ):

Формула длины высоты через стороны и радиус, ( H ):

Равнобедренный треугольник — это такой треугольник, у которого две стороны равны. Равные стороны называются боковыми. Третья сторона называется основанием.

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

3. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.

4. Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.

5. Углы, противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника, всегда острые.

6. В равнобедренном треугольнике:

— биссектрисы, проведенные из вершин при основании, равны;

— высоты, проведенные из вершин при основании, равны;

— медианы, проведенные из вершин при основании, равны.

7. Центры вписанной и описанной окружностей лежат на высоте, биссектрисе и медиане, проведенных к основанию.

8. Вписанная окружность точкой касания делит основание пополам.

Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-либо углом этого треугольника.

Внешний угол треугольника равен сумме двух углов, не смежных с ним.

$∠BCD$ — внешний угол треугольника $АВС$.

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$.

Для острого угла $В$: $АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.

Для острого угла $А$: $ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.

1. Синусом ($sin$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
2. Косинусом ($cos$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
3. Тангенсом ($tg$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
4. Котангенсом ($ctg$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

В прямоугольном треугольнике $АВС$ для острого угла $В$:

1. В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.
2. Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.
3. Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения.

$cos BOA= — cos BOC;$

$ctg BOA= — ctg BOC.$

В треугольнике $ABC$ $AB=BC, AH$ — высота, $AC=34, cos ∠BAC=0.15$. Найдите $CH$.

Так как треугольник $АВС$ равнобедренный, то $∠A=∠С$ (как углы при основании)

Косинусы равных углов равны, следовательно, $cos∠BAC=cos∠ВСА=0.15$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $АНС$.

Косинусом ($cos$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Распишем косинус $∠НСА$ (он же $∠ВСА$) по определению:

Из последнего равенства найдем $НС$, для этого $0.15$ представим в виде обыкновенной дроби и воспользуемся свойством пропорции:

Если на сторонах $ВС, АВ$ и продолжении стороны $АС$ треугольника $АВС$ за точку $С$ отмечены соответственно $А_1,С_1,В_1$, лежащие на одной прямой, то

Во всяком треугольнике стороны относятся как синусы противолежащих углов:

В треугольнике $АВС$ $ВС=16, sin∠A=<4>/<5>$. Найдите радиус окружности, описанной вокруг треугольника $АВС$.

Воспользуемся теоремой синусов:

Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной окружности

Далее подставим числовые данные и найдем $R$

Квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

Предмет: Геометрия,


автор: klach2013

Ответы

Автор ответа: Лотарингская

1

см.вложенный файл____________________________

Приложения:

Предыдущий вопрос

Следующий вопрос

Интересные вопросы

Предмет: История,
автор: groznyj714

Порівняйте хід трьох Пунічних Війн
Спільні риси,відмінні риси

5 лет назад

Предмет: Математика,
автор: sofaermolova794

1 кв.м – 10000 кв.мм=???? мне не понятно

5 лет назад

Предмет: Алгебра,
автор: KingSol

ДАЮ 25 БАЛОВ! СРОЧНО! ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА!

5 лет назад

Предмет: Алгебра,
автор: Kirill2302

из города А в город B вышел автобус со скоростью 50 км ч через 4 часа из города B ему на встречу вышел автомобиль со скоростью 80 км ч .Через сколько часов после выхода автомобиля они встретятся,если расстояние между городами 720 км 

8 лет назад

Предмет: Математика,
автор: Аноним

Найди,сколько пирожков с капустой и с творогом испекла бабушка, если с капустой было 15 пирожков, а створогом на 7 пирожков больше.

8 лет назад