Ниже представлены таблицы с формулами степеней (квадрат, куб, в 4-ой степени) прямых и обратных тригонометрических функций: синуса (sin), косинуса (cos), тангенса (tg) и котангенса (ctg).
Содержание
скрыть
- Формулы квадратов
- Формулы кубов
-
Формулы функций в 4-ой степени
Формулы квадратов
| Степень | Формула |
| Синус в квадрате |  |
 |
|
| Косинус в квадрате |  |
 |
|
| Тангенс в квадрате |  |
| Котангенс в квадрате |  |
microexcel.ru
Формулы кубов
| Степень | Формула |
| Синус в кубе |  |
| Косинус в кубе |  |
| Тангенс в кубе |  |
| Котангенс в кубе |  |
microexcel.ru
| Степень | Формула |
| Синус в 4-ой степени |  |
| Косинус в 4-ой степени |  |
| Тангенс в 4-ой степени |  |
| Котангенс в 4-ой степени |  |
microexcel.ru
Тригонометрические формулы обладают рядом свойств, одно из которых это применение формул понижения степени. Они способствуют упрощению выражений при помощи уменьшения степени.
Формулы понижения работают по принципу выражения степени синуса и косинуса через синус и косинус первой степени, но кратного угла. При упрощении формула становится удобной для вычислений, причем повышается кратность угла от α до nα.
Формулы понижения степени, их доказательство
Ниже приводится таблица формул понижения степени со 2 по 4 для sin и cos угла. После ознакомления с ними зададим общую формулу для всех степеней.
sin2α=1-cos 2α2cos2α=1+cos 2α2sin3=3·sin α-sin 3α4sin4=3-4·cos 2α+cos 4α8cos4 α=3+4·cos 2α+cos 4α8
Данные формулы предназначены для понижения степени.
Существует формулы двойного угла у косинуса и синуса, из которых и следуют формулы понижения степени cos2α=1-2·sin2α и cos2α=2·cos2α-1. Равенства разрешаются относительно квадрата синуса и косинуса, которые предоставляются как sin2α=1-cos2α2 и cos2α=1+cos2α2.
Формулы понижения степеней тригонометрических функций перекликаются с формулами синуса и косинуса половинного угла.
Имеет место применение формулы тройного угла sin3α=3·sinα-4·sin3αи cos3α=-3·cosα+4·cos3α.
Если решать равенство относительно синуса и косинуса в кубе, получим формулы понижения степеней для синуса и косинуса:
sin3α=3-4·cos2α+cos4α8 и cos3α=3·cosα+cos3α4.
Формулы четвертой степени тригонометрических функций выглядят так: sin4α=3-4·cos2α+cos4α8 и cos4α=3+4·cos2α+cos4α8.
Чтобы понизить степени эти выражений, можно действовать в 2 этапа, то есть дважды понижать, тогда это выглядит таким образом:
sin4α =(sin2α)2=(1-cos2α2)2=1-2·cos2α+cos22α4==1-2·cos2α+1+cos4α24=3-4·cos2α+cos4α8;cos4α=(cos2α)2=(1+cos2α2)2=1+2·cos2α+cos22α4===1+2·cos2α+1+cos4α24=3+4·cos2α+cos4α8
Методом подстановки мы упростили сложное выражение. Для того, чтобы записать общий вид формул понижения степени разделим их на с наличием четных и нечетных показателей. Четные показатели, где n=2, 4, 6…, выражение имеет вид sinnα=Cn2n2n+12n-1·∑(-1)n2-kk=0n2-1·Ckn·cos((n-2·k)α) и cosnα=Cn2n2n+12n-1∑(-1)n2-kk=0n2-1·Ckn·cos((n-2·k)α).
Нечетные показатели, где n=3, 5, 7…, выражение имеет вид
sinnα=12n-1·∑(-1)n-12-kk=0n-12·Ckn·cos((n-2·k)α) и cosnα=12n-1∑(-1)n-12-kk=0n-12·Ckn·cos((n-2·k)α).
Cpq=p!q!·(p-q)! – это число сочетаний из p элементов по q.
Формулы понижения степени общего вида используются на любого выражения с высокой степенью для его упрощения. Рассмотрим пример для понижения кубического синуса. Третья степень нечетная, значит воспользуемся формулой sinnα=12n-1·∑(-1)n-22-kk=0n-12-k·Ckn·sin((n-2·k)α) где значение n присвоим 3. Подставляя n=3 в выражение, получим
sin3α=123-1·∑(-1)3-12-kk=03-12-k·Ck3·sin((3-2·k)α)==14·∑(-1)1-kk=01·Ck3·sin((3-2·k)α)==14·((-1)1-0·C03·sin((3-2·0)α) +(1)1-1·C13·sin((3-2·1)α))==14·((-1)1·3!0!·3!·sin3α+(-1)0·3!1!·(3-1)!·sinα)==14·(-sin3α+3·sinα)=3·sinα-sin3α4
Примеры применения формул понижения степени
Чтобы закрепить материал, необходимо детально разобрать его на примерах с использованием формулы понижения степени. Таким образом будет понятен принцип решения, подстановка и весь алгоритм.
Справедлива ли формула вида cos4α=3+4·cos2α+cos4α8 при α=α6.
Решение
Для того, чтобы данная формула прошла проверку на возможность понижения степени с заданным значением угла α, необходимо посчитать левую и правую стороны. По условию имеем, что α=π6, тогда 2α=π3, следовательно 4α=2π3.
По таблице тригонометрических функций имеем, что cosα=cosπ6=32, тогда cos2α=cosπ3=12.
Для подробного уяснения необходимо проштудировать статью значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Подставляя в формулу, получим cos4α=(cosπ6)4=(32)4=916 и 3+4cos2α+cos4α8=3+4cosπ3+cos2π38=3+4·12+(-12)8=916
Отсюда видим, что левая и правая части равенства верны при α=π6, значит, выражение справедливо при значении заданного угла. Если угол отличен от α, формула понижения степени одинаково применима.
При помощи формулы понижения степени преобразовать выражение sin32β5.
Решение
Кубический синус для угла α имеет формулу вида sin3α=3·sinα-sin3α4. В данном случае необходимо выполнить замену α на 2β5 и подставить в формулу, тогда получаем выражение вида sin32β5=3·sin2β5-sin(3·2β5)4.
Это выражение равно равенству sin32β5=3·sin2β5-sin6β54.
Ответ: sin32β5=3·sin2β5-sin6β54.
Для решения сложных тригонометрических уравнений применяют формулы понижения степени. Они способны упростить выражение и сделать его намного удобным для вычислений или подстановки числовых значений.
Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта
Ученик
(124),
закрыт
5 лет назад
Дивергент
Высший разум
(1537974)
9 лет назад
Набрать 12,84
Нажать косинус
Нажать х^3
Все!
Вы на четвертом курсе института учитесь? Что за институт, не скажете? Просто в знак благодарности за помощь? Чтобы выпускников этого ВУЗа, упаси господи, случайно на работу не взять…
Serj Diff
Просветленный
(35534)
9 лет назад
Это смотря, на каком калькуляторе. Может так, как написали выше, а может и совсем наоборот. =) Есть же калькуляторы с естественным отображением или с обратной польской записью. Кто тут вашу модель калькулятора угадывать должен ?
The cosine cube is defined as the composite of the cube function and cosine function. We use Pythagorean identities to integrate the cosine cubed of x. Cosine cubed function can be represented as cos3. The function cosine cubed (x) can be given as x -> (cos x)3. Use our online calculator to calculate the value of cosine cube of an angle (alpha). In the below cosine cubed calculator, just enter the values for α to know the cosine cube (cos^3(α)).
Find the Value of Cosine Cube
The cosine cube is defined as the composite of the cube function and cosine function. We use Pythagorean identities to integrate the cosine cubed of x. Cosine cubed function can be represented as cos3. The function cosine cubed (x) can be given as x -> (cos x)3. Use our online calculator to calculate the value of cosine cube of an angle (alpha). In the below cosine cubed calculator, just enter the values for α to know the cosine cube (cos^3(α)).
Code to add this calci to your website 
Formula:
cos3α = (3cosα + cos3α) / 4
Where,
cos = cosine
α = Angle
This cosine cubed calculator, you will find the value of cosine cube which the anti derivative involves sin3 and sin. This will be both anti differentiated, with the new anti derivative involving cos3 and cos.
| tg(2α) = | 2tg(α)
1 – tg2(α) |
| ctg(2α) = | ctg2(α) – 1
2ctg(α) |
© Школяр. Математика (при поддержке «Ветвистого древа») 2009—2021
