Как найти косинус угла координатным методом - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Метод координат (углы между векторами и плоскостями)

Нахождение координат и длин вектора.
Вычисление угла между векторами.
Составление уравнение плоскости по трем точкам.

Решение задач с доказательством.

Для того, чтобы успешно решать задачи методом координат, полезно помнить:

Чтобы задать вектор, проходящий черерз 2 точки, нужно из координат второй точки вычесть координаты первой точки.

Чтобы найти длину вектора, нужно извлечь корень квадратный из суммы квадратов его координат.

Задача. Найти координаты и длины векторов AB, BC, AC, если точки имееют координаты А = (5; 8; 3), B = (1; 0; −3), C = (−2; 5; −1).

AB = (1−5; 0-8; −3−3) = (−4; −8; −6)

AC = (−2−5; 5−8; −1−3) = (−7; −3; −4)

BC = (1−(−2); 0−5; −1−3) = (3; −5; −4)

Для нахождения угла между двумя векторами a = (x1; y1; z1) и b = (x2; y2; z2):

Задача. Найдите площадь треугольника, ограниченную точками A = (−4; 4; 4), B = (3; 1; 0), C = (−1; 0; 6).

Находим координаты векторов.
Вычисляем косинус угла между векторами.
Через основное тригометрическое тождество получаем синус.
Подставляем в формулу площади.

AB = (3−(−4); 1−4; 0−4) = (7; −3; −4)

AC = (−1−(−4); 0−4; 6−4) = (3; −4; 2)

Задача. Задайте уравнение плоскости, проходящей через точки A = (−4; 4; 4), B = (3; 1; 0), C = (−1; 0; 6).

Находим координаты векторов.
Задаем матрицу плоскости.
Вычисляем ее определитель, это и есть уравнение плоскости.

AB = (3−(−4); 1−4; 0−4) = (7; −3; −4)

AC = (−1−(−4); 0−4; 6−4) = (3; −4; 2)

Первая строчка заполняется переменными x, y, z, и из них вычитаются координаты любой точки плоскости. В данном случае вычитается точка С = (−1; 0; 6). Тогда получится такая строка: (x−(−1); y−0; z−6).

Вторая строчка – координаты первого вектора.

Третья строчка – координаты второго вектора (нет разницы какой из векторов задавать во второй строчке, а какой в третьей).

Четвертая заполняется аналогично первой.

Пятая – аналогично второй.

Теперь перемножаем все значения на одном синем отрезке и складываем с другими значениями на других отрезках:

(х+1)*(−3)*2 + 7*(−4)*(z−6) + 3*y*(−4)

Аналогично делаем с зелеными отрезками:

(z−6)*(−3)*3 + (−4)*(−4)*(x+1) + 2*y*7

Осталось из значений синих отрезков вычесть значения зеленых отрезков:

(х+1)*(−3)*2 + 7*(−4)*(z−6) + 3*y*(−4) − ((z−6)*(−3)*3 + (−4)*(−4)*(x+1) + 2*y*7) =

= −22х −26y −19z + 92

−22х −26y −19z + 92 – искомое уравнение плоскости, проходящей через точки A = (−4; 4; 4), B = (3; 1; 0), C = (−1; 0; 6).

P.s. Если вам кажется, что это сложно, то огорчу вас. Одна из первых тем (самых простых), которые вы будите проходить на первом курсе любого университета – это матрицы, так что можно немного облегчить себе жизнь и разобраться заранее.

Задача. Найдите угол между плоскостью, проходящей через точки A = (−4; 4; 4), B = (3; 1; 0), C = (−1; 0; 6), и плоскостью, заданную уравнением

14x + 6y −27z + 51 = 0.

Задаем уравнение плоскости, проходящей через 3 точки ( нашли в предыдущей задаче).
Находим косинус угла между плоскостями ( формула аналогична косинусу угла между прямыми).

Будь в курсе новых статеек, видео и легкого математического юмора.

Источник

Векторы в пространстве и метод координат

Существует два способа решения задач по стереометрии

Первый — классический — требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мозги и пространственное воображение.

Другой метод — применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Он очень удобен, особенно когда времени до экзамена мало, а решить задачу хочется.

Если вы освоили векторы на плоскости и действия с ними — то и с векторами в пространстве разберетесь. Многие понятия окажутся знакомыми.

Система координат в пространстве

Выберем начало координат. Проведем три взаимно перпендикулярные оси X, Y и Z. Зададим удобный масштаб.

Получилась система координат в трехмерном пространстве. Теперь каждая его точка характеризуется тремя числами — координатами по X, Y и Z. Например, запись M(−1; 3; 2) означает, что координата точки M по X (абсцисса) равна −1, координата по Y (ордината) равна 3, а координата по Z (аппликата) равна 2.

Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости. Это направленные отрезки, имеющие начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами x, y и z:

$vec{a}(x_{a};: y_{a};: z_{a})$

Как найти координаты вектора? Как и на плоскости — из координаты конца вычитаем координату начала.

$vec{a}=vec{AB}(x_{B}-x_{A};: y_{B}-y_{A};: z_{B}-z_{A})$

Длина вектора vec{AB} в пространстве – это расстояние между точками A и B. Находится как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора:

$|vec{a}|=sqrt{x^{2}_{a}+y^{2}_{a}+z^{2}_{a}}=sqrt{(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}+(z_{B}-z_{A})^{2}}$ Пусть точка M – середина отрезка AB. Ее координаты находятся по формуле:

$x_{M}=frac{x_{A}+x_{B}}{2};: : y_{M}=frac{y_{A}+y_{B}}{2};: : z_{M}=frac{z_{A}+z_{B}}{2}$

Для сложения векторов применяем уже знакомые правило треугольника и правило параллелограмма

Сумма векторов, их разность, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определяются так же, как и на плоскости. Только координат не две, а три. Возьмем векторы и .

Сумма векторов:

$vec{a}+vec{b}=vec{c}(x_{a}+x_{b};: y_{a}+y_{b};: z_{a}+z_{b})$

Разность векторов:

$vec{a}-vec{b}=vec{d}(x_{a}-x_{b};: y_{a}-y_{b};: z_{a}-z_{b})$

Произведение вектора на число:

$lambda cdot vec{a}=vec{p}(lambda x_{a};: lambda y_{a};:lambda z_{a} )$

Скалярное произведение векторов:

$vec{a}cdot vec{b}=|vec{a}|cdot |vec{b}|cdot cosvarphi =x_{a}cdot x_{b}+y_{a}cdot y_{b}+z_{a}cdot z_{b}$

Косинус угла между векторами:

$cosvarphi =frac{vec{a}cdot vec{b}}{|vec{a}|cdot vec{|b|}}=frac{x_{a}cdot x_{b}+y_{a}cdot y_{b}+z_{a}cdot z_{b}}{sqrt{x^{2}_{a}+y^{2}_{a}+z^{2}_{a}}cdot sqrt{x^{2}_{b}+y^{2}_{b}+z^{2}_{b}}}$

Последняя формула удобна для нахождения угла между прямыми в пространстве. Особенно если эти прямые – скрещиваются. Напомним, что так называются прямые, которые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях.

1. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки E и K — середины ребер соответственно A₁B₁ и B₁C₁. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Если вам достался куб — значит, повезло. Он отлично вписывается в прямоугольную систему координат. Строим чертеж:

Длина ребра куба не дана. Какой бы она ни была, угол между AE и BK от нее не зависит. Поэтому возьмем единичный куб, все ребра которого равны 1.

Прямые AE и BK — скрещиваются. Найдем угол между векторами vec{AE} и vec{BK} . Для этого нужны их координаты.

$, \ A(0;0;0)\ B(1;0;0)\ E(frac{1}{2};0;1)\ K(1;frac{1}{2};1)$

Запишем координаты векторов:

$vec{AE}left (frac{1}{2};0;1 right )$

$vec{BK}left (0;frac{1}{2};1 right )$

и найдем косинус угла между векторами vec{AE} и vec{BK} :

2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E, K — середины ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Лучше всего выбрать начало координат в центре основания пирамиды, а оси X и Y сделать параллельными сторонам основания.

Координаты точек A, B и C найти легко:

$Aleft ( frac{1}{2};-frac{1}{2};0 right )$

$Bleft ( frac{1}{2};frac{1}{2};0 right )$

$Cleft ( -frac{1}{2};frac{1}{2};0 right )$

Из прямоугольного треугольника AOS найдем $OS=frac{sqrt{2}}{2}.$

Координаты вершины пирамиды: $Sleft ( 0;0;frac{sqrt{2}}{2} right ).$

Точка E — середина SB, а K — середина SC. Воспользуемся формулой для координат середины отрезка и найдем координаты точек E и K.

$Eleft ( frac{1}{4};frac{1}{4};frac{sqrt{2}}{4} right )$

$Kleft ( -frac{1}{4};frac{1}{4};frac{sqrt{2}}{4} right )$

Найдем координаты векторов и :

$overrightarrow{AE}left ( -frac{1}{4};frac{3}{4};frac{sqrt{2}}{4} right )$

$overrightarrow{BK}left ( -frac{3}{4};frac{1}{4};frac{sqrt{2}}{4} right )$

и угол между ними:

$cosvarphi =frac{overrightarrow{AE}cdot overrightarrow{BK}}{left |overrightarrow{AE} right |cdot left |overrightarrow{BK} right |}=frac{1}{6}$

Покажем теперь, как вписать систему координат в треугольную призму.

3. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁, все ребра которой равны 1, точка D — середина ребра A₁B₁. Найдите косинус угла между прямыми AD и BC₁

Пусть точка A — начало координат. Возьмем ось X параллельно стороне BC, а ось Y перпендикулярно ей. Другими словами, на оси Y будет лежать отрезок AH, являющийся высотой треугольника ABC. Нарисуем отдельно нижнее основание призмы.

Запишем координаты точек:

$A_{1}(0;0;1)$

$B(frac{1}{2};frac{sqrt{3}}{2};0)$

$B_{1}(frac{1}{2};frac{sqrt{3}}{2};1)$

$C_{1}(-frac{1}{2};frac{sqrt{3}}{2};1)$

Точка D — середина A₁B₁. Значит, пользуемся формулами для координат середины
отрезка.

$D(frac{1}{4};frac{sqrt{3}}{4};1)$

Найдем координаты векторов и $overrightarrow{BC}_{1}$ , а затем угол между ними:

$overrightarrow{AD}(frac{1}{4};frac{sqrt{3}}{4};1)$

$overrightarrow{BC_{1}}(-1;0;1)$

$cosvarphi =frac{overrightarrow{AD}cdot overrightarrow{BC_{1}}}{left |overrightarrow{AD} right |cdot left |overrightarrow{BC_{1}} right |}=frac{3}{2sqrt{10}}$

Смотрите, как легко с помощью векторов и координат найти угол между прямыми. А если требуется найти угол между плоскостями или между прямой и плоскостью? Для решения подобных задач нам понадобится уравнение плоскости в пространстве.

Плоскость в пространстве задается уравнением:

Здесь числа A, B и C — координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости. Его называют нормалью к плоскости.

Вместо x, y и z можно подставить в уравнение координаты любой точки, принадлежащей данной плоскости. Получится верное равенство.

Плоскость в пространстве можно провести через любые три точки, не лежащие на одной прямой. Поэтому для того, чтобы написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек. Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.

Покажем, как это делается.

Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (1; 0; 1), N (2; −2; 0) и K (4; 1; 2).

Уравнение плоскости выглядит так:

Подставим в него по очереди координаты точек M, N и K.

Для точки M:

То есть A + C + D = 0.

Для точки N:

Аналогично для точки K:

Получили систему из трех уравнений:

$left{begin{matrix} A+C+D=0\ 2A-2B+D=0\ 4A+B+2C+D=0 end{matrix}right.$ .

В ней четыре неизвестных: A, B, C и D. Поэтому одну из них мы выберем сами, а другие выразим через нее. Правило простое — вместо одной из переменных можно взять любое число, не равное нулю.

Пусть, например, D = −2. Тогда:

$left{begin{matrix} A+C-2=0\ 2A-2B-2=0\ 4A+B+2C-2=0 end{matrix}right.$ ;

$left{begin{matrix} A+C=2\ A-B=1\ 4A+B+2C=2 end{matrix}right.$ .

Выразим C и B через A и подставим в третье уравнение:

$left{begin{matrix} C=2-A\ B=A-1\ 4A+A-1+4-2A=2 end{matrix}right.$ .

Решив систему, получим:

$, \ A=-frac{1}{3}\ , \ B=-frac{4}{3}\ , \ C=frac{7}{3}$

Уравнение плоскости MNK имеет вид:

$-frac{1}{3}x-frac{4}{3}y+frac{7}{3}z-2=0.$

Умножим обе части уравнения на −3. Тогда коэффициенты станут целыми:

Вектор — это нормаль к плоскости MNK.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку $M(x_{0}, y_{0}, z_{0}),$ имеет вид:

$A(x-x_{0})+B(y-y_{0})+C(z-z_{0})=0.$

Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям:

$cosvarphi =frac{left |vec{n}_{1}cdot vec{n}_{2} right |}{|vec{n}_{1}|cdot |vec{n}_{2}|}$

Не правда ли, знакомая формула? Скалярное произведение нормалей поделили на произведение их длин.

Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуется четыре угла.

Мы берем меньший из них. Поэтому в формуле стоит модуль скалярного произведения — чтобы косинус угла был неотрицателен.

4. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки E и F — середины ребер соответственно A₁B₁ и A₁D₁. Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BDD₁.

Строим чертеж. Видно, что плоскости AEF и BDD₁ пересекаются где-то вне куба. В классическом решении пришлось бы строить линию их пересечения. Но векторно-координатный метод значительно всё упрощает. Не будем ломать голову над тем, по какой прямой пересекаются плоскости. Просто отметим координаты нужных нам точек и найдем угол между нормалями к плоскостям AEF и BDD₁.

Сначала — нормаль к плоскости BDD₁. Конечно, мы можем подставить координаты точек B, D и D₁ в уравнение плоскости и найти коэффициенты, которые и будут координатами вектора нормали. А можем сделать хитрее — увидеть нужную нормаль прямо на чертеже. Ведь плоскость BDD₁ — это диагональное сечение куба. Вектор перпендикулярен этой плоскости.

Итак, первый вектор нормали у нас уже есть: $vec{n}_{1}=overrightarrow{AC}(1;1;0).$

Напишем уравнение плоскости AEF.

$, \ A(0;0;0)\ E(frac{1}{2};0;1)\ , \ F(0;frac{1}{2};1)$

Берем уравнение плоскости и по очереди подставляем в него, вместо x, y и z, соответствующие координаты точек A, E и F.

$left.begin{matrix} A\ , \ E\ , \ F end{matrix}right|$ $, \ 0cdot A+0cdot B+0cdot C+D=0\ , \ frac{1}{2}cdot A+0cdot B+1cdot C+D=0\ , \ 0cdot A+frac{1}{2}cdot B+1cdot C+D=0$

Упростим систему:

$left{begin{matrix} D=0\ frac{1}{2}A+C=0\ , \ frac{1}{2}B+C=0 end{matrix}right.$ .

Пусть С = -1. Тогда A = B = 2.

Уравнение плоскости AEF:

Нормаль к плоскости AEF:

Найдем угол между плоскостями:

$cosvarphi =frac{|2+2|}{sqrt{2}cdot sqrt{9}}=frac{4}{sqrt{2}cdot 3}=frac{4}{sqrt{2}cdot 3}=frac{2sqrt{2}}{3}$

5. Основание прямой четырехугольной призмы BCDA₁B₁C₁D₁ — прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD = √33. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA₁D₁D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B₁D, если расстояние между прямыми A₁C₁ и BD равно √3.

Эта задача наглядно показывает, насколько векторный метод проще классического. Попробуйте, для разнообразия, построить необходимые сечения и провести все доказательства — как это делается в «классике» 🙂

Строим чертеж. Прямую четырехугольную призму можно по-другому назвать “параллелепипед”.

Замечаем, что длина и ширина параллелепипеда у нас есть, а вот высота — вроде не дана. Как же ее найти?

«Расстояние между прямыми A₁C₁ и BD равно √3». Прямые A₁C₁ и BD скрещиваются. Одна из них — диагональ верхнего основания, другая — диагональ нижнего. Вспомним, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Общий перпендикуляр к A₁C₁ и BD — это, очевидно, OO₁, где O — точка пересечения диагоналей нижнего основания, O₁ — точка пересечения диагоналей верхнего. А отрезок OO₁ и равен высоте параллелепипеда.

Итак, AA₁ = √3

Плоскость AA₁ D₁ D — это задняя грань призмы на нашем чертеже. Нормаль к ней — это любой вектор, перпендикулярный задней грани, например, вектор или, еще проще, вектор $vec{n_{1}}(1;0;0)$ .

Осталась еще «плоскость, проходящая через середину ребра CD перпендикулярно прямой B₁D». Но позвольте, если плоскость перпендикулярна прямой B₁D — значит, B₁D и есть нормаль к этой плоскости! Координаты точек B₁ и D известны:

$B_{1}left ( 5;, 0;, sqrt{3} right )$

Координаты вектора $overrightarrow{B_{1}D}$ — тоже:

$overrightarrow{B_{1}D}left ( -5;, sqrt{33};, -sqrt{3} right )=overrightarrow{n}_{2}$

Находим угол между плоскостями, равный углу между нормалями к ним:

$cos, varphi =frac{5}{sqrt{25+33+3}}=frac{5}{sqrt{61}}$

Зная косинус угла, находим его тангенс по формуле

$1+tg^{2}varphi =frac{1}{cos^{2}varphi }$

Получим:
$tg, varphi =frac{6}{5}.$

Ответ: $frac{6}{5}.$

Угол между прямой m и плоскостью α тоже вычисляется с помощью скалярного произведения векторов.

Пусть — вектор, лежащий на прямой m (или параллельный ей), — нормаль к плоскости α.

Находим синус угла между прямой m и плоскостью α по формуле:

$sin, varphi =frac{left | overrightarrow{n}cdotoverrightarrow{a} right |}{left | overrightarrow{n} right |cdot |overrightarrow{a}|}$

6. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точка E — середина ребра A₁B₁. Найдите синус угла между прямой AE и плоскостью BDD₁.

Как всегда, рисуем чертеж и выбираем систему координат

$Eleft ( 1;, frac{1}{2};, 1 right )$

Находим координаты вектора $overrightarrow{AE}left ( 0;, frac{1}{2};, 1 right )$ .

Нужно ли нам уравнение плоскости BDD₁? В общем-то, без него можно обойтись. Ведь эта плоскость является диагональным сечением куба, а значит, нормалью к ней будет любой вектор, ей перпендикулярный. Например, вектор .

Найдем угол между прямой и плоскостью:

$sin, varphi =frac{left | overrightarrow{AC}cdot overrightarrow{AE} right |}{|overrightarrow{AC}|cdot|overrightarrow{AE}|}=frac{2}{2cdot sqrt{2}cdot sqrt{5}}=frac{1}{sqrt{10}}$

Ответ: $frac{1}{sqrt{10}}.$

Расстояние от точки M с координатами x₀, y₀ и z₀ до плоскости α, заданной уравнением Ax + By + Cz + D = 0, можно найти по формуле:

$h=frac{|Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0}+D|}{sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}$

7. В основании прямоугольного параллелепипеда BCDA₁B₁C₁D₁ лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = , AD = . Высота параллелепипеда AA₁ = $frac{6}{sqrt{5}}$ . Найдите расстояние от точки A до плоскости A₁DB.

Построим чертеж и выпишем координаты точек:

$A_{1}left ( 0, ;0;, frac{6}{sqrt{5}} right )$

Запишем уравнение плоскости A₁DB. Вы помните, как это делается — по очереди подставляем координаты точек A₁, D и B в уравнение A_x + B_e + C_z + D

$left.begin{matrix} A_{1}\ B\ D end{matrix}right|$ $begin{matrix} frac{6}{sqrt{5}}C+D=0\ sqrt{10}A+D=0\ 3sqrt{10}B+D=0 end{matrix}$

Решим эту систему. Выберем

Тогда

Уравнение плоскости A₁DB имеет вид:

Дальше все просто. Находим расстояние от точки A до плоскости A₁DB:

$h=frac{|Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0}+D|}{sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}=frac{6sqrt{10}}{sqrt{50+36+4}}=frac{6sqrt{10}}{sqrt{90}}=2.$

В некоторых задачах по стереометрии требуется найти расстояние от прямой до параллельной ей плоскости. В этом случае можно выбрать любую точку, принадлежащую данной прямой.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Векторы в пространстве и метод координат» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник

Координаты вектора

Вектор – отрезок, имеющий длину и указывающий направление.

На самом деле, понимать, что такое вектор для решения задач методом координат необязательно. Можно просто использовать это понятие, как необходимый инструмент для решения задач по стереометрии. Любое ребро или отрезок на нашей фигуре мы будем называть вектором.

Для того, чтобы определить координаты вектора, нужно из координат конечной точки вычесть координаты начальной точки. Пусть у нас есть две точки (Рис. 4) :
$$ т.А(x_A,y_A,z_A); $$
$$ т.B(x_B,y_B,z_B); $$
Тогда координаты вектора (vec{AB}) можно определить по формуле:
$$ vec{AB}={x_B-x_A,y_B-y_A,z_B-z_A}. $$

Скрещивающиеся прямые

И так, мы научились находить координаты точек, и при помощи них определять координаты векторов. Теперь познакомимся с формулой нахождения косинуса угла между скрещивающимися прямыми (векторами). Пусть даны два вектора:
$$ a={x_a,y_a,z_a};$$
$$ b={x_b,y_b,z_b}; $$
тогда угол (alpha) между ними находится по формуле:
$$ cos{alpha}=frac{x_a*x_b+y_a*y_b+z_a*z_b}{sqrt{{x_a}^2+{y_a}^2+{z_a}^2}*sqrt{{x_b}^2+{y_b}^2+{z_b}^2}}. $$

Уравнение плоскости

В задачах №14 (С2) ЕГЭ по профильной математике часто требуется найти угол между прямой и плоскостью и расстояние между скрещивающимися прямыми. Но для этого вы должны уметь выводить уравнение плоскости. В общем виде уравнение плоскости задается формулой:
$$ A*x+B*y+C*z+D=0,$$
где (A,B,C,D) – какие-то числа.

Если найти (A,B,C,D), то мы мы найдем уравнений плоскости. Плоскость однозначно задается тремя точками в пространстве, значит нужно найти координаты трех точек, лежащий в данной плоскости, а потом подставить их в общее уравнение плоскости.

Например, пусть даны три точки:

$$ K(x_K,y_K,z_K);,L(x_L,y_L,z_L);,P(x_P,y_P,z_P). $$

Подставим координаты точек в общее уравнение плоскости:

$$begin{cases} A*x_K+B*y_K+C*z_K+D=0,\ A*x_L+B*y_L+C*z_L+D=0, \ A*x_P+B*y_P+C*z_P+D=0.end{cases}$$

Получилась система из трех уравнений, но неизвестных 4: (A,B,C,D). Если наша плоскость не проходит через начало координат, то мы можем (D) приравнять (1), если же проходит, то (D=0). Объяснение этому простое: вы можете поделить каждое ваше уравнения на (D), от этого уравнение не изменится, но вместо (D) будет стоять (1), а остальные коэффициенты будут в (D) раз меньше.

Теперь у нас есть три уравнения и три неизвестные – можем решить систему:

Пример 3

Найти уравнение плоскости, проходящей через точки
$$ K(1;2;3);,P(0;1;0);,L(1;1;1). $$
Подставим координаты точек в уравнение плоскости (D=1):
$$begin{cases} A*1+B*2+C*3+1=0,\ A*0+B*1+C*0+1=0, \ A*1+B*1+C*1+1=0.end{cases}$$
$$begin{cases} A+2*B+3*C+1=0,\ B+1=0, \ A+B+C+1=0.end{cases}$$
$$begin{cases} A-2+3*C+1=0,\ B=-1, \ A=-C.end{cases}$$
$$begin{cases} A=-0.5,\ B=-1, \ C=0.5.end{cases}$$
Получаем искомое уравнение плоскости:
$$ -0.5x-y+0.5z+1=0.$$

Расстояние от точки до плоскости

Зная координаты некоторой точки (M(x_M;y_M;z_M)), легко найти расстояние до плоскости (Ax+By+Cz+D=0:)
$$ rho=frac{|A*x_M+B*y_M+C*z_M+D|}{sqrt{A^2+B^2+C^2}}. $$

Пример 4

Найдите расстояние от т. (H (1;2;0)) до плоскости, заданной уравнением
$$ 2*x+3*y-sqrt{2}*z+4=0.$$

Из уравнения плоскости сразу находим коэффициенты:
$$ A=2,,B=3,,C=-sqrt{2},,D=4.$$
Подставим их в формулу для нахождения расстояния от точки до плоскости.
$$ rho=frac{|2*1+3*2-sqrt{2}*0+4|}{sqrt{2^2+3^2+{-sqrt{2}}^2}}. $$
$$ rho=frac{12}{sqrt{16}}=3.$$

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Расстояние между скрещивающимися прямыми – это расстояние от любой точки одной из прямых до параллельной ей плоскости, проходящей через вторую прямую.

Таким образом, если требуется найти расстояние между скрещивающимися прямыми, то нужно через одну из них провести плоскость параллельно второй прямой. Затем найти уравнение этой плоскости и по формуле расстояния от точки до плоскости найти расстояние между скрещивающимися прямыми. Точку на прямой можно выбрать произвольно (у которой легче всего найти координаты).

Пример 5

Рассмотрим задачу из досрочного ЕГЭ по математике 2018 года.

Дана правильная треугольная призма (ABCFDE), ребра которой равны 2. Точка (G) – середина ребра (CE).

Докажите, что прямые (AD) и (BG) перпендикулярны.

Найдите расстояние между прямыми (AD) и (BG).

Решение:

Решим задачу полностью методом координат.

Нарисуем рисунок и выберем декартову систему координат. (Рис 5).

Источник

Метод координат в пространстве

30 мая 2011

Для того, чтобы использовать метод координат, надо хорошо знать формулы. Их три:

Главная формула — косинус угла φ между векторами a = (x₁; y₁; z₁) и b = (x₂; y₂; z₂):
Уравнение плоскости в трехмерном пространстве: Ax + By + Cz + D = 0, где A, B, C и D — действительные числа, причем, если плоскость проходит через начало координат, D = 0. А если не проходит, то D = 1.
Вектор, перпендикулярный к плоскости Ax + By + Cz + D = 0, имеет координаты: n = (A; B; C).

На первый взгляд, выглядит угрожающе, но достаточно немного практики — и все будет работать великолепно.

Задача. Найти косинус угла между векторами a = (4; 3; 0) и b = (0; 12; 5).

Решение. Поскольку координаты векторов нам даны, подставляем их в первую формулу:

Задача. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M = (2; 0; 1), N = (0; 1; 1) и K = (2; 1; 0), если известно, что она не проходит через начало координат.

Решение. Общее уравнение плоскости: Ax + By + Cz + D = 0, но, поскольку искомая плоскость не проходит через начало координат — точку (0; 0; 0) — то положим D = 1. Поскольку эта плоскость проходит через точки M, N и K, то координаты этих точек должны обращать уравнение в верное числовое равенство.

Подставим вместо x, y и z координаты точки M = (2; 0; 1). Имеем:
A · 2 + B · 0 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ 2A + C + 1 = 0;

Аналогично, для точек N = (0; 1; 1) и K = (2; 1; 0) получим уравнения:
A · 0 + B · 1 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ B + C + 1 = 0;
A · 2 + B · 1 + C · 0 + 1 = 0 ⇒ 2A + B + 1 = 0;

Итак, у нас есть три уравнения и три неизвестных. Составим и решим систему уравнений:

Получили, что уравнение плоскости имеет вид: − 0,25x − 0,5y − 0,5z + 1 = 0.

Задача. Плоскость задана уравнением 7x − 2y + 4z + 1 = 0. Найти координаты вектора, перпендикулярного данной плоскости.

Решение. Используя третью формулу, получаем n = (7; − 2; 4) — вот и все!

Вычисление координат векторов

А что, если в задаче нет векторов — есть только точки, лежащие на прямых, и требуется вычислить угол между этими прямыми? Все просто: зная координаты точек — начала и конца вектора — можно вычислить координаты самого вектора.

Чтобы найти координаты вектора, надо из координат его конца вычесть координаты начала.

Эта теорема одинаково работает и на плоскости, и в пространстве. Выражение «вычесть координаты» означает, что из координаты x одной точки вычитается координата x другой, затем то же самое надо сделать с координатами y и z. Вот несколько примеров:

Задача. В пространстве расположены три точки, заданные своими координатами: A = (1; 6; 3), B = (3; − 1; 7) и C = (− 4; 3; − 2). Найти координаты векторов AB, AC и BC.

Рассмотрим вектор AB: его начало находится в точке A, а конец — в точке B. Следовательно, чтобы найти его координаты, надо из координат точки B вычесть координаты точки A:
AB = (3 − 1; − 1 − 6; 7 − 3) = (2; − 7; 4).

Аналогично, начало вектора AC — все та же точка A, зато конец — точка C. Поэтому имеем:
AC = (− 4 − 1; 3 − 6; − 2 − 3) = (− 5; − 3; − 5).

Наконец, чтобы найти координаты вектора BC, надо из координат точки C вычесть координаты точки B:
BC = (− 4 − 3; 3 − (− 1); − 2 − 7) = (− 7; 4; − 9).

Ответ: AB = (2; − 7; 4); AC = (− 5; − 3; − 5); BC = (− 7; 4; − 9)

Обратите внимание на вычисление координат последнего вектора BC: очень многие ошибаются, когда работают с отрицательными числами. Это касается переменной y: у точки B координата y = − 1, а у точки C y = 3. Получаем именно 3 − (− 1) = 4, а не 3 − 1, как многие считают. Не допускайте таких глупых ошибок!

Вычисление направляющих векторов для прямых

Если вы внимательно прочитаете задачу C2, то с удивлением обнаружите, что никаких векторов там нет. Там только прямые да плоскости.

Для начала разберемся с прямыми. Здесь все просто: на любой прямой найдутся хотя бы две различные точки и, наоборот, любые две различные точки задают единственную прямую…

Кто-нибудь понял, что написано в предыдущем абзаце? Я и сам не понял, поэтому объясню проще: в задаче C2 прямые всегда задаются парой точек. Если ввести систему координат и рассмотреть вектор с началом и концом в этих точках, получим так называемый направляющий вектор для прямой:

Зачем нужен этот вектор? Дело в том, что угол между двумя прямыми — это угол между их направляющими векторами. Таким образом, мы переходим от непонятных прямых к конкретным векторам, координаты которых легко считаются. Насколько легко? Взгляните на примеры:

Задача. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ проведены прямые AC и BD₁. Найдите координаты направляющих векторов этих прямых.

Поскольку длина ребер куба в условии не указана, положим AB = 1. Введем систему координат с началом в точке A и осями x, y, z, направленными вдоль прямых AB, AD и AA₁ соответственно. Единичный отрезок равен AB = 1.

Теперь найдем координаты направляющего вектора для прямой AC. Нам потребуются две точки: A = (0; 0; 0) и C = (1; 1; 0). Отсюда получаем координаты вектора AC = (1 − 0; 1 − 0; 0 − 0) = (1; 1; 0) — это и есть направляющий вектор.

Теперь разберемся с прямой BD₁. На ней также есть две точки: B = (1; 0; 0) и D₁ = (0; 1; 1). Получаем направляющий вектор BD₁ = (0 − 1; 1 − 0; 1 − 0) = (− 1; 1; 1).

Ответ: AC = (1; 1; 0); BD₁ = (− 1; 1; 1)

Задача. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁, все ребра которой равны 1, проведены прямые AB₁ и AC₁. Найдите координаты направляющих векторов этих прямых.

Введем систему координат: начало в точке A, ось x совпадает с AB, ось z совпадает с AA₁, ось y образует с осью x плоскость OXY, которая совпадает с плоскостью ABC.

Для начала разберемся с прямой AB₁. Тут все просто: у нас есть точки A = (0; 0; 0) и B₁ = (1; 0; 1). Получаем направляющий вектор AB₁ = (1 − 0; 0 − 0; 1 − 0) = (1; 0; 1).

Теперь найдем направляющий вектор для AC₁. Все то же самое — единственное отличие в том, что у точки C₁ иррациональные координаты. Итак, A = (0; 0; 0), поэтому имеем:

Ответ: AB₁ = (1; 0; 1);

Небольшое, но очень важное замечание насчет последнего примера. Если начало вектора совпадает с началом координат, вычисления резко упрощаются: координаты вектора просто равны координатам конца. К сожалению, это верно лишь для векторов. Например, при работе с плоскостями присутствие на них начала координат только усложняет выкладки.

Вычисление нормальных векторов для плоскостей

Нормальные векторы — это не те векторы, у которых все в порядке, или которые чувствуют себя хорошо. По определению, нормальный вектор (нормаль) к плоскости — это вектор, перпендикулярный данной плоскости.

Другими словами, нормаль — это вектор, перпендикулярный любому вектору в данной плоскости. Наверняка вы встречали такое определение — правда, вместо векторов речь шла о прямых. Однако чуть выше было показано, что в задаче C2 можно оперировать любым удобным объектом — хоть прямой, хоть вектором.

Еще раз напомню, что всякая плоскость задается в пространстве уравнением Ax + By + Cz + D = 0, где A, B, C и D — некоторые коэффициенты. Не умаляя общности решения, можно полагать D = 1, если плоскость не проходит через начало координат, или D = 0, если все-таки проходит. В любом случае, координаты нормального вектора к этой плоскости равны n = (A; B; C).

Итак, плоскость тоже можно успешно заменить вектором — той самой нормалью. Всякая плоскость задается в пространстве тремя точками. Как найти уравнение плоскости (а следовательно — и нормали), мы уже обсуждали в самом начале статьи. Однако этот процесс у многих вызывает проблемы, поэтому приведу еще парочку примеров:

Задача. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ проведено сечение A₁BC₁. Найти нормальный вектор для плоскости этого сечения, если начало координат находится в точке A, а оси x, y и z совпадают с ребрами AB, AD и AA₁ соответственно.

Поскольку плоскость не проходит через начало координат, ее уравнение выглядит так: Ax + By + Cz + 1 = 0, т.е. коэффициент D = 1. Поскольку эта плоскость проходит через точки A₁, B и C₁, то координаты этих точек обращают уравнение плоскости в верное числовое равенство.

Подставим вместо x, y и z координаты точки A₁ = (0; 0; 1). Имеем:
A · 0 + B · 0 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ C + 1 = 0 ⇒ C = − 1;

Аналогично, для точек B = (1; 0; 0) и C₁ = (1; 1; 1) получим уравнения:
A · 1 + B · 0 + C · 0 + 1 = 0 ⇒ A + 1 = 0 ⇒ A = − 1;
A · 1 + B · 1 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ A + B + C + 1 = 0;

Но коэффициенты A = − 1 и C = − 1 нам уже известны, поэтому остается найти коэффициент B:
B = − 1 − A − C = − 1 + 1 + 1 = 1.

Получаем уравнение плоскости: − A + B − C + 1 = 0, Следовательно, координаты нормального вектора равны n = (− 1; 1; − 1).

Задача. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ проведено сечение AA₁C₁C. Найти нормальный вектор для плоскости этого сечения, если начало координат находится в точке A, а оси x, y и z совпадают с ребрами AB, AD и AA₁ соответственно.

В данном случае плоскость проходит через начало координат, поэтому коэффициент D = 0, а уравнение плоскости выглядит так: Ax + By + Cz = 0. Поскольку плоскость проходит через точки A₁ и C, координаты этих точек обращают уравнение плоскости в верное числовое равенство.

Подставим вместо x, y и z координаты точки A₁ = (0; 0; 1). Имеем:
A · 0 + B · 0 + C · 1 = 0 ⇒ C = 0;

Аналогично, для точки C = (1; 1; 0) получим уравнение:
A · 1 + B · 1 + C · 0 = 0 ⇒ A + B = 0 ⇒ A = − B;

Положим B = 1. Тогда A = − B = − 1, и уравнение всей плоскости имеет вид: − A + B = 0, Следовательно, координаты нормального вектора равны n = (− 1; 1; 0).

Вообще говоря, в приведенных задачах надо составлять систему уравнений и решать ее. Получится три уравнения и три переменных, но во втором случае одна из них будет свободной, т.е. принимать произвольные значения. Именно поэтому мы вправе положить B = 1 — без ущерба для общности решения и правильности ответа.

Координаты середины отрезка

Очень часто в задаче C2 требуется работать с точками, которые делят отрезок пополам. Координаты таких точек легко считаются, если известны координаты концов отрезка.

Итак, пусть отрезок задан своими концами — точками A = (x_a; y_a; z_a) и B = (x_b; y_b; z_b). Тогда координаты середины отрезка — обозначим ее точкой H — можно найти по формуле:

Другими словами, координаты середины отрезка — это среднее арифметическое координат его концов.

Задача. Единичный куб ABCDA₁B₁C₁D₁ помещен в систему координат так, что оси x, y и z направлены вдоль ребер AB, AD и AA₁ соответственно, а начало координат совпадает с точкой A. Точка K — середина ребра A₁B₁. Найдите координаты этой точки.

Поскольку точка K — середина отрезка A₁B₁, ее координаты равных среднему арифметическому координат концов. Запишем координаты концов: A₁ = (0; 0; 1) и B₁ = (1; 0; 1). Теперь найдем координаты точки K:

Задача. Единичный куб ABCDA₁B₁C₁D₁ помещен в систему координат так, что оси x, y и z направлены вдоль ребер AB, AD и AA₁ соответственно, а начало координат совпадает с точкой A. Найдите координаты точки L, в которой пересекаются диагонали квадрата A₁B₁C₁D₁.

Из курса планиметрии известно, что точка пересечения диагоналей квадрата равноудалена от всех его вершин. В частности, A₁L = C₁L, т.е. точка L — это середина отрезка A₁C₁. Но A₁ = (0; 0; 1), C₁ = (1; 1; 1), поэтому имеем:

Ответ: L = (0,5; 0,5; 1)

Смотрите также:

Введение системы координат
Четырехугольная пирамида в задаче C2
В 2012 году ЕГЭ по математике станет двухуровневым?
Сводный тест по задачам B12 (1 вариант)
Симметрия корней и оптимизация ответов в тригонометрии
ЕГЭ 2022, задание 6. Касательная и уравнение с параметром

Источник

25
Апр 2012

13 Задание (2022) (C2)

В этой статье я расскажу, как находить угол между скрещивающимися прямыми с помощью метода координат.

Если мы решили использовать этот метод, то будем придерживаться такого алгоритма:

1. Вводим систему координат.

2. Находим координаты направляющих векторов данных прямых.

3. По формуле косинуса угла между векторами находим косинус угла между направляющими векторами.

Косинус угла между векторами $vec{a}(x_1;y_1;z_1)$ и $vec{b}(x_2;y_2;z_2)$ вычисляется по формуле:

$cos{beta}={{x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}+{z_1}{z_2}}/{sqrt{{x_1}^2+{y_1}^2+{z_1}^2}{sqrt{{x_2}^2+{y_2}^2+{z_2}^2}} }$

Вот, собствено, и все.

Важное уточнение: за угол между прямыми принимают меньший из двух углов, образованный этими прямыми, поэтому косинус угла между прямыми должен быть больше нуля, и он равен модулю косинуса угла между направляющими векторами.

Решим задачу.

В правильной шестиугольной призме , все ребра которой равны 1, найти косинус угла между прямыми и :1. Введем систему координат: