Как найти косинус угла между двумя сторонами

Как найти косинус угла между двумя сторонами

В статье про прямоугольный треугольник посмотрели задачи связанные с синусами и косинусами из 1 части ОГЭ. Так что обязательно заглядывай.

Получается, что решить прямоугольный треугольник (найти все стороны и острые углы) можно довольно просто, зная всего лишь два элемента прямоугольного треугольника :две стороны (по теореме Пифагора) или сторону и острый угол (из определений синуса, косинуса, тангенса).

Но решить треугольник (найти все стороны и углы ) можно и произвольный, зная три элемента: три стороны, две стороны и угол, или два угла и сторону.

Для первых двух случаев в решении пользуются теоремой косинусов (вполне возможно эта тема вас поджидает уже на следующей неделе в школе, а может уже и была):

в любом треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих двух сторон на косинус угла между ними.

Теорема косинусов в 1 части ОГЭ
  • Если известны три стороны треугольника можно найти косинусы всех углов
  • Если известны две стороны и угол между ними треугольника, то можно найти третью сторону.

В этом случае полезно пользоваться таблицей значений косинусов некоторых углов :

Теорема косинусов в 1 части ОГЭ

Рассмотрим решение задачи №16 из сборника Ященко (36 вариантов) на теорему косинусов :

Теорема косинусов в 1 части ОГЭ

Изобразим треугольник АВС и найдем в нем противолежащую сторону для угла АВС.

Теорема косинусов в 1 части ОГЭ

Из рисунка видно, что противолежащая сторона – это сторона АС.

Для стороны АС записываем теорему косинусов:

Теорема косинусов в 1 части ОГЭ

Подставим значения всех сторон:

Теорема косинусов в 1 части ОГЭ

Переносим все “свободные” числа (меняя знак) в левую часть равенства и считаем:

Теорема косинусов в 1 части ОГЭ

Находим косинус угла АВС, как неизвестный множитель:

Теорема косинусов в 1 части ОГЭ

Записываем ответ:

Теорема косинусов в 1 части ОГЭ

Если вы знаете того, кто готовится к ОГЭ, не забудьте поделиться с ним этой информацией. Всегда пригодится.

Продолжение следует…

Не забудь нажать на пальчик вверх после прочтения и подписаться. За это отдельная благодарность

(✿◠‿◠)

Теорема косинусов в 1 части ОГЭ
Источник

Стандартные обозначения

Стандартные обозначения углов и сторон треугольника

Теорема косинусов — теорема евклидовой геометрии, обобщающая теорему Пифагора на произвольные плоские треугольники.

Формулировка[править | править код]

Для плоского треугольника со сторонами a,b,c и углом alpha , противолежащим стороне a,
справедливо соотношение:

{displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2cdot bcdot ccdot cos alpha .}

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними[1]

Доказательства[править | править код]

Классическое доказательство

Theorem of cosin.svg

Рассмотрим треугольник ABC. Из вершины C на сторону AB опущена высота CD. Из треугольника ADC следует:

AD=bcos alpha ,

откуда

DB=c-bcos alpha .

Запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC:

h^{2}=b^{2}-(bcos alpha )^{2}qquad qquad qquad (1)
h^{2}=a^{2}-(c-bcos alpha )^{2}qquad qquad (2)

Приравниваем правые части уравнений (1) и (2) и:

b^{2}-(bcos alpha )^{2}=a^{2}-(c-bcos alpha )^{2}

или

a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bccos alpha .

Случай, когда один из углов при основании тупой (и высота падает на продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному.

Выражения для сторон b и c:

b^{2}=a^{2}+c^{2}-2accos beta
c^{2}=a^{2}+b^{2}-2abcos gamma .

Доказательство через координаты

Одним из доказательств является доказательство её в координатной плоскости.

Внесём в координатную плоскость произвольный треугольник ABC так, чтобы точка А совпала с началом координат, а прямая АВ лежала на прямой ОХ. Введём обозначения AB=c, AC=b, CB=a, a угол CAB=α(пока будем считать что α≠90°).
Тогда точка A имеет координаты (0;0), точка B(c;0). Через функцию sin и cos, а также сторону АС=b выведем координаты точки С. С(b×cosα;b×sinα).
Координаты точки С остаются неизменными при тупом и остром угле α.
Зная координаты С и B, а также зная, что CB=a, найдя длину отрезка, мы можем составить равенство:
a^{2}=(bcos {a}-c)^{2}+b^{2}sin ^{2}{a}
a^{2}=b^{2}cos ^{2}{a}-2bccos {a}+c^{2}+b^{2}sin ^{2}{a}
a^{2}=b^{2}(cos ^{2}{a}+sin ^{2}{a})+c^{2}-2bccos {a}
Так как
cos ^{2}{a}+sin ^{2}{a}=1 (основное тригонометрическое тождество), то
a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bccos {a}
Теорема доказана.
Для прямого угла α, теорема также работает cos90°=0 и a²=b²+с² – известная всем теорема Пифагора. Но так как в основе координатного метода лежит теорема Пифагора, то доказательство её через теорему косинусов не совсем правильно.

Доказательство через векторы

Ниже подразумеваются операции над векторами, а не длинами отрезков
{displaystyle AC=AB+BC=>BC=AC-AB=>BC^{2}=AC^{2}+AB^{2}-2cdot ACcdot AB}

Так как скалярное произведение векторов равно произведению их модулей (длин) на косинус угла между ними, последнее выражение можно переписать:
{displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2cdot bcdot ccdot cos alpha }
где a, b, c — длины соответствующих векторов

Следствия[править | править код]

  • Теорема косинусов может быть использована для нахождения косинуса угла треугольника
    cos {alpha }={frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}
В частности,
  • Теорема косинусов может быть записана также в следующем виде[2]:
a^{2}=(b+c)^{2}-4cdot bcdot ccdot cos ^{2}(alpha /2),
a^{2}=(b-c)^{2}+4cdot bcdot ccdot sin ^{2}(alpha /2).

Доказательство

Последние две формулы мгновенно следуют из основной формулы теоремы косинусов (см. в рамке выше), если в правой её части воспользоваться формулами разложения квадрата суммы (для второй формулы – квадрата разности) двух членов на квадратный трехчлен, являющийся полным квадратом. Для получения окончательного результата (двух формул выше) в правой части надо еще воспользоваться известными тригонометрическими формулами:

1+cos alpha =2cdot cos ^{2}(alpha /2),
1-cos alpha =2cdot sin ^{2}(alpha /2).

Кстати, вторая формула формально не содержит косинусов, но её все равно именуют теоремой косинусов.

Для других углов[править | править код]

Теорема косинусов для двух других углов имеет вид:

{displaystyle c^{2} =a^{2}+b^{2}-2abcos gamma }
{displaystyle b^{2} =a^{2}+c^{2}-2accos beta }

Из этих и из основной формулы могут быть выражены углы:

{displaystyle alpha =arccos left({frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}right)}
{displaystyle beta =arccos left({frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}}right)}
{displaystyle gamma =arccos left({frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}right)}

История[править | править код]

Утверждения, обобщающие теорему Пифагора и эквивалентные теореме косинусов, были сформулированы отдельно для случаев острого и тупого угла в 12 и 13 предложениях II книги «Начал» Евклида.

Утверждения, эквивалентные теореме косинусов для сферического треугольника, применялись в сочинениях ал-Баттани.[3]:105
Теорему косинусов для сферического треугольника в привычном нам виде сформулировал Региомонтан, назвав её «теоремой Альбатегния» по имени ал-Баттани.

В Европе теорему косинусов популяризовал Франсуа Виет в XVI столетии.
В начале XIX столетия её стали записывать в принятых по сей день алгебраических обозначениях.

Вариации и обобщения[править | править код]

  • Теоремы косинусов (сферическая геометрия) или Теорема косинусов для трёхгранного угла.
  • Теоремы косинусов (геометрия Лобачевского)
  • Тождество параллелограмма. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон (см. также Теорема Птолемея):
    AC^{2}+BD^{2}=AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+DA^{2}.

Для евклидовых нормированных пространств[править | править код]

Пусть в евклидовом пространстве E задана норма, ассоциированная со скалярным произведением, то есть leftVert {vec {a}}rightVert ={sqrt {({vec {a}},{vec {a}})}}. Тогда теорема косинусов формулируется следующим образом:

Теорема.
leftVert {vec {a}}-{vec {b}}rightVert ^{2}=leftVert {vec {a}}rightVert ^{2}+leftVert {vec {b}}rightVert ^{2}-2({vec {a}},{vec {b}})

Для четырёхугольников[править | править код]

Возводя в квадрат тождество {overline {AD}}={overline {AB}}+{overline {BC}}+{overline {CD}} можно получить утверждение, иногда называемое теоремой косинусов для четырёхугольников:

d^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2abcos angle B-2accos omega -2bccos angle C, где omega  — угол между прямыми AB и CD.

Или иначе:

d^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2abcos angle B+2accos(angle A+angle D)-2bccos angle C
Формула справедлива и для тетраэдра, под w подразумевается угол между скрещивающимися ребрами.
С помощью неё можно найти косинус угла между скрещивающимися ребрами a и c зная все ребра тетраэдра:
{displaystyle cos w=(b^{2}+d^{2}-e^{2}-f^{2})/2ac}
Где b и d, e и f пары скрещивающихся ребер тетраэдра.

Косвенный аналог для четырёхугольника[править | править код]

Соотношение Бретшнайдера — соотношение в четырёхугольнике, косвенный аналог теоремы косинусов:

Между сторонами a, b, c, d и противоположными углами {displaystyle alpha ,gamma } и диагоналями e, f простого (несамопересекающегося) четырёхугольника выполняется соотношение:

{displaystyle e^{2}f^{2}=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}-2abcdcos(alpha +gamma )}
  • Если четырёхугольник вырождается в треугольник, и одна вершина попадает на сторону, то получается теорема Стюарта.
  • Теорема косинусов для треугольника является частным случаем соотношения Бретшнайдера, если в качестве четвёртой вершины выбрать центр описанной окружности треугольника.

Симплексы[править | править код]

{displaystyle S_{i}S_{j}cos angle A={frac {(-1)^{(n-1+i+j)}}{2^{n-1}((n-1)!)^{2}}}{begin{vmatrix}0&1&1&1&dots &1\1&0&d_{12}^{2}&d_{13}^{2}&dots &d_{1(n+1)}^{2}\1&d_{21}^{2}&0&d_{23}^{2}&dots &d_{2(n+1)}^{2}\1&d_{31}^{2}&d_{32}^{2}&0&dots &d_{3(n+1)}^{2}\vdots &vdots &vdots &vdots &ddots &vdots \1&d_{(n+1)1}^{2}&d_{(n+1)2}^{2}&d_{(n+1)3}^{2}&dots &0\end{vmatrix}}}

при этом мы должны зачеркнуть строку и столбец, где находится d_{ij} или d_{ji}.

A — угол между гранями S_{i} и S_{j}, S_{i} -грань, находящаяся против вершины i,d_{ij}– расстояние между вершинами i и j.

См. также[править | править код]

  • Решение треугольников
  • Скалярное произведение
  • Соотношение Бретшнайдера
  • Теорема косинусов для трёхгранного угла
  • Теорема о проекциях
  • Теорема Пифагора
  • Сферическая теорема косинусов
  • Теорема котангенсов
  • Теорема синусов
  • Теорема тангенсов
  • Тригонометрические тождества
  • Тригонометрические функции

Примечания[править | править код]

  1. ↑ Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия 7—9: учеб. для общеобразоват. учреждений — 15-е изд. — М.: Просвещение, 2005. — С. 257. — 384 с.: ил. — ISBN 5-09-014398-6
  2. ↑ 1 2 Корн Г. А., Корн Т. М. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: «Наука», 1974. — С. 51. — 832 с.
  3. ↑ Florian Cajori. A History of Mathematics — 5th edition 1991

Литература[править | править код]

  • Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 84—85. — ISBN 5-94057-170-0.
Источник

Учебник

Геометрия, 9 класс

Теорема косинусов

Теорема косинусов    

Если в треугольнике даны   две стороны и угол между ними, то такой треугольник один, единственный.   Т.е. любой другой треугольник с такими данными будет в точности равен ему, по   2-му признаку равенства   треугольников.    Ну, раз единственный и неповторимый, то его третья   сторона   должна   быть однозначно   определяема.

_____________________________________________________________________________________

Теорема косинусов    Квадрат стороны треугольника      равен     сумме квадратов двух
   
других сторон минус     удвоенное произведение этих сторон   на    косинус угла между ними.
      
$AB^2=AC^2+BC^2-2cdot ACcdot BCcdotcos ACB$

_____________________________________________________________________________________

Факты:

  • Теорема косинусов позволяет найти косинус любого угла по трем известным сторонам, а значит,   и сам угол.
  • Если из трех сторон и одного   угла известны три величины, то четвертое неизвестное можно   всегда вычислить.
  • Теорема косинусов   дает возможность   вычислять   медианы треугольника,   применяя теорему к малым треугольникам.
  • Для прямоугольного треугольника теорема косинусов    “упрощается”   до теоремы Пифагора       $AB^2=AC^2+BC^2$.

       

А если угол тупой? Что означает тригонометрия больших углов?

$cos130=-cos50$,    $sin115=sin65$ ,   $tg135=-tg45$.    

Связь   тригонометрии   тупых   углов    $90 < alpha < 180$    с    тригонометрией    острых     выражается   формулами:      
     $sinalpha=sinleft(180-alpharight)$           $cosalpha=-cosleft(180-alpharight)$        $tgalpha=-tgleft(180-alpharight)$        $ctgalpha=-ctgleft(180-alpharight)$

Если $b^2+c^2-a^2>0$, то $alpha$ – острый;     если $b^2+c^2-a^2=0$, то   $alpha$ – прямой;    если   $b^2+c^2-a^2<0$ , то угол $alpha$ – тупой.

Расчет треугольников по теореме косинусов    

Задача 1:        В треугольнике   $ABC$   сторона   $AC$ равна   $7sqrt{3}$ см,   сторона   $BC$ равна $1$ см ,   угол $C$ = $150^o$ .          Найти   длину стороны   $AB$.

  • Решение:          Применим   теорему косинусов      $AB^2=left(7sqrt{3}right)^2+1-14sqrt{3}cos150$ .
  • Тупой     угол    в $150^o$      выразим     через     острый :       $cos150=cosleft(180-30right)=-cos30=-frac{sqrt{3}}{2}$.         $Rightarrow$      
  • $AB^2=147+1-28sqrt{3}left(-frac{sqrt{3}}{2}right)$      ,         $AB^2= 148 + 21 = 169$           $Rightarrow$                             Ответ:     $AB = 13$

Задача 2:        В треугольнике   $ABC$   сторона   $AC$ равна   $17$ см,   сторона   $BC$ равна $14$ см ,   угол $ACB$ = $60^o$ .
                          Найти   длину третьей стороны   .

  • Решение:          Из   теоремы косинусов для угла    $angle ACB$ :     $Rightarrow$             $AB^2=17^2+14^2-2cdot17cdot14cdotcos60$                 $Rightarrow$   
  • квадрат стороны      $AB^2= 289+196-238 = 247$           $Rightarrow$           Ответ:     $AB = sqrt{247}$

Задача 3:        В   $bigtriangleup ABC$   известны   $AC=3$   , $BC=5$ см,    $AB=6$ .
     Найти   косинус   угла   $C$   и медиану    $BM$   .

  • Решение:          Из   теоремы   косинусов    для стороны    $AB$ выразим косинус требуемого угла $ACB$:   
  • $cos ACB=frac{AC^2+BC^2-AB^2}{2cdot ACcdot BC}=frac{9+25-36}{30}=-frac{1}{15}$   .      Отрицательное значение косинуса говорит о том, что это тупой   угол $>90^o$
  • Для нахождения    медианы   $ВМ$    распишем     еще раз теорему косинусов, но уже для треугольника     $ВМС$   от угла $С$:
  • $BM^2=BC^2+MC^2-2cdot BCcdot MCcdotcos C$    учтем,   что     медиана   делит сторону   пополам    $MC=frac{AC}{2}=1,5$
  • Подставим     $BM^2=25+2,25-2cdot5cdot1.5cdotleft(-frac{1}{15}right)=27,25+1=28,25$,     получим      $BM=sqrt{28,25}=0,5sqrt{113}$    
  • Ответ:          $cos ACB=-frac{1}{15}$        ,    $BM=0,5sqrt{113}$     .

Задача 4:        В прямоугольном   $bigtriangleup ABC$   известны   $AB=9$ , $BC=3$ см ;    $M$ делит   $AB$ :      $frac{AM}{MB}=frac{1}{2}$.
                          Найти    $CM$   .

  • Решение:         По свойству     аддитивности    отрезка     $AM + MB = 9$ ,   по условию      $frac{AM}{MB}=frac{1}{2}$      $Rightarrow$    $AM = 3$ ,    $MB = 6$
  • Из прямоугольного   $bigtriangleup ABC$    по определению косинуса угла:       $cos B=frac{BC}{AB}=frac{3}{9}=frac{1}{3}$    .
  • Из     $bigtriangleup CMB$       по теореме косинусов найдем   $CM$ :    $CM^2=CB^2+MB^2-2cdot CBcdot MBcdotcos B$       , подставим   числа
  • $CM^2=3^2+6^2-2cdot3cdot6cdotfrac{1}{3}=33$      $Rightarrow$    требуемый   отрезок     $CM=sqrt{33}$      .             Ответ:          $CM=sqrt{33}$

Задача 5:        Одна из сторон треугольника   больше   другой   на   $8$    см, а угол между ними $120^o$ .
                          Найдите периметр треугольника, если длина третьей стороны    $28$ см   .

  • Решение:     Метод введения неизвестного:    Обозначим   одну   из   сторон   треугольника как   $x$ ,
  • выразим нужные величины через х и составим уравнение:    величина   другой стороны будет равна    $x+8$ см.
  • По теореме косинусов:    $28^2=x^2+left(x+8right)^2-2xcdotleft(x+8right)cdotcos120$ ,   где      $cos120=cosleft(180-60right)=-cosleft(60right)=-0,5$,
  • Итак, составили уравнение    $784=x^2+x^2+16x+64-2xleft(x+8right)left(-0,5right)$               $Rightarrow$          $3x^2+24x+720=0$
  • решим   квадратное уравнение : один корень отрицательный – не нужен ,    другой     $x=frac{-24+96}{6}=12$        
  • Периметр    $P=12+left(12+8right)+28=60$.             Ответ:           $60$.

Задача 6:       В     $bigtriangleup ABC$   известны   стороны    $a=15$ , $b=18$,   $c=25$ .          Найти:   углы   $α$,    $β$,    $γ$   (приближённо) .

  • Решение:         Углы    $α$    и    $β$     найдём по теореме косинусов для соответствующих углов.            
  • $cosalpha=frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ , вычисляем      $cosalpha=frac{18^2+25^2-15^2}{2cdot18cdot25}approx0,8$   ,   привлекаем калькулятор: $alphaapprox36,4^o$    ;
  • $cosbeta=frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$ , вычисляем      $cosbeta=frac{15^2+25^2-18^2}{2cdot15cdot25}approx0,7$   ,   …. калькулятор: $betaapprox45,3^o$       .
  • Найдём   $γ$    по теореме о 180 = сумма углов:    $gamma=180-left(alpha+betaright)$    и    $gammaapprox180-left(36,4+45,3right)approx98,3$   .
  • Ответ:                 $alphaapprox36,4^o$     ,      $betaapprox45,3^o$       ,      $gammaapprox98,3$

          

Задача 7:         В     $bigtriangleup ABC$        $AB=c=3$ м,      $AC = b = 6$ м.   ,    $alpha=60$   .       Найти:   сторону    $a = BC$   ,     углы     $β$,    $γ$    .

  • Решение:           Треугольник   задан    двумя   сторонами   и   углом между ними,    следовательно,   он задан полностью.               
  • По   теореме   косинусов      $a^2=b^2+c^2-2bccdotcosalpha$          найдём сторону     $a$:      
  • $a^2=6^2+3^2-2cdot6cdot3cdotcos60=36+9-36cdotfrac{1}{2}=27$          $Rightarrow$     $a=3sqrt{3}$ .
  • По теореме   косинусов   найдем и    угол    $β$ :     $cosbeta=frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$      ,     $cosbeta=frac{27+9-36}{18sqrt{3}}=0$     $Rightarrow$      $β=90$ .
  • Значит $bigtriangleup ABC$   –    прямоугольный   ,      тогда угол    $γ=90-α$     .          Ответ:    $a=3sqrt{3}$   ,    $β = 90$     ,    $γ=30$   .

Задача 8:         Стороны треугольника равны   $11$   ,    $12$    и     $13$ .    Найти биссектрису, проведенную к стороне, равной 12.

  • дано: $AB=11$   ,     $BC=12$    ,   $AC=13$               Найти биссектрису      $AK=?$ .
  • Решение:     Найдем косинус угла из теоремы косинусов :     $AB^2=AC^2+BC^2-2cdot ACcdot BCcdotcos angle ACB$                     
  • Выразим косинус       $cos angle ACB=frac{AC^2+BC^2-AB^2}{2cdot ACcdot BC}$ ,    $cos angle ACB=frac{13^2+12^2-11^2}{2cdot 13cdot 12}=frac{19}{39}$
  • Найдем отрезки   $BK$ ,   $KC$    на которые биссектриса делит сторону … по теореме биссектрис         $frac{BK}{KC}=frac{AB}{AC}$
  • Система уравнений: $frac{BK}{KC}=frac{11}{13}$ и аддитивность $BK+KC=BC=12$. Получаем    $BK=5,5$ ,    $BK=6,5$
  • Теперь, для нахождения биссектрисы   $AK$   еще раз     используем теорему косинусов для треугольника     $bigtriangleup AKC$
  • $AK^2=AC^2+KC^2-2cdot ACcdot KCcdotcos angle ACB$    подставим значения    $AK^2=13^2+6,5^2-2cdot 13cdot 6,5cdot frac{11}{13}=frac{429}{4}$.
  • Ответ:         $AK=frac{sqrt429}{2}$.

Задача 9:         Стороны треугольника равны   $11$   ,    $12$    и     $13$ .    Найти медиану, проведенную к большей стороне.

  • Решение:         Воспользуемся формулой для длины медианы:        $m_c=frac{1}{2}sqrt{2a^2+2b^2-c^2}$                     
  • Подставим   значения   $m_c=frac{1}{2}sqrt{2cdot11^2+2cdot12^2-13^2}=frac{1}{2}sqrt{242+288-169}=frac{1}{2}sqrt{361}=frac{19}{2}=9,5$     Ответ:       $m_c=9,5$

Задача 10:         В треугольнике     $ABC$     $AB=11$   ,     $AC=23$    ,    медиана      $AK=10$ .           Найти     $BC$ .

  • Решение:          Воспользуемся   формулой   для   длины    медианы      и   подставим    в   неё   данные   из условия:                  
  • $AK=frac{1}{2}sqrt{2cdot11^2+2cdot23^2-BC}$        $Rightarrow$      $100=frac{1}{4}left(242+1058-BC^2right)$         $Rightarrow$   $BC^2=900$          Ответ:           $BC=30$        .    

Упражнения:

Источник

Содержание:

Теорема синусов, теорема косинусов:

Теорема синусов

Вы уже знаете, что в треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла — большая сторона. Пусть Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу окружности, описан­ной около треугольника, т. е.
Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство:

Пусть дан треугольник АВС, ВС = Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения — радиус его описанной окружности. Угол а может быть острым, тупым или прямым. Рассмотрим эти случаи отдельно.

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

1) Угол Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения острый (рис. 152, а). Проведя диаметр BD и отрезок DC, получим прямоугольный треугольник BCD, в котором Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения как вписанный угол, опирающийся на диаметр. Заметим, что Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу ВС. Из прямоугольного треугольника BCD находим Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решеният. е. Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения откуда Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

2) Угол Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения тупой (рис. 152, б). Проведем диаметр BD и отрезок DC. В четырехугольнике ABDC по свойству вписанного четырехугольника Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Из прямоугольного треугольника Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения как вписанный угол, опирающийся на диаметр) Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Поскольку Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения то Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения откуда Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

3) Для Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения справедливость равенства Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения докажите самостоятельно, В силу доказанного Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения откуда Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема доказана.

Теорема синусов дает возможность решать широкий круг задач.
Так, пропорция Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения позволяет решить две следующие задачи:

  • зная две стороны треугольника и угол, противолежащий одной из них, найти синус угла, противолежащего другой стороне;
  • зная два угла треугольника и сторону, противолежащую одному из этих углов, найти сторону, противолежащую другому углу.

С помощью формулы Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияможно решить еще три задачи (рис. 153): 

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

  • зная сторону треугольника и противолежащий ей угол, найти радиус окружности, описанной около треугольника;
  • зная угол треугольника и радиус описанной окружности, найти сторону треугольника, противолежащую данному углу;
  • зная сторону треугольника и радиус его описанной окружности, найти синус угла, противолежащего данной стороне.

Повторение

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

В остроугольном треугольнике известны стороны Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения и угол Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Найти два других угла Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения округлив их значения до 1°, и третью сторону треугольника, округлив ее длину до 0,1.

Решение:

По теореме синусов Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения откуда Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения При помощи калькулятора (таблиц). находим Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Тогда Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения По теореме синусов Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения откуда Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Ответ: Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
 

Замечание. Если бы по условию треугольник был тупоугольным с тупым углом Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения то, зная Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения вначале мы нашли бы острый угол Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения А за­тем, используя формулу Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения получили бы, что Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
 

Пример:

Доказать справедливость формулы площади треугольника Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения где Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения — его стороны, R — радиус описанной окружности.

Доказательство:

Воспользуемся известной формулой площади треугольника: Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения По теореме синусов Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения откуда Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Тогда Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Что и требовалось доказать.

Замечание. Выведенная формула позволяет найти радиус описанной окружности треугольника Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
 

Пример:

Найти радиус R окружности, описанной около равнобедренного треугольника АВС с основанием АС = 10 и боковой стороной ВС =13 (рис. 154).

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Способ 1. Из формулы Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения следует, что Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Найдем Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения. Для этого в треугольнике АВС проведем высоту ВК, которая будет и медианой, откуда Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Из Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияпо теореме Пифагора Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения откуда Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Тогда Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Способ 2. Используем формулу Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения из которой Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТак как Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решениято Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Ответ: Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
 

Замечание*. Напомним, что в главе II мы находили радиус R описанной окружности равнобедренного треугольника, проводя серединные перпендикуляры к его сторонам и используя подобие полученных прямоугольных треугольников. Также мы могли использовать формулу Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения где Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения — боковая сторона, Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения — высота, проведенная к основанию Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения 

Заменив Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения в формуле Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения получим Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения — формулу радиуса описанной окружности для произвольного треугольника. Итак, мы имеем четыре формулы для нахождения радиуса R описанной окружности треугольника:

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема косинусов

Теорема косинусов позволяет выразить длину любой стороны треугольника через длины двух других его сторон и косинус угла между ними (например, длину стороны Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения треугольника АВС (рис. 165) через длины сторон Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения). Теорему косинусов можно назвать самой «работающей» в геометрии. Она имеет многочисленные следствия, которые часто используются при решении задач.

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема косинусов. Квадрат любой стороны треугольника равен сум­ме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними, т. е. 

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство:

Докажем теорему для случая, когда в треугольнике АВС угол А и угол С острые (рис. 166).
Проведем высоту ВН к стороне АС. Из Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения находим Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения откуда Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Из Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения по теореме Пифагора Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

По основному тригонометрическому тождеству Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Тогда Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Справедливость теоремы для случаев, когда Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения или Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения тупой или прямой, докажите самостоятельно. Теорема доказана.
Для сторон Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения теорема косинусов запишется так:

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Замечание. Если Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения, то по теореме Пифагора Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Так как Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения то Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Таким образом, теорема Пифагора — частный случай теоремы косинусов.
С помощью теоремы косинусов можно решить следующие задачи:

• зная две стороны и угол между ними, найти третью сторону треугольника;

• зная две стороны и угол, противолежащий одной из этих сторон, найти третью сторону (рис. 167) (в этом случае возможны два решения).

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Рассмотрим следствия из теоремы косинусов, которые дают возможность решить еще целый ряд задач.

Следствие:

Теорема косинусов позволяет, зная три стороны треугольника, най­ти его углы (косинусы углов). Из равенства Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения следует формула

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Для углов Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияполучим:

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

В треугольнике АВС стороны АВ = 8, ВС = 5, АС = 7. Найдем ZB (рис. 168).

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

По теореме косинусов

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Используя записанную выше формулу, можно сра­зу получить: 

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Следствие:

С помощью теоремы косинусов можно по трем сторонам определить вид треугольника: остроугольный, прямоугольный или тупоугольный.
 

Так, из формулы Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения с учетом того, что Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения следует:

  1. если Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения то Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения и угол Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения острый;
  2. если Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения то Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения и угол Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения тупой;
  3. если Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения то Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения и угол Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения прямой.

При определении вида треугольника достаточно найти знак косинуса угла, лежащего против большей стороны, поскольку только больший угол треугольника может быть прямым или тупым.
 

Пример:

Выясним, каким является треугольник со сторонами a = 2, 6 = 3 и с = 4. Для этого найдем знак косинуса угла у, лежащего против большей стороны с. Так как Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения то Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения угол Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения тупой и данный треугольник тупоугольный.

Сформулируем правило определения вида треугольника (относительно углов). Треугольник является:

  1. остроугольным, если квадрат его большей стороны меньше суммы квадратов двух других его сторон: Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
  2. тупоугольным, если квадрат его большей стороны больше суммы квадратов двух других его сторон:Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
  3. прямоугольным, если квадрат его большей стороны равен сумме квадратов двух других его сторон: Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Следствие:

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадра­тов всех его сторон: Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство:

Пусть в параллелограмме ABCD Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения— острый, откуда Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения — тупой (рис. 169). По теореме косинусов из Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения                                     (1)
Из Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Поскольку cos Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения то

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения                                   (2)

Сложив почленно равенство (1) и равенство (2), получим Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения что и требовалось доказать.

Данная формула дает возможность:

  • • зная две соседние стороны и одну из диагоналей параллелограмма, найти другую диагональ;
  • • зная две диагонали и одну из сторон параллелограмма, найти соседнюю с ней сторону.

Следствие:

Медиану Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения треугольника со сторонами а, b и с можно найти по фор­муле Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

 Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство:

Рассмотрим Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения — медиана треугольника (рис. 170). Продлим медиану AM за точку М на ее длину: Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Проведем отрезки BD и DC. Так как у четырехугольника ABDC диагонали AD и ВС точкой пересечения делятся пополам, то он — параллелограмм. По свойству диагоналей параллелограмма Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Отсюда следует, что Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Утверждение доказано.

Аналогично: Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Формула медианы позволяет:

  • зная три стороны треугольника, найти любую из его медиан;
  • зная две стороны и медиану, проведенную к третьей стороне, найти третью сторону;
  • зная три медианы, найти любую из сторон треугольника.

Пример:

а) Дан треугольник АВС, а = 5, 5 = 3, Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Найти сторону с. б) Дан треугольник АВС, а = 7, с = 8, а = 60°. Найти сторону Ь.

Решение:

а) По теореме косинусов Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Отсюда Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения б) Пусть Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения По теореме косинусов Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения то есть Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Отсюда Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения или Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения так как для наборов длин отрезков 7, 3, 8 и 7, 5, 8 выполняется неравенство треугольника.
Ответ: а) 7; б) 3 или 5.

Пример:

Две стороны треугольника равны 6 и 10, его площадь — Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Найти третью сторону треугольника при условии, что противолежащий ей угол — тупой.

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Пусть в Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решениястороны АВ = 6, ВС = 10 и Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения (рис. 171).
Поскольку Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения то Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения откуда Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Так как Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения и по условию Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения — тупой, то Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения. Для нахождения стороны АС применим теорему косинусов:Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Ответ: 14.

Пример:

Найти площадь треугольника, две стороны которого равны 6 и 8, а медиана, проведенная к третьей стороне, равна 5.

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Обозначим стороны треугольника Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Пусть Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения — медиана (рис. 172).
По формуле медианы Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения откуда Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения По обратной теореме Пифагора данный треугольник со сторонами 6, 8 и 10 — прямоугольный, его площадь равна половине произведения катетов:Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Ответ: 24.

Формула Герона

Мы знаем, как найти площадь треугольника по основанию и высоте, проведенной к этому основанию: Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения а также по двум сторонам и углу между ними: Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Теперь мы выведем формулу нахождения площади треугольника по трем сторонам.

Теорема (формула Герона).

Площадь треугольника со сторонами Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения можно найти по формуле Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения где Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения— полупериметр треугольника.

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство:

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения (рис. 183). Из основ­ного тригонометрического тождества Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения следует, что Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Для Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения синус положительный. Поэтому Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияИз теоремы косинусов Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения откуда Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Тогда Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Так какТеорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема доказана.

Решение треугольников

Решением треугольника называется нахождение его неизвестных сторон и углов (иногда других элементов) по данным, определяющим треугольник.

Такая задача часто встречается на практике, например в геодезии, астрономии, строительстве, навигации.

Рассмотрим алгоритмы решения трех задач.
 

Пример №1 (решение треугольника по двум сторонам и углу между ними). 

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Дано: Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения(рис. 184).

Найти : Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
 

Решение:

Рис. 184
1) По теореме косинусов Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

2) По следствию из теоремы косинусов Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

3) Угол Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения находим при помощи калькулятора или таблиц.

4) Угол Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Замечание. Нахождение угла Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения по теореме синусов Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решениятребует выяснения того, острый или тупой угол Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
 

Пример №2 (решение треугольника по стороне и двум  прилежащим к ней углам).

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Дано: Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения(рис. 185).

Найти: Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

1) Угол Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

2) По теореме синусов Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения(sin Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения и sin Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения находим при помощи калькулятора или таблиц).

3) Сторону с можно найти с помощью теоремы косинусов или теоре­мы синусов: Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияили Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения(cos Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения и sin Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решениянаходим при помощи калькулятора или таблиц).

Пример №3 (решение треугольника по трем сторонам).

Дано: Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения (рис. 186).

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Найти: Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияи радиус R описанной окружности.

Решение:

1) По следствию из теоремы косинусов

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

2) Зная Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения угол Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения находим при помощи калькулятора или таблиц.

3) Аналогично находим угол Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

 4) Угол Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

 5) Радиус R описанной окружности треугольника можно найти по фор­муле Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения где Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
 

Замечание*. Вторым способом нахождения R будет нахождение косинуса любого угла при помощи теоремы косинусов Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения затем нахождение по косинусу угла его синуса Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения и, наконец, использование теоремы синусов Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решениядля нахождения R.

Пример №4

Найти площадь S и радиус R описанной окружности треугольника со сторонами 9, 12 и 15.

Решение:

Способ 1. Воспользуемся формулой Герона. Обозначим а = 9, b = 12, с = 15. Получим: Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Тогда Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Радиус R описанной окруж­ности найдем из формулы Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Имеем: Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Ответ: Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Способ 2. Так как Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияпоскольку Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения то треугольник — прямоугольный по обратной теореме Пифагора. Его площадь равна половине произведения катетов: Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения а радиус описанной окружности равен половине гипотенузы: Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
 

Пример №5

Найти площадь трапеции с основаниями, равными 5 и 14, и боковыми сторонами, равными 10 и 17.

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Пусть в трапеции ABCD основания AD = 14 и ВС = 5, боковые стороны АВ = 10 и Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Проведем Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения (рис. 187). Так как АВСК — параллелограмм, то СК = АВ = 10, АК = ВС = 5, откуда KD = AD – АК = 9. Найдем высоту СН треугольника KCD, которая равна высоте трапеции. Площадь треугольника KCD найдем по формуле Герона, обозначив его стороны а = 10, b = 17, с = 9. Получим:

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Так как Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияСН = 8. Площадь трапеции Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Ответ: 76.
 

Примеры решения задач с использованием теоремы синусов и теоремы косинусов

Пример:

Внутри угла А, равного 60°, взята точка М, которая находится на расстоянии 1 от одной стороны угла и на расстоянии 2 от другой стороны. Найти расстояние от точки М до вершины угла А (рис. 189, а).

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Пусть Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Найдем
длину отрезка AM. Сумма углов четырехугольника АВМС равна 360°.
Поэтому Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Так как в четырехугольнике АВМС Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения, то около него можно описать окружность по признаку вписанного четырехугольника (рис. 189, б). Поскольку прямой вписанный угол опирается на диаметр, то отрезок AM — диаметр этой окружности, т. е. Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения где R — радиус. Из Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения по теореме косинусов Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Из Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения по теореме синусов Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения откуда Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Ответ: Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Замечание. Вторым способом решения будет продление отрезка ВМ до пересечения с лучом АС и использование свойств полученных прямоугольных треуголь­ников. Рассмотрите этот способ самостоятельно.

Пример №6

В прямоугольном треугольнике АВС известно: Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения высота СН = 2 (рис. 190). Найти гипотенузу АВ.

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Построим Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения симметричный Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения относительно прямой АВ (см. рис. 190).
Поскольку Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения то вокруг четырехугольника Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения можно описать окруж­ность, где АВ — диаметр этой окружности (прямой вписанный угол опирается на диаметр). Треугольник Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения вписан в эту окруж­ность, Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения По теореме синусов Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения откуда Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Ответ: 8.

Пример №7

Дан прямоугольный треугольник АВС с катетами ВС = а и АС = Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения На гипотенузе АВ как на стороне построен квадрат ADFB (рис. 191). Найти расстояние от центра О этого квадрата до вершины С прямого угла, т. е. отрезок СО.

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Способ 1. Так как Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения (диагона­ли квадрата ADFB взаимно перпендикулярны), то Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения поэтому четырехугольник АОВС является вписанным в окружность, ее диа­метр Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Тогда Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Пусть СО = х. По теореме косинусов из Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения находим Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

из Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения находим Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

По свойству вписанного четырехугольника Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Поскольку Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения то Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияоткуда находим Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТогда Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения.

 Способ 2. Используем теорему Птолемея, которая гласит: «Произведение диагоналей вписанного четырехугольника равно сумме произведений его противоположных сторон». Для нашей задачи получаем (см. рис. 191):

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Способ 3. Достроим Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения до квадрата CMNK, как показано на рисунке 192. Можно показать, что центр квадрата CMNK совпадет с центром квадрата ADFB, т. е. с точкой О (точки В и D симметричны относительно центров обоих квадратов). Тогда Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Ответ: Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
 

Пример №8

Точка О — центр окружности, вписанной в треуголь­ник АВС, Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Найти стороны треугольника (см. задачу 232*).

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Пусть Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения и
Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения — радиус вписанной окружности (рис. 193).
Тогда Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Отсюда Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Применим формулу Герона:

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

С другой стороны, Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Из уравнения Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения находим Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения = 2. Откуда Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения (см), Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения (см), Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения (см).
Ответ: 15 см; 20 см; 7 см.

Теорема Стюарта

Следующая теорема позволяет найти длину отрезка, соединяющего вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.
 

Теорема Стюарта. «Если а, b и с — стороны треугольника и отре­зок d делит сторону с на отрезки, равные х и у (рис. 194), то справедлива формула

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство:

По теореме косинусов из Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияи Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения (см. рис. 194) следует:

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения                                     (1)

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения              (2)

Умножим обе части равенства (1) на у, равенства (2) — на Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Сложим почленно полученные равенства:
Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Из последнего равенства выразим Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема доказана.

Следствие:

Биссектрису треугольника можно найти по формуле (рис. 195)

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство:

По свойству биссектрисы треугольника Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Разделив сторону Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияс в отношении Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения получим: 

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения По теореме Стюарта Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Пример №9

Доказать, что если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник — равнобедренный (теорема Штейнера—Лемуса).

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство:

Пусть дан треугольник АВС, Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения — биссектрисы, проведенные к сторонам ВС = а и АС = b соответственно, и Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения (рис. 196). Нужно доказать, что Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Выразим Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения и через Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения и приравняем полученные выражения. Биссектриса делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам. Поэтому Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения откуда Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения откуда Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

По формуле биссектрисы треугольника Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Из условия Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения следует: Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Перенеся слагаемые в одну сторону равенства и разложив на множители (проделайте это самостоятельно), получим: Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Отсюда Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения (второй множитель при положительных Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения больше нуля). Утверждение доказано.

Теорема Птолемея о вписанном четырехугольнике

Произведение диагоналей вписанного четырехугольника равно сумме произведений его противоположных сторон, т. е.Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения (рис. 197).

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство:

Из Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения по теореме косинусов Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Так как Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения (по свойству вписанного четырехугольника) и Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияоткуда Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Аналогично из Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения получим Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТогда  Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Теорема доказана.

Запомните:

  1. Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам про­тиволежащих углов. Отношение стороны треугольника к синусу проти­волежащего угла равно удвоенному радиусу его описанной окружности:Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
  2. Радиус описанной окружности треугольника можно найти, используя формулы: Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
  3. Теорема косинусов. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме ква­дратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними: Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
  4. Пусть Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения — стороны треугольника и с — большая сторона. Если Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения, то треугольник тупоугольный, если Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения то треугольник остроугольный, если Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения, то треугольник прямоугольный.
  5. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон: Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
  6. Формула Герона: Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
  7. Формула медианы: Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
  • Параллельность прямых и плоскостей
  • Перпендикулярность прямой и плоскости
  • Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости
  • Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве
  • Углы и расстояния в пространстве
  • Подобие треугольников
  • Решение прямоугольных треугольников
  • Параллелограмм
Источник

Как находить косинус в треугольнике

Нередко в геометрических (тригонометрических) задачах требуется найти косинус угла в треугольнике, потому что косинус угла позволяет однозначно определить величину самого угла.

Треугольник АВС

Инструкция

Чтобы найти косинус угла в треугольнике, длины сторон которого известны, можно воспользоваться теоремой косинусов. Согласно этой теореме, квадрат длины стороны произвольного треугольника равняется сумме квадратов двух его других сторон без удвоенного произведения длин этих сторон на косинус угла между ними:

а?=b?+c?-2*b*c*соs?, где:

а, b, с – стороны треугольника (точнее их длины),

? – угол, противоположный стороне а (его величина).

Из приведенного равенства легко находится соs?:

соs?=( b?+c?-а? )/(2*b*c)

Пример 1.

Имеется треугольник со сторонами а, b, с, равными 3, 4, 5 мм, соответственно.

Найти косинус угла, заключенного между большими сторонами.

Решение:

По условию задачи имеем:

а=3,

b=4,

с=5.

Обозначим противоположный стороне а угол через ?, тогда, согласно выведенной выше формуле, имеем:

соs?=(b?+c?-а? )/(2*b*c)=(4?+5?-3?)/(2*4*5)=(16+25-9)/40=32/40=0,8

Ответ: 0,8.

Если треугольник прямоугольный, то для нахождения косинуса угла достаточно знать длины всего двух любых сторон (косинус прямого угла равен 0).

Пусть имеется прямоугольный треугольник со сторонами а, b, с, где с – гипотенуза.

Рассмотрим все варианты:

Пример 2.

Найти соs?, если известны длины сторон а и b (катеты треугольника)

Воспользуемся дополнительно теоремой Пифагора:

c?=b?+а?,

с=v(b?+а?)

соs?=(b?+c?-а? )/(2*b*c)=(b?+b?+а?-а?)/(2*b*v(b?+а?))=(2*b?)/(2*b*v(b?+а?))=b/v(b?+а?)

Чтобы проверить правильность полученной формулы, подставим в нее значения из примера 1, т.е.

а=3,

b=4.

Проделав элементарные вычисления, получаем:

соs?=0,8.

Аналогично находится косинус в прямоугольном треугольнике в остальных случаях:

Пример 3.

Известны а и с (гипотенуза и противолежащий катет), найти соs?

b?=с?-а?,

b=v(c?-а?)

соs?=(b?+c?-а? )/(2*b*c)=(с?-а?+с?-а?)/(2*с*v(с?-а?))=(2*с?-2*а?)/(2*с*v(с?-а?))=v(с?-а?)/с.

Подставляя значения а=3 и с=5 из первого примера, получаем:

соs?=0,8.

Пример 4.

Известны b и с (гипотенуза и прилежащий катет).

Найти соs?

Произведя аналогичные (показанные в примерах 2 и 3 преобразования), получим, что в этом случае косинус в треугольнике вычисляется по очень простой формуле:

соs?=b/с.

Простота выведенной формулы объясняется элементарно: фактически, прилежащий к углу ? катет является проекцией гипотенузы, поэтому его длина равна длине гипотенузы, умноженной на соs?.

Подставляя значения b=4 и с=5 из первого примера, получим:

соs?=0,8

Значит, все наши формулы верны.

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Источник

Добавить комментарий