Свойства углов параллелограмма:
1. Противоположные углы равны
2. Косинус тупого угла, всегда имеет отрицательное значение: cos β <0
a, b – стороны параллелограмма
D – большая диагональ
d – меньшая диагональ
α – острый угол
β – тупой угол
Формулы косинуса острого и тупого углов через стороны и диагонали (по теореме косинусов):
Формула синуса острого и тупого углов через площадь (S) и стороны:
Формулы соотношения острого и тупого углов:
Для определения величины угла в градусах или радианах, используем функции arccos или arcsin
Формулы площади параллелограмма
Формула периметра параллелограмма
Все формулы по геометрии
- Подробности
-
Опубликовано: 05 ноября 2011
-
Обновлено: 13 августа 2021
Найти угол между диагоналями параллелограмма
Свойства углов между диагоналями параллелограмма:
1. Противоположные углы равны
2. Косинус тупого угла, всегда имеет отрицательное значение: cos β
a , b – стороны параллелограмма
D – большая диагональ
d – меньшая диагональ
α – острый угол между диагоналями
β – тупой угол между диагоналями
Формулы косинуса острого и тупого углов между диагоналями, через стороны и диагонали (по теореме косинусов):
Формула синуса острого и тупого углов через площадь (S) и диагонали:
Формулы соотношения острого и тупого углов между диагоналями:
Для определения величины угла в градусах или радианах, используем функции arccos и arcsin
Как найти косинус угла в четырехугольнике между его диагоналями
Сразу скажу, что я не математик, я бы решала так:
Дано:
Четырёхугольник ‘ABCD’, имеющий две диагонали ‘AC’ и ‘BD’, пересекающиеся в точке ‘О’.
Известны все углы у его вершин `ABC`, `BCD`, `CDA`, `DAB` и ещё углы `OAD`, `OAB`, `OCB` и `OCD`.
Нужно найти:
Углы между диагоналями четырёхугольника: т.е., углы ‘АОВ’, ‘АОD’, ‘DOC’, ‘COB’.
Я думаю, что решение данных задач станет возможно, если добавить условие, что в данном четырехугольнике одна пара связанных углов равна между собой.
В таком случае, мой вариант части решения:
Подсказка:
читать дальше Т.к. все диагонали в данном четырехугольнике пересекаются, то мы имеем дело с выпуклым четырехугольником (в противном случае, все диагонали не смогли бы пересечься).
Согласно свойству связанных углов выпуклого четырёхугольника https://mathvox.ru/geometria/mnogougolniki/glava-2-chetirehugolniki-i-ih-svoistva/ugli-vipuklogo-chetirehugolnika-svoistvo-3/ “Если в выпуклом четырёхугольнике одна пара связанных углов равна,
(Например, угол ‘BCA’ = углу ‘BDA’),
то вторая пара связанных углов (‘ABD’ и ‘АСD’) также будут равны между собой.
Если посмотреть на задачу шире, то, углы между диагоналями четырёхугольника (АОВ’, ‘АОD’, ‘DOC’, ‘COB’) ОДНОВРЕМЕННО являются также углами треугольников (‘АОB’, ‘BOC’, ‘COD’, ‘DOA’).
Что мы знаем о треугольниках?
“Сумма ВСЕХ УГЛОВ любого вида треугольников равна 180 градусам”.
Поиск угла ‘АОD’
Далее вычислим один из углов диагоналей четырехугольника (он же угол, входящий в состав одного из треугольников) на примере треугольника ‘АOD’:
Сумма всех углов треугольника ‘OAD’ =
угол ‘OAD’ + угол ‘ADO’ + угол ‘AOD’=180 градусов.
По условию задачи мы знаем:
1. Чему равен угол ‘OAD’ (согласно условию задачи).
Неизвестны углы ‘ADO’ и ‘AOD’.
2. Вычисляем угол ‘ADO’:
Снова расширяем своё видение.
Мы знаем:
1. Чему равен угол ‘CDA’ (согласно условию задачи), составной частью которого является угол ‘ADO’.
T. е., угол ‘CDA’ = угол ‘AOD’ + угол ‘ADO’.
2. Вычисляем значение угла ‘АDO’:
Угол ‘АDO’ = углу ‘BDA’.
Согласно свойству связанных углов выпуклого четырёхугольника:
угол ‘BDA’ = углу ‘BCA’, а угол ‘ВСА’ = углу “OCB’.
Т.о., угол ‘ADO’ = углу ‘OCB’ (значение угла ‘OCB’ мы знаем по условию задачи).
3. Угол ‘AOD’ = (угол ‘ОAD’ +угол ‘АDO’) – 180 градусов.
Поздравляем, первый угол ‘АОD’ – найден! .
Поиск угла ‘DOC’
Треугольник ‘DOC’ имеет углы: ‘ОСD’, ‘СDO’ и ‘DOC’.
Мы знаем:
1. Чему равен угол ‘ОСD’ (по условию задачи).
2. Вычислим чему равен угол ‘СDO’:
Угол ‘СDO’ входит в состав угла ‘CDA’, вместе с углом ‘АDO’.
Т.о., угол ‘СDO’ = угол ‘СDA’ – угол ‘АDO’.
3. Вычислим чему равен угол ‘DOC’:
Угол ‘DOC’ = (угол ‘OCD’ + угол ‘CDO’) – 180 градусов.
и т.д.
Творческая работа учащегося “Теорема косинусов для четырёхугольника”
«Календарь счастливой жизни:
инструменты и механизм работы
для достижения своих целей»
Сертификат и скидка на обучение каждому участнику
Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение
«Гимназия №1 Октябрьского района г. Саратова»
Научно-практическая конференция школьников.
Теорема косинусов для четырехугольника
Творческая работа ученицы 10 «А» класса
Всем известна теорема косинусов для треугольника
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними .
Но не все знают, что существуют аналогичные теоремы и для других фигур.
Целью данной работы явилось:
Установить, существует ли теорема косинусов для фигур, отличных от треугольника
Доказать утверждение теоремы косинусов для четырехугольника
Применить теорему при решении задач
Получить полезные следствия из теоремы косинусов для четырехугольника
Теоретическая часть 
Первая теорема косинусов
Рассмотрим четырехугольник (рис.1).
Возведем обе части равенства в квадрат
Так как скалярное произведение векторов равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, то для вычисления скалярного произведения векторов будем откладывать векторы от одной точки.
Учитывая также, что скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины, получаем:
Заметим, что , где угол, образованный продолжениями сторон . 
Введем обозначения сторон четырехугольника (рис.2).
Полученное соотношение между сторонами четырехугольника называют первой теоремой косинусов для четырехугольника. Ее формулируют так:
Квадрат стороны четырехугольника равен сумме квадратов трех других его сторон без удвоенных произведений этих сторон, взятых попарно, и косинусов углов между ними.
Рассмотрим еще раз рис.2. Понятно, что
Тогда равенство теоремы косинусов может быть записано в виде
Теорему косинусов, так как она доказывалась с использованием векторов, можно считать верной и для невыпуклого четырехугольника, и для четырехугольника с самопересечением сторон.
Вторая теорема косинусов 
Можно получить еще один аналог теоремы косинусов, который назовем второй теоремой косинусов для четырехугольника.
Рассмотрим четырехугольник с проведенными в нем диагоналями, длины которых обозначим e и f (рис.3А).
Построим вне этого четырехугольника
Ясно, что по двум углам
Составим отношения сходственных сторон
Построим вне этого четырехугольника 
Тогда по двум углам.
Составим отношения сходственных сторон:
откуда 
Заметим, что имеют равные длины.
Совместим рисунки 3Б и 3В на одном рисунке 4.
Рассмотрим четырехугольник и треугольник .
В четырехугольнике BDEF сумма равна сумме углов треугольника.
В треугольнике сумма всех углов равна 180, поэтому сумма четырехугольника равна 180.
– это односторонние углы при прямых и секущей , а значит, . Кроме того, . Значит, четырехугольник – параллелограмм. И , т.е. равен диагонали f .
Рассмотрим треугольник . Заметим, что равен сумме углов и четырехугольника .
Применим традиционную теорему косинусов к этому треугольнику:
Используя введенные обозначения, получим:
Так как сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360,
Значит, в равенстве в качестве множителя + может участвовать и . Тогда вывод из равенства можно сформулировать так:
Квадрат произведения диагоналей четырехугольника равен сумме квадратов произведений противоположных сторон минус удвоенное произведение всех сторон четырехугольника на косинус суммы противоположных углов.
Это соотношение назовем второй теоремой косинусов для четырехугольников. Автором этого соотношения считают немецкого математика 19 века Карла Антона Бретшнайдера .
Получить из второй теоремы косинусов для четырехугольника теорему Птолемея.
Рассмотрим четырехугольник (рис.5), который может быть вписан в окружность. В таком четырехугольнике суммы противоположных углов равны 180. Тогда в равенстве
. И соотношения для диагоналей и сторон четырехугольника принимает вид 
Это равенство известно под названием теорема Птолемея :
Для четырехугольника, вписанного в окружность, произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон.
Доказать, что в параллелограмме с углом в 45 градусов квадрат произведения диагоналей равен сумме четвертых степеней двух его смежных сторон (рис.6).
c = a , d = b 
Задача №3. 
Получить из второй теоремы косинусов для четырехугольника теорему Стюарта.
Рассмотрим четырехугольник со сторонами и диагоналями (рис.7).
По теореме косинусов для этого четырехугольника справедливо равенство
Представим себе, что четырехугольник будет таким, что сумма сторон равна диагонали , то есть четырехугольник вырождается в треугольник (рис.8), то есть 
Вычисляем по теореме косинусов для треугольника, получаем,
Тогда для этого вырожденного четырехугольника имеем
Полученное соотношение называется теоремой М. Стюарта.
Получить из теоремы Стюарта формулу длины медианы треугольника.
Решение. 
Квадрат медианы равен четверти суммы удвоенных квадратов сторон треугольника, заключающих медиану, минус квадрат третьей стороны треугольника.
Получить из теоремы Стюарта формулу длины биссектрисы треугольника.
Если – биссектриса, то по свойству биссектрис в треугольнике
Квадрат биссектрисы треугольника равен разности произведений сторон треугольника, заключающих биссектрису, и отрезков противоположной стороны, на которые она разделена биссектрисой.
В данной работе получены следующие результаты:
сформулированы и доказаны две теоремы косинусов для четырехугольника;
с использованием доказанной теоремы доказана теорема Птолемея;
доказана теорема Стюарта;
получены два следствия из теоремы Стюарта: формула длины медианы и формула длины биссектрисы;
приведен пример использования теоремы косинусов для четырехугольника при решении задач.
Атанасян Л.С. ГЕОМЕТРИЯ. 7-9 кл. Москва, Издательство «Просвещение», 2006г.
Атанасян Л.С. ГЕОМЕТРИЯ. 10-11 кл. Москва, Издательство «Просвещение», 2006г.
Понарин Я.П. Элементарная геометрия в 3-х томах. Том 1. Планиметрия, преобразования плоскости. Москва, Издательство МЦНМО, 2004г.
Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов https://school-collection.edu.ru
«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
- Сейчас обучается 967 человек из 79 регионов
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
- Сейчас обучается 338 человек из 71 региона
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
- Сейчас обучается 691 человек из 75 регионов
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
- Гришина Ирина ВладимировнаНаписать 1675 15.07.2017
Номер материала: ДБ-603154
-
15.07.2017 2165
-
15.07.2017 648
-
15.07.2017 386
-
15.07.2017 827
-
15.07.2017 571
-
15.07.2017 177
-
15.07.2017 770
Не нашли то, что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки
Время чтения: 11 минут
Во всех педвузах страны появятся технопарки
Время чтения: 1 минута
В Минпросвещения рассказали о формате обучения школьников после праздников
Время чтения: 1 минута
Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки
Время чтения: 11 минут
В России разработают рекомендации по сопровождению студентов с ОВЗ
Время чтения: 2 минуты
Минпросвещения готовит рекомендации по построению «идеальной школы»
Время чтения: 1 минута
Глава СПЧ предложил ввести подготовительные курсы перед обучением в школе для детей мигрантов
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
[spoiler title=”источники:”]
http://diary.ru/~eek/p220852004_kak-najti-ugly-mezhdu-diagonalyami-chetyryohugolnika.htm
http://infourok.ru/tvorcheskaya-rabota-uchaschegosya-teorema-kosinusov-dlya-chetiryohugolnika-2025162.html
[/spoiler]
Главная 
Учёба 
Найти углы параллелограмма зная длину сторон и диагональ
Найти углы параллелограмма зная длину сторон и диагональ
Введите стороны параллелограмма (a,b) и диагональ (d).
Формула расчёта углов параллелограмма зная длину сторон и диагональ:
cos(α)=(a2+b2-d2)/(2*a*b), β=(360-α*2)/2.
Косинус α равен, сторона (a) в квадрате, плюс сторона (b), в квадрате, и минус диагональ (d), в квадрате. Разделённое на сторону (a), умноженное на сторону (b) и умноженное на два. Угол β – вычитаем из 360 градусов угол α умноженный на два, всё это делим на два.
| Сторона параллелограмма (a) | ||
| Сторона параллелограмма (b) | ||
| Диагональ параллелограмма (d) |
Площадь параллелограмма
Периметр параллелограмма
Найти длину стороны параллелограмма зная диагональ и сторону
Вычислить высоту параллелограмма зная длину стороны и угол
Найти диагональ параллелограмма зная стороны и угол
Понравилась страница? Поделитесь ссылкой в социальных сетях. Поддержите проект!
Нет комментариев.
Оставить комментарий
Заполните все поля.
Ваше имя:
| Оценка |
Параллелограмм. Формулы, признаки и свойства параллелограмма
Определение.
Параллелограмм – это четырехугольник у которого противоположные стороны попарно параллельны (лежат на параллельных прямых).
Параллелограммы отличаются между собой как размером прилегающих сторон, так и углами, однако противоположные углы одинаковые.
Признаки параллелограмма
Четырехугольник ABCD будет параллелограммом, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:
1. Четырехугольник имеет две пары параллельных сторон:
AB||CD, BC||AD
2. Четырехугольник имеет пару параллельных и равных сторон:
AB||CD, AB = CD (или BC||AD, BC = AD)
3. В четырехугольнике противоположные стороны попарно равны:
AB = CD, BC = AD
4. В четырехугольнике противоположные углы попарно равны:
∠DAB = ∠BCD, ∠ABC = ∠CDA
5. В четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам:
AO = OC, BO = OD
6. Сумма углов четырехугольника прилегающих к любой стороне равна 180°:
∠ABC + ∠BCD = ∠BCD + ∠CDA = ∠CDA + ∠DAB = ∠DAB + ∠DAB = 180°
7. В четырехугольнике сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов его сторон:
AC2 + BD2 = AB2 + BC2 + CD2 + AD2
Основные свойства параллелограмма
Квадрат, прямоугольник и ромб – есть параллелограммом.
1. Противоположные стороны параллелограмма имеют одинаковую длину:
AB = CD, BC = AD
2. Противоположные стороны параллелограмма параллельны:
AB||CD, BC||AD
3. Противоположные углы параллелограмма одинаковые:
∠ABC = ∠CDA, ∠BCD = ∠DAB
4. Сумма углов параллелограмма равна 360°:
∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°
5. Сумма углов параллелограмма прилегающих к любой стороне равна 180°:
∠ABC + ∠BCD = ∠BCD + ∠CDA = ∠CDA + ∠DAB = ∠DAB + ∠DAB = 180°
6. Каждая диагональ делит параллелограмма на два равных треугольника
7. Две диагональ делят параллелограмм на две пары равных треугольников
8. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делят друг друга пополам:
| AO = CO = | d1 |
| 2 | |
| BO = DO = | d2 |
| 2 |
9. Точка пересечения диагоналей называется центром симметрии параллелограмма
10. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон:
AC2 + BD2 = 2AB2 + 2BC2
11. Биссектрисы противоположных углов параллелограмма всегда параллельны
12. Биссектрисы соседних углов параллелограмма всегда пересекаются под прямым углом (90°)
Стороны параллелограмма
Формулы определения длин сторон параллелограмма:
1. Формула сторон параллелограмма через диагонали и угол между ними:
a =
√d12 + d22 – 2d1d2·cosγ
2
=
√d12 + d22 + 2d1d2·cosδ
2
b =
√d12 + d22 + 2d1d2·cosγ
2
=
√d12 + d22 – 2d1d2·cosδ
2
2. Формула сторон параллелограмма через диагонали и другую сторону:
3. Формула сторон параллелограмма через высоту и синус угла:
4. Формула сторон параллелограмма через площадь и высоту:
Диагонали параллелограмма
Определение.
Диагональю параллелограмма называется любой отрезок соединяющий две вершины противоположных углов параллелограмма.
Параллелограмм имеет две диагонали – длинную d1, и короткую – d2
Формулы определения длины диагонали параллелограмма:
1. Формулы диагоналей параллелограмма через стороны и косинус угла β (по теореме косинусов)
d1 = √a2 + b2 – 2ab·cosβ
d2 = √a2 + b2 + 2ab·cosβ
2. Формулы диагоналей параллелограмма через стороны и косинус угла α (по теореме косинусов)
d1 = √a2 + b2 + 2ab·cosα
d2 = √a2 + b2 – 2ab·cosα
3. Формула диагонали параллелограмма через две стороны и известную другую диагональ:
d1 = √2a2 + 2b2 – d22
d2 = √2a2 + 2b2 – d12
4. Формула диагонали параллелограмма через площадь, известную диагональ и угол между диагоналями:
| d1 = | 2S | = | 2S |
| d2·sinγ | d2·sinδ |
| d2 = | 2S | = | 2S |
| d1·sinγ | d1·sinδ |
Периметр параллелограмма
Определение.
Периметром параллелограмма называется сумма длин всех сторон параллелограмма.
Формулы определения длины периметра параллелограмма:
1. Формула периметра параллелограмма через стороны параллелограмма:
P = 2a + 2b = 2(a + b)
2. Формула периметра параллелограмма через одну сторону и две диагонали:
P = 2a + √2d12 + 2d22 – 4a2
P = 2b + √2d12 + 2d22 – 4b2
3. Формула периметра параллелограмма через одну сторону, высоту и синус угла:
Площадь параллелограмма
Определение.
Площадью параллелограмма называется пространство ограниченный сторонами параллелограмма, т.е. в пределах периметра параллелограмма.
Формулы определения площади параллелограмма:
1. Формула площади параллелограмма через сторону и высоту, проведенную к этой стороне:
S = a · ha
S = b · hb
2. Формула площади параллелограмма через две стороны и синус угла между ними:
S = ab sinα
S = ab sinβ
3. Формула площади параллелограмма через две диагонали и синус угла между ними:
Здравствуйте, дорогие читатели. В этом выпуске разберемся, что нужно знать из 7 класса для легкого вычисления углов в параллелограмме и трапеции.
Как вы знаете, параллелограмм, прямоугольник, ромб и квадрат – это все параллелограммы. Параллелограмм – это четырехугольник у которого противоположные стороны попарно параллельны.
Трапеция – это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.
Значит для вычисления углов в параллелограмме и трапеции нам нужно вспомнить теоремы об углах, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей.
1) Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180 градусам.
Теперь применим это знание для решения задач из ОГЭ.
Задача №1
Для решения, воспользуемся свойством односторонних углов.
Для задания такого типа, можно мысленно продолжить стороны, у вас получится пересечение двух параллельных прямых секущей. Поэтому в данном случае воспользуемся тем, что сумма односторонних углов равна 180 градусов. Больший угол параллелограмма равен 180-61=119
Внимание!!! Будьте внимательны, в задании такого типа может быть написано, что нужно найти меньший угол. Меньший угол – это острый, больший угол – это тупой.
Точно также решается задача №2 с трапецией.
Меньший угол – это острый угол. Значит 180-131=49
Задача №3
Для решения такого типа задачи, нужно найти целый больший угол параллелограмма, он равен 70+35=105.
Найдем меньший угол параллелограмма – он острый, равен 180-105=75
2) Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.
Для этой теоремы подходят следующие задачи:
Задача №4
Решение:
Угол 1 и угол 2 накрест лежащие, значит они раны. Так как АЕ биссектриса, то угол 2 равен углу 3. Значит угол А равен 33+33=66
Задача №5
Решение:
Так как трапеция равнобедренная, то углы при основаниях равны. Значит нам достаточно найти чему равен угол А, тогда мы найдем угол ADC.
Так как накрест лежащие углы при пересечении двух параллельных прямых секущей, равны, то угол А равен 50+30=80, значит угол ADC равен 80
В следующем выпуске, поговорим о том, как найти углы в параллелограмме, где используются другие свойства и теоремы, такие как свойство равнобедренного треугольника, сумма углов треугольника, свойство диагоналей ромба.
Спасибо что дочитали. Вы меня очень поддержите, если поставите лайк и подпишитесь на мой блог.
