Как найти косинус угла зная стороны треугольника - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

В статье про прямоугольный треугольник посмотрели задачи связанные с синусами и косинусами из 1 части ОГЭ. Так что обязательно заглядывай.

Получается, что решить прямоугольный треугольник (найти все стороны и острые углы) можно довольно просто, зная всего лишь два элемента прямоугольного треугольника :две стороны (по теореме Пифагора) или сторону и острый угол (из определений синуса, косинуса, тангенса).

Но решить треугольник (найти все стороны и углы ) можно и произвольный, зная три элемента: три стороны, две стороны и угол, или два угла и сторону.

Для первых двух случаев в решении пользуются теоремой косинусов (вполне возможно эта тема вас поджидает уже на следующей неделе в школе, а может уже и была):

в любом треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих двух сторон на косинус угла между ними.

Если известны три стороны треугольника можно найти косинусы всех углов
Если известны две стороны и угол между ними треугольника, то можно найти третью сторону.

В этом случае полезно пользоваться таблицей значений косинусов некоторых углов :

Рассмотрим решение задачи №16 из сборника Ященко (36 вариантов) на теорему косинусов :

Изобразим треугольник АВС и найдем в нем противолежащую сторону для угла АВС.

Из рисунка видно, что противолежащая сторона – это сторона АС.

Для стороны АС записываем теорему косинусов:

Подставим значения всех сторон:

Переносим все “свободные” числа (меняя знак) в левую часть равенства и считаем:

Находим косинус угла АВС, как неизвестный множитель:

Записываем ответ:

Если вы знаете того, кто готовится к ОГЭ, не забудьте поделиться с ним этой информацией. Всегда пригодится.

Продолжение следует…

Не забудь нажать на пальчик вверх после прочтения и подписаться. За это отдельная благодарность

(✿◠‿◠)

Источник

Стандартные обозначения углов и сторон треугольника

Теорема косинусов — теорема евклидовой геометрии, обобщающая теорему Пифагора на произвольные плоские треугольники.

Формулировка[править | править код]

Для плоского треугольника со сторонами a,b,c и углом alpha , противолежащим стороне ,
справедливо соотношение:

${displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2cdot bcdot ccdot cos alpha .}$

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними^[1]

Доказательства[править | править код]

Классическое доказательство

Рассмотрим треугольник ABC. Из вершины C на сторону AB опущена высота CD. Из треугольника ADC следует:

откуда

Запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC:

$h^{2}=b^{2}-(bcos alpha )^{2}qquad qquad qquad (1)$

$h^{2}=a^{2}-(c-bcos alpha )^{2}qquad qquad (2)$

Приравниваем правые части уравнений (1) и (2) и:

$b^{2}-(bcos alpha )^{2}=a^{2}-(c-bcos alpha )^{2}$

или

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bccos alpha$

Случай, когда один из углов при основании тупой (и высота падает на продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному.

Выражения для сторон b и c:

$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2accos beta$

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2abcos gamma$

Доказательство через координаты

Одним из доказательств является доказательство её в координатной плоскости.

Внесём в координатную плоскость произвольный треугольник ABC так, чтобы точка А совпала с началом координат, а прямая АВ лежала на прямой ОХ. Введём обозначения AB=c, AC=b, CB=a, a угол CAB=α(пока будем считать что α≠90°).
Тогда точка A имеет координаты (0;0), точка B(c;0). Через функцию sin и cos, а также сторону АС=b выведем координаты точки С. С(b×cosα;b×sinα).
Координаты точки С остаются неизменными при тупом и остром угле α.
Зная координаты С и B, а также зная, что CB=a, найдя длину отрезка, мы можем составить равенство:
$a^{2}=(bcos {a}-c)^{2}+b^{2}sin ^{2}{a}$
$a^{2}=b^{2}cos ^{2}{a}-2bccos {a}+c^{2}+b^{2}sin ^{2}{a}$
$a^{2}=b^{2}(cos ^{2}{a}+sin ^{2}{a})+c^{2}-2bccos {a}$
Так как
$cos ^{2}{a}+sin ^{2}{a}=1$ (основное тригонометрическое тождество), то
$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bccos {a}$
Теорема доказана.
Для прямого угла α, теорема также работает cos90°=0 и a²=b²+с² – известная всем теорема Пифагора. Но так как в основе координатного метода лежит теорема Пифагора, то доказательство её через теорему косинусов не совсем правильно.

Доказательство через векторы

Ниже подразумеваются операции над векторами, а не длинами отрезков
${displaystyle AC=AB+BC=>BC=AC-AB=>BC^{2}=AC^{2}+AB^{2}-2cdot ACcdot AB}$

Так как скалярное произведение векторов равно произведению их модулей (длин) на косинус угла между ними, последнее выражение можно переписать:
${displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2cdot bcdot ccdot cos alpha }$
где a, b, c — длины соответствующих векторов

Следствия[править | править код]

Теорема косинусов может быть использована для нахождения косинуса угла треугольника

$cos {alpha }={frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}$

В частности,

Теорема косинусов может быть записана также в следующем виде^[2]:

$a^{2}=(b+c)^{2}-4cdot bcdot ccdot cos ^{2}(alpha /2)$

$a^{2}=(b-c)^{2}+4cdot bcdot ccdot sin ^{2}(alpha /2)$

Доказательство

Последние две формулы мгновенно следуют из основной формулы теоремы косинусов (см. в рамке выше), если в правой её части воспользоваться формулами разложения квадрата суммы (для второй формулы – квадрата разности) двух членов на квадратный трехчлен, являющийся полным квадратом. Для получения окончательного результата (двух формул выше) в правой части надо еще воспользоваться известными тригонометрическими формулами:

$1+cos alpha =2cdot cos ^{2}(alpha /2)$

$1-cos alpha =2cdot sin ^{2}(alpha /2)$

Кстати, вторая формула формально не содержит косинусов, но её все равно именуют теоремой косинусов.

Для других углов[править | править код]

Теорема косинусов для двух других углов имеет вид:

${displaystyle c^{2} =a^{2}+b^{2}-2abcos gamma }$

${displaystyle b^{2} =a^{2}+c^{2}-2accos beta }$

Из этих и из основной формулы могут быть выражены углы:

${displaystyle alpha =arccos left({frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}right)}$

${displaystyle beta =arccos left({frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}}right)}$

${displaystyle gamma =arccos left({frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}right)}$

История[править | править код]

Утверждения, обобщающие теорему Пифагора и эквивалентные теореме косинусов, были сформулированы отдельно для случаев острого и тупого угла в 12 и 13 предложениях II книги «Начал» Евклида.

Утверждения, эквивалентные теореме косинусов для сферического треугольника, применялись в сочинениях ал-Баттани.^[3]^:105
Теорему косинусов для сферического треугольника в привычном нам виде сформулировал Региомонтан, назвав её «теоремой Альбатегния» по имени ал-Баттани.

В Европе теорему косинусов популяризовал Франсуа Виет в XVI столетии.
В начале XIX столетия её стали записывать в принятых по сей день алгебраических обозначениях.

Вариации и обобщения[править | править код]

Теоремы косинусов (сферическая геометрия) или Теорема косинусов для трёхгранного угла.
Теоремы косинусов (геометрия Лобачевского)
Тождество параллелограмма. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон (см. также Теорема Птолемея):

$AC^{2}+BD^{2}=AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+DA^{2}.$

Для евклидовых нормированных пространств[править | править код]

Пусть в евклидовом пространстве задана норма, ассоциированная со скалярным произведением, то есть . Тогда теорема косинусов формулируется следующим образом:

Теорема.
$leftVert {vec {a}}-{vec {b}}rightVert ^{2}=leftVert {vec {a}}rightVert ^{2}+leftVert {vec {b}}rightVert ^{2}-2({vec {a}},{vec {b}})$

Для четырёхугольников[править | править код]

Возводя в квадрат тождество можно получить утверждение, иногда называемое теоремой косинусов для четырёхугольников:

$d^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2abcos angle B-2accos omega -2bccos angle C$

, где

— угол между прямыми AB и CD.

Или иначе:

$d^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2abcos angle B+2accos(angle A+angle D)-2bccos angle C$

Формула справедлива и для тетраэдра, под

подразумевается угол между скрещивающимися ребрами.

С помощью неё можно найти косинус угла между скрещивающимися ребрами

зная все ребра тетраэдра:

${displaystyle cos w=(b^{2}+d^{2}-e^{2}-f^{2})/2ac}$

Где

пары скрещивающихся ребер тетраэдра.

Косвенный аналог для четырёхугольника[править | править код]

Соотношение Бретшнайдера — соотношение в четырёхугольнике, косвенный аналог теоремы косинусов:

Между сторонами a, b, c, d и противоположными углами и диагоналями e, f простого (несамопересекающегося) четырёхугольника выполняется соотношение:

${displaystyle e^{2}f^{2}=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}-2abcdcos(alpha +gamma )}$

Если четырёхугольник вырождается в треугольник, и одна вершина попадает на сторону, то получается теорема Стюарта.
Теорема косинусов для треугольника является частным случаем соотношения Бретшнайдера, если в качестве четвёртой вершины выбрать центр описанной окружности треугольника.

Симплексы[править | править код]

${displaystyle S_{i}S_{j}cos angle A={frac {(-1)^{(n-1+i+j)}}{2^{n-1}((n-1)!)^{2}}}{begin{vmatrix}0&1&1&1&dots &1\1&0&d_{12}^{2}&d_{13}^{2}&dots &d_{1(n+1)}^{2}\1&d_{21}^{2}&0&d_{23}^{2}&dots &d_{2(n+1)}^{2}\1&d_{31}^{2}&d_{32}^{2}&0&dots &d_{3(n+1)}^{2}\vdots &vdots &vdots &vdots &ddots &vdots \1&d_{(n+1)1}^{2}&d_{(n+1)2}^{2}&d_{(n+1)3}^{2}&dots &0\end{vmatrix}}}$

при этом мы должны зачеркнуть строку и столбец, где находится $d_{ij}$ или $d_{ji}$ .

A — угол между гранями $S_{i}$ и $S_{j}$ , $S_{i}$ -грань, находящаяся против вершины i, $d_{ij}$ – расстояние между вершинами i и j.

См. также[править | править код]

Решение треугольников
Скалярное произведение
Соотношение Бретшнайдера
Теорема косинусов для трёхгранного угла
Теорема о проекциях
Теорема Пифагора
Сферическая теорема косинусов
Теорема котангенсов
Теорема синусов
Теорема тангенсов
Тригонометрические тождества
Тригонометрические функции

Примечания[править | править код]

↑ Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия 7—9: учеб. для общеобразоват. учреждений — 15-е изд. — М.: Просвещение, 2005. — С. 257. — 384 с.: ил. — ISBN 5-09-014398-6
↑ ¹ ² Корн Г. А., Корн Т. М. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: «Наука», 1974. — С. 51. — 832 с.
↑ Florian Cajori. A History of Mathematics — 5th edition 1991

Литература[править | править код]

Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 84—85. — ISBN 5-94057-170-0.

Источник

Для нахождения элементов в произвольном треугольнике используется теорема синусов или теорема косинусов.

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:

asinA=bsinB=csinC

(в решении задачи одновременно пишутся две части, они образуют пропорцию).

Теорема синусов используется для вычисления:

неизвестных сторон треугольника, если даны два угла и одна сторона;
неизвестных углов треугольника, если даны две стороны и один прилежащий угол.

Так как один из углов треугольника может быть тупым, значение синуса тупого угла находится по формуле приведения

sin180°−α=sinα

Наиболее часто используемые тупые углы:

sin120°=sin180°−60°=sin60°=32;sin150°=sin180°−30°=sin30°=12;sin135°=sin180°−45°=sin45°=22.

Радиус описанной окружности

asinA=bsinB=csinC=2R

, где (R) — радиус описанной окружности.

Выразив радиус, получаем

R=a2sinA

, или

R=b2sinB

, или

R=c2sinC

Для вычисления элементов прямоугольного треугольника достаточно (2) данных величин (две стороны или сторона и угол).

Для вычисления элементов произвольного треугольника необходимо хотя бы (3) данных величины.

Теорема косинусов

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

Также теорема исполняется для любой стороны треугольника:

Теорема косинусов используется для вычисления:

неизвестной стороны треугольника, если даны две стороны и угол между ними;
вычисления косинуса неизвестного угла треугольника, если даны все стороны треугольника.

Значение косинуса тупого угла находится по формуле приведения

cos180°−α=−cosα

Наиболее часто используемые тупые углы:

cos120°=cos180°−60°=−cos60°=−12;cos150°=cos180°−30°=−cos30°=−32;cos135°=cos180°−45°=−cos45°=−22.

Если необходимо найти приблизительное значение синуса или косинуса другого угла или вычислить угол по найденному синусу или косинусу, то используется таблица или калькулятор.

Источники:

Рис. 1-3. Треугольник, окружность, © ЯКласс.

Источник

Теорема косинусов и синусов

О чем эта статья:

Формулировка и доказательство теоремы косинусов

Для начала вспомним теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Формула Теоремы Пифагора:

a 2 > + b 2 > = c 2 >, где a, b — катеты, с — гипотенуза.

Теорема косинусов звучит так: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Формула теоремы косинусов:

a 2 = b 2 + c 2 – 2bc cos α

В доказательстве теоремы косинусов используем формулу длины отрезка в координатах. Рассмотрим данную формулу:

В доказательстве теоремы косинусов BC — это сторона треугольника АВС, которая обозначена буквой а. Введем удобную систему координат и найдем координаты нужных нам точек. У точки В координаты (с; 0).
Координаты точки С — (b cos α; b sin α) при α ∈ (0° ; 180°).

cos 2 α + sin 2 α = 1 — основное тригонометрическое тождество.

BC 2 = a 2 = (b cos α – c) 2 + b 2 sin 2 α = b 2 cos 2 α + b 2 sin 2 α – 2bc cos α + c 2 = b 2 (cos 2 α + sin 2 α) – 2bc cos α + c 2

Что и требовалось доказать.

Совет: чтобы быстрее разобраться в сложной теме, запишитесь на онлайн-курсы по математике для детей и подростков.

С помощью теоремы косинусов можно найти косинус угла треугольника:

Когда b 2 + c 2 – a 2 > 0, угол α будет острым.
Когда b 2 + c 2 – a 2 = 0, угол α будет прямым.
Когда b 2 + c 2 – a 2

Сформулируем еще одно доказательство теоремы косинусов.

Пусть нам дан треугольник ABC, в котором из вершины C на сторону AB опустили высоту CD. Это значит:

AD = b × cos α,
DB = c – b × cos α.

Запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC:

h 2 = b 2 – (b × cos α) 2
h 2 = a 2 – (c – b × cos α) 2

Приравниваем правые части уравнений:

b 2 – (b × cos α) 2 = a 2 – (c – b × cos α) 2

a 2 = b 2 + c 2 – 2bc × cos α

Если один из углов при основании тупой (высота упирается в продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному выше.

Определим стороны b и c:

b 2 = a 2 + c 2 – 2ac × cos β;
c 2 = a 2 + b 2 – 2ab × cos γ.

Формулировка теоремы для каждой из сторон треугольника

Теорема косинусов справедлива для всех сторон треугольника, то есть:

a 2 = b 2 + c 2 – 2bc cos α

b 2 = c 2 + a 2 – 2ca cos β

c 2 = a 2 + b 2 – 2ab cos γ

Теорема косинусов может быть использована для любого вида треугольника.

Косинусы углов треугольника

Теорема косинусов позволяет найти как косинус, так и угол треугольника. Найдём косинусы углов:

Определение угла с помощью косинуса

А теперь обратим внимание на углы.

Как мы уже знаем, косинус угла из промежутка (0°; 180°) определяет угол (в отличие от его синуса).

Пусть нам дана единичная полуокружность. Если нам задан cos α, то нам задана точка на верхней полуокружности и задан угол α. Следовательно, cos α однозначно определяет точку М(cos α; sin α), и однозначно определяется угол ∠AOM.

Рассмотрение пределов изменения cos α и sin α

Рассмотрим пределы изменения синуса и косинуса α. Вспомним, что если α — угол треугольника, то он лежит в пределах от 0° до 180°.

Предел изменения косинуса: -1 0, то α ∈ (0°;90°)
Если cos α

Примеры решения задач

При помощи теоремы косинусов можно решать задачки по геометрии. Рассмотрим интересные случаи.

Пример 1. Дан треугольник АВС. Найти длину СМ.

∠C = 90°, АВ = 9, ВС = 3, AM/MB = 1/2, где М — точка на гипотенузе АВ.

Из треугольника СМВ по теореме косинусов найдём СМ:

Пример 2. Дан треугольник АВС, в котором a2+ b22 + b 2 2 , то cos C 2 = a 2 + b 2 , то ∠C = 90°.

Если c 2 2 + b 2 , то ∠C — острый.

Теорема косинусов

Страница содержит полную информацию о теореме косинусов, а также калькулятор, с помощью которого можно найти стороны и угол треугольника и формулу теоремы косинусов.

Теорема косинусов обобщает теорему Пифагора на произвольные плоские треугольники и устанавливает соотношение между сторонами треугольника и его углами.

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Нахождение углов треугольника по заданным сторонам

Нахождение углов треугольника по заданным сторонам с использованием теоремы косинусов.

От нашего пользователя поступил запрос на создание калькулятора, рассчитывающего углы треугольника по заданным сторонам — Расчет углов треугольника.

Для треугольника, в отличие от, скажем, четырехугольника, эта задача имеет решение, ибо треугольник можно однозначно определить по трем сторонам (а также по двум сторонам и углу между ними, и по стороне и двум прилежащим углам).

Стороны в треугольнике, кстати сказать, должны следовать неравенству треугольника, то есть, сумма любых двух сторон должна быть больше третьей стороны.
Математически (см. рисунок) это выражается системой
c” />
a” />
b” />

В случае невыполнения хотя бы одного из условий треугольник называют вырожденным. Собственно, это и не треугольник уже.

Идем дальше — при известных сторонах углы проще всего определить, пользуясь теоремой косинусов, частным случаем которой является теорема Пифагора (см. рисунок)

Калькулятор ниже рассчитывает углы по введенным длинам сторон. Если треугольник вырожденный, то в результате будут нули.

[spoiler title=”источники:”]

http://mnogoformul.ru/teorema-kosinusov

http://planetcalc.ru/534/

[/spoiler]

Источник

Как находить косинус в треугольнике

Нередко в геометрических (тригонометрических) задачах требуется найти косинус угла в треугольнике, потому что косинус угла позволяет однозначно определить величину самого угла.

Инструкция

Чтобы найти косинус угла в треугольнике, длины сторон которого известны, можно воспользоваться теоремой косинусов. Согласно этой теореме, квадрат длины стороны произвольного треугольника равняется сумме квадратов двух его других сторон без удвоенного произведения длин этих сторон на косинус угла между ними:

а?=b?+c?-2*b*c*соs?, где:

а, b, с – стороны треугольника (точнее их длины),

? – угол, противоположный стороне а (его величина).

Из приведенного равенства легко находится соs?:

соs?=( b?+c?-а? )/(2*b*c)

Пример 1.

Имеется треугольник со сторонами а, b, с, равными 3, 4, 5 мм, соответственно.

Найти косинус угла, заключенного между большими сторонами.

Решение:

По условию задачи имеем:

а=3,

b=4,

с=5.

Обозначим противоположный стороне а угол через ?, тогда, согласно выведенной выше формуле, имеем:

соs?=(b?+c?-а? )/(2*b*c)=(4?+5?-3?)/(2*4*5)=(16+25-9)/40=32/40=0,8

Ответ: 0,8.

Если треугольник прямоугольный, то для нахождения косинуса угла достаточно знать длины всего двух любых сторон (косинус прямого угла равен 0).

Пусть имеется прямоугольный треугольник со сторонами а, b, с, где с – гипотенуза.

Рассмотрим все варианты:

Пример 2.

Найти соs?, если известны длины сторон а и b (катеты треугольника)

Воспользуемся дополнительно теоремой Пифагора:

c?=b?+а?,

с=v(b?+а?)

соs?=(b?+c?-а? )/(2*b*c)=(b?+b?+а?-а?)/(2*b*v(b?+а?))=(2*b?)/(2*b*v(b?+а?))=b/v(b?+а?)

Чтобы проверить правильность полученной формулы, подставим в нее значения из примера 1, т.е.

а=3,

b=4.

Проделав элементарные вычисления, получаем:

соs?=0,8.

Аналогично находится косинус в прямоугольном треугольнике в остальных случаях:

Пример 3.

Известны а и с (гипотенуза и противолежащий катет), найти соs?

b?=с?-а?,

b=v(c?-а?)

соs?=(b?+c?-а? )/(2*b*c)=(с?-а?+с?-а?)/(2*с*v(с?-а?))=(2*с?-2*а?)/(2*с*v(с?-а?))=v(с?-а?)/с.

Подставляя значения а=3 и с=5 из первого примера, получаем:

соs?=0,8.

Пример 4.

Известны b и с (гипотенуза и прилежащий катет).

Найти соs?

Произведя аналогичные (показанные в примерах 2 и 3 преобразования), получим, что в этом случае косинус в треугольнике вычисляется по очень простой формуле:

соs?=b/с.

Простота выведенной формулы объясняется элементарно: фактически, прилежащий к углу ? катет является проекцией гипотенузы, поэтому его длина равна длине гипотенузы, умноженной на соs?.

Подставляя значения b=4 и с=5 из первого примера, получим:

соs?=0,8

Значит, все наши формулы верны.

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Источник

Продолжение следует…

Не забудь нажать на пальчик вверх после прочтения и подписаться. За это отдельная благодарность

(✿◠‿◠)

Формулировка[править | править код]

Доказательства[править | править код]

Следствия[править | править код]

Для других углов[править | править код]

История[править | править код]

Вариации и обобщения[править | править код]

Для евклидовых нормированных пространств[править | править код]

Для четырёхугольников[править | править код]

Косвенный аналог для четырёхугольника[править | править код]

Симплексы[править | править код]

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Теорема косинусов и синусов

Формулировка и доказательство теоремы косинусов

Формулировка теоремы для каждой из сторон треугольника

Косинусы углов треугольника

Определение угла с помощью косинуса

Рассмотрение пределов изменения cos α и sin α

Примеры решения задач

Теорема косинусов

Нахождение углов треугольника по заданным сторонам

Как находить косинус в треугольнике

Вам также может понравиться

Как найти бесплатные музыкальные открытки

Как найти похожие файлы в папке

Как найти свой дом samp rp

Добавить комментарий Отменить ответ