Как найти косинус в треуг - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Стандартные обозначения углов и сторон треугольника

Теорема косинусов — теорема евклидовой геометрии, обобщающая теорему Пифагора на произвольные плоские треугольники.

Формулировка[править | править код]

Для плоского треугольника со сторонами a,b,c и углом alpha , противолежащим стороне ,
справедливо соотношение:

${displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2cdot bcdot ccdot cos alpha .}$

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними^[1]

Доказательства[править | править код]

Классическое доказательство

Рассмотрим треугольник ABC. Из вершины C на сторону AB опущена высота CD. Из треугольника ADC следует:

откуда

Запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC:

$h^{2}=b^{2}-(bcos alpha )^{2}qquad qquad qquad (1)$

$h^{2}=a^{2}-(c-bcos alpha )^{2}qquad qquad (2)$

Приравниваем правые части уравнений (1) и (2) и:

$b^{2}-(bcos alpha )^{2}=a^{2}-(c-bcos alpha )^{2}$

или

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bccos alpha$

Случай, когда один из углов при основании тупой (и высота падает на продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному.

Выражения для сторон b и c:

$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2accos beta$

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2abcos gamma$

Доказательство через координаты

Одним из доказательств является доказательство её в координатной плоскости.

Внесём в координатную плоскость произвольный треугольник ABC так, чтобы точка А совпала с началом координат, а прямая АВ лежала на прямой ОХ. Введём обозначения AB=c, AC=b, CB=a, a угол CAB=α(пока будем считать что α≠90°).
Тогда точка A имеет координаты (0;0), точка B(c;0). Через функцию sin и cos, а также сторону АС=b выведем координаты точки С. С(b×cosα;b×sinα).
Координаты точки С остаются неизменными при тупом и остром угле α.
Зная координаты С и B, а также зная, что CB=a, найдя длину отрезка, мы можем составить равенство:
$a^{2}=(bcos {a}-c)^{2}+b^{2}sin ^{2}{a}$
$a^{2}=b^{2}cos ^{2}{a}-2bccos {a}+c^{2}+b^{2}sin ^{2}{a}$
$a^{2}=b^{2}(cos ^{2}{a}+sin ^{2}{a})+c^{2}-2bccos {a}$
Так как
$cos ^{2}{a}+sin ^{2}{a}=1$ (основное тригонометрическое тождество), то
$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bccos {a}$
Теорема доказана.
Для прямого угла α, теорема также работает cos90°=0 и a²=b²+с² – известная всем теорема Пифагора. Но так как в основе координатного метода лежит теорема Пифагора, то доказательство её через теорему косинусов не совсем правильно.

Доказательство через векторы

Ниже подразумеваются операции над векторами, а не длинами отрезков
${displaystyle AC=AB+BC=>BC=AC-AB=>BC^{2}=AC^{2}+AB^{2}-2cdot ACcdot AB}$

Так как скалярное произведение векторов равно произведению их модулей (длин) на косинус угла между ними, последнее выражение можно переписать:
${displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2cdot bcdot ccdot cos alpha }$
где a, b, c — длины соответствующих векторов

Следствия[править | править код]

Теорема косинусов может быть использована для нахождения косинуса угла треугольника

$cos {alpha }={frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}$

В частности,

Теорема косинусов может быть записана также в следующем виде^[2]:

$a^{2}=(b+c)^{2}-4cdot bcdot ccdot cos ^{2}(alpha /2)$

$a^{2}=(b-c)^{2}+4cdot bcdot ccdot sin ^{2}(alpha /2)$

Доказательство

Последние две формулы мгновенно следуют из основной формулы теоремы косинусов (см. в рамке выше), если в правой её части воспользоваться формулами разложения квадрата суммы (для второй формулы – квадрата разности) двух членов на квадратный трехчлен, являющийся полным квадратом. Для получения окончательного результата (двух формул выше) в правой части надо еще воспользоваться известными тригонометрическими формулами:

$1+cos alpha =2cdot cos ^{2}(alpha /2)$

$1-cos alpha =2cdot sin ^{2}(alpha /2)$

Кстати, вторая формула формально не содержит косинусов, но её все равно именуют теоремой косинусов.

Для других углов[править | править код]

Теорема косинусов для двух других углов имеет вид:

${displaystyle c^{2} =a^{2}+b^{2}-2abcos gamma }$

${displaystyle b^{2} =a^{2}+c^{2}-2accos beta }$

Из этих и из основной формулы могут быть выражены углы:

${displaystyle alpha =arccos left({frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}right)}$

${displaystyle beta =arccos left({frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}}right)}$

${displaystyle gamma =arccos left({frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}right)}$

История[править | править код]

Утверждения, обобщающие теорему Пифагора и эквивалентные теореме косинусов, были сформулированы отдельно для случаев острого и тупого угла в 12 и 13 предложениях II книги «Начал» Евклида.

Утверждения, эквивалентные теореме косинусов для сферического треугольника, применялись в сочинениях ал-Баттани.^[3]^:105
Теорему косинусов для сферического треугольника в привычном нам виде сформулировал Региомонтан, назвав её «теоремой Альбатегния» по имени ал-Баттани.

В Европе теорему косинусов популяризовал Франсуа Виет в XVI столетии.
В начале XIX столетия её стали записывать в принятых по сей день алгебраических обозначениях.

Вариации и обобщения[править | править код]

Теоремы косинусов (сферическая геометрия) или Теорема косинусов для трёхгранного угла.
Теоремы косинусов (геометрия Лобачевского)
Тождество параллелограмма. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон (см. также Теорема Птолемея):

$AC^{2}+BD^{2}=AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+DA^{2}.$

Для евклидовых нормированных пространств[править | править код]

Пусть в евклидовом пространстве задана норма, ассоциированная со скалярным произведением, то есть . Тогда теорема косинусов формулируется следующим образом:

Теорема.
$leftVert {vec {a}}-{vec {b}}rightVert ^{2}=leftVert {vec {a}}rightVert ^{2}+leftVert {vec {b}}rightVert ^{2}-2({vec {a}},{vec {b}})$

Для четырёхугольников[править | править код]

Возводя в квадрат тождество можно получить утверждение, иногда называемое теоремой косинусов для четырёхугольников:

$d^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2abcos angle B-2accos omega -2bccos angle C$

, где

— угол между прямыми AB и CD.

Или иначе:

$d^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2abcos angle B+2accos(angle A+angle D)-2bccos angle C$

Формула справедлива и для тетраэдра, под

подразумевается угол между скрещивающимися ребрами.

С помощью неё можно найти косинус угла между скрещивающимися ребрами

зная все ребра тетраэдра:

${displaystyle cos w=(b^{2}+d^{2}-e^{2}-f^{2})/2ac}$

Где

пары скрещивающихся ребер тетраэдра.

Косвенный аналог для четырёхугольника[править | править код]

Соотношение Бретшнайдера — соотношение в четырёхугольнике, косвенный аналог теоремы косинусов:

Между сторонами a, b, c, d и противоположными углами и диагоналями e, f простого (несамопересекающегося) четырёхугольника выполняется соотношение:

${displaystyle e^{2}f^{2}=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}-2abcdcos(alpha +gamma )}$

Если четырёхугольник вырождается в треугольник, и одна вершина попадает на сторону, то получается теорема Стюарта.
Теорема косинусов для треугольника является частным случаем соотношения Бретшнайдера, если в качестве четвёртой вершины выбрать центр описанной окружности треугольника.

Симплексы[править | править код]

${displaystyle S_{i}S_{j}cos angle A={frac {(-1)^{(n-1+i+j)}}{2^{n-1}((n-1)!)^{2}}}{begin{vmatrix}0&1&1&1&dots &1\1&0&d_{12}^{2}&d_{13}^{2}&dots &d_{1(n+1)}^{2}\1&d_{21}^{2}&0&d_{23}^{2}&dots &d_{2(n+1)}^{2}\1&d_{31}^{2}&d_{32}^{2}&0&dots &d_{3(n+1)}^{2}\vdots &vdots &vdots &vdots &ddots &vdots \1&d_{(n+1)1}^{2}&d_{(n+1)2}^{2}&d_{(n+1)3}^{2}&dots &0\end{vmatrix}}}$

при этом мы должны зачеркнуть строку и столбец, где находится $d_{ij}$ или $d_{ji}$ .

A — угол между гранями $S_{i}$ и $S_{j}$ , $S_{i}$ -грань, находящаяся против вершины i, $d_{ij}$ – расстояние между вершинами i и j.

См. также[править | править код]

Решение треугольников
Скалярное произведение
Соотношение Бретшнайдера
Теорема косинусов для трёхгранного угла
Теорема о проекциях
Теорема Пифагора
Сферическая теорема косинусов
Теорема котангенсов
Теорема синусов
Теорема тангенсов
Тригонометрические тождества
Тригонометрические функции

Примечания[править | править код]

↑ Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия 7—9: учеб. для общеобразоват. учреждений — 15-е изд. — М.: Просвещение, 2005. — С. 257. — 384 с.: ил. — ISBN 5-09-014398-6
↑ ¹ ² Корн Г. А., Корн Т. М. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: «Наука», 1974. — С. 51. — 832 с.
↑ Florian Cajori. A History of Mathematics — 5th edition 1991

Литература[править | править код]

Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 84—85. — ISBN 5-94057-170-0.

Источник

В статье про прямоугольный треугольник посмотрели задачи связанные с синусами и косинусами из 1 части ОГЭ. Так что обязательно заглядывай.

Получается, что решить прямоугольный треугольник (найти все стороны и острые углы) можно довольно просто, зная всего лишь два элемента прямоугольного треугольника :две стороны (по теореме Пифагора) или сторону и острый угол (из определений синуса, косинуса, тангенса).

Но решить треугольник (найти все стороны и углы ) можно и произвольный, зная три элемента: три стороны, две стороны и угол, или два угла и сторону.

Для первых двух случаев в решении пользуются теоремой косинусов (вполне возможно эта тема вас поджидает уже на следующей неделе в школе, а может уже и была):

в любом треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих двух сторон на косинус угла между ними.

Если известны три стороны треугольника можно найти косинусы всех углов
Если известны две стороны и угол между ними треугольника, то можно найти третью сторону.

В этом случае полезно пользоваться таблицей значений косинусов некоторых углов :

Рассмотрим решение задачи №16 из сборника Ященко (36 вариантов) на теорему косинусов :

Изобразим треугольник АВС и найдем в нем противолежащую сторону для угла АВС.

Из рисунка видно, что противолежащая сторона – это сторона АС.

Для стороны АС записываем теорему косинусов:

Подставим значения всех сторон:

Переносим все “свободные” числа (меняя знак) в левую часть равенства и считаем:

Находим косинус угла АВС, как неизвестный множитель:

Записываем ответ:

Если вы знаете того, кто готовится к ОГЭ, не забудьте поделиться с ним этой информацией. Всегда пригодится.

Продолжение следует…

Не забудь нажать на пальчик вверх после прочтения и подписаться. За это отдельная благодарность

(✿◠‿◠)

Источник

Что такое косинус в треугольнике? Как найти косинус острого угла в прямоугольном треугольнике?

Определение

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Например, для угла A треугольника ABC

прилежащий катет — это AC.

Соответственно, косинус угла A в треугольнике ABC — это

$[cos angle A = frac{{AC}}{{AB}}]$

Для угла B треугольника ABC

прилежащим является катет BC.

Соответственно, косинус угла B в треугольнике ABC

равен отношению BC к AB:

$[cos angle B = frac{{BC}}{{AB}}]$

Таким образом, косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — это некоторое число, получаемое в результате деления длины прилежащего катета на длину гипотенузы.

Длины отрезков — положительные числа, поэтому косинус острого угла прямоугольного треугольника также является положительным числом.

Поскольку длина катета всегда меньше длины гипотенузы, то косинус острого угла прямоугольного треугольника — число, меньшее единицы.

Вывод:

Косинус любого острого угла прямоугольного треугольника больше нуля, но меньше единицы:

Косинус зависит от величины угла.

Если в треугольнике изменить длины сторон, но не изменять угол, значение косинуса этого угла не изменится.

Например,

в треугольниках ABC и FPK

∠A=60º, ∠F=60º.

$[cos angle A = frac{{AC}}{{AB}} = frac{9}{{18}} = frac{1}{2},]$

$[cos angle F = frac{{KF}}{{FP}} = frac{6}{{12}} = frac{1}{2}.]$

Косинус угла в произвольном (не прямоугольном треугольнике) определяется через теорему косинусов. О том, как это делать, мы будем говорить позже.

Источник

Определение косинуса угла

Косинусом угла в прямоугольном треугольнике называют отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Для простоты запоминания можно дать такое определение: косинус угла — это отношение ближнего от рассматриваемого угла катета к гипотенузе.

В случае с рисунком, описанным выше: cos⁡α=bccosalpha=frac{b}{c}

Задача 1

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см10text{ см}. Один из катетов равен 6 см6text{ см}. Найдите косинус угла, прилежащего к наибольшему катету.

Решение

Пользуясь теоремой Пифагора вычислим длину неизвестного нам катета.

a2+b2=c2a^2+b^2=c^2

62+b2=1026^2+b^2=10^2

36+b2=10036+b^2=100

b2=64b^2=64

b=8b=8

Катет bb длиннее катета aa. Нам нужно найти косинус угла, прилежащего к наибольшему катету, то есть, к катету bb:

cos⁡α=bc=810=0.8cosalpha=frac{b}{c}=frac{8}{10}=0.8

Ответ

0.8

Задача 2

Две стороны треугольника равны 4 см4text{ см} и 9 см9text{ см}. Периметр его равен 25 см25text{ см}.
Найдите косинус угла, прилежащего к неизвестной стороне и стороне с длиной 4 см4text{ см}.

Решение

Найдем третью сторону треугольника. Так как известен периметр, это будет легко сделать:

P=a+b+cP=a+b+c

25=9+4+c25=9+4+c

c=12c=12

При нахождении косинуса угла нам поможет следствие из теоремы косинусов, которое выглядит так:

cos⁡α=b2+c2−a22⋅b⋅c=42+122−922⋅4⋅12=16+144−8196=7996≈0.82cosalpha=frac{b^2+c^2-a^2}{2cdot bcdot c}=frac{4^2+12^2-9^2}{2cdot 4cdot 12}=frac{16+144-81}{96}=frac{79}{96}approx0.82

Ответ

0.820.82

Решение задач по математике от экспертов сайта Студворк!

Тест по теме “Вычисление косинуса”

Источник

Чтобы найти синус и косинус угла в прямоугольном треугольнике, нужно вспомнить определения. Синус угла равен отношению противоположного катета к гипотенузе. Косинус угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.

Прямоугольный треугольник

Если у нас есть треугольник (ABC), рисунок выше, для которого (С)– прямой угол, то сторонами (BC) и (AC) будут катеты, а сторона (AB) – гипотенуза. Следовательно, по определению, синус угла (ABC) равен отношению катета (АС) к гипотенузе: синус угла (ABC=frac{AC}{AB}) и синус угла (BAC=frac{BC}{AB}).

косинус угла (ABC=frac{BC}{AB}) и косинус угла (BAC=frac{AC}{AB}).

Чаще всего известно лишь часть данных, например катет и угол, нужно выразить неизвестную величину. Подумайте, как это сделать.

Пример 1.

Вычислим синус по двум катетам.

Берем тот же треугольник (ACB) с прямым углом (С) в котором мы знаем катеты: (BC = 3), (AC = 4). Для вычисления синуса угла с необходимо разделить катет на гипотенузу: (sin ∠BAC = frac{BC} { AB}).

Гипотенузу вычислим из теоремы Пифагора: (AC^2+BC^2=AB^2) (9+16=25) (AB=5) откуда синус равен:

(sin ∠ BAC = frac{3}{5})

Пример 2

. Вычислим синус угла (ABC) по углу( BAC ) 30° градусов в прямоугольном треугольнике (ACB).

Самое главное помнить, что сумма всех углов в треугольнике равна 180 °.Найдем угол (ABC):

(180)° (-30)° (-90)°(=60)°.

(sin) (60)° возьмем из табличного значения: (frac{ sqrt{3}} { 2})

Табличные значения (sin) и (cos):

Табличные значения синуса и косинуса

Чтобы лучше понимать значения табличные значения синуса и косинуса представим их на координатной окружности: где ось ординат ((y)) линия синуса, ось абсцисс ((x)) – линия косинуса. Если вы забыли значения синуса и косинуса (90) и (180) можно нарисовать рисунок и посмотреть значения, не забывая, что на первом месте стоит (x), на втором (y) ((x,y));

координатная окружность

Теорема синусов:

Теорема синусов

Теорема косинусов:

Теорема косинусов

Больше уроков и заданий по всем школьным предметам в онлайн-школе “Альфа”. Запишитесь на пробное занятие прямо сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Источник

Формулировка[править | править код]

Доказательства[править | править код]

Следствия[править | править код]

Для других углов[править | править код]

История[править | править код]

Вариации и обобщения[править | править код]

Для евклидовых нормированных пространств[править | править код]

Для четырёхугольников[править | править код]

Косвенный аналог для четырёхугольника[править | править код]

Симплексы[править | править код]

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Продолжение следует…

Не забудь нажать на пальчик вверх после прочтения и подписаться. За это отдельная благодарность

(✿◠‿◠)

Тест по теме “Вычисление косинуса”

Вам также может понравиться

Как найти человека по internet

Магия как найти предмет

Postgresql как найти подстроку в строке

Добавить комментарий Отменить ответ