Уважаемые студенты!
Заказать решение задач по 200+ предметам можно здесь всего за 10 минут.
Косинус угла между векторами
Формула
Чтобы найти косинус угла между векторами нужно найти отношение скалярного произведения векторов и произведение их длин (модулей). Если векторы заданы на плоскости двумя координатами $ overline{a}=(x_1;y_1) $ и $ overline{b}=(x_2;y_2) $, то косинус угла между ними вычисляется по формуле:
$$ cos phi = frac{(overline{a},overline{b})}{|overline{a}|cdot |overline{b}|} = frac{x_1 x_2 + y_1 y_2}{sqrt{x_1 ^2 + y_1 ^2}cdot sqrt{x_2 ^2 + y_2 ^2}} $$
Если векторы будут заданы тремя координатами $ overline{a}=(x_1;y_1;z_1) $ и $ overline{b}=(x_2;y_2;z_2) $, то есть в пространстве, то нахождение косинуса угла между векторами нужно выполнить по формуле:
$$ cos phi = frac{(overline{a},overline{b})}{|overline{a}|cdot |overline{b}|} = frac{x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2}{sqrt{x_1 ^2 + y_1 ^2 +z_1 ^2}cdot sqrt{x_2 ^2 + y_2 ^2 + z_2 ^2}} $$
В числителе находится скалярное произведение векторов, то есть каждая координата умножается на соответствующую координату другого вектора и при этом находится сумма всех произведений. А в знаменателе расположено произведение модулей векторов. Каждый модуль равен извлеченному квадратному корню из суммы квадратов координат вектора.
Примеры решений
Пример |
Даны два вектора $ overline{a} =(3;1) $ и $ overline{b} = (2;4) $. Требуется найти косинус угла между векторами. |
Решение |
Напомним как найти косинус угла между векторами. Необходимо определить на плоскости или в пространстве находятся векторы, то есть сколько у них координат. Затем воспользоваться подходящей формулой. Первым делом вычисляем скалярное произведение: каждую координату одного вектора умножаем на соответствующую координату другого вектора, а потом суммируем произведения: $$ (overline{a},overline{b}) = 3cdot 2 + 1 cdot 4 = 6+4=10 $$ Далее находим чему равны модули каждого из векторов: $$ |overline{a}|=sqrt{3^2+1^2} = sqrt{10} $$ $$ |overline{b}|=sqrt{2^2+4^2} = sqrt{4+16} = sqrt{20} $$ Теперь можно найти косинус угла между векторами подставив найденные значения в первую формулу: $$ cos phi = frac{(overline{a},overline{b})}{|overline{a}|cdot |overline{b}|} = frac{10}{sqrt{10}cdot sqrt{20}} = $$ $$ = frac{10}{sqrt{200}} = frac{1}{sqrt{2}} = frac{sqrt{2}}{2} $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
Ответ |
$$ cos phi = frac{sqrt{2}}{2} $$ |
Длина вектора, угол между векторами – эти понятия являются естественно-применимыми и интуитивно понятными при определении вектора как отрезка определенного направления. Ниже научимся определять угол между векторами в трехмерном пространстве, его косинус и рассмотрим теорию на примерах.
Для рассмотрения понятия угла между векторами обратимся к графической иллюстрации: зададим на плоскости или в трехмерном пространстве два вектора a→ и b→ , являющиеся ненулевыми. Зададим также произвольную точку O и отложим от нее векторы OA→=b→ и OB→=b→
Углом между векторами a→ и b→ называется угол между лучами ОА и ОВ.
Полученный угол будем обозначать следующим образом: a→,b→^
Очевидно, что угол имеет возможность принимать значения от 0 до π или от 0 до 180 градусов.
a→,b→^=0, когда векторы являются сонаправленными и a→,b→^=π , когда векторы противоположнонаправлены.
Векторы называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусов или π2 радиан.
Если хотя бы один из векторов является нулевым, то угол a→,b→^ не определен.
Нахождение угла между векторами
Косинус угла между двумя векторами, а значит и собственно угол, обычно может быть определен или при помощи скалярного произведения векторов, или посредством теоремы косинусов для треугольника, построенного на основе двух данных векторов.
Согласно определению скалярное произведение есть a→, b→=a→·b→·cosa→,b→^.
Если заданные векторы a→ и b→ ненулевые, то можем разделить правую и левую части равенства на произведение длин этих векторов, получая, таким образом, формулу для нахождения косинуса угла между ненулевыми векторами:
cosa→,b→^=a→,b→a→·b→
Данная формула используется, когда в числе исходных данных есть длины векторов и их скалярное произведение.
Исходные данные: векторы a→ и b→ . Длины их равны 3 и 6 соответственно, а их скалярное произведение равно -9. Необходимо вычислить косинус угла между векторами и найти сам угол.
Решение
Исходных данных достаточно, чтобы применить полученную выше формулу, тогда cosa→,b→^=-93·6=-12 ,
Теперь определим угол между векторами: a→,b→^=arccos (-12)=3π4
Ответ: cosa→,b→^=-12, a→,b→^=3π4
Чаще встречаются задачи, где векторы задаются координатами в прямоугольной системе координат. Для таких случаев необходимо вывести ту же формулу, но в координатной форме.
Длина вектора определяется как корень квадратный из суммы квадратов его координат, а скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат. Тогда формула для нахождения косинуса угла между векторами на плоскости a→=(ax, ay), b→=(bx, by) выглядит так:
cosa→,b→^=ax·bx+ay·byax2+ay2·bx2+by2
А формула для нахождения косинуса угла между векторами в трехмерном пространстве a→=(ax, ay, az), b→=(bx, by, bz) будет иметь вид: cosa→,b→^=ax·bx+ay·by+az·bzax2+ay2+az2·bx2+by2+bz2
Исходные данные: векторы a→=(2, 0, -1), b→=(1, 2, 3) в прямоугольной системе координат. Необходимо определить угол между ними.
Решение
- Для решения задачи можем сразу применить формулу:
cosa→,b→^=2·1+0·2+(-1)·322+02+(-1)2·12+22+32=-170⇒a→,b→^=arccos(-170)=-arccos170
- Также можно определить угол по формуле:
cosa→,b→^=(a→, b→)a→·b→,
но предварительно рассчитать длины векторов и скалярное произведение по координатам: a→=22+02+(-1)2=5b→=12+22+32=14a→,b→^=2·1+0·2+(-1)·3=-1cosa→,b→^=a→,b→^a→·b→=-15·14=-170⇒a→,b→^=-arccos170
Ответ: a→,b→^=-arccos170
Также распространены задачи, когда заданы координаты трех точек в прямоугольной системе координат и необходимо определить какой-нибудь угол. И тогда, для того, чтобы определить угол между векторами с заданными координатами точек, необходимо вычислить координаты векторов в виде разности соответствующих точек начала и конца вектора.
Исходные данные: на плоскости в прямоугольной системе координат заданы точки A(2, -1), B(3, 2), C(7, -2). Необходимо определить косинус угла между векторами AC→ и BC→.
Решение
Найдем координаты векторов по координатам заданных точек AC→=(7-2, -2-(-1))=(5, -1)BC→=(7-3, -2-2)=(4, -4)
Теперь используем формулу для определения косинуса угла между векторами на плоскости в координатах: cosAC→, BC→^=(AC→, BC→)AC→·BC→=5·4+(-1)·(-4)52+(-1)2·42+(-4)2=2426·32=313
Ответ: cosAC→, BC→^=313
Угол между векторами можно определить по теореме косинусов. Отложим от точки O векторы OA→=a→ и OB→=b→ , тогда, согласно теореме косинусов в треугольнике ОАВ, будет верным равенство:
AB2=OA2+OB2-2·OA·OB·cos(∠AOB) ,
что равносильно:
b→-a→2=a→+b→-2·a→·b→·cos(a→, b→)^
и отсюда выведем формулу косинуса угла:
cos(a→, b→)^=12·a→2+b→2-b→-a→2a→·b→
Для применения полученной формулы нам нужны длины векторов, которые несложно определяются по их координатам.
Хотя указанный способ имеет место быть, все же чаще применяют формулу:
cos(a→, b→)^=a→, b→a→·b→
Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта
Содержание:
- Формула
- Примеры вычисления косинуса угла между векторами
Формула
Чтобы найти косинус угла между векторами нужно,
скалярное произведение этих векторов
разделить на произведение их длин.
В случае если векторы заданны на плоскости и имеют координаты $bar{a}=left(a_{x} ; a_{y}right)$ и $bar{b}=left(b_{x} ; b_{y}right)$, то косинус между ними вычисляется по формуле:
$$cos phi=frac{(bar{a}, bar{b})}{|bar{a}| cdot|bar{b}|}=frac{a_{x} cdot b_{x}+a_{y} cdot b_{y}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}} sqrt{b_{x}^{2}+b_{y}^{2}}}$$
Если же векторы заданы в пространстве, то есть
$bar{a}=left(a_{x} ; a_{y} ; a_{z}right)$ и $bar{b}=left(b_{x} ; b_{y} ; b_{z}right)$, то косинус угла вычисляется по формуле
$$cos phi=frac{(bar{a}, bar{b})}{|bar{a}| cdot|bar{b}|}=frac{a_{x} cdot b_{x}+a_{y} cdot b_{y}+a_{z} cdot b_{z}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}} sqrt{b_{x}^{2}+b_{y}^{2}+b_{z}^{2}}}$$
Примеры вычисления косинуса угла между векторами
Пример
Задание. Найти косинус угла $phi$ между векторами
$bar{a}=(4 ;-3)$ и $bar{b}=(1 ;-2)$
Решение. Так как векторы заданы на плоскости, воспользуемся формулой
$cos phi=frac{(bar{a}, bar{b})}{|bar{a}| cdot|bar{b}|}=frac{a_{x} cdot b_{x}+a_{y} cdot b_{y}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}} sqrt{b_{x}^{2}+b_{y}^{2}}}$
Подставим координаты заданных векторов:
$$cos phi=frac{(bar{a}, bar{b})}{|bar{a}| cdot|bar{b}|}=frac{4 cdot 1+(-3) cdot(-2)}{sqrt{4^{2}+(-3)^{2}} sqrt{1^{2}+(-2)^{2}}}=$$
$$=frac{4+6}{sqrt{16+9} sqrt{1+4}}=frac{10}{sqrt{25} sqrt{5}}=frac{10}{5 sqrt{5}}=frac{2 sqrt{5}}{5}$$
Ответ. $cos phi=frac{2 sqrt{5}}{5}$
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание. Найти косинус угла между векторами
$bar{a}=(3 ;-4 ; 0)$ и $bar{b}=(4 ;-4 ;-2)$, заданных в пространстве.
Решение. Для нахождения косинуса угла между заданными векторами, воспользуемся формулой
$$cos phi=frac{(bar{a}, bar{b})}{|bar{a}| cdot|bar{b}|}=frac{a_{x} cdot b_{x}+a_{y} cdot b_{y}+a_{z} cdot b_{z}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}} cdot sqrt{b_{x}^{2}+b_{y}^{2}+b_{z}^{2}}}$$
Подставляя координаты векторов $bar{a}$ и $bar{b}$, получим
$$begin{aligned} cos phi=frac{(bar{a}, bar{b})}{|bar{a}| cdot|bar{b}|}=frac{3 cdot 4+(-4) cdot(-4)+0 cdot(-2)}{sqrt{3^{2}+(-4)^{2}+0^{2}} sqrt{4^{2}+(-4)^{2}+(-2)^{2}}} &=\=frac{12+16+0}{sqrt{9+16+0} sqrt{16+16+4}}=frac{28}{sqrt{25} sqrt{36}}=frac{28}{5 cdot 6}=frac{14}{15} end{aligned}$$
Ответ. $begin{aligned} cos phi=frac{14}{15} end{aligned}$
Читать дальше: как найти скалярное произведение векторов.
Нахождение угла между векторами с помощью скалярного произведения
Косинус угла между векторами a⃗=(a1;a2)vec{a}=(a_{1};a_{2}) и b⃗=(b1;b2)vec{b}=(b_{1};b_{2}) может быть вычислен по формуле
cos(a⃗,b⃗^)=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣=a1⋅b1+a2⋅b2a12+a22⋅b12+b22.cosleft(widehat{vec{a},vec{b}}right)=frac{vec{a}cdotvec{b}}{|vec{a}|cdot|vec{b}|}= frac{a_{1}cdot b_{1}+a_{2}cdot b_{2}}{sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}cdotsqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}.
Следовательно, угол между векторами a⃗=(a1;a2)vec{a}=(a_{1};a_{2}) и b⃗=(b1;b2)vec{b}=(b_{1};b_{2}) может быть вычислен по формуле
(a⃗,b⃗^)=arccos(a⃗⋅b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣)=arccos(a1⋅b1+a2⋅b2a12+a22⋅b12+b22).left(widehat{vec{a},vec{b}}right)=arccosleft(frac{vec{a}cdotvec{b}}{|vec{a}|cdot|vec{b}|}right)=arccosleft(frac{a_{1}cdot b_{1}+a_{2}cdot b_{2}}{sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}cdotsqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}right).
Пример 1
Найти угол между векторами a⃗=(1;−1)vec{a}=(1; -1) и b⃗=(1;2).vec{b}=(1; 2).
cos(a⃗,b⃗^)=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣=1⋅1+(−1)⋅212+(−1)2⋅12+22=1−22⋅5=−110.cosleft(widehat{vec{a},vec{b}}right)=frac{vec{a}cdot vec{b}}{left | vec{a} right |cdot left | vec{b} right |}=frac{1cdot1+(-1)cdot2}{sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}cdot sqrt{1^{2}+2^{2}}}=frac{1-2}{sqrt{2}cdotsqrt{5}}=frac{-1}{sqrt{10}}.
(a⃗,b⃗^)=arccos(−110)=arccos(−1010).left ( widehat{vec{a},vec{b}} right )=arccosleft ( frac{-1}{sqrt{10}} right )=arccosleft ( frac{-sqrt{10}}{10} right ).
Ответ: (a⃗,b⃗^)=arccos(−1010).left ( widehat{vec{a},vec{b}} right )=arccosleft ( frac{-sqrt{10}}{10} right).
Пример 2
Найти угол между векторами a⃗=(2;3)vec{a}=(2; 3) и b⃗=(3;1).vec{b}=(3; 1).
cos(a⃗,b⃗^)=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣=2⋅3+3⋅122+32⋅32+12=6+313⋅10=9130=9130130.cosleft(widehat{vec{a},vec{b}}right)=frac{vec{a}cdot vec{b}}{left | vec{a} right |cdot left | vec{b} right |}=frac{2cdot3+3cdot1}{sqrt{2^{2}+3^{2}}cdot sqrt{3^{2}+1^{2}}}=frac{6+3}{sqrt{13}cdotsqrt{10}}=frac{9}{sqrt{130}}=frac{9sqrt{130}}{130}.
(a⃗,b⃗^)=arccos(9130130).left ( widehat{vec{a},vec{b}} right )=arccosleft ( frac{9sqrt{130}}{130} right ).
Ответ: (a⃗,b⃗^)=arccos(9130130).left ( widehat{vec{a},vec{b}} right )=arccos left ( frac{9sqrt{130}}{130} right ).
Косинус угла между векторами a⃗=(a1;a2;a3)vec{a}=(a_{1};a_{2};a_{3}) и b⃗=(b1;b2;b3)vec{b}=(b_{1};b_{2};b_{3}) может быть вычислен по формуле
cos(a⃗,b⃗^)=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣=a1⋅b1+a2⋅b2+a3⋅b3a12+a22+a32⋅b12+b22+b32.cosleft(widehat{vec{a},vec{b}}right)=frac{vec{a}cdotvec{b}}{|vec{a}|cdot|vec{b}|}= frac{a_{1}cdot b_{1}+a_{2}cdot b_{2}+a_{3}cdot b_{3}}{sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}cdotsqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}}}.
Следовательно, угол между векторами a⃗=(a1;a2;a3)vec{a}=(a_{1};a_{2};a_{3}) и b⃗=(b1;b2;b3)vec{b}=(b_{1};b_{2};b_{3}) может быть вычислен по формуле
(a⃗,b⃗^)=arccos(a⃗⋅b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣)=arccos(a1⋅b1+a2⋅b2+a3⋅b3a12+a22+a32⋅b12+b22+b32).left(widehat{vec{a},vec{b}}right)=arccosleft(frac{vec{a}cdotvec{b}}{|vec{a}|cdot|vec{b}|}right)=arccosleft(frac{a_{1}cdot b_{1}+a_{2}cdot b_{2}+a_{3}cdot b_{3}}{sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+ a_{3}^{2}}cdotsqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+ b_{3}^{2}}}right).
Пример 3
Найти угол между векторами a⃗=(1;2;3)иb⃗=(1;−2;3).vec{a}=(1; 2; 3) и vec{b}=(1; -2; 3).
cos(a⃗,b⃗^)=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣=1⋅1+2⋅(−2)+3⋅312+22+32⋅12+(−2)2+32=1−4+914⋅14=614=37.cosleft(widehat{vec{a},vec{b}}right)=frac{vec{a}cdot vec{b}}{left | vec{a} right |cdot left | vec{b} right |}=frac{1cdot1+2cdot(-2)+3cdot3}{sqrt{1^{2}+2^{2}+3^{2}}cdot sqrt{1^{2}+(-2)^{2}+3^{2}}}=frac{1-4+9}{sqrt{14}cdotsqrt{14}}=frac{6}{14}=frac{3}{7}.
(a⃗,b⃗^)=arccos(37).left(widehat{vec{a},vec{b}}right)=arccosleft ( frac{3}{7} right ).
Ответ: (a⃗,b⃗^)=arccos(37).left(widehat{vec{a},vec{b}}right)=arccosleft ( frac{3}{7} right ).
Пример 4
Найти угол между векторами a⃗=(2;−1;−2)vec{a}=(2; -1; -2) и b⃗=(1;3;−2).vec{b}=(1; 3; -2).
cos(a⃗,b⃗^)=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣=2⋅1+(−1)⋅3+(−2)⋅(−2)22+(−1)2+(−2)2⋅12+32+(−2)2=2−3+49⋅14=33⋅14=114=1414.cosleft(widehat{vec{a},vec{b}}right)=frac{vec{a}cdot vec{b}}{left | vec{a} right |cdot left | vec{b} right |}=frac{2cdot1+(-1)cdot3+(-2)cdot(-2)}{sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}}cdot sqrt{1^{2}+3^{2}+(-2)^{2}}}=frac{2-3+4}{sqrt{9}cdotsqrt{14}}=frac{3}{3cdotsqrt{14}}=frac{1}{sqrt{14}}=frac{sqrt{14}}{14}.
(a⃗,b⃗^)=arccos(1414).left(widehat{vec{a},vec{b}}right)=arccosleft ( frac{sqrt{14}}{14} right ).
Ответ: (a⃗,b⃗^)=arccos(1414).left(widehat{vec{a},vec{b}}right)=arccosleft ( frac{sqrt{14}}{14} right ).
Нахождение угла между векторами с помощью векторного произведения
Синус угла между векторами можно вычислить по формуле: sin(a⃗,b⃗^)=∣a⃗×b⃗∣∣a⃗∣⋅∣b⃗∣.sin(widehat{vec{a},vec{b}})=frac{left | vec{a}times vec{b} right |}{left | vec{a} right |cdotleft | vec{b} right |}.
Пример 1
Найти угол между векторами a⃗=(2;−1;2)vec{a}=(2;-1;2) и b⃗=(3;0;1).vec{b}=(3;0;1).
a⃗×b⃗=∣ijk2−12301∣=(−1−0)i−(2−6)j+(0+3)k=−i+4j+3k.vec{a}times vec{b}=begin{vmatrix}i&j&k\2&-1&2\3&0&1end{vmatrix}=(-1-0)i-(2-6)j+(0+3)k=-i+4j+3k.
∣a⃗×b⃗∣=(−1)2+42+32=1+16+9=26.left | vec{a}times vec{b} right |=sqrt{(-1)^{2}+4^{2}+3^{2}}=sqrt{1+16+9}=sqrt{26}.
∣a⃗∣=22+(−1)2+22=4+1+4=9=3.left | vec{a} right |=sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+2^{2}}=sqrt{4+1+4}=sqrt{9}=3.
∣b⃗∣=32+02+12=9+0+1=10.left | vec{b} right |=sqrt{3^{2}+0^{2}+1^{2}}=sqrt{9+0+1}=sqrt{10}.
sin(a⃗,b⃗^)=26310=132325=1335=6515.sin(widehat{vec{a},vec{b}})=frac{sqrt{26}}{3sqrt{10}}=frac{sqrt{13}sqrt{2}}{3sqrt{2}sqrt{5}}=frac{sqrt{13}}{3sqrt{5}}=frac{sqrt{65}}{15}.
(a⃗,b⃗^)=arcsin(6515).(widehat{vec{a},vec{b}})=arcsinleft ( frac{sqrt{65}}{15} right ).
Ответ: (a⃗,b⃗^)=arcsin(6515).(widehat{vec{a},vec{b}})=arcsinleft ( frac{sqrt{65}}{15} right ).
Пример 2
Найти угол между векторами a⃗=(1;1;3)vec{a}=(1;1;3) и b⃗=(0;1;1).vec{b}=(0;1;1).
a⃗×b⃗=∣ijk113011∣=(1−3)i−(1−0)j+(1−0)k=−2i−j+k.vec{a}times vec{b}=begin{vmatrix}i&j&k\1&1&3\0&1&1end{vmatrix}=(1-3)i-(1-0)j+(1-0)k=-2i-j+k.
∣a⃗×b⃗∣=(−2)2+(−1)2+12=4+1+1=6.left | vec{a}times vec{b} right |=sqrt{(-2)^{2}+(-1)^{2}+1^{2}}=sqrt{4+1+1}=sqrt{6}.
∣a⃗∣=12+12+32=1+1+9=11.left | vec{a} right |=sqrt{1^{2}+1^{2}+3^{2}}=sqrt{1+1+9}=sqrt{11}.
∣b⃗∣=02+12+12=0+1+1=2.left | vec{b} right |=sqrt{0^{2}+1^{2}+1^{2}}=sqrt{0+1+1}=sqrt{2}.
sin(a⃗,b⃗^)=6112=32112=311=3311.sin(widehat{vec{a},vec{b}})=frac{sqrt{6}}{sqrt{11}sqrt{2}}=frac{sqrt{3}sqrt{2}}{sqrt{11}sqrt{2}}=frac{sqrt{3}}{sqrt{11}}=frac{sqrt{33}}{11}.
(a⃗,b⃗^)=arcsin(3311).(widehat{vec{a},vec{b}})=arcsinleft ( frac{sqrt{33}}{11} right ).
Ответ: (a⃗,b⃗^)=arcsin(3311).(widehat{vec{a},vec{b}})=arcsinleft ( frac{sqrt{33}}{11} right ).
Тест по теме “Как найти угол между двумя векторами”
Как найти угол между векторами
ФОРМУЛА
Чтобы найти угол (
phi
) между векторами, вы должны сначала найти косинус угла, а затем из него найти арккосинус, то есть:
(
phi=arccos (cos phi)
)
Косинус угла между векторами равен скалярному произведению этих векторов, деленному на произведение их длин. Если векторы заданы на плоскости и имеют координаты (
overline{a}=left(a_{x} ; a_{y}right), overline{b}=left(b_{x} ; b_{y}right)
) , то косинус между ними рассчитывается по формуле:
(
cos phi=frac{(overline{a}, overline{b})}{|overline{a}| cdot|overline{b}|}=frac{a_{x} cdot b_{x}+a_{y} cdot b_{y}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}} sqrt{b_{x}^{2}+b_{y}^{2}}}
)
Если векторы заданы в пространстве, то есть (
overline{a}=left(a_{x} ; a_{y} ; a_{z}right) quad{и}quad overline{b}=left(b_{x} ; b_{y} ; b_{z}right)
) , то косинус угла между ними равен:
(
cos phi=frac{(overline{a}, overline{b})}{|overline{a}| cdot|overline{b}|}=frac{a_{x} cdot b_{x}+a_{y} cdot b_{y}+a_{z} cdot b_{z}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}} sqrt{b_{x}^{2}+b_{y}^{2}+b_{z}^{2}}}
)
ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА УГЛОВ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ
ПРИМЕР
phi
) между векторами (
overline{a}=(1 ; 3) quad{и}quad overline{b}=(4 ; 2)
)
(
cos phi=frac{(overline{a}, overline{b})}{|overline{a}| cdot|overline{b}|}=frac{a_{x} cdot b_{x}+a_{y} cdot b_{y}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}} sqrt{b_{x}^{2}+b_{y}^{2}}}
)
найти косинус угла между заданными векторами:
(
cos phi=frac{(overline{a}, b)}{|vec{a}| cdot|b|}=frac{1 cdot 4+3 cdot 2}{sqrt{1^{2}+3^{2}} cdot sqrt{4^{2}+2^{2}}}=frac{4+6}{sqrt{1+9} sqrt{16+4}}=frac{10}{sqrt{10} cdot sqrt{20}}=frac{1}{sqrt{2}}=frac{sqrt{2}}{2}
)
Тогда требуемый угол (
phi=arccos left(frac{sqrt{2}}{2}right)=45^{circ}
)
phi=45^{circ}
)
ПРИМЕР
phi
) между векторами (
overline{a}=(8 ;-7 ;-2) quad{и}quad overline{b}=(7 ;-11 ; 8)
)
(
cos phi=frac{(overline{a}, overline{b})}{|overline{a}| cdot|overline{b}|}=frac{a_{x} cdot b_{x}+a_{y} cdot b_{y}+a_{z} cdot b_{z}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}} cdot sqrt{b_{x}^{2}+b_{y}^{2}+b_{z}^{2}}}
)
Подставляя координаты векторов (
overline{a} overline{b}
) , получим
(
cos phi=frac{(overline{a}, b)}{|a|-|b|}=frac{8 cdot 7+(-7)-(-11)+(-2) cdot 8}{sqrt{8^{2}+(-7)^{2}+(-2)^{2}} sqrt{7^{2}+(-11)^{2}+8^{2}}}=frac{56+77-16}{sqrt{64+49+4 sqrt{49+121+64}}}=frac{117}{sqrt{177} sqrt{234}}=frac{117}{117 sqrt{2}}=frac{1}{sqrt{2}}=frac{sqrt{2}}{2}
)
Угол будет равен
(
phi=arccos left(frac{sqrt{2}}{2}right)=45^{circ}
)
phi=45^{circ}
)