Калькулятор онлайн.
Вычисление угла между векторами.
Этот калькулятор онлайн вычисляет угол между векторами в двух- или трехмерном пространстве.
Онлайн калькулятор для вычисления угла между векторами не просто даёт ответ задачи, он приводит подробное решение с
пояснениями, т.е. отображает процесс решения для того чтобы проконтролировать знания по математике и/или алгебре.
Этот калькулятор онлайн может быть полезен учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и
экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре.
А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее
сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным
решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень
образования в области решаемых задач повышается.
Если вы не знакомы с правилами ввода чисел, рекомендуем с ними ознакомиться.
Правила ввода чисел
Числа можно вводить целые или дробные.
Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.
Правила ввода десятичных дробей.
В десятичных дробях дробная часть от целой может отделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так: 2.5 или так 1,3
Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.
Знаменатель не может быть отрицательным.
При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Ввод: -2/3
Результат: ( -frac{2}{3} )
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: -1&5/7
Результат: ( -1frac{5}{7} )
Наши игры, головоломки, эмуляторы:
Немного теории.
Определение и основные свойства скалярного произведения векторов
Определение
Скалярным произведением двух ненулевых векторов ( vec{a} ) и ( vec{b} ) называется число (скаляр), равное произведению длин
этих векторов на косинус угла между ними. Если хотя бы один из векторов ненулевой, то угол не определен и скалярное произведение векторов
по определению полагают равным нулю.
Скалярное произведение векторов ( vec{a} ) и ( vec{b} ) обозначают ( vec{a} cdot vec{b} ). Итак,
( vec{a} cdot vec{b} = |vec{a}||vec{b}|cos varphi )
где ( varphi ) – угол между векторами ( vec{a} ) и ( vec{b} )
Типичным примером скалярного произведения векторов в физике является формула работы:
( A = |vec{a}||vec{b}|cos varphi )
где вектор ( vec{a} ) – сила, точка приложения которой перемещается из начала в конец вектора ( vec{b} )
Рассмотрим некоторые свойства скалярного произведения векторов.
1. ( vec{a} cdot vec{b} = vec{b} cdot vec{a} ) (свойство перестановочности сомножителей)
2. ( (alpha vec{a} ) cdot vec{b} = alpha ( vec{b} cdot vec{a} ) ) (свойство сочетательности относительно умножения на число)
3. ( vec{a} cdot ( vec{b} + vec{c} ) = vec{a} cdot vec{b} + vec{a} cdot vec{c} ) (свойство распределительности суммы векторов)
4. ( vec{a} cdot vec{a} = |vec{a}|^2 )
5. ( vec{a} cdot vec{b} = 0 ), если ( vec{a} bot vec{b} ) , и обратно, ( vec{a} bot vec{b} ) ,
если ( vec{a} cdot vec{b} = 0 ) и ( vec{a} neq vec{0}, ; vec{b} neq vec{0} ).
Выражение скалярного произведения через координаты векторов
Теорема
Если векторы ( vec{a} ) и ( vec{b} ) заданы своими координатами:
( vec{a} left( a_x; a_y; a_z right), ;; vec{b} left( b_x; b_y; b_z right) ), то их скалярное произведение можно
вычислить по формуле
( vec{a} cdot vec{b} = a_x cdot b_x + a_y cdot b_y + a_z cdot b_z )
Следствие
Необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов ( vec{a} left( a_x; a_y; a_z right) ) и
( vec{b} left( b_x; b_y; b_z right) ) является равенство
( a_x cdot b_x + a_y cdot b_y + a_z cdot b_z = 0 )
Следствие
Косинус угла между векторами ( vec{a} left( a_x; a_y; a_z right) ) , и ( vec{b} left( b_x; b_y; b_z right) ) определяется
равенством
$$ cos varphi = frac{ vec{a} cdot vec{b}}{ |vec{a}| |vec{b}| } =
frac{a_x cdot b_x + a_y cdot b_y + a_z cdot b_z}{sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} ; sqrt{b_x^2 + b_y^2 + b_z^2} } $$
Векторы – одна из тем школьной программы. При вычислении угла между векторами можно использовать специальный калькулятор. Это онлайн-сервис, которым могут воспользоваться клиенты фриланс-биржи «Напишем». Он поможет ускорить процесс решения задач или проверить правильность выполнения заданий.
Особенности сервиса
Известно, то между векторами всегда образуется угол. Чтобы его вычислить, нужно знать длины векторов и использовать формулу для определения их скалярного произведения. Процедура состоит из двух действий. Определяется:
- косинус угла между векторами;
- сам угол.
Схематически угол между векторами изображают так:
Формула определения скалярного произведения выглядит так:
[
vec{a} cdot vec{b}=|vec{a}| cdot|vec{b}| cdot cos (varphi)
]
Косинус определяется по формуле:
[
cos (varphi)=frac{vec{a} cdot vec{b}}{|vec{a}| cdot|vec{b}|}
]
Используя координатные соотношения, для вычисления косинуса угла между векторами используют следующую формулу:
[
cos (varphi)=frac{a_{x} cdot b_{x}+a_{y} cdot b_{y}+a_{z} cdot b_{z}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}} cdot sqrt{b_{x}^{2}+b_{y}^{2}+b_{z}^{2}}}
]
Где [vec{a}=left{a_{x}, a_{y}, a_{z}right}] и [vec{b}=left{b_{x}, b_{y}, b_{z}right}].
Чтобы получить нужно е значение, данные подставляют в соответствующие окошки и нажимают клавишу «Решение».
Укажите размерность пространства
Укажите форму представления первого вектора
Укажите форму представления второго вектора
Задайте координаты первого вектора
a̅ =
{
;
}
Задайте координаты вектора b
b̅ =
{
;
}
Как найти угол между векторами
Чтобы вычислить угол между векторами a и b, где a = {ax; ay} и b = {bx; by} необходимо:
1.Вычислить скалярное произведение векторов a и b.
2. Вычислить длину вектора a.
3. Вычислить длину вектора b.
4. Вычислить произведение длин векторов a и b.
5. Вычислить косинус α. Разделить скалярное произведение векторов на произведение длин векторов.
6. Вычислить арккосинус α.
Формулы вычисления угла между векторами
Если векторы a и b заданы координатами, где a = {ax; ay} и b = {bx; by}, то косинус угла α вычисляется по формуле:
a = {ax; ay}
b = {bx; by}
Если векторы a и b заданы координатами, где a = {ax; ay} и b = {bx; by}, то угол в радианах вычисляется по формуле:
a = {ax; ay}
b = {bx; by}
Если векторы a и b заданы координатами, где a = {ax; ay; az} и b = {bx; by; bz}, то косинус угла α вычисляется по формуле:
a = {ax; ay; az}
b = {bx; by; bz}
Если векторы a и b заданы координатами, где a = {ax; ay; az} и b = {bx; by; bz}, то угол в радианах вычисляется по формуле:
a = {ax; ay; az}
b = {bx; by; bz}
Если координаты обоих векторов заданы точками – вектора a задан точками A(x, y) и B(x, y), вектор b задан точками C(x, y) и D(x, y), то косинус угла α вычисляется по формуле:
A = (Ax; Ay)
B = (Bx; By)
C = (Cx; Cy)
D = (Dx; Dy)
Если координаты обоих векторов заданы точками – вектора a задан точками A(x, y) и B(x, y), вектор b задан точками C(x, y) и D(x, y), то угол α в радианах вычисляется по формуле:
A = (Ax; Ay)
B = (Bx; By)
C = (Cx; Cy)
D = (Dx; Dy)
Если координаты обоих векторов заданы точками – вектора a задан точками A(x, y, z) и B(x, y, z), вектор b задан точками C(x, y, z) и D(x, y, z), то косинус угла α вычисляется по формуле:
A = (Ax; Ay; Az)
B = (Bx; By; Bz)
C = (Cx; Cy; Cz)
D = (Dx; Dy; Dz)
Если координаты обоих векторов заданы точками – вектора a задан точками A(x, y, z) и B(x, y, z), вектор b задан точками C(x, y, z) и D(x, y, z), то угол α в радианах вычисляется по формуле:
A = (Ax; Ay; Az)
B = (Bx; By; Bz)
C = (Cx; Cy; Cz)
D = (Dx; Dy; Dz)
Если необходимо вычислить значение угла в градусах, то необходимо значение угла между векторами умножить на 180 и получившееся значение разделить на π
Примеры вычисления угла между векторами
Пример 1. Найдем угол между векторами плоскости. Координаты обоих векторов заданны точками.
Координаты точки А вектора AB: (5 ; 9)
Координаты точки B вектора AB: (-2 ; 11)
Координаты точки C вектора CD: (0 ; 12)
Координаты точки D вектора CD: (-3 ; 1)
| cos α = | AB ⋅ CD | |
| |AB| ⋅ |CD| |
Решение:
1) Вычислим модуль (длину) первого и второго векторов:
|AB| =
(Bx – Ax)2 + (By – Ay)2
=
(-2 – 5)2 + (11 – 9)2
=
(-7)2 + 22
=
49 + 4
=
53
= 7.28010988928052
|CD| =
(Dx – Cx)2 + (Dy – Cy)2
=
(-3 – 0)2 + (1 – 12)2
=
(-3)2 + (-11)2
=
9 + 121
=
130
= 11.4017542509914
2) Вычислим произведение модулей векторов:
|AB| ⋅ |CD| =
53
⋅
130
=
6890
3) Вычислим координаты первого вектора по двум точкам A и B:
AB = {Bx – Ax ; By – Ay} = {-2 – 5 ; 11 – 9} = {-7 ; 2}
4) Вычислим координаты второго вектора по двум точкам C и D:
CD = {Dx – Cx ; Dy – Cy} = {-3 – 0 ; 1 – 12} = {-3 ; -11}
5) Найдем скалярное произведение векторов: AB и CD
AB ⋅ CD = ABxCDx + AByCDy = -7 ⋅ (-3) + 2 ⋅ (-11) = 21 + (-22) = -1
6) Вычислим косинус угла между векторами:
| cos α = | AB ⋅ CD | = |
| |AB| ⋅ |CD| |
| -1 /
6890 = -0.0120473184147734 |
||
7) Вычислим значение угла ∠α между векторами:
∠α = 1.58284393664908 Radians
∠α = 90.6902771978651° Degrees
Пример 2. Найдем угол между векторами плоскости.
Координаты вектора a: (5 ; 9)
Координаты вектора b: (-1 ; 7)
Решение:
1) Вычислим модуль (длину) первого и второго векторов:
|a| =
ax2 + ay2
=
52 + 92
=
25 + 81
=
106
= 10.295630140987
|b| =
bx2 + by2
=
(-1)2 + 72
=
1 + 49
=
50
= 5
2
= 7.07106781186548
2) Вычислим произведение модулей векторов:
|a| ⋅ |b| =
106
⋅
50
=
5300
3) Найдем скалярное произведение векторов: a и b
a ⋅ b = axbx + ayby = 5 ⋅ (-1) + 9 ⋅ 7 = -5 + 63 = 58
4) Вычислим косинус угла между векторами:
| cos α = | a ⋅ b | = |
| |a| ⋅ |b| |
| 58 /
5300 = 0.796691270902396 |
||
5) Вычислим значение угла ∠α между векторами:
∠α = 0.648995558996501 Radians
∠α = 37.1847064532332° Degrees
Пример 3. Найдем угол между векторами пространства. Координаты обоих векторов заданны точками.
Координаты точки А вектора AB: (7; 0.2 ; 69)
Координаты точки B вектора AB: (-1 ; 0 ; 2/8)
Координаты точки C вектора CD: (-4 ; -6 ; 2)
Координаты точки D вектора CD: (3 ; 0 ; 9)
| cos α = | AB ⋅ CD | |
| |AB| ⋅ |CD| |
Решение:
1) Вычислим модуль (длину) первого и второго векторов:
|AB| =
(Bx – Ax)2 + (By – Ay)2 + (Bz – Az)2
=
(-1 – 7)2 + (0 – 0.2)2 + (2/8 – 69)2
=
(-8)2 + (-0.2)2 + (-275/4)2
=
64 + 0.04 + (75625/16)
=
|CD| =
(Dx – Cx)2 + (Dy – Cy)2 + (Dz – Cz)2
=
(3 – (-4))2 + (0 – (-6))2 + (9 – 2)2
=
72 + 62 + 72
=
49 + 36 + 49
=
134
= 11.5758369027902
2) Вычислим произведение модулей векторов:
|AB| ⋅ |CD| =
1916241/400
⋅
134
=
641940.735
3) Вычислим координаты первого вектора по двум точкам A и B:
AB = {Bx – Ax ; By – Ay; Bz – Az} = {-1 – 7 ; 0 – 0.2 ; 2/8 – 69} = {-8 ; -1/5 ; -275/4}
4) Вычислим координаты второго вектора по двум точкам C и D:
CD = {Dx – Cx ; Dy – Cy; Dz – Cz} = {3 – (-4) ; 0 – (-6) ; 9 – 2} = {7 ; 6 ; 7}
5) Найдем скалярное произведение векторов: AB и CD
AB ⋅ CD = ABxCDx + AByCDy + ABzCDz = -8 ⋅ 7 + (-1/5) ⋅ 6 + (-275/4) ⋅ 7 = -56 + (-6/5) + (-1925/4) = -10769/20 = -538.45
6) Вычислим косинус угла между векторами:
| cos α = | AB ⋅ CD | = |
| |AB| ⋅ |CD| |
| -538.45 /
641940.735 = -0.672044318228661 |
||
7) Вычислим значение угла ∠α между векторами:
∠α = 2.30776235411475 Radians
∠α = 132.225043009951° Degrees
Пример 4. Найдем угол между векторами пространства.
Координаты вектора a: (5 ; 1 ; 7)
Координаты вектора b: (2 ; 4 ; 6)
Решение:
1) Вычислим модуль (длину) первого и второго векторов:
|a| =
ax2 + ay2 + az2
=
52 + 12 + 72
=
25 + 1 + 49
=
75
= 5
3
= 8.66025403784439
|b| =
bx2 + by2 + bz2
=
22 + 42 + 62
=
4 + 16 + 36
=
56
= 2
14
= 7.48331477354788
2) Вычислим произведение модулей векторов:
|a| ⋅ |b| =
75
⋅
56
=
4200
3) Найдем скалярное произведение векторов: a и b
a ⋅ b = axbx + ayby + azbz = 5 ⋅ 2 + 1 ⋅ 4 + 7 ⋅ 6 = 10 + 4 + 42 = 56
4) Вычислим косинус угла между векторами:
| cos α = | a ⋅ b | = |
| |a| ⋅ |b| |
| 56 /
4200 = 0.864098759787715 |
||
5) Вычислим значение угла ∠α между векторами:
∠α = 0.527439299499548 Radians
∠α = 30.2200458106607° Degrees
Угол между векторами онлайн
Угол между векторами
– наглядно изображен на рисунке:
Вычислить его можно исходя из формулы
скалярного произведения векторов:
Тогда:
Если от векторных соотношений перейти к координатным, то формула для вычисления косинуса угла между векторами, примет вид:
, где
и
.
Наш онлайн калькулятор позволяет вычислить угол между векторами с описанием подробного хода решения на русском языке.
Калькулятор угла между векторами
Способ ввода выражения::
Размерность векторов:
Формат задания вектора
по:
Формат задания вектора
по:
Найти угол между векторомa12и векторомb543т.е.:φa,b-?
Вектор = { }
Вектор
Вектор = { }
Вектор
Установить калькулятор на свой сайт
Оставить свой комментарий:
Найти угол между векторами или, что является равноценным, найти косинус угла между векторами можно, используя основное тождество для векторов – их скалярное произведение. Поскольку результатом скалярного произведения является число, все что нужно знать для вычисления угла – это значения векторов (их координаты) и длины самих векторов. В этом случае посчитать угол между векторами можно как в плоскости, так и в пространстве. Само скалярное произведение векторов равно произведению длин векторов на косинус угла между ними. Соответственно, косинус угла между векторами равен отношению скалярного произведения к произведению длин или модулей векторов. Если нужно вычислить градусную меру угла между векторами, то ее легко найти в таблицах Брадиса, зная косинус.
