Внешний угол треугольника. Синус и косинус внешнего угла
В некоторых задачах ЕГЭ требуется найти синус, косинус или тангенс внешнего угла треугольника. А что такое внешний угол треугольника?
Давайте вспомним сначала, что такое смежные углы. Вот они, на рисунке. У смежных углов одна сторона общая, а две другие лежат на одной прямой. Сумма смежных углов равна 
.
Возьмем треугольник и продолжим одну из его сторон. Внешний угол при вершине 
— это угол, смежный с углом 
. Если угол острый, то смежный с ним угол — тупой, и наоборот.
Обратите внимание, что:
Запомните эти важные соотношения. Сейчас мы берем их без доказательств. В разделе «Тригонометрия», в теме «Тригонометрический круг», мы вернемся к ним.
Легко доказать, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
1. В треугольнике 
угол 
равен 
, 
. Найдите тангенс внешнего угла при вершине 
.
Пусть 
— внешний угол при вершине .
Зная 
, найдем 
по формуле:
Получим: 
2. В треугольнике угол равен , 
. Найдите синус внешнего угла при вершине .
Задача решается за четыре секунды. Поскольку сумма углов и равна , 
. Тогда и синус внешнего угла при вершине также равен 
.
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Внешний угол треугольника. Синус и косинус внешнего угла» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.
Публикация обновлена:
07.05.2023
Как найти косинус внешнего угла
Любой плоский угол можно достроить до развернутого, если продлить за вершину одну из его сторон. При этом другая сторона будет делить развернутый угол на два. Угол, образуемый второй стороной и продолжением первой, называется смежным, а когда речь идет о многоугольниках, его называют еще и внешним. Тот факт, что сумма внешнего и внутреннего углов по определению равна величине развернутого угла, позволяет вычислять тригонометрические функции по известным соотношениям параметров многоугольников.
Инструкция
Зная результат вычисления косинуса внутреннего угла (α) вы будете знать модуль косинуса внешнего (α₀). Единственная операция, которую вам нужно произвести с этой величиной – изменить ее знак, то есть умножить на -1: cos(α₀) = -1*cos(α).
Если известна величина внутреннего угла (α), для вычисления косинуса внешнего (α₀) можно использовать способ, описанный в предыдущем шаге – найти его косинус, а затем поменять знак. Но можно сделать и по-другому – сразу вычислить косинус внешнего угла, отняв для этого величину внутреннего от 180°: cos(α₀) = cos(180°-α). Если величина внутреннего угла приведена в радианах, формулу нужно преобразовать к такому виду: cos(α₀) = cos(π-α).
В правильном многоугольнике для вычисления величины внешнего угла (α₀) не нужно знать никаких параметров, кроме количества вершин (n) этой фигуры. На это число разделите 360° и найдите косинус полученного числа: cos(α₀) = cos(360°/n). Для вычислений в радианах на число вершин надо делить удвоенное число Пи, а формула должна приобрести такой вид: cos(α₀) = cos(2*π/n).
В прямоугольном треугольнике косинус внешнего угла при вершине, лежащей напротив гипотенузы, всегда равен нулю. Для двух других вершин эту величину можно рассчитать, зная длины гипотенузы (c) и катета (a), которые образуют эту вершину. Никаких тригонометрических функций при этом вычислять не требуется, просто разделите длину меньшей стороны на длину большей и поменяйте знак результата: cos(α₀) = -a/c.
Если известны длины двух катетов (a и b), тоже можно обойтись в расчетах без тригонометрических функций, но формула будет несколько сложней. Дробь, в знаменателе которой стоит длина стороны, примыкающей к вершине внешнего угла, а в числителе – длина другого катета, определяет тангенс внутреннего угла. Зная тангенс можно вычислить косинус внутреннего угла: √(1/(1+a²/b²). Этим выражением замените косинус в правой части формулы из первого шага: cos(α₀) = -1*√(1/(1+a²/b²).
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
Внешний угол треугольника. Синус и косинус внешнего угла
В некоторых
задачах ЕГЭ требуется найти синус,
косинус или тангенс внешнего
угла
треугольника. А что такое внешний
угол треугольника?
Давайте
вспомним сначала, что такое смежные
углы.
Вот они, на рисунке. У смежных углов
одна сторона общая, а две другие лежат
на одной прямой. Сумма смежных углов
равна
.
Возьмем
треугольник и продолжим одну из его
сторон. Внешний угол
при
вершине
—
это угол, смежный с углом
. Если
угол
острый, то смежный с ним угол —
тупой, и наоборот.
Обратите
внимание, что:
Запомните
эти важные соотношения. Сейчас мы берем
их без доказательств. В разделе
«Тригонометрия», в теме «Тригонометрический
круг»,
мы вернемся к ним.
Легко
доказать, что внешний
угол треугольника равен сумме двух
внутренних углов, не смежных с ним.
1.
В треугольнике
угол
равен
,
.
Найдите тангенс внешнего угла при
вершине
.
Пусть
—
внешний угол при вершине
.
Имеем:
Зная
,
найдем
по формуле
Получим:
2.
В треугольнике
угол
равен
,
.
Найдите синус внешнего угла при вершине
.
Задача
решается за четыре секунды. Поскольку
сумма углов
и
равна
,
.
Тогда и синус внешнего угла при
вершине
также равен
.
Высота в прямоугольном треугольнике
Вспомним,
что высота
треугольника —
это перпендикуляр, опущенный из его
вершины на противоположную сторону.
В
прямоугольном треугольнике катеты
являются высотами друг к другу. Главный
интерес представляет высота, проведённая
к гипотенузе.
Один
из типов экзаменационных задач В6 в
банке заданий ФИПИ — такие, где
в прямоугольном треугольнике высота
проведена из вершины прямого угла.
Посмотрим, что получается:
Высота
проведена к гипотенузе
.
Она делит треугольник
на два
прямоугольных треугольника —
и 
.
Смотрим внимательно на рисунок
и находим на нем равные
углы.
Это и есть ключ к задачам по геометрии,
в которых высота опущена на гипотенузу.
Мы помним,
что сумма двух острых углов прямоугольного
треугольника равна
.
Значит,
,
то есть угол
равен
углу
.
Аналогично, угол
.
Иными
словами, каждый из трех углов
треугольника
равен
одному из углов треугольника
и треугольника
.
Треугольники
,
и
называются подобными.
Давайте нарисуем их рядом друг
с другом.
Они
отличаются только размерами. Стороны
подобных треугольников пропорциональны.
Что это значит?
Возьмем
треугольники
и
.
Стороны треугольника
длиннее,
чем стороны треугольника
,
в некоторое число
раз:
При
решении задач нам пригодится равенство
углов треугольников
,
и
,
а также пропорциональность их сторон.
Обратите также внимание, что площадь
треугольника
можно
записать двумя разными способами: как
половину произведения катетов и как
половину произведения гипотенузы
на проведенную к ней высоту.
1.
В треугольнике
угол
равен
,
—
высота,
,
.
Найдите
.
Рассмотрим
треугольник
.
В нем известны косинус угла
и противолежащий катет
.
Зная синус угла
,
мы могли бы найти гипотенузу
.
Так давайте найдем
:
(поскольку
значение синуса острого угла положительно).
Тогда:
Рассмотрим
прямоугольный треугольник
,
.
Имеем:
Отсюда,
поскольку
:
и
тогда
Ответ:
.
2.
В треугольнике
угол
равен
,
,
.
Найдите высоту
.
Сделайте
чертеж и рассмотрите прямоугольный
треугольник
.
Ответ:
.
3.
В треугольнике
угол
равен
,
,
.
К гипотенузе проведена высота
.
Найдите
.
Это
чуть более сложная задача. Ведь вам
неизвестны катеты
и
.
Зато
можно записать теорему Пифагора:
Нам
известно также, что
Решая
эту систему из двух уравнений, найдем:
Запишем
площадь треугольника
двумя
способами:
и найдем
.
Найти
высоту, проведенную из вершины прямого
угла, можно было и другим способом.
Мы выбрали самый короткий путь —
составили и решили систему уравнений.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
30.03.201540.15 Mб22спицын мартыненко.djvu
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
6. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть II
1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Работа с внешними углами многоугольника с помощью тригонометрии
Внешний угол многоугольника – угол, смежный с каким-нибудь внутренним углом многоугольника.
[large{begin{aligned}
&sin alpha_{text{внеш}}=sin
alpha qquad qquad qquad cos alpha_{text{внеш}}=-cos alpha\
&\
&mathrm{tg}, alpha_{text{внеш}}=-, mathrm{tg},alpha qquad
qquad qquad , mathrm{ctg}, alpha_{text{внеш}}= -,
mathrm{ctg},alpha
end{aligned}}]
Замечание: Синус и острого, и тупого угла – положительное число. Косинус, тангенс и котангенс острого угла – положительное число, а тупого угла – отрицательное число.
(острый угол: (0^circ<alpha<90^circ), тупой угол: (90^circ<alpha<180^circ))
Задание
1
#2107
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
Дан выпуклый четырехугольник (GEOM), причем (angle G+angle
E+angle O=330^circ). Найдите синус внешнего угла при вершине (M).
Т.к. сумма углов любого выпуклого четырехугольника равна (360^circ), то (angle M=360^circ – 330^circ =30^circ). Следовательно, (sin angle M=sin 30^circ =0,5). Т.к. синусы смежных углов равны, то (sin M_{text{внеш}}=0,5).
Ответ: 0,5
Задание
2
#2108
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
Дан треугольник (ABC), причем (sin (angle A+angle B)=0,67). Найдите синус угла (ACB).
Т.к. в треугольнике внешний угол при вершине (C) равен сумме углов (A) и (B), то и (sin angle C_{text{внеш}}=sin (angle A+angle
B)=0,67).
Т.к. синусы смежных углов равны, то (sin angle C=sin angle
C_{text{внеш}}=0,67).
Ответ: 0,67
Задание
3
#617
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
В треугольнике (ABC): (angle B < 90^{circ}), (sin {angle ABC} = 0,8). Найдите косинус внешнего угла при вершине (B).
Синусы смежных углов равны: (sin{(180^{circ} – alpha)} = sin{alpha}), тогда синус внешнего угла при вершине (B) равен (0,8).
Используя основное тригонометрическое тождество ((sin^2{alpha} + cos^2{alpha} = 1)), находим, что косинус внешнего угла при вершине (B) равен (pm 0,6).
Так как (angle ABC < 90^{circ}), то внешний угол при вершине (B) – тупой, следовательно, его косинус отрицателен. Косинус внешнего угла при вершине (B) равен (-0,6).
Ответ: -0,6
Задание
4
#2109
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
В треугольнике (ABC) известно, что (cos (angle B+angle C)=0,33). Найдите косинус угла (A).
Т.к. в треугольнике внешний угол при вершине (A) равен сумме углов (B) и (C), то (cos angle A_{text{внеш}}=cos(angle B+angle
C)=0,33).
Т.к. косинусы смежных углов отличаются только знаком, то (cos
angle A=-cos angle A_{text{внеш}}=-0,33).
Ответ: -0,33
Задание
5
#2473
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
Дан выпуклый пятиугольник, причем сумма четырех его внутренних углов равна (420^circ). Найдите квадрат косинуса внешнего угла при вершине оставшегося пятого угла.
Т.к. сумма внутренних углов выпуклого (n)-угольника вычисляется по формуле (180^circ cdot (n-2)), то сумма внутренних углов нашего пятиугольника равна (540^circ). Следовательно, если (angle
H+angle O+angle U+angle S=420^circ quad Rightarrow quad
angle E=540^circ -420^circ =120^circ).
Следовательно, (angle E_{text{внеш}}=180^circ -angle
E=60^circ). Следовательно, (cosangle E_{text{внеш}}=cos
^260^circ =dfrac14=0,25).
Ответ: 0,25
Задание
6
#618
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
В четырёхугольнике (ABCD) с тупыми углами (C) и (D) продолжение стороны (AD) за точку (D) и продолжение стороны (BC) за точку (C) пересеклись в точке (E) под прямым углом. При этом (sin{angle DCE} = 0,6). Найдите (sin{angle ADC}).
Из основного тригонометрического тождества с учётом того, что (angle DCE) – острый, получаем: (cos{angle DCE} = 0,8).
Из определений синуса и косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике получаем, что (sin{angle EDC} = cos{angle DCE} = 0,8).
Так как синусы смежных углов равны, то (sin{angle ADC} = sin{angle EDC} = 0,8).
Ответ: 0,8
Задание
7
#619
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
В невыпуклом четырёхугольнике (ABCD) ((angle C > 180^circ)) сторону (AD) продолжили за точки (A) и (D), получив по одному внешнему углу при вершинах (A) и (D). (angle BAD = 2cdot angle CDA). Найдите косинус внешнего угла при вершине (A), если косинус внешнего угла при вершине (D) получился (-0,9).
Косинусы смежных углов противоположны: (cos{(180^{circ} – alpha)} = -cos{alpha}).
Косинус внешнего угла при вершине (D) равен ((-1)cdot cos{angle CDA}), откуда (cos{angle CDA} = 0,9).
(angle BAD = 2cdot angle CDA), тогда (cos{angle BAD} = 2cos^2{angle CDA} – 1 = 0,62).
Так как косинус внешнего угла равен минус косинусу угла, смежного с ним, то косинус внешнего угла при вершине (A) равен (-0,62).
Ответ: -0,62
Задания, в которых школьникам необходимо найти внешние углы многоугольника, в ЕГЭ по математике традиционно встречаются из года в год. Правильно решать подобные задачи должны уметь выпускники, сдающие как базовый, так и профильный уровень аттестационного испытания. Школьники, которые освоили задания из раздела «Работа с внешними углами многоугольника», смогут справиться с ЕГЭ и рассчитывать на получение достойных баллов по итогам его прохождения.
Как подготовиться к экзамену?
Перед решением задач на нахождение внешних углов многоугольника в ЕГЭ стоит освежить в памяти определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса в прямоугольном треугольнике. Кроме того, для некоторых заданий могут потребоваться формулы основных тригонометрических тождеств.
Восполнить пробелы в знаниях, например, по теме «Вычисление синуса угла треугольника» и лучше усвоить информацию вам поможет образовательный проект «Школково». Для того чтобы выпускники могли успешно справляться с задачами на нахождение внешних углов треугольника в ЕГЭ, мы предоставляем возможность повторить определения и основные правила. Весь необходимый базовый материал вы найдете в разделе «Теоретическая справка». Наши специалисты подобрали соответствующую информацию.
Для закрепления теоретического материала мы предлагаем выполнить упражнения по теме «Работа с внешними углами многоугольника». Подборка простых и сложных заданий представлена в блоке «Каталог». Наши специалисты регулярно обновляют и дополняют упражнения.
Попрактиковаться в решении задач на нахождение внешних углов многоугольника, подобных тем, которые встречаются в ЕГЭ, можно в режиме онлайн, находясь в Москве или любом другом городе России.
УСТАЛ? Просто отдохни
Please wait.
We are checking your browser. mathvox.ru
Why do I have to complete a CAPTCHA?
Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.
What can I do to prevent this in the future?
If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.
If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.
Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store.
Cloudflare Ray ID: 6d91af72afdd1683 • Your IP : 85.95.188.35 • Performance & security by Cloudflare
Внешний угол треугольника. Задание В7
Если в геометрической задаче присутствуют слова “внешний угол треугольника“, нам надо вспомнить несколько фактов:
1. Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-либо углом треугольника:
2. Сумма смежных углов равна 180°
3. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов, не смежных с ним:
Чтобы найти синус, косинус или тангенс внешнего угла треугольника, нужно найти эту функцию соответствующего внутреннего угла, а затем воспользоваться следующим формулами приведения:
(1)
(2)
(3)
Необходимо также вспомнить, как тригонометрические функции острого угла выражаются одна через другую:
Прежде чем приступать к разбору решений задач, рекомендую вам прочитать статью о соотношении сторон и углов в прямоугольном треугольнике.
Рассмотрим решение задач из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике: .
1 . Задание B7 (№ 27382)
В треугольнике ABC угол C равен , , . Найдите тангенс внешнего угла при вершине A.
Найдем тангенс угла А, а затем воспользуемся формулой приведения.
АС=4, ВС найдем по теореме Пифагора:
Отсюда . Соответственно, по формуле приведения (3), тангенс внешнего угла при вершине А равен -0,25.
Ответ: -0,25
2 . Задание B7 (№ 27386)
В треугольнике ABC угол C равен , синус внешнего угла при вершине A равен 0,1. Найдите .
Воспользуемся формулой приведения (2): sinA=0,1
Ответ: 0,1.
3 . Задание B7 (№ 27387)
В треугольнике ABC угол C равен , синус внешнего угла при вершине A равен . Найдите .
Найдем сначала sin A. Он равен синусу внешнего угла треугольника при вершине А. То есть .
Найдем cosA c помощью основного тригонометрического тождества:
Ответ: 0,96
4. Задание B7 (№ 27389)
В треугольнике ABC угол C равен , синус внешнего угла при вершине A равен . Найдите .
Найдем сначала sin A. Он равен синусу внешнего угла треугольника при вершине А. То есть .
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, поэтому
Ответ: 0,96
5 . Задание B7 (№ 27392)
В треугольнике ABC угол C равен , косинус внешнего угла при вершине A равен . Найдите .
Если косинус внешнего угла при вершине A равен , то cos A=. Отсюда sinA=0,96
Ответ: 0,96
И.В. Фельдман, репетитор по математике.
Купить видеокурс “ВСЯ ГЕОМЕТРИЯ. Часть В”
Синус, косинус, тангенс в прямоугольном треугольнике
Гипотенузой называется та сторона треугольника, что лежит против угла в 90 градусов, две оставшиеся стороны называются катетами прямоугольного треугольника.
Подробнее про прямоугольный треугольник здесь.
Синусом угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинусом угла в прямоугольном треугольнике называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенсом угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
Котангенсом угла в прямоугольном треугольнике называется отношение прилежащего катета к противолежащему.
Бывает (и на ЕГЭ, ГИА), что приходится иметь дело с косинусами, синусами и тангенсами внешних углов треугольника. Формулы приведения позволяют увидеть, что есть еще и вот такая связь между смежными углами (помимо того, что их сумма равна 180):
Смотрите подборку задач на применение указанных соотношений в статье «Прямоугольный треугольник. Вычисление длин и углов» часть I, часть II.
Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:
[spoiler title=”источники:”]
http://ege-ok.ru/2012/03/24/vneshniy-ugol-treugolnika-zadanie-v6
[/spoiler]
