Как найти косвенную величину формула

Косвенные измерения.

В
процессе проведения физических
исследований часто приходится вычислять
искомую величину
по результатам прямых измерений,
связанных с искомой функциональной
зависимостью.
Такие измерения называются косвенными.
Причем для такого типа измерений можно
предложить порядок их обработки такой
же, как для прямых из измерений. Согласно
этого методу по результатам прямых
измеренийнаходят по формулезначения косвенных измерений,
затем по формулам (0.1) и (0.3) вычисляют
среднее значениедисперсию средних значений косвенных
измерений.
Используя эти величины, записывают
доверительный интервал в виде

Однако
для большого числа измерений данный
метод является трудоемким. Поэтому на
практике поступают следующим образом.

Среднее
значение косвенного измерения
находят путем подстановки соответствующих
средних значений прямых измерений в
следующее равенство.
Т.к. при малых значенияхприращениепропорционально производной,
то существует следующая связь
среднеквадратичных отклоненийи:

(0.7)

Нередко
оказывается, что искомая величина
является функцией нескольких переменных
:

(0.8)

В
этом случае дисперсия величины
определяется по формуле

(0.9)

где
,,–
частные производные от функции.

Рассмотрим
на следующем примере порядок обработки
косвенных измерений. Для некоторого
бегуна на 100-метровке пятью наблюдателями
получены следующие значения времени
пробега в секундах
.
Необходимо найти доверительный интервал
для величины скорости бегуна.

Первый
способ.

1. Предполагая
   движение бегуна равномерным, находим
   его скорость

,
,

,
,

1. Находим
   среднее значение скорости

Находим
дисперсию среднего значения скорости

Находим
среднеквадратичное отклонение

1. Записываем
   доверительный интервал величины
   скорости движения бегуна

Второй
способ.

1. Находит
   среднее значение времени

1. Дисперсия
   и среднеквадратичное отклонение времени

1. Находим
   среднее значение скорости

1. Находим
   формулу для дисперсии скорости

Определяем
частные производные

Получаем
формулу для дисперсии скорости

Полагая,
что дистанция измерялась лентой с ценой
деления 1см, задаем погрешность измерений
расстояния
и вычисляем дисперсию и среднеквадратичное
отклонение

1. Записываем
   доверительный интервал

.

Следует
обратить внимание на то, что данный
доверительный интервал записан без
учета параметра Стьюдента, поэтому
второй способ обработки результатов
косвенных измерений является менее
строгим по сравнению с первым. Данный
способ обработки результатов косвенных
измерений, по сути, является оценочным
способом для доверительного интервала.

Совместные
измерения. Метод наименьших квадратов.

Рассмотрим
совместные измерения и порядок их
обработки на следующем примере. Допустим,
величина
и величинасвязаны линейной зависимостью, т.е.:

(0.10)

Если
величины
связанные функционально, измеряются
одновременно, то такие измерения
называются совместными. Задачей
совместных измерений является определение
коэффициента.

Для
этого проведем
измерений величин

,
последовательно измеряя их в процессе
эксперимента, в результате получим
пар значений
,,…,.
Отметим на плоскости
экспериментальные точки, соответствующие
полученным данным (рис.
0.3).

Вследствие
случайных погрешностей полученные
экспериментально точки не лежат на
одной прямой. Но можно сформулировать
критерий для выбора углового коэффициента
прямой, в соответствии с которым ошибка
измерения этого коэффициента будет
минимальной. Этот критерий в математической
статистике получил название критерия
наименьших квадратов.

Пусть
для некоторого определенного значения
прямаяпройдет так, как это показано на рис
0.3.
Для
ординатапри этом равна,
экспериментальное значение
дляравно,
т.е. существует отклонение экспериментального
значения
от вычисленного значения.
Эти отклонения для каждого измеренного
значения величинымогут отличаться как по величине, так
и по знаку

(0.11)

Согласно
критерию наименьших квадратов, угловой
коэффициент прямой
должен быть таким,
чтобы сумма квадратов отклонений ординат
прямой
при тех же значениях аргумента была
минимальной. Это условие метода наименьших
квадратов математически записывается
так:

(0.12)

Рисунок0.3

В
выражении
(0.12)
остаточная сумма квадратов

является функцией неизвестного параметра
.
Минимальное значение этой функции
достигается тогда, когда ее производная
при некотором значенииравна нулю,
т.е.:

(0.13)

Следовательно,
взяв от суммы
(0.12)
производную по параметру
и приравняв ее к нулю, получим уравнение:

(0.14)

Это
уравнение линейное относительно А
,
и из него легко можно получить формулу
для нахождения неизвестного параметра
:

(0.15)

Параметр
является случайной величиной. С помощью
методов математической статистики
можно найти формулу для дисперсии этого
параметра

(0.16)

Таким
образом, метод наименьших квадратов
позволяет определить по результатам
совместных измерений, как величину
неизвестного параметра,
так и его дисперсию
.
В ряде случаев функциональная зависимость
между величинами
иможет отличаться от простейшей линейной
зависимости
(0.10).

Часто
приходится использовать несколько
более сложную зависимость, неизвестными
уже могут быть не один, а два параметра,
которые в результате совместных измерений
необходимо определить. Такой зависимостью,
например, является линейная функция
вида

(0.17)

Используя
метод наименьших квадратов, можно
получить расчетные формула для определения
параметров
и.
Эти формулы записываются в виде

,

(0.18)

Величина
дисперсии этих параметров находится
по формулам

Проверка
статистических гипотез. Критерий Фишера.

Первый
вопрос, который нас интересует после
вычисления коэффициента
,
это проверка соответствия
(0.10)
экспериментальным данным
.

Рис.
0.4.

На
рисунках (0.4 а), (0.4 б) линией показана
зависимость
,
полученная по методу наименьших
квадратов.
Точками показаны экспериментальные
данные с разбросом, равным
.
Очевидно, что зависимость
соответствует экспериментальным данным
только в первом случае.

Однако
это качественные соображения, а нам
нужна количественная оценка. Для
характеристики среднего разброса точек
относительно
вполне подходит остаточная сумма
квадратов. Неудобство состоит в том,
что остаточная сумма квадратов зависит
от числа коэффициентов в уравнении.
Кроме того, если ввести столько
коэффициентов, сколько имеется независимых
измерений, то мы получим остаточную
сумму, равную нулю.

Поэтому
предпочитают делить остаточную сумму

квадратов на число степеней свободы.
Числом степеней свободы в математической
статистике называется разность между
числом измерений
и числом коэффициентов,
входящих
в уравнение
,
т.е..

Остаточная
сумма квадратов
,
деленная на число степеней свободы,
называется дисперсией адекватности,
т.е.

(0.19)

Для
зависимости
дисперсия адекватности равна

, (0.20)

где
число совместных измерений величин.

Для
проверки соответствия зависимости
экспериментальным данным используют-критерий
(критерий Фишера),
при этом вычисляют следующее соотношение

(0.21)

где
-есть
дисперсия воспроизводимости
с
числом степеней свободы, равным
,
где
число измерений, т.е.

, (0.22)

где
число
прямых измерений величины.

Из
предыдущего равенства видно, что параметр
является величиной случайной и для него
существует функция распределения,
которая впервые была получена Фишером.
Изтабл.
0-2
находят при известном числе степеней
свободы дисперсии
,и заданной вероятности,
значения
и

Далее
проверяют двухстороннее неравенство

(0.23)

В
том случае,
когда
,
достаточно производить одностороннюю
оценку,
т.е.

(0.24)

Если
данные условия выполняются, то с
вероятностью, равной
,можно
утверждать, что зависимостьсоответствует полученным экспериментальным
данным.

Таблица
0.2: Значения
критерия Фишера
при надежностив зависимости от числа степеней свободы
сравниваемых величин дисперсий.

d-1	n-m
3	4	5
2	19.00	19.16	19.25
3	9.55	9.28	9.12
4	6.94	6.59	6.39
5	5.79	5.41	5.19

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Косвенная величина

Cтраница 1

Часто косвенные величины практически служат не только для целей регулирования, но оказываются необходимыми также и для осуществления оперативного контроля за недоступными для измерения основными регулируемыми величинами. Так, может потребоваться предсказание возможного значения tf ( t) на некоторое время т вперед. Подобные задачи достаточно просто решаются в случае, когда объект может считаться линейной динамической системой, подверженной действию стационарных случайных возмущений, а в качестве меры отклонения вычисленного значения выхода от его действительного значения выбирается среднеквадратичное отклонение.
 [1]

Косвенная величина скорости ( U) движения ионов в эл-тах, выраженная как произведение их скорости движения ( и, м / с при напряженности электрич.
 [2]

Эти методы фиксируют только косвенные величины, характеризующие процесс смачивания. Поэтому сравнительные результаты могут быть получены лишь в тех случаях, когда определения ведутся в одних и тех же условиях.
 [3]

Влияние погрешностей прямых измерений на искомую косвенную величину зависит от вида расчетной формулы. Например, целью эксперимента является определение молекулярной массы вещества методом криоскопии.
 [4]

Сигнализаторы первого типа основаны на измерении косвенных величин, например электрического сопротивления или проводимости, теплоотдачи и др. Сигнализаторы второго типа основаны на непосредственном воздействии слоя льда на датчик.
 [5]

По уравнению (1.21) рассчлтывают относительную ошибку косвенной величины.
 [6]

Из расчетной формулы находят выражение для определения относительной ошибки искомой косвенной величины. Для этого надо взять натуральный логарифм искомой косвенной величины и продифференцировать его по результатам прямых измерений, рассматривая их как переменные.
 [7]

В этой схеме вместо непосредственного измерения тепловосприятия поверхностей нагрева парогенератора измеряется косвенная величина – сумма расхода пара и производной от давления в барабане котла.
 [8]

Малая частота ошибки позволяет надеяться на возможность контроля качества алюминатного раствора по косвенным величинам.
 [9]

Для создания эффективной системы автоматической защиты необходимо выявить существующие в технологическом процессе связи между косвенными величинами и опасной величиной.
 [10]

Информационно-измерительная система, снабженная вычислительными блоками для статистической обработки и анализа информации, а также нахождения косвенных величин, резко снижает объем выходной информации, поступающей к исследователю. Результат эксперимента получается сразу в удобном для творческого анализа виде. В случае применения ЦВМ на следующем этапе анализа расходуется минимальное машинное время, появляется возможность работы на машинах малого быстродействия с небольшим объемом ЗУ.
 [11]

Согласно рекомендациям можно определять значения величин, задаваемых в рабочих чертежах деталей прямыми размерами, а также и косвенных величин, размеры которых в чертеже не фигурируют, но используются для установления соответствующих прямых размеров. Например, согласно рекомендации курса Детали машин диаметр ступицы стального зубчатого колеса ( рис. 148, а) определяют непосредственно из соотношения dc – – l 6db а что же касается диаметра d2 ступени вала, в которую упирается внутреннее кольцо подшипника ( рис. 148 б), то он определяется из соотношения d2 d 2h, где рекомендуемой величиной является высота заплечика h, которую задают в чертеже косвенно.
 [12]

Если динамические характеристики каналов защиты заданы или определены, степень связи можно оценивать с помощью коэффициента корреляции между опасной величиной и косвенной величиной, приведенной к той же точке измерения. Для нелинейных связей таким же образом определяется корреляционное отношение.
 [13]

Стремление к увеличению крутизны переднего фронта импульса привело к замене изображения волнового процесса, который сам по себе является важной характеристикой для исследования материала, на искусственный импульс, дающий косвенную величину времени распространения упругих волн.
 [15]

Страницы:  

   1

   2

   3

Погрешности косвенных измерений

Теперь необходимо рассмотреть вопрос о том, как находить погрешность физической величины U, которая определяется путем косвенных измерений. Общий вид уравнения измерения

где Х_j – различные физические величины, которые получены экспериментатором путем прямых измерений, или физические константы, известные с заданной точностью. В формуле они являются аргументами функции.

В практике измерений широко используют два способа расчета погрешности косвенных измерений. Оба способа дают практически одинаковый результат.

Способ 1.Сначала находится абсолютная D, а затем относительная d погрешности. Этот способ рекомендуется для таких уравнений измерения, которые содержат суммы и разности аргументов.

Общая формула для расчета абсолютной погрешности при косвенных измерениях физической величины Y для произвольного вида f функции имеет вид:

(1.5)

общая погрешность прямых измерений величины Х_j.

Для нахождения относительной погрешности нужно прежде всего найти среднее значение величины Y. Для этого в уравнение измерения (1.4) надо подставить средние арифметические значения величин X_j.

То есть среднее значение величины Y равно: . Теперь легко найти относительную погрешность: .

Пример: найти погрешность измерения объёма V цилиндра. Высоту h и диаметр D цилиндра считаем определёнными путём прямых измерений, причём пусть количество измерений n=10.

Формула для расчета объёма цилиндра, то есть уравнение измерения имеет вид:

Пусть при Р=0,68;

при Р=0,68.

Тогда, подставляя в формулу (1.5) средние значения, найдём:

Погрешность D_V в данном примере зависит, как видно, в основном от погрешности измерения диаметра.

Средний объём равен: , относительная погрешность d_V равна:

, или d_V=19%.

Окончательный результат после округления:

Способ 2. Этот способ определения погрешности косвенных измерений отличается от первого способа меньшими математическими трудностями, поэтому его чаще используют.

В начале находят относительную погрешность d, и только затем абсолютную D. Особенно удобен этот способ, если уравнение измерения содержит только произведения и отношения аргументов.

.

Все численные значения входящих в формулу величин сохраним теми же, что и при расчетах по способу 1.

Пусть мм, ; при Р=0,68;

; при Р=0,68.

-погрешность округления числа p (см. рис. 1.1)

При использовании способа 2 следует действовать так:

1) прологарифмировать уравнение измерения (берём натуральный логарифм)

.

найти дифференциалы от левой и правой частей, считая независимыми переменными,

;

2) заменить дифференциал каждой величины на абсолютную погрешность этой же величины, а знаки “минус”, если же они есть перед погрешностями на “плюс”:

;

3) казалось бы, что с помощью этой формулы уже можно дать оценку для относительной погрешности , однако это не так. Требуется так оценить погрешность, чтобы доверительная вероятность этой оценки совпадала с доверительными вероятностями оценки погрешностей тех членов, которые стоят в правой части формулы. Для этого, чтобы это условие выполнялось, нужно все члены последней формулы возвести в квадрат, а затем извлечь корень квадратный из обеих частей уравнения:

.

Или в других обозначениях относительная погрешность объёма равна:

,

причём вероятность этой оценки погрешности объёма будет совпадать с вероятностью оценки погрешностей входящих в подкоренное выражение членов:

Сделав вычисления, убедимся, что результат совпадает с оценкой по способу 1:

Теперь, зная относительную погрешность, находим абсолютную:

Окончательный результат после округления:

Контрольные вопросы

1. В чём заключается задача физических измерений?

2. Какие типы измерений различают?

3. Как классифицируют погрешности измерений?

4. Что такое абсолютная и относительная погрешности?

5. Что такое промахи, систематические и случайные погрешности?

6. Как оценить систематическую погрешность?

7. Что такое среднее арифметическое значение измеренной величины?

8. Как оценить величину случайной погрешности, как она связана со средним квадратичным отклонением?

10. Если в качестве оценки для случайной погрешности выбрать величину 2s или 3s, то с какой вероятностью истинное значение будет попадать в определённые этими оценками интервалы?

11. Как суммировать погрешности и когда это нужно делать?

12. Как округлить абсолютную погрешность и среднее значение результата измерения?

13. Какие способы существуют для оценки погрешностей при косвенных измерениях? Как при этом действовать?

14. Что нужно записать в качестве результата измерения? Какие величины указать?

Дата добавления: 2015-02-19 ; просмотров: 5302 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Источник

Что такое косвенная погрешность

Погрешности прямых измерений. Промах. Систематическая погрешность. Случайная погрешность. Полная погрешность. Погрешности косвенных измерений. Запись результата измерений

Измерить физическую величину – это значит сравнить ее с однородной величиной, принятой за единицу меры.

Различают прямые и косвенные измерения.

Если измеряемая величина непосредственно сравнивается с мерой, то измерения называются прямыми. Например, измерения линейных размеров тел с помощью масштабной линейки и т.д.

Если измеряется не сама искомая величина, а некоторые другие величины, связанные с ней функциональной зависимостью, то измерения называются косвенными. Например, измерения объема, ускорения и т.д.

Из-за несовершенства средств и методик измерения, органов чувств при любом измерении неизбежны отклонения результатов измерений от истинных величин. Эти отклонения называются погрешностями измерений.

Погрешности измерений делятся на систематические, случайные и промахи.

1.1. Промахи, связанные с неправильными отсчетами по прибору, неправильными записями и т.д., приводят к очень большой по абсолютной величине погрешности. Они, как правило, не укладываются в общую закономерность измеренных величин. Обнаруженный промах следует отбросить.

1.2. Систематическими погрешностями Δx_сист называются погрешности, которые сохраняются при повторных измерениях одной и той же величины x или изменяются по определенному закону.

Систематические погрешности подразделяются на несколько групп. Отметим только приборную погрешность.

Систематическая приборная погрешность определяется по классу точности прибора, который указывается на приборе следующими цифрами: 0,01; 0,02; 0,05; 1,0; 2,5; 4,0. Класс точности показывает предельно допустимое значение систематической погрешности, выраженной в процентах от верхнего предела на выбранном диапазоне измерений. Например, предел измерения вольтметра с классом точности 0,5 равен 200 В. Систематическая погрешность равна 0,5% от 200В. Следовательно, систематическая погрешность вольтметра равна 1 В.

Если на приборе класс точности не указан, то погрешность равна половине цены наименьшего деления шкалы прибора.

1.3. Случайными называются погрешности, которые изменяются беспорядочно при повторных измерениях одной и той же физической величины при одинаковых условиях.

Оценим случайную погрешность. Пусть при измерении какой-либо физической величины было произведено N измерений и были получены значения x₁, x₂, … x_N. Тогда наиболее вероятным значением измеряемой величины является ее среднее арифметическое значение

Результаты измерений x₁, x₂, … x_N «рассеиваются» вокруг среднего. В качестве меры «рассеяния» результатов наблюдения вокруг среднего служит среднее квадратичное отклонение

Пусть a будет истинным, но неизвестным значением измеряемой величины x. Доказано, что вероятность попадания результатов измерения величины x в интервал значений от (a – S) до (a + S) оказывается равной α = 0,68.

Вероятность попадания результатов наблюдений в более широкие интервалы (a – 2S, a + 2S) и (a – 3S, a + 3S) равна α = 0,95 и α = 0,99 соответственно.

Вероятность попадания в заданный интервал значений величины x называется доверительной вероятностью, а сам интервал – доверительным интервалом.

Однако, таким образом полученный доверительный интервал справедлив при большом значении N. В учебных лабораториях, как правило, приходится ограничиваться небольшим числом измерений. В этом случае доверительный интервал находят с помощью коэффициента Стьюдента, который зависит от числа измерений N и доверительной вероятности α. В таблице 1 приведены коэффициенты Стьюдента для различного числа наблюдений при доверительных вероятностях α = 0,68; 0,95; 0,99.

Источник

Что такое косвенная погрешность

Чтобы найти погрешность косвенных измерений, надо воспользоваться формулами, приведенными в таблице. Эти формулы могут быть выведены «методом границ».

Сначала надо вспомнить основные понятия теории погрешности.

Так как мы никогда не знаем точного значения величины А, а лишь определяем из опыта ее приближенное значение, то и величину абсолютной погрешности мы можем определить лишь при­бли­зи­тель­но. Наиболее просто находится максимальная величина абсолютной погрешности, которая и используется нами в лабораторных работах.

Относительная погрешность измерения ε_А равна:

При косвенных измерениях величину погрешности искомой величины вычисляют по формулам:

В случае, когда искомая величина находится по формуле, в которой в основном присутствуют произведение и частное, удобней находить сначала относительную погрешность. Если при этом один из множителей представляет собой сумму или разность, нужно предварительно найти его абсолютную погрешность (сложением абсолютных погрешностей слагаемых), а затем относительную.

Зная относительную погрешность, найти абсолютную погрешность измерений можно так:

«Правило ничтожных погрешностей»

при суммировании погрешностей любым из слагаемых можно пренебречь, если оно не превосходит ⅓ – ⅟ 4 от другого.

Запись результата с указанием погрешности.

Абсолютная погрешность измерений обычно округляется до 1 значащей цифры, а, если эта цифра 1, то до двух.

Результат записывается в виде:

А = А_изм ± ΔА, например: ℓ = (13 ± 2) мм.

Пример оценки погрешностей косвенных измерений № 1

Пример оценки погрешностей косвенных измерений № 2

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Найдите плотность вещества, из которого сделан куб со стороной 7,00 ± 0,15 см, если его масса 847 ± 2 г. Что это за вещество?

Задание 2. Найдите удельную теплоту сгорания топлива, 2,10 ± 0,15 г которого хватило, чтобы нагреть 400 ± 10 мл воды на 35°С ± 2°С. Что это за топливо?

© Ивашкина Д.А., 2017. Публикация материалов с сайта разрешена только при наличии активной ссылки на главную страницу.

Источник

Определение погрешности косвенных измерений

Погрешности измеряемых и табличных величин обуславливают погрешности DХ_ср косвенно определяемой величины, причем наибольший вклад в DХ_ср дают наименее точные величины, имеющие максимальную относительную погрешность d. Поэтому, для повышения точности косвенных измерений, необходимо добиваться равноточности прямых измерений

Правила нахождения погрешностей косвенных измерений:

1. Находят натуральный логарифм от заданной функции

2. Находят полный дифференциал (по всем переменным) от найденного натурального логарифма заданной функции;

3. Заменяют знак дифференциала d на знак абсолютной погрешности D;

4. Заменяют все «минусы», стоящими перед абсолютными погрешностями DА, DВ, DС, … на «плюсы».

В результате получается формула наибольшей относительной погрешности d_x косвенно измеренной величины Х:

d_x = = j (A_ср, B_ср, C_ср, …, DA_ср, DB_ср, DC_ср, …). (18)

По найденной относительной погрешности d_x определяют абсолютную погрешность косвенного измерения:

Результат косвенных измерений записывают в стандартном виде и изображают на числовой оси:

Пример :

Найти значения относительной и средней погрешностей физической величины L, определяемой косвенно по формуле:

, (21)

где π, g, t, k, α, β – величины, значения которых измерены или взяты из справочных таблиц и занесены в таблицу результатов измерений и табличных данных (подобную табл.1).

2. Определяют наибольшую относительную погрешность δ_L :

a). Логарифмируют формулу (21):

(22)

b). Дифференцируют полученное выражение (22):

(23)

c). Заменяют знак дифференциала d на Δ, а «минусы» перед абсолютными погрешностями – на «плюсы», и получают выражение для наибольшей относительной погрешности δ_L :

δ_L =

d). Подставляя в полученное выражение средние значения входящих величин и их погрешностей из таблицы результатов измерений, вычисляют δ_L .

3. Затем вычисляют абсолютную погрешность ΔL_ср:

Результат записывают в стандартном виде и изображают графически на оси L:

, ед. изм.

2. Правила округления результатов вычисления

Результаты математических действий над приближенными числами округляют до следующего количества значащих цифр:

a) при сложении и вычитании отбрасывают значащие цифры из последних разрядов, если их нет в одном их слагаемых;

b) при умножении и делении сохраняют столько значащих цифр, сколько их в приближенном числе с наименьшим количеством этих цифр;

В промежуточных результатах сохраняют на одну («запасную») цифру больше.

1) 0,374 + 13,1 + 2,065 ≈ 15,5

Отброшены сотые и тысячные доли единиц, отсутствующие в числе 13,1.

2)

Оставлены две значащие цифры по их количеству в числе 7,2.

Оставлены три значащие цифры по их количеству в числе 216.

3. Оформление результатов прямых и косвенных измерений

Результаты измерений записывают в стандартном виде с использованием нормальной формы записи чисел, заменяя незначащие нули соответсвующей степенью десяти.

Обязательно указывается относительная погрешность измерения в процентах.

Округление конечных результатов делается по следующим правилам:

a) в среднем значении абсолютной погрешности DХ_ср оставляют одну не нулевую значащую цифру (или две, если первая цифра – единица);

b) в среднем значении результата измерения X_ср оставляют все верные цифры и одну сомнительную (две, если округленная погрешность содержит две значащие цифры).

Для сравнения полученного результата с данными другого опыта или с табличным значением следует показать интервалы сравниваемых величин на числовой оси.

При частичном или полном перекрытии интервалов можно делать вывод о равенстве величин в пределах погрешности измерений.

Источник

Погрешности косвенных измерений

Погрешности прямых измерений

Принято различать три типа погрешностей прямых измерений: промахи, систематические погрешности и случайные погрешности.

2. Случайные погрешности — погрешности, вызванные большим числом случайных неконтролируемых помех (сотрясением фундамента здания, изменением напряжения электрической сети, реакцией наблюдателя). В итоге при повторных наблюдениях получаются несколько отличающиеся друг от друга результаты. Исключить случайные погрешности нельзя, можно лишь оценить их величину. Это можно сделать, применяя теорию погрешностей.

В случае небольшого числа измерений (именно так обстоит дело в учебных лабораториях) вычисляем полуширину доверительного интервала по формуле:

Dх_сл , (1. 4)

3. Систематическиминазываются погрешности, которые сохраняют свою величину и знак во время эксперимента. Систематические ошибки вызываются разными причинами, односторонне влияющими на результат измерений:

· ограниченной точностью приборов (измерительных инструментов) – приборные (инструментальные погрешности);

· неправильной настройкой (неравные плечи весов, стрелка не установлена на ноль и т.д.);

· округлениями, которые производятся при измерениях и вычислениях.

При выполнении лабораторных работ приходится оценивать, как правило, следующие систематические ошибки.

Классом точности прибора называется отношение предельной абсолютной погрешности к максимальному значению измеряемой прибором величины

Классов точности семь: 0,02; 0.05; 0,1; 0.5; 1; 2,5; 4. Это число указано на шкале прибора. Зная класс точности и пределы измерения прибора, можно рассчитать его предельную погрешность

. (1.6)

Приборная погрешность Dх_пр представляет собой наибольшую погрешность, даваемую прибором. Действительная же погрешность прибора Dх_пр ст (стандартное отклонение) носит случайный характер и меньше Dх_пр. Строгих формул для перевода Dх_пр в Dх_пр ст нет, чаще всего пользуются выражением

, (1.7)

где — коэффициент Стьюдента при n = ¥.

. (1.8)

4. Полная погрешность. Как уже отмечалось, в реальных условиях присутствуют как случайные, так и систематические погрешности. В теории вероятности показывается, что погрешность, обусловленная несколькими независимыми причинами, определяется квадратичным суммированием, т. е. полная абсолютная погрешность прямого измерения

. (1.9)

. (1.10)

При этом доверительная вероятность a выбирается одинаковой для всех видов погрешностей.

Погрешности косвенных измерений

Необходимо найти среднее значение функции и погрешность ее измерений, т.е. найти доверительный интервал

(1.12)

при надежности a и относительную погрешность .

Что касается , то оно находится путем подстановки в правую часть (1.11) вместо a, b, c. их средних значений

. (1.13)

(1.14)

(кроме случаев, когда показатель равен –1), то сначала удобно вычислить относительную погрешность

, (1.15)

а затем абсолютную

. (1.16)

Источник