Свойство 3. Для любого числа (t):
sin(t+π)=−sint;cos(t+π)=−cost;tg(t+π)=tgt;ctg(t+π)=ctgt.
tg(t+πk)=tgt;ctg(t+πk)=ctgt.
Свойство 4. Для любого числа (t):
sint+π2=cost;cost+π2=−sint.
Для синуса и косинуса есть геометрическая иллюстрация на числовой окружности.
Дадим геометрическую иллюстрацию для тангенса и котангенса.
Проведём сначала в координатной плоскости к числовой окружности касательную в точке (A).
Эту касательную (l) будем считать числовой прямой, ориентированной так же, как ось (y), и с началом в точке (A) (см. рис.)
Из подобия треугольников (OMK) и (OPA) следует равенство: MKOK=PAOA;sintcost=PA1. Т. е. (PA = tg t) |
Итак, если числу (t) соответствует на числовой окружности точка (M), то, проведя прямую (OM),
получим в пересечении её с числовой прямой (l) точку (P), которая имеет на числовой прямой (l) координату (tg) (t).
Числовую прямую (l) называют линией тангенсов.
Аналогично можно ввести линию котангенсов — числовая прямая (m) с началом в точке (B) (см. рис.).
Алгебра и начала математического анализа, 10 класс
Урок № 30. Определение синуса, косинуса и тангенса угла
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
- Ввод понятий синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла
- Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла
- Решение простейших тригонометрических уравнений
- Решение задач на применение знаний о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе в формате заданий ЕГЭ;
Глоссарий по теме
Синус угла– ордината точки, полученной поворотом точки (1; 0) вокруг начала координат на угол .
Обозначается
Косинус угла – абсцисса точки, полученной поворотом точки (1; 0) вокруг начала координат на угол .
Обозначается
Тангенс угла – отношение синуса угла к его косинусу.
Обозначается tg
Котангенс угла отношение косинуса угла к его синусу.
Обозначается сtg
На единичной окружности касательная, проведенная к точке (1; 0) называется линией тангенсов.
Касательная, проведенная к точке (0; 1) – линия котангенсов.
Основная литература:
Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2014.
Открытые электронные ресурсы:
Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Историческая справка
Зарождение тригонометрии относится к глубокой древности. Слово «тригонометрия» греческое: тригоно — треугольник, метрити — мера. Иными словами, тригонометрия — наука об измерении треугольников. Длительную историю имеет понятие синуса. Различные отношения отрезков треугольника и окружности встречаются уже в III в. до н. э. в работах великих математиков Древней Греции — Евклида, Архимеда, Аполлония Пергского. В IV—V вв. появился специальный термин в трудах по астрономии великого индийского ученого Ариабхаты (476 — ок.550). Отрезок он назвал ардхаджива, или более кратко джива. Арабскими математиками в IX в. слово джива было заменено на арабское слово джайб (выпуклость). При переводе арабских математических текстов в XII в. это слово было заменено латинским синус (sinus — изгиб, кривизна).
Косинус — это сокращение латинского выражения complementysinus, т. е. «дополнительный синус» или иначе «синус дополнительной дуги».
Название «тангенс» происходит от латинского tanger (касаться). Tangens переводится как «касающийся» (линия тангенсов — это касательная к единичной окружности).
Несмотря на то, что тригонометрия зародилась в древние времена, сегодня она охватывает практически все естественные науки и технику.
Актуализация знаний
1.Найдите координаты точек А, В, С и D, лежащих на единичной окружности (рис. 1)
Рисунок 1 – единичная окружность
Поставьте в соответствие точке её координаты
А (0; 1)
В (-1; 0)
С (1; 0)
D (0; -1)
Ответ: А(1; 0); В(0; 1); С(-1; 0); D(0; -1)
Сегодня на уроке мы узнаем, как по-другому называются абсцисса и ордината точки, лежащей на единичной окружности.
1.Рассмотрим окружность радиуса, равного 1 единичному отрезку, в прямоугольной системе координат хОу с центром в начале координат. Такую окружность называют
единичной или тригонометрической.
Рисунок 2 – точка Р на единичной окружности
Точка Р (1; 0) при повороте вокруг начала координат на угол переместилась в точку Рₐ. Определим её координаты. (рис. 2).
Определения.
Синусом угла называется ордината точки, полученной поворотом точки (1; 0) вокруг начала координат на угол.
Обозначается
Косинусом угланазывается абсцисса точки, полученной поворотом точки (1; 0) вокруг начала координат на угол .
Обозначается
Угол может выражаться и в градусах и в радианах.
Пример 1.
Точка А(1; 0) при повороте на угол 90 (рис. 1)
Ордината точки В равна 1, значит или
Абсцисса точки В равна 0, значит
Пример 2.
Точка А(1; 0) при повороте на угол переместилась в точку ( рис. 1)
Найдите и
Ответ: = 0;
Пример 3.
Точка А(1; 0) при повороте на угол переместилась в точку (рис. 1)
Найдите и
Ответ: =1= 0.
Рассмотрим ещё два понятия.
Определение. Тангенсом угла называется отношение синуса угла к его косинусу.
Обозначается tg
tg,
Пример 4.
Найти tg 0. Вычислим по формуле tg = = 0.
Определение. Котангенсом угла называется отношение косинуса угла к его синусу.
Обозначается сtg
сtg
Пример 5.
Найти сtg .
Вычислим по формуле сtg =
2. Меру угла(в радианах) можно рассматривать как действительное число, поэтому и – это числовые выражения. А так как каждая точка единичной окружности имеет координаты х и у такие, что выполняются неравенства -1 ≤ х ≤ 1; -1 ≤ у ≤ 1,то синус и косинус не могут превышать значения, больше .
Чтобы решить уравнения = а, нужно считать х неизвестным, число а – заданным.
Пример 6.
Решить уравнение = 1.
Найдем точку с ординатой 1 и запишем, каким числам х она соответствует. На окружности мы видим эту точку: В (0; 1). Она соответствуют числу и всем числам вида
Решением уравнения = 1 являются х =.
3. Полезно знать синусы, косинусы, тангенсы некоторых углов. Для этого рассмотрим дугу единичной окружности в I четверти координатной плоскости (рис. 3).
Рисунок 3 – 1 четверть единичной окружности
Точки А (1; 0) и В (0; 1) нам знакомы. Рассмотрим ещё несколько точек на окружности и найдем их координаты. Точка С является серединой дуги АВ, значит угол АОС равен половине прямого угла, 45 или . Ордината точки С равна её абсциссе. Их значения нетрудно найти по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ОСF, оно равно А значит,
,
tg 45
Дуга АМ составляет третью часть прямого угла, . Ордината точки М равна , значит
, tg30.
Дуга АNсоставляет прямого угла, . Абсцисса точки N равна , поэтому
, tg 60.
Чтобы легче запомнить эти значения, придумали мнемоническое правило- правило на ладони (рис. 4).
Рисунок 4 – мнемоническое правило- правило на ладони
Расположим ладонь так, как на рисунке, пусть мизинцу соответствует угол 0, следующим пальцам– 30, 45, 60 и 90. Так же присвоим им номера: мизинец №0, следующие №1, №2, №3, №4. Чтобы найти синус, используем формулу: =. А для косинуса нумерацию будем вести от большого пальца, выполняя вычисления по той же формуле. =.
Например, =, = = .
А тангенс можно вычислить по формуле: tg = .
Тангенсы и котангенсы, также как и синусы, косинусы, можно определить по единичной окружности. Для этого познакомимся с ещё одним понятием.
На единичной окружности касательная, проведенная к точке (1; 0) называется линией тангенсов. Касательная, проведенная к точке (0; 1) – линия котангенсов (рис. 5).
Рисунок 5 – линия тангенсов и линия котангенсов
Например, чтобы найти tg, находим пересечение радиус-вектора под углом с линией тангеса. Это число , или .
Чтобы найти ctg , радиус-вектор под углом должен пересечь линию котангенсов.
Это число .
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
Пример 6.
Решить уравнение =0.
Синусом угла является ордината точки, поэтому значения синусов находим по оси Оу.
Найдем точки А (1; 0) и С (-1; 0) с ординатой 0 и запишем, каким числам х они соответствуют. Они соответствуют числам 0 (точка А), (точка С), 2
Решением уравнения = 0 являются х =.
Z- множество целых чисел.
Пример 6.
Решить уравнение=1.
Найдем точки с абсциссой 1 и запишем, каким числам х они соответствуют. На рис.3 мы видим эту точку: А (1; 0) Она соответствуют числу и всем числам вида
Решением уравнения= 1. являются х = , где .
Тригонометрия – раздел математической науки, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование в геометрии. Развитие тригонометрии началось еще во времена античной Греции. Во времена средневековья важный вклад в развитие этой нужной науки внесли ученые Ближнего Востока и Индии, которые придумали наиболее важные понятия, объяснили многие свойства, предложили варианты измерения и др.
Данная статья посвящена базовым понятиям и дефинициям тригонометрии. В ней рассмотрены определения основных тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Разъяснен и проиллюстрирован их смысл в контексте геометрии без таблиц и графиков.
Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определения
Зачем разделять понятия синуса, косинуса, тангенса и котангенса?
Изначально определения тригонометрических функций, аргументом которых является угол, выражались через соотношения сторон прямоугольного треугольника.
Что такое синус?
Синус угла (sin α) – это отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.
Что такое косинус?
Косинус угла (cosα) – это отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Что такое тангенс?
Тангенс угла (tg α) – это отношение противолежащего катета к прилежащему.
Котангенс угла (ctg α) – отношение прилежащего катета к противолежащему.
Данные определения даны для острого угла прямоугольного треугольника!
Синус и косинус можно представить через экспоненту (экспоненциальная функция).
Приведем иллюстрацию.
В треугольнике ABC с прямым углом С синус угла А равен отношению катета BC к гипотенузе AB.
Означения синуса, косинуса, тангенса и котангенса позволяют вычислять (находить) значения этих функций по известным длинам сторон треугольника.
Что и почему важно и принято помнить в ходе такого нахождения?
Область значений синуса и косинуса: от -1 до 1. Иными словами синус и косинус принимают значения от -1 до 1. Область значений тг и ктг – вся числовая прямая, то есть эти функции могут принимать любые значения.
Как найти синус? Для начала нужно определиться, какой перед нами треугольник: прямоугольный или произвольный. В первом случае можно использовать обычный тригонометрический метод, а во втором – теорему косинусов.
Как найти косинус? Соответственно, нам нужно знать значения прилежающего катета и гипотенузы.
Как найти тангенс? Если треугольник прямоугольный, то тангенс вычисляется при помощи значений противоположного катета и прилежащего (в уравнении нужно поделить одно на другое). Если речь идет о числах, тупых, развернутых углов и углов, превышающих 360 градусов, то тангенс определяется при помощи синуса и косинуса (посредством их отношения и деления).
Теорема синусов и косинусов используется для того чтобы искать элементы в произвольном треугольнике. Такой поиск используется часто.
Угол поворота
Определения, данные выше, относятся к острым углам. В тригонометрии вводится понятие угла поворота, величина которого, в отличие от острого угла, не ограничена рамками от 0 до 90 градусов.Угол поворота в градусах или радианах выражается любым действительным числом от -∞ до +∞.
В данном контексте можно дать определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла произвольной величины. Представим единичную окружность (круг) с центром в начале декартовой системы координат.
Начальная точка A с координатами (1, 0) поворачивается вокруг центра единичной окружности на некоторый угол α и переходит в точку A1. Определение дается через координаты точки A1(x , y).
Синус угла поворота α – это ордината точки A1(x , y). sin α=y
Косинус угла поворота α – это абсцисса точки A1(x , y). cos α=икс
Тангенс угла поворота α – это отношение ординаты точки A1(x , y) к ее абсциссе. tg α=yx
Котанг угла поворота α – это отношение абсциссы точки A1(x , y) к ее ординате. ctg α=xy
Синус и косинус определены для любого угла поворота. Это логично, ведь абсциссу и ординату точки после поворота можно определить при любом угле. Иначе обстоит дело с тангенсом и котангенсом. Тангенс не определен, когда точка после поворота переходит в точку с нулевой абсциссой (0, 1) и (0, -1). В таких случаях выражение для тангенса tg α=yx просто не имеет смысла, так как в нем присутствует деление на ноль. Аналогична ситуация с котангенсом. Отличие состоит в том, что котангенс не определен в тех случаях, когда в ноль обращается ордината точки.
Простое правило: синус и косинус определены для любых углов α.
Тангенс определен для всех углов, кроме α=90°+180°·k, k∈Z (α=π2+π·k, k∈Z)
Котангенс определен для всех углов, кроме α=180°·k, k∈Z (α=π·k, k∈Z)
При решении практических примеров не говорят “синус угла поворота α”. Слова “угол поворота” просто опускают, подразумевая, что из контекста и так понятно, о чем идет речь.
Числа
Как быть с определением синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа, а не угла поворота?
Синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом числа t называется число, которое соответственно равно синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу в t радиан.
Например, синус числа 10π равен синусу угла поворота величиной 10π рад.
Существует и другой подход к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа. Рассмотрим его подробнее.
Любому действительному числу t ставится в соответствие точка на единичной окружности с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Синус, косинус, тангенс и котангенс определяются через координаты этой точки.
Начальная точка на окружности – точка A c координатами (1, 0).
Положительному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t.
Отрицательному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t.
Теперь, когда связь числа и точки на окружности установлена, переходим к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
Синус числа t – ордината точки единичной окружности, соответствующей числу t. sin t=y
Косинус числа t – абсцисса точки единичной окружности, соответствующей числу t. cos t=x
Тангенс числа t – отношение ординаты к абсциссе точки единичной окружности, соответствующей числу t. tg t=yx=sin tcos t
Последние определения находятся в соответствии и не противоречат определению, данному в начале это пункта. Точка на окружности, соответствующая числу t, совпадает с точкой, в которую переходит начальная точка после поворота на угол t радиан.
Тригонометрические функции углового и числового аргумента
Каждому значению угла α соответствует определенное значение синуса и косинуса этого угла. Также, как всем углам α, отличным от α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π 2 + π · k , k ∈ Z ) соответствует определенное значение тангенса. Котангенс, как сказано выше, определен для всех α, кроме α = 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π · k , k ∈ Z ).
Можно сказать, что sin α, cos α, tg α, ctg α – это функции угла альфа, или функции углового аргумента.
Аналогично можно говорить о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе, как о функциях числового аргумента. Каждому действительному числу t соответствует определенное значение синуса или косинуса числа t. Всем числам, отличным от π 2 + π · k , k ∈ Z соответствует значение тангенса. Котангенс, аналогично, определен для всех чисел, кроме π · k , k ∈ Z.
Синус, косинус, тангенс и котангенс – основные тригонометрические функции.
Из контекста обычно понятно, с каким аргументом тригонометрической функции (угловой аргумент или числовой аргумент) мы имеем дело.
Связь определений sin, cos, tg и ctg из геометрии и тригонометрии
Вернемся к данным в самом начале определениям и углу альфа, лежащему в пределах от 0 до 90 градусов. Тригонометрические определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса полностью согласуются с геометрическими определениями, данными с помощью соотношений сторон прямоугольного треугольника. Покажем это.
Возьмем единичную окружность с центром в прямоугольной декартовой системе координат. Повернем начальную точку A(1,0) на угол величиной до 90 градусов и проведем из полученной точки A1(x,y) перпендикуляр к оси абсцисс. В полученном прямоугольном треугольнике угол A1OH равен углу поворота α, длина катета OH равна абсциссе точки A1(x,y). Длина катета, противолежащего углу, равна ординате точки A1(x,y), а длина гипотенузы равна единице, так как она является радиусом единичной окружности.
В соответствии с определением из геометрии, синус угла α равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.
sin α=A1HOA1=y1=y
Значит, определение синуса острого угла в прямоугольном треугольнике через соотношение сторон эквивалентно определению синуса угла поворота α, при альфа лежащем в пределах от 0 до 90 градусов.
Аналогично соответствие определений можно показать для косинуса, тангенса и котангенса.
Синус, косинус, тангенс и котангенс: основные формулы
Что такое синус, косинус, тангенс, котангенс
18 мая 2022
Сегодня мы узнаем, что такое синус, косинус, тангенс и котангенс. Это первый и самый важный урок по тригонометрии на всём сайте.
Содержание:
- Ключевые определения: синус, косинус, тангенс, котангенс.
- Почему эти значения зависят только от углов?
- Стандартные углы: 30°, 45°, 60°.
- Простейшие свойства синуса, косинуса, тангенса, котангенса.
- Тригонометрия на координатной сетке.
Никаких сложных формул и длинных решений. Всё расписано максимально подробно. Изучите этот урок — и никаких проблем с тригонометрией не будет. Погнали!
1. Ключевые определения
Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$, гипотенузой $c$ и острым углом $alpha $:
Мы видим, что острый угол $alpha $ образован гипотенузой $c$ и катетом $b$. Такой катет будем называть прилежащим. А катет $a$, который не участвует в формировании угла $alpha $, назовём противолежащим:
Это общепринятые названия: как только в прямоугольном треугольнике отмечен острый угол, для него немедленно можно указать прилежащий катет и противолежащий. И тут мы переходим к ключевым определениям.
1.1. Синус, косинус, тангенс, котангенс
Итак, пусть дан прямоугольный треугольник с острым углом $alpha $.
Тогда:
Определение 1. Синус угла $alpha $ — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:
[sin alpha =frac{text{противолежащий катет}}{text{гипотенуза}}=frac{a}{c}]
Определение 2. Косинус угла $alpha $ — это отношение прилежащего катета к гипотенузе:
[cos alpha =frac{text{прилежащий катет}}{text{гипотенуза}}=frac{b}{c}]
Определение 3. Тангенс угла $alpha $ — это отношение противолежащего катета к прилежащему:
[operatorname{tg}alpha =frac{text{противолежащий катет}}{text{прилежащий катет}}=frac{a}{b}]
Определение 3. Котангенс угла $alpha $ — это отношение прилежащего катета к противолежащему:
[operatorname{ctg}alpha =frac{text{прилежащий катет}}{text{противолежащий катет}}=frac{b}{a}]
Вот так всё просто! Берём один катет, делим его на гипотенузы (или на другой катет) — и получаем выражение для синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Все эти выражения называются тригонометрическими («тригонометрия» = «треугольники измеряю»).
Рассмотрим пару примеров.
Задача 1. Дан треугольник $ABC$. Найдите синус, косинус и тангенс угла $alpha $.
Решение. Это классический прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 и гипотенузой 5. Угол $alpha $ (он же — угол $A$ или угол $BAC$) образован прилежащим катетом $AB=3$гипотенузой $AC=5$. Следовательно катет $BC=4$ — противолежащий.
Имеем:
[begin{align}sin alpha& =frac{BC}{AC}=frac{5}{4} \ cos alpha& =frac{AB}{AC}=frac{3}{5} \ operatorname{tg}alpha& =frac{BC}{AB}=frac{4}{3} end{align}]
Далеко не всегда будут получаться такие красивые ответы. Чаще они будут содержать корни — это следствие теоремы Пифагора. Но важно понимать: как только мы находим длины катетов и гипотенузу, мы сразу можем найти и синусы, косинусы, тангенсы.
Далее в примерах мы не будем считать котангенсы, потому что из формулы котангенса очевидно, что они легко выражаются через тангенсы:
[operatorname{ctg}alpha =frac{1}{operatorname{tg}alpha }]
Но об этом чуть позже.
Задача 2. Дан треугольник $ABC$. Найдите синус, косинус и тангенс угла $alpha $.
Это равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами $AB=BC=1$. Найдём гипотенузу по теореме Пифагора:
[begin{align}{{ AC}^{2}} & ={{AB}^{2}}+{{BC}^{2}}=1+1=2 \ AC & =sqrt{2} \ end{align}]
Теперь найдём синус, косинус и тангенс:
[begin{align}sin alpha &=frac{BC}{AC}=frac{1}{sqrt{2}}=frac{sqrt{2}}{2} \ cos alpha &=frac{AB}{AC}=frac{1}{sqrt{2}}=frac{sqrt{2}}{2} \ operatorname{tg}alpha&=frac{BC}{AB}=frac{1}{1}=1 end{align}]
Простое правило, чтобы не запутаться, где прилежащий катет, а где противолежащий. Просто помните: приставка «ко» означает «вместе», «сообща». Поэтому «косинус» — это «катет, лежащий рядом, к гипотенузе», «котангенс» — это «катет, лежащий рядом, к противолежащему». И никак иначе.:)
1.2. Задачи для тренировки
Перед тем как переходить к следующей части урока, предлагаю 4 примера для тренировки.
Задача 3. ►
Дан прямоугольный треугольник с острым углом $alpha $. Найдите $sin alpha $, $cos alpha $, $operatorname{tg}alpha $.
Решение.
[begin{align}sin alpha &=frac{5}{13} \ cos alpha &=frac{12}{13} \ operatorname{tg}alpha &=frac{5}{12} \ end{align}]
Задача 4. ►
Дан прямоугольный треугольник с острым углом $alpha $. Найдите $sin alpha $, $cos alpha $, $operatorname{tg}alpha $.
Решение.
[begin{align}sin alpha &=frac{8}{17} \ cos alpha &=frac{15}{17} \ operatorname{tg}alpha &=frac{8}{15} \ end{align}]
Задача 5. ►
Дан прямоугольный треугольник с острым углом $alpha $. Найдите $sin alpha $, $cos alpha $, $operatorname{tg}alpha $.
Прилежащий катет по теореме Пифагора:
[begin{align}{{l}^{2}}&={{3}^{2}}-{{1}^{2}}=9-1=8 \ l&=sqrt{8}=2sqrt{2} \ end{align}]
Синус, косинус и тангенс:
[begin{align}sin alpha&=frac{1}{3} \ cos alpha&=frac{2sqrt{2}}{3} \ operatorname{tg}alpha&=frac{1}{2sqrt{2}}=frac{sqrt{2}}{4} \ end{align}]
Задача 6. ►
Дан прямоугольный треугольник с острым углом $alpha $. Найдите $sin alpha $, $cos alpha $, $operatorname{tg}alpha $.
Прилежащий катет по теореме Пифагора:
[begin{align}{{l}^{2}} &={{2}^{2}}-{{1}^{2}}=4-1=3 \ l &=sqrt{3} \ end{align}]
Синус, косинус и тангенс:
[begin{align}sin alpha&=frac{1}{2} \ cos alpha&=frac{sqrt{3}}{2} \ operatorname{tg}alpha&=frac{1}{sqrt{3}}=frac{sqrt{3}}{3} \ end{align}]
Как видим, считать синусы, косинусы и тангенсы совсем несложно. Перейдём теперь к принципиально важному вопросу: а зачем вообще всё это нужно?
2. Теорема о единственности
Ключевая идея: синус, косинус, тангенс и котангенс зависят только от величины угла $alpha $ и никак не зависят от прямоугольного треугольника, в котором идут вычисления.
Такого не произойдёт. Потому что есть теорема о единственности.
2.1. Формулировка теоремы
Теорема. Значение синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла в прямоугольном треугольнике определяются только величиной этого угла и никак не зависят от самого треугольника.
2.2. Доказательство
Рассмотрим произвольный острый угол $alpha $. Для удобства обозначим его вершину буквой $A$:
А затем впишем в него два произвольных прямоугольных треугольника — $ABC$ и $AMN$. Любым удобным способом. Например, можно вписать эти треугольники вот так:
А можно и вот так — это не имеет никакого значения:
Рассмотрим треугольники $ABC$ и $AMN$. Угол $A$ у них общий; углы [angle ABC=angle AMN=90{}^circ ] по условию. Следовательно, треугольники $ABC$ и $AMN$ подобны по двум углам:
[Delta ABCsim Delta AMN]
Из подобия треугольников следует двойное равенство
[frac{AB}{AM}=frac{BC}{MN}=frac{AC}{AN}]
Выпишем второе равенство — получим пропорцию
[frac{BC}{MN}=frac{AC}{AN}]
Попробуем выразить $sin alpha $. Вспомним основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних. Поэтому
[BCcdot AN=MNcdot AC]
Разделим обе части равенства на длину каждой гипотенузы — $AN$ и $AC$:
[begin{align}frac{BCcdot AN}{ANcdot AC} &=frac{MNcdot AC}{ANcdot AC} \ frac{BC}{AC} &=frac{MN}{AN} end{align}]
Однако по определению синуса имеем:
[begin{align}sin BAC &=frac{BC}{AC} \ sin MAN &=frac{MN}{AN} \ end{align}]
Получается, что $sin BAC=sin MAN$. Другими словами, вне зависимости от выбора треугольника для данного угла $alpha $ мы всегда будем получать одно и то же значение $sin alpha $.
То же самое касается и $cos alpha $, $operatorname{tg}alpha $ и $operatorname{ctg}alpha $ — они зависят лишь от градусной меры угла $alpha $ и никак не зависят от конкретного прямоугольного треугольника, в котором они находятся. Теорема доказана.
3. Стандартные углы
Итак, значения $sin alpha $, $cos alpha $, $operatorname{tg}alpha $ и $operatorname{ctg}alpha $ однозначно определяются величиной угла $alpha $. Нам не важен треугольник — важна только градусная мера угла. Можно один раз посчитать синусы, косинусы и т.д. для нужных углов, а затем просто подставлять их.
Но тут мы сталкиваемся с проблемой, из-за которой многие как раз и не понимают тригонометрию. Проблема состоит из двух пунктов:
- Для большинства углов $alpha $ нельзя найти точные значения $sin alpha $, $cos alpha $, $operatorname{tg}alpha $.
- Верно и обратное: для большинства «красивых» $sin alpha $, $cos alpha $ и т.д. нельзя подобрать подходящий угол $alpha $.
Звучит немного непонятно, поэтому разберём каждый пункт на конкретных примерах.
3.1. Три стандартных угла
Существует лишь три острых угла, для которых легко считаются синусы, косинусы и т.д. Это 30°, 45°, 60°. Вот их синусы, косинусы и тангенсы:
[begin{array}{c|ccc} alpha& 30{}^circ& 45{}^circ & 60{}^circ \ hlinesin alpha & frac{1}{2} & frac{sqrt{2}}{2} & frac{sqrt{3}}{2} \ cos alpha & frac{sqrt{3}}{2} & frac{sqrt{2}}{2} & frac{1}{2} \ operatorname{tg}alpha& frac{sqrt{3}}{3} & 1 & sqrt{3} \ end{array}]
Чтобы понять, чем эти углы такие особенные, просто посчитаем все эти синусы, косинусы и тангенсы. Начнём с $alpha =45{}^circ $. Для этого рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник. Мы уже встречались с ним:
Поскольку в равнобедренном треугольнике $angle A=angle B=45{}^circ $, получим:
[begin{align}sin 45{}^circ &=sin A=frac{BC}{AC}=frac{1}{sqrt{2}}=frac{sqrt{2}}{2} \ cos 45{}^circ &=sin A=frac{AB}{AC}=frac{1}{sqrt{2}}=frac{sqrt{2}}{2} \ operatorname{tg}45{}^circ&=sin A=frac{BC}{AB}=frac{1}{1}=1 end{align}]
Это именно те значения, которые указаны в таблице!
Теперь разберёмся с углами $alpha =30{}^circ $ и $alpha =60{}^circ $. Здесь рассуждения будут чуть сложнее. Сначала рассмотрим равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $AB=2$ (просто так удобнее) и проведём высоту $BH$:
Мы знаем, что высота $BH$ — ещё и медиана, и биссектриса. Поэтому $AH=CH=1$, $angle ABH=angle CBH=30{}^circ $.
Следовательно, треугольник $ABH$ — прямоугольный, да ещё и с острыми углами 30° и 60°. По теореме Пифагора легко найти $BH=sqrt{3}$. Нанесём все данные на чертёж:
Разберёмся с углом 60°:
[begin{align} sin{60}^circ &=sin A=frac{BH}{AB}=frac{sqrt{3}}{2} \ cos{60}^circ&=cos A=frac{AH}{AB}=frac{1}{2} \ operatorname{tg}{60}^circ&=operatorname{tg}A=frac{BH}{AH}=sqrt{3} \ end{align}]
И с углом 30°:
[begin{align} sin{30}^circ &=sin ABH=frac{AH}{AB} =frac{1}{2} \ cos{30}^circ &=cos ABH=frac{BH}{AB} =frac{sqrt{3}}{2} \ operatorname{tg}{30}^circ &=operatorname{tg} ABH=frac{AH}{BH} =frac{1}{sqrt{3}} =frac{sqrt{3}}{3} \ end{align}]
Попробуйте повторить все эти рассуждения самостоятельно. Это очень полезное упражнение!
Возникает вопрос: как быть с другими углами? Например, можно ли найти $sin {50}^circ $? Или, быть может, $cos {10}^circ $? Спойлер: можно, но это будут очень громоздкие выражения. И у нас пока не хватает технологий, чтобы их найти.
Поэтому идём дальше и посмотрим на ситуацию с другой стороны: как подобрать угол к заданному синусу, косинусу, тангенсу?
3.2. Что с другими углами?
Взгляните ещё раз на «классический» прямоугольный треугольник, с которого мы начинали наши рассуждения:
Катеты 4 и 3, гипотенуза 5 — вполне обычный треугольник. Для него можно посчитать, например, синус острого угла $alpha $:
[sin alpha =sin A=frac{BC}{AB}=frac{3}{5}=0,6]
Итак, мы знаем синус. Внимание, вопрос: каким должен быть угол $alpha $, чтобы $sin alpha =0,6$? Сколько градусов должно быть в угле $alpha $? Ответ: неизвестно.:)
Точнее, правильнее сказать, что у нас пока нет технологий, позволяющих найти такой угол $alpha $, чтобы $sin alpha =0,6$. Хотя такой угол точно есть, ведь мы предъявили треугольник, в котором он присутствует.
Из всех этих рассуждений сделаем важный вывод. В тригонометрии мы:
- Либо берём угол и считаем для него синусы, косинусы и т.д. Но лишь для трёх острых углов — 30°, 45°, 60° — всё будет считаться быстро и красиво. Такие углы называются табличными.
- Либо берём синус, косинус или тангенс и для него пытаемся подобрать острый угол. Но лишь для табличных значений мы сможем подобрать такие углы. И да: это будут углы 30°, 45°, 60°.
Ещё раз:
Мы можем посчитать лишь синус, косинус и тангенс для трёх табличных углов.
Например, $sin 30{}^circ $, $cos 45{}^circ $, $operatorname{tg}60{}^circ $ и т.д. А всякие $sin 15{}^circ $, $cos 25{}^circ $ или $operatorname{tg}89,5{}^circ $ — не сможем. По крайней мере пока.:)
И наоборот:
Зная $sin alpha $, $cos alpha $ или $operatorname{tg}alpha $, мы сможем назвать точный угол $alpha $ только в том случае, если все эти синусы, косинусы и тангенсы — среди табличных значений.
Например, мы точно знаем, что если $sin alpha =frac{sqrt{2}}{2}$, то $alpha =45{}^circ $. Но когда $sin alpha =0,6$, мы уже не можем назвать угол $alpha $ (хотя всегда можем построить такой угол).
С этой мыслью мы и переходим к следующему пункту — свойства тригонометрических выражений.
4. Свойства синуса, косинуса, тангенса
Мы разберём три ключевых свойства:
- Связь между синусом, косинусом и тангенсом.
- Связь между острыми углами прямоугольного треугольника.
- Основное тригонометрическое тождество.
Свойствам 2 и 3 далее в курсе будут посвящены отдельные уроки. Но основные идеи полезно взять на вооружение уже сейчас.
4.1. Связь между синусом, косинусом и тангенсом
Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$, гипотенузой $c$ и острым углом $alpha $:
Выразим синус, косинус:
[sin alpha =frac{a}{c};quad cos alpha =frac{b}{c}]
А теперь выразим тангенс и заметим, что
[operatorname{tg}alpha =frac{a}{b}=frac{a}{c}cdot frac{c}{b}=frac{sin alpha }{cos alpha }]
Точно так же можно выразить и котангенс:
[operatorname{ctg}alpha =frac{b}{a}=frac{b}{c}cdot frac{c}{a}=frac{cos alpha }{sin alpha }]
Более того, сам тангенс и котангенс тоже связаны:
[operatorname{tg}alpha cdot operatorname{ctg}alpha =frac{a}{b}cdot frac{b}{a}=1]
Мы получили три важнейших тригонометрических формулы:
Основные формулы тригонометрии:
[operatorname{tg}alpha =frac{sin alpha }{cos alpha };quad operatorname{ctg}alpha =frac{cos alpha }{sin alpha };quad operatorname{tg}alpha cdot operatorname{ctg}alpha =1]
Эти формулы нужно знать наизусть. И понимать, откуда они берутся.
4.2. Связь между острыми углами
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, где $angle C=90{}^circ $. Пусть градусная мера $angle A=alpha $ градусов:
Мы помним, что сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. Поэтому если $angle A=alpha $, то угол $angle B=90{}^circ -alpha $. Но тогда:
[sin alpha =sin A=frac{BC}{AB}=cos B=cos left( 90{}^circ -alpha right)]
То же самое и с косинусами:
[cos alpha =cos A=frac{AC}{AB}=sin B=sin left( 90{}^circ -alpha right)]
И даже с тангенсами и котангенсами:
[begin{align} operatorname{tg}alpha&=operatorname{tg}A=frac{BC}{AC} =operatorname{ctg}B=operatorname{ctg}left( {90}^circ -alpharight) \ operatorname{ctg}alpha&=operatorname{ctg}A=frac{AC}{BC} = operatorname{tg}B=tgleft( {90}^circ -alpha right) \ end{align}]
Другими словами, если вместо $alpha $ поставить ${90}^circ -alpha $, то исходная тригонометрическая функция поменяется на ко-функцию:
[begin{align}sin left( {90}^circ-alpharight) &=cos alpha \ cos left( {90}^circ-alpharight) &=sin alpha \ operatorname{tg}left( {90}^circ-alpharight) &=operatorname{ctg}alpha\ operatorname{ctg}left( {90}^circ-alpharight) &=operatorname{tg}alphaend{align}]
Но это ещё не всё. Есть гораздо более интересная формула.
4.3. Основное тригонометрическое тождество
Вновь рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$, гипотенузой $c$ и острым углом $alpha $:
Запишем выражения для $sin alpha $ и $cos alpha $:
[sin alpha =frac{a}{c};quad cos alpha =frac{b}{c}]
Далее заметим, что
[begin{align} {{sin }^{2}}alpha +{{cos }^{2}}alpha&={{left( frac{a}{c} right)}^{2}}+{{left( frac{b}{c} right)}^{2}}= \ & =frac{{{a}^{2}}}{{{c}^{2}}} +frac{{{b}^{2}}}{{{c}^{2}}}= \ & =frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{{{c}^{2}}} end{align}]
В числителе можем применить теорему Пифагора: ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{c}^{2}}$, поэтому
[{{sin }^{2}}alpha +{{cos }^{2}}alpha =frac{{{c}^{2}}}{{{c}^{2}}}=1]
Правая часть этой формулы вообще не зависит от угла $alpha $.
Основное тригонометрическое тождество:
[{{sin }^{2}}alpha +{{cos }^{2}}alpha =1]
Это равенство связывает синус и косинус одного и того же угла и верно для всех $alpha $.
С помощью основного тригонометрического тождества можно вычислять косинус, зная синус, и наоборот.
Задача 7. Найдите $18cos alpha $ для острого угла $alpha $, если $sin alpha =frac{sqrt{65}}{9}$.
Решение. Запишем основное тригонометрическое тождество:
[{{sin }^{2}}alpha +{{cos }^{2}}alpha =1]
Подставим указанное значение $sin alpha $ и выразим $cos alpha $:
[begin{align}{{left( frac{sqrt{65}}{9} right)}^{2}}+{{cos }^{2}}alpha &=1 \ frac{65}{81}+{{cos }^{2}}alpha &=1 \ {{cos }^{2}}alpha &=frac{16}{81} \ cos alpha&=pm frac{4}{9} end{align}]
Поскольку косинус угла в прямоугольном треугольнике не может быть отрицательным, выбираем вариант $cos alpha ={4}/{9};$. Остаётся сделать финальный шаг:
[18cos alpha =18cdot frac{4}{9}=2cdot 4=8]
Вот и всё! Ответ: 8.
В следующем примере мы уже не будем подробно расписывать каждый шаг. Оформим всё так, как надо оформлять на контрольных и экзаменах.
Задача 8. Найдите $48operatorname{tg}alpha $ для острого угла $alpha $, если $cos alpha =frac{8}{sqrt{113}}$.
Решение. Найдём $sin alpha $:
[begin{align}{{sin }^{2}}alpha &=1-{{cos }^{2}}alpha = \ & =1-{{left( frac{8}{sqrt{113}} right)}^{2}}= \ & =1-frac{64}{113}=frac{49}{113} \ sin alpha&=pm frac{7}{sqrt{113}} end{align}]
Но ${0}^circ lt alpha lt {90}^circ $, поэтому $sin alpha gt 0$. Следовательно
[sin alpha =frac{7}{sqrt{113}}]
Найдём $operatorname{tg}alpha $:
[operatorname{tg}alpha =frac{sin alpha }{cos alpha }=frac{7}{sqrt{113}}cdot frac{sqrt{113}}{8}=frac{7}{8}]
Окончательный ответ:
[48operatorname{tg}alpha =48cdot frac{7}{8}=6cdot 7=42]
Ответ: 42.
Заметка на будущее: замечание о том, что угол $alpha $ острый, весьма существенно. То, как мы сейчас определяем синусы, косинусы и тангенсы (через прямоугольный треугольник), называется геометрической тригонометрией. Её проходят в 8—9 классе.
Но в 10—11 классах появится алгебраическая тригонометрия, где синусы, косинусы и т.д. вполне могут быть отрицательными. И уже не получится просто так избавиться от минуса.
Но всё это будет чуть позже. А сейчас потренируемся.
Задача 9. ►
Найдите $52cos alpha $ для острого угла $alpha $, если $sin alpha =frac{5}{13}$.
Решение. Найдём $cos alpha $:
[begin{align}{{cos }^{2}}alpha &=1-{{sin }^{2}}alpha = \ &=1-frac{25}{169}=frac{144}{169} \ cos alpha&=pm frac{12}{13} end{align}]
Поскольку $cos alpha gt 0$ для острых $alpha $, выбираем $cos alpha ={12}/{13};$. Итого
[52cos alpha =52cdot frac{12}{13}=48]
Ответ: 48.
Задача 10. ►
Найдите $1+2operatorname{tg}alpha $ для острого угла $alpha $, если $cos alpha =frac{1}{sqrt{26}}$.
Решение. Найдём $sin alpha $:
[begin{align}{{sin }^{2}}alpha &=1-{{cos }^{2}}alpha = \ & =1-frac{1}{26}=frac{25}{26} \ sin alpha&=pm frac{5}{sqrt{26}} end{align}]
Поскольку $sin alpha gt 0$ для острых $alpha $, выбираем
[sin alpha =frac{5}{sqrt{26}}]
Считаем $operatorname{tg}alpha $:
[operatorname{tg}alpha =frac{sin alpha }{cos alpha }=frac{5}{sqrt{26}}cdot frac{sqrt{26}}{1}=5]
Откуда
[1+2operatorname{tg}alpha =1+2cdot 5=11]
Ответ: 11.
5. Тригонометрия на координатной сетке
Задачи, которые мы сейчас разберём, вполне могут встретиться в ОГЭ и даже ЕГЭ. Часто в них нет прямоугольного треугольника — есть лишь угол, в который этот треугольник предлагается вписать.
Для решения задач на координатной сетке достаточно посмотреть, через какие узлы сетки проходят интересующие нас лучи. И понять, какие из этих узлов имеет смысл соединить дополнительными построениями.
Звучит страшно, но на практике всё легко.:)
Задача 11. Найдите тангенс угла $ABC$, изображённого на координатной сетке:
Решение. Дополнительное построение: $AHbot BC$ — перпендикуляр из точки $A$ на луч $BC$.
Треугольник $BAH$ — прямоугольный, причём угол $ABC$ — один из его острых углов. Поэтому
[operatorname{tg}ABC=frac{AH}{BH}=frac{3}{4}=0,75]
Это и есть искомый тангенс.
Ответ: 0,75.
Ещё раз: важно, чтобы основание перпендикуляра попадало в узел сетки. Иначе нахождение длины катетов резко усложняется. Попробуйте сами:
Задача 12. ►
Найдите тангенс угла $ABC$, изображённого на координатной сетке:
Решение.
Дополнительное построение: $AHbot BC$ — перпендикуляр из точки $A$ к лучу $BC$.
Треугольник $BAH$ — прямоугольный с острым углом $ABC$. Поэтому
[operatorname{tg}ABC=frac{AH}{BH}=frac{2}{4}=frac{1}{2}]
Ответ: 0,5.
Разумеется, это были совсем простые задачи. Потому что один из лучей был параллелен линиям сетки.
Куда интереснее (и полезнее) рассмотреть ситуации, где лучи направлены под углом к сетке. Суть та же: ищем и соединяем узлы на лучах. Но тут уже нужна наблюдательность.
Задача 13. Найдите тангенс угла $MNK$, изображённого на координатной сетке:
Решение. Луч $KN$ содержит лишь две точки в узлах координатной сетки — собственно, $K$ и $N$. Понятно, что если продолжить луч за точку $K$, мы найдём ещё много таких точек, но будем решать задачу с тем, что есть.
Заметим, что прямая $MN$ наклонена к линиям сетки под углом 45° и образует диагонали квадратов. Это значит, что перпендикуляр к ней тоже будет наклонён под углом 45°.
Дополнительное построение: отрезок $KH$ — диагональ одного из квадратов сетки.
Очевидно, что угол $NHK$ прямой, поэтому треугольник $KHN$ прямоугольный и содержит искомый острый угол $MNK$. Находим тангенс:
[operatorname{tg}MNK=frac{HK}{HN}=frac{sqrt{2}}{2sqrt{2}}=frac{1}{2}=0,5]
Здесь мы предположили, что сторона квадрата сетки равна 1. Но с тем же успехом можно считать, что сторона квадрата $a$:
[operatorname{tg}MNK=frac{HK}{HN}=frac{asqrt{2}}{2asqrt{2}}=frac{1}{2}=0,5]
Ответ: 0,5.
Подобные задачи считаются довольно сложными. По статистике большинство выпускников 9 классов не способны их решать. Но вы-то теперь точно справитесь. Попробуйте:
Задача 14. ►
Найдите тангенс угла $DEF$, изображённого на координатной сетке:
Решение.
Дополнительное построение: отрезок $DH$.
Очевидно, $EH=DH$, угол $EHD$ прямой. Следовательно, треугольник $EDH$ — прямоугольный и равнобедренный. Поэтому $operatorname{tg}DEF=1$.
Либо можно посчитать «напролом», полагая, что сторона квадрата сетки равна $a$:
[operatorname{tg}DEF=frac{asqrt{10}}{asqrt{10}}=1]
Ответ: 1.
Вообще, поиск «правильных» узлов на координатной сетке — это своего рода искусство. И если углубляться в эту тему, то можно быстро выйти на «полуолимпиадные» задачи.
К тому же не существует «самого правильного» дополнительного построения. Задачу на координатной сетке всегда можно решить множеством различных способов. Так, в последнем примере можно было провести перпендикуляр вот так:
И даже так (хотя вряд ли этот способ можно назвать рациональным):
Во всех случаях ответ будет один и тот же. Поэтому не бойтесь экспериментировать. И переходите к следующему уроку — к действительно важным и полезным свойствам синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов.:)
Смотрите также:
- Радианная и градусная мера угла
- Как быстро запомнить таблицу синусов и косинусов
- Сложные логарифмические неравенства
- Сложные выражения с дробями. Порядок действий
- Задача B5: площадь фигур с вершиной в начале координат
- Обход точек в стереометрии — 2
Тангенс и котангенс на единичной числовой окружности
- Тангенс и котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике
- Базовые формулы тригонометрии
- Тангенс и котангенс угла на числовой окружности
- Знаки тангенса и котангенса
- Тангенсы и котангенсы углов (frac{pi k}{2})
- Тангенсы и котангенсы углов (frac{pi}{4}+frac{pi k}{2})
- Тангенсы и котангенсы углов (frac{pi}{6}+frac{pi k}{2})
- Тангенсы и котангенсы углов (frac{pi}{3}+frac{pi k}{2})
- Примеры
п.1. Тангенс и котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике
Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему. tgα = $frac{a}{b} $ Котангенс острого угла в в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к противолежащему. ctgα = $frac{b}{a} $ |
Например:
B ΔABC, ∠C = 90°, a = 2, b = 4. Найдем тангенс и котангенс ∠A. $$ tgA=frac{a}{b}=frac{2}{4}=frac{1}{2}, ctgA=frac{b}{a}=frac{4}{2}=2 $$
п.2. Базовые формулы тригонометрии
На данном этапе изучения тригонометрии получаем четыре базовых формулы:
begin{gather*} sin^2alpha+cos^2alpha=1, tgalphacdot ctgalpha=1\ tgalpha=frac{sinalpha}{cosalpha}, ctgalpha=frac{cosalpha}{sinalpha} end{gather*}
п.3. Тангенс и котангенс угла на числовой окружности
Построим вертикальную касательную к числовой окружности в точке A(1;0). Продолжим луч OM до пересечения с касательной, обозначим точку пересечения E. По построению: begin{gather*} begin{cases} angle MKO=angle EAO=90^{circ}\ angle EOA – text{общий (по двум углам)} end{cases} Rightarrow Delta MKOsim Delta EAORightarrow\ Rightarrowfrac{MK}{OK}=frac{EA}{OA}=frac{EA}{1}=EA\ Rightarrow EA=frac{sinalpha}{cosalpha}=tgalpha end{gather*} Таким образом, построенная вертикальная касательная является числовой прямой, на которой находятся тангенсы. |
Ось тангенсов это вертикальная касательная к числовой окружности в точке (1;0), на которой расположены тангенсы соответствующих углов.
Построим горизонтальную касательную к числовой окружности в точке B(0;0). Продолжим луч OM до пересечения с касательной, обозначим точку пересечения E. По построению: begin{gather*} begin{cases} OK || BE\ OE – text{наклонная} end{cases} Rightarrow angle BEO=angle KOE=alpha end{gather*} как накрест лежащие углы. begin{gather*} begin{cases} angle MKO=angle EBO=90^{circ}\ angle KOM=angle BEO end{cases} Rightarrow text{(по двум углам)}\ Delta MKOsim Delta OBERightarrow\ Rightarrowfrac{OK}{EB}=frac{MK}{OB}=frac{MK}{1}=MK\ Rightarrow EB=frac{OK}{MK}=frac{cosalpha}{sinalpha}=ctgalpha end{gather*} Таким образом, построенная горизонтальная касательная является числовой прямой, на которой находятся котангенсы. |
Ось котангенсов это горизонтальная касательная к числовой окружности в точке (0;1), на которой расположены котангенсы соответствующих углов.
п.4. Знаки тангенса и котангенса
Знаки синусов и косинусов – см. §2 данного справочника.
Тангенс является отношением синуса к косинусу, поэтому его знаки будут чередоваться при переходе от одной четверти к другой.
Котангенс является тригонометрической функцией, обратной тангенсу, поэтому его знаки будут совпадать со знаками тангенса.
begin{gather*} tgalphagt 0 text{и} ctgalphagt 0, text{если} 0ltalphaltfracpi2cup piltalphaltfrac{3pi}{2}\ tgalphalt 0 text{и} ctgalphalt 0, text{если} frac{pi}{2}ltalphaltpicup frac{3pi}{2}ltalphalt2pi end{gather*}
п.5. Тангенсы и котангенсы углов(frac{pi k}{2})
Синусы и косинусы углов πk/2 – см. §2 данного справочника
α | 0° | 90° | 180° | 270° |
0 | π/2 | π | 3π/2 | |
tgα | 0 | +∞ | 0 | –∞ |
ctgα | +∞ | 0 | –∞ | 0 |
п.6. Тангенсы и котангенсы углов (frac{pi}{4}+frac{pi k}{2})
Синусы и косинусы углов π/4 + πk/2 – см. §2 данного справочника
α | 45° | 135° | 225° | 315° |
π/4 | 3π/4 | 5π/4 | 7π/4 | |
tgα | 1 | –1 | 1 | –1 |
ctgα | 1 | –1 | 1 | –1 |
п.7.Тангенсы и котангенсы углов (frac{pi}{6}+frac{pi k}{2})
Синусы и косинусы углов π/6 + πk/2 – см. §2 данного справочника
α | 30° | 120° | 210° | 300° |
π/6 | 2π/3 | 7π/6 | 5π/3 | |
tgα | (frac{1}{sqrt{3}}) | (-sqrt{3}) | (frac{1}{sqrt{3}}) | (-sqrt{3}) |
ctgα | (sqrt{3}) | (-frac{1}{sqrt{3}}) | (sqrt{3}) | (-frac{1}{sqrt{3}}) |
п.8. Тангенсы и котангенсы углов (frac{pi}{3}+frac{pi k}{2})
Синусы и косинусы углов π/3 + πk/2 – см. §2 данного справочника
α | 60° | 150° | 240° | 330° |
π/3 | 5π/6 | 4π/3 | 11π/6 | |
tgα | (sqrt{3}) | (-frac{1}{sqrt{3}}) | (sqrt{3}) | (-frac{1}{sqrt{3}}) |
ctgα | (frac{1}{sqrt{3}}) | (-sqrt{3}) | (frac{1}{sqrt{3}}) | (-sqrt{3}) |
п.9. Примеры
Пример 1.
а) Найдите тангенс угла α, если известно, что (sinalpha=0,8, fracpi2 lt alpha lt pi)
Угол находится во второй четверти, значит, косинус отрицательный:
(cosalpha=-sqrt{1-sin^2alpha}=-sqrt{1-0,8^2}=-sqrt{0,36}=-0,6)
Тангенс: (tgalpha=frac{sinalpha}{cosalpha}= frac{0,8}{-0,6}= – frac43= – 1frac13)
б) Найдите котангенс угла, если известно, что (cosalpha=frac{5}{13}, -fracpi2 lt alpha lt 0)
Угол находится в четвертой четверти, значит синус отрицательный:
(sinalpha=-sqrt{1-cos^2alpha}=-sqrt{1-frac{5}{13}^2}=-sqrt{frac{144}{169}}=-frac{12}{13})
Котангенс: (ctgalpha=frac{cosalpha}{sinalpha}=frac{5}{13}:left(-frac{12}{13}right)=-frac{5}{12})
Пример 2. Сравните числа
а) sin20° и tg120°
Угол 20° находится в 1-й четверти, поэтому sin20° > 0
Угол 120° находится в 2-й четверти, поэтому tg120° < 0
Получаем: tg120° < 0 < sin20°
sin20° > tg120°.
б) tg140° и ctg190°
Угол 140° находится во 2-й четверти, поэтому tg140° < 0
Угол 190° находится в 3-й четверти, поэтому ctg190° > 0
Получаем: tg140° < 0 < ctg190°
tg140° < ctg190°.
в) (sin45^{circ}; cos135^{circ}; tg135^{circ}; ctg45^{circ}; 0; frac12; 2)
(sin45^{circ}=frac{sqrt{2}}{2}gt frac12)
(cos135^{circ}=-frac{sqrt{2}}{2}lt 0)
(tg135^{circ}=-1lt-frac{sqrt{2}}{2})
(ctg45^{circ}=1)
Получаем ряд: (-1lt-frac{sqrt{2}}{2}lt0frac12ltfrac{sqrt{2}}{2}lt 2) $$ tg135^{circ}lt cos135^{circ}lt 0ltfrac12lt sin45^{circ}lt ctg45^{circ}lt 2 $$
Пример 3. Запишите числа по возрастанию
а) sin60°; cos60°; tg60°; ctg60°; 0; 1; 2
(sin60^{circ}=frac{sqrt{3}}{2}lt 1)
(cos60^{circ}=frac12ltfrac{sqrt{3}}{2})
(tg60^{circ}=sqrt{3}gt 1)
(ctg60^{circ}=frac{1}{sqrt{3}})
Сравним (frac{1}{sqrt{3}}) и (frac{sqrt{3}}{2}). Для квадратов этих чисел (frac13ltfrac34Rightarrowfrac{1}{sqrt{3}}ltfrac{sqrt{3}}{2})
Сравним (frac{1}{sqrt{3}}) и (frac12). Для квадратов этих чисел (frac13gtfrac14Rightarrow frac{1}{sqrt{3}}gtfrac12)
Получаем ряд: (0lt frac12ltfrac{1}{sqrt{3}}ltfrac{sqrt{3}}{2}lt 1lt sqrt{3}lt 2) $$ 0lt cos60^{circ}lt ctg60^{circ}lt sin60^{circ}lt 1lt tg60^{circ}lt 2 $$
б) sin45°; cos135°; tg135°; ctg45°; 0; (frac12); 2
(sin45^{circ}=frac{sqrt{2}}{2}gt frac12)
(cos135^{circ}=-frac{sqrt{2}}{2}lt 0)
(tg135^{circ}=-1lt-frac{sqrt{2}}{2})
(ctg45^{circ}=1)
Получаем ряд: (-1lt-frac{sqrt{2}}{2}lt 0lt frac12ltfrac{sqrt{2}}{2}lt 1lt 2) $$ tg135^{circ}lt cos135^{circ}lt 0ltfrac12lt sin45^{circ}lt ctg45^{circ}lt 2 $$