Как найти котангенс дроби

Котангенс угла. Таблица котангенсов.

Похожие калькуляторы

В статье мы рассмотрим, как найти значения:

(tg, frac{π}{3}),       (ctg, (-frac{7π}{3})),     (tg ,0),     (ctg, frac{5π}{6}⁡)

и других тангенсов и котангенсов без тригонометрической таблицы.

Есть два способа вычислять тангенсы и котангенсы. Первый – через синусы и косинусы, второй – через оси тангенсов и котангенсов. Первый способ проще в освоении, второй – быстрее в применении.

Но в любом случае вам нужно уметь уверенно расставлять числа с пи на тригонометрическом круге и откладывать углы.

Способ 1 – вычисление тангенсов и котангенсов через синусы и косинусы

Конечно, этот способ подразумевает, что вы уже умеете вычислять синус и косинус. Не умеете? Тогда бегом читать эту статью, и эту тоже.

Уже умеете? Тогда ловите два определения:

Пример. Вычислите (tg, frac{π}{3}) и (ctg, frac{π}{3}).
Решение:

Ищем сначала (frac{π}{3}), а после вычисляем (sin,⁡frac{π}{3}) и (cos⁡,frac{π}{3}).

(sin⁡, frac{π}{3}=frac{sqrt{3}}{2});      (cos⁡, frac{π}{3}=frac{1}{2});
(tg , frac{π}{3}=) (frac{frac{sqrt{3}}{2}}{frac{1}{2}})(=frac{sqrt{3}}{2}:frac{1}{2}=frac{sqrt{3}}{2}cdot frac{2}{1}=sqrt{3}).
(ctg,frac{π}{3}=)(frac{frac{1}{2}}{frac{sqrt{3}}{2}})(=frac{1}{2}:frac{sqrt{3}}{2}=frac{1}{2}cdotfrac{2}{sqrt{3}}=frac{1}{sqrt{3}}).

Пример. Вычислите (tg, frac{5π}{6}) и (ctg, frac{5π}{6}).
Решение:

Найдем сначала (frac{5π}{6}) на круге: (frac{5π}{6}=frac{6π}{6}-frac{π}{6}=π-frac{π}{6}).

(ctg, frac{5π}{6}=)(frac{cos⁡ frac{5π}{6}}{sin⁡frac{5π}{6}})(=-frac{sqrt{3}}{2}:frac{1}{2}=-frac{sqrt{3}}{2} cdot frac{2}{1}=-sqrt{3});
(tg,frac{5π}{6}=)(frac{sin⁡frac{5π}{6}}{cos⁡frac{5π}{6}})(=frac{1}{2}:(-frac{sqrt{3}}{2})=frac{1}{2}cdot(-frac{2}{sqrt{3}})=-frac{1}{sqrt{3}}).

Пример. Вычислите (tg, 0) и (ctg, 0).
Решение:

(0) на тригонометрическом круге совпадает с (1) на оси косинусов, значит (cos⁡,0=1).
Если из точки (0) на тригонометрическом круге провести перпендикуляр (красная пунктирная линия) к оси синусов, то мы попадем в (0), получается (sin,⁡0=0). Следовательно: (tg, 0=)(frac{sin,⁡0}{cos⁡,0}) (=frac{0}{1}=0).

С котангенсом интереснее: (ctg, 0=)(frac{cos,⁡0}{sin⁡,0}) (=frac{1}{0}=???). На ноль делить нельзя – это железное правило математики. Поэтому и посчитать такой котангенс не получится. (ctg,⁡0) – не вычислим в принципе.

Пример. Вычислите (tg,120^°) и (ctg, 120^°).
Решение:

(ctg,120^°=)(frac{cos⁡,120^°}{sin,120^°})(=-frac{1}{2}:frac{sqrt{3}}{2}=-frac{1}{2}cdotfrac{2}{sqrt{3}}=-frac{1}{sqrt{3}});
(tg,120^°=)(frac{sin⁡,120^° }{cos⁡,120^°})(=frac{sqrt{3}}{2}:(-frac{1}{2})=frac{sqrt{3}}{2}cdot(-frac{2}{1})=-sqrt{3}).

Способ 2 – вычисление тангенсов и котангенсов с использованием осей

Ось тангенсов – сдвинутая копия оси синусов, ось котангенсов – копия оси косинусов. Единицы на осях котангенсов и тангенсов совпадают.

О том, как просто запомнить где какое значение стоит на осях, можно прочитать в статье «Как запомнить тригонометрический круг».

Пример. Вычислите (tg, frac{π}{4}) и (ctg, frac{π}{4}).
Решение:

1) Строим круг, оси и отмечаем аргумент на окружности;

2) Соединяем точку, соответствующую аргументу, и начало координат;

3) Продляем до осей;

И на оси тангенсов, и на оси котангенсов мы пришли в единицу, поэтому (tg, frac{π}{4}=1) и (ctg, frac{π}{4}=1).

Пример. Вычислите (tg, frac{2π}{3}) и (ctg, frac{2π}{3}).
Решение: (frac{2π}{3}=frac{3π}{3}-frac{π}{3}=π-frac{π}{3})

(ctg ,frac{2π}{3}=-frac{1}{sqrt{3}});     (tg,frac{2π}{3}=-sqrt{3}).

Пример. Найдите значения выражений (tg,(-30^°)) и (ctg,(-30^°)).
Решение:

Понятно, что во время ЕГЭ такой красивой картинки не будет, но она и не нужна. Если вы будете знать, как правильно расставлять значения на тригонометрическом круге и будете помнить расположение чисел на осях, то вам будет достаточно нарисованного от руки круга.

Пример (ЕГЭ). Найдите значение выражения (2sqrt{3} tg,(-300^°)).
Решение: (-300^°=-360^°+60^°).

(2sqrt{3}tg(-300^° )=2sqrt{3}cdotsqrt{3}=2cdot 3=6).
Ответ: (6).

Смотрите также:
Как найти синус и косинус без тригонометрической таблицы? 
Из градусов в радианы и наборот
Тригонометрическая таблица с кругом
Почему в тригонометрической таблице такие числа?

Для тех кто хочет закрепить знания:
Задание на вычисление синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов

В прямоугольном треугольнике всегда заданы три стороны, из которых две, именуемые катетами, образуют прямой угол в 90°, а третья сторона – гипотенуза, их соединяет. Все тригонометрические отношения в таком треугольнике строятся на делении одной стороны на другую, и так как катетов два, то используемый в формуле катет может быть либо противолежащим – находящимся напротив угла α, и не имеющий с ним общих точек, либо прилежащим – являющимся непосредственно стороной угла α, и выходящим из него. Так как отношением противолежащего катета к прилежащему является тангенс, то другим отношением катетов будет котангенс, где в числителе дроби находится прилежащий катет (как и в косинусе), а в знаменателе противолежащий
.

В отличие от тандема синус-косинус, которые оба отталкиваются от гипотенузы в знаменателе, тангенс и котангенс используют в формулах исключительно катеты в разном порядке. Таким образом, мы получаем не только два разных отношения, соответствующих всем законам тригонометрии, но и два отношения, являющихся обратными друг и другу и взаимно конвертируемыми
.

Таблица котангенсов

Что такое котангенс угла

Пусть задан прямоугольный треугольник ABC с острым углом α, тогда котангенсом угла α будет отношение прилежащего катета к противолежащему ctg α = AB/BC.

Котангенс угла можно определить как отношение косинуса угла к синусу данного угла

ctg = cos α / sin α

Так же для определения котангенса угла можно воспользоваться окружностью, построенной в декартовой системе координат, радиуса R и центром в начале координат O.
На окружности отметим точку P с координатами (1;0), теперь повернем луч OP на некоторый угол α. Направление против часовой стрелки считается положительным, по часовой стрелки – отрицательным.
Котангенсом угла α будет отношение абсциссы точки X_P к ординате точки Y_P.
ctg α = X_P/Y_P.

Для вычисления котангенса угла, можно также воспользоваться осью котангенсов. Определим окружность радиуса R как единичную с центром в начале координат O.
Параллельно оси x, на расстоянии равном радиусу окружности расположим прямую y=1. На окружности отметим точку P с координатами (1;0), теперь повернем луч OP на некоторый угол α и продолжим луч OP до
пересечения с прямой y=1. Котангенсу угла α будет соответствовать значение в точке B.

Для простоты запоминания можно дать такое определение: котангенс угла — это отношение ближнего от рассматриваемого угла катета к дальнему катету.

В случае с рисунком, описанным выше: ctg⁡α=bactgalpha=frac{b}{a}

После того, как мы изучили и тангенс, и котангенс, можно рассмотреть еще одно тождество:

Вывод его прост:

tg⁡α⋅ctg⁡α=sin⁡αcos⁡α⋅cos⁡αsin⁡α=1tgalphacdotctgalpha=frac{sinalpha}{cosalpha}cdotfrac{cosalpha}{sinalpha}=1

Благодаря ему можно быстро и без каких-либо трудностей вычислять одну из этих величин.

Еще одно тождество помогает решить задачи, связанные с котангенсом:

Оно появляется путем деление каждого слагаемого основного тождества тригонометрии на квадрат синуса.

Решение задач по математике недорого от экспертов биржи!

Тест по теме «Вычисление котангенса»