Высота – перпендикуляр исходящий из вершины угла на противоположенную сторону
a, b – стороны параллелограмма
Hb – высота на сторону b
Ha – высота на сторону a
α, β – углы параллелограмма
Формулы длины высоты параллелограмма, через сторону и угол, ( Hb, Ha):
Острый угол пересечения высот, равен острому углу параллелограмма.
Тупой угол пересечения высот, равен тупому углу параллелограмма.
Формулы площади параллелограмма
Формула периметра параллелограмма
Все формулы по геометрии
Свойства биссектрисы параллелограмма
– Биссектриса по определению делит угол пополам
– Биссектриса отсекает равнобедренный треугольник (в данном случае треугольники ABF и DKC)
– Биссектрисы смежных углов, пересекаются под прямым углом (90°)
– Биссектрисы противоположных углов, равны и параллельны
AF – биссектриса из острого угла
DK – биссектриса из тупого угла
α – острый угол
β – тупой угол
a – меньшая сторона
b – большая сторона
Так как треугольники ABF и DKC, равнобедренные, следовательно справедливы тождества:
Длина биссектрисы параллелограмма
L – биссектриса параллелограмма
a, b – стороны
α, β – углы
Формулы длины биссектрисы через сторону и углы, (L):
Формулы площади параллелограмма
Формула периметра параллелограмма
Все формулы по геометрии
Свойства углов между диагоналями параллелограмма:
1. Противоположные углы равны
2. Косинус тупого угла, всегда имеет отрицательное значение: cos β <0
a, b – стороны параллелограмма
D – большая диагональ
d – меньшая диагональ
α – острый угол между диагоналями
β – тупой угол между диагоналями
Формулы косинуса острого и тупого углов между диагоналями, через стороны и диагонали (по теореме косинусов):
Формула синуса острого и тупого углов через площадь (S) и диагонали:
Формулы соотношения острого и тупого углов между диагоналями:
Для определения величины угла в градусах или радианах, используем функции arccos и arcsin
Формулы площади параллелограмма
Формула периметра параллелограмма
Все формулы по геометрии
Свойства углов параллелограмма:
1. Противоположные углы равны
2. Косинус тупого угла, всегда имеет отрицательное значение: cos β <0
a, b – стороны параллелограмма
D – большая диагональ
d – меньшая диагональ
α – острый угол
β – тупой угол
Формулы косинуса острого и тупого углов через стороны и диагонали (по теореме косинусов):
Формула синуса острого и тупого углов через площадь (S) и стороны:
Формулы соотношения острого и тупого углов:
Для определения величины угла в градусах или радианах, используем функции arccos или arcsin
Формулы площади параллелограмма
Формула периметра параллелограмма
Все формулы по геометрии
Свойства параллелограмма:
1. Противоположные стороны равны и параллельны
2. Противоположные углы равны
3. Точка пересечения диагоналей, делит их пополам
1. Длина диагонали параллелограмма через стороны, известную диагональ и угол.
a, b – стороны параллелограмма
D – большая диагональ
d – меньшая диагональ
α, β – углы параллелограмма
Формулы диагонали через стороны и углы параллелограмма (по теореме косинусов), (D, d):
Формулы диагонали через стороны и известную диагональ (по формуле- сумма квадратов диагоналей), (D, d):
2. Длина диагонали параллелограмма через площадь, известную диагональ и угол.
D – большая диагональ
d – меньшая диагональ
α, β – углы между диагоналями
S – площадь параллелограмма
Формулы диагонали через площадь, известную диагональ и угол между диагоналями, (D, d):
Формулы площади параллелограмма
Формула периметра параллелограмма
Все формулы по геометрии
Свойства параллелограмма:
1. Противоположные стороны равны и параллельны
2. Противоположные углы равны
3. Точка пересечения диагоналей, делит их пополам
1. Формулы длины сторон через диагонали и угол между ними.
a, b – стороны параллелограмма
D – большая диагональ
d – меньшая диагональ
α, β – углы между диагоналями
Формулы сторон параллелограмма через диагонали и угол между ними (по теореме косинусов), (a, b):
Формулы сторон параллелограмма через диагонали и сторону, (a, b):
Формулы сторон параллелограмма , (a, b):
2. Формулы длины сторон параллелограмма через высоту.
a, b – стороны параллелограмма
Hb – высота на сторону b
Ha – высота на сторону a
α, β – углы параллелограмма
Формулы сторон параллелограмма через высоту, (a, b):
3. Дополнительные, интересные формулы параллелограмма:
a, b – стороны параллелограмма
D – большая диагональ
d – меньшая диагональ
α – острый угол между диагоналями
Формула суммы квадратов диагоналей:
Формула разности квадратов сторон:
Формулы площади параллелограмма
Формула периметра параллелограмма
Все формулы по геометрии
- Определение
- График котангенса
- Свойства котангенса
- Обратная к котангенсу функция
-
Таблица котангенсов
Определение
Котангенс острого угла α (ctg α или cotan α) – это отношение прилежащего катета (b) к противолежащему (a) в прямоугольном треугольнике.
ctg α = b / a
Например:
a = 3
b = 4
ctg α = b / a = 4 / 3 ≈ 1,334.
График котангенса
Функция котангенса пишется как y = ctg (x). График в общем виде выглядит следующим образом (x ≠ nπ, –∞ < y < +∞):
Свойства котангенса
Ниже в табличном виде представлены основные свойства котангенса с формулами.
Обратная к котангенсу функция
Арккотангенс x – это обратная функция к котангенсу x.
Если котангенс угла у равняется х (ctg y = x), значит арккотангенс x равен у:
arcctg x = ctg-1 x = y
Таблица котангенсов
| x (°) | x (рад) | ctg x |
| 0 | 0 | ∞ |
| 30 | π/6 | √3 |
| 45 | π/4 | 1 |
| 60 | π/3 | 1/√3 |
| 90 | π/2 | 0 |
| 120 | 2π/3 | -1/√3 |
| 135 | 3π/4 | -1 |
| 150 | 5π/6 | -√3 |
| 180 | π | ∞ |
| 210 | 7π/6 | √3 |
| 225 | 5π/4 | 1 |
| 240 | 4π/3 | 1/√3 |
| 270 | 3π/2 | 0 |
| 300 | 5π/3 | -1/√3 |
| 315 | 7π/4 | -1 |
| 330 | 11π/6 | -√3 |
| 360 | 2π | ∞ |
microexcel.ru
Параллелограмм на клетчатой бумаге
И на ОГЭ в 9 классе, и на ЕГЭ в 11 классе достаточно много заданий на клетчатой бумаге. В этом сообщении мы рассмотрим несколько задач, составленных по одному чертежу.
На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён параллелограмм.
Задача 1. Найдите площадь этого параллелограмма.
Задача 2. Найдите периметр этого параллелограмма.
Задача 3. Вычислите котангенс острого угла параллелограмма.
Задача 4. Вычислите синус острого угла параллелограмма.
Задача 5. Вычислите косинус острого угла параллелограмма.
Задача 6. Найдите длину меньшей диагонали параллелограмма.
Решение.
Задача 1. Здесь все просто, площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту. Основание равно 6, высота 4. Площадь 24.
Задача 2. Чтобы найти периметр этого параллелограмма рассмотрим зеленый прямоугольный треугольник. Его катеты равны 3 и 4, значит гипотенуза равна 5 (по теореме Пифагора). Боковые стороны параллелограмма равны 5. Периметр равен 6+6+5+5=22.
Задача 3. Котангенс острого угла параллелограмма равен отношению прилежащего катета в зеленом треугольнике к противолежащему, то есть 3:4=0,75.
Задача 4. Синус острого угла параллелограмма равен отношению противолежащего катета в зеленом треугольнике к гипотенузе, то есть 4:5=0,8.
Задача 5. Косинус острого угла параллелограмма равен отношению прилежащего катета в зеленом треугольнике к гипотенузе, то есть 3:5=0,6.
Задача 6. Чтобы найдите длину меньшей диагонали параллелограмма, рассмотрим желтый треугольник. Он равен зеленому (катеты у них равны). Значит диагональ равна 5.
Теперь заметим, что данный параллелограмм меньшей диагональю разбивается на два равных равнобедренных треугольника.
Примеры:
(ctg:30^° =sqrt{3})
(ctg:(frac{π}{3})=frac{1}{sqrt{3}})
(ctg:2=-0,487…)
Содержание:
- Аргумент и значение
Котангенс острого угла
Котангенс числа или любого угла
Знаки по четвертям
Связь с другими функциями
Аргумент и значение
Аргументом может быть:
– как число или выражение с Пи: (1,3), (frac{π}{4}), (π), (-frac{π}{3}) и т.п.
– так и угол в градусах: (45^°), (360^°),(-800^°), (1^° ) и т.п.
Для обоих случаев значение котангенса вычисляется одинаковым способом – либо через значения синуса и косинуса, либо через тригонометрический круг (см. ниже).
Значение котангенса – всегда действительное число (возможно, иррациональное): (1), (sqrt{3}), (-frac{1}{sqrt{3}}), (-0,1543…)
Котангенс острого угла
Котангенс можно определить с помощью прямоугольного треугольника – он равен отношению прилежащего катета к противолежащему.
Пример:
1) Пусть дан угол и нужно определить (ctgA).
2) Достроим на этом угле любой прямоугольный треугольник.
3) Измерив, нужные стороны, можем вычислить (ctg;A).
Вычисление котангенса числа или любого угла
Для чисел, а также для тупых, развернутых углов и углов больших (360°) котангенс чаще всего определяют с помощью синуса и косинуса, через их отношение:
(ctg: t=)(frac{cos:t}{sin:t})
Пример. Вычислите (ctg: frac{5π}{6}).
Решение: Найдем сначала (frac{5π}{6}) на круге. Затем найдем (cos:frac{5π}{6}) и (sin:frac{5π}{6}), а потом поделим одно на другое.
(ctg:frac{5π}{6}=)(frac{cos:frac{5π}{6}}{sin:frac{5π}{6}})(=-frac{sqrt{3}}{2}:frac{1}{2}=-frac{sqrt{3}}{2} cdot frac{2}{1}=-sqrt{3})
Ответ: (-sqrt{3}).
Пример. Вычислите (ctg:frac{π}{2}).
Решение: Чтобы найти котангенс пи на (2) нужно найти сначала косинус и синус (frac{π}{2}). И то, и другое найдем с помощью тригонометрического круга:
Точка (frac{π}{2}) на числовой окружности совпадает с (1) на оси синусов, значит (sin:frac{π}{2}=1). Если из точки (frac{π}{2}) на числовой окружности провести перпендикуляр к оси косинусов, то мы попадем в точку (0), значит (cos:frac{π}{2}=0). Получается: (ctg:frac{π}{2}=)(frac{cos:frac{π}{2}}{sin:frac{π}{2}})(=)(frac{0}{1})(=0).
Ответ: (0).
Пример. Вычислите (ctg:(-765^circ)).
Решение: (ctg: (-765^circ)=)(frac{cos:(-765^circ)}{sin:(-765^circ)})
Что бы вычислить синус и косинус (-765^°). Отложим (-765^°) на тригонометрическом круге. Для этого надо повернуть в отрицательную сторону на (720^°) , а потом еще на (45^°).
(sin(-765^°)=-frac{sqrt{2}}{2});
(cos(-765^°)=frac{sqrt{2}}{2}) ;
получается (ctg(-765^°)= frac{sqrt{2}}{2} ∶ -frac{sqrt{2}}{2}=-1).
Ответ: (-1).
Пример. Найдите (ctg:frac{π}{3}).
Решение: (ctg: frac{π}{3}=)(frac{cos:frac{π}{3}}{sin:frac{π}{3}}). Опять находим синус пи на 3 и косинус пи на 3 (хоть с помощью тригонометрического круга, хоть по таблице):
(sin(frac{π}{3})=frac{sqrt{3}}{2});
(cos(frac{π}{3})=frac{1}{2}) ;
получается (ctg(frac{π}{3})=frac{1}{2} ∶ frac{sqrt{3}}{2}= frac{1}{2} cdot frac{2}{sqrt{3}}=frac{1}{sqrt{3}}).
Ответ: (frac{1}{sqrt{3}}).
Однако можно определять значение котангенса и напрямую через тригонометрический круг – для этого надо на нем построить дополнительную ось:
Прямая проходящая через (frac{π}{2}) на числовой окружности и параллельная оси абсцисс (косинусов) называется осью котангенсов. Направление оси котангенсов и оси косинусов совпадает.
Ось котангенсов – это фактически копия оси косинусов, только сдвинутая. Поэтому все числа на ней расставляются так же как на оси косинусов.
Чтобы определить значение котангенс с помощью числовой окружности, нужно:
1) Отметить соответствующую аргументу котангенса точку на числовой окружности.
2) Провести прямую через эту точку и начало координат и продлить её до оси котангенсов.
3) Найти координату пересечения этой прямой и оси.
Пример. Вычислите (ctg:frac{π}{4}).
Решение:
1) Отмечаем (frac{π}{4}) на окружности.
2) Проводим через данную точку и начало координат прямую.
3) В данном случае координату долго искать не придется – она равняется (1).
Ответ: (1).
Пример. Найдите значение (ctg: 30°) и (ctg: (-60°)).
Решение:
Для угла (30°) ((∠COA)) котангенс будет равен (sqrt{3}) (приблизительно (1,73)), потому что именно в таком значении сторона угла, проходящая через начало координат и точку (A), пересекает ось котангесов.
(ctg;(-60°)=frac{sqrt{3}}{{3}}) (примерно (-0,58)).
Значения для других часто встречающихся в практике углов смотри в тригонометрической таблице.
В отличие от синуса и косинуса значение котангенса не ограничено и лежит в пределах от (-∞) до (+∞), то есть может быть любым.
При этом котангенс не определен для:
1) всех точек (C) (значение в Пи: …(0), (2π), (4π), (-2π), (-4π) …; и значение в градусах: …(0°),(360°), (720°),(-360°),(-720°)…)
2) всех точек (D) (значение в Пи: …(π), (3π), (5π), (-π), (-3π), (-5π) …; и значение в градусах: …(180°),(540°),(900°),(-180°),(-540°),(-900°)…) .
Так происходит потому, что в этих точках синус равен нулю. А значит, вычисляя значение котангенса мы придем к делению на ноль, что запрещено. И прямая проходящая через начало координат и любую из этих точек никогда не пересечет ось котангенсов, т.к. будет идти параллельно ей. Поэтому в этих точках котангенс – НЕ СУЩЕСТВУЕТ (для всех остальных значений он может быть найден).
Из-за этого при решении тригонометрических уравнений и неравенств с котангенсом необходимо учитывать ограничения на ОДЗ.
Знаки по четвертям
С помощью оси котангенсов легко определить знаки по четвертям тригонометрической окружности. Для этого надо взять любую точку на четверти и определить знак котангенса для нее описанным выше способом. У всей четверти знак будет такой же.
Для примера на рисунке нанесены две зеленые точки в I и III четвертях. Для них значение котангенса положительно (зеленые пунктирные прямые приходят в положительную часть оси), значит и для любой точки из I и III четверти значение будет положительно (знак плюс).
С двумя фиолетовыми точками в II и IV четвертях – аналогично, но с минусом.
Связь с другими тригонометрическими функциями:
– синусом того же угла: формулой (1+ctg^2x=)(frac{1}{sin^2x})
– косинусом и синусом того же угла: (ctg:x=)(frac{cos:x}{sin:x})
– тангенсом того же угла: формулой (tg:x=)(frac{1}{ctg:x})
Другие наиболее часто применяемые формулы смотри здесь.
Смотрите также:
Формулы приведения
Решение уравнений (tgx=a) и (ctgx=a)
|
Котангенс угла ctg(A) — есть отношение [ ctg(A) = frac{b}{a} ] |
Котангенс угла — ctg(A), таблица
|
0° Котангенс угла 0 градусов |
$ ctg(0°) = ctg(0) = infin $ |
∞ |
|
30° Котангенс угла 30 градусов |
$ ctg(30°) = ctgBig(Largefrac{pi}{6}normalsizeBig) = sqrt{3} $ |
1.732 |
|
45° Котангенс угла 45 градусов |
$ ctg(45°) = ctgBig(Largefrac{pi}{4}normalsizeBig) = 1 $ |
1.000 |
|
60° Котангенс угла 60 градусов |
$ ctg(60°) = ctgBig(Largefrac{pi}{3}normalsizeBig) = Largefrac{1}{sqrt{3}}normalsize $ |
0.577 |
|
90° Котангенс угла 90 градусов |
$ ctg(90°) = ctgBig(Largefrac{pi}{2}normalsizeBig) = 0 $ |
0 |
Вычислить, найти котангенс угла ctg(A) и угол, в прямоугольном треугольнике
Вычислить, найти котангенс угла ctg(A) по углу A в градусах
Вычислить, найти котангенс угла ctg(A) по углу A в радианах
Котангенс угла — ctg(A) |
стр. 225 |
|---|
