Как найти котангенс угла альфа

Определение и формула котангенса

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Котангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение прилежащего к этому углу катета к противолежащему катету.

Котангенс угла (
alpha
) обозначается (
operatorname{ctg} alpha
)

Рис.1

Рассмотрим прямоугольный треугольник (
mathrm{ABC}
) с (
angle C=90^{circ}
), (
angle A=alpha
), (
angle B=beta
) , гипотенузой (
A B=c
) и катетами (
A C=b
) и (
mathrm{BC}=mathrm{a}
) (рис.1). Тогда

(
operatorname{ctg} beta=frac{B C}{A C}=frac{a}{b}
), (
operatorname{ctg} alpha=frac{A C}{B C}=frac{b}{a}
)
Рассмотрим окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Выберем произвольный угол (
alpha
) , которому на окружности соответствует точка (
Aleft(x_{0}, y_{0}right)
)

Опустим перпендикуляры на оси координат, тогда

(
operatorname{ctg} alpha=frac{O B}{A B}=frac{x_{0}}{y_{0}}
)

т.е. котангенсом угла есть отношение абсциссы точки (
mathrm{A}
) к ее ординате. Так как синус угла равен значению ординаты точки (
mathrm{A}
), а косинус угла равен значению абсциссы, то

(
operatorname{ctg} alpha=frac{x_{0}}{y_{0}}=frac{cos alpha}{sin alpha}
)

Функция (
y=operatorname{ctg} x
) является периодической с периодом (
T=pi
) , т.е.

(
operatorname{ctg}(pi+alpha)=operatorname{ctg} alpha
)

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Так как котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к противолежащему, то можем записать, что

(
operatorname{ctg} angle B=frac{A B}{A C}=frac{3}{5}
), (
operatorname{ctg} angle C=frac{A C}{A B}=frac{5}{3}
)

(
operatorname{ctg} angle B=frac{3}{5}
), (
operatorname{ctg} angle C=frac{5}{3}
)

ПРИМЕР 2

(
operatorname{ctg} alpha=5
)