Как найти котангенс угла в произвольном треугольнике

Как найти котангенс угла в произвольном треугольнике

Видеоурок: Синус, косинус, тангенс и котангенс угла

Лекция: Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла

Синус, косинус произвольного угла

Чтобы понять, что такое тригонометрические функции, обратимся к окружности с единичным радиусом. Данная окружность имеет центр в начале координат на координатной плоскости. Для определения заданных функций будем использовать радиус-вектор ОР, который начинается в центре окружности, а точка Р является точкой окружности. Данный радиус-вектор образует угол альфа с осью ОХ. Так как окружность имеет радиус, равный единице, то ОР = R = 1.

Если с точки Р опустить перпендикуляр на ось ОХ, то получим прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной единице.

Если радиус-вектор двигается по часовой стрелке, то данное направление называется отрицательным, если же он двигается против движения часовой стрелки – положительным.

   

Синусом угла данной окружности, образованного радиусом-вектором ОР, является ордината точки Р вектора на окружности. 

То есть, для получения значения синуса данного угла альфа необходимо определиться с координатой У на плоскости.

Как данное значение было получено? Так как мы знаем, что синус произвольного угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего катета к гипотенузе, получим, что

А так как R = 1, то sin(α) = y0.

В единичной окружности значение ординаты не может быть меньше -1 и больше 1, значит,

Синус принимает положительное значение в первой и второй четверти единичной окружности, а в третьей и четвертой – отрицательное.

Косинусом угла данной окружности, образованного радиусом-вектором ОР, является абсцисса точки Р вектора на окружности.

То есть, для получения значения косинуса данного угла альфа необходимо определиться с координатой Х на плоскости.

Косинус произвольного угла в прямоугольном треугольнике – это отношение прилежащего катета к гипотенузе, получим, что

А так как R = 1, то cos(α) = x0.

В единичной окружности значение абсциссы не может быть меньше -1 и больше 1, значит,

Косинус принимает положительное значение в первой и четвертой четверти единичной окружности, а во второй и в третьей – отрицательное.

Тангенсом произвольного угла считается отношение синуса к косинусу. 

Если рассматривать прямоугольный треугольник, то это отношение противолежащего катета к прилежащему. Если же речь идет о единичной окружности, то это отношение ординаты к абсциссе.

Судя по данным отношениям, можно понять, что тангенс не может существовать, если значение абсциссы равно нулю, то есть при угле в 90 градусов. Все остальные значения тангенс принимать может.

Тангенс имеет положительное значение в первой и третьей четверти единичной окружности, а во второй и четвертой является отрицательным.

Котангенсом произвольного угла называется отношение косинуса к синусу.

Рассматривая прямоугольный треугольник – отношение прилежащего катета к противолежащему, то есть абсциссы к ординате.

Так как ордината находится в знаменателе дроби, то котангенс не может существовать при угле альфа, равном нулю градусов.

Котангенс принимает те же значения в четвертях единичной окружности, что и тангенс.

Все перечисленные функции являются периодичными. Косинус и синус имеют период 360 градусов, то есть 2Пи, а тангенс и котангенс 180 градусов, то есть Пи.

Источник

Содержание:

  • Котангенс угла в треугольнике
  • Котангенс произвольного угла

Котангенс угла в треугольнике

Определение

Котангенс острого угла прямоугольного треугольника – это отношение прилежащего к этому углу катета
к противолежащему катету (рис. 1):

$$operatorname{ctg} alpha=frac{b}{a}$$

Замечание

Как можно отметить, котангенс и тангенс угла связаны между собой:

$$operatorname{ctg} alpha=frac{1}{operatorname{tg} alpha}$$

Пример

Задание. Найти котангенс острого угла прямоугольного треугольника, если известно, что прилежащий
к этому углу катет равен 4 см, а противолежащий в два раза больше.

Решение. Согласно условию противолежащий катет равен:

$a = 4 cdot 2 = 8$ (см)

Тогда котангенс угла

$$operatorname{ctg} alpha=frac{4}{8}=frac{1}{2}$$

Ответ. ctg $alpha=frac{1}{2}$

Котангенс произвольного угла

Определение

Котангенсом произвольного угла
$alpha$, образованного осью
$O_x$ и произвольным радиус-вектором
$overline{O A}=left(a_{x} ; a_{y}right)$ (рис. 2), называется отношение
проекции этого вектора на ось
$O_x$ к его проекции на ось $O_y$:

$$operatorname{ctg} alpha=frac{a_{x}}{a_{y}}$$

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Чему равен котангенс угла, образованного вектором $bar{a} = (-3;-4)$ и осью абсцисс.

Решение. Проекция на ось абсцисс равна
$a_x=-3$, на ось ординат –
$a_y=-4$, а тогда

$$operatorname{ctg} alpha=frac{-3}{-4}=frac{3}{4}$$

Ответ. $operatorname{ctg} alpha=frac{3}{4}$

Читать дальше: что такое биссектриса угла.

Источник

Содержание:

Построим точку Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения

По определению тангенса острого угла получим: Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения

Определение тангенса угла

Определение:

Тангенсом угла Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения называется отношение синуса угла Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения к косинусу угла Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения

Например, Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения
Используя определение тангенса угла и значения синуса и косинуса этого угла, найдем также значения тангенсов углов Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения

Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения

Поскольку Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения не существует.

Через точку Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения проведем прямую, перпендикулярную оси абсцисс, и продолжим луч Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения до пересечения с этой прямой в точке Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения (рис. 52). Получим треугольник Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения подобный треугольнику Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения

Из подобия треугольников Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения запишем равенство отношений их сторон: Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения

Поскольку Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения то ордината точки Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения равна тангенсу угла Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения

Прямая, перпендикулярная оси абсцисс, проходящая через точку Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения называется осью тангенсов.

Нахождение тангенса произвольного угла

Для того чтобы найти тангенс произвольного угла а с помощью оси тангенсов, нужно:

  1. Построить точку Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения на единичной окружности.
  2. Продолжить прямую Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения до пересечения с осью тангенсов.
  3. Найти ординату точки пересечения прямой Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения с осью тангенсов.

Найдите тангенс угла Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения

Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения

Значения тангенса произвольного угла с помощью оси тангенсов можно указать только приближенно. Для нахождения значения тангенса произвольного угла используют четырехзначные таблицы значений тангенса (синуса, косинуса)* или калькулятор. Методы высшей математики позволяют вычислять значения тангенса (синуса, косинуса) с любой заданной степенью точности.
 

Пример №1

Определите с помощью оси тангенсов:

Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения

Решение:

Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения

Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения

Пример №2

С помощью оси тангенсов сравните значения выражений Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения

Решение:

Отметим на оси тангенсов точки, соответствующие углам Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения (рис. 55), и сравним ординаты этих точек. Ордината точки Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения больше ординаты точки Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения значит, Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения

Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения

Для углов Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения тангенс не существует, так как косинусы этих углов равны нулю. Например, Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения не существуют.
Построим точку Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения единичной окружности поворотом точки Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения вокруг начала координат на угол Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения Рассмотрим прямоугольный треугольник Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения, в котором гипотенуза Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения равна 1 (радиусу единичной окружности), а его катеты равны: Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решенияОпределение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения (рис. 56).

Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения

По определению котангенса острого угла получим: Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения

Определение котангенса угла

Определение:

Котангенсом угла Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения называется отношение косинуса угла Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения к синусу  угла Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения

Например, Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения
Поскольку Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения

Воспользуемся полученным равенством и найдем значения котангенсов углов Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения

Поскольку Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения не существует.

Найденные значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения занесем в таблицу.

Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения

Нахождение котангенса произвольного угла

Для того чтобы найти котангенс произвольного угла Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения с помощью оси котангенсов, нужно:

  1. Построить точку Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения на единичной окружности.
  2. Продолжить прямую Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения до пересечения с осью котангенсов.
  3. Найти абсциссу точки пересечения прямой Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения с осью котангенсов.

Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения

Значения котангенса произвольного угла с помощью оси котангенсов можно указать только приближенно.

  • Заказать решение задач по высшей математике

Пример №3

Найдите значение выражения

 Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения

Решение:

Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения

Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения

Через точку Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения проведем прямую, перпендикулярную оси ординат, и продолжим луч Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения до пересечения с этой прямой в точке Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения (рис. 57).

Получим треугольник Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения подобный треугольнику Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения

Из подобия треугольников Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения запишем равенство отношений их сторон: Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения Поскольку Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения то абсцисса точки Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения равна котангенсу угла Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения

Прямая, перпендикулярная оси ординат, проходящая через точку Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решенияназывается осью котангенсов.

Пример №4

Определите с помощью оси котангенсов:

Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения

Решение:

Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения

Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения

Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения

Пример №5

С помощью оси котангенсов сравните значения выражений Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения

Решение:

Отметим на оси котангенсов точки, соответствующие углам Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения (рис. 60), и сравним абсциссы этих точек. Абсцисса точки Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения больше абсциссы точки Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения значит, Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения

Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения

Для углов Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения и т. д. котангенс не существует, так как синусы этих углов равны нулю. Например, Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения не существуют.

Пример №6

С помощью оси:

а)    тангенсов найдите один из углов, тангенс которого равен Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения

б)    котангенсов найдите один из углов, котангенс которого равен Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения

Решение:

а) 1 Отметим на оси тангенсов точку Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения ордината которой равна Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения (рис. 61). 

2 Соединим эту точку с началом координат.

3 Найдем соответствующую точку Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения на единичной окружности.

4 Отметим один из углов, соответствующий этой точке (см. рис. 61).

б) 1 Отметим на оси котангенсов точку Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения абсцисса которой равна Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения (рис. 62). 

2 Соединим эту точку с началом координат.

3 Найдем соответствующую точку Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения на единичной окружности.

4 Отметим один из углов, соответствующий этой точке (см. рис. 62).

Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения

Пример №7

Точка Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения единичной окружности имеет координаты Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения  Используя определение тангенса и котангенса произвольного угла, найдите Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения

Решение:

Так как точка Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения единичной окружности имеет координаты Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения
По определению тангенса: Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения

По определению котангенса: Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения значит, Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения

Пример №8

Найдите значение выражения Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения

Решение:

Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решенияОпределение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения

Пример №9

Найдите, если это возможно, значение выражения: Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения

Решение:

Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения

Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения не существует, так как Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения

Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решенияне существует, так как Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения

Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения

Пример №10

Если Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения то Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения может принимать значения: Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения

Выберите правильные ответы.

Решение:

Так как тангенсом угла Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения называется отношение синуса угла Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения к косинусу угла Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения, то нужно найти те углы Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения синус которых равен нулю. Среди предложенных углов это углы Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения

Можно также использовать ось тангенсов: найти точку на оси тангенсов, у которой ордината равна нулю (рис. 63), и определить соответствующие углы. Правильные ответы а) и г).

Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения

Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решенияОпределение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения

Пример №11

Расположите в порядке возрастания: Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения

Решение:

Отметим на оси тангенсов точки, соответствующие углам Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения (рис. 64), и сравним ординаты этих точек. Поскольку ордината точки Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения меньше ординаты точки Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения а ордината точки Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения меньше ординаты точки Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения

Пример №12

Верно ли, что Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения

Решение:

Отметим на оси котангенсов точки, соответствующие углам Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения (рис. 65), и сравним абсциссы этих точек. Поскольку абсцисса точки Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения больше абсциссы точки Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения то неравенство Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решенияверное.

Пример №13

Определите знак выражения: Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения

Решение:

а) Первый способ. По определению тангенса: Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения Так как угол Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения находится во второй четверти, то Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения значит, Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения Второй способ. Отметим на оси тангенсов точку, соответствующую углу Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения (рис. 66). Ордината точки Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения равна Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения Поскольку точка Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения имеет отрицательную ординату, то Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения

Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решенияОпределение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения

б) Первый способ. По определению котангенса Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решенияТак как угол Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения находится в третьей четверти, тоОпределение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения значит, Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения

Второй способ. Отметим на оси котангенсов точку, соответствующую углу Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения (рис. 67). Абсцисса точки Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения равна Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения Поскольку точка Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения имеет положительную абсциссу, то Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения

Пример №14

Определите знак произведения Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения

Решение:

Так как угол 3 радиана находится во второй четверти, а угол 4 радиана — в третьей, то Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения значит, Определение тангенса и котангенса произвольного угла - с примерами решения

  • Соотношения между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного и того же угла (тригонометрические тождества)
  • Функция y=sin x и её свойства и график
  • Функция y=cos x и её свойства и график
  • Функции y=tg x и y=ctg x – их свойства, графики
  • Дробно-рациональные неравенства
  • Прогрессии в математике – арифметическая, геометрическая
  • Единичная окружность – в тригонометрии
  • Определение синуса и косинуса произвольного угла
Источник

Что такое котангенс в прямоугольном треугольнике? Как найти котангенс? От чего зависит значение котангенса?

Определение

Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

kotangens v pryamougolnom treugolnike  Например, в треугольнике ABC для угла A

прилежащий катет — АC,

противолежащий катет — BC.

Поэтому котангенс угла A в прямоугольном треугольнике ABC — это

    [ctgangle A = frac{{AC}}{{BC}}]

kotangens v treugolnike Для угла B треугольника ABC

прилежащий катет — BC,

противолежащий — AC.

Поэтому, котангенс угла B в треугольнике ABC

равен отношению BC к AC:

    [ctgangle B = frac{{BC}}{{AC}}]

Таким образом, котангенс острого угла прямоугольного треугольника — это некоторое число, получаемое в результате деления длины прилежащего к этому углу катета на длину катета противолежащего.

Так как длины катетов — положительные числа, то и котангенс острого угла прямоугольного треугольника является положительным числом.

Котангенс зависит не от длин катетов, а от их отношения. Для угла определенной величины отношение между катетами, а значит, и значение котангенса, — число постоянное.

Если изменить длины сторон треугольника, но углы оставить без изменения, то котангенсы этих углов не изменятся.

kotangens ugla v treugolnike Например,

в треугольнике ABC ∠B=30º,

в треугольнике MNK ∠M=30º.

    [ctgangle B = frac{{BC}}{{AC}} = frac{9}{{3sqrt 3 }} = frac{3}{{sqrt 3 }} = sqrt 3 ,]

    [ctgangle M = frac{{NK}}{{MK}} = frac{{5sqrt 3 }}{5} = sqrt 3 .]

Источник

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC.

Прямоугольный треугольник ABC

Синус острого угла прямоугольного треугольника

Отношение противолежащего катета к гипотенузе называют синусом острого угла прямоугольного треугольника.

sin alpha = frac{a}{c}

Косинус острого угла прямоугольного треугольника

Отношение близлежащего катета к гипотенузе называют косинусом острого угла прямоугольного треугольника.

cos alpha = frac{b}{c}

Тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Отношение противолежащего катета к близлежащему катету называют тангенсом острого угла прямоугольного треугольника.

tg alpha = frac{a}{b}

Котангенс острого угла прямоугольного треугольника

Отношение близлежащего катета к противолежащему катету называют котангенсом острого угла прямоугольного треугольника.

ctg alpha = frac{b}{a}

Синус произвольного угла

Ордината точки на единичной окружности, которой соответствует угол alpha называют синусом произвольного угла поворота alpha.

sin alpha=y

Единичная окружность с ординатой точки и углом alpha

Косинус произвольного угла

Абсцисса точки на единичной окружности, которой соответствует угол alpha называют косинусом произвольного угла поворота alpha.

cos alpha=x

Единичная окружность с абсциссой точки и углом alpha

Тангенс произвольного угла

Отношение синуса произвольного угла поворота alpha к его косинусу называют тангенсом произвольного угла поворота alpha.

tg alpha = y_{A}

tg alpha = frac{sin alpha}{cos alpha}

Единичная окружность с линией тангенсов и углом alpha

Котангенс произвольного угла

Отношение косинуса произвольного угла поворота alpha к его синусу называют котангенсом произвольного угла поворота alpha.

ctg alpha =x_{A}

ctg alpha = frac{cos alpha}{sin alpha}

Единичная окружность с линией котангенсов и углом alpha

Пример нахождения произвольного угла

Если alpha — некоторый угол AOM, где M — точка единичной окружности, то

sin alpha=y_{M}, cos alpha=x_{M}, tg alpha=frac{y_{M}}{x_{M}}, ctg alpha=frac{x_{M}}{y_{M}}.

Например, если angle AOM = -frac{pi}{4}, то: ордината точки M равна -frac{sqrt{2}}{2}, абсцисса равна frac{sqrt{2}}{2} и потому

sin left (-frac{pi}{4} right )=-frac{sqrt{2}}{2};

cos left (frac{pi}{4} right )=frac{sqrt{2}}{2};

tg left (-frac{pi}{4} right )=-1;

ctg left (-frac{pi}{4} right )=-1.

Таблица значений синусов косинусов тангенсов котангенсов

Значения основных часто встречающихся углов приведены в таблице:

  0^{circ} (0) 30^{circ}left(frac{pi}{6}right) 45^{circ}left(frac{pi}{4}right) 60^{circ}left(frac{pi}{3}right) 90^{circ}left(frac{pi}{2}right) 180^{circ}left(piright) 270^{circ}left(frac{3pi}{2}right) 360^{circ}left(2piright)
sinalpha 0 frac12 frac{sqrt 2}{2} frac{sqrt 3}{2} 1 0 −1 0
cosalpha 1 frac{sqrt 3}{2} frac{sqrt 2}{2} frac12 0 −1 0 1
tg alpha 0 frac{sqrt 3}{3} 1 sqrt3 — 0 — 0
ctg alpha — sqrt3 1 frac{sqrt 3}{3} 0 — 0 —
Источник

Добавить комментарий