Как найти крайний член пропорции

Пропорции

Пропорции — это сильный инсрумент, который бывает полезен вплоть до 11 класса. Преимущество пропорций в том, что алгоритм нахождения неизвестного члена пропорции хорошо запоминается.

Пропорция

Пропорция — это равенство двух отношений. Пример пропорции:

⁴/₁₂ = ⁹/₂₇. 4 и 27 называются крайние члены пропорции, а 12 и 9 — называются средние члены пропорции.

Основное свойство пропорции

Произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов. То есть, пропорцию

⁴/₁₂ = ⁹/₂₇

мы можем записать по-другому:

4 × 27 = 12 × 9.

Как найти средний член пропорции?

Средний член пропорции равен произведению крайних членов делённому на другой средний член. То есть, пропорцию

⁴/_? = ⁹/₂₇

мы можем записать по-другому — вот так:

? = ^{4 × 27}/₉

или пропорцию

⁴/₁₂ = ^?/₂₇

мы можем записать по-другому — вот так:

? = ^{4 × 27}/₁₂

Как найти крайний член пропорции?

Крайний член пропорции равен произведению средних членов, делённому на другой крайний член. То есть, пропорцию

^?/₁₂ = ⁹/₂₇

мы можем записать по-другому — вот так:

? = ^{12 × 9}/₂₇

или пропорцию

⁴/₁₂ = ⁹/_?

мы можем записать по-другому — вот так:

? = ^{12 × 9}/₄

Пропорции

• Члены пропорции: крайние и средние
• Главное свойство пропорции
• Нахождение неизвестного члена пропорции

Равенство двух отношений называется пропорцией.

Пропорцию

a : b = c : d

или

можно прочитать так:  отношение  a  к  b  равно отношению  c  к  d,  или  a  относится к  b,  как  c  относится к  d.

Члены пропорции: крайние и средние

Члены отношений, составляющих пропорцию, называются членами пропорции. Числа  a  и  d  называют крайними членами пропорции, а числа  b  и  c  — средними членами пропорции:

Эти названия условны, так как достаточно написать пропорцию в обратном порядке (переставить отношения местами):

c : d = a : b

или

и крайние члены станут средними, а средние — крайними.

Главное свойство пропорции

Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних.

Из главного свойства пропорции следует:

1. Крайний член равен произведению средних, разделённому на другой крайний. То есть для пропорции   :

   

2. Средний член равен произведению крайних, разделённому на другой средний. То есть для пропорции   :

   

Нахождение неизвестного члена пропорции

Свойства пропорции позволяют найти любой из членов пропорции, если он неизвестен. Рассмотрим пропорцию:

x : 8 = 6 : 3.

Тут неизвестен крайний член. Так как крайний член равен произведению средних, разделённому на другой крайний, то

x = (8 · 6) : 3 = 16.

На этом уроке мы узнаем, что такое
пропорция. Познакомимся с основным свойством пропорции. Научимся решать
пропорции. А также ответим на вопрос, является ли данная пропорция верной.

Очень часто в жизни мы сталкиваемся
со словом «пропорция». Наверняка вы слышали о пропорциях
в человеческом теле!

Вообще пропорция –
это широко распространённый термин, который используется во многих областях
человеческой деятельности. Можно услышать о пропорциях в
кулинарии, медицине, архитектуре.

Также пропорции тесно
связаны с наукой. Без пропорций не могут химики, биологи, географы, физики и т.д..

Определение

Само слово пропорция
происходит от латинского слова proportio,
что переводится как соотношение, соразмерность.

Давайте разберёмся, что же
вкладывают математики в слово пропорция.

Рассмотрим два отношения. Мы знаем
с прошлых уроков, что отношение – это частное двух неравных нулю
чисел (или величин).

Нетрудно посчитать, чему же равны
значения этих частных:

Видно, что и в первом и во втором
случае  значения частных равны. А значит и сами отношения равны.

Давайте прочитаем равенство,
которое получилось: «12 так относится к
трём, как 20 к пяти».

Такое равенство в математике
называют пропорцией.

На прошлых уроках мы уточнили, что
отношение можно записывать как при помощи знака деления, так и при помощи черты
дроби. Следовательно, пропорцию можно записать ещё в виде
равенства обыкновенных дробей:

Определение

Пропорция
–
это равенство двух отношений.

Раз пропорцию можно
записать в виде частного двух натуральных чисел, обыкновенными дробями, то
пропорцию можно записать и в буквенном виде.

Пропорцию
можно прочитать так: «a
так
относится к b,
как
c относится
к
d», или так «отношение
a к
b равно
отношению c
к
d», или ещё так «a,
деленное на b
равно
c, делённому на d».

Буквенная запись пропорции
a :
b = c : d – это общий вид пропорции,
где: a,
b,
c и d –
называют членами пропорции.

Договариваются, что все члены пропорции
отличны от нуля.

a и d –
это крайние члены пропорции,

b и c –
средние члены пропорции.

Что очень хорошо видно из равенства
на экране.

Смотрите a и
d расположены по краям пропорции, b и
c – посередине. Эти названия сохраняются и
тогда, когда пропорция записана в виде:

Например

Как вы думаете можно ли как-нибудь
убедиться в том, что пропорция составлена верно? Конечно, да!

Рассмотрим пропорцию:

В любой верной
пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов
пропорции, т.е.

Это утверждение называется основным
свойством пропорции.

Верно и обратное утверждение:
если произведение крайних членов равно произведению средних членов a · d = b · c, то пропорция a : b = c : d верна.
Оно называется признаком пропорции.

Но ведь пропорцию записывают и в
виде: .
Чтобы не перепутать, какие члены пропорции нужно перемножить, посмотрите, как
они расположены в пропорции:

Они лежат «крест-накрест»!

Например,
есть пропорция . Проверим верна ли она.

Следовательно, пропорция верна!

Если в верной пропорции
поменять местами средние члены и крайние члены, то получившиеся новые пропорции
также верны.

Например

Если три члена пропорции известны,
а четвёртый нужно найти, то говорят, что это задача на пропорцию. Задачи на
пропорции возникают очень часто. Нужно только научиться уверенно их решать.

Задача

Мама дяди Фёдора из Простоквашино
решила сварить для него яблочное варенье из 3 кг
яблок. По рецепту на 2 кг яблок нужно 3 кг сахара. Сколько сахара понадобится маме дяди
Фёдора для приготовления 3 кг варенья?

Решение:

 

Сформулируем правило для
нахождения неизвестного крайнего члена пропорции:

чтобы найти неизвестный
крайний член пропорции, нужно произведение её средних членов разделить на
известный крайний член пропорции.

Совершенно аналогично формируется правило
для нахождения неизвестного среднего члена пропорции:

чтобы найти неизвестный
средний член пропорции, нужно произведение её крайних членов разделить на
известный средний член.

Задание

Найдите неизвестный член пропорции:

Итоги

Итак, сегодня на уроке мы узнали,
что такое пропорция. Познакомились с её основным свойством. Научились решать
пропорции. А также, научились отвечать на вопрос, является ли данная пропорция
верной.

Определение пропорции

Пусть даны четыре отличных от нуля числа a, b, c и d таких, что a : b = c : d. Тогда равенство a : b = c : d называется пропорцией. Т.е. пропорция (лат. proportio — соразмерность, выравненность частей) — равенство двух отношений. Числа a и d называются крайними членами пропорции, а числа b и c — средними членами.

Пишут, a : b = с : d или читают: «а так относится к b, как с относится к d»

Из свойств обыкновенных дробей следует, что справедливы следующие утверждения:

• Пропорцию a : b = c : d можно записать в виде a/b = c/d.
• Крайние члены пропорции можно поменять местами: если a/b = c/d, то d/b = c/a.
• Средние члены пропорции можно поменять местами: если a/b = c/d, то a/c = b/d.
• Произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов: если a/b = c/d, то ad = bc (основное свойство пропорции). Например: если 20:5 = 16:4, то 20•4 = 5•16, т.е. 80=80. 

Основные свойства пропорций

• Обращение пропорции. Если a : b = c : d, то b : a = d : c
• Перемножение членов пропорции крест-накрест. Если a : b = c : d, то ad = bc.
• Перестановка средних и крайних членов. Если a : b = c : d, то
  • a : c = b : d    (перестановка средних членов пропорции),
  • d : b = c : a    (перестановка крайних членов пропорции).
• Увеличение и уменьшение пропорции. Если a : b = c : d, то
  • (a + b) : b = (c + d) : d    (увеличение пропорции),
  • (a – b) : b = (c – d) : d    (уменьшение пропорции).
• Составление пропорции сложением и вычитанием. Если a : b = c : d, то
  • (a + с) : (b + d) = a : b = c : d    (составление пропорции сложением),
  • (a – с) : (b – d) = a : b = c : d    (составление пропорции вычитанием).  

Как из данной пропорции составить три верные пропорции

• Надо поменять местами: 1) крайние 2) средние 3) одновременно крайние и средние члены пропорции. Например, из верной пропорции 20/5=16/4 получится 3 новые верные пропорции: 1) 4/5=16/20; 2) 20/16=5/4; 3) 4/16 = 5/20

Как найти неизвестный крайний член пропорции

• Надо произведение средних поделить на известный крайний член пропорции, например: если: х:5=16:4, то х = (5 · 16) : 4, если 20:5=16:х, то х = (16 · 5) : 20 
• Или еще пример: Необходимо найти неизвестный крайник член AC пропорции:
  • AC : 8 = √2 : 2
  • Решение: AC = 8 · √2 / 2 

Как найти неизвестный средний член пропорции

• Надо произведение крайних поделить на известный средний член пропорции. Например, если 20:х=16:4, то х = (20 · 4) : 16; если 20:5=х:4, то х = (4 · 20) : 5

Пропорциональными называются две взаимно зависимые величины, если отношение их значений остается неизменным. Значения двух различных величин могут взаимно зависеть друг от друга. Так, площадь квадрата зависит от длины его стороны, и обратно, длина стороны квадрата зависит от его площади.

• Пример: Масса керосина пропорциональна его объёму: 2 л керосина весят 1,6 кг, 5 л весят 4 кг, 7 л весят 5,6 кг. Отношение массы к объёму всегда будет равно плотности:
  • 1,6 / 2 = 0,8;
  • 4 / 5 = 0,8;
  • 5,6 / 7 = 0,8 и т. д.

Неизменное отношение пропорциональных величин называется коэффициентом пропорциональности.

Коэффициент пропорциональности показывает, сколько единиц одной величины приходится на единицу другой.

Какая зависимость называется прямой пропорциональной

• Прямой пропорциональная зависимость — такая зависимость, когда с увеличением (или с уменьшением) одной величины в несколько раз вторая увеличивается (или уменьшается) во столько же раз. Например, при постоянной цене стоимость покупки прямо пропорциональна количеству товара: если цена 1 кг сахара равна 20 р., то надо платить за 2 кг — 40 р., за 3 кг — 60 р., и т.д.

Какая зависимость называется обратной пропорциональной

• Обратной пропорциональная зависимость — такая зависимость, когда с увеличением (или с уменьшением) одной величины в несколько раз вторая уменьшается (или увеличивается) во столько же раз. Например, на имеющиеся 80 р можно купить 4 кг сахара по 20 р. или 2 кг по 40 р., т.е. если цену увеличили в 2 раза, то товара купили в 2 раза меньше на те же 80 р. 

Источники и дополнительная информация:

• Отношения между числами
• Математика (детский форум)
• Пропорция (математика) — Википедия
• Пропорциональность — Википедия
• Пропорции
• Как найти пропорцию
• Как найти неизвестный член пропорции