Что такое кратное число
Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru. В этой статье мы расскажем, что такое КРАТНЫЕ ЧИСЛА.
Эту тему каждый школьник в России проходит в 6 классе, когда подробно изучают деление.
Хотя с самой этой математической функцией дети знакомятся гораздо раньше – уже во 2 классе.
Кратное число — это …
Деление – это математическая операция, благодаря которой можно узнать, сколько частей чего-то одного содержится в другом. Или, другими словами, заменяет многократное вычитание из одного числа другое.
Операция деления в математике может обозначаться разными значками. Это двоеточие (:), косая черта (/), горизонтальная черта (-) или специальным значком под названием «обелюс» (÷).
А у чисел, которые участвуют в делении, есть определенные названия:
- Делимое – то число, которое собираются делить;
- Делитель – число, на которое будут делить делимое. Соответственно, делитель чаще всего меньше делимого. Хотя не исключен и другой вариант. Единственное число, которое не может быть делителем, это ноль.
- Частное – результат деления, то есть число, которое получается в результате выполнения математического действия.
Частное, которое получается полным или не полным. Первый вариант, это когда число-делимое, было полностью поделено на делитель. Например, 12 / 3 = 4. Но бывают варианты и с неполным частным, когда появляется некий остаток. Например, 14 / 3 = 4 (2), где 4 – это неполное частное, а 2 – остаток.
Почему мы так подробно рассказали о делении? Это имеет непосредственное отношение к теме статьи.
Одно число называется кратным другому, если его можно на него поделить без остатка.
Но речь идет только о натуральных числах. То есть тех, которые мы используем для счета в обычной жизни. Например, 1, 2, 5, 10, 35, 100 и так далее. При этом дробные числа (например, 2/5 или 0,5) к натуральным не относятся, а значит, в отношении них понятие «кратности» не применяется.
Например, возьмем число 12. Оно может быть кратно сразу нескольким числам.
12 / 3 = 4
12 / 4 = 3
12 / 6 = 2
12 / 2 = 6
Таким образом, можно сказать, что 12 – кратное число 2, 3, 4 и 6. И точно так же можно разложить по кратности любое число.
Внимательный читатель мог бы возразить, что есть еще два числа, на которые можно поделить 12 без остатка. Во-первых, это само 12. А во-вторых, это единица. Что ж, это абсолютная правда, и ее можно даже записать в одном математическом правиле:
Любое натуральное число всегда кратно само себе и единице. В первом случае получается единица, а во втором само число.
Таблицы чисел кратных 2,3,4,5,6,7,9
В первую очередь рассмотрим самый простой вариант. Это числа, которые являются кратными двум. Определить их совсем просто, так как к ним относятся все четные числа. Вот, например, как выглядит таблица от 1 до 100.
А вот так будет выглядеть таблица чисел кратных трем. Обратите внимание, что все они в результате располагаются по диагонали. Получается весьма красиво.
Теперь покажем таблицу чисел, которые можно поделить без остатка на 4. Как можно заметить, это только четные цифры.
А вот так выглядит таблица чисел, которые кратны пяти. Запомнить их очень просто. Числа, кратные пяти, должны оканчиваться или на 5, или на 0. Других вариантов быть просто не может.
А если взглянуть на таблицу чисел, которые кратны числу 6, то можно сделать интересный вывод. Есть числа, которые никогда не попадут в эту категорию. Они оканчиваются на 1, 3, 5, 7 и 9. Другими словами, только четные числа могут быть кратными 6. Но при этом не все четные числа таковыми являются.
Интересно будет посмотреть и таблицу чисел, которые являются кратными 7. Чтобы определить их, нужно ходить по таблице вниз, как ходить шахматная фигура «конь». В народе это называется «буквой Г», в нашем случае это «шаг влево и два шага вниз».
И наконец, интересно рассмотреть числа, которые кратны 9. Их очень легко определить, это своеобразный математический лайфхак.
Надо просто сложить все цифры в числе, и если в сумме получится 9, то тогда число кратно девятке.
| Числа, кратные 9 | 27 | 198 | 5 877 | 3 816 | 117 | 72 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Сумма | 9 | 18 | 27 | 18 | 9 | 9 |
Да, тут указаны еще и числа 18 и 27. Но они при повторном сложении также дадут девятку.
Вместо заключения
А знаете, что есть число, которое можно назвать кратным всем другим натуральным числам? Это ноль. Ведь если ноль поделить на любое число, то получится опять же ноль. И никакого остатка. А значит, это утверждение верно.
Вот и все, что мы хотели рассказать о КРАТНЫХ ЧИСЛАХ.
Наименьшее о́бщее кратное (HOK) двух целых чисел — это наименьшее натуральное число, которое делится на оба без остатка, то есть кратно им обоим. К примеру, для чисел 6 и 4, наименьшим общим кратным будет 12.
Как найти НОК?
Способов найти НОК несколько. Мы рассмотрим один из часто используемых в математике — это нахождение НОК при помощи разложения чисел на простые множители. В общем случае алгоритм будет выглядеть следующим образом:
- разложить оба числа на простые множители;
- выбрать одну группу множителей;
- добавить к ним множители из второй группы, которые отсутствуют в выбранной;
- найти их произведение.
Примеры нахождения наименьшего общего кратного
Рассмотрим приведенный алгоритм на конкретных примерах:
Пример 1: найти НОК 4 и 6
1. Раскладываем 6 и 4 на простые множители:
2. Возьмем первую группу множителей: 2 · 3.
3. Смотрим вторую группу (2 · 2) и видим, что из двух двоек, одна присутствует в первом разложении. Таким образом, берем только одну двойку. Добавляем к первому разложению и получаем: 2 · 3 · 2
4. Вычисляем произведение: 2 · 3 · 2 = 12.
Ответ: НОК (6; 4) = 12
Пример 2: найти НОК 32 и 20
1. Раскладываем 32 и 20 на простые множители:
2. Возьмем первую группу множителей: 2 · 2 · 2 · 2 · 2.
3. Смотрим вторую группу (2 · 2 · 5) и видим, что из двух двоек и пятерки, обе двойки присутствуют в первом разложении. Таким образом, берем только пятерку. Добавляем к первому разложению и получаем: 2 · 3 · 2
4. Вычисляем произведение: 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 5 = 160.
Ответ: НОК (32; 20) = 160
|
В заданиях по математике можно встретить фразы: “найдите число, кратное…” Иногда эта формулировка может вызвать непонимание. Что значит кратно? Это значит, что одно число делится на другое целиком, без остатка. Приведем пример: Найти число, кратное 2. Это значит, что число должно без остатка делиться на 2. Ответом может быть любое четное число. Приведем еще пример: Число, кратное 5. Что это за число? Например, 10, 35, 55, 60 и все другие, которые делятся на 5 без остатка. Про кратность можно сказать и так: Число 16 кратно 4 (шестнадцать кратно четырем) – это значит, что 16 делится без остатка на 4. система выбрала этот ответ лучшим
Zummy out off 3 года назад Кратность в математике означает делимость. Кратно, кратный, сократить – это родственные слова, образованные от старинного слова «крат», то есть «раз». Сейчас это слово употребляется только в выражении «во сто крат», то есть «в сто раз». Число Х кратно числу Y – значит, число Х можно разделить (сократить) на Y, то есть Х делится на Y без остатка. Кратное – это число, которое делится на данное число. «Кратно» – краткое прилагательное от «кратный». 12 кратно числу 3, то есть 12 можно сократить на 3, разделить на 3 без остатка. 20 кратно числу 5, то есть 20 можно сократить на 5, разделить на 5 без остатка.
З В Ё Н К А 3 года назад Кратно какому-либо числу может быть только другое определённое (меньшее первому) число, обладающее соответствующими свойствами: кратное число должно быть ровно во сколько-то крат (раз) больше другого. Это арифметическое понятие. Примеры:
_ Говорить, например, о том, что число 5 кратно сотне, не совсем верно. Кратное число – это большее, но не меньшее. Кратное число – не делитель, а делимое. Так считать удобнее и грамотнее. 1 не кратно 1000, а вот 1000 кратно 1.
Marmeladoff 4 года назад Слово “кратно” напоминает слово “сократить”. Вспомните привычную фразу: “количество сократилось вдвое” – это значит, что изначальное число разделили на два. В математике слово “кратно” можно заменить на слово “делится” (причем подразумевается деление без остатка), например: десять кратно двум = десять делится на два восемь кратно четырем = восемь делится на четыре То есть кратное – это не делитель, а делимое, “кратное” = “делящиеся”. Часто задача звучит так: “Найти наименьшее число, кратное двум и семи”. Это значит, что мы должны узнать, какое число без остатка делится и на два и на семь. Очевидно, что это – 14. Иногда слово “кратное” применяют не только в учебниках математики, но в разговорах, касающихся экономических или других показателей.
В математике существует простая формулировка, что такое кратное. Оказывается это просто число, которое можно разделить на другое число без остатка. Скажем дали нам число 5, и спросили, является ли число 73 кратным этому числу. Чтобы ответить на этот вопрос мы должны попытаться 73 поделить на 5. У нас получится 14 и в остатке будет 3. Значит число 73 не является кратным числу 5. Но вот число 70 уже будет являться кратным числу 5, ведь при делении оно даст 14. Заметим, что и для числа 14 число 70 оказывается кратным. Поэтому в математике часто оперируют таким понятием как Наименьшее общее кратное, вот таким наименьшим общим кратным для чисел 5 и 14 и оказывается число 70.
Невозмутимый Дождь 3 года назад Понятие кратности предполагает утверждение, часто встречающееся в математике: “данное число кратно другому”. Его можно понять так: “данное число в несколько крат больше другого”. Допустим, в каком-то математическом выражении, в котором участвуют делимое и делитель, есть большее число (это делимое) и меньшее число (делитель). Если делимое делится на делитель без остатка, то это означает, что делимое кратно делителю. Например, 28 кратно 14; 150 кратно и 50, и 3, и 75 одновременно; 1000 кратно 20, 50, 500, 100 и ещё некоторым числам; 66 кратно 33, 11, 2 и так далее. Как видим, то или иное число может быть кратным сразу нескольким числам, но это не обязательно.
Master-Margarita 5 лет назад По определению кратное натурального числа а будет натуральное число, делящееся на а без остатка. То есть, при делении одного числа на другого мы всегда получим в результате целое число, а не дробный остаток. 9 на 3 делится без остатка, ибо 9:3=3, значит 3 кратно 9. 9 на 4 без остатка не поделить. 9:4=8 1/4 – то есть 4 уже не кратно 9.
Это математическое понятие. Говорить, что число кратно другому число, это значит, что первое можно разделить на второе и получится некое целое число, без остатка, без знаков после запятой. Например, мы можем говорить, что для того, чтобы число было кратно 10, оно должно заканчиваться на 0. Если число кратно 5, то оно должно заканчиваться или на 5, или на 0.
Malisch52 5 лет назад Это значит что названное число должно делиться без остатка на то число которому оно кратно. Например числа два, четыре, шесть, восемь, десять кратны двум. При этом число десять например кратно пяти, число шесть еще кратно трем и так далее.
Рождённый в С С С Р 5 лет назад Если совсем по простому говорить, кратно числу – значит, равняется этому числу, помноженному на другое целое число. Например, кратные пяти: 10 (5*2), 15 (5*3), 20 и т.д. Кратные трём: 6,9,12… Кратные семнадцати: 34,51,68… Знаете ответ? |
Наименьшее общее кратное
- Общее кратное
- Наименьшее общее кратное
- Как найти НОК
- С помощью разложения на простые множители
- Нахождение НОК через НОД
- Калькулятор НОК
Общее кратное
Число может быть кратно не одному, а сразу нескольким числам, такое число называется общим кратным данных чисел.
Пример.
Числу 3 кратны числа: 6, 9, 12, 15 и т. д.
Числу 4 кратны числа: 8, 12, 16, 20 и т. д.
Можно заметить, что одно и тоже число (12) делится нацело сразу на оба числа 3 и 4. Следовательно, число 12 есть общее кратное чисел 3 и 4.
Общее кратное чисел — это любое число, которое делится без остатка на каждое из данных чисел.
Найти общее кратное нескольких натуральных чисел достаточно легко, можно просто перемножить данные числа, полученное произведение и будет их общим кратным.
Пример. Найти общее кратное для чисел 2, 3, 4, 6.
Решение:
2 · 3 · 4 · 6 = 144.
Число 144 — общее кратное чисел 2, 3, 4 и 6.
Для любого количества натуральных чисел существует бесконечно много кратных.
Пример. Для чисел 12 и 20 кратными будут числа: 60, 120, 180, 240 и т. д. Все они являются общими кратными для чисел 12 и 20.
Наименьшее общее кратное
Наименьшее общее кратное (НОК) нескольких чисел — это самое маленькое натуральное число, которое делится без остатка на каждое из этих чисел.
Пример. Наименьшим общим кратным чисел 3, 4 и 9 является число 36, никакое другое число меньше 36 не делится одновременно на 3, 4 и 9 без остатка.
Наименьшее общее кратное записывается так:
НОК (a, b, …) = x.
Числа в круглых скобках могут быть указаны в любом порядке.
Пример. Запишем наименьшее общее кратное чисел 3, 4 и 9:
НОК (3, 4, 9) = 36.
Как найти НОК
Рассмотрим два способа нахождения наименьшего общего кратного: с помощью разложения чисел на простые множители и нахождение НОК через НОД.
С помощью разложения на простые множители
Чтобы найти НОК нескольких натуральных чисел, надо разложить эти числа на простые множители, затем взять из этих разложений каждый простой множитель с наибольшим показателем степени и перемножить эти множители между собой.
Пример. Найдите наименьшее общее кратное двух чисел 99 и 54.
Решение: разложим каждое из этих чисел на простые множители:
99 = 3 · 3 · 11 = 32 · 11,
54 = 2 · 3 · 3 · 3 = 2 · 33.
Наименьшее общее кратное должно делиться на 99, значит, в его состав должны входить все множители числа 99. Далее НОК должно делиться и на 54, т. е. в его состав должны входить множители и этого числа.
Выпишем из этих разложений каждый простой множитель с наибольшим показателем степени и перемножим эти множители между собой. Получим следующее произведение:
2 · 33 · 11 = 594.
Это и есть наименьшее общее кратное данных чисел. Никакое другое число меньше 594 не делится нацело на 99 и 54.
Ответ: НОК (99, 54) = 594.
Так как взаимно простые числа не имеют одинаковых простых множителей, то их наименьшее общее кратное равно произведению этих чисел.
Пример. Найдите наименьшее общее кратное двух чисел 12 и 49.
Решение: разложим каждое из этих чисел на простые множители:
12 = 2 · 2 · 3 = 22 · 3,
49 = 7 · 7 = 72.
Применяя к этому случаю правило, мы придём к заключению, что взаимно простые числа надо просто перемножить:
22 · 3 · 72 = 12 · 49 = 588.
Ответ: НОК (12, 49) = 588.
Таким же образом надо поступать, когда нужно найти наименьшее общее кратное простых чисел.
Пример. Найдите наименьшее общее кратное чисел 5, 7 и 13.
Решение: так как данные числа являются простыми, то просто перемножим их:
5 · 7 · 13 = 45.
Ответ: НОК (5, 7, 13) = 455.
Если большее из данных чисел делится на все остальные числа, то это число и будет наименьшим общим кратным данных чисел.
Пример. Найдите наименьшее общее кратное чисел 24, 12 и 4.
Решение: разложим каждое из этих чисел на простые множители:
24 = 2 · 2 · 2 · 3 = 23 · 3,
12 = 2 · 2 · 3 = 22 · 3,
4 = 2 · 2 = 22.
Можно заметить, что разложение большего числа содержит все множители остальных чисел, значит большее из этих чисел делится на все остальные числа (в том числе и само на себя) и является наименьшим общим кратным:
23 · 3 = 24.
Ответ: НОК (24, 12, 4) = 24.
Нахождение НОК через НОД
НОК двух натуральных чисел равно произведению этих чисел, поделённого на их НОД.
Правило в общем виде:
НОК (m, n) = m · n : НОД (m, n)
Пример. Найдите наименьшее общее кратное двух чисел 99 и 54.
Решение: сначала находим наибольший общий делитель:
НОД (99, 54) = 9.
Теперь мы можем вычислить НОК этих чисел по формуле:
НОК (99, 54) = 99 · 54 : НОД (99, 54) = 5346 : 9 = 594.
Ответ: НОК (99, 54) = 594.
Чтобы найти НОК трёх или более чисел используется следующий порядок действий:
- Находят НОК любых двух из данных чисел.
- Затем находят наименьшее общее кратное найденного НОК и третьего числа и т. д.
- Таким образом поиск НОК продолжается до тех пор, пока есть числа.
Пример. Найдите наименьшее общее кратное чисел 8, 12 и 9.
Решение: сначала находим наибольший общий делитель любых двух из этих чисел, например, 12 и 8:
НОД (12, 8) = 4.
Вычисляем их НОК по формуле:
НОК (12, 8) = 12 · 8 : НОД (12, 8) = 96 : 4 = 24.
Теперь найдём НОК числа 24 и оставшегося числа 9. Их НОД:
НОД (24, 9) = 3.
Вычисляем НОК по формуле:
НОК (24, 9) = 24 · 9 : НОД (24, 9) = 216 : 3 = 72.
Ответ: НОК (8, 12, 9) = 72.
Калькулятор НОК
Данный калькулятор поможет вам найти наименьшее общее кратное чисел. Просто введите числа через пробел или запятую и нажмите кнопку Вычислить НОК
.
Наименьшее общее кратное: как найти
Содержание:
- Наименьшее общее кратное — что это такое
- Вычисление НОК, правила в математике
- Как найти НОК через НОД
- Как найти НОК через разложение чисел
- Нахождение НОК трех и большего количества чисел
Наименьшее общее кратное — что это такое
Определение
Число, которое можно без остатка разделить на выбранные числа, является их общим кратным. Наименьшее из таких чисел — наименьшее общее кратное или сокращенно «нок».
Действия с дробями, имеющими различный знаменатель, можно значительно облегчить, если найти наименьшее общее кратное (НОК). Это такое число, например, кратное числу а, которое можно разделить на это а целиком, без остатка.
Пример
К числам, кратным 8, относятся 16, 24, 32, 40 и т.п. Кратными 9-ти являются 9, 18, 27, 36 и т.п.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Существует бесчисленное множество чисел, делящихся на а без остатка, т.е. кратных ему. В то же время, этого нельзя сказать о числе делителей. Так, делителями для 9-ти являются 9, 3, 1.
Если для двух или более натуральных чисел существует число, делящееся на оба без остатка, то оно является наименьшим общим кратным. А то из, них, которое самое маленькое, является нок.
Вычисление НОК, правила в математике
Для нахождения нок в математике существует несколько правил или алгоритмов. Самый простой вариант — вычисление НОК для двух чисел-участников. Способ легкий, но приемлем для маленьких натуральных чисел.
Нужно составить ряды чисел, кратных каждому из выбранных значений.
Пример
К (4) — 4, 8, 12, 16, 20, 24;
К (6) — 6, 12, 18, 24, 30.
Из рядов видно, что в обоих рядах встречаются числа 12 и 24. Это общие кратные. Однако 12 из них — меньшее число.
Поэтому НОК (4, 6) — 12.
Как найти НОК через НОД
Определение НОК можно провести с использованием НОД (наибольшего общего делителя).
В этом блоке изложения материала следует уточнить некоторые понятия.
Определение
Простым называется такое натуральное число, которое целиком можно разделить только само на себя либо на единицу.
Наименьшим простым числом является двойка. Она же — единственное четное натуральное простое число. Все остальные — нечетные.
Множество чисел делятся не только на 1 и на себя, но и на другие целые натуральные числа:
8 делится на 1, 2, 4, 8;
36 — на 1, 2, 3, 4, 6, 8 и т.д.
Эти числа — делители восьми и тридцати шести (делимых). Именно они могут разделить 8 и 36 без остатка. В обоих приведенных примерах делимые (8, 36) являются составными числами, поскольку имеют более двух делителей.
В приведенных рядах существуют одинаковые делители. Это 1, 2, 4, 8.
Самое большое число — 8. Оно и является наибольшим общим делителем.
Определение
Наибольший общий делитель (НОД) — число, на которое без остатка делится выбранная пара (либо больше) чисел.
Пример
НОД (9, 45)=9
НОД (12, 48)=12
Бывают пары чисел, которые из общих делителей имеют только единицу. Тогда они называются взаимно простыми: НОД (9, 8)=1, НОД (12, 10)=1.
На следующем примере показаны пары чисел со значениями их НОД и НОК.
Решение задачи по нахождению НОК через НОД сводится к следующей формуле:
НОК чисел a,b равняется частному произведения a и b на наибольший общий делитель чисел a и b (по-другому НОД (a, b).
Исходя из этого заключения получается, что НОК и НОД взаимосвязаны друг с другом. Наименьшее общее кратное можно легко найти через наибольший общий делитель для двух или более натуральных чисел.
Как найти НОК через разложение чисел
Кроме составления рядов значений, кратных каждому из двух выбранных натуральных чисел, для правильного определения НОК пользуются методом разложения на множители.
Найденные простые множители первого разложения сравниваются с аналогичными из второго разложения, после чего они перемножаются.
Пример
После разложения числа 9 на простые множители получается ряд:
1, 3, 9.
После разложения 12-ти получается ряд:
1, 2, 3, 4, 6, 12.
После разложения на множители числа 9 получаем: 3*3. После разложения на множители 12-ти получаем: 2*2*3. Объединяя множители обеих вариантов, получаем произведение: 3*3*2*2=36.
Наименьшее общее кратное чисел 9 и 12 — 36.
В качестве проверки произведем действия:
- 36/12=3
- 9/3=3
На практике записывают: НОК (9, 12)=36.
Такими действиями можно найти НОК более сложных чисел.
Пример
Найти НОК чисел 50 и 180.
Число 50 делится на 1, 2, 5, 10, 25, 50.
Число 180 на: 1, 5, 15, 30, 45, 90, 180.
Разложив на множители 50, получаем: 2, 5, 5.
Разложив 180, получаем: 2, 2, 3, 3, 5.
Из первого разложения выписываем: 2*5*5. Сравнивая со вторым разложением, описываем одну двойку и две тройки. После перемножения полученного ряда получается произведение: 2*5*5*2*3*3=900. Это и есть наименьшее общее кратное чисел 50 и 180.
Следовательно, НОК (50, 180)=900.
Существует еще один быстрый способ находить НОК. Он приемлем для вариантов, когда одно число нацело делится на другое. Например: НОК (15, 30)=30, НОК (20, 80)=80, НОК (16, 48)=48.
Для случаев, когда у двух чисел не имеется общих делителей, их можно просто перемножить и получить НОК. Например, НОК (7, 8)=56, НОК (4, 9)=36, НОК (7, 9)=63.
Нахождение НОК трех и большего количества чисел
Если предстоит найти НОК для большего, чем 2, количества чисел, их нужно разложить на простые множители. Например,
32=2*2*2*2*2;
40=2*2*2*5;
80=2*2*2*2*5
Сравнивая множители в каждом случае разложения натуральных чисел и выстраивая их в один ряд для умножения, получаем, что НОК (32, 40, 80) = 2*2*2*2*2*5 = 160.
В математике принято для нахождения НОК трех и более чисел применять следующую теорему:
Если имеется ряд чисел (а1, а2, а3…аk), можно найти НОК mk этих чисел производя последовательные вычисления: m2=НОК (а1, а2), m3=НОК (а2, а3)… mk=НОК (mk-1, аk)
Пример
Дано задание вычислить НОК для чисел 140 (a1), 9 (a2), 54 (а3), 250 (а4).
Тогда m2=НОК (a1, a2)=НОК (140, 9).
Для нахождения НОК (140, 9) производим действия. 140=15*9+5; 9=5*1+4.
Последующее разложение: 5=4*1+1, 4=4*1.
Следовательно, НОД (140, 9)=1. НОК (140, 9)=140*9/НОД (140, 9)=140*9/1=1260.
Ответ: m2=1260
По аналогии вычисляем m3 (=3780) и m4 (=94500). Это и есть ответ решения задачи по нахождению НОК чисел 140, 9, 54, 250.
