Как найти кратность корня многочлена онлайн

Кратные корни многочленов

Пусть p(x) – многочлен степени n , а q(x) – многочлен степени n – k , где n и k – натуральные числа, удовлетворяющие неравенству .

Определение . Число α называют корнем кратности k многочлена p(x) , если справедливо равенство

p(x) = (x – α) k q (x) ,

(1)

Утверждение 1 . Число α является корнем кратности k многочлена p(x) тогда и тогда, когда оно является корнем производной этого многочлена кратности k – 1 .

Доказательство . Взяв производную от обеих частей формулы (1), получаем

Поскольку выражение, стоящее в квадратных скобках, при x = α не обращается в нуль, то утверждение 1 доказано.

Из утверждения 1 вытекает следующее

Утверждение 2 . Число α является корнем кратности k многочлена p(x) тогда и тогда, когда выполнены равенства:

Определить кратность корня x0 многочлена f(x).

Третья производная:
f”'(x) = 60x 2 — 120x + 42
f”'(2) = 60*2 2 — 120*2 + 42 = 240 — 240 + 42 = 42, не равно нулю => кратность равна количеству найденных производных.

Ответ: 3

Метод второй: схема Горнера:

1	-5	7	-2	4	-8
2	1	-3	1	0	4	0
2	1	-1	-1	-2	0
2	1	1	1	0
2	1	3	7
2	1

Как видно из схемы Горнера количество нулей равно 3, следовательно и кратность равна 3. Схема Горнера метод намного удобнее, если x₀ — число больше 2, производными считать труднее.

Кратные корни многочлена

При рассмотрении вопроса о корнях многочлена, особо выделяют понятие кратных корней.

Определение. Пусть задан многочлен $fleft(xright) in Pleft[xright]$ ($Pleft[xright]$ — множество всех многочленов от буквы $x$ над полем $P$) и $alpha$, где $alpha$ — корень многочлена $fleft(xright)$. Элемент $alpha$ назовем $k$-кратным ($k in mathbb $, $k>1$) корнем многочлена, если имеет место следующее представление: $$fleft(xright)=left(x-alpharight)^k f_left(xright),, f_left(alpharight) ne 0.$$

Принято рассматривать понятие кратного корня для $k>1$. Если же $fleft(xright)$ можно представить следующим образом: $$fleft(xright)=left(x-alpharight) f_left(xright),, f_left(alpharight) ne 0,$$ то $alpha$ называется простым (однократным) корнем многочлена$fleft(xright)$. Если для $fleft(xright)$ имеет место следующее равенство: $$fleft(xright)=left(x-alpharight)^2 f_left(xright),, f_left(alpharight) ne 0,$$ то $alpha$ называется двукратным корнем многочлена $fleft(xright)$. Аналогично, существуют корни трехкратные, четырехкратные и так далее.

Часто условие $f_left(alpharight) ne 0$ заменяют на $f_left(xright),barvdots,(x-alpha)$. Эквивалентность этих условий вытекает из следствий теоремы Безу. Тогда, набор условий, что $f(x),vdots,left(x-alpharight)^k$, но $f(x),barvdots,left(x-alpharight)^$ эквивалентен тому, что $alpha$ — $k$-кратный корень многочлена $f(x)$.

Процесс нахождения кратности корня

Пусть задан многочлен $fleft(xright) in Pleft[xright]$ и его корень $alpha$ ( $deg fleft(xright) > 0$). Рассмотрим задачу о нахождении кратности корня $alpha$.

Так как $alpha$ — корень $fleft(xright)$, то имеет место следующее представление: $$fleft(xright)=left(x-alpharight)f_left(xright).$$ Тогда, если $alpha$ не является корнем $f_left(xright)$ ($f_left(alpharight) ne 0$), то, по определению, $alpha$ — простой корень многочлена $fleft(xright)$. В противном случае, $alpha$ — $k$-кратный ($k in mathbb $, $k > 1 $) корень $fleft(xright)$. Задача сводится к нахождению $k-1$, то есть к нахождению кратности корня $f_left(xright)$, где $deg f_left(xright) = deg fleft(xright) — 1$. Учитывая, что $deg fleft(xright) > 0$, то повторение такого алгоритма решает задачу. Для этого используется алгоритм Горнера.

Стоит упомянуть, что иногда удобней пользоваться критерием кратности корня.

Примеры решения задач

Пусть задан многочлен $fleft(xright)=x^3-3x^2+4$. Определить, является ли $2$ корнем многочлена $f(x)$. В случае положительного ответа найти его кратность.

Для решении задачи воспользуемся алгоритмом Горнера. Стоит обратить внимание на то, что хоть и слагаемое вида $a_x^1$ отсутствует в записи, но нулевой коэффициент необходимо не забыть занести в таблицу.

$1$	$-3$	$0$	$4$
$2$	$1$	$-1$	$-2$	$0$
$2$	$1$	$1$	$0$
$2$	$1$	$3$

Из таблицы видно, что многочлен $f(x)$ поделился на $left(x-2right)^2$ без остатка, а на $left(x-2right)^3$ — нет. Получаем, что $2$ — двукратный корень многочлена $f(x)$.

Так как $alpha$ — двукратный корень многочлена $f(x)$, то $f(x)$ представим в следующем виде: $$fleft(xright)=left(x-alpharight)^2 f_left(xright),$$где $f_(alpha) ne 0$. Аналогично, $g(x)$ можно представить следующим образом: $$gleft(xright)=left(x-alpharight) g_left(xright),$$где $g_(alpha) ne 0$. Тогда, $$f(x)g(x)=left(x-alpharight)^2f_(x)(x-alpha)g_(x)=left(x-alpharight)^3f_(x)g_(x).$$Так как $f_(alpha) ne 0$ и $g_(alpha) ne 0$, то $f_(alpha)g_(alpha)ne0$. Обозначим $f(x)g(x)=h(x)$, $f_(x)g_(x)=h_(x)$, тогда перепишем выражение многочлена $f(x)g(x)$ следующим образом: $$h(x)=left(x-alpharight)^3h_(x),$$ где $h_(alpha)ne0$. Тогда по определению $alpha$ — корень $f(x)g(x)$ третьей кратности.

Для решении задачи воспользуемся алгоритмом Горнера.

$1$	$5$	$10$	$10$	$5$	$1$
$-1$	$1$	$4$	$6$	$4$	$1$	$0$
$-1$	$1$	$3$	$3$	$1$	$0$
$-1$	$1$	$2$	$1$	$0$
$-1$	$1$	$1$	$0$
$-1$	$1$	$0$

Из таблицы видно, что многочлен пятой степени $f(x)$ поделился на $left(x+1right)^5$ без остатка. Получаем, что $-1$ — корень пятой кратности.

По определению, для того, что бы $2$ была корнем второй кратности, необходимо что бы имело место следующее представление: $$f(x)=left(x-2right)^2f_(x),, f_(2) ne 0.$$С другой стороны, в нашем случае: $$f_(x)=x^2+x-6=(x-2)(x+3),, f_(2)=0.$$ Получаем, что $2$ не корень второй кратности. Тогда найдем его кратность. Выразим $f(x)$ подставив $f_(x)=(x-2)(x+3)$:$$f(x)=left(x-2right)^3(x+3)=left(x-2right)^3f_(x),$$ $f_(2)=(2+3)=5ne0$. Значит, по определению, $2$ — корень многочлена $f(x)$ третьей кратности.

Представим исходный многочлен следующим образом: $$f(x)=x^4(x^4-8x^3+10x^2-1).$$
Обозначим $f_(x)=x^4-8x^3+10x^2-1$. Легко убедиться, что $f_(0)=-1ne0$. Получаем, что, по определению кратного корня, $0$ — корень многочлена $f(x)$ четвертой кратности.

Источник

Тема: Найти кратность корня, многочлена. (Прочитано 20223 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Здравствуйте, еще раз. На этот раз последний раз прошу помочь мне. Задание:

Найти кратность корня x=-1, многочлена f(x)=x⁵+3x⁴+4x³+4x²+3x+1

Что делать с этим многочленом?

Судя по всему разделить на (х+1)

Пожалуйста не пишите голое условие! Сначало мы выслушаем Ваши мысли или хотябы вопросы, но конкретные и лишь потом дадим необходимые советы!
Но можете всего этого и не делать, если Вас не интересует результат
Если не хотите разбираться сами закажите решение на сайте.

Так, я разделил его на (x+1), вот решение, проверьте пожалуйста:

И что делать дальше, подставить корень х=-1 в получившийся ответ деления? Если да, то ответ 0…

« Последнее редактирование: 25 Февраля 2012, 00:52:53 от tig81 »

теперь снова делите на ( x+1 ) (получившейся полином четвертой степени) и т.д. сколько раз получится разделить, такова и кратность корня.